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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

1. 140
2. 156
3. 3825
4. 5005
5. 7429

हल :

1. 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5¹ × 7¹ उत्तर
2. 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3¹ × 13¹ उत्तर
3. 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17¹ उत्तर
4. 5005 = 5 × 7 × 11 × 13 = 5¹ × 7¹ × 11¹ × 13¹ उत्तर
5. 7429 = 17 × 19 × 23 = 17¹ × 19¹ × 23¹ उत्तर

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है :
(i) 26 और 91
(ii)510 और 92
(iii) 336 और 54
हल:
(i) 26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
HCF = 13
उत्तर LCM = 2 × 7 × 13 = 182
उत्तर अब HCF (26,91) × LCM (26,91)= 13 × 182 = 2366
एवं 26 × 91 = 2366
अत: HCF (26, 91) × LCM (26,91) = 26 × 91 सत्यापित

(ii) 510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
HCF = 2 उत्तर
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460 उत्तर
अब HCF (510, 92) × LCM (510, 92)= 2 × 23460 = 46920
एवं 510 × 92 = 46920
अत:, HCF (510, 92) × LCM (510, 92) = 510 × 92 सत्यापित

(iii) 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
HCF = 2 × 3 = 6 उत्तर
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024 उत्तर
अब HCF (336,54) × LCM (336,54) = 6 × 3024 = 18144
एवं 336 × 54 = 18144
अतः HCF (336,54) × LCM (336,54) = 336 × 54 सत्यापित

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8,9 और 25
हल :
(i) 12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420
अतः, अभीष्ट HCF = 3 एवं LCM = 420

(ii) 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
अतः अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 11339 उत्तर

(iii) 8 = 1 × 2 × 2 × 2
9 = 1 × 3 × 3
25 = 1 × 5 × 5
HCF = 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800
अतः, अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 1800 उत्तर

प्रश्न 4.
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :
LCM (306, 657) × HCF (306, 657) = 306 × 657
⇒ LCM (306, 657) = \(\frac{306 \times 657}{9}\)
[∵ HCF (306, 657) = 9 दिया है।
⇒ LCM (306, 657)= \(\frac { 201042 }{ 9 } \) = 22338
अतः, अभीष्ट LCM (306, 657) = 22338 उत्तर

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?
हल :
हम जानते हैं कि 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ का गुणनखण्ड 5 नहीं है, अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6n संख्या अंक 0 पर समाप्त नहीं होगी क्योंकि 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ 5 से विभाज्य होती हैं और यह संख्या 5 से विभाज्य नहीं है।
अतः, ऐसी कोई संख्या n नहीं है जिसके लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होगी। उत्तर

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल :
7 × 11 × 13 + 13 = 13 (7 × 11 + 1) = 13 × 78
जो एक भाज्य संख्या है।
एवं 7 × 6 × 5 × 4 × 3× 2 × 1 + 5 = 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009
जो एक भाज्य संख्या है।
अतः, दी हुई दोनों संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। उत्तर

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
LCM (18, 12) = 2² × 3² = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
अतः, वे पुन: 36 मिनट बाद प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह –
अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) जहाँ b ≠ 0
⇒ b \(\sqrt { 5 }\) = a ⇒ 5b² = a² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
अत: a²,5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है।
अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक हैं।
⇒ 5b² = (5c)² = 25c² ⇒ b² = 5c²
अत: b²,5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।
लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि 3 + 2\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अतः हम ऐसी दो सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ a और b (b + 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 3 ⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \)
चूँकि a और b दो पूर्णांक हैं, जहाँ b ≠ 0
अतः \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी लेकिन यह इस तथ्य के विरोधाभासी है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः, इससे निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7 \(\sqrt { 5 }\)
(iii) 6 + \(\sqrt { 2 }\)
हल:
(i) हम इसके विपरीत यह मान लें कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य अशून्य पूर्णांक संख्याएँ a और b ज्ञात कर सकते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { b }{ a } \), जहाँ a और b पूर्णांक हैं
इसलिए \(\frac { b }{ a } \) एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

(ii) इसके विपरीत हम यह मान लें कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
7\(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 7b } \)
चूँकि 7,a एवं b पूर्णांक हैं। इसलिए \(\frac { a }{ 7b } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धरण

(iii) इसके विपरीत हम यह मान लेते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी पूर्णांक संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
6 + \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 6
यहाँ a, b एवं 6 पूर्णांक हैं इसलिए \(\frac { a }{ b } \) – 6 एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या है।
इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

हल:
(i) चूँकि \(\frac { 1 }{ 2x } \) + \(\frac { 1 }{ 3y } \) = 2 ….(1)
एवं \(\frac { 1 }{ 3x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
मान लीजिए कि \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t हो, तो
\(\frac { s }{ 2 } \) + \(\frac { t }{ 3 } \) = 2 ⇒ 3s + 2t = 12 ….(3)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ⇒ 2s + 3t = 13 ….(4)
समीकरण (3) से t = (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13 समीकरण (4) में रखने पर,
2s + 3 (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13
⇒ 4s + 36 -9s = 26 ⇒ -5s = 26 – 36 = -10
⇒ s = \(\frac { -10 }{ -5 } \) = 2
s का मान समीकरण (3) में रखने पर,
3 × 2 + 2t = 12 ⇒ 2t = 12 – 6 = 6
⇒ t = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
अब \(\frac { 1 }{ x } \) = s = 2 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t = 3 ⇒ y = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = \(\frac { 1 }{ 3 } \) है।

s का मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 9 है।

(iii) चूंकि \(\frac { 4 }{ x } \) + 3y = 14 ….(1)
मान लीजिए \(\frac { 3 }{ x } \) – 4y = 23 ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = z तब
4z + 3y = 14 ….(3)
3z – 4y = 23 ….(4)
⇒ 16z + 12y = 56 ….(5) [समीकरण (3) × 4]
एवं 9z – 12y = 69 …..(6) [समीकरण (5) + समीकरण (6) से]
⇒ z = \(\frac { 125 }{ 25 } \) = 5
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = z = 5 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{4 \times 5}{1}+3 y=14 \Rightarrow 20+3 y=14\)
⇒ 3y = 14 – 20 = -6
⇒ y = \(\frac { -6 }{ 3 } \) = -2
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 1 }{ 5 } \) एवं y = – 2 है।

