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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
हल:
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प्रश्न 2.
y2 = a(b2 – x2)
हल:
y = a(b2 – x2) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 3.
y = ae3x + be-2x
हल:
y = ae3x + be-2x …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 4.
y = e2x(a + bx)
हल:
y = e2x(a + bx) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 5.
y = ex (a cos x + b sin x)
हल:
yex(a cos x + b sin x) ….(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 6.
y – अक्ष को मूल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० जो y – अक्ष पर मूल बिन्दु पर स्पर्श करता है-
(x – a)2 + (y – 0)2 = a2
x2 + y2 – 2ax + a2 = a2
⇒ x2 + y2 – 2ax = 0. …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) – 2a = 0
⇒ a = x + y\(\frac{d y}{d x}\) …(ii)
a का मान समी० (i) में रखने पर
x2 + y2 – 2\(\left(x+y \frac{d y}{d x}\right)\) = 0
⇒2xy\(\frac{d y}{d x}\) + x2 – y2 = 0

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y – अक्ष की दिशा में है।
हल:
परवलय जिसका शीर्ष मूल बिन्दु तथा अक्ष OY है, का समीकरण
x2 = 4ay …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
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प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y – अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
इस प्रकार के दीर्घवृत्त के कुल का समी० निम्न होगा
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प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का समी० जिनकी नाभियाँ x – अक्ष पर तथा केन्द्र मूल बिन्दु हैं-
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प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
ऐसे वृत्तों के कुल का समी० जिनका केन्द्र y – अक्ष पर हैं और त्रिज्या 3 इकाई हैं
x2 + (y – b)2 = 9 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2 (y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
y – b = \(-\frac{x}{\left(\frac{d y}{d x}\right)}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) से b को विलुप्त करने पर
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प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c1ex + c2e-x है?
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हल:
समीकरण y = c1ex + c2e-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = c1ex – c2e-x
पुनः अवकलन करने पर …
y” = c1ex + c2e-x = y
∴ अवकल समीकरण y” – y = 0
या \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

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प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है-
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हल:
y = x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = 1
तथा y” = 0
y = x का मान \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0\) में रखने पर,
-x2·1 + x·x = 0 जो सत्य है
अतः विकल्प (C) सही है।