Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना,
बेलन की ऊँचाई = h cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलन का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलन की अभीष्ट ऊँचाई = 2.744 cm है।

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या = R cm है, तो प्रश्नानुसार,
बड़े गोले का आयतन = तीन छोटे गोलों के आयतनों का योग

R³ = (6)³ + (8) + (10)³
R³ = 216 + 512 + 1000
= 1728
= (12)³
R = 12 cm
अतः, बड़े गोले की अभीष्ट त्रिज्या = 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप में फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया जाता है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि कुएँ का व्यास 2r = 7m ⇒ r = \(\frac { 7 }{ 2 }\)m है एवं कुएँ की गहराई d = 20 m मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई hm है, तो प्रश्नानुसार, चबूतरे की मिट्टी की आयतन = कुएँ का आयतन
22 m x 14 m x hm = \(\pi r^{2} d=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 20\)
\(h=\frac{22 \times 49 \times 20}{7 \times 4 \times 22 \times 14}=\frac{5}{2} \mathrm{m}\)
= 2.5 m
अतः, चबूतरे की अभीष्ट ऊँचाई = 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (Ring) बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बाँध की ऊँचाई = x m है।
कुएँ का व्यास d = 2r₁ = 3 m ⇒ r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 1.5 m तथा गहराई h = 14 m
बाँध की चौड़ाई = 4 m
⇒ बाँध की बाह्य त्रिज्या r₂ = 4 + 1.5 = 5.5 m
∴ वलयाकार बाँध का आयतन = π(r₂² – r₁²)x,
V = π[(5.5)² – (1.5)²] × x
= πx(30.25 – 2.25)
= 28πx m³
∴ कुएँ का आन्तरिक आयतन = πr₁²h
V = π(1.5)² × 14
= 31.5 π
बाँध का आयतन = कुएँ का आन्तरिक आयतन
⇒ 28π x = 31.5 π
⇒ x = \(\frac { 31.5 }{ 28 }\) = 1.125 m
अतः, बाँध की अभीष्ट ऊँचाई = 1.125 m है।

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। इन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

मान लीजिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h = 15 cm तथा व्यास d = 2r = 12 cm (दिया है)
त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
शंक की ऊँचाई h’ = 12 cm
शंकु का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास
d’ = 2r’ = 6 cm (दिया है)
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm
बेलन का आयतन V = πr²h
= π(6)² x 15
= 540π cm³
एवं शंकु का कुल आयतन = V’ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)π(r’)²h’ + \(\frac { 2 }{ 3 }\) π(r’)³
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(r’)² (h’ + 2r’)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(3)² (12 + 2 x 3)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π x 9 x 18
= 54 π cm³

अतः, आइसक्रीम शंकुओं की अभीष्ट संख्या = 10 है।

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
माना सिक्कों की संख्या = n है दिया है। घनाभ की विमाएँ 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm तथा सिक्कों की मोटाई x = 2 mm = 0.2 cm एवं व्यास d = 2r = 1.75 cm
r = \(\frac { 1.75 }{ 2 }\) cm दिया है।
घनाभ का आयतन = 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm = 192.5 cm³.
n सिक्कों का कुल आयतन = n × πr²x
= \(n \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 75}{2}\right)^{2} \times 0 \cdot 2=\frac{13 \cdot 475}{28} n\)
चूँकि सिक्कों का कुल आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, सिक्कों की अभीष्ट संख्या = 400 है।

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदिशंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई h = 32 cm तथा त्रिज्या r = 18 cm दी गयी है तथा इसको भरे हुए रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनानी है जिसकी ऊँचाई h’ = 24 cm है। पुनः मान लीजिए कि शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या = r’ cm एवं तिर्यक ऊँचाई = l cm है, तो प्रश्नानुसार,
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm एवं उसकी अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है।

प्रश्न 8.
6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h चाल से बह रहा है। 30 मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पायेगी जबकि ऊँचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल :
मान लीजिए नहर एक घनाभ के आकार की है जिसकी चौड़ाई b = 6 m और गहराई h = 1.5m जिसमें 10 km/h की चाल से पानी बह रहा है। पुनः मान लीजिए यह 30 मिनट में x वर्ग मीटर क्षेत्रफल की सिंचाई करेगा जिसमें पानी की गराई d = 8 cm = 0.08 m है।
30 मिनट में जल धारा की लम्बाई = \(\frac { 30 }{ 60 }h\) x 10 km/h = 5 km
l = 5000 m
जल धारा का 30 मिनट में आयतन = lbh = 5000 x 6 x 1.5 m³
V = 45000 m³.
प्रश्नानुसार,
x × 0.08 = 45000
x = \(\frac{45000}{0.08}=\frac{45000 \times 100}{8} \mathrm{m}^{2}\)
x = 562500 m²
= 56.25 हेक्टेअर
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल = 562500 m² अथवा 56.25 हेक्टेअर है।

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जायेगी?
हल :
बेलनाकार टंकी की गहराई h = 2 m तथा व्यास d = 2r = 10 m
r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 m दिया है।
पाइप का आन्तरिक व्यास d’ = 2r’ = 20 cm = 0.2 m
r’ = 0.1 m है।
जल धारा की पाइप में 1 घण्टे में लम्बाई 3 km = 3000 m होगी।
टंकी का आयतन = πr²h
= π(5)² x 2
= 50π m³
1 घण्टे में नल से प्राप्त जल का आयतन = π(r’)²l
= π(0.1)² x 3000 m³
= 30π m³.

अतः, टंकी को भरने में लगा अभीष्ट समय = 100 मिनट है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1

प्रश्न 1.
किसी बहुपद p (x) के लिए y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में p (x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।


आकृति : 2.1
हल:

1. कोई शून्यक नहीं
2. एक शून्यक
3. तीन शून्यक
4. दो शून्यक
5. चार शून्यक
6. तीन शून्यक

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि संलग्न आकृति 6.13 में दिए हुए त्रिभुजों के युग्मों के कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए, जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) ∵ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q एवं ∠C = ∠R
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

(ii) ∵

∆ABC ~ ∆QPR [SSS समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆QRP समरूप त्रिभुज हैं।

(iii) ∵

अतः अभीष्ट ∆LMP ≠ ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) ∵

जो समानुपाती हैं तथा बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।
∆MNL ~ ∆PQR [SAS समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆MNL ~ ∆POR समरूप त्रिभुज हैं।

(v) ∵

एवं ∠A = ∠F = 80°
यहाँ ∠F तो अन्तर्गत है, लेकिन ∠A अन्तर्गत नहीं है।
अत: ∆ABC एवं ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(vi) ∵ ∆DEF में, ∠F = 180° – (70° + 80°) = 180° – 150° = 30°
एवं ∆PQR में, ∠P = 180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°
अतः ∠D = ∠P = 70°, ∠E = ∠Q = 80° एवं ∠F = ∠R = 30°
∆DEF ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆DEF ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 6.14 में ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ ∠DOC + ∠COB = 180° [रैखिक युग्म हैं।]
∵∠DOC = 180° – ∠COB
= 180° – 125° = 55°
[∵∠COB = 125° दिया है।]
∵∠DCO + ∠CDO = ∠COB [∠COB बहिष्कोण है।]
⇒∠DCO + 70° = 125° [∵ ∠CDO = 70° एवं ∠COB = 70° दिए हैं।]
⇒∠DCO = 125° – 70° = 55°
∵∆ODC ~ ∆OBA
⇒∠OAB = ∠OCD = ∠DCO = 55° [संगतकोण हैं]
अतः अभीष्ट ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° एवं ∠OAB = 55°.

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.15 में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR
हल :

∵ ∆PQR में, ∠O = ∠R
[∵ ∆PQR में, ∠PQR = 21 एवं ∠PRQ = ∠2 एवं ∠1 = ∠2 दिया है]
PQ = PR …(1) [बराबर कोणों को सम्मुख भुजाएँ हैं|

अब ∆PQS एवं ∆TQR में,
चूँकि ∠PQS = ∠TOR = ∠Q
\(\frac{Q S}{Q P}=\frac{Q R}{Q T}\) [समीकरण (3) से]
[जो कि उपरोक्त उभयनिष्ठ कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
∆PQS ~ ∆TQR. SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
त्रिभुज PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्द S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS.
हल :

मान लीजिए कि ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर बिन्दु S और T इस प्रकार दिए हैं कि ∠P = ∠RTS
अब ∆RPQ और ∆RTS में,
∠RPQ = ∠RTS [दिया है।]
∠QRP= ∠SRT [चित्रानुसार उभयनिष्ठ है]
∆PQR ~ ∆RTS [AA समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.17 में यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC.
हल :

∵ ∆ABE ≅ ∆ACD दिया है
⇒ AB = AC …(1) [CPCT]
AE = AD …(2) [CPCT]
⇒ \(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) …(3)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
अब ∆ADE और ∆ABC में,
∵∠DAE = ∠BAC [उभयनिष्ठ है]
∵\(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) [समीकरण (3) से]
[ये भुजाएँ बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒∆ADE ~ ∆ABC.
[SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.18 में शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.
हल:

∠D = ∠E
[∵ AD ⊥ BC एवं CE ⊥ AB, दिया है]
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠E = ∠D [दिया है]
∠APE = ∠CPD शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∆AEP ~ ∆CDP. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ABD = ∠CBE [चित्रानुसार उभयनिष्ट है]
∠D = ∠E [दिया है।]
∆ABD ~ ∆CBE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠EAP = ∠DAB [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∠E = ∠D [दिया है]
∆AEP ~ ∆ADB. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠D = ∠E [दिया है]
∠PCD = ∠BCE [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆PDC ~ ∆BEC. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB है।
हल :