अब समीकरण (3) से t = 2 – 5s समीकरण (4) में रखने पर प्राप्त होता है :

अब s का मान समीकरण (3) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 5 है।


अब s का मान समीकरण (4) में रखने पर,
8 × 1 + 7t = 15
⇒ 7t = 15 – 8 = 7
⇒ t = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) t = 1 ⇒ x = 1
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

(vi) चूंकि 6x + 3y = 6xy ⇒ \(\frac { 6 }{ y } \) + \(\frac { 3 }{ x } \) = 6 ….(1)
एवं 2x + 4y = 5xy ⇒ \(\frac { 2 }{ y } \) + \(\frac { 4 }{ x } \) = 5 ….(2) [दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर]
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x } \) = t
⇒ 6s + 3t = 6 ….(3)
2s + 4t = 5 ….(4)
⇒ 6s + 12t = 15 ….(5) [समीकरण (4) × 3 से]
⇒ 9t = 9 ⇒ t = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (3) से]
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = t = 1 ⇒ x = 1
[∵ \(\frac { 1 }{ x } \) = t माना है]
t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
6s + 3 × 1 = 6 ⇒ 6s = 6 – 3 = 3
⇒ s = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ y } \) = s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अब दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 2 है।

(vii) चूंकि
\(\frac { 10 }{ x+y } \) + \(\frac { 2 }{ x-y } \) = 4 ….(1)
एवं \(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\) ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x+y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x-y } \) = t
⇒ 10s + 2t = 4 ….(3)
एवं 15s – 5t = -2 ….(4)
⇒ 30s + 6t = 12 …..(5) [समीकरण (3) × 3 से]

t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
10s + 2 × 1 = 4
⇒ 10s = 4 – 2 = 2

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 3 एवंy = 2 है।

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकती हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा ?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल xkm/hr एवं धारा की चाल ykm/hr है,
तो प्रश्नानुसार, 2 (x + y) = 20 [∵ समय × चाल = दूरी] ….(1)
⇒ x + y = 10 ….(1)
एवं 2 (x – y) = 4 [∵ समय × चाल = दूरी]
⇒ x – y = 2 ….(2)
⇒ 2x = 12 ⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 km/hr [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
एवं 2y = 8 ⇒ y = \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 km/hr [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की अभीष्ट चाल = 6 km/hr एवं धारा की अभीष्ट चाल = 4 km/hr है।

(ii) माना एक महिला अकेले एक कसीदे के कार्य को x दिन में तथा एक पुरुष अकेले उसी कार्य को । दिन में करते हैं, तो प्रश्नानुसार,



अतः एक अकेली महिला अभीष्ट कार्य को करने में 18 दिन लेगी तथा पुरुष अकेला उसी कार्य को 36 दिन में करेगा।

(ii) माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr तथा बस की चाल y km/hr है,
जब रूही 60 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो बस द्वारा 300 – 60 = 240 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल 4 घण्टे का समय लगेगा।
अतः \(\frac { 60 }{ x } \) + \(\frac { 240 }{ y } \) = 4 ⇒ \(\frac { 15 }{ x } \) + \(\frac { 60 }{ y } \) = 1
जब रूही 100 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो
बस द्वारा 300 – 100 = 200 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल समय = 4 घण्टे 10 मिनट लगेंगे अर्थात् 4 \(\frac { 10 }{ 60 } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \) घण्टे
अतः \(\frac { 100 }{ x } \) + \(\frac { 200 }{ y } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \)
⇒ \(\frac { 24 }{ x } \) + \(\frac { 48 }{ y } \) = 1 ….(2)
माना लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t तब
15s + 60t = 1 ⇒ 15s + 60t – 1 = 0 ….(3)
एवं 24s + 48t = 1 ⇒ 24s + 48t – 1 = 0 ….(4)

अतः रेलगाड़ी एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 60 km/hr एवं 80 km/hr है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।” (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि आफताब एवं उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है, तो
प्रश्नानुसार,
(x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0 …(1)
एवं (x + 3)= 3 (y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0 …(2)
यह स्थिति मनोरंजक भी हैतथा गणितीय तथ्यपरक है। इस स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है।
x – 7y + 42 = 0 एवं x – 3y – 6 = 0
ग्राफीय निरूपण के लिए :
∵ x – 7y + 42 = 0 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 42+x }{ 7 } \)

चूँकि x – 3y – 6 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 3 } \)

