MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3

प्रश्न 1.
वक्र y = 3x⁴ – 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है वक्र का समीकरण
y = 3x⁴ – 4x

अतः x = 4 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता 764 है।

प्रश्न 2.
वक्र y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
हल:
वक्र y = x³ – x + 1

अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11

प्रश्न 4.
वक्र y = x³ – 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 3 है।
हल:
वक्र y = x³ – 3x + 2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
वक्र x = acos³ θ, y = a sin³ θ के θ = \(\frac{\pi}{4}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया वक्र
x = acos³ θ, y = a sin³ θ

प्रश्न 6.
वक्र x = 1 – asin θ, y = b cos²θ के θ = \(\frac{\pi}{2}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = 1 – asin θ, y = bcos² θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7

⇒ 3x² – 6x – 9 = 0
⇒ 3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
x = 3 पर y = -20
तथा x = -1 पर, y = 12
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, -20) तथा (-1, 12) है।

प्रश्न 8.
वक्र y = (x – 2)² पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) और (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण
y = (x – 2)²
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
∴ स्पर्शी की प्रवणता = 2(x – 2)
तथा बिन्दु (2, 0) व (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = 2
∵ स्पर्शी (2, 0) व (4, 4) से जाने वाली रेखा के समान्तर है।
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2
⇒ 2(x – 2) = 2
⇒ x = 3
∴ x = 3 पर y = (3 – 2)²
= 1
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, 1) होंगे।

प्रश्न 9.
वक्र y = x³ – 11x + 5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।
हल:
y = x³ – 11x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 11 …(1)
स्पर्श रेखा y = x – 11 की प्रवणता = 1 …(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x² – 11 – 1 ⇒ 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
जब x = 2 y = (2)³ -11 × 2 + 5 = 8 – 22 + 5
= 13 – 22 = -9
जब x = -2
y = (-2)³ – 11 × (-2) + 5 = -8 + 22 + 5
= 27 – 8 – 19
∴ (-2, 19) स्पर्श रेखा y = x – 11 पर नहीं है।
∴ बिन्दु (2, -9) पर स्पर्श रेखा y = x – 11है।

प्रश्न 10.
प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-1}\), x ≠ -1 को स्पर्श करती है।
हल:
दिया गया वक्र y = 1
∴ \(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
परन्तु स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1 (दिया है)
∴ \(-\frac{1}{(x-1)^{2}}\) = 1
⇒ (x – 1)² = 1
⇒ x² + 1 – 2x = 1
⇒ x (x – 2) = 0
⇒ x = 0, 2
जब x = 0 तब y = -1
तथा जब x = 2 तब y = 1
अभीष्ट बिन्दु (0, -1) व (2, 1) हैं।
अब बिन्दु (0, -1) पर स्पर्शी का समीकरण
y + 1 = (-1)(x – 0)
y + 1 = -x
⇒ x + y + 1 = 0
तथा बिन्दु (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 1 = (-1) (x – 2)
⇒ y – 1 = -x + 2
⇒ x + y = 3
अतः अभीष्ट समीकरण x + y + 1 = 0 तथा x + y = 3 हैं।

प्रश्न 11.
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\), x ≠ 3 को स्पर्श करती है।
हल:
वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अत: ऐसी कोई स्पर्श रेखा नहीं है जिसकी प्रवणता 2 हो।

प्रश्न 12.
प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x^{2}-2 x+3}\) को स्पर्श करती है।
हल:

प्रश्न 13.
वक्र \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ,
(i) x-अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल:
दिया गया वक्र

प्रश्न 14.
दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5 के (0, 5) पर
(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 के (1, 3) पर
(iii) y = x³ के (1, 1) पर
(iv) y = x² के (0, 0) पर
(v) x = cost, y = sint के t = \(\frac{\pi}{4}\) पर
हल:
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
वक्र y = x² – 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
(b) रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।
हल:
दिया गया वक्र
y = x² – 2x + 7 …(i)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 2
(a) ∵ स्पर्शी, रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
∴ स्पर्शी की प्रवणता रेखा 2x – y + 9 = 0 की प्रवणता = 2
∴ \(\frac{d x}{d y}\) = 2
⇒ 2x – 2 = 2
⇒ x = 2
जब x = 2 तब (1) से y = 2² – 2(2) + 7 = 7
∴ बिन्दु (2, 7)
∴ स्पर्श रेखा का समी० जो दी गई रेखा के समान्तर है बिन्दु (2, 7) पर,
y – y = 2(x – 2)
⇒ 2x – y + 3 = 0