ABCD एक दिया हुआ समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढ़ी हुई भुजा AD पर E कोई बिन्दु है। BE, CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है।
∆ABE और ∆CFB में,
∵∠A = ∠C [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∵∠ABE = ∠CFB [एकान्तर कोण हैं।]
[∵ AB || DC एवं BE तिर्यक रेखा है।]
∆ABE ~ ∆CFB.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 6.20 में ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल :

(i) ∆ABC और ∆AMP में,
∠B = ∠M = 90° [समकोण दिए हैं।]
∠CAB = ∠PAM [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆AMR. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP [सिद्ध कर चुके हैं]
\(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
[क्योंकि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित है। यदि ∆ABC ~ ∆FEG, तो दर्शाइए कि:
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल :
दिया है : ∆ABC ~ ∆FEG, CD एवं GH क्रमशः कोण ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि D और H क्रमश: ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

∆ABC ~ ∆FEG [दिया है]
∠A = ∠F, ∠B = ∠E एवं ∠C = ∠G …(1)
\(\frac{A B}{F E}=\frac{B C}{E G}=\frac{C A}{G F}\) …(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∠ACD = ∠BCD = ∠EGH = ∠FGH [बराबर कोणों ∠C एवं ∠G के आधे हैं।]

(i) ∆ACD और ∆FGH में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆ACD ~ ∆FGH [AA समरूपता]
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

(ii) ∆DCB और ∆HGE में,
चूँकि ∠B = ∠E [समीकरण (1) से]
एवं ∠BCD = ∠EGH [समीकरण (3) से]
∆DCB ~ ∆HGE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA और ∆HGF में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
एवं ∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆DCA ~ ∆HGF.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.22 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल :

∆ABD और ∆ECF में,
चूँकि ∠B = ∠C
[AB = AC के सम्मुख एवं कोण हैं।]
∠D = ∠F [AD ⊥ BC, EF ⊥ AC]
∆ABD ~ ∆ECE [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है [देखिए संलग्न आकृति 6.23] । दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल :
दिया है

[चूँकि AD एवं PM माध्यिकाएँ]
अब ∆ABD और ∆PQM में,
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (1) एवं (2) में]
⇒ ∆ABD ~ ∆PQM [SSS समरूपता]
⇒ ∠B = ∠Q …(3) [समरूपता त्रिभुजों के प्रगुण]
अब ∆ABC और ∆PQR में,
चूँकि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समीकरण (1) से]
एवं ∠B = ∠C [समीकरण (3) से]
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR. [SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल :

∆ABC की भुजा BC पर कोई बिन्दु D इस प्रकार दिया है कि :
∠ADC = ∠BAC [देखिए संलग्न आकृति 6.24]
∆ABC और ∆DAC में,
‘चूंकि ∠BAC = ∠ADC [दिया है]
∠ACB = ∠DCA [उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆DAC [AA समरूपता]
\(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
CA.CA = CB.CD
⇒ CA² = CB.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल :

दो त्रिभुज ∆ABC एवं ∆PQR दिए हैं जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD एवं PM हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.25) जिसमें दिया है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}=k\)
(मान लीजिए) …(1)
AB = kPQ, AC = kPR एवं AD = kPM …….(2)
∵∆ABC में AD माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
AB² + AC² = 2AD² + 2BD² …(3)
k²PQ² + K²PR² = 2k²PM² + 2BD² [समीकरण (2) एवं (3) से]
k²(PQ² + PR² – 2PM²) = 2BD²
∆PQR में PM माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
PQ² + PR² = 2PM² + 2QM²
PQ² + PR² – 2PM² = 2QM²…(5)
k²(2QM²) = 2BD² [समीकरण (4) एवं (5) से]

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 मीटर वाले एक स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 6 cm लम्बा एक स्तम्भ है जिसकी छाया BC की लम्बाई 4 m है एवं ∠ABC = 90° तथा ∠C = x° है। आकृति 6.26(a) एवं PQ = h m (मान लीजिए) कि ‘मीनार की छाया QR की लम्बाई 28 m है एवं ∠PQR = 90° तथा ∠R = x° है।
∠C = ∠R = x° (सूर्य का उन्नयन कोण) एवं ∠B = ∠Q = 90°
∆ABC ~ ∆PQR [AA समरूपता]

अत: मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 42 cm है।

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुओं ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल :

दिया है : AD और PM क्रमशः ∆ABC एवं ∆PQR की माध्यिकाएँ हैं और ∆ABC ~ ∆PQR [देखिए संलग्न आकृति 6.27]
चूँकि
∆ABC ~ ∆PQR (दिया है)
∠B = ∠Q …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
लेकिन BC = 2BD एवं QR = 2QM [D, BC का और M, QR का मध्यबिन्दु है]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(2)
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (2) से]
AABD ~ APQM [SAS समरूपता]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए अनी और बीजू की आयु क्रमशः x वर्ष एवं y वर्ष है, तो प्रश्नानुसार
x – y = 3 ….(1)
अनी के पिता धरम की आयु = 2x
एवं कैथी (बीजू की बहिन) की आयु = \(\frac { y }{ 2 } \)
तब 2x – \(\frac { y }{ 2 } \) = 30
⇒ 4x – y = 60 ….(2)
⇒ 3x = 57 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ x = \(\frac { 57 }{ 3 } \) = 19 वर्ष
x का मान समीकरण (1) में, रखने पर
19 – y = 3 ⇒ y = 19 – 3 = 16 वर्ष
अतः अनी एवं बीजू की अभीष्ट आयु क्रमशः 19 वर्ष एवं 16 वर्ष है।

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है, “यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।” दूसरा उत्तर देता है, “यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।” बताइए कि उनकी क्रमशः क्या सम्पत्तिया हैं? [भास्कर – II की बीजगणित से]
हल:
मान लीजिए कि दोनों की सम्पत्तियों क्रमशः x एवं y हैं तो
प्रथम शर्तानुसार, x + 100 = 2 (y – 100) = 2y – 200
⇒ x – 2y = – 300 ….(1)
एवं द्वितीय शार्तानुसार, y + 10 = 6 (x – 10) = 6x – 60
⇒ 6x – y = 70 ….(2)
⇒ 12x – 2y = 140 ….(3) [समीकरण (2) × 2 से]
⇒ 11x = 440 [समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
⇒ x = \(\frac { 440 }{ 11 } \) = ₹40
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
40 – 2y = – 300
⇒ 2y = 40 + 300 = 340
⇒ y = \(\frac { 340 }{ 2 } \) = ₹ 170
अत: दोनों मित्रों के पास क्रमश: ₹ 40 एवं ₹ 170 हैं।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/hr अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/hr धीमी चली होती, तो उसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दूरी = x km एवं उसकी नियत चाल = y km/hr तो उसकी यात्रा में लगा समय = \(\frac { x }{ y } \) hr
अब प्रथम शर्तानुसार, \(\frac { x }{ (y+10) } \) = \(\frac { x }{ y } \) -2 ….(1)
एवं द्वितीय शर्तानुसार, \(\frac { x }{ (y-10) } \) = \(\frac { x }{ y } \) + 3 ….(2)
⇒ xy = xy + 10x – 2y (y + 10) [समीकरण (1) से]
⇒ 2y² + 20y = 10x ….(3)
एवं xy = xy – 10x + 3y² – 30y
⇒ 3y² – 30y = 10x ….(4)
⇒ y² – 50y = 0 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
⇒ y (y – 50) = 0
⇒ या तो y = 0 (जो असम्भव है)
अथवा y – 50 = 0 ⇒ y = 50
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है:

अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गई अभीष्ट दूरी = 600 km.

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो एक पंक्ति कम होती है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं हैं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या x है तथा प्रत्येक पंक्ति में । विद्यार्थी रखे जाते हैं तो कुल पंक्तियों की संख्या = \(\frac { x }{ y } \)
अब प्रथम शर्तानुसार, \(\frac{x}{y+3}=\frac{x}{y}-1\)
⇒ xy = xy + 3x – y² – 3y
⇒ y² + 3y = 3x ….(1)
एवं द्वितीय शर्तानुसार, \(\frac{x}{y-3}=\frac{x}{y}+2\)
⇒ xy = xy – 3x + 2y² – 6y
⇒ 2y² – 6y = 3x ….(2)
⇒ y² – 9y = 0 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ y (y – 9) = 0
⇒ या तो y = 0 (जो असम्भव है)
अथवा y = 9
अब y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(9)² + 3 (9) = 3x
⇒ 81 +27 = 3x
⇒ 3x = 108 ⇒ x = \(\frac { 108 }{ 3 } \) = 36
अतः कक्षा में अभीष्ट छात्रों की संख्या = 36.