उपर्युक्त आकृति अभीष्ट ग्राफीय निरूपण है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1 बल्ले एवं 1 गेंद का मूल्य क्रमशः ₹ x तथा ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 3x + 6y = 3900
⇒ x + 2y = 1300
एवं x + 3y = 1300 अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
x + 2y = 1300 …(1) एवं x + 3y = 1300 …(2)
जहाँ x एवं y क्रमशः 1 बल्ले और 1 गेंद के मूल्य (₹ में) हैं।
ज्ञातव्य – उपर्युक्त स्थितियाँ व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त हैं। ये तभी सम्भव हो सकती हैं जबकि प्रत्येक गेंद मुफ्त में मिल रही हो अथवा मूल्य में परिवर्तन हुआ हो।
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिएः
चूँकि x + 2y = 1300 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 2 } \)

एवं x + 3y = 1300 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 3 } \)

अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

प्रश्न 3.
2 kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि 1 किलो सेब एवं 1 किलो अंगूर का मूल्य क्रमश: ₹ x एवं ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 2x + y = 160 ….(1)
एवं 4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 ….(2)
अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
2x + y = 160 ..(1) 2x + y = 150 …(2)
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिए:
चूँकि 2x + y = 160 ….(1)
⇒ y = 160 – 2x

एवं 2x + y = 150 ….(2)
⇒ y = 150 – 2x

आकृति 3.3
अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3
इसलिए b² – 4ac = (-7)² – 4 (2) (3) = 49 – 24 = 25 > 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं 3 हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = -4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (-4) = 1 + 32 = 33
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4 \(\sqrt { 3 }\), c = 3
इसलिए b² – 4ac = (4\(\sqrt { 3 }\))² (4) (3) = 48 – 48 = 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब 4x² + 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
⇒ (2x)² + 2 (2x) (\(\sqrt { 3 }\)) + (\(\sqrt { 3 }\))² = 0
(2x + \(\sqrt { 3 }\))² = 0
⇒ 2x + \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (4) = 1 – 32 = -31 < 0
अत: मूलों का कोई अस्तित्त्व नहीं है।
अतः समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न (द्विघात) समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3

अतः दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल 3 एवं \(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1, एवं c = – 4

अतः द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4\(\sqrt { 3 }\) एवं c = 3

अत: दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) और \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4

चूँकि \(\sqrt { -31 }\) एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अत: वर्ग समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac { 1 }{ x+4 } \) – \(\frac { 1 }{ x-7 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \), x ≠ -4,7
हल:
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3 ⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0, यहाँ a = 1, b = -3 एवं c = -1

अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\) है।

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\)
⇒ 30 (x – 7) – 30 (x + 4) = 11 (x + 4) (x – 7)
⇒ 30x – 210 – 30x – 120 = 11 (x² – 7x + 4x – 28)
⇒ -330 = 11 (x² – 3x – 28)
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – x – 2x + 2 = 0
⇒ x (x – 1)- 2 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x – 2) = 0
या तो x – 1 = 0 ⇒ x = 1
अथवा x – 2 = 0 ⇒ x = 2
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 1 और 2 हैं।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac { 1 }{ 3 } \) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
\(\frac { 1 }{ x-3 } \) + \(\frac { 1 }{ x+5 } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
⇒ 3 (x + 5) + 3 (x – 3) = (x – 3) (x + 5)
⇒ 3x + 15 + 3x – 9 = x² + 5x – 3x – 15
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² – 4x – 21 = 0
⇒ x² – 7x + 3x – 21 = 0
⇒ x (x – 7) + 3 (x – 7) = 0
⇒ (x – 7) (x + 3) = 0
या तो x + 3 = 0 ⇒ x = -3 (जो असम्भव है)
अथवा x – 7 = 0 ⇒ x = 7
अतः रहमान की अभीष्ट आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, उनके अंकों को गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए तो उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x
चूँकि दोनों विषयों के अंकों का योग 30 दिया गया है।
अब प्रश्नानुसार, (x + 2) × (30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2)(27 – x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 -2x = 210
⇒ x² – 25x + 156 = 0
⇒ x² – 12x – 13x + 156 = 0
⇒ x (x – 12)- 13 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x – 13) = 0
या तो (x – 12) = 0 ⇒ x = 12
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
जब गणित में x = 12 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – x = 30 – 12 = 18 अंक प्राप्त होंगे और जब गणित में x = 13 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – 13 = 17 अंक प्राप्त होंगे
अत: गणित एवं अंग्रेजी में प्राप्त अभीष्ट अंक क्रमशः 12 एवं 18 अथवा 13 एवं 17 होंगे।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आयताकार खेत की छोटी भुजा x मी. है तो प्रश्नानुसार विकर्ण = (x + 60) मी. एवं
बड़ी भुजा = (x + 30) मी.
अब पाइथागोरम प्रमेय से,
(विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + (x)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + 60x + 900 + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x (x – 90) + 30 (x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
या तो x + 30 = 0 ⇒ x = – 30 जो असम्भव है।
अथवा x – 90 = 0 ⇒ x = 90 मी.
⇒ छोटी भुजा = x = 90 मी.
एवं बड़ी भुजा = x + 30 = 90 + 30 = 120 मी.
अत: आयताकार खेत की अभीष्ट भुजाएँ 120 मी. एवं 90 मी. है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बड़ी संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
(छोटी संख्या)² = 8x ⇒ छोटी संख्या = \(\sqrt { 8x }\)
एवं x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x = 180 = 0
⇒ x² – 18x + 10x – 180 = 0
⇒ x(x – 18) + 10 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 10) = 0
यातो x – 18 = 0 ⇒ x = 18 बड़ी संख्या
तो छोटी संख्या = \(\sqrt{8 x}=\sqrt{8 \times 18}=\sqrt{144}=\pm 12\)
अथवा x + 10 = 0 ⇒ x = -10 जो असम्भव है।
अत: अभीष्ट संख्याएँ या तो 18 और 12 अथवा 18 और – 12 हैं।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाडी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल x km/h है तो 360 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 360 }{ x } \) h
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { 360 }{ x+5 } \) = \(\frac { 360 }{ x } \) = 1
⇒ 1 = \(\frac { 360 }{ x } \) – \(\frac { 360 }{ x+5 } \)
⇒ x (x + 5) = 360 (x + 5) – 360 (x)
⇒ x² + 5x = 360x + 1800 – 360x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0
⇒ x(x + 45) – 40 (x + 45) = 0
⇒ (x + 45) (x – 40) = 0
या तो x + 45 = 0 ⇒ x = -45 जो असम्भव है।
अथवा x – 40 = 0 ⇒ x = 40
अतः रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 40 km/h है।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए छोटा नल हौज को भरने में x घण्टे लेता है तो बड़ा नल उस हौज को भरने में (x – 10) घण्टे लेगा। दोनों मिलकर उस हौज को भरने में 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) = \(\frac { 75 }{ 8 } \) घण्टे लेते हैं। 1 घण्टे में छोटा नल \(\frac { 1 }{ x } \) हौज तथा बड़ा नल \(\frac { 1 }{ x-10 } \) हौज भरेगा तथा 1 घण्टे में कुल \(\frac { 8 }{ 75 } \) हौज भरेगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ x-10 } \) = \(\frac { 8 }{ 75 } \)
⇒ 75 (x – 10) + 75x = 8x (x – 10)
⇒ 75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
⇒ 8x² – 150x – 80x + 750 = 0
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
⇒ 8x² – 200x – 30x + 750 = 0
⇒ 8x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (8x – 30) = 0
या तो 8x – 30 = 0 ⇒ x = \(\frac { 30 }{ 8 } \) = \(\frac { 15 }{ 4 } \) = 3.75
घण्टे तब बड़े नल द्वारा लिया समय x – 10 = 3.75 – 10 = – 6:25 घण्टे, जो असम्भव है।
अथवा x – 25 = 0 ⇒ x = 25 घण्टे
तब बड़े नल द्वारा लिया समय = x – 10 = 25 – 10 = 15 घण्टे
अत: दोनों नलों द्वारा हौज को भरने में अलग-अलग लिया गया समय 25 घण्टे एवं 15 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलौर के बीच 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घण्टा कम समय लेती है। (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सवारी गाड़ी की चाल x km/h है तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = (x + 11) km/h 132 km की दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x } \) h एवं एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x+11 } \) h, तब प्रश्नानुसार,
⇒ \(\frac { 132 }{ x } \) – \(\frac { 132 }{ x+11 } \) = 1
⇒ 132x + 132 × 11 – 132x = x (x + 11)
⇒ 132x + 33 × 44 – 132x = x² + 11x
⇒ x² + 11x – 33 × 44 = 0
⇒ x² + 44x – 33x – 33 × 44 = 0
⇒ x(x + 44)-33 (x + 44) = 0
⇒ (x + 44) (x – 33) = 0
या तो x + 44 = 0 ⇒ x = -44 जो असम्भव है।
अथवा x – 33 = 0 ⇒ x = 33 km/h सवारी गाड़ी की चाल
⇒ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = x + 11 = 33 + 11 = 44 km/h
अत: एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 44 km/h एवं सवारी रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 33 km/h.

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि वर्गों के परिमापों का अन्तर = 24 m दिया है तब उनकी भुजाओं का अन्तर = \(\frac { 24 }{ 4 } \) = 6 m
मान लीजिए कि छोटे वर्ग की भुजा x m है
तब बड़े वर्ग की भुजा = (x + 6) m होगी
⇒ क्षेत्रफलों का योग = (x + 6)² + (x)² = 468
⇒ x² + 12x + 36 + 2 = 468
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 12) = 0 या तो
⇒ x + 18 = 0 ⇒ x = -18 जो असम्भव है।
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 m छोटे वर्ग की भुजा
अब बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 m
अतः वर्गों की अभीष्ट भुजाएँ 12 m एवं 18 m हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।
उत्तर:
प्रथम वृत्त की परिधि C₁ = 2πr₁ = 2π (19) cm
द्वितीय वृत्त की परिधि C₂ = 2πr₂ = 2π (9) cm
चूंकि संयुक्त परिधि C = C₁ + C₂
⇒ 2πr = 2π (19) + 2π (9)
= 2π (19 + 9)
= 2π (28) cm
⇒ r = 28 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 28 cm है।

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
हल :
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = π (8)² = 64π
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = π (6)² = 36π
चूँकि संयुक्त क्षेत्रफल A = A₁ + A₂
⇒ πr² = 64π + 36π = 100π
⇒ r² = 100
⇒ r = √100 = 10 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है Gold वाले क्षेत्र का व्यास = 21 सेमी
⇒ त्रिज्या \(r=\frac { 21 }{ 2 }\) = 10.5 cm
तथा प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
⇒ पाँचों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 10.5 cm, r₂ = 21 cm, r₃ = 31.5 cm, r₄ = 42 cm एवं r₅ = 52.5 cm²
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 10.5 x 10.5 = 346.5 cm²
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 21 x 21 = 1386 cm²
तृतीय वृत्त का क्षेत्रफल A₃ = πr₃² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 31.5 x 31.5 = 3118.5 cm²
चतुर्थ वृत्त का क्षेत्रफल A₄ = πr₄² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 42 x 42 = 5544 cm²
पंचम वृत्त का क्षेत्रफल A₅ = πr₅² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 52.5 x 52.5 = 8662.5 cm²
Gold अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₁ = 346.5 cm²
Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₂ – A₁ = 1386 – 346.5 = 1039.5 cm²
Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₃ – A₂ = 3118.5 – 1386 = 1732.5 cm²
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₄ – A₃ = 5544 – 3118.5 = 2425.5 cm²
एवं White क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₅ – A₄ = 8662.5 – 5544 = 3118.5 cm²
अतःअभीष्ट क्षेत्रफलक्रमश: Gold = 346.5 cm², Red = 1039.5 cm², Blue = 1732.5 cm², Black = 2425.5 cm² एवं White = 3118.5 cm² है।

