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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

प्रश्न 1.
बिन्दुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) (2, 3), (4, 1) (2019)
(ii) (-5, 7), (-1,3)
(iii) (a, b), (-a-b)
हल :
(i) मान लीजिए कि बिन्दु युग्म P (2, 3) एवं Q (4, 1) हैं।

अतः बिन्दु के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी = 2√2 मात्रक है।

(ii) मान लीजिए बिन्दु युग्म P (-5, 7) और Q (-1, 3) हैं।

अतः बिन्दुओं के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी = 4√2 मात्रक है।

(iii) मान लीजिए बिन्दु युग्म P (a, b) एवं Q(-a, -b) हैं।

अतः बिन्दुओं के युग्म के बीच की अभीष्ट दूरी \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) मात्रक है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (0,0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या आप अब अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
हल :
मान लीजिए P (0, 0) और Q (36, 15) दो बिन्दु हैं।

हाँ हम उन दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि शहरों के निर्देशांक A (0,0), B (36, 15), इसलिए दोनों शहरों के बीच की दूरी = 39 km
अतः दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी 39 मात्रक एवं दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी 39 km है।

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिन्दु (1, 5), (2, 3) और (-2, – 11) संरेखी हैं।
हल :
मान लीजिए दिए हुए बिन्दु P (1,5), Q (2,3) और R (-2, -11) हैं।

अतः दिए हुए बिन्दु सरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु (5, -2), (6, 4) और (7,- 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
मान लीजिए A (5, -2), B (6, 4) एवं C (7,-2) हैं।।

अतः दिए हुए बिन्दु एक समाद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में चार मित्र बिन्दुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं (जैसा कि संलग्न आकृति 7.1 में दर्शाया गया है)। चम्पा और चमेली कक्षा के अन्दर जाती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चम्पा चमेली से पूछती है कि “क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?” चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि इसमें कौन सही है ?

हल :
संलग्न आकृति के अवलोकन से (ग्राफ द्वारा) A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) एवं D (6, 1).
चूँकि दूरी सूत्र

AB = BC = CD = DA = √18 …..(1)
⇒ ABCD एक समचतुर्भुज हैं। (चारों भुजाएँ बराबर)

⇒ विकर्ण AC = विकर्ण BD
चूँकि समान विकर्ण वाला समचतुर्भज वर्ग होता है।
अत: ABCD एक वर्ग है। इसलिए चम्पा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिन्दुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए :
(i) (-1,- 2,), (1,0), (-1, 2), (-3,0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
हल :
(i) चूँकि A (-1, – 2), B (1,0), C (-1, 2) एवं D (-3, 0) मान लीजिए

भुजाएँ AB = BC = CD = DA = √8
एव विकर्ण AC = BD = √16 = 4
अतः दिए हुए बिन्दुओं द्वारा बनने वाला चतुर्भुज एक वर्ग है क्योंकि दूसरी चारों भुजाएँ तथा विकर्ण बराबर हैं।

(ii) मान लीजिए A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), एवं D (-1, -4)
चूँकि दूरी सूत्र

चूँकि ∆ABC में BC + AC = √13 + √13 = 2 √13 = AB
अतः दिए हुए बिन्दुओं से कोई भी चतुर्भुज नहीं बनेगा।

(iii) मान लीजिए : A (4, 5), B (7,6), C (4, 3) एवं D (1, 2)
चूँकि दूरी सूत्र


चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। (समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण)
अतः दिए हुए बिन्दुओं से बना चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए.जो (2,-5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) है तथा दिए हुए बिन्दु Q (2,-5) एवं R (-2, 9) हैं।
तब प्रश्नानुसार : PQ = PR दिया है

(2 – x)² + (-5)² = (-2 – x)² + (9)² [दोनों ओर वर्ग करने पर]
4 – 4x + x² + 25 = 4 + 4x + x² + 81
4x + 4x = 4 + 25 – 4 – 81
8x = -56
x = \(\frac { -56 }{ 8 }\) = -7
अत: x-अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (-7,0) हैं।

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु P (2, – 3) और Q (10, 9) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
चूँकि

⇒ (8)² + (y + 3)² = 100 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 64 + y² + 6y + 9 = 100
⇒ y² + 6y + 73 – 100 = 0
⇒ y² + 6y – 27 = 0
⇒ y² + 9y – 3y – 27 = 0
⇒ y (y + 9) – 3 (y + 9) = 0
⇒ (y + 9) (y – 3) = 0
या तो y + 9 = 0 ⇒ y = -9
अथवा y – 3 = 0 ⇒ y = +3
अतः y के अभीष्ट मान – 9 अथवा + 3 है।

प्रश्न 9.
यदि Q (0, 1) बिन्दु P (5, – 3) और R (x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR एवं PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
∵प्रश्नानुसार QP = QR


अतः x का अभीष्ट मान ±4, QR = √41 एवं PR = √82 अथवा 9√2 है।

प्रश्न 10.
x और y में एक ऐसा सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x,y) बिन्दुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
मान लीजिए P (x, y), Q (3, 6) एवं R (-3, 4) है तो प्रश्नानुसार PQ = PR

⇒ (x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
⇒ 6x + 6x + 12y – 8y + 25 – 45 = 0
⇒ 12x + 4y – 20 = 0
⇒ 3x + y – 5 = 0
अतः x एवं y का अभीष्ट सम्बन्ध है : 3x + y – 5 = 0 है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

प्रश्न 1.
संलग्नआकृति 6.48 में PS कोण QPR कासमद्विभाजकहै। सिद्ध कीजिए \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P T}\) है।
हल :

ज्ञात है : ∆PQR में शीर्ष कोण ∠QPR का समद्विभाजक PS, आधार QR को S बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।
रचना : QP को आगे बढ़ाया। बिन्दु R से TR || PS रेखाखण्ड खींचा जो QP को बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करता है (देखिए आकृति 6.49)।
चूँकि PS || TR को QT तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠QPS = ∠PTR …(1)
चूँकि PS || TR को तिर्यक रेखा PR प्रतिच्छेद करती है।
⇒ ∠SPR = ∠PRT …(2)
[एकान्तर कोण हैं।]
⇒ ∠QPS = ∠SPR …(3)
⇒ [PS, ∠QPR का समद्विभाजक दिया है]
⇒ ∠PTR = ∠PRT [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
⇒ PT = PR …(4) [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं|
अब ∆QRT में, PS || TR

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 6.50 में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिन्दु है जबकि BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB. सिद्ध कीजिए कि :
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN.
हल :

चूँकि DMBN एक आयत है
[∠M = ∠B = ∠N = 90° दिया है]
⇒ DM = BN एवं DN = MB
(i) ∵ समकोण ∆BDC के समकोण वाले शीर्ष D से DM ⊥ CB खींचा गया है।
⇒ ∆DMC ~ ∆BMD [प्रमेय : 6.7 से]
⇒ \(\frac{D M}{M B}=\frac{M C}{D M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ DM² = MB.MC
⇒ DM² = DN.MC [∵ DN = MB समीकरण (1) से]
इति सिद्धम्

(ii) समकोण ∆ADB से समकोण वाले शीर्ष D से DN I AB खींचा गया है।
⇒ ∆DNB ~ ∆AND [प्रमेय : 6.7 से]
⇒ \(\frac{D N}{A N}=\frac{B N}{D N}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण से]
⇒ DN² = BN. AN
⇒ DN² = DM.AN. [∵ BN = DM समीकरण (1) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.51 में ABC एक त्रिभुज है, जिसमें ∠ABC > 90° है तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2 BC.BD है।
हल :

ज्ञात है : एक अधिक कोण ∆ABC, जिसका कोण B अधिक कोण है तथा AD ⊥ CB.
∵ समकोण ∆ADB में, ∠ADB में समकोण है
⇒ AD² + DB² = AB² …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆ADC में, ∠ADC समकोण है
⇒ AC² = AD² + DC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC² = AD² + (DB + BC)²
⇒ AC² = AD² + DB² + BC² + 2DB.BC …..(2)
⇒ AC² = AB² + BC² + 2DB.BC. [समीकरण (1) एवं (2) से)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.52 में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² BC² – 2BC.BD है।
हल :

ज्ञात है : एक न्यूनकोण ∆ABC, जिसका कोण B न्यूनकोण है तथा AD ⊥ BC.
∵ समकोण ∆ADB में, ∠ADB समकोण है
⇒ AD² + BD² = AB² …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆ADC में, ∠ADC समकोण है
⇒ AC² = AD² + DC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC² = AD² + (BC – BD)²
⇒ AC² = AD² + BC² + BD² – 2BC. BD
⇒ AC² = AD² + BD² + BC² – 2BC.BD …(2)
⇒ AC² = AB² + BC² – 2BC.BD. [समीकरण (1) और (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.53 में AD ∆ABC की माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि:
(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC² + AB² = 2AD² + \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC²
हल :

(i) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠AMD समकोण है
⇒ AM² + MD² = AD² …(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMC में, ∠AMC समकोण है
⇒ AC² = AM² + MC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AC² = AM² + (MD + DC)²
⇒ AC² = AM² + MD² + DC² + 2MD.DC
⇒ AC² = AMD + MD² + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) + BC.DM …(2)
[DC = \(\frac { BC }{ 2 }\) , BC = 2 DC]
⇒ AC² = AD² + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) + BC.DM [समीकरण (1) और (2)]
⇒ AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
इति सिद्धम्

(ii) ∵ समकोण ∆AMD में, ∠ADM समकोण है
⇒ AM² + MD² = AD² …(1)[पाइथागोरस प्रमेय से]
∵ समकोण ∆AMB में ∠AMB समकोण है
⇒ AB² = AM² + BM² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AB² = AM² + (BD – MD)²
⇒ AB² = AM² + BD² + MD² – 2BD.MD.
⇒ AB² = AM² + MD² – 2BD.DM + BD²
⇒ AB² = AM² + MD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) ….( 2 )
[2BD = BC ⇒ BD = \(\frac { BC }{ 2 }\) ]
⇒ AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
इति सिद्धम्

(iii) अधिककोण ∆ADC में,
चूँकि AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) …..(1)
[भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
एवं न्यूनकोण त्रिभुज ADB में,
चूँकि AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) …(2)
[भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं।
⇒ AC² + AB² = 2AD² + 2 \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC² + AB² = 2AD² + 2 \(\frac{B C^{2}}{4}\)
⇒ AC² + AB² = 2AD² + \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC²
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A से AE ⊥ BC एवं D से DF ⊥ BC खींचिए। ABCD के विकर्ण AC और BD हैं। यहाँ AEFD एक आयत है।
समकोण ∆AEB और ∆DFC में,
∵कर्ण AB = कर्ण DC
[समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ]
∵भुजा AE = भुजा DF [आयत की सम्मुख भुजाएँ हैं]
⇒ ∆AEB ≅ ∆DFC [RHS सर्वांगसमता]
⇒ BE = CF …(1) [CPCT]
अधिककोण ∆DCB में ∠DCB अधिककोण है
⇒BD² = BC² + CD² + 2BC.CF .(2)[अधिककोण उपप्रमेय से]
∵न्यूनकोण ∆ABC में ∠ABC न्यूनकोण है
⇒AC² = AB² + BC² – 2 BE.BC [न्यूनकोण उपप्रमेय से]
⇒AC² = AB² + DA² – 2 BC.CF …(3)
[∵ BE = CF समीकरण (1) तथा BC = AD समान्तर ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं।]
⇒AC² + BD² = AB² + DA² + BC² + CD²
[समीकरण (2) + समीकरण (3) से]
⇒AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + DA²
अतः किसी समान्तर चतुर्भुज में उसके विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.55 में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD , परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆APC ~ ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP.
हल :

(i) ∆APC और ∆DPB में,
∠ACP = ∠DBP [एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं]
∠CAP = ∠BDP [एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं]
∠APC = ∠DPB [शीर्षाभिमुख कोण हैं
∆APC ~ ∆DPB. [AAA समरूपता]
इति सिद्धम्

(ii) :.. ∆APC ~ ∆DPB. [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
\(\frac{A P}{D P}=\frac{C P}{B P}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण से]
AP.PB = CP.DP.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.56 में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆PAC ~ ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD
हल :

∵∠PCA + ∠ACD = 180° …(1) रैखिक युग्म है|
∵∠ACD + ∠ABD = 180° ….(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
⇒ ∠PCA = ∠ABD [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠PCA = ∠PBD …(3) [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]

(i) अब APAC एवं APDB में,
∵ ∠PCA = ∠PBD [समीकरण (3) से]
∵ ∠APC = ∠BPD [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं|
⇒∆PAC ~ ∆PDB. [AA समरूपता]
इति सिद्धम्

(iii) ∵ ∆PAC ~ ∆PDB [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ \(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 6.57 में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार है कि \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
हल :