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में ∠C = 3 ∠B = 2 (∠A+ ∠B) है तो त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए
हल:
दिया है: ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B) …..(1)
हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180° ….(2)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 } \) ∠C + ∠C = 180° [समीकरण (2) एवं समीकरण (1) से]

[समीकरण (2) में ∠B एवं ∠C के मान रखने पर]
∠A = 180° – 40° – 120° = 180° – 160° = 20°
अतः त्रिभुज के तीनों कोणों का अभीष्ट मान ∠A = 20°, ∠B = 40° एवं ∠C = 120° है।

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल:
∵ 5x – y = 5 ….(1)
⇒ y = 5x – 5

एवं 3x – y = 3 ….(2)
⇒ y = 3x – 3
ग्राफीय निरूपण :

आकृति : 3.10

अतः त्रिभुज के अभीष्ट शीर्षों के निर्देशांक (1, 0), (0, – 3) एवं (0, – 5) हैं (ग्राफ के अनुसार)।
अब ∆ABC का क्षेत्रफल
चूँकि y – अक्ष और दत्त रेखाओं के मध्य ∆ABC बना है जिसका आधार BC = 2 इकाई एवं शीर्षलम्ब OA = 1 इकाई
∵ ar (∆ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × OA
⇒ ar (∆ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 2 × 1 = 1 वर्ग इकाई
अतः ग्राफ एवं y-अक्ष से बने ∆ABC का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :
(i) px + qy = p – q; qx – py = p + q
(ii) ax + by = c; bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac { x }{ a } \) – \(\frac { y }{ b } \) = 0; ax + by = a² + b²
(iv) (a – b) x + (a + b)y = a² – 2ab – b²; (a + b) (x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74; – 378x + 152y = – 604
हल:
(i) चूंकि px + qy = p – q ⇒ px + qy – (p – q) = 0 ….(1)
एवं qx – py = p + q ⇒ qx – py – (p + q) = 0 ….(2)

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = -1 है।

(ii) चूंकि ax + by = c ⇒ ax + by – c = 0 ….(1)
एवं bx + ay = 1 + c ⇒ bx + ay – (c + 1) = 0 ….(2)

(iii) चूँकि \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0 \Rightarrow b x-a y=0\) …..(1)
एवं ax + by = a² + b² …..(2)
समीकरण (1) से x = \(\frac { a }{ b } \) y समीकरण (2) में रखने पर प्राप्त होता है:

y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{x}{a}-\frac{b}{b}=0 \Rightarrow \frac{x}{a}=1 \Rightarrow x=a\)
अत: दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = a एवं y = b है।

(iv) चूँकि (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b² …..(1)
एवं (a + b) (x + y) = a² + b² ….(2)
समीकरण (2) से \(\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}-x\right)\) समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
\((a-b) x+(a+b)\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}-x\right)=a^{2}-2 a b-b^{2}\)
⇒ (a – b)x + [(a² + b²) – x (a + b)] = a² – 2ab – b²
⇒ a² + b² + (a -b – a – b)x = a² – 2ab – b²
⇒ -2bx = -2b² – 2ab = -2b (b + a)
⇒ x = b + a = a + b
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(a – b) (a + b) + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ a² – b² + (a + b)y = a² – b² – 2ab
⇒ (a + b)y = -2ab
⇒ y = – \(\frac { 2ab }{ a+b } \)
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = (a + b) एवं y = \(\frac { -2ab }{ a+b } \) है।

(v) चूँकि 152x – 378y = – 74
⇒ 152x – 378y + 74 = 0 ….(1)
एवं -378x + 152y = – 604
⇒ -378x + 152y + 604 = 0 ….(2)


अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (देखिए संलग्न आकृति 3.11) इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
संलग्न आकृति के अनुसार, ∠A = 4y + 20
∠B = 3y – 5
∠C = -4x
एवं ∠D = – 7x + 5

अब हम जानते हैं कि
∵ ∠A + ∠C = 180°
[चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।]
⇒ 4y + 20 + (-4x) = 180°
⇒ – 4x + 4y + 20 = 180°
⇒ – 4x + 4y = 180° – 20° = 160°
⇒ -x + y = 40 …(1)
एवं ∠B + ∠D = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
⇒ 3y – 5 – 7x + 5 = 180°
⇒ – 7x + 3y = 180°…..(2)
एवं – 7x + 7y = 280 …..(3) [समीकरण (1) × 7 से]
⇒ 4y = 100 [समीकरण (3) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 100 }{ 4 } \) = 25
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
-x + 25 = 40
⇒ -x = 40 – 25 = 15
⇒ x = – 15
अब ∠A = 4y + 20
= 4 × 25 + 20 = 100 + 20 = 120°
∠B = 3y – 5
= 3 × 25 – 5 = 75 – 5 = 70°
∠C = -4x
= -4(-15) = 60°
∠D = – 7x + 5
= -7 (- 15) + 5
= 105 + 5 = 110°
अतः दिए चक्रीय चतुर्भुज के अभीष्ट कोण हैं ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60° एवं ∠D = 110°.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वह प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिसके वर्ग से 84 घटाने पर वह संख्या के 8 अधिक से तीन गुना रह जाता है।
हल:
मान लीजिए अभीष्ट प्राकृत संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
x² – 84 = 3 (x + 8)
⇒ x² – 84 = 3x + 24
⇒ x² – 3x – 108 = 0
⇒ x² – 12x + 9x – 108 = 0
⇒ x (x – 12) + 9(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 9) = 0
या तो x + 9 = 0 तब x = – 9 लेकिन
यह एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अथवा x – 12 = 0 तब x = 12
अतः अभीष्ट प्राकृत संख्या = 12 है।

प्रश्न 2.
एक प्राकृत संख्या में जब 12 जोड़ दिए जाएँ तो इसका मान उस संख्या के व्युत्क्रम का 160 गुना हो जाएगा। उस संख्या को ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्राकृत संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
x+ 12 = 160 × \(\frac { 1 }{ x } \)
⇒ x² + 12x = 160
⇒ x² + 12x – 160 = 0
⇒ x² + 20x – 8x – 160 = 0
⇒ x (x + 20) – 8 (x + 20) = 0
⇒ (x + 20) (x – 8) = 0
या तो x + 20 = 0 तथा x = – 20 जो एक प्राकृत संख्या नहीं है।
अथवा x – 8 = 0 तब x = 8,
अतः अभीष्ट प्राकृत संख्या 8 है।

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से गतिमान है। यह 360 km की दूरी तय करने में 48 मिनट कम समय लेती यदि इसकी चाल वास्तविक चाल से 5 km/h अधिक होती। रेलगाड़ी की वास्तविक चाल ज्ञात कीजिए। हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की वास्तविक चाल x km/h है तो प्रश्नानुसार,

⇒ 4x² + 20x = 9000
⇒ x² + 5x – 2250 = 0
⇒ x² + 50x – 45x -2250 = 0
⇒ x (x + 50) – 45 (x + 50) = 0
⇒ (x + 50) (x – 45) = 0
या तो x + 50 = 0 तब x = – 50 लेकिन रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
अथवा x – 45 = 0 तब x = 45
अत: रेलगाड़ी की अभीष्ट वास्तविक चाल 45 km/h

प्रश्न 4.
यदि जेबा अपनी वास्तविक आयु से 5 वर्ष कम आयु की होती तब उसकी उस उम्र आयु (वर्षों में) का वर्ग उसकी वास्तविक आयु के 5 गुने से 11 अधिक होता। उसकी वास्तविक (वर्तमान) आयु क्या है?
हल:
मान लीजिए जेबा की वास्तविक (वर्तमान) आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
(x – 5)² = 5x + 11
⇒ x² – 10x + 25 = 5x + 11
⇒ x² – 15x + 14 = 0
⇒ x² – 14x – x + 14 = 0
⇒ x (x – 14)- 1 (x – 14) = 0
⇒ (x – 1)(x – 14) = 0
या तो x – 1 = 0 तब x = 1 (यह असम्भव है)
अथवा x – 14 = 0 तब x = 14
अतः जेबा की वास्तविक (वर्तमान) अभीष्ट आयु = 14 वर्ष।

प्रश्न 5.
निम्नांकित को के लिए हल कीजिए:


हल:

⇒ 4(x + 1)(x + 2) = (3x + 4)(x + 4)
⇒ 4(x² + 3x + 2) = (3x² + 16x + 16)
⇒ 4x² + 12x + 8 = 3x² + 16t + 16
⇒ x² – 4x – 8 = 0
यहाँ a = 1, b = -4 एवं c = – 8 है तथा

अतःx के अभीष्ट मान 2 ± \(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतःx के अभीष्ट मान 0 अथवा 4 हैं।

अतःx के अभीष्ट मान 1 अथवा – \(\frac { 11 }{ 17 } \)

प्रश्न 6.
एक मोटर वोट जिसकी स्थिर जल में चाल 24 किमी/घण्टा है, धारा के प्रतिकूल 32 किमी जाने में वही पूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घण्टा अधिक समय लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए धारा की चाल = x km/h
तो धारा के अनुकूल वोट की चाल = (24 +x) km/h
एवं धारा के प्रतिकूल चाल = (24-x) km/h

अथवा x – 8 = 0, तब x = 8 km/h
अतः धारा की अभीष्ट चाल = 8 km/h.

