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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.5

1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\)
इल:

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{x^{2}-9}\)
इल:

प्रश्न 3.

इल:

⇒ 3x – 1 = A(x – 2) (x – 3) + B(x – 1) (x – 3) + C(x – 1) (x – 2) …(1)
समी० (1) में x = 1 रखने पर,
3 – 1 = A(1 – 2) (1 – 3)
⇒ 2 = A(-1) (-2) ⇒ A = 1
पुनः समी० (1) में x = 2 रखने पर,
6 – 1 = B(2 – 1) (2 – 3)
⇒ 5 = B(1) (-1) ⇒ B = -5
समी० (1) में x = 3 रखने पर,
9 – 1 = C(3 – 1) (3 – 2)
⇒ 8 = C(2) (1) ⇒ C = 4

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{2 x}{x^{2}+3 x+2}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\frac{1-x^{2}}{x(1-2 x)}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{x}{(x-1)^{2}(x+2)}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{3 x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}-4\right)}\)
हल:

प्रश्न 12.

हल:
∵ अंश की घात, हर से अधिक है ।
∴ हर से अंश को भाग करने पर

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{3 x-1}{(x+2)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 15.
\(\frac{1}{x^{4}-1}\)
हल:

1 ≡ A(x – 1) (x² + 1) + B(x + 1) (x² + 1) + (Cx + D) (x + 1) (x – 1) …(1)
समी० (1) में x = -1 रखने पर,
1 = A (-1 – 1) (1 + 1)
⇒ 1 = A(-4) ⇒ A = \(-\frac{1}{4}\)
समी० (1) में x =1 रखने पर,
1 = B (1 + 1) (1 + 1)
⇒ 1= B (2) (2) ⇒ B = \(\frac{1}{4}\)
समी० (1) में x³ के गुणांकों की तुलना करने पर,
0 = A + B + C

प्रश्न 16.
\(\frac{1}{x\left(x^{n}+1\right)}\)
हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{1}{x\left(x^{4}-1\right)}\)
हल:

प्रश्न 21.
\(\frac{1}{\left(e^{x}-1\right)}\)
हल:

प्रश्न 22 एवं 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 22.
\(\int \frac{x d x}{(x-1)(x-2)}\) बराबर है-

हल:

प्रश्न 23.
\(\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+1\right)}\) बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1

प्रश्न 1.
वक्र y = x रेखाओं x = 1, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है y² = x
या y = \( \sqrt{{x}} \)
वक्र का शीर्ष मूल बिन्दु है तब यह एक परवलय है।
∵ क्षेत्र POLM, x = 1, x = 4, x-अक्ष तथा वक्रों से घिरा है

प्रश्न 2.
प्रथम चतुर्थांश में वक्र y² = 9x, x = 2, x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y = 9x एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है वक्र x-अक्ष के सममित है ।
क्षेत्र PORS, वक्र y² = 9x,
x = 2, x = 4 तथा x-अक्ष से घिरा है।
अब,
y² = 9x
y = 3\( \sqrt{{x}} \)

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में x² = 4y, y = 2, y = 4 एवं y-अंक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है x² = 4y एक परवलय है
जिनका शीर्ष मूल बिन्दु है।

वक्र y = 2, y = 4 तथा v-अक्ष से घिरा है।
x² = 4y
या ⇒ x = 2\( \sqrt{{y}} \)
क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
∵ समी० में x तथा ) की घात बराबर है अत: यह दोनों अक्षों के सममित हैं।
∴ दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = 4 × OACO का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त का समीकरण
\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
∵ समीकरण में x तथा y की घात बराबर है अतः दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सममित होगा।

प्रश्न 6.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 रेखा r = \( \sqrt{{3}} \)y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या 2 के समान हैं।

प्रश्न 7.
छेदक रेखा x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = a² …(i)
\(\frac{a}{\sqrt{2}}\) …(ii)
समी० (i) से स्पष्ट है कि यह एक वृत्त है और समी० (ii) y-अक्ष के समान्तर \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) मात्रक दूरी पर इसके दायीं ओर एक सरल रेखा है।

प्रश्न 8.
यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = y² एक परवलय है, जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है। y = 0 इसका अक्ष है। जिसके सापेक्ष परवलय सममित हैं तथा x = 4 एक सरल रेखा है जो ‘-अक्ष से 4 इकाई दूरी पर है।

प्रश्न 9.
परवलय y = x² एवं y = |x| से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है y = x² ….(i)
और y = |x|
समी० (i) से स्पष्ट है कि यह एक परवलय का समी० है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।