दिया है : AABC की भुजा BC पर बिन्दु D इस प्रकार कि
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\) …(1)
रचना : AD को बढ़ाइए। CE || AD रेखा खींचिए जो AD को बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती है।
अब ∆ABD और ∆ECD में,

∠ABD = ∠ECD
[AB || CE एवं BD तिर्यक रेखा है।]
∠ADB = ∠EDC [शीर्षाभिमुख कोण है]
∆ABD ~ ∆ECD [AA समरूपता]
\(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{E C}\) …(2)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
\(\frac{A B}{A C}=\frac{A B}{E C}\)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ AC = EC
⇒ ∠CAD = ∠CED …(3) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
लेकिन ∠BAD = ∠CED …(4) [समरूप ∆ABD एवं ∆ECD के संगत कोण हैं|
∴ ∠BAD = ∠CAD [समीकरण (3) एवं (4) से]
अतः AD कोण BAC का समद्विभाजक है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
नाजिया एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। इसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी की सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिया से दूरी 3.6 m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिन्दु से उसकी दूरी 2.4 m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है। (देखिए संलग्न आकृति) यदि वह डोरी को 5 cm/s की दर से अन्दर खींचे, तो 12 सेकण्ड के बाद नाजिया की काँटे
से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

हल :

मान लीजिए कि नाजिया की प्रारम्भिक स्थिति P पर छड़ का सिरा Q पर, काँटे की स्थिति R पर तथा Q से PR पर डाले गये लम्ब के पाद की स्थिति M पर है (आकृति 6.60) । तब प्रश्नानुसार,
PR = 3.6, QM = 1.8 m एवं RM = 2.4 m
PM = PR – RM = 3.6 – 2.4 = 1.2 m
मान लीजिए कि डोरी की वर्तमान लम्बाई = l m तो समकोण ∆QMR में, ∠QMR समकोण है
QR² = RM² + QM² [पाइथागोरस प्रमेय से]
l² = (2.4)² + (1.8)²
= 5.76 + 3.24
= 9.00
l = √9 = 3 m
5 cm/s की चाल से 12 s में डोरी की लम्बाई में कमी
= 12 x 5
= 60 cm
= 0.6 m
डोरी की नई लम्बाई QS = 3.00 – 0.60
= 2.40 m
अब समकोण ∆QMS में, ∠QMS समकोण है
(SM)² = (QS)² – (QM)² [पाइथागोरस प्रमेय से]
(SM)² = (2.4)² – (1.8)²
= 5.76 – 3.24
= 2.52
SM = √2.52
= 1.59 m
नाजिया की काँटे से नवीन दूरी = SP = SM + MP
= 1.59 + 1.2
= 2.79 m
अतः नाजिया की काँटे से अभीष्ट दूरी = 2.79 m है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
हल :
अपरिमित रूप से अनेक।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ……. बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
2. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ………………….. कहते हैं।
3. एक वृत्त की ………………….. समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती है।
4. वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को …………………. कहते हैं।

हल :

1. केवल एक,
2. छेदक रेखा,
3. दो,
4. स्पर्श बिन्दु।

प्रश्न 3.
5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ ए की लम्बाई हैं :
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी।
हल :
(D) √119 सेमी।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
हल :

(1) किसी बिन्दु O को केन्द्र लेकर किसी त्रिज्या में एक वृत्त खींचा।
(2) वृत्त के केन्द्र O से OP ⊥ AB. (जहाँ AB एक दी गई रेखा है) खींचा जो वृत्त को बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करता है।
(3) R से होकर CD ⊥ OP एक रेखा खींची। यही जो CD || AB एक अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
(4) वृत्त के अन्दर OP के किसी बिन्दु Q से होकर EF ⊥ OP एक रेखा खींची जो वृत्त को क्रमशः G और H बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः रेखा EF वृत्त की अभीष्ट छेदक रेखा तथा CD अभीष्ट स्पर्श रेखा है जो दी गई रेखा AB के समान्तर है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

(निर्देश : प्रश्न संख्या 1, 2 एवं 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण लिखिए।)

प्रश्न 1.
एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या है :
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 245 cm.
हल :

अभीष्ट सही विकल्प (A) 7 cm है, क्योंकि आकृति 10.2 देखिए, जहाँ OQ = 25 cm एवं QT = 24 cm
त्रिज्या OT

(A) 7 cm

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 10.3 में यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ हैं:
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
हल :

अभीष्ट सही विकल्प (B) 70° है, क्योंकि ∠P = 90°,
∠Q = 90°, ∠O = 110°
तब
∠PTQ = 360° – 90° – 90° – 110°
= 360° – 290° = 70°.

प्रश्न 3.
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हैं तो ∠POA बराबर है :
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
हल :

अभीष्ट सही विकल्प (A) 50° है, क्योंकि (देखिए आकृति 10.4) ∠APB = 80° (दिया है)
चूँकि केन्द्र को बाह्य बिन्दु से मिलाने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण को समद्विभाजित करती है।
⇒∠OPA = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 80° = 40°
चूँकि OA ⊥ AP = ∠OAP = 90°
चूँकि ∠POA = 180° – ∠OAP – ∠OPA
= 180° – 90° – 40°
⇒∠POA = 180° – 130° = 50°.

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गयी स्पर्श-रेखाएँ समान्तर होती हैं। (2019)
हल :

माना लीजिए PQ एक O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है जिसके सिरों पर P और Q पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः AB एवं CD खींची गयी हैं।
चूँकि OP ⊥ AB [प्रमेय : 10.1]
∠OPB = 90° …(1)
चूँकि OQ ⊥ CD [प्रमेय : 10.1]
∠OQC = 90°
∠OPB + ∠OQC = 90° (एकान्तर कोण)
AB || CD
अतः, किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता हैं।
हल :

दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O है तथा इसकी एक स्पर्श
रेखा AB वृत्त को स्पर्श बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
QP ⊥ AB खींचा गया है।
सिद्ध करना है : PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है। मान लीजिए कि PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर नहीं जाता तो त्रिज्या OP को मिलाइए।
चूँकि OP ⊥ AB [प्रमेय 10.1 से]
लेकिन QP ⊥ AB दिया हुआ है]
चूँकि किसी रेखा के किसी बिन्दु पर एक ही ओर दो लम्ब नहीं हो सकते, इसलिए OP एवं QP संपाती हैं।
अतः, स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक बिन्दु A से जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm की दूरी पर है, वृत्त पर बिन्दु A से खींची स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :

O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर A कोई बिन्दु है। OA को मिलाया गया है तथा A से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा AP खींची गयी है। OP को मिलाया गया है।
यहाँ OA = 5 cm एवं AP = 4 cm दिए हैं। यहाँ
∠OPA = 90° अब समकोण ∆OPA में,
OP = \(\sqrt{(O A)^{2}-(A P)^{2}}\)
पाइथागोरस प्रमेय से,

= 3 cm
अतः, अभीष्ट त्रिज्या की लम्बाई 3 cm है।

प्रश्न 7.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
हल :

O केन्द्र वाले दो संकेन्द्री वृत्त दिए हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः OQ = 5 cm एवं OM = 3 cm हैं, जहाँ PQ बड़ी त्रिज्या वाले वृत्त की जीवा है तथा छोटी त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श बिन्दु M पर स्पर्श रेखा है।
OM ⊥ PQ = ∠OMQ = 90°.
[प्रमेय : 10.1]
P अब समकोण ∆OMQ में पाइथागोरस प्रमेय से,

= 4 cm
चूँकि PQ = 2MQ = 2 x 4 = 8 cm
[केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।]
अतः, अभीष्ट जीवा की लम्बाई 8 cm है।

प्रश्न 8.
एक वृत्त के परिमत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। (देखिए संलग्न आकृति : 10.9)। सिद्ध कीजिए कि: AB + CD = AD + BC.
हल :

एक दिए हुए वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD दिया है, के जो वृत्त को क्रमशः P, Q, R एवं S बिन्दुओं पर (चित्रानुसार) स्पर्श करता है।
चूँकि A से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ AS एवं AP हैं।
⇒ AP = AS …(1) [प्रमेय : 10.2 से]
चूँकि B से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ BP एवं BQ हैं :
⇒ BP = BQ …(2) [प्रमेय 10.2 से]
चूँकि C से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ CR एवं CQ हैं।
⇒ CR = CQ …(3) [प्रमेय 10.2 से]
चूँकि D से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ DS एवं DR है।
⇒ DR = DS …(4) [प्रमेय 10.2 से]
⇒ AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ
[समीकरण (1) + (2) + (3) + (4) से]
⇒ AB + CD = AD + BC. [चित्रानुसार]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 10.10 से XY तथा X’Y’ O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि: ∠AOB = 90 है।
हल :

चित्रानुसार स्पर्श रेखाएँ XY ||X’Y’ दिया है। रेखाखण्ड AB बिन्दु C पर स्पर्श रेखा है जो XY || X’Y’ को क्रमशः बिन्दु A एवं B पर प्रतिच्छेद कर रहा है।
चूँकि XY || X’Y’ को तिर्यक रेखा AB प्रतिच्छेद करती है।
∠XAB + ∠X’BA = 180° …(1) [एक ही ओर के अन्तः कोण है।]
चूँकि बाह्य बिन्दु A से दो स्पर्श रेखाएँ AX एवं AB हैं तथा AO द्वारा बाह्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाया गया है।
∠OAB = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠XAB …(2)
चूँकि बाह्य बिन्दु B से दो स्पर्श रेखाएँ BX’ एवं BA हैं तथा BO द्वारा बाह्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाया गया है।
∠OBA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠X’BA …(3)
∠OAB + ∠OBA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠X AB + \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠X’BA …(4)
[समीकरण (2) + (3) से]
∠OAB + ∠OBA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(∠XAB + ∠X’BA) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 180° = 90° …(5)
∵ ∠AOB + ∠OAB + ∠ORA = 180° …(6) [∆AOB के अन्त:कोण है]
∠AOB + 90° = 180° [समीकरण (5) एवं (6) से]
∠AOB = 180° – 90° = 90°
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गयी हैं। QR को मिलाया गया है तथा QR वृत्त के केन्द्र पर ∠QOR बनाती है। रचना : OP को मिलाइए (देखिए आकृति : 10.11)
समकोण ∆OQP में, ∠OOP = 90° (समकोण है)
⇒∠QOP + ∠QPO = 90° …(1)
समकोण ∆ORP में, ∠ORP = 90° (समकोण)
⇒∠ROP + ∠RPO = 90° ….(2)
⇒∠QOP + ∠ROP + ∠QPO + ∠RPO = 90° + 90° = 180°
[समीकरण (1) + (2) से ]
⇒∠OOR + ∠QPR = 180°
(सम्पूरक कोण हैं)
अतः बाह्य बिन्द से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज किसी O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत दिया हुआ है। इसकी भुजाएँ AB, BC, CD एवं DA क्रमशः वृत्त को बिन्दुओं P, Q, R एवं S पर स्पर्श करती हैं OA, OB, OC एवं OD को मिलाया (देखिए आकृति 10.12)। चूँकि वृत्त के बाह्य बिन्दु A से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ AB एवं AD हैं तथा A को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा AO है
∠BAO = ∠DAO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠BAD …(1)
चूँकि वृत्त के बाह्य बिन्दु B से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ BA एवं BC हैं तथा B को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा BO हैं।
∠ABO = ∠CBO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠ABC ….(2)
∠BAO + ∠ABO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠BAD + \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠ABC …(3) [समीकरण (1) + (2) से]
लेकिन ∠BAD + ∠ABC = 180° …(4) [समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण हैं]
∠BAO + ∠ABO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(∠BAD + ∠ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 180° = 90° …(5)
[समीकरण (3) एवं समीकरण (4) से]
∆ABO में, ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180° …(6) [त्रिभुज ABO के अन्त:कोण है]
∠AOB = 90° [समीकरण (6) – समीकरण (5) से]
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि
∠BOC = 90°, ∠COD = 90° एवं ∠DOA = 90°
∠AOB + ∠BOC = 180° एवं ∠AOB + ∠AOD = 180° जो रैखिक युग्म है।
AC एवं BD सरल रेखाएँ हैं।
चूँकि AC एवं BD समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिमत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। (देखिए आकृति 10.13) भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि O केन्द्र वाले एवं 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC है जिसकी भुजाएँ BC, CA एवं AB वृत्त के क्रमश: D, E एवं F बिन्दुओं पर स्पर्श करती है। CD = 6 cm एवं DB = 8 cm है, OD, OE एवं OF तथा OA, OB एवं OC को मिलाइए। चूँकि OD = OE = OF = 4 cm …(1) (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
CE = CD = 6 cm एवं BD = BF = 8 cm ; AE = AF = x cm (मान लीजिए)
अब AB = AF + BF = (x + 8) cm, AC = AE + CE = (x + 6) cm
एवं BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 cm

ar (∆OBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × BC × OD
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × 14 × 4
= 28 cm²
ar (∆OCA) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × CA × OE
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (x + 6) × 4
= (2x + 12) cm²
एवं ar (∆OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AB × OF
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) × (x + 8) × 4
= (2x + 16) cm²
ar (∆ABC) = ar (OBC) + ar (OCA) + ar (OAB)
ar (∆ABC) = 28 cm² + (2x + 12) cm² + (2x + 16) cm²
ar (∆ABC) = (4x + 56) cm² …(1)
\(s=\frac{A B+B C+C A}{2}=\frac{(x+8)+14+(x+6)}{2}\)
= (x + 14) cm
अब हीरो के सूत्र से,