प्रश्न 7.
दो नल एक साथ एक टैंक को 3\(\frac { 1 }{ 13 } \) घण्टे में भर सकते हैं। यदि एक नल टैंक को भरने में दूसरे नल से 3 घण्टे अधिक लेता है, तो प्रत्येक नल टैंक को भरने में कितना समय लेगा?
हल:
मान लीजिए एक नल टैंक को भरने में x घण्टे लेता है, तो दूसरा नल उसी टैंक को भरने में (x + 3) घण्टे लेगा।
चूँकि दोनों नल टैंक को भरने में 3\(\frac { 1 }{ 13 } \) = \(\frac { 40 }{ 13 } \) घण्टे लेते हैं अर्थात्
वे दोनों 1 घण्टे में \(\frac { 13 }{ 40 } \) भाग टैंक का भरेंगे।
∴ पहला नल 1 घण्टे में \(\frac { 1 }{ x } \) भाग टैंक का भरेगा।
तथा दूसरा नल 1 घण्टे में \(\frac { 1 }{ x+3 } \) भाग टैंक को भरेगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ x+3 } \) = \(\frac { 13 }{ 40 } \)
⇒ \(\frac { x+3+x }{ x(x+3) } \) = \(\frac { 13 }{ 40 } \)
⇒ 13x(x + 3) = 40(2x + 3)
⇒ 13x² + 39x = 80x + 120
⇒ 13x² – 41x – 120 = 0
⇒ 13x² – 65x + 24x – 120 = 0
⇒ 13x (x – 5) + 24(x – 5) = 0
⇒ (13x + 24) (x – 5) = 0
या तो 13x + 24 = 0, तब x = \(\frac { -24 }{ 13 } \) (ऋणात्मक) (जो सम्भव नहीं)
अथवा x – 5 = 0, तब x = 5 घण्टे
एवं x + 3 = 5 + 3 = 8 घण्टे
अत: दोनों नल उस टैंक को अलग-अलग भरने में क्रमशः 5 घण्टे एवं 8 घण्टे का समय लेंगे।

प्रश्न 8.
‘एक रेलगाड़ी पहले 54 किलोमीटर की दूरी किसी औसत चाल से चलती है तथा उसके बाद की 63 किलोमीटर की दूरी पहले से 6 किलोमीटर प्रति घण्टा अधिक की औसत चाल से चलती है। यदि कुल दूरी 3 घण्टे में पूरी होती है, तो रेलगाड़ी की पहली चाल क्या है?
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की पहली चाल = x km/h
दूसरी चाल = (x + 6) km/h
तो प्रश्नानुसार,
\(\frac { 54 }{ x } \) + \(\frac { 63 }{ x+6 } \) = 3
⇒ 54(x + 6) + 63 (x) = 3x (x + 6)
⇒ 54x + 324 + 63x = 3x² + 18x
⇒ 3x² + 18x – 117x – 324 = 0
⇒ 3x² – 99x – 324 = 0
⇒ x² – 33x – 108 = 0
⇒ x² – 36x + 3x -108 = 0
⇒ x (x – 36)+ 3 (x – 36) = 0
⇒ (x + 3) (x – 36) = 0
या तो x + 3 = 0 तब x = -3 (ऋणात्मक) (जो असम्भव है)
अथवा x – 36 = 0, तब x = 36
अत: रेलगाड़ी की पहली अभीष्ट चाल = 36 km/h.

प्रश्न 9.
एक आयताकार खेत का विकर्ण इसकी छोटी भुजा से 16 मीटर अधिक है। यदि इसकी बड़ी भुजा छोटी भुजा से 14 मीटर अधिक है, तो खेत की भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए खेत की छोटी भुजा b = x m
तब उसका विकर्ण d = (x + 16) m
एवं उसकी लम्बाई 1 = (x + 14) m
चूँकि हम जानते हैं कि
d² = t² + b² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x + 16)² = (x + 14)² + (x)²
⇒ x² + 32x + 256 = x² + 28x + 196 + x²
⇒ x² + 32x + 256 = 2x² + 28x + 196
⇒ x² – 4x – 60 = 0
⇒ x² – 10x + 6x – 60 = 0
⇒ x(x – 10) + 6 (x – 10) = 0
⇒ (x + 6) (x – 10) = 0
या तो x + 6 = 0, तब x = -6 (ऋणात्मक) (जो असम्भव है)
अथवा x – 10 = 0, तब x = 10 m
एवं x + 14 = 10 + 14 = 24 m
अतः खेत की भुजाओं की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 10 m एवं 24 m हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
द्विघाती सूत्र का प्रयोग करके निम्न वर्ग समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x – 5 = 0
(ii) 5x² + 13x + 8 = 0
(iii) -3x² + 5x + 12 = 0
(iv) -x² + 7x – 10 = 0
(v) x² + 2\(\sqrt { 2 }\) x – 6 = 0
(vi) x² – 3\(\sqrt { 5 }\)x + 10 = 0
(vii) \(\frac { 1 }{ 2 } \) x² – \(\sqrt { 11 }\)x + 1 = 0
हल:
(i) 2x² – 3x – 5 = 0
यहाँ, a = 2, b = -3 एवं c = -5 है

अतः समीकरण के अभीष मूल \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं -1 हैं।

(ii) 5x² + 13x + 8 = 0
यहाँ a = 5, b = 13 एवं c = 8

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल -1 और –\(\frac { 8 }{ 5 } \) हैं।

(iii) -3x² + 5x + 12 = 0
यहाँ a = -3, b = 5 एवं c = 12

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल –\(\frac { 4 }{ 3 } \) और 3 हैं।

(iv) – x² + 7x – 10 = 0
यहाँ a = – 1, b = 7 एवं c = – 10


अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 2 और 5 हैं।

(v) x² + 2\(\sqrt { 2 }\)x – 6 = 0
यहाँ a = 1, b = 2\(\sqrt { 2 }\), एवं c = – 6

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल \(\sqrt { 2 }\) और – 3\(\sqrt { 2 }\) हैं।

(vi) x² – 3\(\sqrt { 5 }\)x + 10 = 0
यहाँ a = 1, b = -3\(\sqrt { 5 }\) एवं c = 10

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल 2\(\sqrt { 5 }\) और \(\sqrt { 5 }\) हैं।

(vii) \(\frac { 1 }{ 2 } \)x² – \(\sqrt { 11 }\)x + 1 = 0
⇒ x² – 2\(\sqrt { 11 }\)x + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = -2\(\sqrt { 11 }\) एवं c = 2


अतः समीकरण के अभीष्ट मूल (\(\sqrt { 11 }\) + 3) और (\(\sqrt { 11 }\) – 3) हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात (वर्ग) समीकरणों के मूल गुणनखण्ड विधि से ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² + \(\frac { 5 }{ 3 } \)x – 20
(ii) \(\frac { 2 }{ 5 } \)x² – x – \(\frac { 3 }{ 5 } \) = 0
(iii) 3\(\sqrt { 2 }\)x² – 5x – \(\sqrt { 2 }\) = 0
(iv) 3x² + 5\(\sqrt { 5 }\)x – 10 = 0
(v) 21x² – 2x + \(\frac { 1 }{ 21 } \) = 0.
हल:
(i) 2x² + \(\frac { 5 }{ 3 } \)x – 2 = 0
⇒ 6x² + 5x – 6 = 0
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6 = 0
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3) = 0
⇒ (2x + 3) (3x – 2)
या तो 2x + 3 = 0 तब x = –\(\frac { 3 }{ 2 } \)
अथवा 3x – 2 = 0 तब x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल – \(\frac { 3 }{ 2 } \) और \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) \(\frac { 2 }{ 5 } \)x² – x – \(\frac { 3 }{ 5 } \) = 0
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0
⇒ (x – 3) (2x – 1) = 0
या तो x – 3 = 0 तब x = 3
अथवा 2x + 1 = 0 तब x = –\(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल 3 और –\(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(iii) 3\(\sqrt { 2 }\)x² – 5x – \(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ 3\(\sqrt { 2 }\)x² – 6x + x – \(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ 3\(\sqrt { 2 }\)x(x – \(\sqrt { 2 }\)) + 1 (x – \(\sqrt { 2 }\)) = 0
⇒ (x – \(\sqrt { 2 }\)) (3\(\sqrt { 2 }\)x + 1) = 0
या तो x – \(\sqrt { 2 }\) = 0 तब x = \(\sqrt { 2 }\)
अथवा 3\(\sqrt { 2 }\)x + 1 = 0 तब x = –\(\frac{1}{3 \sqrt{2}}\)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल \(\sqrt { 2 }\) और –\(\frac{1}{3 \sqrt{2}}\)

(iv) 3x² + 5\(\sqrt { 5 }\)x – 10 = 0
⇒ 3x² + 6\(\sqrt { 5 }\)x – \(\sqrt { 5 }\)x – 10 = 0
⇒ 3x(x + 2\(\sqrt { 5 }\)) – \(\sqrt { 5 }\) (x + 2\(\sqrt { 5 }\)) = 0
या तो x + 2\(\sqrt { 5 }\) = 0 तब x = -2\(\sqrt { 5 }\)
अथवा 3x – \(\sqrt { 5 }\) = 0 तब x = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
अब समीकरण के अभीष्ट मूल – 2\(\sqrt { 5 }\) और \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) हैं।

(v) 21x² – 2x + \(\frac { 1 }{ 21 } \) = 0
⇒ 441x² – 42x + 1 = 0
⇒ 441x² – 21x – 21x + 1 = 0
⇒ 21x (21x – 1)- 1(21x – 1) = 0
⇒ (21x – 1) (21x – 1) = 0
⇒ 21x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 21 } \)
अतः समीकरण के अभीष मूल \(\frac { 1 }{ 21 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 21 } \) हैं।

प्रश्न 3.
ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरणों के वास्तविक मूल हैं या नहीं। अगर वास्तविक मूल हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 8x² + 2x – 3 = 0
(ii) -2x² + 3x + 2 = 0
(iii) 5x² – 2x – 10 = 0
(iv) \(\frac { 1 }{ 2x-3 } \) + \(\frac { 1 }{ x-5 } \) = 1
(v) x² + 5\(\sqrt { 5 }\)x – 70 = 0
हल:
(i) 8x² + 2x – 3 = 0
यहाँ a = 8, b = 2 एवं c = – 3
अब b² – 4ac = (2)² – 4(8) (-3)
= 4 + 96 = 100 (धनात्मक)
अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 2 } \) और – \(\frac { 3 }{ 4 } \)