प्रश्न 10.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० x² = 4y …(i)
तथा रेखा का समी० x = 4y – 2 …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर वक्र तथा रेखा के प्रतिच्छेदन बिन्दु (2, 1) और (-1, 1/4) प्राप्त होते हैं।
वक्र एक ऊपरी ओर का परवलय हैं जिसका केन्द्र मूल बिन्दु हैं।

प्रश्न 11.
वक्र y² = 4x एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० x = 3 …(ii)

समी० (i) एक परवलय का समी० है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।
तथा x = 3 रेखा है जो -अक्ष के समान्तर 3 इकाई दूरी पर है।
अभीष्ट क्षेत्रफल OBCAO का क्षेत्रफल
= 2 × OBCAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 12 व 13 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 12.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) π
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4

प्रश्न 13.
वक्र y² = 4x, y-अक्ष एवं रेखा y = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) 2
(B) \(\frac{9}{4}\)
(C) \(\frac{9}{3}\)
(D) \(\frac{9}{2}\)
हल:
वक्र का समी० y = 4x
यह एक परवलय का समी० है जिसका केन्द्र मूल बिन्दु है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
हल:

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल:
y = a(b² – x²) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 3.
y = ae^3x + be^-2x
हल:
y = ae^3x + be^-2x …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
y = e^2x(a + bx)
हल:
y = e^2x(a + bx) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
y = e^x (a cos x + b sin x)
हल:
ye^x(a cos x + b sin x) ….(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
y – अक्ष को मूल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० जो y – अक्ष पर मूल बिन्दु पर स्पर्श करता है-
(x – a)² + (y – 0)² = a²
x² + y² – 2ax + a² = a²
⇒ x² + y² – 2ax = 0. …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) – 2a = 0
⇒ a = x + y\(\frac{d y}{d x}\) …(ii)
a का मान समी० (i) में रखने पर
x² + y² – 2\(\left(x+y \frac{d y}{d x}\right)\) = 0
⇒2xy\(\frac{d y}{d x}\) + x² – y² = 0

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y – अक्ष की दिशा में है।
हल:
परवलय जिसका शीर्ष मूल बिन्दु तथा अक्ष OY है, का समीकरण
x² = 4ay …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y – अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
इस प्रकार के दीर्घवृत्त के कुल का समी० निम्न होगा

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का समी० जिनकी नाभियाँ x – अक्ष पर तथा केन्द्र मूल बिन्दु हैं-

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
ऐसे वृत्तों के कुल का समी० जिनका केन्द्र y – अक्ष पर हैं और त्रिज्या 3 इकाई हैं
x² + (y – b)² = 9 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2 (y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
y – b = \(-\frac{x}{\left(\frac{d y}{d x}\right)}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) से b को विलुप्त करने पर

प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c₁e^x + c₂e^-x है?

हल:
समीकरण y = c₁e^x + c₂e^-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = c₁e^x – c₂e^-x
पुनः अवकलन करने पर …
y” = c₁e^x + c₂e^-x = y
∴ अवकल समीकरण y” – y = 0
या \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है-

हल:
y = x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = 1
तथा y” = 0
y = x का मान \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0\) में रखने पर,
-x²·1 + x·x = 0 जो सत्य है
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.7 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.7

1 से 9 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए
प्रश्न 1.
\(\sqrt{4-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\sqrt{1-4 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\sqrt{x^{2}+4 x+6}\)
हल:
माना I = \(\int \sqrt{x^{2}+4 x+6} d x\)

प्रश्न 4.
\(\sqrt{x^{2}+4 x+1}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\sqrt{1-4 x-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\sqrt{x^{2}+4 x-5}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\sqrt{1+3 x-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\sqrt{x^{2}+3 x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\sqrt{1+\frac{x^{2}}{9}}\)
हल:

प्रश्न 10 एवं 11 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 10.
\(\int \sqrt{1+x^{2}}\) बराबर है-

हल:
\(\int \sqrt{a^{2}+x^{2}} d x\)

प्रश्न 11.
\(\int \sqrt{x^{2}-8 x+7}\) dx बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Book Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{3 x^{2}}{x^{6}+1}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{\sqrt{9-25 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{3 x}{1+2 x^{4}}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\frac{x^{2}}{1-x^{6}}\)
हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

प्रश्न 24 एवं 25 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 24.
\(\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}\) बराबर है
(A) x tan^-1(x + 1) + C
(B) tan^-1(x + 1) + C
(C) (x + 1) tan^-1 x + C
(D) tan^-1 x + C
हल:

प्रश्न 25.
\(\int \frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^{2}}}\) बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समी० x² = 4y …(i)
तथा वृत्त का समी० x² + y² = \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर बिन्दु \(\left( \pm \sqrt{2}, \frac{1}{2}\right)\) प्रतिच्छेदन बिन्दु के रूप में प्राप्त होते हैं।
∴ दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ODCAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों (x – 1)² + y = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समीकरण
x² + y = 1 …(i)
(x – 1)² + y² = 1
समी० (i) वृत्त का समी० है। जिसका केन्द्र (0, 0) तथा

त्रिज्या 1 इकाई है। जबकि समी० (ii) उस वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र (1,0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है।
समी० (i) व (ii) को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{3} / 2\right)\) है।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2 × OCRAO का क्षेत्रफल
= 2 × [OCAO का क्षेत्रफल + CBAC का क्षेत्रफल]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y = x² + 2
या x² = y – 1 यह एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष (0, 2) है।

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल:
दिया है : शीर्ष बिन्दु (-1, 0), (1, 3) और (3, 2) रेखा AB का समी०

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (ANBA का क्षे० + NMCBN का क्षे०) – AMCA का क्षे०

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के ‘समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
दिया है
भुजाओं के समी० y = 2x + 1 ….(i)
y = 3x + 1 …(ii)
x = 4 …(iii)

प्रश्न 6 एवं 7 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 6.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल है-
(A) 2 (π – 2)
(B) (π – 2)
(C) 2π – 1
(D) 2(π + 2)
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 2 है।

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
वक्र कासमी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० y = 2x …(ii)
समी० (i) व (ii) से
(2x)² = 4x
4x² = 4x
⇒ x² – x = 0
⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0, x = 1

समी० (ii) से जब x = 0, y= 0 और जब x = 1, y = 2
समी० (i) व समी० (ii) का प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) तथा A(1, 2) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए-
प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल:

प्रश्न 2.
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}\)
∵ अंश व हर की घात समान है इसलिए दिया हुआ अवकल समी० समघातीय अवकल समी० हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 3.
(x – y)dy -(x + y)dx = 0
हल:
(x – y) dy – (x + y) dx =0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}\)
∵ अंश व हर की घात समान हैं अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 4.
(x² – y) dx + 2xy dy = 0
हल:
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.
x²\(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
हल:

प्रश्न 6.
x dy – y dx = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) dx
हल:

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) – y + x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
हल:

प्रश्न 9.
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0 …(i)

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 – \(\frac{x}{y}\)) dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया है (x + y) dy + (x – y) dx = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}\) …(i)
∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समी० है।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 12.
x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०
x²dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0: y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right)\) = 0; y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है-
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = y
हल:
जब \(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) हो तो x = yy प्रतिस्थापित करते हैं।
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है
(A) (4x + 6y + 5)dy – (3y + 2x + 4)dx = 0
(B) (xy) dx – (x³ + y³)dy = 0
(C) (x³ + 2y²)dx + 2xy dy = 0
(D) y²dx + (x² – xy – y²)dy = 0
हल:
y²dx + (x² – xy – y²) dy = 0 पर विचार करते हैं।

इस प्रकार अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
2x + 3y = sin x
हल:
2x + 3y = sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
2x + 3y = siny
हल:
यहाँ 2x + 3y = sin y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
ax + by² = cosy
हल:
यहाँ ax + by² = cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
xy + y² = tan x + y
हल:
यहाँ xy + y² = tan x + y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x² + xy + y² = 100
हल:
x² + xy + y² = 100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x² + x²y + xy² + y³ = 81
हल:
यहाँ x² + xy + xy² + y³ = 81
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
sin² y + cos xy = π
हल:
यहाँ sin ²y + cos xy = π
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
sin² x + cos²y = 1
हल:
∵ sin² x + cos² y = 1
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)
हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{e^{x}}{\sin x}\)
हल:
माना \(\frac{e^{x}}{\sin x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
esin^-1x
हल:
माना y = esin^-1x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
e^x3
हल:
माना y = e^x3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sin (tan^-1e^-x)
हल:
माना y = sin (tan^-1e^-x)
के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
log (cos e^x)
हल :
माना y = log (cos e^x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
e^x + e^x2 + … + e^x2
हल :
माना y = e^x + e^x2 + e^x3 + e^x4 + e^x5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
\(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\), x > 0
हल :
माना y = \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
log (log x), x > 1
हल :
माना y = log (logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{\log x}\), x > 0
हल:
माना y = \(\sqrt{\frac{\cos x}{\log x}}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
cos (log x + e^x)
हल:
माना y = cos (log x + e^x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4

