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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :

∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ \(r=\frac { 25 }{ 2 }\) [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{11 \times 625}{28}=\frac{6875}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = \(\frac{6875}{28}-84=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :

ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :

चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{660}{7}+36 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)²
= \(16-\frac{44}{7}=\frac{112-44}{7}=\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\) हैं।

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = \(\frac{r}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) = (AD)² = (48)²

अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r₂ = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r₁ = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr₂ + 2l
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 30 + 2 x 106
= \(\frac { 1320 }{ 7 }\) + 212
= \(\frac { 1320+1484 }{ 7 }\)
= \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m है।

(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r₁² – r₂²) + 2 x l x b
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (1600 – 900) + 2120
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r_{2}=\frac{d}{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)

= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो

∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \(3 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)
= 3 x \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :

चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
ar (OACB) = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2}=\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BO x OD
ar (DOB) = \(\frac{1}{2} \times 3 \cdot 5 \times 2=3 \cdot 5 \mathrm{cm}^{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= \(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}=\frac{77-28}{8}=\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :

दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।

ar (OCD) = \(\frac { 77 }{ 6 }\) cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 308 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,

= अर्द्ध वृत्त का व्यास

ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :

प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}=\frac{352}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल

ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac { 128 }{ 7 }\)
= \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = \(2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}\)
= \(\frac{704}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= \(\frac{704}{7}-64=\frac{704-448}{7}=\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 10 Additional Questions Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है। सिद्ध कीजिए।
अथवा
वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है। सिद्ध कीजिए।
हल :

ज्ञात है : वृत्त C (O, r) की स्पर्श रेखा AB जिसका बिन्दु P स्पर्श बिन्दु है। OP स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या है।
सिद्ध करना है : OP ⊥ AB
रचना : रेखा AB पर P के अतिरिक्त एक अन्य बिन्दु Q लीजिए और OQ को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵Q एस्पर्श रेखा AB पर स्पर्श बिन्दु P के अतिरिक्त कोई अन्य बिन्दु है।
∵ Q वृत्त के बाहर स्थित होगा।
∴ OQ > OP
अर्थात् OP < OQ
∵ किसी बिन्दु O से रेखा AB तक खींचे गये रेखाखण्डों में OP सबसे छोटा है।
∴ OP ⊥ AB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ तुल्य होती हैं। सिद्ध कीजिए।
अथवा
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। सिद्ध कीजिए। (2019)
हल :

ज्ञात है : वृत्त C (O, r) पर बाह्य बिन्दु P से खींचे गए दो स्पर्श रेखाखण्ड PQ और PR हैं।
सिद्ध करना है : PQ = PR
रचना : रेखाखण्ड OP, OQ और OR खींचिए।
उपपत्ति : ∵ PQ एवं PR स्पर्श रेखाएँ और OQ एवं OR त्रिज्याएँ हैं।
∴ OQ ⊥ PQ
OR ⊥ PR
∴ ∠OQP = ∠ORP = 90°
अब समकोण ∆OQP एवं ∆ORP में,
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
∵ भुजा OQ = भुजा OR [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∴ ∆OQP ≅ ∆ORP [R.H.S. सर्वांगसम प्रमेय से]
∴ PQ = PR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि किसी वृत्त की जीवाएँ एक-दूसरे को वृत्त के अन्तर्गत या बहिर्गत प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खण्डों से निर्मित आयत दूसरी जीवा के खण्डों से निर्मित क्षेत्रफल के तुल्य होगा।
अथवा
यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ वृत्त के अन्दर या बढ़ाने पर वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करती हों, तो एक जीवा के दो खण्डों से बने आयत का क्षेत्रफल दूसरी जीवा के दो खण्डों से बने आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हल :
ज्ञात है : वृत्त C (O,r) की दो जीवाएँ AB और CD जो वृत्त के अन्दर या बढ़ाने पर वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है : PA.PB = PC.PD
रचना : AC और BD को मिलाइए।

उपपत्ति : स्थिति-I में जबकि जीवाएँ AB एवं CD वृत्त के अन्दर बिन्दु P पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं :
∆PAC और ∆PDB में,
∵ ∠PCA = ∠PBD [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं।
∵ ∠PAC = ∠PDB [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं।
∵ ∠APC = ∠BPD [शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∴ ∆PAC ~ ∆PDB [AAA समरूपता प्रमेय]
∴ \(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\) [समरूप त्रिभुजों की परिभाषा से]
अर्थात् PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्
स्थिति-II में जबकि जीवाएँ AB एवं CD बढ़ाने पर वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं :
∵ ∠PAC + ∠CAB = 180° …(1) [कोणों का रैखिक युग्म]
∵ ∠CAB + ∠CDB = 180° …(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं|
∴ ∠PAC = ∠CDB (या ∠PDB) [(1) एवं (2) से]
इसी प्रकार ∠PCA = ∠ABD (या ∠PBD)
अब ∆PAC और ∆PDB में,
∵ ∠PAC = ∠PDB [सिद्ध कर चुके हैं।
∵ ∠PCA = ∠PBD [सिद्ध कर चुके हैं।
∵ ∠APC = ∠DPB [उभयनिष्ठ हैं
∴ ∆PAC ~ ∆PDB [AAA समरूपता प्रमेय]
∴ \(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\) [समरूप त्रिभुजों की परिभाषा से
अर्थात् PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
PAB, O केन्द्र के वृत्त की छेदक रेखा है, जो वृत्त को A एवं B पर काटती है तथा PT स्पर्श रेखा है, तो सिद्ध कीजिए कि PA.PB = PT².
अथवा
यदि PAB वृत्त की छेदक रेखा हो जो वृत्त को A और B पर प्रतिच्छेद करती है और PT एक स्पर्श रेखा हो, तो सिद्ध कीजिए कि PA.PB = PT².
हल :
ज्ञात है : वृत्त C (O, r) की एक छेदक रेखा PAB जो वृत्त को A एवं B पर प्रतिच्छेद करती है तथा PT एक स्पर्श रेखा जो वृत्त को T पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है : PA.PB = PT²
रचना : OM ⊥ AB खींचिए। OA, OP एवं OT को मिलाइए।
उपपत्ति: PA.PB = (PM – AM) (PM + MB)
= (PM – AM) (PM+ AM)
[∵ OM ⊥ AB ⇒ AM = MB]
= PM² – AM²
= (OP² – OM²) – (OA² – OM²)
= OP² – OA² [पाइथागोरस प्रमेय]
= OP² – OT² [∵ OA = OT त्रिज्याएँ हैं।
= PT² [पाइथागोरस प्रमेय]
अतः, PA.PB = PT².
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि कोई रेखा वृत्त को स्पर्श करे और स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाये, तो वे कोण जो जीवा स्पर्श रेखा के साथ बनाती है, क्रमशः संगत एकान्तर वृत्त खण्ड में बने कोणों के बराबर होते हैं।
अथवा
यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए, तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा के साथ बनाए गए कोण, संगत एकान्तर वृत्त खण्डों में बनाए गए कोण के क्रमशः बराबर होते हैं।
हल :

ज्ञात है : AB वृत्त C (O,r) की एक स्पर्श रेखा है जिसका स्पर्श बिन्दु P है। P से एक जीवा PQ खींची गई है। ∠PRO एवं ∠PSQ क्रमशः वृत्त खण्डों में बने कोण हैं।
सिद्ध करना है: ∠PRQ = ∠QPB
एवं ∠PSQ = ∠OPA
रचना : व्यास POT खींचिए और TQ को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠TOP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
∴ ∠TPQ + ∠PTQ = 90° …(1) [समकोण त्रिभुज के शेष कोण हैं।
∵ ∠TPQ + ∠QPB = ∠TPB = 90° …(2) [∵ TP ⊥ AB]
∴ ∠PTQ = ∠QPB [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ∠PTQ = ∠PRQ [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं]
∴ ∠PRQ = ∠QPB. इति सिद्धम
∵ ∠QPA + ∠QPB = 180° [ऋजु रेखीय युग्म]
∵ ∠PSQ + ∠PRQ = 180° [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∴ ∠PSQ + ∠PRQ = ∠QPB + ∠QPA
लेकिन ∠PRQ = ∠QPB [सिद्ध कर चुके हैं।
∴ ∠PSQ = ∠QPA.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को (अन्तः या बाह्य रूप से) स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिन्दु वृत्तों के केन्द्रों को मिलाने वाली सरल रेखा पर स्थित होता है।
अथवा
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को (आन्तरिकतः या बाह्यतः) स्पर्श करते हों, तो स्पर्श बिन्दु केन्द्रों से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित होता है।
हल :
ज्ञात है : दो वृत्त C (O, r) एवं C (O’, r’) एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है : O, P एवं O’ सरेख हैं।
रचना : बिन्दु P पर दोनों वृत्तों की सामान्य स्पर्शी APB खींचिए। OP एवं O’P को मिलाइए।

उपपत्ति: स्थिति-I में,
∵ त्रिज्या OP के सिरे P पर APB वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∴OP ⊥ APB
इसी प्रकार O’P ⊥ APB
किसी रेखा के किसी बिन्दु पर एक ही ओर एक और केवल एक लम्ब खींचा जा सकता है।
इसीलिए OP एवं O’ P संपाती होंगी।
अतः O,O’,P संरेख हैं। इति सिद्धम्
स्थिति-II में,
∵ त्रिज्या OP के सिरे P पर APB वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∴ OP ⊥ APB
अर्थात् ∠OPA = 90°
इसी प्रकार ∠APO’ = 90°
∴ ∠OPA + ∠APO’ = 180°
इसलिए O, P एवं O’ संरेख हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में दो वृत्त जिनके केन्द्र O एवं O’ हैं, एक-दूसरे को A पर स्पर्श करते हैं। A से एक सरल रेखा खींची गई है जो वृत्तों को B और C पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि B और C पर स्पर्श रेखाएँ समानान्तर हैं।

हल :
ज्ञात है : O एवं O’ केन्द्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को A पर स्पर्श करते हैं। A से एक रेखा खींची गई है, जो वृत्तों को क्रमश: B एवं C पर काटती है। B तथा C पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः DE एवं FG खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : रेखा DE || रेखा FG
रचना : OB एवं O’C को मिलाया।
उपपत्ति : ∵ OB = OA [एक ही वृत्त की त्रिज्या हैं।
∴ ∠OBA = ∠OAB …..(1)
[समान भुजाओं के सामने के कोण हैं।
∴ O’A = O’C [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ ∠O’AC = ∠O’CA …(2)
[समान भुजाओं के सामने के कोण हैं।
∠OAB = ∠O’CA …(3)
[शीर्षाभिमुख कोण हैं
समीकरण (1) एवं (3) से,
∠OBA = ∠O’CA …(4)
∵ ∠OBA + ∠ABE = ∠O’CA + ∠ACF …(5)
[क्योंकि OB ⊥ DE एवं O’C ⊥ FG]
समीकरण (4) एवं (5) से,
∠ABE = ∠ACF
लेकिन ये कोण एकान्तर कोण हैं।
अतः, DE || FG.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC, त्रिभुज का परिगत वृत्त खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि वृत्त के बिन्दु A पर खींची गई स्पर्श रेखा BC के समानान्तर है।
अथवा
यदि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हो, जहाँ AB = AC हो, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC के परिवृत्त के बिन्दु A पर स्पर्श रेखा BC के समानान्तर होती है।
हल :
दिया है : समद्विबाहु ∆ABC, जिसमें AB = AC
∆ABC के परिवृत्त C (O, r) के बिन्दु A से जाने वाली स्पर्श रेखा PQ

सिद्ध करना है : PQ || BC
रचना : A से BC पर लम्ब AM खींचिए।
उपपत्ति : ∵ AM ⊥ BC
∴ ∠AMB = 90° …(1)
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से डाला गया लम्ब आधार को समद्विभाजित करता है, अत: AM, BC का लम्ब समद्विभाजक है। चूँकि चाप BC का लम्ब समद्विभाजक AM है।
अतः AM परिवृत्त के केन्द्र O से होकर जायेगा।
∵ ∠MAQ = ∠OAQ = 90° [∵ PQ स्पर्श रेखा है] …(2)
∴ ∠AMB = ∠MAQ [OA ⊥ PQ]
लेकिन ये एकान्तर कोण हैं।
∴ PQ || BC.
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
AB वृत्त का व्यास और AC जीवा है। ∠BAC = 30°, C बिन्दु पर वृत्त की स्पर्श रेखा AB को उसके बढ़े हुए भाग से D पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि
BC = BD.
हल :