(ii) -2x² + 3x + 2 = 0
यहाँ a = 2,b = 3 एवं c = 2
b² – 4ac = (3)² – 4(-2) (2)
= 9 + 16 = 25 (धनात्मक)
अत: समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल –\(\frac { 1 }{ 2 } \) और 2 हैं।

(iii) 5x² – 2x – 10 = 0
यहाँ, a = 5, b = – 2 एवं c = -10
b² – 4ac = (-2)² – 4(5) (- 10)
= 4 + 200 = 204 (धनात्मक)
अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

अतः समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(v) x² + 5\(\sqrt { 5 }\)x – 70 = 0
यहाँ a = 1, b = 5\(\sqrt { 5 }\) एवं c = – 70
b2 – 4ac = (5\(\sqrt { 5 }\))² – 4(1)(-70)
= 125 + 280 = 405 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक हैं।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल 2\(\sqrt { 5 }\) और – 7\(\sqrt { 5 }\) हैं।

प्रश्न 4.
यदि ad ≠ bc है, तो सिद्ध कीजिए कि समीकरण (a² + b²) x² + 2(ac+ bd)x + (c² + d²) = 0
का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
हल:
दिए हुए समीकरण में A = (a² + b²),
B = 2(ac + bd) एवं C = (c² + d²)
∵ विविक्तकर = B² – 4AC
= [2(ac + bd)]² – 4(a² + b²)(c² + d²)
= 4(a²c² + b²d² + 2abcd) – 4(a²c² + b²d² + a²d² + b²c²)
= 4a²c² +4b²d² + 8abcd – 4a²c² – 4b²d² – 4a²d² – 4b²c²
= – 4(a²d² + b²c² – 2abcd)
= -4(ad – bc)²
लेकिन ad ≠ bc (दिया है)
⇒ ad – bc ≠ 0
= (ad – bc)² धनात्मक है।
⇒ B² – 4AC ऋणात्मक है।
अतः दिए हुए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होगा।

प्रश्न 5.
x के लिए हल कीजिए:
\(\sqrt { 3 }\)x2 – 2\(\sqrt { 2 }\)x – 2\(\sqrt { 3 }\) = 0
हल:
दिए हुए वर्ग समीकरण में a = \(\sqrt { 3 }\), b = – 2\(\sqrt { 2 }\) एवं c = -2\(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतः x के अभीष्ट मान \(\sqrt { 6 }\) अथवा –\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) हैं।

अतः x के अभीष्ट मान \(\sqrt { 6 }\) अथवा –\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 6.
निम्न द्विघात समीकरण को x के लिए हल कीजिए :
4x² + 4bx – (a² – b²) = 0
हल:
दिए हुए द्विघात समीकरण में A = 4, B = 4b एवं C = – (a² – b²) = (b² – a²)

प्रश्न 7.
p का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण px² – 14x + 8 = 0 का एक मूल दूसरे का 6 गुना है।
हल:
दिए हुए द्विघात समीकरण px² – 14x + 8 = 0 के मूल मान लीजिए α एवं β हैं, तो प्रश्नानुसार,
β = 6α

या तो p = 0 (लेकिन यह असम्भव है क्योंकि x² का गुणांक शून्य (0) नहीं हो सकता)
अथवा p – 3 = 0 ⇒ p = 3
अतः p का अभीष्ट मान = 3 है।

प्रश्न 8.
यदि द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल -5 है तथा द्विघाती समीकरण p(x² + x)+ k = 0 के मूल समान हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल -5 है, तो
2(-5)² + p(-5) – 15 = 0
⇒ 50 – 5p – 15 = 0
⇒ 5p = 50 – 15 = 35 ⇒ p = \(\frac { 35 }{ 5 } \) = 7 …..(1)
∴ द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0 में A = p, B = p एवं C = k
चूँकि उक्त समीकरण के मूल बराबर हैं।
⇒ B² – 4AC = 0 ⇒ p² – 4pk = 0
⇒ p – 4k = 0 ⇒ k = \(\frac { p }{ 4 } \) ….(2)
⇒ k = 7/4
अतःk का अभीष्ट मान = 7/4 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या निम्नलिखित वर्ग समीकरणों के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) x² – 3x + 4 = 0
(ii) 2x + x – 1 = 0
(iii) 2x² – 6x + \(\frac { 9 }{ 2 } \) = 0
(iv) 3x² – 4x + 1 = 0
(v) (x + 4)² – 8x = 0
(vi) (x – \(\sqrt { 2 }\) )² – 2(x + 1) = 0
(vii) \(\sqrt { 2 }\)x² – \(\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0\)
(viii) x(1 – x) – 2 = 0
(ix)(x – 1) (x + 2) + 2 = 0
(x)(x + 1) (x – 2) + x = 0
हल:
(i) x² – 3x + 4 = 0
यहाँ a = 1, b = – 3 एवं c = 4
b² – 4ac = (-3)² – 4(1)(4)
9 – 16 = -7 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(ii) 2x² + x – 1 = 0
यहाँ a = 2, b = 1 एवं c = – 1
⇒ b² – 4ac = (1)² – 4(2)(-1)
= 1 + 8 = 9 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(iii) 2x² – 6x + \(\frac { 9 }{ 2 } \) = 0 ⇒ 4x² – 12x + 9 = 0
यहाँ, a = 4, b = – 12 एवं c = 9
⇒ b2 – 4ac = (-12)² – 4(4) (9)
= 144 – 144 = 0 (शून्य)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक हैं लेकिन भिन्न नहीं हैं।

(iv) 3x² – 4x + 1 = 0
यहाँ a = 3, b = – 4 एवं c = 1
⇒ b² – 4ac = (-4)² – 4(3) (1)
= 16 – 12 = 4 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(v) (x + 4)² – 8x = 0 ⇒ x² + 8x + 16 – 8x = 0
⇒ x² + 16 = 0
यहाँ a = 1, b = 0 एवं c = 16
⇒ b² – 4ac = (0)² – 4(1) (16)
= 0 – 64 = -64 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(vi) (x – \(\sqrt { 2 }\))² – 2(x + 1) = 0
⇒ x² – 2\(\sqrt { 2 }\)x + 2 – 2x – 2 = 0
⇒ x² – (2\(\sqrt { 2 }\) + 2)x = 0
यहाँ a = 1, b = – (2\(\sqrt { 2 }\) + 2) एवं c = 0
⇒ b² – 4ac = [- (2\(\sqrt { 2 }\) + 2)]² – 4(1) (0)
= 8 + 8\(\sqrt { 2 }\) + 4 – 0 = 12 + 8\(\sqrt { 2 }\) > 0 (धनात्मक)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(vii) \(\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0 \Rightarrow 2 x^{2}-3 x+1=0\)
यहाँ a = 2, b = – 3 एवं c = 1
b2 – 4ac = (-3)2 – 4(2) (1) = 9 – 8 = 1 > 0(धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(viii) x(1 – x) – 2 = 0 ⇒ x – x2 – 2 = 0 ⇒ x2 – x + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = – 1 और c = 2
b² – 4ac = (-1)² – 4(1) (2)
= 1 – 8 = – 7 < 0 (ऋणात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक नहीं हैं।

(ix) (x – 1) (x + 2) + 2 = 0 ⇒ x² + 2x – x – 2 + 2 = 0
⇒ x² + x = 0
यहाँ, a = 1, b = 1 एवं c = 0
⇒ b² – 4ac = (1)² – 4(1)(0) = 1 – 0 = 1 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

(x) (x + 1) (x – 2) + x = 0
⇒ x² – 2x + x – 2 + x = 0
⇒ x² – 2 = 0
यहाँ a = 1, b = 0 एवं c = – 2
⇒ b² – 4ac = (0)² – 4(1)(-2)
= 0 + 8 = 8 > 0 (धनात्मक)
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल वास्तविक एवं भिन्न हैं।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं या असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

1. प्रत्येक वर्ग समीकरण का ठीक एक मूल होता है।
2. प्रत्येक वर्गसमीकरण का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होता है।
3. प्रत्येक वर्ग समीकरण के कम-से-कम दो मूल होते हैं।
4. प्रत्येक वर्ग समीकरण के अधिक-से-अधिक दो मूल होते हैं।
5. यदि किसी वर्ग समीकरण में x² का गुणांक और स्थिरांक के चिह्न विपरीत हों, तो वर्ग समीकरण के वास्तविक मूल होंगे।
6. यदि किसी वर्गसमीकरण में x² का गुणांक और स्थिरांक के चिह्न समान हों और x का गुणांक शून्य हो, तो वर्ग समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होंगे।

हल:

1. असत्य कथन, क्योंकि x² = 1 दो मूल वाला वर्ग समीकरण है।
2. असत्य कथन, क्योंकि x² + 1 = 0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
3. सत्य कथन, क्योंकि प्रत्येक वर्ग समीकरण के केवल और केवल दो ही मूल होते हैं।
4. सत्य कथन, क्योंकि किसी द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यांक होते हैं।
5. सत्य कथन, क्योंकि यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 में a और c के चिह्न विपरीत हों, तब ac < 0 और इस प्रकार b² – 4ac > 0
6. सत्य कथन, क्योंकि यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 में a और c के चिह्न समान हों और b = 0 हो तब b² – 4ac = – 4ac < 0