⇒ (x + 14)² = 3x² + 42x
⇒ x² + 28x + 196 = 3x² + 42x
⇒ 2x² + 14x – 196 = 0
⇒ x² + 7x – 98 = 0
⇒ x² + 14x – 7x – 98 = 0
⇒ x (x + 14) – 7 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 7) = 0
या तो x + 14 = 0 तब x = – 14
(दूरियाँ ऋणात्मक नहीं होती, अत: यह असम्भव है।
अथवा x – 7 = 0 ⇒ x = 7
⇒ AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm
एवं AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm
अतः, त्रिभुज की भुजाओं AB एवं AC के अभीष्ट मान क्रमश: 15 cm एवं 13 cm हैं।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल :

मान लीजिए कि O केन्द्र वाले वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज ABCD है। OA, OB, OC एवं OD को मिलाया गया है। (देखिए आकृति 10.15)
चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ वृत्त को P, Q, R एवं S पर स्पर्श करती हैं। चूँकि बाह्य बिन्दु D से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाखण्ड DA एवं DC हैं तथा DO बिन्दु D को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा है।
चूँकि DO, ∠ADC की समद्विभाजक है।
∠CDO = ∠ADO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠D …..(1)
इसी प्रकार ∠DAO = ∠BAO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠A ….(2)
∠ABO = ∠CBO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠B …(3)
∠BCO = ∠DCO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠C …..(4)
चूँकि ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° [चतुर्भुज के अन्त:कोण हैं]
⇒\(\frac { 1 }{ 2 }\)∠A + \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠B + \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠C + \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠D = 180° ….(5)
∵∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180° …(6)[ADOC के अन्त:कोण है]
⇒∠DOC + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠D + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠C = 180° …(7)
[समीकरण (1) एवं (4) से मान रखने पर]
∵∠AOB + ∠ABO + ∠BAO = 180° …(8)[AAOB के अन्त:कोण हैं]
⇒∠AOB + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠B + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠A = 180° …(9)
[समीकरण (2) एवं (3) से मान रखने पर]
⇒∠DOC + ∠AOB + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠A + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠B + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠C + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠D = 360° …(10)
[समीकरण (7) + (9) से]
⇒∠DOC + ∠AOB = 180°[समीकरण (10)- समीकरण (5) से]
अतः, वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 6 cm, ∠A = 30° तथा ∠B = 60° हो। एक अन्य त्रिभुज AB’C’ की रचना कीजिए जो कि त्रिभुज ABC के समरूप हो तथा जिसका आधार AB’ = 8 cm हो।
हल :

रचना के पद :

1. एक किरण AP खींचिए।
2. किरण AP से AB = 6 cm का रेखाखण्ड काटिए।
3. बिन्दु A पर ∠QAP = 30° का कोण बनाते हुए किरण AQ खींचिए।
4. बिन्दु B पर ∠ABR = 60° का कोण बनाते हुए किरण BR खींचिए जो किरण AQ को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करती है। यही अभीष्ट ∆ABC है।
5. किरण AP से AB’ = 8 cm का रेखाखण्ड काटिए।
6. B’ पर ∠AB’S = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण B’S खींचिए जो किरण AQ को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है। यही ∆AB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें भुजा BC = 7 cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° हों। तब एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हों।
हल :

एक त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसमें भुजा BC = 7 cm, ∠B = 45° एवं ∠A = 105°; अतः ∠C = 180° – (45° + 105°) = 30° एक अन्य समरूप A की रचना भी करनी है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हैं।
रचना के पद :

1. BC = 7 cm का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. B पर ∠CBY = 45° का कोण बनाते हुए एक किरण BY खींचिए।
3. C पर ∠BCZ = 30° का कोण बनाते हुए एक किरण CZ खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। यही अभीष्ट त्रिभुज ABC है।
4. रेखाखण्ड BC से BC’ = \(\frac { 3 }{ 4 }\) BC काटिए।
5. C’ से CT || CA एक किरण खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर काटती है। यही ∆A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। उस वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जिनके बीच का कोण 60° का हो।
हल :

एक वृत्त (O, 4 cm) की रचना करके इस पर दो स्पर्श रेखाएँ PR एवं QR इस प्रकार खींचनी हैं कि ∠PRQ = 60°
चूँकि ∠XOP = ∠XOQ
= 90° – 30°
= 60°
रचना के पद :

1. एक किरण OX खींचिए।
2. O को केन्द्र लेकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
3. OX के साथ ∠XOY = 60° का कोण बनाते हुए किरण OY तथा ∠XOZ = 60° का कोण बनाते हुए किरण OZ खींचिए जो वृत्त को क्रमश: P एवं Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
4. बिन्दु P पर ∠OPT = 90° का कोण बनाते हुए किरण PT खींचिए जो किरण OX को बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है।
5. QR को मिलाइए। यही PR एवं QR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज ABCD दिया है जिसमें AB = 4 cm एवं ∠ABC = 60°. इस समचतुर्भुज को दो त्रिभुजों ABC एवं ADC में विभाजित कीजिए। त्रिभुज ABC के समरूप त्रिभुज AB’C की संरचना कीजिए जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है। CD के समान्तर एक रेखाखण्ड C’D’ खींचिए जहाँ D’ रेखाखण्ड AD पर प्रतिच्छेद करता है। क्या AB’C’D’ एक समचतुर्भुज है।
हल :

1. एक किरण AX खींचिए।
2. AX किरण से AB = 4 cm की त्रिज्या का एक चाप खींचिए जो किरण AX को बिन्दु B पर काटता है।
3. बिन्दु B पर ∠ABY = 60° का कोण बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. किरण BY से BC = 4 cm की त्रिज्या का एक चाप खींचिए, जो BY को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।
5. बिन्दु A एवं C को केन्द्र लेकर 4 cm त्रिज्या के चाप खीचिएा जो परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
6. बिन्दु D को बिन्दु A एवं C से मिलाइए।
7. AC को मिलाइए। इस प्रकार दिए हुए समचतुर्भुज ABCD दो त्रिभुजों ABC एवं ADC में विभाजित हो जाता है।
8. AB के बिन्दु B’ पर AB’ : AB = 2 : 3 अर्थात् AB’ : B’B = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित कीजिए।
9. B’ से B’C’ || BC रेखाखण्ड खींचिए जो AC को C’ पर प्रतिच्छेद करता है। यही AB’C’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
10. अब C’D’ || CD रेखाखण्ड खींचिए जो AD को बिन्दु D’ पर प्रतिच्छेद करता है।

हाँ ₹AB’C’D’ एक समचतुर्भुज है, क्योंक AB’ = B’C’ = CD’ = D’A = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
\(\frac{A B^{\prime}}{A B}=\frac{B^{\prime} C^{\prime}}{B C}=\frac{C^{\prime} D^{\prime}}{C D}=\frac{D^{\prime} A}{D A}=\frac{2}{3}\)
AB = BC = CD = DA . [समचतुर्भुज की भुजाएँ]
AB’ = B’C’ = C’D’ = D’A.

प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें BC = 5 cm, AB = 3 cm एवं ∠ABC = 60°। इसको विकर्ण BD द्वारा ∆BCD एवं ∆ABD में विभाजित कीजिए। ∆BDC के समरूप ∆BD’C’ की रचना स्केल गुणक \(\frac { 4 }{ 3 }\) के साथ कीजिए। DA के समान्तर एक रेखाखण्ड D’A’ खींचिए, जहाँ A’ भुजा BA को बढ़ाने पर उस पर स्थित हो। क्या A’BC’D’ एक समान्तर चतुर्भुज है?
हल :

1. एक किरण BP खींचिए।
2. किरण BP में से BC = 5 cm का रेखाखण्ड काटिए।
3. B पर CBQ = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BQ खींचिए।
4. BQ में से BA = 3 cm का रेखाखण्ड काटिए।
5. बिन्दु A से 5 cm एवं बिन्दु C से 3 cm की त्रिज्याएँ लेकर चाप कीजिए जो परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते हैं। AD एवं CD को मिलाइए। किरण BDR खींचिए।
   यही ABCD अभीष्ट समान्तर चतुर्भुज एवं ∆BCD तथा ∆BAD उसके दो विभाजन हैं।
6. किरण BP में से BC’ : BC = 4 : 3 में रेखाखण्ड काटिए।
7. C’D’ || CD रेखाखण्ड खींचिए जो किरण BR को बिन्दु D’ पर प्रतिच्छेद करता है।
   यही ∆BC’D’, ∆BCD के समरूप है अभीष्ट त्रिभुज है।।
8. D’A’ || DA खींचिए जो किरण BQ को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।
   हाँ ₹A’BC’D’ एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंक A’B || D’C’ एवं A’D’ || BC’.

प्रश्न 6.
3 cm एवं 5 cm त्रिज्याओं के दो संकेन्द्रीय वृत्त खींचिए। बाह्य वृत्त पर कोई बिन्दु लेकर अन्तः वृत्त पर उससे दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए। एक स्पर्श रेखा की लम्बाई का मापन कीजिए तथा वास्तविक गणना द्वारा उसकी पुष्टि कीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. O को केन्द्र लेकर क्रमश: 3 cm एवं 5 cm की त्रिज्याएँ लेकर दो संकेन्द्री वृत्त खींचिए।
2. बाह्य वृत्त पर कोई बिन्दु P लीजिए और PO को मिलाइए।
3. PO का मध्य-बिन्दु S ज्ञात कीजिए।
4. S को केन्द्र लेकर SO की दूरी के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो अन्त:वृत्त को Q एवं R बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PR एवं PQ को मिलाइए। यही PR एवं PQ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
6. PQ को मापिए। इसका मान मापने पर = 4 cm आता है।
7. OQ को मिलाइए। ∠OQP समकोण है। [अर्द्धवृत्त का कोण]

अब समकोण ∆OQP में पाइथागोरस प्रमेय से,
PQ = \(\sqrt{O P^{2}-O Q^{2}}=\sqrt{(5)^{2}-(3)^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}\)
= 4 cm
[जहाँ OP = 5 एवं OQ = 3 त्रिज्याएँ दी हैं।]
अतः स्पर्श रेखा PQ की अभीष्ट लम्बाई = 4 cm है जिसकी वास्तविक गणना द्वारा पुष्टि होती हैं।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 5 cm, BC = 6 cm एवं ∠ABC = 60° ∆ABC के समरूप स्केल गुणक \(\frac { 5 }{ 7 }\) के साथ एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए।
हल :

1. एक किरण BX खींचिए तथा BC = 6 cm का रेखाखण्ड काटिए।
2. बिन्दु B पर ∠CBY = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BY खींचिए।
3. किरण BY में से BA = 5 cm का रेखाखण्ड काटिए जो किरण BY को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करता है।
4. AC को मिलाइए।
   यही ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
5. BC को BC’ : BC = 5 : 7 अर्थात BC’ : C’C = 5 : 2 के अनुपात में विभाजित कीजिए।
6. C’ से C’A’ || CA रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।
   यही ∆A’BC’ ~ ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 5 }{ 7 }\) है।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें AB = 4 cm, BC = 6 cm एवं AC = 9 cm. ∆ABC के समरूप स्केल गुणक \(\frac { 3 }{ 2 }\) के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए। अपनी रचना की पुष्टि कीजिए। क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं जबकि तीनों कोण एवं दो भुजाएँ दोनों त्रिभुजों में बराबर हैं।
हल :

1. एक किरण BX खींचिए।
2. किरण BX में से एक रेखाखण्ड BC = 6 cm काटिए।
3. B को केन्द्र लेकर AB = 4 cm एवं C को केन्द्र लेकर AC = 9 cm की त्रिज्याओं से चाप खींचिए जो एक-दूसरे को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4. BA को मिलाइए और Y तक बढ़ाइए तथा C को मिलाइए।
5. BX किरण से एक रेखाखण्ड CC’ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC काटिए ताकि BC : CC’ = 2 : 1 अर्थात् BC’ : BC = 3 : 2 हो जाए।
6. C’ से C’A’ || CA खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।

यही ∆A’BC ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक में \(\frac { 3 }{ 2 }\) है पुष्टि ∆A’CC’ में AC || A’C’ तथा BC’/BC = \(\frac { 3 }{ 2 }\) है।
∆A’BC’ ~ ∆ABC एवं स्केल गुणक 3/2 है। \(\Delta A^{\prime} B C \neq \Delta A B C\) क्योंकि संगत भुजाए बराबर नहीं बल्कि 3 : 2 के समानुपाती हैं।