ज्ञात है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O है।
इसका व्यास AOB है। एक जीवा AC है तथा ∠BAC = 30° है। C पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है, जो AB को बढ़ाने पर D बिन्दु पर काटती है।
सिद्ध करना है : BC = BD
रचना : OC को मिलाया।
उपपत्ति : ∵ चाप BC द्वारा केन्द्र पर बना
कोण ∠BOC तथा शेष परिधि पर बना कोण ∠BAC है।
∴ ∠BOC = 2 ∠BAC = 2 x 30° = 60°
∵ OB = OC [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं|
∴ ∠OBC = ∠OCB = 60° [: ∠BOC = 60°]
∵ OC त्रिज्या एवं CD स्पर्श रेखा है।
∴ ∠OCB + ∠BCD = ∠OCD = 90°
⇒ 60° + ∠BCD = 90°
⇒ ∠BCD = 90° – 60° = 30°
∆OCD में, ∠OCD + ∠COD + ∠ODC = 180°
⇒ 90° +60° + ∠BDC = 180°
∠BDC = 180° – 90° – 60° = 30°
∆BCD में,
∵ ∠BCD = ∠BDC = 30°
∴ भुजा BC = भुजा BD [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं।
अतः, BC = BD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
दी हुई आकृति चित्र 10.26 में चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाओं को स्पर्श करता हुआ वृत्त खींचा गया है। AB = 6 सेमी, BC = 7 सेमी और CD = 4 सेमी। AD का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दी हुई आकृति के अनुसार,
∵ \(x+y=\overline{A B}=6\) …(1)
∵ \(y+z=\overline{B C}=7\) ….(2)
∵ \(z+t=\overline{C D}=4\) …(3)
समीकरण (1) एवं (3) को जोड़ने पर,
x + y + z + t = 6 + 4 = 10 …(4)
समीकरण (4) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
x + t = 10 – 7 = 3
⇒ AD = 3 सेमी
अतः, AD का अभीष्ट मान = 3 सेमी।

प्रश्न 11.
त्रिभुज ABC के अन्तर्गत वृत्त भुजाओं AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी और CA = 8 सेमी को क्रमशः D, E और F . बिन्दुओं पर स्पर्श करता है। AD, BE और CF के मान बताइए।

हल :
मान लीजिए AD = x, BE = y एवं CF = z हैं|
⇒ AD = AF = x, BE = BD = y एवं CF = CE = z (बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं) तथा AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी एवं CA = 8 सेमी।
अब चित्रानुसार,
AD + DB = AB
⇒ x + y = 12
∵ BE + EC = BC
⇒ y + z = 16
∵ CF + FA = CA
⇒ z + x = 8
समीकरण (1) + (2) + (3) से,
2x + 2y + 2x = 12 + 16 + 8 = 36
⇒ x + y + z = 18
समीकरण (4) में से क्रमशः (2), (3) एवं (1) को घटाने पर,
x = 2, y = 10 एवं z = 6
अर्थात्, AD = 2 सेमी, BE = 10 सेमी तथा CF = 6 सेमी।

प्रश्न 12.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाए तो सिद्ध कीजिए कि
(i) स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
(ii) उस बाह्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच अन्तरित कोण को समद्विभाजित करती है।
हल :

ज्ञात है : वृत्त (O, r) पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गई हैं जो वृत्त को क्रमशः Q एवं R बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
OQ एवं OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∠POQ = ∠POR
(ii)∠QPO = ∠RPO
उपपत्ति : समकोण ∆OOP एवं ∆ORP में,
∵ OQ = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
⇒∆OQP = ∆ORP [R.H.S. सर्वांमसमता]
⇒∠POQ = ∠POR [CPCT]
∠QPO = ∠RPO. [CPCT] इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में दो समान त्रिज्या के वृत्त जिनके केन्द्र O तथा O’ हैं परस्पर बिन्दु X पर स्पर्श करते हैं। OO’ को बढ़ाने पर O’ केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दु A पर काटता है। बिन्दु A से O केन्द्र वाले वृत्त पर AC एक स्पर्श रेखा है तथा O’D ⊥ AC है। \(\frac { DO’ }{ CO }\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है : समान त्रिज्या वाले दो वृत्त (O, r) एवं (O’, r) जो परस्पर बिन्दु X पर स्पर्श करते हैं।
OO’ बढ़ाने पर वृत्त (O’, r) को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। बिन्दु A से वृत्त (O, r) पर स्पर्श रेखा AC खींची गयी है जो वृत्त (O, r) को बिन्दु C पर स्पर्श करती है। केन्द्र O’ से AC पर O’D ⊥ AC खींचा गया है। OC को मिलाया गया है।
O’A = O’X = OX = r …(1) बराबर वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
⇒AO = AO’ + O’X + XO = r + r + r = 3r …(2)
चूँकि O’D ⊥ AC एवं OC स्पर्श बिन्दु C से जाने वाली त्रिज्या है।
⇒∠ADO’ = ∠ACO = 90° …(3)
अब त्रिभुज ∆ADO’ एवं ∆ACO में,
∵ ∠ADO’ = ∠ACO = 90° [समीकरण (3) से]
∵ ∠O’AD = ∠OAC [उभयनिष्ठ है।
⇒ ∆ADO’ ~ ∆ACO

अतः, \(\frac { DO’ }{ CO }\) का अभीष्ट मान \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, XY तथा X’Y’, O केन्द्र वाले वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा एक अन्य स्पर्श रेखा AB, जिसका स्पर्श बिन्दु C है, XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90°.

हल :
ज्ञात है : वृत्त (O, r) की दो स्पर्श रेखाएँ XY || X’Y’ जो वृत्त को क्रमशः P एवं Q पर स्पर्श करती हैं। तीसरी स्पर्श रेखा AB जो वृत्त को C पर स्पर्श करती है तथा XY एवं X’Y’ को क्रमश: A एवं B बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। OA, OB एवं OC को मिलाया गया है। POQ वृत्त का व्यास है। (आकृति देखिए)
चूँकि बाह्य बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ AP एवं AC हैं तथा बिन्दु A को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा AO है एवं हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
⇒∠POA = ∠AOC ….(1)
इसी प्रकार बाह्य बिन्दु B में दो स्पर्श रेखाएँ BQ एवं BC हैं।
⇒∠COB = ∠BOQ …..(2)
लेकिन ∠POA + ∠AOC + ∠COB + ∠BOQ = 180° …..(3)
चूँकि रेखा PQ के बिन्दु O पर एक ही ओर बने कोण हैं।
⇒∠AOC + ∠COB = ∠POA + ∠BOQ = 90°
[समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
⇒∠AOB = 90°. [चूँकि ∠AOB = ∠AOC + ∠COB]
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त की किसी चाप के मध्य-बिन्दु पर खींची गयी स्पर्श रेखा, चाप के अन्त्य बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर होती है।
हल :

ज्ञात है : वृत्त (O,r) के चाप APB के मध्य-बिन्दु P से स्पर्श रेखा XPY दी है। जीवा AB को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है:
AB || XY
रचना : OA, OP एवं OB को मिलाइए, जहाँ OP, जीवा AB को बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
अब ∆OAQ एवं ∆OBQ में,
∵ OA = OB = r [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ ∠AOP = ∠BOP
[बराबर चाप \(\widehat{A P}\) एवं \(\widehat{B P}\) द्वारा केन्द्र O पर बने कोण हैं|
∵ OQ = OQ [उभयनिष्ठ है]
⇒∆OAQ = ∆OBQ [SAS सर्वांगसमता]
⇒∠OQA = ∠OQB [CPCT]
⇒∠OQA + ∠OQB = 180° [रैखिक युग्म]
⇒∠ODA = ∠OOB = 90° ….(1) [प्रमेय : 10.1]
⇒∠OPY = 90° …(2)
⇒∠OQB = ∠OPY [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒AB || XY. [चूँकि संगत कोण ∠OQB = ∠OPY]
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
एक समकोण त्रिभुज ABC में ∠B समकोण है। AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है जो कर्ण AC को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P पर खींची गयी
वृत्त की स्पर्श रेखा BC को समद्विभाजित करती है।
हल :
ज्ञात है : ABC एक समकोण त्रिभुज जिसका ∠B = 90°. AB को व्यास लेकर एक वृत्त जिसका केन्द्र O है, खींचा गया है जो AC को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है। P पर स्पर्श रेखा XY खींची गयी है जो BC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: DB = DC

रचना : OP को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠OAP = ∠OPA …(1)
[∆OAP में, OA = OP]
∵∠APX = ∠CPD …(2)
(शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∵∠XPA + ∠APO = ∠XPO = 90° …(3)
[स्पर्श रेखा एवं त्रिज्या के बीच कोण है]
⇒∠XPA + ∠OAP = 90° …(4)
[समीकरण (1) एवं (3) से]
⇒∠CPD + ∠OAP = 90° ….(5) [समीकरण (2) एवं (4) से]
लेकिन ∠PCD + ∠OAP = ∠ACB + ∠BAC = 90° …(6)
[समीकरण ∆ABC के न्यूनकोण हैं]
⇒∠CPD = ∠PCD [समीकरण (5) एवं (6) से]
⇒DP = DC ….(7) [बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
लेकिन DP = DB …(8)
[बाह्य बिन्दु D से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ।
⇒DB = DC. [समीकरण (7) एवं (8) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र O से 13 cm दूर स्थित बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ AP और AQ हैं जो वृत्त को क्रमशः P एवं Q बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। यदि लघु
चाप PQ के किसी बिन्दु R पर स्पर्श रेखा BC खींची गई है जो AP एवं AQ को क्रमश: B एवं C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है तो ∆ABC की परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : वृत्त के केन्द्र O से OA = 13 cm दूर स्थित बिन्दु A से AP एवं AQ दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। वृत्त के लघु चाप PQ के बिन्दु R पर तीसरी स्पर्श रेखा BC इस प्रकार है कि वह AP एवं AQ को क्रमशः B एवं C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त की त्रिज्या OP = 5 cm है।
समकोण ∆OPA में पाइथागोरस प्रमेय से,
AP² = OA² – OP²
AP² = (13)² – (5)² = 169 – 25 = 144
AP = √144 = 12 cm = AQ …(1) [बाह्य बिन्दु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ]
BP = BR …(2) [बाह्य बिन्दु B से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।]
CQ = CR …(3) [बाह्य बिन्दु C से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।]
परिमाप (∆ABC) = AB + BC + AC
= AB + BR + CR + AC …(4) [∵ BC = BR + CR]
⇒ परिमाप (ABC) = AB + BP + CQ + AC
[समीकरण (2), (3) एवं (4) से]
⇒ परिमाप (ABC) = AP + AQ
[∵ AB + BP = AP एवं CQ + AC = AQ]
⇒ परिमाप (ABC) = 12 + 12 = 24 cm
[AP = AQ = 12 cm, समीकरण (1) से]
अतः ∆ABC की अभीष्ट परिमाप 24 cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु से वृत्त के सम्पर्क तक दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होंगी। हल :

ज्ञात है : वृत्त O की जीवा AB के सिरों A और B पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है : PA = PB
उपपत्ति: ∵ वृत्त के बाहर किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर बराबर होती हैं।
∴ PA = PB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दो वृत्त एककेन्द्रीय (concentric) हैं। सिद्ध कीजिए कि बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, सम्पर्क बिन्दु (Point of Contact) पर समद्विभाजित होती है।
हल :

ज्ञात है : चित्रानुसार, दो एककेन्द्रीय वृत्त हैं, बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है : AP = BP
उपपत्ति : चूँकि रेखाखण्ड \(\overline{A P B}\) अन्तःवृत्त की स्पर्श रेखा है। तथा OP त्रिज्या है।
∴ OP ⊥ AB
∵ AB बाह्य वृत्त की जीवा है तथा OP केन्द्र O से इस पर डाला गया लम्ब है।
∴ AP = BP.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD एवं DC की लम्बाइयाँ क्रमश: 6 cm तथा 9 cm है। यदि ∆ABC का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है, B. तो भुजाओं AB तथा AC की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : O केन्द्र वाला त्रिभुज जिसके परिगत एक त्रिभुज ABC है जिसकी भुजाएँ BC, CA एवं AB क्रमश: D, E एवं F बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। वृत्त की त्रिज्या OD = 3 cm, BD = 6 cm

एवं DC = 9 cm दिया है, तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ar (ABC) = 54 वर्ग सेमी है। मान लीजिए AF = AE = x cm वृत्त की बाह्य बिन्दु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।)
∵BF = BD = 6 cm
[बाह्य बिन्दु B से खींची स्पर्श रेखाएँ]
CE = CD = 9 cm [बाह्य बिन्दु C से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।
⇒ AB = (x + 6) cm, AC = (x + 9) cm
BC = 6 + 9 = 15 cm
∵ ar (∆OAB) + ar (∆OAC) + ar (∆OBC) = ar (∆ABC)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OF x AB + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OE x AC + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OD x BC = 54
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x (x + 6) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x (x + 9) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x 15 = 54
⇒ \(\frac{3}{2} x+9+\frac{3}{2} x+\frac{27}{2}+\frac{45}{2}=54\)
⇒ 3x + 9 + 36 = 54
⇒ 3x = 54 – 45 = 9
⇒ x = \(\frac { 9 }{ 3 }\) = 3
⇒ AB = x + 6 = 3 + 6 = 9
⇒ AC = x + 9 = 3 + 9 = 12
अतः, AB एवं AC की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमश: 9 cm एवं 12 cm हैं।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में दी स्पर्श रेखाएँ RQ तथा RP वृत्त के बाह्य बिन्दु R से खींची गयी हैं। वृत्त का केन्द्र O है। यदि ∠PRQ = 120° है, तो सिद्ध कीजिए कि OR = PR + RQ.
हल :