प्रश्न 3.
एक वर्ग समीकरण जिसके गुणांक पूर्णांक हों, उसके मूल भी पूर्णांक होंगे? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
आवश्यक नहीं, क्योंकि वर्ग समीकरण x² – 3x + 1 = 0 के गुणांक पूर्णांक हैं, लेकिन इसके मूल पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 4.
क्या कोई ऐसा वर्ग समीकरण हो सकता है, जिसके गुणांक परिमेय हों, लेकिन उसके दोनों मूल अपरिमेय हों? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
हाँ, x² – 6x + 7 = 0 एक वर्ग समीकरण है जिसके गुणांक परिमेय हैं, लेकिन मूल 3 ± \(\sqrt { 2 }\) अपरिमेय हैं।

प्रश्न 5.
क्या कोई ऐसा वर्ग समीकरण हो सकता है, जिसके सभी गुणांक विभिन्न अपरिमेय हों, लेकिन उसके दोनों मूल परिमेय हैं? क्यों?
हल:
हाँ हो सकता है, क्योंकि वर्ग समीकरण \(\sqrt { 3 }\)x² – 7\(\sqrt { 3 }\)x + 12\(\sqrt { 3 }\) = 0 के गुणांक विभिन्न अपरिमेय हैं लेकिन इसके दोनों मूल 3 एवं 4 हैं, जो परिमेय हैं।

प्रश्न 6.
क्या 0.2 वर्ग समीकरण x² – 0.4 = 0 का एक मूल है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
नहीं हो सकता, क्योंकि 0.2 का वर्ग 0-4 नहीं, बल्कि 0.04 होता है।

प्रश्न 7.
यदि b = 0 एवं c <0 तो क्या यह सत्य है कि वर्ग समीकरण x2 + bx + c = 0 के मूल संख्यात्मक रूप से बराबर लेकिन विपरीत चिह्नों वाले होंगे। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
हाँ, यह सत्य है, क्योंकि ax² – c = 0 के मूल x = ±\(\sqrt{\frac{c}{a}}\) अर्थात् \(\sqrt{\frac{c}{a}}\) एवं –\(\sqrt{\frac{c}{a}}\) होंगे जो संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, लेकिन उनके चिह्न विपरीत हैं।

प्रश्न 8.
यदि द्विघात समीकरण px² – 2\(\sqrt { 5 }\) px + 15 = 0 के दो समान मूल हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए समीकरण में a = p, b = -2\(\sqrt { 5 }\)p एवं c = 15 है तथा दोनों मूल समान हैं।
b² – 4ac = 0 ⇒ (-2\(\sqrt { 5 }\)p)² – 4p (15) = 0
⇒ 20p² – 60p = 0
⇒ p² – 3p = 0
⇒ p(p – 3) = 0
या तो p = 0 (जो असम्भव है)
अथवा p – 3 = 0 ⇒ p = 3
अतः p का अभीष्ट मान = 3 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण है?
(a) x² + 2x + 1 = (4 – x)² + 3
(b) – 2x² = (5 – x) (2x – \(\frac { 2 }{ 5 } \))
(c) (k + 1)x² + \(\frac { 3 }{ 2 } \)x = 7, जहाँ k = -1
(d) x² – x² = (x – 1)²
उत्तर:
(d) x² – x² = (x – 1)²

प्रश्न 2.
निम्न में कौन एक वर्ग समीकरण नहीं है?
(a) 2(x – 1)² = 4x² – 2x + 1
(b) 2x – x² = x² + 5
(c) (\(\sqrt { 2 }\)x + \(\sqrt { 3 }\))² + x² = 3x² – 5x
(d) (x² + 2x)² = x⁴ + 3 + 4x³
उत्तर:
(c) (\(\sqrt { 2 }\)x + \(\sqrt { 3 }\))² + x² = 3x² – 5x

प्रश्न 3.
निम्न में से किस वर्ग समीकरण का मूल 2 है?
(a) x² – 4x + 5 = 0
(b) x² + 3x – 12 = 0
(c) 2x² – 7x + 6 = 0
(d) 3x² – 6x – 2 = 0
उत्तर:
(c) 2x² – 7x + 6 = 0

प्रश्न 4.
यदि \(\frac { 1 }{ 2 } \) वर्ग समीकरण x² + kx – \(\frac { 5 }{ 4 } \) = 0 का एक मूल है, तो k का मान है :
(a) 2
(b) -2
(c) \(\frac { 1 }{ 4 } \)
(d) \(\frac { 1 }{ 2 } \)
उत्तर:
(a) 2

प्रश्न 5.
निम्न में किस वर्ग समीकरण के मूलों का योग 3 है?
(a) 2x² – 3x + 6 = 0
(b) -x² + 3x – 3 = 0
(c) \(\sqrt { 2 }\)x² – \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) + 1 = 0
(d) 3x² – 3x + 3 = 0
उत्तर:
(b) -x² + 3x – 3 = 0

प्रश्न 6.
k का मान जिसके लिए वर्ग समीकरण 2x² – kx + k = 0 के दोनों मूल बराबर हों, होगा :
(a) केवल 0
(b) 4
(c) केवल 8
(d) 0,8
उत्तर:
(d) 0,8

प्रश्न 7.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से वर्ग समीकरण 9x² + \(\frac { 3 }{ 4 } \)x – \(\sqrt { 2 }\) = 0 को हल करने के लिए इसमें कौन-सा स्थिरांक जोड़ा और घटाया जाना आवश्यक है?
(a) \(\frac { 1 }{ 8 } \)
(b) \(\frac { 1 }{ 64 } \)
(c) \(\frac { 1 }{ 4 } \)
(d) \(\frac { 9 }{ 64 } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { 1 }{ 64 } \)

प्रश्न 8.
वर्ग समीकरण 2x² – \(\sqrt { 5 }\)x + 1 = 0 के होते है:
(a) दो विभिन्न वास्तविक मूल
(b) दो समान वास्तविक मूल
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं
(d) दो से अधिक वास्तविक मूल
उत्तर:
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 9.
निम्न वर्ग समीकरणों में से किसके दो विभिन्न वास्तविक मूल होते हैं?
(a) 2x² – 3\(\sqrt { 2 }\)x + \(\frac { 9 }{ 4 } \) = 0
(b) x² + x – 5 = 0
(c) x² + 3x + 2\(\sqrt { 2 }\) = 0
(d) 5x² – 3x +1= 0
उत्तर:
(b) x² + x – 5 = 0

प्रश्न 10.
निम्न में से किस वर्ग समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होते?
(a) x² – 4x + 3\(\sqrt { 2 }\) = 0
(b) x² + 4x – 3\(\sqrt { 2 }\) = 0
(c) x² – 4x – 3\(\sqrt { 2 }\) = 0
(d) 3x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0
उत्तर:
(a) x² – 4x + 3\(\sqrt { 2 }\) = 0

प्रश्न 11.
समीकरण (x² + 1)² – x² = 0 के होते हैं:
(a) चार वास्तविक मूल
(b) दो वास्तविक मूल
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं
(d) एक वास्तविक मूल।
उत्तर:
(c) कोई वास्तविक मूल नहीं

MP Board Class 10th Maths Chapter 4 रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
यदि p(x) एक द्विघात बहुपद है तो p(x) = 0 को ………………… कहते हैं।
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 2.
किसी वर्ग समीकरण में अधिकतम ………………… मूल होते हैं।
उत्तर:
दो

प्रश्न 3.
वर्ग समीकरण में ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D = ………………… है।
उत्तर:
b² – 4ac

प्रश्न 4.
वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि की अधिकतम घात दो हों ………………… कहलाता है।
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 5.
वर्ग समीकरण (x – 4) (x -3) = 0 में मूल ………………… होंगे।
उत्तर:
4 और – 3

प्रश्न 6.
एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में कोई वास्तविक मूल नहीं होता यदि ………… (2019)
उत्तर:
b² < 4ac

प्रश्न 7.
समीकरण 3x² – 2x + \(\frac { 1 }{ 3 } \) = 0 का विविक्तकर ……….. है। (2019)
उत्तर:
0 (शून्य)

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
वर्ग समीकरण के अनेक हल हो सकते हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 2.
वर्ग समीकरण को हल करने के लिए सूत्र के प्रणेता श्रीधराचार्य थे।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
वर्ग समीकरण में चर की अधिकतम घात कुछ भी हो सकती है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 4.
x (x – 1)= 0 में x के मान 0 एवं 1 हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 5.
x² – 4x + 4 = 0 के मूल बराबर हैं।
उत्तर:
सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की अधिकतम घात दो हो क्या कहलाता है?
उत्तर:
वर्ग समीकरण

प्रश्न 2.
समीकरण ax² + bx + c = 0 में (b² – 4ac) को क्या कहते हैं?
उत्तर:
विविक्तकर

प्रश्न 3.
किसी वर्ग समीकरण के चर के दोनों मान उस वर्ग समीकरण के क्या कहलाते हैं?
उत्तर:
मूल

प्रश्न 4.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर शून्य हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
समान एवं वास्तविक

प्रश्न 5.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक पूर्ण वर्ग संख्या हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
परिमेय एवं असमान

प्रश्न 6.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक हो लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
अपरिमेय एवं असमान

प्रश्न 7.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर ऋणात्मक हो तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
अधिकल्पित (अवास्तविक, वास्तविक नहीं)

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग समीकरण का विविक्तकर धनात्मक हो, तो उसके मूल कैसे होंगे?
उत्तर:
असमान एवं वास्तविक

प्रश्न 9.
वर्ग समीकरण 2x² + 4x + 6 = 0 में मूलों का योग क्या होगा?
उत्तर:
(-2)