(b) दी गई रेखा 5y – 15x = 13 की प्रवणता m₁ = \(\frac{15}{5}\) = 3 तथा स्पर्शी रेखा की प्रवणता m₂ = 2(x – 1)
∵ स्पर्शी व रेखा परस्पर लम्ब है
∴ m₁ × m₂ = -1
⇒ 3 × 2(x – 1)= -1
⇒ 6x – 6 = -1
⇒ x = 5/6
x = 5/6 समी० (i) में रखने पर,

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x³ + 11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ x = 2 तथा x = -2 है।
हल:
यहाँ y = 7x³ + 11
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 21x²
जब x = 2, स्पर्श रेखा की प्रवणता
= 21 × 2² = 21 × 4 = 84
जब x = -2, स्पर्श रेखा की प्रवणता = 21 × (-2)² = 84
x = 2 और x = -2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान है।
∴ इन बिन्दुओं पर स्पर्शरेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 17.
वक्र y = x³ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y – निर्देशांक के बराबर है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x₁, y₁) है।
वक्र का समी०

प्रश्न 18.
वक्र y = 4x³ – 2x⁵, पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।
हल:
वक्र का समीकरण,
y = 4x³ – 2x⁵ …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 12×2 – 10×4
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 12x₁² – 10x₁⁴ …(2)
(x₁, y₁) वक्र पर भी स्थित है।
∴ y₁² = 4x₁³ – 2x₁⁵ …(3)
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(x – x₁)
बिन्दु (0, 0) पर
0 – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(0 – x₁) – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(-x₁)
समी० (3) से 1 का मान रखने पर,
(4x₁³ – 2x₁⁵) = x₁(12x₁² – 10x₁⁴)
⇒ x₁³(4 – 2x₁²) = x₁³(12 – 10x₁²)
⇒ 4 – 2x₁² = 12 – 10x₁²
⇒ -2x₁² + 10x₁² = 12 – 4
⇒ 8x₁² = 8 ⇒ x₁² =1 ∴ x = ±1, x₁ = 0
वक्र का समीकरण, y = 4x³ – 2x⁵
जब x₁ = 0 y₁ = 0
जब x₁ = 1, y₁ = 4 – 2 = 2
जब x₁ = -1, y₁ = -4 + 2 = -2
अतः अभीष्ट बिन्दु (0, 0), (1, 2),(-1, -2) है।

प्रश्न 19.
वक्र x² + y² – 2x – 3 = 0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र
x² + y² – 2x – 3 = 0

अतः स्पर्श रेखा पर स्थित अभीष्ट बिन्दु (1, ±2) हैं।

प्रश्न 20.
वक्र ay² = x³ के बिन्दु (am², am³) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण ay² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 21.
y = x³ + 2x + 6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समान्तर हैं।
हल:
वक्र का समीकरण, y = x³ + 2x + 6
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 22.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y² = 4ax

∴ अभिलम्ब का समीकरण
y – 2at = -t (x -at²)
⇒ y – 2at = -xt + at³
⇒ xt + y = 2at + at³

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यदि 8k² = 1 है।
हल:
वक्र x = y² …(1)
तथा xy = k …(2)
x का मान समी० (2) में रखने पर,
y². y = k → y³ = k ∴ y = k^1/3 तथा x = k^2/3
अतः दिए गए वक्र एक-दूसरे को P(k^2/3, x^1/3) पर काटते हैं।
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
अतिपरवलय \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के बिन्दु (x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
अतिपरवलय का समीकरण

प्रश्न 25.
वक्र y = \(\sqrt{3 x-2}\) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x – 2y + 5 = 0 के समान्तर
हल:
वक्र का समीकरण t = \(\sqrt{3 x-2}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

नोट-प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 26.
वक्र y = 2x² + 3 sin x के x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है-
(A) 3
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) -3
(D) \(-\frac{1}{3}\)
हल:
वक्र का समीकरण y = 2x² + 3sin x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 4x + 3cosx
x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 4 × 0 + 3cos 0 = 3
∴ अभिलम्ब की प्रवणता = \(-\frac{1}{m}=-\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 27.
किस बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (-1, 2) है।
हल:
वक्र का समीकरण y² = 4x …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
4 = 4x ∴ x = 1
बिन्दु (1, 2) पर रेखा y = x + 1 स्पर्श रेखा है।
अतः विकल्प (A) सही है।