ज्ञात है : बाह्य बिन्दु R से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं। ∠PRQ = 120° है।
सिद्ध करना है : OR = PR + RQ
रचना : OP एवं OQ को मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि RP एवं RQ बाह्य बिन्दु R से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं तथा बाह्य बिन्दु R को केन्द्र O से मिलाने वाला रेखाखण्ड OR है।
∠PRO = ∠QRO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRQ
∠PRO = ∠QRO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120°
= 60° [∵ ∠PRQ = 120°, दिया है]
अब समकोण ∆OPR में, \(\frac { PR }{ OR }\) = cosPRO
⇒\(\frac { PR }{ OR }\) = cos 60° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ⇒ PR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR
इसी प्रकार समकोण ∆OOR में, RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) OR
⇒PR + RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR + \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR = OR
OR = PR + RQ.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में एक बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र तथा r त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PT तथा PS खींची गई हैं। यदि OP = 2r है, तो दर्शाइए कि
∠OTS = ∠OST = 30°.
हल :

ज्ञात है : PT एवं PS वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
OP = 2r बाह्य बिन्दु P को वृत्त के केन्द्र O से मिलाने वाला रेखाखण्ड एवं OT = OS = r त्रिज्या हैं।
∵ समकोण ∆OTP में, \(\frac { OT }{ OP }\) = cos TOP
⇒ cos TOP = \(\frac{r}{2 r}=\frac{1}{2}\) = cos 60°
∠TOP = 60° …(1)
इसी प्रकार cos SOP = \(\frac{O S}{O P}=\frac{r}{2 r}=\frac{1}{2}\) = cos 60° ⇒ ∠SOP = 60° …(2)
चूँकि ∆OTS में, OS = OT [वृत्त की त्रिज्याएँ]
⇒ ∠OTS = ∠OST = θ [मान लीजिए] …(3)
[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं|
∵ ∆OTS में, ∠OTS + ∠OST + ∠TOS = 180° [∆ के अन्त:कोण हैं]
⇒ ∠OTS + ∠OST + ∠TOP + ∠SOP = 180° [चित्रानुसार]
⇒ θ + θ + 60° + 60° = 180°
⇒ 2θ = 180° – 120° = 60°
⇒ θ = 30°
⇒ ∠OTS = ∠OST = 30°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर PQ एक स्पर्श रेखा है। यदि AB एक व्यास है तथा ∠CAB = 30° है, तो ∠PCA ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रथम विधि : ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर स्पर्श रेखा PQ है, AOB व्यास है। ∠CAB = 30° दिया है
∵∠ACB = 90°
[अर्द्धवृत्त का कोण है]
एवं ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°
[त्रिभुज के अन्तःकोण हैं।]
⇒ 30° + ∠ABC + 90° = 180°
⇒ ∠ABC = 180 – 90° – 30° = 180° – 120° = 60° …(1)
∵∠PCA = ∠ABC …(2) [एकान्तर अवधा के कोण हैं|
⇒ ∠PCA = ∠ABC = 60° [समीकरण (1) एवं (2) से]
वैकल्पिक विधि : OC को मिलाइए।
∆OAC में, ∵OA = OC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
⇒ ∠OCA = ∠OAC …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं|
लेकिन ∠OAC = ∠ CAB = 30° …(2) [चित्रानुसार]
⇒ ∠OCA = 30° …(3) [समीकरण (1) एवं (2) से]
∵∠PCA + ∠OCA = ∠PCO = 90° …(4) [प्रमेय 10.1 से]
⇒ ∠PCA + 30° = 90°
⇒ ∠PCA = 90° – 30° = 60° समीकरण (3) एवं (4) से]
अतः ∠PCA का अभीष्ट मान 60° है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी जीवा के अन्तः बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ जीवा के साथ समान कोण बनाती हैं।
हल :

मान लीजिए वृत्त (O, r) की जीवा PQ के अन्तः बिन्दु P एवं पर PR एवं QR क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है:
∠QPR = ∠PQR
रचना : OP एवं OQ को मिलाइए।
उपपत्ति : ∆OPQ में, OP = OQ
[वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒ ∠OPQ = ∠OOP …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
⇒ ∠OPR = ∠OQR = 90° …(2) [स्पर्श रेखा एवं संगत त्रिज्या के मध्य बने कोण हैं]
⇒∠OPR – ∠OPQ = ∠OOR – ∠OOP [समीकरण (2)- (1) से]
⇒∠QPR = ∠PQR. [चित्रानुसार]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि एक बाह्य बिन्दु P से a त्रिज्या तथा O केन्द्र वाले वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60° हो, तो OP की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए वृत्त (O, a) के बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गई हैं। OP को मिलाया गया है। ∠QPR = 60° (दिया हैं) OQ एवं OR को मिलाया गया है। OQ = OR = a (दिया है)।
चूँकि बाह्य बिन्दु को वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाली रेखाखण्ड दोनों स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण को समद्विभाजित करती है।
∠QPO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠QPR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60° = 30°
अब समकोण ∆OOP में,
sin QPO = \(\frac { OQ }{ OP }\)
sin 30° = \(\frac{a}{O P}=\frac{1}{2}\)
OP = 2 x a = 2a.
अतः, OP के अभीष्ट लम्बाई का मान 2a है।

प्रश्न 9.
किसी बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA एवं PB खींची गयी हैं। वृत्त के एक बिन्दु E पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींची गयी है जो PA एवं PB को क्रमशः C एवं D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि PA = 10 cm हो, तो ∆PCD की परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ
PA = PB = 10 cm …(1)
बिन्दु E पर अन्य स्पर्श रेखा CD जो PA एवं PB को क्रमशः बिन्दु C एवं D पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि बाह्य बिन्दु C से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ CA एवं CE हैं
CA = CE [प्रमेय : 10.2]
चूँकि बाह्य बिन्दु D से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ DE एवं DB है।
DB = DE ….(3) [प्रमेय : 10.2]
परिमाप ∆(PCD) = PC + CD + PD
= PC + CE + DE + PD …(4) [∵ CD = CE + DE]
= PC + CA + PD + DB [समीकरण (2), (3) एवं (4) से]
= PA + PB [चित्रानुसार]
परिमाप ∆(PCD) = 10 + 10 = 20 cm [समीकरण (1) से मान रखने पर]
अतः, ∆PCD की अभीष्ट परिमाप 20 cm है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति में यदि AB, O केन्द्र वाले एक वृत्त की एक जीवा है। AOC वृत्त का व्यास एवं AT एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। BC को मिलाया गया है। सिद्ध कीजिए कि : ∠BAT = ∠ACB.
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाला वृत्त जिसका व्यास AOC, AB एक जीवा एवं AT बिन्दु A पर एक स्पर्श रेखा है। CB को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠BAT = ∠ACB.
उपपत्ति :
∵ ∠ABC = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
⇒ ∠BAC + ∠ACB = 90° ….(1) [समकोण ∆ के न्यूनकोण है]
∵ ∠BAT + ∠BAC = ∠OAT = 90° ….(2) [प्रमेयः 10.1 से]
⇒ ∠BAT + ∠BAC = ∠BAC + ∠ACB. [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠BAT = ∠ACB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
आकृति 10.45 में PQ एवं PR दो स्पर्श रेखाएँ एक वृत्त पर खींची गई हैं जिनमें ∠RPQ = 30° एक जीवा RS स्पर्श रेखा PQ के समान्तर खींची गई है। ∠RQS का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : PQ एवं PR वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा जीवा RS || स्पर्श रेखा PQ एवं ∠RPQ = 30°.
∠RQS का मान ज्ञात करना है।
चूँकि ∆PQR में, PQ = PR
[प्रमेय : 6.2 से]
⇒∠PQR = ∠PRQ …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
लेकिन ∠PQR + ∠PRQ + ∠RPQ = 180° [त्रिभुज के अन्त:कोण हैं]
⇒2∠PQR + 30° = 180°
[समीकरण (1) एवं (2) से तथा ∠RPQ = 30°, दिया है]
⇒2∠PQR = 180° – 30° = 150°
⇒∠PQR = \(\frac { 150 }{ 2 }\) = 75° ….(3)
∠RSQ = ∠PRO = 75° …(4) [एकान्तर अवधा का कोण]
एवं एकान्तर कोण
∠SRQ = ∠PQR = 75° …(5)
[RS || PQ एवं RQ तिर्यक रेखा है]
∵ ∆ RQS में, ∠RQS + ∠RSQ + ∠SRQ = 180° [अन्त:कोण]
⇒∠RQS + 75° + 75° = 180°
[समीकरण (4) एवं (5) से मान रखने पर]
⇒∠RQS = 180° – 150° = 30°
अतः, ∠RQS का अभीष्ट मान = 30°.

प्रश्न 12.
एक वृत्त के बिन्दु C पर स्पर्श रेखा एवं वृत्त का व्यास AB (बढ़ाने पर) बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠PCA = 110° तो ∠CBA का मान ज्ञात कीजिए। (देखिए संलग्न आकृति 10.46)
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर खींची गयी स्पर्श रेखा एवं व्यास AB को बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। CO एवं CB को मिलाया गया है। ∠PCA = 110° दिया है। ∠CBA का मान ज्ञात करना है।
चूँकि ∠PCA = 110° (दिया है) …(1)
चूँकि ∠ACB = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है] …(2)
⇒∠OCA = 110° – 90° = 20° [समीकरण (1) – (2) से] …(3)
चूँकि ∆OAC में, OA = OC [वृत्त की त्रिज्याएँ]
⇒∠OAC = ∠OCA …(4) बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
⇒∠BAC = ∠OAC = 20° …(5) [समीकरण (3) एवं (4) से तथा चित्रानुसार]
∵ ∆CBA में, ∠CBA + LACB + ∠OAC = 180° [अन्त:कोण हैं]
⇒∠CBA + 90° + 20° = 180° [समीकरण (2) एवं (5) से मान रखने पर]
⇒∠CBA = 180° – 110° = 70°
अतः, ∠CBA का अभीष्ट मान = 70° है।

प्रश्न 13.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों में से बाह्य वृत्त की त्रिज्या 5 cm है एवं इसकी एक 8 सेमी लम्बी जीवा अन्तः वृत्त की स्पर्श रेखा है तो अन्तः वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनमें बाह्य वृत्त की जीवा PQ = 8 cm अन्त:वृत्त की स्पर्श रेखा है तथा बिन्दु R पर उसे स्पर्श करती है। बाह्य वृत्त की त्रिज्या OQ = 5 cm दी है। मान लीजिए कि अन्त:वृत्त की त्रिज्या OR = r cm है। चूँकि OR स्पर्श बिन्दु R एवं केन्द्र O को मिलाने वाली त्रिज्या है, अतः
OR ⊥ PQ अर्थात् ∠ORQ = 90° [प्रमेय : 10.1 से]
चूँकि OR केन्द्र O से बाह्य वृत्त की जीवा PQ पर डाला गया लम्ब है।
PR = RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\), PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 cm = 4 cm [∴PQ = 8 cm दिया है]
अब समकोण ∆ORQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
OR = \(\sqrt{O Q^{2}-R Q^{2}}\)
= \(r=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}\)
= 3 cm
अतः, अन्तःवृत्त की त्रिज्या की अभीष्ट लम्बाई 3 cm है।

प्रश्न 14.
बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गयी हैं। सिद्ध कीजिए कि QORP चक्रीय चतुर्भुज है।
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गयी हैं। OQ एवं OR को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : ₹QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति : चूँकि OQ स्पर्श रेखा PQ के स्पर्श बिन्दु Q से जाने वाली त्रिज्या है
OQ ⊥ PQ अर्थात् ∠OQP = 90° …(1) [प्रमेय : 10.1]
एवं OR, स्पर्श रेखा PR के स्पर्श बिन्दु R से जाने वाली त्रिज्या है
OR ⊥ PR अर्थात् ∠ORP = 90° ….(2) [प्रमेय : 10.1 से]
∠OQP + ∠ORP = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) व (2) से]
₹QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है। [चूँकि सम्मुख कोणों का युग्म सम्पूरक है]
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि दो परस्पर प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केन्द्र उन रेखाओं के मध्य बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होगा।
हल :