प्रश्न 10.
वर्ग समीकरण 2x² + 4x + 6 = 0 में मूलों का गुणनफल क्या होगा?
उत्तर:
3

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 3x + 5 = 0 में a = 2, b = – 3 एवं c = 5
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40 = – 31
अत: वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) चूँकि 3x² – 4\(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0 में a = 3, b = – 4 \(\sqrt { 3 }\) एवं c = 4

अत: दोनों मूल बराबर हैं तथा प्रत्येक का मान, \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) एवं \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) है।

(iii) चूँकि 2x² – 6x + 3 = 0 में a = 2, b = 6 एवं c = 3
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-6)² – 4(2) (3)
= 36 – 24 = 12

अत: मूल असमान वास्तविक हैं जिनका मान \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\) है।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2)+ 6 = 0
हल:
(i) चूँकि समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में a = 2, b = k, c = 3.
एवं बराबर मूलों के लिए b² – 4ac = 0
⇒ k² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² = 24 ⇒ k = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)
अतः k के अभीष्ट मान = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)

(ii) चूँकि समीकरण kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0 में a = k, b = -2k एवं c = 6
एवं बराबर मूलों के लिए. b² – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4(k) (6) = 0
⇒ 4k² – 24k = 0 ⇒ k² – 6k = 0
⇒ k (k – 6) = 0
या तो k = 0 तब समीकरण 6 = 0 जो सम्भव नहीं है।
अथवा k – 6 = 0 ⇒ k = 6
अत: k का अभीष्ट मान = 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m- हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो उसकी लम्बाई = 2x m
तब प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 2x × x = 800 m²
⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400
⇒ x = ± \(\sqrt { 400 }\) = ± 20
लेकिन माप ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 20 m
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m
एवं लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: बगिया बनाना सम्भव है तथा बगिया की अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः 40 m एवं 20 m है।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
मान लीजिए कि एक मित्र की आयु x वर्ष है तो दूसरे मित्र की आयु (20 – x) होगी।
अब प्रश्नानुसार (x – 4) (20 – x – 4) = 48
⇒ (x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ x² – 20x + 112 = 0
यहाँ a = 1, b = -20 एवं c = 112
तो b² – 4ac = (-20)² – 4 (1) (112)
= 400 – 448 = – 48
अतः दत्त स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m- के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि पार्क की चौड़ाई = x m

अतः पार्क बनाना सम्भव है और वह वर्गाकार होगा जिसकी प्रत्येक भुजा = 20 m.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 12.35 में ABCD एक आयत है, जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm है। BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक आयत जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm
तथा एक अर्द्धवृत्त जिसका व्यास 14 cm, दिया है
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
आयत का क्षेत्रफल = 21 x 14 = 294 cm²
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2}\)
= 77 cm²
चूँकि ar (छायांकित भाग) = ar (आयत) – ar (अर्द्धवृत्त)
ar (छायांकित भाग) = 294 – 77 = 217 cm²
छायांकित भाग की परिमाप = AB + DC + AD + πr
छायांकित भाग की परिमाप = 21 + 21 + 14 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7
= 21 + 21 + 14 + 22
= 78 cm
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 217 cm² एवं अभीष्ट परिमाप = 78 cm है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 12.36 में O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 21 cm एवं 42 cm है यदि ∠AOB = 60° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बाह्य वृत्त की त्रिज्या r1 = 42 cm एवं आन्तरिक वृत्त की त्रिज्या r2 = 21 cm. छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ2 = 360° – 60° = 300° तथा बड़े वृत्त के त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ1 = 60° है।
∵ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{2}}{360^{\circ}} \times \pi r_{2}^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(21)^{2}\)
= 5 x 11 x 21
= 1155 cm²
∵ ar (बड़े वृत्त का त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{1}}{360^{\circ}} \times \pi\left(r_{1}\right)^{2}\)
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(42)^{2}=924 \mathrm{cm}^{2}\)
= 924 cm²
∵ बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{1}^{2}=\frac{22}{7} \times(42)^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ वृत्त) = 5544 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (दीर्घ वृत्त) – ar (छोटे वृत्त का दीर्घ त्रिज्यखण्ड) – ar (छोटे वृत्त का लघु त्रिज्यखण्ड)
⇒ ar (छायांकित भाग) = 5544 – 1155 – 924
= 5544 – 2079
= 3465 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3465 cm² है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 cm व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 cm त्रिज्या का एक अर्द्धवृत्त बनाए गए है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि 4.5 cm त्रिज्या के अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

चूँकि 4.5 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{891}{56} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि 3 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या के एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

कुल क्षेत्रफल = ar ( \(\frac { 9 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त ) + ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)
कुल क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = ar(\(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या का वृत्त) + 2 x ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)

ar (छायांकित भाग) = कुल क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 12.375 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में केन्द्र वाले वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड OAP दर्शाया गया है जिसका केन्द्र पर अन्तरित कोण θ है। AB वृत्त की त्रिज्या OA पर लम्ब है जो OP को बढ़ाने पर बिन्दु B पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखांकित भाग का परिमाप \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
हल :

समकोण ∆OAB में,
tan θ = \(\frac { AB }{ r }\) ⇒ AB = r tan θ …(1)
एवं sec θ = \(\frac { OB }{ r }\) ⇒ OB = r sec θ …(2)
तथा चाप \(AP=\frac{\theta}{180^{\circ}} \pi r\) …(3)
चूँकि छायांकित भाग की परिमाप = AB + PB + चाप AP
= AB + (OB – OP) + चाप AP

अत: अभीष्ट परिमाप = \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 12:39 में दो संकेन्द्रीय वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ 7 cm तथा 14 cm है, के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि ∠AOC = 40° है। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = 14 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या r2 = 7 cm तथा त्रिज्यखण्ड AOC का शीर्ष कोण θ1 = 40° है। छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण θ2 = 360° – 40° = 320°
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल

छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल + लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल
= 616 – 205.33
= 410.67 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 410.67 cm² है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 12.40 में O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB = 13 cm है तथा AC = 12 cm है। BC को मिलाया गया है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : ∆ACB में ∠C समकोण है (चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण है), विकर्ण AB = 13 cm तथा AC = 12 cm, वृत्त का व्यास AB = 13 cm तो त्रिज्या r = \(\frac { 13 }{ 2 }\) cm
या समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से

समकोण ∆ACB का क्षेत्रफल

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (अर्द्धवृत्त) – ar (ABC)
= 66.33 – 30
= 36.33 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 36.33 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में PQRS एक वर्गाकार लॉन है जिसकी भुजा PQ = 42 m है। दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ भुजा PS तथा QR पर हैं जिनका केन्द्र इस वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिन्दु O है। दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है PQRS एक वर्गाकार लॉन जिसकी भुजा PQ = 42 m है अर्थात् PS = PQ = QR = RS = 42 m. हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए OP = r वृत्त की त्रिज्या है। समकोण ∆SOP में पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + OS² = PS²
⇒ r² + r² = (42)²
⇒ 2r² = 42 x 42
⇒ r² = 21 x 42

ar (छायांकित वृत्तखण्ड) = ar (त्रिज्यखण्ड) – ar (POS)
= 693 – 441
= 252 m²
कुल छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 x 252
= 504 m²
अतः दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = 504 m² है।

प्रश्न 8.
14 cm त्रिज्या वाले उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए)।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या r = OA = OB = 14 cm तथा OA और OB के बीच केन्द्र पर बना कोण (लघु वृत्तखण्ड का केन्द्रीय कोण) θ = 60° दिया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज होगा जिसकी भुजा a = OA = AB = OB = 14 cm है।
∵त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

∵समबाहु ∆OAB का क्षेत्रफल

∵वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{7(44-21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।
∵वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (14)²
= 22 x 28
= 616 cm²
∵दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \(\frac{7(220+21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m² है। इसकी चारदीवारी लगवाने का खर्च कितना होगा यदि दर Rs 50 प्रति मीटर हो।
हल :
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल = πr² = 22176
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 22176
r² = \(\frac { 22176 \times 7 }{ 22 }\) = 7056
r = √7056
= 84 m
वृत्ताकार मैदान की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 84
= 528 m
चार दीवार लगवाने का व्यय = दर x परिधि
= 50 x 528
= Rs 26,400
अतः वृत्ताकार खेल के मैदान की चारदीवारी लगवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 26,400 होगा।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 15 m, 16 m एवं 17 m हैं। मैदान के कोनों में एक गाय, एक भैंस एवं एक घोड़ा अलग-अलग 7 m लम्बे रस्से से प्रत्येक को घास चरने के लिए बाँधा गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसको चरा नहीं गया है।

हल :
मान लीजिए त्रिभुजाकार मैदान ABC की भुजाएँ AB = 15 m, BC = 16 m एवं CA = 17 m हैं। शीर्ष A, B एवं C से 7 m लम्बे रस्से में क्रमशः गाय, भैंस एवं घोड़ा बाँधा गया है जो 7 m त्रिज्या वाले तथा शीर्ष कोण क्रमश: ∠A, ∠B, ∠C वाले त्रिज्यखण्डों से घास चर सकेंगे तथा छायांकित भाग मैदान का वह भाग होगा जहाँ से घास नहीं चरी जा सकेगी।

तीनों पशुओं द्वारा चरे गए मैदान के भाग का क्षेत्रफल

चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m²
अतः चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m² है।

प्रश्न 11.
12 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत त्रिज्यखण्ड का केन्द्र पर बना कोण 60° है। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)
हल :