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल :
कार द्वारा 10 मिनट में चली गयी दूरी = \(\frac { 10 }{ 60 }\) x 66 = 11 km = 11000 m
मान लीजिए कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या n हो तो
πd x n = चली गयी दूरी

अभीष्ट चक्करों की संख्या = 4375 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
उत्तर-
(A) 2 मात्रक।
क्योंकि संख्यात्मक रूप में वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त की परिधि
⇒ πr² = 2πr
⇒ r = 2 मात्रक

In this article, we share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णांक 6q + r, जहाँ q एक पूर्णांक है और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 के रूप का घन भी 6m + r के रूप का होगा।
हल:
(6q)³ = 216q³ = 6 (36q³) = 6m, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q+ 1)³ = 216q³ + 108q² + 18q + 1
= 6 (36q³ + 18q² +3q) + 1 = 6m + 1, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 2)³ = 216q³ + 216q² + 72q + 8
= 6 (36q³ + 36q² + 12q + 1)+ 2 = 6m + 2, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 3)³ = 216q³ + 324q² + 162 q + 27
= 6 (36q³ + 54q² + 27q + 4)+ 3 = 6m + 3
(6q + 4)³ = 216q³ + 432q² + 288q + 64
= 6 (36q³ + 72q² + 48q + 10) + 4 = 6m + 4
एवं (6q + 5)³ = 216q³ + 540q² + 450q + 125
= 6 (36q³ + 90q² + 75q + 20) + 5 = 6m + 5
अतः, पूर्णांक 6q+r का घन 6m +r के रूप का होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2,3,4,5. इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ एक पूर्णांक है।
हल:
हम जानते हैं कि कोई भी धन पूर्णांक 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4 एवं 6m +5 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई धन पूर्णांक है लेकिन इन धन पूर्णांकों में विषम धन पूर्णांक केवल 6m + 1,6m + 3 एवं 6m + 5 के रूप के हो सकते हैं।
अब (6m + 1)² = 36m² + 12m + 1 = 6 (6m² + 2m) + 1
= 6q + 1, जहाँ q= 6m² + 2m एक पूर्णांक है।
(6m + 3)² = 36m² + 36m + 9 = 6 (6m² + 6m + 1) + 3
= 6q + 3, जहाँ q = 6m² + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
एवं (6m + 5)² = 36m² + 60m + 25 = 6(6m² + 10m + 4) + 1
= 6q + 1, जहाँ q = 6m² + 10m + 4 एक पूर्णांक है।
अतः, हम देखते हैं कि विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 3.
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1,2,3 शेषफल बचते हैं।
हल:
चूंकि 1251 – 1 = 1250
9377 – 2 = 9375
15628 – 3 = 15625
अब H. C. F. (1250, 9375) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
9375 = 1250 × 7 + 625
1250 = 625 × 2 + 0 =
⇒ H. C. F (1250, 9375) = 625
अब HCF (625, 15625) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
15625 = 625 × 25 + 0
⇒ HCF (625, 15625) = 625
⇒ HCF (1250, 9375, 15625) = 625
अतः, 625 वह अभीष्ट बड़ी से बड़ी संख्या होगी जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1, 2, एवं 3 शेषफल बचते हैं।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m +1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है।
हल:
∵ कोई धनात्मक पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ व एक धनात्मक पूर्णांक है।
(4q)³ = 64q³ = 4 (16q³)= 4m एक धनात्मक पूर्णांक है।
∴ (4q + 1)³ = 64q³ + 48q² + 12q + 1
⇒ (4q + 1)³ = 4 (16q3 + 12q² + 3q) + 1 = 4m + 1
जहाँ m = 16q³ + 12q² + 3q एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 2)³ = 64q³ + 96q² + 48q + 8
⇒ (4q+ 2) = 4(16q³ + 24q² + 12q + 2) = 4m
जहाँ m = 16q3 + 24q2 + 12q + 2 एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 3)³ = 64q³ + 144q² + 108q + 27
⇒ (4q + 3)³ = 4 (16q³ + 36q² + 27q + 6) + 3 = 4m + 3
जहाँ m = 16q³ + 36q² + 27q + 6 एक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दशाईए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q + 2 अथवा 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ q एक पूर्णांक है।
हल:
कोई धनात्मक पूर्णांक 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m +3 अथवा 5m + 4 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।
चूँकि (5m)² = 25m² = 5 (5m²) = 5q
जहाँ q = 5m² एक धन पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 1)² = 25m² + 10m + 1 = 5(5m² + 2m) + 1 = 5q + 1
जहाँ q = 5m² + 2m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 2)² = 25m² + 20m + 4 = 5 (5m² + 4m) + 4 = 5q + 4
जहाँ q = 5m + 4m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 3)² = 25m² + 30m + 9 = 5 (5m² + 6m + 1) + 4
= 5q + 4, जहाँ q = 5m² + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 4)² = 25m² + 40m + 16 = 5(5m² + 8m + 3) + 1
= 5q + 1, जहाँ q = 5m² + 8m + 3 एक पूर्णांक है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1, 5q + 4 के रूप का हो सकता है। लेकिन 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता। अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग कभी 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ व एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल:
चूँकि विषम पूर्णांक (2m + 1) के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
⇒ (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 4(m² + m) + 1 = 4q + 1
जहाँ q = m2 + m एक पूर्णांक है क्योंकि m पूर्णांक है।
अतः, विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n² – 1,8 से विभाज्य है।
हल:
चूँकि n कोई विषम पूर्णांक है, तो n = (2m + 1) के रूप का होगा।
अब, n² – 1 = (2m + 1)² – 1
= 4m² + 4m + 1 – 1 = 4m² + 4m
= 4m(m + 1)
लेकिन m(m + 1) एक सम पूर्णांक है, क्योंकि m एवं (m + 1) में से एक विषम तथा दूसरा सम होगा। इस प्रकार गुणन सम होगा।
अब मान लीजिए m(m + 1) = 2q
⇒ n² – 1 = 4m(m + 1)= 4 × 2q = 8q, जो कि 8 से विभाज्य है।
अतः, यदिn एक विषम पूर्णांक है, तो (n² – 1), 8 से विभाज्य है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हों, तो दर्शाइए कि x² + y² एक समपूर्णांक है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
हल:
चूँकि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हैं, तो मान लीजिए कि x = (2p + 1) एवं y = (2q + 1), जहाँ p एवं कोई पूर्णांक हैं।
अब x² + y² = (2p + 1)² + (2q + 1)²
= 4p² + 4p + 1 + 4q² + 4q + 1
= 4p(p + 1)+ 4q(q + 1) + 2
लेकिन p(p + 1) एवं q(q + 1) दोनों समपूर्णांक हैं। मान लीजिए इनके क्रमशः मान 2m एवं 2n हैं
x² + y² = 4p(p + 1) + 4q(q + 1) + 2
= 4(2m) + 4(2n) + 2
= 8m + 8n + 2 = 2(4m + 4n + 1)
जो एक समपूर्णांक संख्या है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
अतः, यदि एवं दोनों विषम पूर्णांक हों, तो x² + y² समपूर्णांक होंगे, लेकिन 4 से विभाज्य नहीं। इति सिद्धम् ‘