मान लीजिए दो प्रतिच्छेदी रेखाओं PQ एवं PR का प्रतिच्छेदी बिन्दु P है तथा एक केन्द्र O वाला वृत्त इनको क्रमशः Q एवं R बिन्दुओं पर स्पर्श करता है। OQ, OR एवं OP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : केन्द्र O, ∠QPR के समद्विभाजक पर स्थित है अर्थात्
∠QPO = ∠RPO.
उपपत्ति : चूँकि PQ स्पर्श रेखा एवं OQ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या है।
⇒ OQ ⊥ PQ अर्थात् ∠OQP = 90° …(1) [प्रमेय 10.1 से]
OR ⊥ PR अर्थात् ∠ORP = 90° …(2) [प्रमेय 10.1 से]
⇒ ∆OQP एवं ∆ORP समकोण त्रिभुज हैं
अब समकोण ∆OQP एवं ∆ORP में,
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
∵ OQ = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒ ∆OQP = ∆ORP [RHS सर्वांगसमता]
⇒ ∠QPO = ∠RPO [CPCT] इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त की PQ एक जीवा है तथा PT एक स्पर्श रेखा है। यदि ∠QPT = 60° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में PQ एक जीवा तथा PT एक स्पर्श रेखा तथा ∠OPT = 60°, OP एवं OQ को मिलाइए।
:: चूँकि ∆OPQ में, OP = OR
[वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒∠OPQ = ∠OOP …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
∵∠OPT = 90° [OP ⊥ PT] [प्रमेय 10.1 से]
∵∠QPT = 60° [दिया है।]
⇒∠OPQ = ∠OPT – ∠QPT = 90° – 60° = 30° …(2)
⇒∠OPQ+ ∠OQP = 30° + 30° = 60° …(3) [समीकरण (1) एवं (2) से]
∵∠OPQ + ∠OQP + ∠POQ = 180° . …(4) [त्रिभुज के अन्तः कोण हैं]
⇒∠POQ = 180° – 60° = 120° [समीकरण (4) – (3) से]
⇒प्रतिवर्ती ∠POQ = 360° – ∠POQ = 360° – 120° = 240°
चूँकि ∠PRQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) प्रतिवर्ती ∠POQ [चूँकि वृत्त के केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर बने कोण का दूना होता है।]
⇒∠PRQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 240° = 120°
अतः, ∠PRQ का अभीष्ट मान = 120°.

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सत्य एवं असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

प्रश्न 1.
यदि एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है तो A एवं B पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण भी 60° होगा।
हल :
असत्य कथन है, क्योंकि यह कोण 120° होगा।

प्रश्न 2.
किसी वृत्त पर बाह्य बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव उसकी त्रिज्या से अधिक होगी।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि यह अधिक हो सकती है और नहीं भी हो सकती।

प्रश्न 3.
किसी O केन्द्र वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव OP से कम होगी।
हल :
कथन सत्य है क्योंकि OP कर्ण होगी।

प्रश्न 4.
किसी वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण 0° भी हो सकता है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि दो समानान्तर स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण शून्य (0) होगा।

प्रश्न 5.
यदि 0 केन्द्र एवं a त्रिज्या वाले किसी वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° हो, तो OP = a √2 होगा।
हल :
कथन सत्य है क्योंकि दोनों स्पर्श रेखाएँ एवं संगत त्रिज्याएँ a भुजा वाला वर्ग बनाएँगे तथा OP उसका विकर्ण होगा।

प्रश्न 6.
यदि केन्द्र O एवं त्रिज्या a वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण 60° हो तो OP = a √3.
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि इसी स्थिति में OP = 2a होगा।

प्रश्न 7.
एक समद्विबाहु ∆ABC जिसमें AB = AC है के परिवृत्त के बिन्दु A पर खींची गयी स्पर्श रेखा BC के समान्तर होती है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AB आधार BC एवं स्पर्श रेखा AX के साथ बराबर एकान्तर कोण बनाते हैं।

प्रश्न 8.
यदि अनेक वृत्त रेखाखण्ड PQ को बिन्दु A पर स्पर्श करते हैं तो उनके केन्द्र PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होंगे।
हल :
कथन असत्य हैं, क्योंकि यह तभी होगा जब कि स्पर्श बिन्दु A, PQ का मध्य बिन्दु हो।

प्रश्न 9.
यदि अनेक वृत्त रेखाखण्ड PQ के अन्त्यः बिन्दु P एवं Q से गुजरते हैं, तो उनके केन्द्र PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होंगे।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि रेखाखण्ड PQ उन वृत्तों की एक जीवा होगी और वृत्तों के केन्द्र जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

प्रश्न 10.
AB किसी वृत्त का व्यास है तथा AC उसकी एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° यदि C पर खींची गई स्पर्श रेखा AB को बढ़ाने पर उसे D पर प्रतिच्छेद करती है तो BC = BD
हल :
कथन सत्य है क्योंकि ∆ACB में, ∠ACB = 90° [अर्द्ध वृत्त का कोण है।
एवं ∠BAC = 30° [दिया है
तो शेष कोण ∠ABC = 60° = ∠BCD + ∠BDC [∆BDC का बहिष्कोण है]
लेकिन ∠BCD = ∠BAC = 30° [एकान्तर अवधान कोण है।
⇒∠BDC = 60° – 30° = 30°
⇒∠BCD = ∠BDC = 30°
⇒BC = BD.

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 4 cm एवं 5 cm हैं तो बाह्य वृत्त की प्रत्येक वह जीवा जो अन्तः वृत्त की स्पर्श रेखा हो, की लम्बाई होगी :
(a) 3 cm
(b) 6 cm
(c) 9 cm
(d) 1 cm.
उत्तर:
(b) 6 cm

प्रश्न 2.
किसी वृत्त के व्यास AB के सिरे पर XAY स्पर्श रेखा खींची गयी है। वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। A से 8 cm की दूरी पर स्थित जीवा CD || XY की लम्बाई होगी :
(a) 4 cm
(b) 5 cm
(c) 6 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(d) 8 cm.

प्रश्न 3.
यदि 60° कोण पर झुकी दो स्पर्श रेखाएँ 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर खींची जाती है तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई बराबर है :
(a) \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\) cm
(b) 6 cm
(c) 3 cm
(d) 3√3 cm.
उत्तर:
(d) 3√3 cm.

प्रश्न 4.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से अधिकतम स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 5.
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर होती हैं :
(a) लम्बवत्
(b) समानान्तर
(c) समान
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) समान

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ परस्पर ……… होती हैं।
2. स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर ……… होती है।
3. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण एवं स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याओं के बीच बने कोण आपस में ……… होते हैं।
4. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर ……… कोण अन्तरित करती हैं।
5. केन्द्र को बाह्य बिन्दुओं से मिलाने वाली रेखा उस बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण को ……. करती है।
उत्तर-
1. बराबर,
2. लम्ब,
3. सम्पूरक,
4. बराबर,
5. समद्विभाजित।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(e),
4. →(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
2. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ असमान होती हैं।
3. बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
4. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ सदैव वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती हैं।
5. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के साथ बराबर कोण आन्तरित करती हैं।
6. वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है। (2019)
7. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं। (2019)
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य,
6. सत्य,
7. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. किसी वृत्त को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा क्या कहलाती है।
2. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को क्या कहते हैं?
3. किसी वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
4. एक वृत्त की कितनी समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं? (2019)
उत्तर-
1. स्पर्श रेखा,
2. स्पर्श बिन्दु,
3. अनन्तशः अनेक,
4. दो।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। (2019)
हल :
ज्ञात है : r = 6 cm एवं θ° = 60°
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2}\)
= \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
चूंकि परिधि = 2πr
2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x r = 22
\(r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
चूँकि चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)\)
= \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः चतुर्थांश का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि मिनट सुई 1 घण्टे में (60 मिनट में) वृत्त का एक चक्कर लगाती है।
इसलिए 5 मिनट में \(\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\) वृत्त को रचेगी।
इस वृत्त की त्रिज्या r = सुई की लम्बाई = 14 cm
वृत्त के अंश का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड।
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :

दिया है : r = 10 cm एवं θ = 90°
(i) चूँकि लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac { 90 }{ 360 }\) x 3.14 x (10)²
= \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x 100
ar (OAPB) = 78.5 cm²
ar (∆OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) OA x OB
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 x 10 = 50 cm² …(2)
चूँकि संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 78.5 – 50 = 28.5 cm² [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः संगत लघु वृत्त खण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28.5 cm² है।

(ii) चूँकि संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{360-\theta}{360} \pi r^{2}\)

अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 235.5 cm² है।

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई (2019)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (2019)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चूंकि चाप की लम्बाई = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r\)
चाप की लम्बाई = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21\)
चाप (APB) = \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 6 = 22 cm
अतः चाप की अभीष्ट लम्बाई = 22 cm

(ii) चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
ar (OAPB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 3 x 21 = 231 cm²
अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 231 cm² है।

(iii) चूँकि ∆OAB में ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA
तथा ∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120°
∠OAB = ∠OBA = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा = 21 cm
चूँकि समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar(OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}(21)^{2}=\frac{441 \sqrt{3}}{4} \mathrm{cm}^{2}\)
और चूँकि वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\)
अतः संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 15 cm
एवं ∠AOB = 60°
∠OAB + ∠OBA = 180° – 60°
= 120° …(1)
और ∠OAB = ∠OBA …(2) [∵ OA = OB]
∠OAB = ∠OBA
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120° = 60°[समीकरण (1) एवं (2) से]
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 15 cm
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 15 x 15
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 3.14 x 15 x 15
= 1.57 x 75
ar (OAPB) = 117.75 cm² …(3)
चूँकि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar (OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 15 \times 15=\frac{225 \sqrt{3}}{4}\)
ar (OAB) = \(\frac{225 \times 1 \cdot 73}{4}\) = 97.31 cm² [लगभग] …(4)
चूँकि लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 117.75 – 97.31
= 20.44 cm² …(5)
[समीकरण (3) एवं (4) से मान रखने पर ]
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 x 15 x 15
= 706.5 cm² …(6)
चूँकि दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (AQB) = 706.5 – 20.44
= 686.06 cm² (लगभग)
अतः लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20.44 cm² (लगभग) एवं दीर्घ वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 686.06 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाला वृत्त जिसकी त्रिज्या 12 cm है तथा एक जीवा AB केन्द्र O पर ∠AOB = 120° का कोण बनाती है।
O से OM ⊥ AB खींचिए जो AB को M पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज OAB में OM शीर्ष लम्ब है।
इसलिए यह ∠AOB = 120° को समद्विभाजित करेगी
अर्थात्
∠AOM = ∠BON = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
एवं AM = BM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB.
अब समकोण ∆OMA में,

AM = 6 √3 = 6 x 1.73 = 10.38 cm
[∵ sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ]
AB = 2 AM = 2 x 10.38 = 20.76 cm
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AB x OM
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 20.76 x 6 = 62.28 cm² …(1)
चूँकि त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac { 120 }{ 360 }\) x 3.14 x (12)²
ar (OAPB) = 3.14 x 48 = 150.72 cm² ….(2)
चूँकि वृत्तखण्ड APB = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 150.72 – 62.28
[समीकरण (1) एवं (2) से मान रखने पर]
ar (APB) = 88.44 cm²
अतः संगत वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 88.44 cm² है।

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति 12.8) ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) घोड़े द्वारा घास चरे जा सकने वाला मैदान एक वृत्त का चतुर्थांश होगा जिसकी त्रिज्या 5 m है।
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (5)²
\(A_{1}=\frac{78 \cdot 50}{4}\)
= 19.625 m²
अतः घास के मैदान का अभीष्ट क्षेत्रफल = 19.625 m² है।

(ii) अब घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले घास का मैदान 10 m त्रिज्या के वृत्त का चतुर्थांश होगा
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (10)²
A2 = 78.5 m²
घास के मैदान में वृद्धि = A2 – A1 = 78.5 – 19.625
= 58.875 m²
अतः घास के मैदान में अभीष्ट वृद्धि = 58.875 m² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार बूच (brough) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति 12.9 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) बूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चाँदी के तार से वृत्त की परिमाप एवं पाँच व्यास बनाने हैं। व्यास = 35 mm दिया है।
वृत्त की परिमाप (परिधि) = πd = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 110 mm
पाँच व्यासों की लम्बाई = 5 x d = 5 x 35 = 175 mm
तार की कुल लम्बाई = 110 mm + 175 mm = 285 mm
अतः वांछित चाँदी के तार की अभीष्ट लम्बाई = 285 mm है।

(ii) पाँच व्यासों द्वारा वृत्त 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित हो रहा है।
इसलिए प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}\)
= \(\frac{11 \times 35}{4}=\frac{385}{4}\)
अतः प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{385}{4} \mathrm{mm}^{2}\) है।

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 12.10)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमांगत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