प्रश्न 9.
एक समकोण ∆ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 12 cm, AB = 5 cm एवं ∠B = 90°.इस त्रिभुज के समरूप अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) हो। क्या नया त्रिभुज भी समकोण त्रिभुज है?
हल :

1. एक किरण BX खींचिए।
2. किरण BX से रेखाखण्ड BC = 12 cm काटिए।
3. बिन्दु B पर ∠CBY = 90° का कोण बनाते हुए एक किरण BY खींचिए।
4. किरण BY से AB = 5 cm का रेखाखण्ड काटिए।
5. AC को मिलाइए।
6. किरण BX से रेखाखण्ड BC’ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) BC काटिए।
7. C’ से A’C’ || AC खींचिए।
   यही ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है तथा ∠A’BC’ भी समकोण हैं।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 6 cm, CA = 5 cm एवं AB = 4 cm। इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक \(\frac { 5 }{ 3 }\) है।
हल :

1. एक किरण BX खींचिए।
2. किरण BX में से BC = 6 cm का रेखाखण्ड काटिए।
3. B को केन्द्र लेकर AB = 4 cm एवं C को केन्द्र लेकर AC = 5 cm की त्रिज्या लेकर चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4. CA को मिलाइए तथा BA की मिलाते हुए किरण BY खींचिए।
5. किरण BX में से BC’ = \(\frac { 5 }{ 3 }\)BC रेखाखण्ड काटिए।
6. बिन्दु C’ से A’C’ || AC खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।
   यही ∆A’BC’ ~ ∆ABC अभीष्ट त्रिभुज है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 5 }{ 3 }\) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7 cm लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए। इस पर एक बिन्दु P इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि यह रेखाखण्ड को 3 : 5 के अनुपात में विभाजित करता हो।
हल :

1. एक रेखाखण्ड BC = 7 cm खींचिए।
2. बिन्दु B पर नीचे की ओर न्यूनकोण ∠CBX = θ बनाते हुए किरण BX खींचिए।
3. बिन्दु C पर ऊपर की ओर ∠BCY = θ बनाते हुए किरण CY खींचिए।
4. किरण BX से BB1 = B1B2 = B2B3 रेखाखण्ड काटिए तथा किरण CY से BB1 = CC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C5 काटिए।
5. B3 को C5 से मिलाइए जो BC को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है।
   यही अभीष्ट बिन्दु P है जो रेखाखण्ड को 3:5 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त पर उसके केन्द्र से 6 cm की दूरी पर स्थित बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :

1. रेखाखण्ड OP = 6 cm खींचिए।
2. O को केन्द्र लेकर OM = 4 cm की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
3. OP को बिन्दु N पर समद्विभाजित कीजिए।
4. N को केन्द्र लेकर ON के बराबर दूरी की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को बिन्दु Q एवं R पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PQ एवं PR को मिलाइए। यही PQ एवं PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्न में सत्य/असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए।

प्रश्न 1.
एक रेखाखण्ड को ज्यामितीय विधि से दो रेखाखण्डों में (2 + √3) : (2 – √3) के अनुपात में विभाजित किया जा सकता है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि (2 + √3) : (2 – √3) को सरल करने पर (7 + 4√3):1 प्राप्त होता है है जिसमें 1 तो धनात्मक पूर्णांक है लेकिन (7 + 4√3) धनात्मक पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 2.
ज्यामितीय विधि से यह सम्भव है कि किसी रेखाखण्ड को \(\sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}\) के अनुपात में विभाजित किया जा सकता है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि \(\sqrt{3} : \frac{1}{\sqrt{3}}\) अनुपात को सरल करने पर 3 : 1 का अनुपात होता है, जहाँ 3 एवं 1 दोनों धनपूर्णांक हैं।

प्रश्न 3.
एक ∆ABC के समरूप एक अन्य त्रिभुज में जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 7 }{ 3 }\) हों, BC के बिन्दु B पर A के विपरीत नीचे की ओर एक न्यूनकोण बनाते किरण BX खींचिए BX पर BC के सापेक्ष बिन्दु B1, B2, ….., B7 बराबर-बराबर दूरी अंकित कीजिए। B3 को C से मिलाइए तब एक रेखाखण्ड B6C’ || B3C खींचिए जहाँ C’BC को बढ़ाने पर उसको मिलता है। अन्त में रेखाखण्ड A’C’ || AC खींचिए।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि B7C’ || B3C खींचनी है।

प्रश्न 4.
3.5 cm त्रिज्या के एक वृत्त के केन्द्र से 3 cm की दूरी पर स्थित बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दु वृत्त के अन्दर है जिससे वृत्त पर कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

प्रश्न 5.
किसी वृत्त पर परस्पर 170° पर झुकी दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि उनका झुकाव 180° से कम है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 11 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए पहले किरण AX इस प्रकार खींची जाती है कि ∠BAX एक न्यूनकोण हो तथा बराबर दूरियों पर AX बिन्दु अंकित किए गए इस प्रकार कि इन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या होगी :
(a) 8
(b) 10
(c) 11
(d) 12.
उत्तर:
(d) 12.

प्रश्न 2.
एक रेखाखण्ड AB को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए सबसे पहले ∠BAX एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण AX खींचिए। फिर AX पर बराबर-बराबर दूरियों पर बिन्दु A₁, A₂, A₃, …… अंकित किए। बिन्दु B को मिलाया जायेगा :
(a) A₁₂
(b) A₁₁
(c) A₁₀
(d) A₉
उत्तर:
(b) A₁₁

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए न्यूनकोण ∠BAX बनाते हुए किरण AX खींची एवं दूसरी किरण BY || AX खींची और AX एवं BY किरणों पर बराबर-बराबर दूरियों पर A₁, A₂, A₃, …… एवं B₁, B₂, B₃, …… क्रमशः अंकित किए तब मिलाए गए बिन्दु हैं :
(a) A₅ एवं B₆
(b) A₆ एवं B₅
(c) A₄ एवं B₄
(d) A₅ एवं B₄
उत्तर:
(a) A₅ एवं B₆

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ∆ABC के समरूप त्रिभुज जिसकी भुजाएँ क्रमशः ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 7 }\) हों, की रचना करने के लिए न्यूनकोण ∠CBX इस प्रकार बनाते हुए किरण BX खींचिए कि X बिन्दु BC के सापेक्ष AB के विपरीत दिशा में हो। तब किरण BX पर बराबर-बराबर दूरियों पर क्रमशः बिन्दु B₁, B₂, B₃, …… अंकित किए और अगला चरण निम्न बिन्दुओं को जोड़ेगा :
(a) B₁₀ से C
(b) B₃ से C
(c) B₇ से C
(d) B₄ से C.
उत्तर:
(c) B₇ से C

प्रश्न 5.
∆ABC के समरूप ऐसे त्रिभुज की रचना करने के लिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 8 }{ 5 }\) हो एक किरण BX इस प्रकार खींचिए कि ∠CBX.एक न्यूनकोण हो तथा X बिन्दु BC के सापेक्ष AB के विपरीत दिशा में स्थित हो तब किरण BX पर बराबर-बराबर दूरियों पर बिन्दु अंकित कीजिए। इन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या होगी :
(a) 5
(b) 8
(c) 13
(d) 3.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 6.
एक वृत्त पर किसी बाह्य बिन्दु से दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचने के लिए कि उनके बीच कोण 60° हो। यह आवश्यक है कि उन दो त्रिज्याओं के अन्त्य बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाएँ जिनके बीच का कोण है :
(a) 135°
(b) 90°
(c) 60°
(d) 12°.
उत्तर:
(d) 12°.

प्रश्न 7.
किसी रेखाखण्ड AB को p:q के अनुपात में (जहाँ p एवं q धनात्मक पूर्णांक हैं) विभाजित करने के लिए एक न्यूनकोण ∠BAX बनाते हुए एक किरण AX खींचिए तब किरण AX पर बराबर-बराबर दूरियों पर बिन्दु इस प्रकार अंकित करने होंगे कि उन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या m होगी:
(a) m > p + q
(b) m = p + q
(c) m = p + q – 1
(d) m = pq.
उत्तर:
(b) m = p + q

प्रश्न 8.
किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ जो परस्पर 35° पर झुकी हों, खींचने के लिए यह आश्यक है कि उन त्रिज्याओं के अन्त्य बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाए जिनके बीच का कोण हो :
(a) 105°
(b) 70°
(c) 140°
(d) 145°.
उत्तर:
(d) 145°.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5

ज्ञातव्य – यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।

प्रश्न 1.
व्यास 3 mm वाले ताँबे के एक तार को 12 cm लम्बे और 10 cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्रपृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लम्बाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm³ है।
हल :
मान लीजिए बेलन की ऊँचाई h = 12 cm एवं व्यास D = 10 cm तथा तार का व्यास d = 2r = 3 mm = 0.3 cm ⇒ r = 0.15 cm
चूँकि बेलन का वक्रपृष्ठ = πDh = 3.14 x 10 x 12 cm²
S_c = 376.8 cm²
मान लीजिए तार की लम्बाई l है, जो बेलन को पूर्णतया ढक लेती है।

अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 1256 cm है।
चूँकि तार का आयतन = πr²l
⇒ V = 3.14 x (0.15)² x 1256
ताँबे का आयतन V = 88.74 cm³
ताँबे का घनत्व = 8.88 g/cm³ (दिया है)
चूँकि तार का द्रव्यमान = तार का आयतन x ताँबे का घनत्व
⇒ M = 88.74 x 8.88
= 788 g (लगभग)
अतः, ताँबे का अभीष्ट द्रव्यमान = 788 g (लगभग) है।

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त) को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि शंकु (double cone) के आयतन एवं पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π का मान जो भी उपयुक्त लगे प्रयोग कीजिए)।
हल :

मान लीजिए कि ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें AB = 4cm एवं BC = 3 cm दिए हैं तथा ∆ABC को कर्ण AC के परितः घुमाया गया है जिसमें दो शंकु प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए AO = h cm
(देखिए संलग्न आकृति)
समकोण ∆ABC में, \(A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}\)
(पाइथागोरस प्रमेय से)
\(A C=\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{16+9}\)
= √25
= 5 cm
चूँकि AO = h माना गया है। OC = (5 – h) cm
चूँकि ₹ABCB’ के ∠ABC + ∠AB’C = 180°
⇒ चतुर्भुज ABCB’ एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसकी जीवा AC, जीवा BB’ का लम्ब समद्विभाजक हैं।
[ ∆AB’B एक समद्विबाहु ∆ है तथा AC शीर्ष लम्ब है।]
OB’ = OB = r (मान लीजिए)
OB’ x OB = AO x OC
⇒ r² = h x (5 – h) ….(1)
समकोण ∆AOB में पाइथागोरस प्रमेय से,
OB² = AB² – AO²
r² = (4)² – (h)² ….(2)
एवं समकोण ∆BOC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OB² = BC² – OC²
r² = (3)² – (5 – h)² …(3)
⇒ (3)² – (5 – h)² = (4)² – (h)²
[समीकरण (2) एवं (3) से]
⇒ 9 – (25 – 10h + h²) = 16 – h²
⇒ 9 – 25 + 10h – h² = 16 – h²
⇒ 10h = 16 + 25 – 9 = 32
⇒ h = \(\frac { 32 }{ 10 }\) = 3.2 cm
⇒ h² = (4)² – (3.2)²
= 16 – 10.24
= 5.76 ….(4)
⇒ r = √5.76
= 2.4 cm
चूँकि द्विशंकु का आयतन

एवं द्विशंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl₁ + πrl₂
S_w = πr(l₁ + l₂) = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.4 x (4 + 3)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.4 x 7
= 52.8 cm²
अतः, द्विशंकु का अभीष्ट आयतन = 30.17 cm³
एवं उसका अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 52.8 cm² है।

प्रश्न 3.
एक टंकी जिसका आन्तरिक मापन 150 cm x 120 cm x 110 cm है, में 129600 cm³ पानी है। इस पानी में कुछ छिद्रों वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक न भर जाये। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac { 1 }{ 17 }\) पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5 cm x 7.5 cm x 6.5 cm है, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे।
हल :
मान लीजिए कि टंकी में n ईंटें डाली जा सकती है। टंकी में पानी का आयतन = 129600 cm²
टंकी का आयतन V = 150 x 120 x 110
= 19,80,000 cm³.
n ईंटों का आयतन = n x 22.5 x 7.5 x 6.5.
= 1096.875 n cm³.
n ईंटों द्वारा सोखे गए पानी का आयतन = \(=\frac{1096 \cdot 875 n}{17} \mathrm{cm}^{3}\)
= 64.522 n cm³.
प्रश्नानुसार, टंकी का आयतन = ईंटों का आयतन + जल का आयतन – ईंटों द्वारा गए जल का आयतन
1980000 = 1096.875 n+ 129600 – 64.522 n
1096.875 n – 64.522 n = 1980000 – 129600
1032.353 n = 1850400
\(n=\frac{1850400}{1032 \cdot 353}=1792 \cdot 41\)
= 1792
ईंटें। अतः, ईंटों की अभीष्ट संख्या = 1792 है।