प्रश्न 4.
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF (441,567,693) ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म प्रयोग द्वारा HCF (441,567) ज्ञात करने पर,
567 = 441 × 1 + 126
441 = 126 × 3 + 63
126 = 63 × 2 + 0
⇒ HCF (441,567) = 63
अब यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म की सहायता से HCF (63, 693) ज्ञात करने पर,
693 = 63 × 11 + 0
⇒ HCF (63, 693) = 63
अतः, HCF (441,567,693) का अभीष्ट मान 63 है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
मान लीजिए \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) = a जहाँ a, एक परिमेय संख्या है।

जो एक विरोधाभास है क्योंकि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या तथा \(\frac{a^{2}+2}{2 a}\) एक परिमेय संख्या है।
अतः, \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि 12 का किसी संख्या के लिए अन्तिम अंक 0 अथवा 5 नहीं होगा।
हल:
∵ (12)ⁿ = (2 × 2 × 3)ⁿ = 2²ⁿ × 3n
चूँकि इसमें 5 की कोई घात नहीं है तथा किसी संख्या में अन्तिम अंक 0 अथवा 5 होने के लिए उसके गुणनखण्डों में 5 की घात होना आवश्यक है।
अतः, (12)ⁿ के मान में n के किसी मान के लिए अन्तिम अंक 0 या 5 पर समाप्त नहीं होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
प्रातः भ्रमण (Morning Walk) पर तीन व्यक्ति एक साथ कदम बढ़ाते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः 40 cm, 42 cm एवं 45 cm है। वह लघुतम दूरी क्या होगी जिससे प्रत्येक व्यक्ति समान दूरी पूर्ण कदमों में तय कर सकें।
हल:
इसके लिए हमको 40, 42, एवं 45 का LCM ज्ञात करना होगा।

अतः, वह अभीष्ट लघुतम दूरी होगी, 2520 cm अर्थात् 25.20 m.

प्रश्न 8.
परिमेय संख्या \(\frac { 257 }{ 5000 } \) के हर को 2m × 5n के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ m एवं n ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इस प्रकार बिना भाग की क्रिया किए इसका दशमलव प्रसार लिखिए।
हल:

अतः, परिमेय संख्या का अभीष्ट रूपः = \(\frac{257}{2^{3} \times 5^{4}}\) होगा। तथा इसका दशमलव प्रसार 0.0514 होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या प्रत्येक धन पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
नहीं, क्योंकि यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के अनुसार a = 4q + 7; जहाँ 0 < r < 4 तथा r एक पूर्णांक है तथा का मान 0, 1, 2 और 3 हो सकता है। अर्थात् कोई भी धन पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है।

प्रश्न 2.
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य होता है।” यह कथन सत्य है या असत्य। कारण दीजिए।
उत्तर:
कथन सत्य है।
क्योंकि दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल n(n + 1) होगा, जहाँ n एक पूर्णांक है और यदि n विषम है तो n + 1 सम और यदि n + 1 विषम है तोn सम होगा। इस प्रकार n(n + 1) एक सम पूर्णांक होगा, जो 2 से विभाज्य है।