बराबर दूरी पर लगी आठ तानें वृत्त को आठ बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त करती हैं जिसकी त्रिज्या 45 cm दी है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दो तानों के बीच अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{22275}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wiper) हैं, परस्पर कभी भी अच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों
की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रत्येक वाइपर 25 cm की त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी त्रिज्याओं के बीच कोण θ = 115° है।
दोनो वाइपरों द्वारा कुल साफ किया गया क्षेत्रफल (एक बार में)

अतः दोनों वाइपरों द्वारा प्रत्येक बुहार में साफ किया गया अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{158125}{126}\) है।

प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिससे जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :

लाइट हाउस द्वारा जहाजों को दी जाने वाली चेतावनी के लिए क्षेत्रफल एक त्रिज्यखण्ड होगा जिसकी त्रिज्याएँ r = 16.5 km एवं त्रिज्याओं के बीच का कोण θ = 80° होगा।
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 16.5 x 16.5 .
= 6.28 x 5.5 x 5.5
= 189.97 km²
अतः समुद्र के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 189.97 km² है।

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो Rs 0.35 प्रतिवर्ग सेण्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

मेजपोश कुल छः बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त है जिनकी त्रिज्या 28 cm तथा त्रिज्याओं के बीच कोण \(\frac { 360 }{ 6 }\) = 60° होगा।
मान लीजिए कि एक त्रिज्यखण्ड OAPB संलग्न आकृति 12.13 में दिखाया गया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।
[क्योंकि ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA = 60°]
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) x (28)²
ar (OAB) = 333.2 cm² …(1)
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)

ar (OAPH) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}(28 \times 28)\)
= \(\frac{22 \times 56}{3} \mathrm{cm}^{2}\)
= 410.67 cm²
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 410.67 – 333.2
= 77.47
6 वृत्तखण्डों का कुल क्षेत्रफल = 6 x 77.47 = 464.82 cm²
डिजाइन बनाने की लागत = दर x कुल क्षेत्रफल
= 0.35 x 464.82
= Rs 162.68
अत: अभीष्ट लागत = Rs 162.68 है।

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, निम्नलिखित है :

उत्तर-
(D) \(\frac{P}{720} \times 2 \pi R^{2}\)

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

प्रश्न 1.
सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लम्बी डोर पर चढ़ रहा है, जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खम्भे के शिखर से बँधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो, तो खम्भे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (देखिए संलग्न आकृति : 9.3)
हल :
∆ABC में ∠B समकोण है एवं कोण C = 30° तथा डोरी की लम्बाई AC = 20 m (दिया हुआ है) चूँकि


अतः, खम्भे की अभीष्ट ऊँचाई = 10 m है।

प्रश्न 2.
आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिन्दु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक पेड़ PQ = h m लम्बा आँधी के कारण QR = x m की ऊँचाई पर स्थित R बिन्दु से टूट जाता है तथा इसका शीर्ष P पृथ्वी पर बिन्दु S पर टिक जाता है तथा पेड़ का यह भाग पृथ्वी के साथ ∠RSQ = 30° का कोण बनाता है तथा इस भाग की लम्बाई SR = PR = (h – x) m होगी अब समकोण ∆RQS में,



समीकरण (1) से \(x=\frac{8}{\sqrt{3}}\) का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, पेड की अभीष्ट ऊँचाई = 8√3 m है।

प्रश्न 3.
एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलन-पट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलन पट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। प्रत्येक स्थिति में फिसलन-पट्टी की लम्बाई क्या होनी चाहिए?
हल:

मान लीजिए 5 वर्ष से कम उम्र की बच्चों के लिए AC = l₁, m की लम्बाई की फिसलन-पट्टी लगायी जाती है जिसका शिखर A, AB = 1.5 m ऊँचाई पर है तथा फिसलन-पट्टी पृथ्वी के साथ ∠ACB = 30° का कोण बनाती है। [देखिए आकृति 9.5 (a)]

अतः, छोटी फिसलन-पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 3 m है।
अब मान लीजिए 5 वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए PR = l₂, m की लम्बाई की फिसलनपट्टी लगायी जाती है जिसका शिखर P, PQ = 3 m की ऊँचाई पर है तथा यह फिसलन-पट्टी पृथ्वी के साथ ∠PRQ = 60° का कोण बनाती है। [देखिए आकृति : 9.5 (b)]

अतः, बड़ी फिसलन-पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 2√3 m है।

प्रश्न 4.
भूमि के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PQ एक दी हुई मीनार है जिसकी ऊँचाई PQ = h m है तथा इसके पाद बिन्दु Q से QR = 30 m की दूरी पर स्थित बिन्दु R पर मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PRQ = 30° है। (देखिए आकृति 9.6)


अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10√3 m है।

प्रश्न 5.
भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिन्दु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PR = l m की लम्बाई वाली एक डोरी के सिरे P पर एक पतंग है तथा इसका दूसरा सिरा बिन्दु R पर खूटे से बँधा है।
पतंग की पृथ्वी से ऊँचाई PQ = 60 m है। डोरी पृथ्वी के साथ ∠PRQ = 60° का कोण बनाती है (देखिए आकृति 9.7)।


अतः, डोरी की अभीष्ट लम्बाई = 40√3 m है।

प्रश्न 6.
1.5 m लम्बा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है, तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है ?
हल :
मान लीजिए PQ = 30 m ऊँचा एक भवन है। एक लड़का AB = 1.5 m ऊँचाई का पृथ्वी पर बिन्दु B पर खड़ा है। लड़के के नेत्रों से जाने वाली क्षैतिज रेखा PQ को बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है, जहाँ RQ = AB = 1.5 m
⇒ PR = PQ – RQ = 30 m – 1.5 m
= 28.5m

इस स्थिति में P का उन्नयन ∠PAR = 30° और मान लीजिए यह लड़का भवन की ओर x m चलकर CD स्थिति में आ जाता है, जहाँ P का उन्नयन कोण ∠PCR = 60° हो जाता है। यदि CR = y m हो (देखिए आकृति 9.8)
तो समकोण ∆PRC में,

एवं समकोण ∆PRA में,

समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, लड़के द्वारा चली गयी अभीष्ट दूरी = 19√3 m है।

प्रश्न 7.
भूमि के एक बिन्दु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमश: 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक भवन PQ = 20 मी ऊँचाई का दिया है जिसके ऊपर PR एक संचार मीनार लगा है। बिन्दु S के मीनार के तल एवं शिखर R के उन्नयन कोण क्रमशः 45° एवं 60° हैं।
पुनः मान लीजिए कि SQ = x m एवं PR = h m (देखिए आकृति 9.9) तो समकोण ∆PQS में,


एवं समकोण ∆ROS में,

समीकरण (1) से x = 20 m का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ \(\frac { h+20 }{ 20 }\) = √3 ⇒ h + 20 = 20√3
⇒ h = 20√3 – 20 = 20 (√3 – 1) m
अतः, संचार मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 20 (√3 – 1) m है।

प्रश्न 8.
एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिन्दु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिन्दु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PQ = h m की ऊँचाई का एक पेडस्टल है जिसके ऊपर RP = 1.6 m ऊँची एक मूर्ति लगी है। पेडस्टल के पाद से QS = x m की दूरी पर स्थित बिन्दु S से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° एवं पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है (देखिए आकृति 9.10)
तो समकोण त्रिभुज PQS में,


एवं समकोण त्रिभुज PQS में, \(\frac{R Q}{Q S}=\frac{R P+P Q}{Q S}=\tan R S Q\)

समीकरण (1) से x = h का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, पेडस्टल की अभीष्ट ऊँचाई = 0.8 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 9.
एक मीनार के पाद बिन्दु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद बिन्दु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पृथ्वी पर एक मीनार PQ = 50 m ऊँची एवं उसके पाद से QS = x m दूरी पर स्थित एक भवन RS = h m है। मीनार के पाद Q से भवन के शिखर R का उन्नयन कोण ∠ROS = 30° है तथा भवन के पाद S से मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण PSQ = 60° है (देखिए आकृति 9.11)। तो समकोण ∆RSQ में,


एवं समकोण ∆PQS में,

समीकरण (1) से x = h√3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
h√3 x √3 = 50 ⇒ 3h = 50
⇒ \(h=\frac { 50 }{ 3 }\) = \(16\frac { 2 }{ 3 }\) m
अतः, भवन की अभीष्ट ऊँचाई = \(16\frac { 2 }{ 3 }\) m है।

प्रश्न 10.
एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लम्बाई वाले दो खम्भे लगे हुए हैं। इन दोनों खम्भों के बीच सड़क के एक बिन्दु से खम्भों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमश:
60° और 30° हैं। खम्भों की ऊँचाई और खम्भों से बिन्दु की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दो खम्भे PQ = RS = h m के एक-दूसरे से SQ = 80 m की दूरी पर है। QS के बिन्दु S से ST = x m की दूरी पर बिन्दु T है।
T से R का उन्नयन कोण ∠RTS = 60° एवं P का उन्नयन कोण ∠PTQ = 30° है। यहाँ TQ = SQ – ST = (80 – x)m (देखिए आकृति 9.12)

अब समकोण ∆RST में,
\(\frac{R S}{S T}=\tan R T S \Rightarrow \frac{h}{x}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\)
h = x √3 …(1)
एवं समकोण ∆PQT में,

समीकरण (1) से h = x√3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
80 – x = x √3 × √3 = 3x
⇒ 4x = 80 ⇒ x = \(\frac { 80 }{ 4 }\) = 20 m ⇒ ST = 20 m
QT = 80 – x = 80 – 20 = 60 m
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
h = 20√3 m
अतः, प्रत्येक खम्भे की अभीष्ट ऊँचाई = 20√3 m एवं अभीष्ट बिन्दु की स्थिति एक खम्भे से 20 m तथा दूसरे खम्भे से 60 m की दूरी पर है।

प्रश्न 11.
एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिन्दु से 20 m दूर और इस बिन्दु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिन्दु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है (देखिए संलग्न आकृति 9.13)। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल :
मान लीजिए कि एक नहर के एक सिरे पर एक मीनार AB = h m दिया है जिसके शिखर A का नहर के दूसरे सिरे से उन्नयन कोण ∠ACB = 60° है। C से DC = 20 m दूरी पर स्थित बिन्दु D से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠ADE = 30° है तथा नहर की चौड़ाई CB =x मीटर है तो समकोण ∆ABC में,

एवं समकोण ∆ABD में,

समीकरण (1) से h = x √3 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ 20 + x = x√3 × √3 = 3x
⇒ 2x = 20 ⇒ x = \(\frac { 20 }{ 2 }\) = 10 m
⇒ x = 10 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
h = 10√3
अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10√3 m एवं नहर की चौड़ाई = 10 m है।

प्रश्न 12.
7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए केबल टॉवर PQ = h मीटर ऊँचा तथा भवन RS = 7m ऊँचा दिया है। भवन के शिखर से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण ∠PRT = 60° है जहाँ RT क्षैतिज रेखा है जो PQ के बिन्दु T पर मिलती है तथा इस शिखर R से टॉवर के पाद Q का अवनयन कोण ∠TRQ = 45° है। (देखिए आकृति: 9.14)
यहाँ TQ = RS = 7 m एवं PT = (h – 7) m तथा .
RT = SQ = xm तो समकोण ∆RTQ में,


एवं समकोण ∆PRT में,

समीकरण (1) से x = 7 समीकरण (2) में रखने पर, .
h – 7 = 7√3
h = 7√3 + 7
= 7(√3 + 1) m
अतः, केबल टॉवर की अभीष्ट ऊँचाई = 7 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 13.
समुद्र तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक
पीछे हो तो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए लाइट हाउस PQ = 75 m ऊँची तथा उसके एक ही ओर दो जहाज R एवं S दिए हैं जिनके अवनमन कोण लाइट हाउस के शिखर P से क्रमश: ∠TPR = 30° एवं ∠TPS = 45° हैं, जहाँ TP एक क्षैतिज रेखा है। (देखिए आकृति 9.15) यहाँ ∠PRQ = ∠TPR = 30° एवं ∠PSQ = ∠TPS = 45° है तथा RS =x m एवं SQ = y m है तो समकोण ∆PQS में,


एवं समकोण ∆PQR में,

समीकरण (1) से y = 75 m का मान समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ x + 75 = 75√5
⇒ x = 75√3 – 75 = 75 (√3 – 1) m
अतः, जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी = 75 (√3 – 1) m है।