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 7280 km² है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लम्बी, 75 m चौड़ी और 3 m गहरी है।
हल :
मान लीजिए कि वर्षा के जल के तल की ऊँचाई x = 10 cm = \(\frac{10}{1,00,000}\) km एवं घाटी का क्षेत्रफल A = 7280 km². नदी की लम्बाई l = 1072 km, चौड़ाई b = 75 m = 0.075 km
एवं ऊँचाई (गहराई) h = 3 m = 0.003 km
तथा नदियों की संख्या n = 3.
वर्षा के जल का आयतन V₁ = \(A \times x=\frac{7280 \times 10}{1,00,000}\)
V₁ = 0.72800 km³
तीनों नदियों का आयतन = n × l × b × h
V₂ = 3 × 1072 × 0.075 × 0.003
V₂ = 0.7236 km³.
अतः, वर्षा के जल का आयतन लगभग तीनों नदियों के जल के आयतन के योग के बराबर है।

प्रश्न 5.
टीन की बनी एक तेल की कुप्पी 10 cm लम्बे बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22 cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 cm और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 cm है, तो इसके बनने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए संलग्न आकृति)।
हल :

मानलीजिए एकटीन की बनी तेल की कुप्पी h₁ = 10cm लम्बे एक बेलन जिसका व्यास d₁ = 2r₁ = 8 cm ⇒ r₁ = \(\frac { 8 }{ 2 }\) cm = 4 cm है पर एक शंकु छिन्नक जिसका ऊपरी व्यास d₂ = 2r₂ = 18 cm
r2 = \(\frac { 18 }{ 2 }\) = 9 cm से मिलकर बनी है। कुप्पी की कुल ऊँचाई h = 22 cm है, तो शंकु-छिन्नक की ऊँचाई h₂ = h – h₁ = 22 – 10 = 12 cm है। सुविधा हेतु कुप्पी के शंकु-छिन्नक को संलग्न चित्र में दिखाया गया है।

मान लीजिए शंकु-छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l cm है। आकृति के अनुसार, समकोण ∆PQR में ∠PQR = 90°, PQ = h2 = 12 cm एवं RQ = \(\frac{18-8}{2}=\frac{10}{2}=5 \mathrm{cm}\)
अब समकोण ∆POR में पाइथागोरस प्रमेय से,

अब कुप्पी का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c = 2πr₁h₁ + πl(r₁ + r₂)
= 2 × π × 4 × 10 + π × 13 (4 + 9)
= 80π + 169π
= 249π
= 249 × \(\frac { 22 }{ 7 }\)
= \(\frac{5478}{7}=782 \frac{4}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः, कुप्पी को बनाने के लिए आवश्यक टीन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(782 \frac{4}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
शंकु के एक छिन्नक के लिए पूर्व स्पष्ट किए गए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के उन सूत्रों को सिद्ध कीजिए जो अनुच्छेद 13.5 में दिए गए हैं, जो कि निम्न प्रकार हैं
(i) शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_c = π(r₁ + r₂)l जहाँ \(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
(ii) शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_W = π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₂² जहाँ \(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
हल :

(i) मान लीजिए शंकु-छिन्नक के दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: NR = r₁ एवं MP = r₂ मात्रक तथा उनके बीच की दूरी (शंकु-छिन्नक की ऊँचाई)
= h मात्रक है = MN
P से RN पर PQ ⊥ RN डालिए। अब MNQP
एक आयत है। जिसमें PQ = MN = h मात्रक एवं QN = PM = r₂ मात्रक है।
RQ = RN – QN
= (r₁ – r₂) मात्रक
मान लीजिए PR = छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई
= l मात्रक
समकोण ∆PQR में पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = PQ² + RQ²
l² = h² + (r1 – ri)
\(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)

यदि हम छिन्नक के वक्र पृष्ठ को एक खड़ी रेखाखण्ड के द्वारा काटकर खोल दें तो हमको एक समलम्ब चतुर्भुज प्राप्त होगा जिसमें दोनों समान्तर रेखाओं के मान क्रमश: AB = a = 2πr₁ तथा CD = b = 2πr₂ होंगे तथा बीच की दूरी = l मात्रक (देखिए संलग्न आकृति) हम जानते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल \(=\frac{l(a+b)}{2}\)
\(S_{c}=l\left(\frac{2 \pi r_{1}+2 \pi r_{2}}{2}\right)\)
S_c = πl(r₁ + r₂)

(ii) जहाँ \(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
एवं सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + दोनों वृत्ताकार सिरों का क्षेत्रफल
S_w = S_c + πr₁² + πr₂²
S_w = πl(r₁ + r₂) + πr₁² + π₂²
\(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का वह सूत्र सिद्ध कीजिए, जो अनुच्छेद 13.5 में दिया गया है, जो निम्न प्रकार है : आयतन \(\boldsymbol{V}=\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)\)
हल :

मान लीजिए शंकु छिन्नक के वृत्ताकार फलकों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ एवं r₂ है जहाँ r₁ > r₂ एवं उसकी ऊँचाई (दोनों फलकों के बीच की दूरी) = h मात्रक है। उस शंक को पूरा कीजिए जिसका यह छिन्नक भाग है।
मान लीजिए शंकु की ऊर्ध्वाधर काट PQR हैं तथा ST|| QR है एवं छोटे शंकु का शीर्ष लम्ब PM =x मात्रक है, तो बड़े शंकु का शीर्ष लम्ब PN = PM + MN
= (x + h) मात्रक
समकोण ∆PNQ में SM || QN है।
∆PMS ~ ∆PNQ

छिन्नक का आयतन = बड़े शंकु का आयतन – छोटे शंकु का आयतन

[समीकरण (1) सेx का मान (2) में रखने पर]

इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cosec θ + cot θ = p, तो सिद्ध कीजिए कि \(\cos \theta=\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)
हल :
\(\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)


इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}=\tan \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= tan θ + cot θ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\sec \theta+\tan \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = \(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\) = RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta\)
हल :
LHS =

= secθ – tanθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\csc \theta-\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ – cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}=\csc \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ + cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{1+\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{2}{\sin A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{\tan A}{1+\sec A}-\frac{\tan A}{1-\sec A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
यदि tanA = 3/4 तो सिद्ध कीजिए कि sin A cos A = \(\frac { 12 }{ 25 }\)
हल :
चूँकि tan A = 3/4 = p/b
p = 3 एवं b = 4
⇒ \(h=\sqrt{p^{2}+b^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
L.H.S. = sin A. cos A = \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}\)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि:
(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α.
हल:
L.H.S. = (sin α + cos α) (tan α + cot α)


LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि : (√3 + 1) (3 – cot 30°) = tan³ 60° – 2 sin 60°.
हल:
L.H.S. = (√3 +1) (3 – cot 30°)
= (√3 + 1) (3 – √3)
= 3 √3 – 3 + 3 – √3
= 2√3
R.H.S. = tan³ 60° – 2 sin 60°
= (√3) – 2 (√3/2)
= 3 √3 – √3
= 2√3
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि :
\(1+\frac{\cot ^{2} \alpha}{1+\csc \alpha}=\csc \alpha\)
हल :
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि : tanθ + tan (90° – θ) = sec θ. sec (90° – θ).
हल :
L.H.S. = tanθ + tan (90° – 0)
= tan θ + cot θ
= sin θ/cos θ + cos θ/sin θ
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\)
= sec θ cosec θ
= sec θ. sec (90° – θ)[ ∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि √3 tanθ = 1 हो तो sin²θ – cos²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ √3 tanθ = 1 ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
तब sin²θ – cos²θ = sin² 30° – cos² 30

अतः sin²θ – cos²θ का अभीष्ट मान = \(-\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 9.
सरल कीजिए :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).
हल :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).

अतः अभीष्ट सरल मान = 1 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि : \(\frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}=1\)
हल:
L.H.S. =

= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि : tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ.
हल :
L.H.S. = tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
= (sec² θ – 1) (sec² θ) [∴ 1 + tan² θ = sec² θ]
= sec⁴ θ – sec² θ
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए :
sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1.
हल :
हम जानते हैं कि
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (sin²θ + cos²θ)³ = (1)³ = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1. [∴ sin² θ + cos² θ = 1]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
(sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ = 2
हल:
L.H.S. = (sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ
= [(sin²θ + cos²θ) (sin²θ – cos²θ) + 1] x cosec²θ
= (sin²θ – cos²θ + 1) x cosec²θ
= sin²θ cosec²θ – cos²θ cosec²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + 1 + cot²θ)
= 2 (∵ sin²θ cosec²θ = 1, cos²θ cosec²θ = cot²θ)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
(secθ + tanθ) (1 – sinθ) को सरल कीजिए।
हल:
(secθ + tanθ) (1 – sinθ)

अत: अभीष्ट मान = cosθ है।

प्रश्न 15.
निम्न सर्वसमिका सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\csc A}{\csc A-1}+\frac{\csc A}{\csc A+1}=2 \sec ^{2} A\)
हल:
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित कथनों में सत्य/असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) \(\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=1\)
(ii) (cos² 23° – sin² 67°) का मान धनात्मक है।
(iii) \(\sqrt{\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \sec ^{2} \theta}=\tan \theta\)
(iv) (tanθ + 2) (2 tanθ + 1) = 5 tanθ + sec²θ
(v) sinθ + cosθ का मान सदैव 1 से बड़ा होता है।
(vi) tan θ (θ < 90°) का मान θ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
(vii) θ का मान बढ़ने पर sinθ की अपेक्षा tanθ का मान तेजी से बढ़ता है।
हल :
(i) कथन सत्य है,
क्योंकि

(ii) कथन असत्य है,
क्योंकि
(cos² 23° – sin² 67°) = cos² 23° – cos² 23° = 0.

(iii) कथन सत्य है,
क्योंकि

(iv) कथन असत्य है,
क्योंकि (tan θ + 2) (2 tan θ + 1) = 2 tan²θ + 4 tan θ + tan θ + 2
= 5 tan θ + 2 (1 + tan²θ)
= 5 tan θ + 2 sec²θ
≠ 5 tan θ + sec²θ.

(v) कथन असत्य है, क्योंकि θ = 0° के लिए sin θ + cos θ = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1.

(vi) कथन सत्य है, क्योंकि tan 0 = 0, tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , tan 45° = 1, tan 60° = √3.

(vii) कथन सत्य है,
क्योंकि
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
जब θ का मान बढ़ता है तो sin θ का मान बढ़ता है लेकिन cos θ का मान घटता है, इसलिए tan θ का मान तेजी से बढ़ता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = \(\frac { 4 }{ 5 }\), तो tan A का मान है :
(a) 3/5
(b) 3/4
(c) 4/3
(d) 5/3.
उत्तर:
(b) 3/4

प्रश्न 2.
यदि sin A = \(\frac { 1 }{ 2 }\), तब cot A का मान होगा :
(a) √3
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(a) √3

प्रश्न 3.
cosec (75° + θ) – sec (15° – θ)]- tan (55° + θ) + cot (35° – θ) का मान है :
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) 3/2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac { a }{ b }\) हो तो cosθ का मान होगा :
(a) \(\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
(b) \(\frac { b }{ a }\)
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)
(d) \(\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)

प्रश्न 5.
यदि cos 9α = sin α एवं 9α. < 90°, तब tan 5α का मान होगा :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(b) √3
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 6.
\(\left(\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \sin 27^{\circ}\right)\) का मान होगा :
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 7.
यदि 4 tanθ = 3 तब \(\left[\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}\right]\) का मान है :
(a) 2/3
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 8.
यदि sinθ – cosθ = 0, तब (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है :
(a) 1
(b) 3/4
(c) 1/2
(d) 1/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 9.
sin (45° + θ) – cos (45° – θ) का मान है :
(a) 2 cosθ.
(b) 0
(c) 2 sinθ
(d) 1.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 10.
(sin 30° + cos 30°)-(sin 60° + cos 60°) का मान है:
(a) -1.
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 11.
tan 30°/ cot 60° का मान है:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) √3
(d) 1.
उत्तर:
(d) 1.