प्रश्न 3.
“तीन क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।” क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
उक्त कथन सत्य है क्योंकि तीन क्रमागत धन पूर्णांकों में कम-से-कम एक पूर्णांक तीन से विभाज्य होगा तथा एक पद दो से विभाज्य होगा। अतः तीनों का गुणनफल 6 से विभाज्य होगा।

प्रश्न 4.
क्या किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का होगा, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का नहीं होगा। क्योंकि उसका रूप तो 3m या 3m + 1 हो सकता है।

प्रश्न 5.
एक धन पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ एक प्राकृत संख्या है। क्या आप इसका वर्ग 3m + 1 के अतिरिक्त किसी अन्य रूप अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
नहीं। क्योंकि
(3q + 1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1
जहाँ m = 3q² + 2q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 6.
संख्याएँ 525 और 3000 दोनों केवल 3, 5, 15, 25 एवं 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या होगा? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
HCF (525, 3000) का अभीष्ट मान 75 है, क्योंकि 75 ही महत्तम समापवर्तक (महत्तम सम गुणनखण्ड) है।

प्रश्न 7.
समझाइए कि 3 × 5 × 7 + 7 एक भाज्य संख्या है।
उत्तर:
चूँकि 3 × 5 × 7 + 7= 7 (3 × 5 + 1) = 7 × 16
जो कि एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 8.
क्या कोई दो संख्याओं का HCF = 18 एवं LCM = 380 हो सकता है? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
कभी नहीं हो सकता क्योंकि दो संख्याओं का LCM उनके HCF से विभाज्य होता है जबकि संख्या 380 संख्या 18 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 9.
बिना लम्बी भाग प्रक्रिया किए ज्ञात कीजिए कि \(\frac { 987 }{ 10500 } \) का दशमलव प्रसार सांत होगा अथवा असान्त आवर्ती होगा? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
हाँ, उक्त संख्या का दशमलव प्रसार सांत होगा, क्योंकि

प्रश्न 10.
एक परिमेय संख्या अपने दशमलव प्रसार में 327.7081 है। आपके अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में क्या कहना चाहेंगे यदि इस परिमेय संख्या को p/g के रूप में व्यक्त किया जाता है ? कारण दीजिए।
उत्तर:
q के अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का होगा क्योंकि दशमलव प्रसार सांत है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
किसी पूर्णांक m के लिए प्रत्येक सम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) m
(b) m + 1
(c) 2m
(d) 2m + 1
उत्तर:
(c) 2m

प्रश्न 2.
किसी पूर्णांक q के लिए प्रत्येक विषम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) q
(b) q + 1
(c) 2q
(d) 2q + 1
उत्तर:
(d) 2q + 1

प्रश्न 3.
n² – 1, 8 से विभाज्य होगा यदि n है :
(a) एक पूर्णांक
(b) एक प्राकृत संख्या
(c) एक विषम पूर्णांक
(d) एक सम पूर्णांक।
उत्तर:
(c) एक विषम पूर्णांक

प्रश्न 4.
यदि HCF (65, 117), 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तब m का मान होगा :
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 3
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 5.
वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः 5 एवं 8 शेषफल बचते हैं, निम्न है:
(a) 13
(b) 65
(c) 875
(d) 1750
उत्तर:
(a) 13

प्रश्न 6.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक a एवं b निम्न रूप में लिखे हों : a = x³y² एवं b = xy³, जहाँ x एवं y अभाज्य संख्या हैं, तब HCF (a, b) होगा:
(a) xy
(b) xy²
(c) x³y³
(d) x³y²
उत्तर:
(b) xy²

प्रश्न 7.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक p एवं निम्न की तरह व्यक्त किए जाएँ : p = ab(b) xy² एवं q = a(b) xy³b, जहाँ a एवं b अभाज्य संख्याएँ हैं, तब LCM (p,q) होगा:
(a) ab
(b) a²b²
(c) a³b²
(d) d³b³
उत्तर:
(c) a³b²

प्रश्न 8.
एक अशून्य परिमेय संख्या एवं एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होगा :
(a) सदैव अपरिमेय संख्या
(b) सदैव परिमेय संख्या
(c) परिमेय अथवा अपरिमेय
(d) एक।
उत्तर:
(a) सदैव अपरिमेय संख्या

प्रश्न 9.
वह छोटी-से-छोटी संख्या जो 1 से 10 की सभी संख्याओं (दोनों को सम्मिलित करते हुए) से विभाज्य है/हैं:
(a) 10
(b) 100
(c) 507
(d) 2520.
उत्तर:
(d) 2520.

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या \(\frac { 14587 }{ 1250 } \) ……….. के बाद सांत होगी :
(a) एक दशमलव स्थान
(b) दो दशमलव स्थान
(c) तीन दशमलव स्थान
(d) चार दशमलव स्थान
उत्तर:
(d) चार दशमलव स्थान

प्रश्न 11.
96 और 404 का HCF होगा : (2019)
(a) 120
(b) 4
(c) 10
(d) 3
उत्तर:
(b) 4

रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक सिद्ध किया हुआ कथन जिसे अन्य कथन को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है ………… कहलाता है।
उत्तर:
प्रमेयिका

प्रश्न 2.
\(\sqrt { P }\), जहाँ p एक अभाज्य संख्या होती है, एक ……………….. संख्या कहलाती है।
उत्तर:
अपरिमेय

प्रश्न 3.
संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की सबसे छोटी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
महत्तम समापवर्तक (HCF)

प्रश्न 4.
संख्याओं में सम्बद्ध प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
लघुतम समापवर्त्य (LCM)

प्रश्न 5.
कोई संख्या p/q, जहाँ p एवं q परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0, ……………….. कहलाती है।
उत्तर:
परिमेय संख्या

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

1. प्रत्येक प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या होती है।
2. प्रत्येक पूर्णांक प्राकृत संख्या होती है।
3. प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है।
4. प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय संख्या होती है।
5. प्रत्येक पूर्णांक को p/a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p एवं q कोई पूर्णांक हैं लेकिन q ≠ 0.