प्रश्न 14.
1.2 m लम्बी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है (देखिए आकृति: 9.16)। इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए एक गुब्बारा P पृथ्वी से PC = 88.2 मीटर की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में उड़ रहा है जो कुछ समय बाद वह Q स्थिति में आता है जिसकी ऊँचाई QD = PC = 88.2 m है। एक लड़की AB = 1.2 m की बिन्दु B पर खड़ी है। लड़की के नेत्रों से जाने वाली क्षैतिज रेखा AST है। A से गुब्बारे की प्रथम स्थिति P का उन्नयन कोण ∠PAS = 60° तथा स्थिति Q का उन्नयन कोण ∠QAT = 30° है। यहाँ TD = SC = AB = 1.2 m एवं PS = QT = QD – TD = 88.2 – 1.2 = 87 m तथा AS = x m एवं ST = y m .
तो समकोण ∆PSA में,

एवं समकोण ∆QTA में,

समीकरण (1) से \(x=\frac{87}{\sqrt{3}}\) का मान समीकरण (2) में रखने पर,

अतः, गुब्बारे द्वारा चली गयी अभीष्ट दूरी = 58√3 m है।

प्रश्न 15.
एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एकसमान चाल से जाती है। छः सेकण्ड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि एक आदमी RP किसी मीनार PQ के शिखर P पर खड़ा है तथा स्थिति A पर कार का अवनमन कोण ∠SRA = 30° है तथा कार v m/s की चाल से AB = 6 vm की दूरी तय करते हुए B पर आ जाती है, जहाँ उनका अवनमन कोण ∠SRB = 60° हो जाता है। इस बिन्दु से मीनार के पाद तक जाने में 1 सेकण्ड में BQ = tv m दूरी तय करती है, तो
∠RAQ = ∠SRA = 30°
एवं ∠RBQ = ∠SRB = 60°
क्योंकि उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होते हैं। यदि आदमी सहित मीनार की ऊँचाई RQ = h m हो तो समकोण ∆RQB में,

एवं समकोण ∆RQA में,


समीकरण (1) से h का मान समीकरण (2) में रखने पर,
tv√3 x √3 = 6v + tv
3tv = 6v + tv ⇒ 2t = 6 ⇒ t = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3
अतः, कार द्वारा लिया गया अभीष्ट समय = 3 सेकण्ड है।

प्रश्न 16.
मीनार के आधार से एक सरल रेखा में 4m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।
हल :
मान लीजिए एक मीनार PQ = h m ऊँची है जिसके पाद से AQ = 4 m एवं BQ = 9 m की दूरी पर दो बिन्दु क्रमशः A और B स्थित हैं, जहाँ पर मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः ∠PAQ = θ एवं ∠PBQ = (90° – θ) हैं, क्योंकि दोनों कोण पूरक कोण हैं।

अब समकोण ∆PQA में,

एवं समकोण ∆PQB में,

अतः, मीनार की ऊँचाई 6 m है।
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

[ज्ञातव्य : यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।]

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (2, – 2) और B (3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड 2x + y – 4 = 0 को जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दिए हुए रेखाखण्ड और दी गई रेखा बिन्दु P (x, y) पर परस्पर प्रतिच्छेद करती है तो ∆PAB का क्षेत्रफल शून्य होगा क्योंकि ये सरेख हैं।
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (-2 – 7) + 2 (7 – y) + 3 (y + 2)] = 0
⇒ – 9x + 14 – 2y + 3y + 6 = 0
⇒ 9x – y – 20 = 0 …(1)
⇒ 2x + y – 4 = 0 (दिया है) …(2)
⇒ 11x = 24
⇒ x = \(\frac { 24 }{ 11 }\)
मान लीजिए बिन्दु P (x, y), A (2, – 2) और B (3, 7) से बने रेखाखण्ड AB को m₁ एवं m₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ 33m₁ + 22m₂ = 24m₁ + 24m₂
⇒ 33m₁ – 24m₁ = 24m₂ – 22m₂
⇒ 9m₁ = 2m₂
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{9}\)
⇒ m₁ : m₂ = 2 : 9
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 9 है।

प्रश्न 2.
x और में एक सम्बन्ध ज्ञात कीजिए यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेखी हैं।
हल :
चूँकि बिन्दु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेख हैं, इसलिए उनसे निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 है
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2) = 0
⇒ x (2) + 1 (-y) + 7 (y – 2) = 0
⇒ 2x – y + 7y – 14 = 0
⇒ 2x + 6y – 14 = 0
⇒ x + 3y = 7
अतः x एवं का अभीष्ट सम्बन्ध x + 3y = 7 है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (6,-6), (3, – 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए दिए हुए बिन्दुओं A (6, -6), B (3, – 7) और C (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र O (x, y) है तो OA = OB = OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

⇒ (x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)² (OA = OB से)
⇒ x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49
⇒ – 12x + 6x + 12y – 14y + 72 – 58 = 0
⇒ – 6x – 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y = 7 ….(1)
⇒ (x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)² (OB = OC से)
⇒ x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49 = x² – 6x + 9 + y² – 6y + 9
⇒ -6x + 6x + 14y + 6y = 18 – 58
⇒ 20y = – 40
⇒ y = \(\frac { -40 }{ 20 }\) =- 2 …..(2)
समीकरण (2) से y = – 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ 3x – 2 = 7
⇒ 3x = 7 + 2
⇒ 3x = 9
⇒ x = \(\frac { 9 }{ 3 }\) = 3
अतः वृत्त के केन्द्र के अभीष्ट निर्देशांक (3, – 2) हैं।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
वर्ग ABCD में दो सम्मुख शीर्ष A (-1, 2) एवं C (3, 2) दिए हैं। मान लीजिए B (x₁, y₁) एवं D (x₂, y₂) दो अन्य शीर्ष हैं।
AB = BC (वर्ग की भुजाएँ)

⇒ (x₁ + 1)² + (y₁ – 2)² = (x₁ – 3)² + (y₁ – 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x₁ + 1)² = (x₁ – 3)²
⇒ x₁² + 2x₁ + 1 = x₁² – 6x₁ + 9
⇒ 2x₁ + 6x₁ = 9 – 1
⇒ 8x₁ = 8
⇒ x₁ = \(\frac { 8 }{ 8 }\) = 1 ….(1)
∵ AB² + BC² = AC² (समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x₁ + 1)² + (y₁ – 2)² + (x₁ – 3)² + (y₁ – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x₁² + 2x₁ + 1 + y₁² – 4y₁ + 4 + x₁² – 6x₁ + 9 + y₁² – 4y₁ + 4 = 16 – 0
⇒ 2x₁² + 2y₁² – 4x₁ – 8y₁ = 16 – 18 = -2
⇒ x₁² + y₁² – 2x₁ – 4y₁ + 1 = 0 …(2)
⇒ x₁ = 1 का मान समीकरण (1) से समीकरण (2) में रखने पर,
⇒ (1)² + (y₁)² – 2 (1) – 4y₁ + 1 = 0
⇒ y₁² – 4y₁ = 0
⇒ y₁ (y₁ – 4) = 0
या तो y₁ = 0 अथवा y₁ – 4 = 0
⇒ y₁ = 4
B के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4) हैं।
AD = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं)

⇒ (x₂ + 1)² + (y₂ – 2)² = (x₂ – 3)² + (y₂ – 2)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ (x₂ + 1)² = (x₂ – 3)²
⇒ x₂² + 2x₂ + 1 = x₂² – 6x₂ + 9
⇒ 8x₂ = 8
⇒ x₂ = \(\frac { 8 }{ 8 }\) = 1 . …(3)
AD² + CD² = AC² (समकोण ∆ADC में पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x₂ + 1)² + (y₂ – 2)² + (x₂ – 3)² + (y₂ – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x₂² + 2x₂ + 1 + y₂² – 4y₂ + 4 + x₂² – 6x₂ + 9 + y₂² – 4y₂ + 4 = 16 + 0
⇒ 2x₂² + 2y₂² – 4x₂ – 8y₂ = 16 – 18 = -2
⇒ x₂² + y₂² – 2x₂ – 4y₂ + 1 = 0 ….(4)
x₂ = 1 का मान समीकरण (3) से समीकरण (4) में रखने पर,
⇒ (1)² + y₂² – 2 (1) – 4y₂ + 1 = 0
⇒ 1 + y₂² – 2 – 4y₂ + 1 = 0
⇒ y₂² – 4y₂ = 0
⇒ y₂ (y₂ – 4) = 0
या तो y₂ = 0 अथवा y₂ – 4 = 0
⇒ y₂ = 4
D के निर्देशांक (1, 0) अथवा (1, 4)
अतः अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (1, 0) एवं (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए एक आयताकार भू-खण्ड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (Sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भू-खण्ड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भू-खण्ड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसा कि संलग्न आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों , को भू-खण्ड के शेष भाग में है फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।

(i) A को मूलबिन्दु मानते हए, त्रिभुज के शीषों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूल बिन्दु C हो, तो ∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे?
साथ ही उपरोक्त दोनों स्थितियों में त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
हल :
(i) A को मूलबिन्दु लेकर लेखाचित्र के अनुसार अभीष्ट निर्देशांक P (4, 6), Q (3, 2), R (6,5) हैं। AD = X-अक्ष एवं AB = Y-अक्ष पर मानने पर।
(ii) C को मूलबिन्दु लेकर लेखाचित्र के अनुसार,
अभीष्ट निर्देशांक P (12, 2), Q (13, 6), R (10, 3) हैं। CB = X-अक्ष एवं CD = Y-अक्ष पर मानने पर।
अब प्रथम स्थिति में :
ar (PQR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)[4(2 – 5) + 3 (5 – 6) + 6 (6 – 2)]
ar (PQR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)[4(-3) + 3 (-1) + 6 (4]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 – 3 + 24]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\)[-15 + 24]
= \(\frac { 9 }{ 2 }\) m²
एवं द्वितीय स्थिति में :
ar (PQR) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 (6 – 3) + 13 (3 – 2) + 10 (2 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 (3) + 13 (1) + 10 (-4)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [36 + 13 – 40]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [49 – 40]
= \(\frac { 9 }{ 2 }\) m²
अतः प्रत्येक स्थिति में APQR का क्षेत्रफल = \(\frac { 9 }{ 2 }\) m² है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) और C (7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमश: D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गयी है कि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{4}\) है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना ∆ABC के क्षेत्रफल से कीजिए।
हल :

∆ADE और ∆ABC में,

बिन्दु D, AB रेखाखण्ड को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है क्योंकि AD : AB = 1 : 4
AD : DB = 1 : 3. इसलिए D के निर्देशांक


अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 15 }{ 32 }\) त्रक एवं ∆ADE और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 1 : 16 है।

प्रश्न 7.
मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक ∆ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से जाने वाली माध्यिका BD के बिन्दु पर मिलती है। बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
(v) यदि A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) और C (x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) चूँकि D, BC का मध्य-बिन्दु है। इसलिए D के निर्देशांक


अतः बिन्दु D के अभीष्ट निर्देशांक \(D\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\) हैं।

(ii) चूँकि P, AD रेखाखण्ड (माध्यिका) को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


अत: P के अभीष्ट निर्देशांक \(P\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) है।

(iii) बिन्दु E, AC रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है। इसलिए E के निर्देशांक


तथा बिन्दु F, रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है। इसलिए बिन्दु F के निर्देशांक

चूँकि बिन्दु Q रेखाखण्ड (माध्यिका) BE को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए Q के निर्देशांक


और बिन्दु R रेखाखण्ड (माध्यिका) CF को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए R के निर्देशांक

अत: बिन्दु Q एवं R के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः \(Q\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) एवं \(R\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) हैं।

(iv) त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले सभी बिन्दु P, Q एवं R समानुपाती हैं अर्थात् एक ही हैं जिसे त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं तथा इसे प्रायः G से प्रदर्शित करते हैं।

(v) त्रिभुज का केन्द्रक उसकी माध्यिकाओं का संगामी बिन्दु होता है जो प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता हैं।

चूँकि बिन्दु D (x,y) मान लीजिए है जो बिन्दुओं B (x₂, y₂) और C (x₃, y₃) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।

अत: केन्द्रक G के अभीष्ट निर्देशांक G \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

प्रश्न 8.
बिन्दुओं A (-1, – 1), B (-1, 4), C (5, 4) और D (5, – 1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्द हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :

चूँकि P, A (-1, – 1) और B (-1, 4) से बने रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।

चूँकि Q, B (-1, 4) और C (5, 4) से बने रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।

चूँकि R, C (5, 4) और D (5, – 1) से बने रेखाखण्ड CD का मध्य-बिन्दु है।

चूँकि S, D (5, – 1) और A (-1,- 1) से बने रेखाखण्ड DA का मध्य-बिन्दु है।


लेकिन विकर्ण PR ≠ QS अर्थात् 6 ≠ 5
अतः अभीष्ट ₹PQRS एक समचतुर्भुज है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल :
∵ समकोण ∆ABC में,

∠B = समकोण AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25

(i) अब \(\sin A=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\) एवं \(\cos A=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\)
अतः sin A एवं cos 4 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 24 }{ 25 }\) हैं।

(ii) \(\sin C=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\) एवं \(\cos C=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\)
अत: sin C एवं cos C के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 24 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 7 }{ 25 }\) हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 8.3 में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆PQR में ∠Q समकोण है,