प्रश्न 1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए-
(i) \( \sqrt{{25.3}} \)
(ii) \( \sqrt{{49.5}} \)
(iii) \( \sqrt{{0.6}} \)
(iv) (0.009)^1/3
(v) (0.999)^1/10
(vi) (15)^1/4
(vii) (26)^1/3
(viii) (255)^1/4
(ix) (82)^1/4
(x) (401)^1/2
(xi) (0.0037)^1/2
(xii) (26.57)^1/3
(xiii) (81.5)^1/4
(xiv) (3.968)^3/2
(xv) (32.15)^1/5
हल:

प्रश्न 2.
f (2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x + 5x + 2 है।
हल:
यदि f(x) = 4x² + 5x + 2 हो, तब
f(2) = 4(2)² + 5 × 2 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28
∆x = 0.01
∴ f(x) = 8x + 5
df'(x) = f'(x) × ∆x = (x + 5) ∆x
= (8 × 2 + 5) × 0.01
= 21 × 0.01 = 0.21
∴ f(2.01) = f(2) = df (x)
= 28 + 0.21 = 28.21

प्रश्न 3.
f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x³ – 7x² + 15 है।
हल:
∵ f(x) = x³ – 7x² + 15
∴ f(5) = (5)³ – 7(5)² + 15 (x = 5 रखने पर)
= 140 – 175 = -35
∆x = 0.001
∴ f(x) = 3x² – 14x
∴ f(x) = f’ (x) × ∆x
= (3x² – 14x) × 0.001
= [3 (5)² – 14 × 5] × 0.001
= (75 – 70) × 0.001
= 5 × 0.001 = 0.005
∴ f(5.001) = f(5) + df (x)
= -35 + 0.005
= -34.995

प्रश्न 4.
xm भुजा वाले धन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना xm भुजा वाले घन का आयतन V है।
∴ v = x³
भुजा में होने वाली वृद्धि = भुजा का 1%

प्रश्न 5.
xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
घन xm भुजा वाले घन का पृष्ठ = S
∴ S = 6x²
भुजा में हास = x का 1%
= x × \(\frac{1}{100}\) = 0.01x
∴ सन्निकट परिवर्तन = \(\frac{dS}{dx}\) × ∆x
= 12 × (-0.01x)
= -012x²m²
अतः क्षेत्रफल में सन्निकट परिवर्तन = 0.12x²m²

प्रश्न 6.
एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या r = 7 m
त्रिज्या r में अशुद्धि ∆r = 0.03
माना r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S
∴ S = 4πr²
⇒ \(\frac{dS}{dx}\) = 8πr
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल में अशुद्धि = \(\frac{dS}{dx}\) × ∆x
= 8πr × ∆r
= 8 × π × 7 × 0.03
= 2.16πm²

प्रश्न 7.
एक गोले की त्रिज्या 9 m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ r= गोले की त्रिज्या = 9m
∆r त्रिज्या में अशुद्धि = 0.03
s = गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
\(\frac{ds}{dx}\) = 8πr
पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने में अशुद्धि = \(\frac{ds}{dx}\) × ∆r
= 8πr × ∆r
= 8π × 9 × 003
= 2.16 πm³

प्रश्न 8.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो तो f (3.02) का सन्निकट मान है-
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
हल:
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5
f(x) = 6x + 15
f(3) = 3 × 9 + 15 × 3 + 5
= 27 + 45 + 5 = 77
df (x) = f'(x) × ∆x = (6x + 5) × ∆x
= (6 × 3 + 15) × 0.02 [∴ x = 3, ∆x = 0.02]
= (18 + 15) × 0.02
= 33 × 0.02 = 0.66
∴ f(3.02) = f(3) + df (3) = 77 + 0.66 = 77.66
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 9.
भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के धन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
(D) 0.9 x³ m³
हल:
घन का आयतन V = x³ m³ (भुजा = x m)
भुजा में वृद्धि = 3% = x का 3% = 0.03x
आयतन में वृद्धि = \(\frac{d V}{d x}\) × ∆x
= 3x² × ∆x = 3x² × 003x
= 0.09x³ m³
अतः विकल्प (C) सही है।