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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं :
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3, -5), (5, 2)
हल :
(i) माना A (2, 3), B (-1,0) एवं C (2,-4)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (0 + 4) + (-1) (-4 – 3) + (2) (3 – 0)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [2 (4) + (-1) (-7) + 2 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 7 + 6]
= 21
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक है।

(ii) जहाँ A (-5, – 1), B (3, -5), C (5, 2)
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-5-2) + 3 (2 + 1) + 5 (-1 + 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-5 (-7) + 3 (3) + 5 (4)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [35 + 9 + 20]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 64
= 32
वर्ग मात्रक अतः दिए हुए त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 32 वर्ग मात्रक है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए ताकि तीनों बिन्दु सरेख हों :
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
हल :
हम जानते हैं कि तीन बिन्दु सरेख हों तो उनसे निर्मित त्रिभुज (यद्यपि त्रिभुज बनेगा नहीं) का क्षेत्रफल शून्य होगा। यहाँ A (7, -2), B (5, 1), C (3, k)
(i) चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 (1 – k) + 5 (k + 2) + 3 (-2-1)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [7 – 7k + 5k + 10 – 9] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8-2k] = 0
2k = 8
k = \(\frac { 8 }{ 2 }\)
= 4
अतः k का अभीष्ट मान = 4 है।

(ii) यहाँ A (8, 1), B (k, – 4), C (2,-5)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (-4 + 5) + k (-5-1) + 2 (1 + 4)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 (1) + k (-6) + 2 (5)] = 0
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 – 6k + 10] = 0
6k = 18
k = \(\frac { 18 }{ 6 }\) = 3
अतः k का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 3.
शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0,- 1), BC (2, 1) एवं C (0, 3) है। यदि इनकी भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमशः D, E एवं F हों तो
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D (1,0), E (1, 2) एवं F (0, 1)
चूँकि
∆ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (1 – 3) + 2 (3 + 1) + 0 (-1 – 1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 (-2) + 2 (4) + 0 (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [0 + 8 + 0]
= 4 वर्ग इकाई
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एवं ar (DEF) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2 – 1) + 1 (1 – 0) + 0 (0 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 + 1 + 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 2
= 1 वर्ग इकाई
\(\frac { ar(DEF) }{ ar(ABC) } =\frac { 1 }{ 4 } \)
ar (DEF) : ar (ABC) = 1 : 4
अतः दिए त्रिभुज के मध्य-बिन्दुओं से बने त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग मात्रक एवं इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दिए त्रिभुज के क्षेत्रफल से अभीष्ट अनुपात 1:4 है।

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प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (- 4,- 2), (- 3, – 5), (3,- 2) और (2, 3) हैं।
हल :
मान लीजिए चतुर्भुज ABCD के शीर्ष क्रमशः A (-4, -2), B (-3, -5), C (3, -2) और D (2, 3)
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5 + 2) + (-3) (-2 + 2) + 3 (-2 + 5)]
क्षेत्र. (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-3) – 3 (0) + 3 (3)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 0 + 9]
= \(\frac { 21 }{ 2 }\) वर्ग मात्रक
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-2 – 3) + 3 (3 + 2) + 2 (-2 + 2)]
क्षेत्र. (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-4 (-5) + 3 (5) + 2 x 0]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [20 + 15 + 0]
= \(\frac { 35 }{ 2 }\) वर्ग इकाई
क्षेत्रफल (ABCD) = क्षेत्रफल (ABC) + क्षेत्रफल (ADC)
क्षेत्रफल (ABCD) = \(\frac{21}{2}+\frac{35}{2}=\frac{56}{2}\)
= 28 वर्ग मात्रक
अतः, दिए हुए चतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9 उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष (4,-6), B (3,-2) और C (5, 2) हैं।
हल :
दिया है ∆ABC के शीर्षों A (4, -6), B (3, – 2) और C (5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D (x, y) है तो
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अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, – 2)
ar (ADB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [8 + 16 – 18]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (24 – 18)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 6
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A (4, -6), D (4, 0) एवं C (5, 2) हैं
ar (ADC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (0 – 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 – 0)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 + 32 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-6]
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

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