QR² = PR² – PQ²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
= 25
QR = √25 = 5
अब

अत: tan P – cot R का अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\), तो cos A और tan A का परिकलन कीजिए। (2019)
हल :
मान लीजिए ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\) (दिया है)

अतः cos A एवं tan A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) एवं \(\frac{3}{\sqrt{7}}\) है।

प्रश्न 4.
15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि 15 cot A = 8

अतः sin A एवं sec A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 15 }{ 17 }\) एवं \(\frac { 17 }{ 8 }\) है।

प्रश्न 5.
यदि \(\sec \theta=\frac{13}{12}\) हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :
मान लीजिए ∆ABC त्रिभुज का ∠B = समकोण है तथा ∠C = θ है

अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय (अन्य) अनुपात होंगे :

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए ∠A = ∠B.
हल :
ACB एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं।
cos A = cos B (दिया है)

[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं] इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
\(\cot \theta=\frac{7}{8}\) तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ के मान निकालिए।
हल :
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)

अत: अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

(ii) cot² θ = (cot θ)² = (7/8)²
= 49/64
अतः अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं।
हल :
मान लीजिए ∆ABC में, ∠B पर समकोण है।
चूँकि 3 cot A = 4 (दिया है)

चूँकि सिद्ध करना है कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं

L.H.S. = R.H.S.
अतः \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है।

प्रश्न 9.
∆ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल :
∆ABC का ∠B समकोण दिया है (देखिए आकृति 8.9) और \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

अतः अभीष्ट मान = 1 है।

अतः अभीष्ट मान = 0 है।

प्रश्न 10.
∆POR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + OR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆POR का ∠Q समकोण दिया है और
PR + QR = 25 cm …(1)
तथा PQ = 5 cm …(2)
दिये हैं। PR² – QR² = PQ²
(PR + QR) (PR – QR) = PQ²
25 (PR – QR) = (5)² = 25
PR – QR = \(\frac { 25 }{ 25 }\) = 1 …(3)
2PR = 26 [समीकरण (1) + (3) से]
PR = \(\frac { 26 }{ 2 }\) = 13
PR = 13 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
13 + QR = 25
QR = 25 – 13 = 12

अतः अभीष्ट मान sin P = \(\frac { 12 }{ 13 }\), cos P = \(\frac { 5 }{ 13 }\) एवं tan P = \(\frac { 12 }{ 5 }\) है।

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac { 12 }{ 5 }\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac { 4 }{ 3 }\).
हल :
(i) कथन असत्य है, क्योंकि tan A का मान θ से अनन्त तक हो सकता है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप होता है।
(iv) कथन असत्य है, क्योंकि cot A, cot एवं A का गुणनफल नहीं बल्कि cot A, कोण A का एक त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना,
बेलन की ऊँचाई = h cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलन का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलन की अभीष्ट ऊँचाई = 2.744 cm है।

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या = R cm है, तो प्रश्नानुसार,
बड़े गोले का आयतन = तीन छोटे गोलों के आयतनों का योग

R³ = (6)³ + (8) + (10)³
R³ = 216 + 512 + 1000
= 1728
= (12)³
R = 12 cm
अतः, बड़े गोले की अभीष्ट त्रिज्या = 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप में फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया जाता है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि कुएँ का व्यास 2r = 7m ⇒ r = \(\frac { 7 }{ 2 }\)m है एवं कुएँ की गहराई d = 20 m मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई hm है, तो प्रश्नानुसार, चबूतरे की मिट्टी की आयतन = कुएँ का आयतन
22 m x 14 m x hm = \(\pi r^{2} d=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 20\)
\(h=\frac{22 \times 49 \times 20}{7 \times 4 \times 22 \times 14}=\frac{5}{2} \mathrm{m}\)
= 2.5 m
अतः, चबूतरे की अभीष्ट ऊँचाई = 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (Ring) बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बाँध की ऊँचाई = x m है।
कुएँ का व्यास d = 2r₁ = 3 m ⇒ r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 1.5 m तथा गहराई h = 14 m
बाँध की चौड़ाई = 4 m
⇒ बाँध की बाह्य त्रिज्या r₂ = 4 + 1.5 = 5.5 m
∴ वलयाकार बाँध का आयतन = π(r₂² – r₁²)x,
V = π[(5.5)² – (1.5)²] × x
= πx(30.25 – 2.25)
= 28πx m³
∴ कुएँ का आन्तरिक आयतन = πr₁²h
V = π(1.5)² × 14
= 31.5 π
बाँध का आयतन = कुएँ का आन्तरिक आयतन
⇒ 28π x = 31.5 π
⇒ x = \(\frac { 31.5 }{ 28 }\) = 1.125 m
अतः, बाँध की अभीष्ट ऊँचाई = 1.125 m है।

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। इन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

मान लीजिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h = 15 cm तथा व्यास d = 2r = 12 cm (दिया है)
त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
शंक की ऊँचाई h’ = 12 cm
शंकु का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास
d’ = 2r’ = 6 cm (दिया है)
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm
बेलन का आयतन V = πr²h
= π(6)² x 15
= 540π cm³
एवं शंकु का कुल आयतन = V’ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)π(r’)²h’ + \(\frac { 2 }{ 3 }\) π(r’)³
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(r’)² (h’ + 2r’)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(3)² (12 + 2 x 3)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π x 9 x 18
= 54 π cm³

अतः, आइसक्रीम शंकुओं की अभीष्ट संख्या = 10 है।

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
माना सिक्कों की संख्या = n है दिया है। घनाभ की विमाएँ 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm तथा सिक्कों की मोटाई x = 2 mm = 0.2 cm एवं व्यास d = 2r = 1.75 cm
r = \(\frac { 1.75 }{ 2 }\) cm दिया है।
घनाभ का आयतन = 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm = 192.5 cm³.
n सिक्कों का कुल आयतन = n × πr²x
= \(n \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 75}{2}\right)^{2} \times 0 \cdot 2=\frac{13 \cdot 475}{28} n\)
चूँकि सिक्कों का कुल आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, सिक्कों की अभीष्ट संख्या = 400 है।

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदिशंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई h = 32 cm तथा त्रिज्या r = 18 cm दी गयी है तथा इसको भरे हुए रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनानी है जिसकी ऊँचाई h’ = 24 cm है। पुनः मान लीजिए कि शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या = r’ cm एवं तिर्यक ऊँचाई = l cm है, तो प्रश्नानुसार,
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm एवं उसकी अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है।

प्रश्न 8.
6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h चाल से बह रहा है। 30 मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पायेगी जबकि ऊँचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल :
मान लीजिए नहर एक घनाभ के आकार की है जिसकी चौड़ाई b = 6 m और गहराई h = 1.5m जिसमें 10 km/h की चाल से पानी बह रहा है। पुनः मान लीजिए यह 30 मिनट में x वर्ग मीटर क्षेत्रफल की सिंचाई करेगा जिसमें पानी की गराई d = 8 cm = 0.08 m है।
30 मिनट में जल धारा की लम्बाई = \(\frac { 30 }{ 60 }h\) x 10 km/h = 5 km
l = 5000 m
जल धारा का 30 मिनट में आयतन = lbh = 5000 x 6 x 1.5 m³
V = 45000 m³.
प्रश्नानुसार,
x × 0.08 = 45000
x = \(\frac{45000}{0.08}=\frac{45000 \times 100}{8} \mathrm{m}^{2}\)
x = 562500 m²
= 56.25 हेक्टेअर
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल = 562500 m² अथवा 56.25 हेक्टेअर है।

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जायेगी?
हल :
बेलनाकार टंकी की गहराई h = 2 m तथा व्यास d = 2r = 10 m
r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 m दिया है।
पाइप का आन्तरिक व्यास d’ = 2r’ = 20 cm = 0.2 m
r’ = 0.1 m है।
जल धारा की पाइप में 1 घण्टे में लम्बाई 3 km = 3000 m होगी।
टंकी का आयतन = πr²h
= π(5)² x 2
= 50π m³
1 घण्टे में नल से प्राप्त जल का आयतन = π(r’)²l
= π(0.1)² x 3000 m³
= 30π m³.

अतः, टंकी को भरने में लगा अभीष्ट समय = 100 मिनट है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
किसी बहुपद p (x) के लिए y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में p (x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।


आकृति : 2.1
हल:

1. कोई शून्यक नहीं
2. एक शून्यक
3. तीन शून्यक
4. दो शून्यक
5. चार शून्यक
6. तीन शून्यक

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि संलग्न आकृति 6.13 में दिए हुए त्रिभुजों के युग्मों के कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए, जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) ∵ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q एवं ∠C = ∠R
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

(ii) ∵

∆ABC ~ ∆QPR [SSS समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆QRP समरूप त्रिभुज हैं।

(iii) ∵

अतः अभीष्ट ∆LMP ≠ ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) ∵

जो समानुपाती हैं तथा बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।
∆MNL ~ ∆PQR [SAS समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆MNL ~ ∆POR समरूप त्रिभुज हैं।

(v) ∵

एवं ∠A = ∠F = 80°
यहाँ ∠F तो अन्तर्गत है, लेकिन ∠A अन्तर्गत नहीं है।
अत: ∆ABC एवं ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(vi) ∵ ∆DEF में, ∠F = 180° – (70° + 80°) = 180° – 150° = 30°
एवं ∆PQR में, ∠P = 180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°
अतः ∠D = ∠P = 70°, ∠E = ∠Q = 80° एवं ∠F = ∠R = 30°
∆DEF ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆DEF ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 6.14 में ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ ∠DOC + ∠COB = 180° [रैखिक युग्म हैं।]
∵∠DOC = 180° – ∠COB
= 180° – 125° = 55°
[∵∠COB = 125° दिया है।]
∵∠DCO + ∠CDO = ∠COB [∠COB बहिष्कोण है।]
⇒∠DCO + 70° = 125° [∵ ∠CDO = 70° एवं ∠COB = 70° दिए हैं।]
⇒∠DCO = 125° – 70° = 55°
∵∆ODC ~ ∆OBA
⇒∠OAB = ∠OCD = ∠DCO = 55° [संगतकोण हैं]
अतः अभीष्ट ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° एवं ∠OAB = 55°.

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.15 में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR
हल :

∵ ∆PQR में, ∠O = ∠R
[∵ ∆PQR में, ∠PQR = 21 एवं ∠PRQ = ∠2 एवं ∠1 = ∠2 दिया है]
PQ = PR …(1) [बराबर कोणों को सम्मुख भुजाएँ हैं|

अब ∆PQS एवं ∆TQR में,
चूँकि ∠PQS = ∠TOR = ∠Q
\(\frac{Q S}{Q P}=\frac{Q R}{Q T}\) [समीकरण (3) से]
[जो कि उपरोक्त उभयनिष्ठ कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
∆PQS ~ ∆TQR. SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
त्रिभुज PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्द S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS.
हल :

मान लीजिए कि ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर बिन्दु S और T इस प्रकार दिए हैं कि ∠P = ∠RTS
अब ∆RPQ और ∆RTS में,
∠RPQ = ∠RTS [दिया है।]
∠QRP= ∠SRT [चित्रानुसार उभयनिष्ठ है]
∆PQR ~ ∆RTS [AA समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.17 में यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC.
हल :

∵ ∆ABE ≅ ∆ACD दिया है
⇒ AB = AC …(1) [CPCT]
AE = AD …(2) [CPCT]
⇒ \(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) …(3)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
अब ∆ADE और ∆ABC में,
∵∠DAE = ∠BAC [उभयनिष्ठ है]
∵\(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) [समीकरण (3) से]
[ये भुजाएँ बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒∆ADE ~ ∆ABC.
[SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.18 में शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.
हल:

∠D = ∠E
[∵ AD ⊥ BC एवं CE ⊥ AB, दिया है]
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠E = ∠D [दिया है]
∠APE = ∠CPD शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∆AEP ~ ∆CDP. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ABD = ∠CBE [चित्रानुसार उभयनिष्ट है]
∠D = ∠E [दिया है।]
∆ABD ~ ∆CBE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠EAP = ∠DAB [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∠E = ∠D [दिया है]
∆AEP ~ ∆ADB. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠D = ∠E [दिया है]
∠PCD = ∠BCE [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆PDC ~ ∆BEC. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB है।
हल :

ABCD एक दिया हुआ समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढ़ी हुई भुजा AD पर E कोई बिन्दु है। BE, CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है।
∆ABE और ∆CFB में,
∵∠A = ∠C [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∵∠ABE = ∠CFB [एकान्तर कोण हैं।]
[∵ AB || DC एवं BE तिर्यक रेखा है।]
∆ABE ~ ∆CFB.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 6.20 में ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल :

(i) ∆ABC और ∆AMP में,
∠B = ∠M = 90° [समकोण दिए हैं।]
∠CAB = ∠PAM [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆AMR. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP [सिद्ध कर चुके हैं]
\(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
[क्योंकि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित है। यदि ∆ABC ~ ∆FEG, तो दर्शाइए कि:
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल :
दिया है : ∆ABC ~ ∆FEG, CD एवं GH क्रमशः कोण ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि D और H क्रमश: ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

∆ABC ~ ∆FEG [दिया है]
∠A = ∠F, ∠B = ∠E एवं ∠C = ∠G …(1)
\(\frac{A B}{F E}=\frac{B C}{E G}=\frac{C A}{G F}\) …(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∠ACD = ∠BCD = ∠EGH = ∠FGH [बराबर कोणों ∠C एवं ∠G के आधे हैं।]

(i) ∆ACD और ∆FGH में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆ACD ~ ∆FGH [AA समरूपता]
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

(ii) ∆DCB और ∆HGE में,
चूँकि ∠B = ∠E [समीकरण (1) से]
एवं ∠BCD = ∠EGH [समीकरण (3) से]
∆DCB ~ ∆HGE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA और ∆HGF में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
एवं ∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆DCA ~ ∆HGF.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.22 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल :

∆ABD और ∆ECF में,
चूँकि ∠B = ∠C
[AB = AC के सम्मुख एवं कोण हैं।]
∠D = ∠F [AD ⊥ BC, EF ⊥ AC]
∆ABD ~ ∆ECE [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है [देखिए संलग्न आकृति 6.23] । दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल :
दिया है

[चूँकि AD एवं PM माध्यिकाएँ]
अब ∆ABD और ∆PQM में,
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (1) एवं (2) में]
⇒ ∆ABD ~ ∆PQM [SSS समरूपता]
⇒ ∠B = ∠Q …(3) [समरूपता त्रिभुजों के प्रगुण]
अब ∆ABC और ∆PQR में,
चूँकि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समीकरण (1) से]
एवं ∠B = ∠C [समीकरण (3) से]
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR. [SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल :

∆ABC की भुजा BC पर कोई बिन्दु D इस प्रकार दिया है कि :
∠ADC = ∠BAC [देखिए संलग्न आकृति 6.24]
∆ABC और ∆DAC में,
‘चूंकि ∠BAC = ∠ADC [दिया है]
∠ACB = ∠DCA [उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆DAC [AA समरूपता]
\(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
CA.CA = CB.CD
⇒ CA² = CB.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल :

दो त्रिभुज ∆ABC एवं ∆PQR दिए हैं जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD एवं PM हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.25) जिसमें दिया है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}=k\)
(मान लीजिए) …(1)
AB = kPQ, AC = kPR एवं AD = kPM …….(2)
∵∆ABC में AD माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
AB² + AC² = 2AD² + 2BD² …(3)
k²PQ² + K²PR² = 2k²PM² + 2BD² [समीकरण (2) एवं (3) से]
k²(PQ² + PR² – 2PM²) = 2BD²
∆PQR में PM माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
PQ² + PR² = 2PM² + 2QM²
PQ² + PR² – 2PM² = 2QM²…(5)
k²(2QM²) = 2BD² [समीकरण (4) एवं (5) से]

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 मीटर वाले एक स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 6 cm लम्बा एक स्तम्भ है जिसकी छाया BC की लम्बाई 4 m है एवं ∠ABC = 90° तथा ∠C = x° है। आकृति 6.26(a) एवं PQ = h m (मान लीजिए) कि ‘मीनार की छाया QR की लम्बाई 28 m है एवं ∠PQR = 90° तथा ∠R = x° है।
∠C = ∠R = x° (सूर्य का उन्नयन कोण) एवं ∠B = ∠Q = 90°
∆ABC ~ ∆PQR [AA समरूपता]

अत: मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 42 cm है।

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुओं ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल :

दिया है : AD और PM क्रमशः ∆ABC एवं ∆PQR की माध्यिकाएँ हैं और ∆ABC ~ ∆PQR [देखिए संलग्न आकृति 6.27]
चूँकि
∆ABC ~ ∆PQR (दिया है)
∠B = ∠Q …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
लेकिन BC = 2BD एवं QR = 2QM [D, BC का और M, QR का मध्यबिन्दु है]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(2)
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (2) से]
AABD ~ APQM [SAS समरूपता]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए अनी और बीजू की आयु क्रमशः x वर्ष एवं y वर्ष है, तो प्रश्नानुसार
x – y = 3 ….(1)
अनी के पिता धरम की आयु = 2x
एवं कैथी (बीजू की बहिन) की आयु = \(\frac { y }{ 2 } \)
तब 2x – \(\frac { y }{ 2 } \) = 30
⇒ 4x – y = 60 ….(2)
⇒ 3x = 57 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ x = \(\frac { 57 }{ 3 } \) = 19 वर्ष
x का मान समीकरण (1) में, रखने पर
19 – y = 3 ⇒ y = 19 – 3 = 16 वर्ष
अतः अनी एवं बीजू की अभीष्ट आयु क्रमशः 19 वर्ष एवं 16 वर्ष है।

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है, “यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।” दूसरा उत्तर देता है, “यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।” बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तिया हैं? [भास्कर – II की बीजगणित से]
हल:
मान लीजिए कि दोनों की सम्पत्तियों क्रमशः x एवं y हैं तो
प्रथम शर्तानुसार, x + 100 = 2 (y – 100) = 2y – 200
⇒ x – 2y = – 300 ….(1)
एवं द्वितीय शार्तानुसार, y + 10 = 6 (x – 10) = 6x – 60
⇒ 6x – y = 70 ….(2)
⇒ 12x – 2y = 140 ….(3) [समीकरण (2) × 2 से]
⇒ 11x = 440 [समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
⇒ x = \(\frac { 440 }{ 11 } \) = ₹40
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
40 – 2y = – 300
⇒ 2y = 40 + 300 = 340
⇒ y = \(\frac { 340 }{ 2 } \) = ₹ 170
अत: दोनों मित्रों के पास क्रमश: ₹ 40 एवं ₹ 170 हैं।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/hr अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/hr धीमी चली होती, तो उसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दूरी = x km एवं उसकी नियत चाल = y km/hr तो उसकी यात्रा में लगा समय = \(\frac { x }{ y } \) hr
अब प्रथम शर्तानुसार, \(\frac { x }{ (y+10) } \) = \(\frac { x }{ y } \) -2 ….(1)
एवं द्वितीय शर्तानुसार, \(\frac { x }{ (y-10) } \) = \(\frac { x }{ y } \) + 3 ….(2)
⇒ xy = xy + 10x – 2y (y + 10) [समीकरण (1) से]
⇒ 2y² + 20y = 10x ….(3)
एवं xy = xy – 10x + 3y² – 30y
⇒ 3y² – 30y = 10x ….(4)
⇒ y² – 50y = 0 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
⇒ y (y – 50) = 0
⇒ या तो y = 0 (जो असम्भव है)
अथवा y – 50 = 0 ⇒ y = 50
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है:

अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गई अभीष्ट दूरी = 600 km.

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो एक पंक्ति कम होती है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं हैं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या x है तथा प्रत्येक पंक्ति में । विद्यार्थी रखे जाते हैं तो कुल पंक्तियों की संख्या = \(\frac { x }{ y } \)
अब प्रथम शर्तानुसार, \(\frac{x}{y+3}=\frac{x}{y}-1\)
⇒ xy = xy + 3x – y² – 3y
⇒ y² + 3y = 3x ….(1)
एवं द्वितीय शर्तानुसार, \(\frac{x}{y-3}=\frac{x}{y}+2\)
⇒ xy = xy – 3x + 2y² – 6y
⇒ 2y² – 6y = 3x ….(2)
⇒ y² – 9y = 0 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ y (y – 9) = 0
⇒ या तो y = 0 (जो असम्भव है)
अथवा y = 9
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(9)² + 3 (9) = 3x
⇒ 81 +27 = 3x
⇒ 3x = 108 ⇒ x = \(\frac { 108 }{ 3 } \) = 36
अतः कक्षा में अभीष्ट छात्रों की संख्या = 36.

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में ∠C = 3 ∠B = 2 (∠A+ ∠B) है तो त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए
हल:
दिया है: ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) …..(1)
हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180° ….(2)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) ∠C + ∠C = 180° [समीकरण (2) एवं समीकरण (1) से]

[समीकरण (2) में ∠B एवं ∠C के मान रखने पर]
∠A = 180° – 40° – 120° = 180° – 160° = 20°
अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का अभीष्ट मान ∠A = 20°, ∠B = 40° एवं ∠C = 120° है।

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल:
∵ 5x – y = 5 ….(1)
⇒ y = 5x – 5

एवं 3x – y = 3 ….(2)
⇒ y = 3x – 3
ग्राफीय निरूपण :

आकृति : 3.10

अतः त्रिभुज के अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक (1, 0), (0, – 3) एवं (0, – 5) हैं (ग्राफ के अनुसार)।
अब ∆ABC का क्षेत्रफल
चूँकि y – अक्ष और दत्त रेखाओं के मध्य ∆ABC बना है जिसका आधार BC = 2 इकाई एवं शीर्षलम्ब OA = 1 इकाई
∵ ar (∆ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × OA
⇒ ar (∆ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 2 × 1 = 1 वर्ग इकाई
अतः ग्राफ एवं y-अक्ष से बने ∆ABC का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q; qx – py = p + q
(ii) ax + by = c; bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac { x }{ a } \) – \(\frac { y }{ b } \) = 0; ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b)y = a² – 2ab – b²; (a + b) (x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74; – 378x + 152y = – 604
हल:
(i) चूंकि px + qy = p – q ⇒ px + qy – (p – q) = 0 ….(1)
एवं qx – py = p + q ⇒ qx – py – (p + q) = 0 ….(2)

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = -1 है।

(ii) चूंकि ax + by = c ⇒ ax + by – c = 0 ….(1)
एवं bx + ay = 1 + c ⇒ bx + ay – (c + 1) = 0 ….(2)

(iii) चूँकि \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 \Rightarrow b x-a y=0\) …..(1)
एवं ax + by = a² + b² …..(2)
समीकरण (1) से x = \(\frac { a }{ b } \) y समीकरण (2) में रखने पर प्राप्त होता है:

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{x}{a}-\frac{b}{b}=0 \Rightarrow \frac{x}{a}=1 \Rightarrow x=a\)
अत: दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = a एवं y = b है।

(iv) चूँकि (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b² …..(1)
एवं (a + b) (x + y) = a² + b² ….(2)
समीकरण (2) से \(\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}-x\right)\) समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
\((a-b) x+(a+b)\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}-x\right)=a^{2}-2 a b-b^{2}\)
⇒ (a – b)x + [(a² + b²) – x (a + b)] = a² – 2ab – b²
⇒ a² + b² + (a -b – a – b)x = a² – 2ab – b²
⇒ -2bx = -2b² – 2ab = -2b (b + a)
⇒ x = b + a = a + b
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(a – b) (a + b) + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ a² – b² + (a + b)y = a² – b² – 2ab
⇒ (a + b)y = -2ab
⇒ y = – \(\frac { 2ab }{ a+b } \)
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = (a + b) एवं y = \(\frac { -2ab }{ a+b } \) है।

(v) चूँकि 152x – 378y = – 74
⇒ 152x – 378y + 74 = 0 ….(1)
एवं -378x + 152y = – 604
⇒ -378x + 152y + 604 = 0 ….(2)


अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (देखिए संलग्न आकृति 3.11) इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
संलग्न आकृति के अनुसार, ∠A = 4y + 20
∠B = 3y – 5
∠C = -4x
एवं ∠D = – 7x + 5

अब हम जानते हैं कि
∵ ∠A + ∠C = 180°
[चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।]
⇒ 4y + 20 + (-4x) = 180°
⇒ – 4x + 4y + 20 = 180°
⇒ – 4x + 4y = 180° – 20° = 160°
⇒ -x + y = 40 …(1)
एवं ∠B + ∠D = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
⇒ 3y – 5 – 7x + 5 = 180°
⇒ – 7x + 3y = 180°…..(2)
एवं – 7x + 7y = 280 …..(3) [समीकरण (1) × 7 से]
⇒ 4y = 100 [समीकरण (3) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 100 }{ 4 } \) = 25
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
-x + 25 = 40
⇒ -x = 40 – 25 = 15
⇒ x = – 15
अब ∠A = 4y + 20
= 4 × 25 + 20 = 100 + 20 = 120°
∠B = 3y – 5
= 3 × 25 – 5 = 75 – 5 = 70°
∠C = -4x
= -4(-15) = 60°
∠D = – 7x + 5
= -7 (- 15) + 5
= 105 + 5 = 110°
अतः दिए चक्रीय चतुर्भुज के अभीष्ट कोण हैं ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60° एवं ∠D = 110°.