प्रश्न 12.
(sin 45° + cos 45°) का मान है :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) √2
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(b) √2

प्रश्न 13.
sin²20° + cos²20° का मान होगा :
(a) 0
(b) 1
(c) tan² 20°
(d) cot² 20°.
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\csc ^{2} \theta}+\frac{1}{\sec ^{2} \theta}\) का मान होगा:
(a) 1
(b) 0
(c) sin²θ
(d) cos²θ.
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 15.
sin² 40° + cos² 40° का मान है :
(a) 40
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 16.
\(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान है :
(a) sin θ
(b) cos θ
(c) tan θ
(d) – cos θ.
उत्तर:
(a) sin θ

प्रश्न 17.
tan 45° का मान होगा:
(a) 0
(b) 45
(c) 1
(d) -1.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 18.
sin (90° – θ) का मान है :
(a) sinθ
(b) cosθ
(c) – cosθ
(d) – sinθ.
उत्तर:
(b) cosθ

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. \(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान ……. होगा।
2. \(\frac{\cot 59^{\circ}}{\tan 31^{\circ}}\) का मान ………….. होगा।
3. (cosec 90° – θ) का मान ………… होगा।
4. \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\) का मान …………. होगा।
5. 1 + tan²θ = …………
6. sec (90° – θ) का मान ………… होता है।
उत्तर-
1. sinθ,
2. 1,
3. sec θ,
4. tan θ,
5. sec²θ,
6. cosec²θ.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(a),
4. →(b).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(e),
5.→(d).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(f),
6.→(e).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(e),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a)
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. tan (90° – θ) = cotθ
2. sin² θ + cos² θ = – 1
3. \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\sec \theta\)
4. sec²θ – 1 = tan²θ
5. sin 60° + cos 60° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
6. cosec θ = \(\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}\)
7. sin 12° cos 78° + cos 12° sin 78° = 2
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य
6. सत्य,
7. असत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 1 + tan²θ का मान लिखिए।
2. 1 + cot²θ का मान लिखिए।
3. sin²θ + cos²θ का मान लिखिए।
4. cos 0° का मान लिखिए।
5. sin (90° – θ) का मान लिखिए।
6. cos (90° – θ) का मान लिखिए।
7. tan (90° – θ) का मान लिखिए।
8. sin θ / cosθ का मान क्या होगा ?
उत्तर-
1. sec²θ,
2. cosec²θ,
3. 1 (एक),
4. 1 (एक),
5. cos θ,
6. sin θ,
7. cote θ
8. tan θ.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3, -5), (5, 2)
हल :
(i) माना A (2, 3), B (-1,0) एवं C (2,-4)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (0 + 4) + (-1) (-4 – 3) + (2) (3 – 0)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (4) + (-1) (-7) + 2 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 7 + 6]
= 21
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक है।

(ii) जहाँ A (-5, – 1), B (3, -5), C (5, 2)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-5-2) + 3 (2 + 1) + 5 (-1 + 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-7) + 3 (3) + 5 (4)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [35 + 9 + 20]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64
= 32
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु सरेख हों :
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल :
हम जानते हैं कि तीन बिन्दु सरेख हों तो उनसे निर्मित त्रिभुज (यद्यपि त्रिभुज बनेगा नहीं) का क्षेत्रफल शून्य होगा। यहाँ A (7, -2), B (5, 1), C (3, k)
(i) चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (-2-1)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 – 7k + 5k + 10 – 9] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8-2k] = 0
2k = 8
k = \(\frac { 8 }{ 2 }\)
= 4
अतः k का अभीष्ट मान = 4 है।

(ii) यहाँ A (8, 1), B (k, – 4), C (2,-5)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (-4 + 5) + k (-5-1) + 2 (1 + 4)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (1) + k (-6) + 2 (5)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 – 6k + 10] = 0
6k = 18
k = \(\frac { 18 }{ 6 }\) = 3
अतः k का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0,- 1), BC (2, 1) एवं C (0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो

D (1,0), E (1, 2) एवं F (0, 1)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x₁ (y₂ – y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 – 1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 + 8 + 0]
= 4 वर्ग इकाई

एवं ar (DEF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 + 1 + 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2
= 1 वर्ग इकाई
\(\frac { ar(DEF) }{ ar(ABC) } =\frac { 1 }{ 4 } \)
ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4
अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (- 4,- 2), (- 3, – 5), (3,- 2) और (2, 3) हैं।
हल :
मान लीजिए चतुर्भुज ABCD के शीर्ष क्रमशः A (-4, -2), B (-3, -5), C (3, -2) और D (2, 3)
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5 + 2) + (-3) (-2 + 2) + 3 (-2 + 5)]
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-3) – 3 (0) + 3 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 0 + 9]
= \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-2 – 3) + 3 (3 + 2) + 2 (-2 + 2)]
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5) + 3 (5) + 2 x 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [20 + 15 + 0]
= \(\frac { 35 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (ABC) + क्षेत्रफल (ADC)
क्षेत्रफल (ABCD) = \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{56}{2}\)
= 28 वर्ग मात्रक
अतः, दिए हुए चतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9 उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष (4,-6), B (3,-2) और C (5, 2) हैं।
हल :
दिया है ∆ABC के शीर्षों A (4, -6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D (x, y) है तो

अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, – 2)
ar (ADB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 16 – 18]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (24 – 18)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A (4, -6), D (4, 0) एवं C (5, 2) हैं
ar (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 – 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 + 32 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-6]
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अच्छी तरह से फेंटी गयी एक ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का है।
(ii) एक काले रंग का बादशाह है।
(iii) न तो गुलाम है और न ही बादशाह है।
(iv) या तो बादशाह है या बेगम है।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 52
(i) हुकुम का पत्ता या एक इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) एक काले रंग का बादशाह होने के अनुकूल परिणाम

(iii) न तो गुलाम है और न ही बादशाह होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(iv) या तो बादशाह या बेगम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 4 }{ 13 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 26 }\). (iii) \(\frac { 11 }{ 13 }\) एवं (iv) \(\frac { 2 }{ 13 }\) हैं।

प्रश्न 2.
संख्याओं 1, 2, 3 तथा 4 में से कोई संख्या x यादृच्छया चुनी गयी तथा संख्याओं 1, 4, 9 तथा 16 में से कोई संख्या y यादृच्छया चुनी गयी। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि x तथा y का गुणनफल 16 से कम है।
हल :

∵ कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 4 x 4 = 16
एवं 16 से कम गुणनफल होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 8

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 3.
दो विभिन्न पासों को एक साथ फेंका गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्राप्त संख्याओं का
(i) योगफल सम होगा और
(ii) गुणनफल सम होगा।
हल :
(i)

सम्भावित पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₁) = 6 x 6 = 36
योगफल सम आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 18

(ii)

यहाँ सम्पूर्ण परिणामों की संख्या = n(S₂) = 6 x 6 = 36
एवं गुणनफल सम होने के अनुकूल परिणामों की संख्या
n(E₂) = 27.

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\) एवं (ii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) हैं।

प्रश्न 4.
एक जार में केवल लाल, नीली तथा नारंगी रंग की गेंदें हैं। यादृच्छया एक लाल रंग की गेंद के निकलने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) है। इसी प्रकार उसी जार से यादृच्छया एक नीली गेंद निकलने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है। यदि नारंगी रंग की कुल गेंदें 10 हैं, तो बताइए कि जार में कुल कितनी गेंदें हैं।
हल :
मान लीजिए कि जार में कुल गेंदें = n(S) = x हैं। दिया है P(R) = \(\frac { 1 }{ 4 }\)
P(B) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
n (O) = नारंगी रंग की कुल गेंदें की संख्या = 10
चूँकि P (O) + P (R) + P (B) = 1


अतः जार में कुल गेंदों की संख्या = 24 है।।

प्रश्न 5.
तीन विभिन्न सिक्के एक साथ उछाले गए। निम्न के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) केवल 2 चित
(ii) कम-से-कम दो चित
(ii) कम-से-कम दो पट।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम S = (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)
n(S) = 8
(i) केवल 2 चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₁) = 3

(ii) कम-से-कम दो चित आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₂) = 4

(iii) कम-से-कम दो पट आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E₃) = 4

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 6.
एक थैले में 15 सफेद तथा कुछ काली गेंदें हैं। यदि थैले में से काली गेंद निकालने की प्रायिकता एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता की तीन गुनी हो, तो थैले में काली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि काली गेंदों की संख्या n(B) = x है
तथा सफेद गेंदों की संख्या n(B) = 15 दी गयी है
गेंदों की कुल संख्या n(S) = n(S) + n(W)
n(S) = (x + 15)
प्रश्नानुसार, P(B) = 3 × P(W) (दिया है)

x = 3 × 15 = 45
अतः थैले में काली गेंदों की अभीष्ट संख्या = 45 है।

प्रश्न 7.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, उनके ऊपर आने वाले अंकों का योग निम्न होने की प्रायिकता क्या होगी?
(i) 7?
(ii) अभाज्य संख्या ?
(iii) 1?
हल:

कुल सम्भावित परिणामों का योग n(S) = 6 x 6 = 36
(i) 7 योग आने के अनुकूल परिणामों का योग = n(E₁) = 6

(ii) योग एक अभाज्य संख्या आने के अनुकूल परिणामों का योग n(E₂) = 15

(iii) योग 1 आने की अनुकूल परिणामों की संख्या n (E₃) = 0

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 6 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 12 }\) एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 8.
द्रो पासे एक साथ फेंके जाते हैं तथा उनके ऊपर आने वाले अंकों के गुणनफल लिखे जाते हैं। गुणनफल 9 से कम होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :

कुल सम्भावित परिणामों का योग = n (S) = 36
9 से कम गुणनफल के अनुकूल परिणामों का योगफल
= n(E) = 16

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 4 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 9.
दो पासों के फलकों पर अंक क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6 एवं 1, 1, 2, 2, 3, 3 अंकित हैं वे साथ-साथ फेंके जाते हैं तथा उन पर आने वाले अंकों के योग लिख लिए जाते हैं। योग 2 से 9 तक प्रत्येक के आने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल:

कुल परिणामों की संख्या = n(S) = 36

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 10.
एक 52 पत्तों की तास की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम एवं गुलाम के पत्ते निकालकर शेष गड्डी को अच्छी तरह से फेंट दिया जाता है। इनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि खींचा गया पत्ता :
(i) एक पान का पत्ता हो?
(ii) एक बादशाह हो?
(iii) एक चिड़ी का पत्ता हो?
(iv) पान का 10 हो?
हल :
चिड़ी के तीन पत्ते निकाल देने पर बचे हुए कुल पत्तों की संख्या = 52 – 3 = 49 = n(S)
(i) पान के पत्ते के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) शेष बादशाहों की संख्या

(iii) चिड़ी के शेष पत्तों की संख्या

(iv) पान के दहले (10) की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 13 }{ 49 }\) (ii) \(\frac { 3 }{ 49 }\), (iii) \(\frac { 10 }{ 49 }\) एवं (iv) \(\frac { 1 }{ 49 }\) हैं।

प्रश्न 11.
52 पत्तों की एक तास की गड्डी में से सभी बादशाह, बेगम एवं गुलाम निकाल दिए गए हैं। शेष पत्तों में को अच्छी तरह फेंट दिया जाता है और तब उनमें से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। प्रत्येक इक्के का मूल्य 1 मानकर इसी प्रकार शेष पत्तों के मूल्यों को ध्यान में रखकर इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड का मूल्य
(i) 7 हो,
(ii) 7 से बड़ा हो,
(iii) 7 से छोटा हो।
हल :
सभी 4 बादशाहों, 4 बेगमों एवं 4 गुलामों को तास की गड्डी से निकाले जाने के बाद गड्डी के पत्तों की कुल संख्या = n(S) = 52 – 4 x 3 = 52 – 12 = 40.
(i) 7 अंक वाले कुल पत्तों की संख्या

(ii) 7 से बड़े पत्ते 8, 9 एवं 10 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

(iii) 7 से छोटे पत्ते, 1, 2, 3, 4, 5 एवं 6 में प्रत्येक के 4-4 पत्ते हैं इस प्रकार अनुकूल परिणामों की संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : क्रमशः (i) \(\frac { 1 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 3 }{ 10 }\) एवं (iii) \(\frac { 3 }{ 5 }\) हैं।

प्रश्न 12.
एक बच्चे के एक खेल में 8 पीस त्रिभुज हैं जिनमें 3 नीले तथा शेष लाल हैं एवं 10 पीस वर्ग हैं जिनमें 6 नीले एवं शेष लाल हैं। उनमें से यकायक एक पीस खो जाता है। इस बात की
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खोने वाला पीस है
(i) त्रिभुज
(ii) वर्ग
(iii) नीले रंग का वर्ग
(iv) लाल रंग का त्रिभुज।
हल :
8 त्रिभुजों में = 3 नीले त्रिभुज + शेष 5 लाल त्रिभुज
एवं 10 वर्गों में = 6 नीले वर्ग + शेष 4 लाल वर्ग
कुल पीसों की संख्या = n(S) = 8 + 10 = 18
(i) कुल त्रिभुजों की संख्या

(ii) कुल वर्गों की संख्या

(iii) कुल नीले वर्गों की संख्या

(iv) कुल लाल त्रिभुजों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 4 }{ 9 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 9 }\), (iii) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (iv) \(\frac { 5 }{ 18 }\) हैं।

