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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6
प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :
हल:
(i) चूँकि \(\frac { 1 }{ 2x } \) + \(\frac { 1 }{ 3y } \) = 2 ….(1)
एवं \(\frac { 1 }{ 3x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
मान लीजिए कि \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t हो, तो
\(\frac { s }{ 2 } \) + \(\frac { t }{ 3 } \) = 2 ⇒ 3s + 2t = 12 ….(3)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ⇒ 2s + 3t = 13 ….(4)
समीकरण (3) से t = (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13 समीकरण (4) में रखने पर,
2s + 3 (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13
⇒ 4s + 36 -9s = 26 ⇒ -5s = 26 – 36 = -10
⇒ s = \(\frac { -10 }{ -5 } \) = 2
s का मान समीकरण (3) में रखने पर,
3 × 2 + 2t = 12 ⇒ 2t = 12 – 6 = 6
⇒ t = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
अब \(\frac { 1 }{ x } \) = s = 2 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t = 3 ⇒ y = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = \(\frac { 1 }{ 3 } \) है।
s का मान समीकरण (1) में रखने पर,
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 9 है।
(iii) चूंकि \(\frac { 4 }{ x } \) + 3y = 14 ….(1)
मान लीजिए \(\frac { 3 }{ x } \) – 4y = 23 ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = z तब
4z + 3y = 14 ….(3)
3z – 4y = 23 ….(4)
⇒ 16z + 12y = 56 ….(5) [समीकरण (3) × 4]
एवं 9z – 12y = 69 …..(6) [समीकरण (5) + समीकरण (6) से]
⇒ z = \(\frac { 125 }{ 25 } \) = 5
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = z = 5 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{4 \times 5}{1}+3 y=14 \Rightarrow 20+3 y=14\)
⇒ 3y = 14 – 20 = -6
⇒ y = \(\frac { -6 }{ 3 } \) = -2
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 1 }{ 5 } \) एवं y = – 2 है।
अब समीकरण (3) से t = 2 – 5s समीकरण (4) में रखने पर प्राप्त होता है :
अब s का मान समीकरण (3) में रखने पर,
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 5 है।
अब s का मान समीकरण (4) में रखने पर,
8 × 1 + 7t = 15
⇒ 7t = 15 – 8 = 7
⇒ t = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) t = 1 ⇒ x = 1
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।
(vi) चूंकि 6x + 3y = 6xy ⇒ \(\frac { 6 }{ y } \) + \(\frac { 3 }{ x } \) = 6 ….(1)
एवं 2x + 4y = 5xy ⇒ \(\frac { 2 }{ y } \) + \(\frac { 4 }{ x } \) = 5 ….(2) [दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर]
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x } \) = t
⇒ 6s + 3t = 6 ….(3)
2s + 4t = 5 ….(4)
⇒ 6s + 12t = 15 ….(5) [समीकरण (4) × 3 से]
⇒ 9t = 9 ⇒ t = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (3) से]
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = t = 1 ⇒ x = 1
[∵ \(\frac { 1 }{ x } \) = t माना है]
t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
6s + 3 × 1 = 6 ⇒ 6s = 6 – 3 = 3
⇒ s = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ y } \) = s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अब दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 2 है।
(vii) चूंकि
\(\frac { 10 }{ x+y } \) + \(\frac { 2 }{ x-y } \) = 4 ….(1)
एवं \(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\) ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x+y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x-y } \) = t
⇒ 10s + 2t = 4 ….(3)
एवं 15s – 5t = -2 ….(4)
⇒ 30s + 6t = 12 …..(5) [समीकरण (3) × 3 से]
t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
10s + 2 × 1 = 4
⇒ 10s = 4 – 2 = 2
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 3 एवंy = 2 है।
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।
प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकती हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा ?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल xkm/hr एवं धारा की चाल ykm/hr है,
तो प्रश्नानुसार, 2 (x + y) = 20 [∵ समय × चाल = दूरी] ….(1)
⇒ x + y = 10 ….(1)
एवं 2 (x – y) = 4 [∵ समय × चाल = दूरी]
⇒ x – y = 2 ….(2)
⇒ 2x = 12 ⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 km/hr [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
एवं 2y = 8 ⇒ y = \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 km/hr [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की अभीष्ट चाल = 6 km/hr एवं धारा की अभीष्ट चाल = 4 km/hr है।
(ii) माना एक महिला अकेले एक कसीदे के कार्य को x दिन में तथा एक पुरुष अकेले उसी कार्य को । दिन में करते हैं, तो प्रश्नानुसार,
अतः एक अकेली महिला अभीष्ट कार्य को करने में 18 दिन लेगी तथा पुरुष अकेला उसी कार्य को 36 दिन में करेगा।
(ii) माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr तथा बस की चाल y km/hr है,
जब रूही 60 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो बस द्वारा 300 – 60 = 240 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल 4 घण्टे का समय लगेगा।
अतः \(\frac { 60 }{ x } \) + \(\frac { 240 }{ y } \) = 4 ⇒ \(\frac { 15 }{ x } \) + \(\frac { 60 }{ y } \) = 1
जब रूही 100 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो
बस द्वारा 300 – 100 = 200 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल समय = 4 घण्टे 10 मिनट लगेंगे अर्थात् 4 \(\frac { 10 }{ 60 } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \) घण्टे
अतः \(\frac { 100 }{ x } \) + \(\frac { 200 }{ y } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \)
⇒ \(\frac { 24 }{ x } \) + \(\frac { 48 }{ y } \) = 1 ….(2)
माना लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t तब
15s + 60t = 1 ⇒ 15s + 60t – 1 = 0 ….(3)
एवं 24s + 48t = 1 ⇒ 24s + 48t – 1 = 0 ….(4)
अतः रेलगाड़ी एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 60 km/hr एवं 80 km/hr है।