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
4 एवं 5 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा ?
उत्तर:
(एक)

प्रश्न 2.
3 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा ?
उत्तर:
12

प्रश्न 3.
दो संख्याओं a एवं b के LCM(a, b) एवं HCF(a, b) क्रमशः x एवं y हैं। a,b,x और y में क्या सम्बन्ध होगा?
उत्तर:
a × b = x × y

प्रश्न 4.
यदि a = bq तो a और b में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
b, a का एक गुणनखण्ड है

प्रश्न 5.
यदि x = \(\frac { p }{ q } \) एक ऐसी संख्या है कि q के अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m प्रकार के नहीं हैं, जहाँ n एवं m ऋणेत्तर पूर्णांक है, तो x का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
उत्तर:
असांत आवर्ती।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,g (x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x
(iii) P (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
हल:
(i) p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3 एवं g (x) = x² – 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह 3x² + 7x – 3 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।

चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक x² – 2 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।

(ii) p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = x² + 1 – x मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = x² – x + 1 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद x² से भाग दीजिए यह x² आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह x³ – 4x² + 4x + 5 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x³ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह – 3x² + 3x + 5 है।

चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।

चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक x² – x + 1 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x² + x – 3 एवं शेषफल = 8 है।

(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
यहाँ भाज्य तो मानक रूप में है लेकिन भाजक g (x)= 2 – x² मानक रूप में नहीं है, इसलिए भाजक को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर g (x) = – x² +2 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए, यह – x² आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह 2x² -5x + 6

चरण 2 : अब भागफल का द्वितीय पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद 2x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए। यह – 2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह – 5x + 10 है।

चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक – x² + 2 से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = -x² – 2 एवं शेषफल = -5x + 10 है।

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल:
(i) यहाँ भाजक t² – 3 एवं भाज्य 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) यहाँ भाजक x² + 3x + 1 तथा भाज्य 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(iii) यहाँ भाजक x³ – 3x + 1 एवं भाज्य x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
और – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल:
चूँकि \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) एवं –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))(x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) अर्धात (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) के लिए करते हैं :

इसलिए 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) (3x² + 6x + 3)
अब 3x² + 6x + 3 के गुणनखण्ड 3 (x + 1)² प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = x³ – 3x² + x + 2
⇒ g (x).(x – 2) x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4
x³ – 3x² + 3x – 2
⇒ g(x) = \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\)
इसलिए g (x) का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद x³ – 3x² + 3x – 2 को व्यंजक x – 2 से विभाजित करेंगे

अतः,g (x) का अभीष्ट मान x² – x + 1 है।

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = 2x² – 2x + 14, g (x) = 2,
q(x) = x² – x + 7 एवं r (x) = 0
(ii) p (x) = x³ + x² + x + 1, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 1 एवं r (x) = 2x +2
(iii) p (x) = x³ + 2x² – x + 2, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 2 एवं r (x) = 4
ज्ञातव्य : उपर्युक्त तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।

MP Board Class 10th Maths Solutions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2r (x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल:
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 0x + 7 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 4x + 6 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a ≠ 0 तथा a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x² – 2x + x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – 2 = x² + 2x – 3
⇒ 3x – 1 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं हैं क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह रैखिक समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0. अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ x² – 11x + 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 अतः उक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ 7x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं है, क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह एक रैखिक समीकरण है। अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ – 6x² – 14x – 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण त्रिघात समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण द्विघात समीकरण नहीं हैं।

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विधात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भू-खण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भू-खण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करना है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 साल बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/hr कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) मान लीजिए आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई है x m है, तो प्रश्नानुसार,
लम्बाई = 2 × चौड़ाई + 1 = 2x + 1
तथा क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
⇒ (2x + 1) (x) = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण 2x² + x – 528 = 0 है, जहाँ x आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई (मीटरों में) है।

(ii) मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमशः x और x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
x (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + x – 306 = 0 है, जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है।

(iii) मान लीजिए कि रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है, तो प्रश्नानुसार,
उसकी माँ की वर्तमान आयु = x + 26 वर्ष
एवं (x + 3) (x + 26 + 3) = 360
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + 32x – 273 = 0 है, जहाँ x = रोहन की वर्तमान आयु (वर्षों में)

(iv) मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr है, तो प्रश्नानुसार,
480 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 480 }{ x } \) hrs
एवं \(\frac { 480 }{ x-8 } \) = \(\frac { 480 }{ x } \) + 3
⇒ \(\frac { 160 }{ x-8 } \) – \(\frac { 160 }{ x } \) = 1
⇒ 160x – 160x + 1280 = x (x – 8)
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² – 8x – 1280 = 0 है, जहाँ x रेलगाड़ी की चाल km/hr में है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ……………….. होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग………………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …………… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्याओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ………………. हों, तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ ……………….. हों। (बराबर, समानुपाती)
हल :
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर, (b) समानुपाती।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ,
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल :
(i) (a) सभी वृत्त,
(b) सभी वर्ग।

(ii) (a) सभी चतुर्भुज,
(b) सभी त्रिभुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

हल :
नहीं हैं।

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