प्रश्न 13.
एक खेल का प्रवेश शुल्क Rs 5 है। इस खेल में एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। यदि एक या दो चित आते हैं तो स्वेता अपना प्रवेश शुल्क वापस पा लेती है। यदि वह तीन चित दिखाती है तो वह अपने प्रवेश शुल्क का दूना प्राप्त करती है। अन्यथा वह अपना प्रवेश शुल्क खो देती है। तीन बार सिक्का उछालने पर निम्न की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि स्वेता
(i) अपना प्रवेश शुल्क खो देती है।
(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना वापस पाती है।
(iii) अपने प्रवेश शुल्क ही वापस पाती है।
हल :
सिक्के को तीन बार उछालने के कुल परिणाम हैं : (HHH), (HTH), (HHT), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT) = n(S) = 8
(i) एक भी चित नहीं अर्थात् तीनों पट आने पर स्वेता अपना प्रवेश शुल्क खो देती है अतः तीनों पट आने के कुल परिणामों की संख्या

(ii) अपने प्रवेश शुल्क का दुगना प्राप्त करने के लिए उसे तीन चित लाने हैं अतः तीन चित आने ‘, के परिणामों की कुल संख्या

(iii) केवल अपना प्रवेश शुल्क प्राप्त करने के लिए उसे एक या दो चित लाने हैं और इसके परिणामों की कुल संख्या

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) हैं।

प्रश्न 14.
टेलीफोन के एक लॉट में 48 मोबाइल फोन हैं जिनमें 42 ठीक हैं, 3 में मामली खराबी है तथा 3 में अधिक बड़ी खराबी है। वर्गिका एक फोन खरीदेगी यदि यह बिल्कुल ठीक होगा लेकिन व्यापारी एक फोन तभी खरीदेगा जब उसमें अधिक बड़ी खराबी नहीं होगी। एक फोन यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि वह फोन
(i) वर्गिका के चयन के योग्य हो?
(ii) व्यापारी के चयन के योग्य हो?
हल :
कुल फोनों की संख्या = n(S) = 48
(i) वर्गिका के चयन के योग्य फोन अर्थात् बिल्कुल ठीक फोनों की कुल संख्या = n(E) = 42

(ii) व्यापारी के चयन योग्य फोनों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) \(\frac { 7 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 16 }\) हैं।

प्रश्न 15.
एक मेले में 1000 कार्डों पर क्रमशः 1 से 1000 संख्या (प्रत्येक पर एक संख्या) अंकित है। इन कार्यों को एक बक्से में रखा गया है। प्रत्येक खिलाड़ी यादृच्छिक एक कार्ड खींच सकता है और वह कार्ड पुनः बक्से में नहीं डाला जाता है। यदि चयनित कार्ड एक पूर्ण वर्ग संख्या है जो कि 500 से बड़ी है तो खिलाड़ी पुरस्कार जीत जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि
(i) प्रथम खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है?
(ii) दूसरा खिलाड़ी पुरस्कार तब जीतता है जबकि पहला खिलाड़ी इस पुरस्कार को जीतता है?
हल :
(i) कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 1000
500 से अधिक एवं 1000 से कम पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं : 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 हैं
n(E₁) = 9

(ii) जब प्रथम खिलाड़ी जीतता है तो एक पूर्ण वर्ग का कार्ड कुल कार्डों में से कम हो जाता है अतः शेष पूर्ण वर्ग कार्डों की संख्या = n (E₂) = 9 – 1 = 8
एवं कुल कार्डों की संख्या भी एक कम हो जायेगी।
n(S₂) = 1000 – 1 = 999

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ क्रमशः (i) 0.009 एवं (ii) \(\frac { 8 }{ 999 }\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। निम्न को प्राप्त करने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए :
(i) दोनों पासों पर समान संख्याएँ।
(ii) दोनों पासों पर भिन्न-भिन्न संख्याएँ।
हल :
कुल परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) समान अंकों वाले परिणाम होंगे (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) एवं (6, 6)

(ii) निम्नलिखित संख्याओं वाले परिणाम

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 6 }\), (ii) \(\frac { 5 }{ 6 }\)

प्रश्न 2.
दो पासे एक साथ फेंके गए हैं। इसकी क्या प्रायिकताएँ हैं कि पासों पर आये अंकों का गुणनफल हो :
(i) 12
(ii) 7.
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = n(S) = 6 x 6 = 36
(i) दो अंकों का गुणनफल 12 की सम्भावनाएँ हैं : (2 x 6), (6 x 2), (3 x 4), (4 x 3)

एवं (ii) दो अंकों का गुणनफल (7) होने की सम्भावनाएँ हैं शून्य

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 9 }\) एवं (ii) 0 हैं।

प्रश्न 3.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है। सम्भव परिणामों को लिखिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए निम्न प्राप्त करने के लिए :
(i) सभी चित
(ii) कम-से-कम दो चित।
हल :
सम्भावित परिणाम = (TTT), (TTH), (THT), (HTT), (HHH), (HHT), (HTH), (THH),
⇒ परिणामों की पूर्ण संख्या = n(S) = 8
(i) सभी चित होने के अनुकूल परिणामों की संख्या

(ii) कम-से-कम दो चित होने के अनुकूल परिणाम हैं : (HHH), (HHT), (HTH), (THH)

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 4.
एक थैले में 10 लाल, 5 नीली एवं 7 हरी गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इस गेंद के निम्न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(i) लाल गेंद,
(ii) हरी गेंद,
(iii) नीली गेंद नहीं।
हल :
कुल बॉलों की संख्या = n(S) = 10 + 5 + 7 = 22
(i) लाल गेंदों की संख्या = n(R) = 10

(ii) हरी गेंदों की संख्या = n(G) = 7

(iii) नीली गेंद न होने की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 11 }\) (ii) \(\frac { 7 }{ 22 }\) एवं (iii) \(\frac { 17 }{ 22 }\) हैं।

प्रश्न 5.
0 एवं 100 के बीच एक पूर्णांक का चयन किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह पूर्णांक :
(i) 7 से विभाज्य हो?
(ii) 7 से विभाज्य न हो?
हल :
0 एवं 100 के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या = n(S) = 99
(i) 7 से विभाज्य संख्याएँ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91 एवं 98

(ii) 7 से अभाज्य कुल संख्याओं की संख्या

अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 14 }{ 99 }\) एवं (ii) \(\frac { 85 }{ 99 }\) हैं।

प्रश्न 6.
एक बॉक्स में 100 कार्ड जिन पर संख्या 2 से 101 तक अंकित हैं, रखे गए हैं। एक कार्ड उनमें से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर
(i) एक सम संख्या है।
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
हल :
कार्डों की कुल संख्या = n(S) = 101 – 1 = 100
(i) सम संख्याएँ हैं : 2, 4, 6, 8, …., 98, 100

(ii) वर्ग संख्याएँ है : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (ii) \(\frac { 9 }{ 100 }\) हैं।

प्रश्न 7.
24 बल्बों के एक कार्टून में 6 बल्ब खराब हैं। यादृच्छिक रूप से एक बल्ब निकाला जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह बल्ब खराब नहीं है? यदि निकाला गया बल्ब खराब है और यह पुनः कार्टून में नहीं डाला गया है एवं एक दूसरा बल्ब फिर यादृच्छिक रूप से शेष बल्बों में से निकाला जाता है तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि वह बल्ब खराब है?
हल :
चूँकि 24 बल्बों में 6 बल्ब खराब हैं अतः शेष ठीक बल्बों की संख्या = n(E₁) = 24 – 6 = 18
एवं कुल बल्बों की संख्या = n(S₁) = 24

यदि पहले निकाला गया बल्ब खराब है एवं उसे पुनः कार्टन में नहीं डाला गया है तो कार्टून में कुल खराब बल्बों की संख्या n(S₂) = 24 – 1 = 23
एवं खराब बल्बों की संख्या = n(E₂) = 6 – 1 = 5

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 23 }\) हैं। .

प्रश्न 8.
एक पासे के 6 (छ:) पृष्ठों पर क्रमशः 0, 1, 1 ,1, 6 एवं 6 अंकित हैं। इस प्रकार के दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं एवं कुल योग को लिख लिया जाता है।
(i) कितने विभिन्न स्कोर प्राप्त होते हैं?
(ii) कुल योग 7 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:

(i) कुल 6 प्रकार के स्कोर (0, 1, 2, 6, 7, 12) प्राप्त होते हैं।
(ii) कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
7 प्राप्त होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = n(E) = 12

अतः, अभीष्ट (i) 6 प्रकार के स्कोर प्राप्त होते हैं एवं (ii) 7 प्राप्त होने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।

प्रश्न 9.
एक थैले में 24 गेंदें हैं जिनमें x लाल, 2x सफेद एवं 3x नीली हैं। इनमें से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चयनित की जाती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह गेंद
(i) लाल नहीं है?
(ii) सफेद है?
हल :
कुल गेंदें = x + 2x + 3x = 24 ⇒ 6x = n(S) = 24


अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(P(\overline{R})=\frac{5}{6}\) एवं \(P(W)=\frac{1}{3}\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो भिन्न पासों को एक साथ उछाला गया। दोनों पासों के ऊपरी तलों पर आई संख्याओं का गुणनफल 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 6 x 6 = 36
गुणनफल 6 आने के सम्भावित परिणाम (2 x 3), (3 x 2), (1 x 6), (6 x 1)
n(6) = 4

अतः अभीष्ट प्रायिकता P(6) = \(\frac { 1 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 2.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी ताश की गड्डी में से यादृच्छया एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही एक बेगम है।
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = कुल पत्तों की संख्या = n(S) = 52
चूँकि निकाला गया पत्ता न तो लाल रंग का है और न ही बेगम है अर्थात् निकाला गया पत्ता बेगम रहित काले रंग का पत्ता है अतः सम्भावित परिणामों की कुल संख्या = n(E) = 26 – 2 = 24

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 6 }{ 13 }\) है।

प्रश्न 3.
900 सेबों के एक ढेर में से यादृच्छया एक सेब चुनने पर सड़ा हुआ सेब निकलने की प्रायिकता 0.18 है। ढेर में सड़े हुए सेबों की संख्या क्या है?
हल :
चूँकि कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = ढेर के कुल सेबों की संख्या = n(S) = 900
मान लीजिए सड़े हुए सेबों की संख्या = n(E) = x है तथा चुना हुआ सेब सड़ा होने की प्रायिकता
P(E) = 0.18 (दी है)

x = 900 × 0.18
= 162.
अतः सड़े हुए अभीष्ट सेबों की संख्या = 162 है।

प्रश्न 4.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T) (T, H), (T, T) ⇒ n(S) = 4
कम-से-कम एक चित आने के सम्भावित परिणाम = (H, H), (H, T), (T, H) ⇒ n(E) = 3

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 3 }{ 4 }\) है।

प्रश्न 5.
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पासों पर आने वाले अंकों का अन्तर 2 हो।
हल :
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = n(S) = 36
अन्तर 2 होने के सम्भावित परिणाम (3, 1), (1, 3), (4, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 3) (4, 6), (6, 4)
n(E) = 8

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 2 }{ 9 }\) है।

प्रश्न 6.
आंग्ल भाषा की वर्णमाला से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। चुना गया अक्षर व्यंजन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
आंग्ल भाषा में उपस्थित समस्त अक्षरों की कुल संख्या = n(S) = 26
व्यंजनों की कुल संख्या = n(C) = 26 – 5 = 21

अत: अभीष्ट प्रायिकता P(C) = \(\frac { 21 }{ 26 }\) है।

प्रश्न 7.
एक बक्से में 1000 सील किए हुए लिफाफे हैं। उनमें से 10 पर नकद पुरस्कार Rs 100 का अंकित है, 100 पर Rs 50 का पुरस्कार एवं 200 पर Rs 10 का पुरस्कार अंकित है। शेष पर कोई भी नकद पुरस्कार नहीं है। उन लिफाफों को अच्छी तरह से फेंटकर मिला दिया जाता है और एक लिफाफा यादृच्छया निकाला जाता है तो उस लिफाफे को बिना नकद पुरस्कार वाला लिफाफा होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल :
कुल लिफाफों की संख्या = n(S) = 1000
नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की कुल संख्या = n(E) = 10 + 100 + 200 = 310
बिना नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0.69 है।

प्रश्न 8.
एक बक्से A में 25 स्लिप हैं जिनमें से 19 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 5 अंकित है। दूसरे बक्से B में 50 स्लिप हैं जिनमें से 45 पर Rs 1 अंकित है तथा शेष पर Rs 13 अंकित है। दोनों बक्सों की सभी स्लिपों को एक तीसरे बक्से में डालकर अच्छी तरह मिला दिया जाता है। इनमें से एक स्लिप को यादृच्छया निकाला जाता है तो इसकी प्रायिकता क्या होगी कि निकाली गयी स्लिप पर Rs 1 अंकित न हो।
हल :
कुल स्लिपों की संख्या = n(S) = 25 + 50 = 75
Rs 1 अंकित स्लिपों की संख्या = n (Rs 1) = 19 + 45 = 64
Rs 1 अंकित न होने वाली स्लिपों की संख्या

अतः अभीष्ट प्रायिकता

है।

प्रश्न 9.
किसी परिस्थिति में यदि केवल दो ही सम्भावनाएँ हैं तो प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। क्या यह सत्य है या असत्य और क्यों ?
हल :
असत्य है, क्योंकि प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) तभी सम्भव है जबकि दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 10.
एक परिवार में तीन बच्चे हैं उनमें से कोई भी लड़की न हो एक लड़की हो, दो लड़कियाँ हों या तीन लड़कियाँ हों, तो प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) होगी। क्या यह सत्य है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 11.
एक खेल में एक घूमने वाली सुई जो घूमते हुए किसी एक क्षेत्र (1, 2 या 3) में आ कर रुक जाती है (देखिए संलग्न आकृति)। क्या परिणाम 1, 2 एवं 3 सम-समभावी घटना है?

हल :
नहीं, सम-सम्भावी नहीं है क्योंकि घटना 3 अन्य से अधिक सम्भावी है।

प्रश्न 12.
अपूर्व दो पासों को एक साथ फेंकता है तथा उनके पृष्ठ पर अंकित अंकों के गुणनफल की गणना करता है। पीहू एक पासे को फेंकती आकृति : 15.5 है और उस पर आये अंक के वर्ग का परिकलन करती है। परिणाम 36 प्राप्त करने का अच्छा अवसर किसे प्राप्त होगा? और क्यों? कारण बताइए।
हल :
पीहू को अच्छा अवसर मिलेगा क्योंकि अपूर्व को 36 प्राप्त करने भी प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 36 }\) है जबकि
पीहू को 36 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\) = \(\frac { 6 }{ 36 }\) है।

प्रश्न 13.
जब हम एक सिक्के को उछालते हैं तो वहाँ दो सम्भावनाएँ हैं-चित या पट। इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता होगी \(\frac { 1 }{ 2 }\) अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी हैं।

प्रश्न 14.
एक विद्यार्थी कहता है कि जब तुम एक पासे को फेंकते हो तो दो ही सम्भावनाएँ हैं कि 1 आयेगा या 1 नहीं आयेगा। इसलिए ‘1 प्राप्त करने की प्रायिकता एवं 1 नहीं प्राप्त करने की प्रायिकता प्रत्येक \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। क्या यह सत्य है? कारण बताइए।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि ‘1 आने की सम्भावना एवं ‘1 न आने की सम्भावना सम-सम्भावी नहीं है अर्थात्
P(1) = \(\frac { 1 }{ 6 }\) एवं \(P(\overline{1})=\frac{5}{6}\) .

प्रश्न 15.
मैं तीन सिक्कों को एक साथ उछालता हूँ तो सम्भावित परिणाम होंगे कोई चित नहीं,’ ‘एक चित’ ‘दो चित’ ‘तीन चित’ इसलिए मैं कहता हूँ कि कोई चित न आने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 4 }\) है। इस निर्णय में क्या गलती है?
हल :
हाँ, सभी सम्भावनाएँ सम-सम्भावी नहीं हैं क्योंकि कोई चित नहीं (TTT) जबकि एक चित (HTT),
(THT) एवं (TTH) …… इसी प्रकार कुल 8 सम्भावनाएँ हैं अतः P(TTT) = \(\frac { 1 }{ 8 }\).

प्रश्न 16.
यदि आप एक सिक्के को 6 बार उछालते हैं और हर बार ऊपर चित आता है। क्या आप कह सकते हैं कि चित आने की प्रायिकता 1 होगी? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि ‘चित’ या ‘पट’ आने की घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं। इसका कोई मतलब नहीं कि आपने इतने कम उछाल में क्या प्राप्त किया है।

प्रश्न 17.
सुषमा एक सिक्के को तीन बार उछालती है और हर बार पट प्राप्त करती है। क्या आप सोचते हैं कि अगली उछाल में भी पट ही आयेगा? कारण दीजिए।
हल :
नहीं, यह चित भी हो सकता है और पट भी क्योंकि प्रत्येक उछाल में दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 18.
यदि मैं एक सिक्के को तीन बार उछालता हूँ और हर बार चित पाता हूँ। क्या मैं अगले चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना कर सकता हूँ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल :
नहीं, चौथे उछाल में पट आने की अधिक सम्भावना नहीं कर सकते, क्योंकि दोनों घटनाएँ सम-सम्भावी होती हैं।

प्रश्न 19.
एक थैले में 1 से 100 तक अंक लिखी स्लिप हैं। यदि फातिमा यादच्छया एक स्लिप चनती है तो यह या तो विषम अंक होगा या सम अंक होगा। चूँकि इस स्थिति में केवल दो सम्भावनाएँ हैं इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी। औचित्य दीजिए।
हल :
हाँ, दोनों सम्भावनाएँ सम-सम्भावी हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 15 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि एक घटना घटित नहीं हो सकती तो इसकी प्रायिकता होगी :
(a) 1
(b) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 2.
निम्न में से कौन किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(b) 0.1
(c) 3%
(d) \(\frac { 17 }{ 16 }\)
उत्तर:
(d) \(\frac { 17 }{ 16 }\)

प्रश्न 3.
एक घटना असम्भावी है तो इसकी प्रायिकता निम्न के निकटस्थ होगी :
(a) 0.0001
(b) 0.001
(c) 0.01
(d) 0.1.
उत्तर:
(a) 0.0001

प्रश्न 4.
यदि किसी घटना की प्रायिकता p है तो इसकी पूरक घटना की प्रायिकता होगी :
(a) p – 1
(b) p
(c) 1 – p
(d) 1 – \(\frac { 1 }{ p }\)
उत्तर:
(c) 1 – p

प्रश्न 5.
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रतिशत में दी गई है। यह कभी नहीं हो सकती :
(a) 100 से कम
(b) शून्य से कम
(c) एक से अधिक
(d) कोई भी लेकिन एक पूर्ण संख्या।
उत्तर:
(b) शून्य से कम

प्रश्न 6.
यदि P(A) किसी घटना A की प्रायिकता को प्रदर्शित करती है, तो :
(a) P(A) < 0 (b) P(A) > 1.
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(d) – 1 ≤ P(A) ≤ 1.
उत्तर:
(c) 0 ≤ P(A) ≤ 1

प्रश्न 7.
52 ताश के पत्तों की गड्डी में से एक कार्ड (पत्ते) का चयन किया गया। इस पत्ते का लाल फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 3 }{ 26 }\)

प्रश्न 8.
इसकी प्रायिकता कि लीप वर्ष के अतिरिक्त अन्य वर्षों में यादृच्छया चयनित वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 7 }\)

प्रश्न 9.
जब एक पासा फेंका जाता है तो 3 से कम विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 6 }\)

प्रश्न 10.
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। घटना E पान का इक्का नहीं होने की घटना है तो E के अनुकूल घटनाओं की संख्या होगी :
(a) 4
(b) 13
(c) 48
(d) 51.
उत्तर:
(d) 51.

प्रश्न 11.
400 अण्डों के एक लॉट से एक खराब अण्डा प्राप्त करने की प्रायिकता 0.035 है तो उस लॉट में खराब अण्डों की संख्या होगी :
(a) 7
(b) 14
(c) 21
(d) 28.
उत्तर:
(b) 14

प्रश्न 12.
एक लड़की गणना करती है कि एक लॉटरी में उसके प्रथम पुरुस्कार जीतने की प्रायिकता 0.08 है। यदि 6000 टिकटों की बिक्री हुई हो तो उसको कितने टिकट खरीदने होंगे?
(a) 40
(b) 240
(c) 480
(d) 750.
उत्तर:
(c) 480

प्रश्न 13.
क्रमांक 1 से 40 अंक अंकित टिकटों में से एक टिकट यादृच्छया खींची गयी। उस टिकट पर 5 का गुणक अंक होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(a) \(\frac { 1 }{ 5 }\)

प्रश्न 14.
एक व्यक्ति से 1 से 100 तक के अंकों में से एक अंक सोचने के लिए कहा गया। इसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता होगी :

उत्तर:
(c) \(\frac { 1 }{ 4 }\)

प्रश्न 15.
एक स्कूल में पाँच समूह हैं A, B, C, D एवं E एक कक्षा में 23 विद्यार्थी हैं, 4 समूह A से, 8 समूह B से, 5 समूह C से, 2 समूह D से और शेष समूह E से। एक अकेला विद्यार्थी यादृच्छया चयनित किया जाता है जिसे कक्षा का मॉनीटर बनाना है। इस बात की प्रायिकता कि चयनित विद्यार्थी समूह A, B एवं C से न हो, है:

उत्तर:
(b) \(\frac { 6 }{ 23 }\)

प्रश्न 16.
निम्न में से कौन-सी किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है?
(a) – 0.04
(b) 1.004
(c) \(\frac { 18 }{ 23 }\)
(d) \(\frac { 8 }{ 7 }\)
उत्तर:
(c) \(\frac { 18 }{ 23 }\)

प्रश्न 17.
अच्छी तरह से फेंटे गए 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया खींचा जाता है। इस पत्ते का फोटो वाला पत्ता होने की प्रायिकता है :

उत्तर:
(a) \(\frac { 3 }{ 13 }\)

प्रश्न 18.
एक थैले में 3 लाल गेंदें, 5 सफेद गेंदे और 7 काली गेंदें हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यादृच्छया खींची गयी गेंद न तो लाल होगी और न ही काली?

उत्तर:
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)

प्रश्न 19.
एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता होगी :
(a) 0
(b) 1
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(-\frac { 1 }{ 3 }\)
उत्तर:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. सभी सम्भव प्रायिकताओं का योग सदैव ……. होता है।
2. एक साथ घटित न होने वाली घटनाएँ …… घटनाएँ कहलाती हैं।
3. यादृच्छिक प्रयोग में सभी सम्भव परिणामों का समुच्चय ……… कहलाता है।
4. प्रतिदर्श समष्टि का प्रत्येक उप-समुच्चय उसकी एक ……… है।
5. किसी असम्भव घटना की प्रायिकता ……… होती है।
6. किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकता का योग ……… है। (2019)
उत्तर-
1. 1 (एक),
2. परस्पर अपवर्जी,
3. प्रतिदर्श समष्टि,
4. घटना,
5. शून्य (0),
6. एक (1).

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4. →(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. किसी घटना की प्रायिकता एक से अधिक भी हो सकती है।
2. एक पासे को फेंकने पर उसके फलक पर 7 आने की प्रायिकता शून्य (0) होती है।
3. किसी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक भी हो सकती है।
4. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता का मान एक होता है।
5. एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता एक होती है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. किसी घटना के घटित होने की सम्भावनाओं का परिमाण बोधक या संख्यात्मक निरूपण क्या कहलाता है?
2. असम्भव घटना की प्रायिकता क्या होगी?
3. निश्चित घटना की प्रायिकता लिखिए।
4. घटना ‘E’ की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ का मान होता है। (2019)
उत्तर-
1. प्रायिकता,
2. 0 (शून्य),
3. 1 (एक),
4. 1 (एक)।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण चेतना अभियान के अन्तर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हए पौधों से सम्बन्धित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों ?
हल:

अतः प्रति घर माध्य पौधों की अभीष्ट संख्या = 8.1 पौधे है।
हमने प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया क्योंकि f_i एवं x_i के संख्यात्मक मान बहुत कम हैं।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

अत: अभीष्ट माध्य दैनिक मजदूरी = Rs 545.20 है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेब खर्च दर्शाता है। माध्य जेब खर्च Rs 18 है। लुप्त बारम्बारता f ज्ञात कीजिए।

हल:

अतः f का अभीष्ट मान = 20 है।

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गयी और उनके हृदय स्पन्दन (beats) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाये अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गयी। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए इन महिलाओं के हृदय स्पन्दन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :


अतः हृदय स्पन्दनों की प्रति मिनट अभीष्ट माध्य संख्या = 75.9 है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन निम्नलिखित था

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल:

अतः आमों की अभीष्ट माध्य संख्या = 57.19 है।
हमने पद (वर्ग) विचलन विधि का प्रयोग किया है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुए माध्य व्यय को निकालिए।
हल :


अतः भोजन पर हुआ अभीष्ट माध्य व्यय = Rs 211 है।

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाई ऑक्साइड (SO₂) की सान्द्रता (मान प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए एक नगर के 30 मोहल्लों में आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है :

वायु में SO₂ की सान्द्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः SO₂ की अभीष्ट सान्द्रता का माध्य = 0.099 ppm है।

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (Record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उसका माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

अतः विद्यार्थी के अनुपस्थित दिनों का अभीष्ट माध्य = 12.475 है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

हल:

अतः अभीष्ट माध्य साक्षरता दर = 69.43% है।