मान लीजिए OA = OB = 12 cm त्रिज्या तथा O केन्द्र वाला एक वृत्त है जिसका त्रिज्यखण्ड OADB तथा संगत वृत्तखण्ड ADB है। त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ = ∠AOB = 60°
∠O = ∠A = ∠B = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा a = 12 cm है।

ar (छायांकित भाग) = 75.36 – 62.35
ar (ADB) = 13.01 cm²
अतः वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 13.01 cm² है।

प्रश्न 12.
एक वृत्ताकर पोखर (तालाब) का व्यास 17.5 m है। यह 2 m चौड़े रास्ते से घिरा हुआ है। Rs 25 प्रति m² की दर से रास्ते को बनवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्ताकार तालाब का व्यास d = 2r1 = 17.5 m
r1 = 8.75 m = \(\frac { 35 }{ 4 }\) = m
इसके चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता है।
बाह्य वृत्त की त्रिज्या r2 = 8.75 + 2 = 10.75 m = \(\frac { 43 }{ 4 }\)m

रास्ते का क्षेत्रफल = ar (O, r2) – ar (O, r1)

रास्ते के बनवाने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल
= Rs 25 x \(\frac { 858 }{ 7 }\)
= \(\frac { 21450 }{ 7 }\)
= Rs 3064.29
अतः रास्ते को बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 3064.29 है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.46 में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के बीच दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर क्रमशः 7 cm की त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के मध्य दूरी = 14 cm. शीर्ष A, B,C एवं D से 7 cm त्रिज्या के चाप काटे हैं।
समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + DC) x बीच की दूरी
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (18+32) x 14 cm²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 50 x 14 = 350 cm²
अब शीर्षों पर बने त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल,

ar (छायांकित भाग) = ar (ABCD) – ar (चारों त्रिज्यखण्ड)
= 350 – 154
= 196 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 cm² है।

प्रश्न 14.
3.5 cm प्रत्येक त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष दो वृत्तों को बाह्यतः स्पर्श करे। इन वृत्तों से बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए r = 3.5 cm = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm त्रिज्या वाले तीन वृत्त जिनके केन्द्र P, Q एवं R है। संलग्न आकृति 12.47 के अनुसार खींचे गए हैं। उनसे घिरे छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूँकि ∆PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = \(\frac{7}{2}+\frac{7}{2}\) = 7 cm है तथा इसके अन्तर्गत प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm एवं केन्द्रीय कोण θ = 60° है।

ar (छायांकित भाग) = ar (PQR) – 3 ar (त्रिज्यखण्ड)
= 21.217 – 19.25
= 1.967 cm²
अतः छायांकित भाग अर्थात् वृत्तों के मध्य घिरे हुए क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल =1.967 cm² है।

प्रश्न 15.
5 सेमी त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लम्बाई 3.5 cm है।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र का एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या r = 5 cm है तथा, चाप \(\widehat{P R Q}\) की लम्बाई 3.5 cm है केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करता है। इसका संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ है।

चूँकि त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल

अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 8.75 cm² है।

प्रश्न 16.
7 cm त्रिज्या वाले 4 वृत्ताकार समान कार्ड बोर्ड के टुकड़े आपस में सटाकर एक कागज पर इस प्रकार रखे हैं कि प्रत्येक शेष तीन वृत्तों में से दो को स्पर्श करता है। इन चारों के बीच घेरे हुए कागज के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 17.
784 cm² क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड पर चार समान (सर्वांगसम) अधिकतम माप की वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक शेष में से दो को बाह्यतः स्पर्श करें तथा वर्ग की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों की स्पर्श रेखा हो, तो A. इन प्लेटों से अनाच्छादित कार्ड बोर्ड के रिक्त क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

मान लीजिए एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड ABCD है जिसका क्षेत्रफल 784 cm² है। आकृति के अनुसार चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें P, Q, R एवं S रखी हैं। चूँकि दो प्लेटें परस्पर स्पर्श कर रही हैं ।

कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित क्षेत्र का क्षेत्रफल
ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (ABCD) – 4ar (वृत्त)
= 784 – 616 [∵ ar (ABCD) = 784 दिया है।]
= 168 cm²
अतः कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित रिक्त क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 168 cm² है।

प्रश्न 18.
एक वृत्त के केन्द्रीय कोण 200° वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 770 cm² है। इस त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त (O, r) है जिसका θ = 200° केन्द्रीय कोण वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQRP है तथा संगत चाप QRP है तथा ar (OQRP) = 770 cm² (दिया है)। चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल


अतः चाप की अभीष्ट माप = \(73\frac { 1 }{ 3 }\) cm है।

प्रश्न 19.
7 cm एवं 21 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्रमशः केन्द्रीय कोण 120° एवं 40° वाले त्रिज्यखण्ड हैं। दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल तथा उनके संगत चापों के माप ज्ञात कीजिए। आप क्या प्रेक्षित करते है?
हल :

मान लीजिए O एवं x केन्द्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 7 cm एवं r2 = 21 cm है तथा केन्द्रीय कोण θ1 = 120° एवं θ2 = 40° वाले त्रिज्यखण्ड क्रमशः OPRQ एवं xytz हैं
जिनके संगत चाप क्रमशः \(\widehat{P R Q}\) एवं \(\widehat{y t z}\) है।

अत: दोनों त्रिज्यखण्डों के अभीष्ट क्षेत्रफल क्रमश: \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² एवं 154 cm² हैं तथा संगत चापों की माप क्रमशः \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm एवं \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm हैं जो बराबर हैं। इस प्रकार हम प्रेक्षित करते हैं कि चाप बराबर होते हुए भी उनके संगत त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।

प्रश्न 20.
एक वृत्ताकार पहिए द्वारा 176 m दूरी तय करने में लगाए गए चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि उसका क्षेत्रफल = 1.54 m².
हल :
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 1.54
r² = \(\frac { 1.54 \times 7 }{ 22 }\)
= 0.49
चूँकि वृत्त की परिधि (एक चक्कर में चली गई दूरी) = 2πr
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 0.7 = 4.4 m

अतः चक्करों की अभीष्ट संख्या = 40 चक्कर है।

प्रश्न 21.
केन्द्र पर 90° का कोण अन्तरित करने वाले तथा 5 cm लम्बाई की जीवा द्वारा किसी वृत्त को विभाजित करने पर बने दोनों वृत्तखण्डों के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

वृत्त (O,r) की जीवा PQ द्वारा केन्द्र O पर ∠POQ = 90° अन्तरित किया गया है, जहाँ जीवा PQ, ∆POQ का कर्ण है, तो समकोण ∆POQ में,
OP² + OQ² = PQ²
2r² = (5)² = 25
r² = \(\frac { 25 }{ 2 }\) …(1)
लघु त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP का क्षेत्रफल = \(\frac{360^{\circ}-\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल = ar (OPRQ) – ar (OPQ)

अतः दोनों वृत्तखण्डों का अभीष्ट अन्तर = \(\left(\frac{25}{4} \pi+\frac{25}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 22.
21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्रीय कोण 120° वाले त्रिज्यखण्ड का उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए r = 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त (O, r) का केन्द्रीय कोण θ1 = 120° वाला एक त्रिज्यखण्ड OPRQ तथा इसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP है जिसका केन्द्रीय कोण θ2 = 360° – 120° = 240° है।


ar (OQSP) – ar (OPRQ) = 924 – 462
= 462 cm²
अतः दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अन्तर = 462 cm² है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 15 cm एवं 18 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है।
हल :
मान लीजिए कि वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = r हो तो प्रश्नानुसार,
2πr = 2π (15) + 2π (18)
2πr = 2π (15 + 18)
r = 15 + 18
= 33 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 33 cm है।

प्रश्न 2.
28 cm त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय शीर्ष कोण 45° हो।
हल :
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

= 308 cm²
अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 3.
एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 cm है। वह 1 मिनट में कितने चक्कर लगाएगा जबकि उसकी चाल 66 km/h हो।
हल :
मोटर साइकिल द्वारा 1 मिनट में चली गयी दूरी
= चाल x समय = 66 km/h x \(\frac { 1 }{ 60 }\) h = 1.1 km
= 1100 m
= 110000 cm.
पहिये की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 220 cm

अतः मोटरसाइकिल का पहिया 500 चक्कर लगायेगा।

प्रश्न 4.
एक गाय 14 m लम्बी रस्सी से एक आयत के शीर्ष से बधी है जिसकी विमाएँ 20 m x 16 m है। गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
गाय एक 14 m त्रिज्या के चतुर्थांश की घास को चर पायेगी
⇒ चरे जाने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(14)^{2}\)
= 154 m²
अतः गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 154 m² है।

प्रश्न 5.
एक 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि उसके संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण 60° है।
हल :
वृत्त (O, r) की त्रिज्या r = 14 cm तथा अवधा PRQ के संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ का शीर्ष कोण θ = ∠POQ = 60° है तो त्रिभुज समबाहु ∆ होगा जिसकी भुजा a = r = 14 cm त्रिज्यखण्ड का

अत: लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 12 cm जिसमें उसके शीर्षों A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर इस प्रकार चाप खींचे गए हैं कि ये चाप वर्ग की भुजाओं AB, BC, CD और DA को उनके मध्य-बिन्दुओं क्रमशः P, Q, R और S पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र PORS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

वृत्त के चार चतुर्थांश ASP, BPQ, CQR एवं DRS हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm है। वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = ar (ABCD) = a² = 12² = 144 cm²
चारों वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल = 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) πR²
= 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (6)
= 113.04 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 144 – 113.04
= 30.96 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 30.96 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में 10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B एवं C को लेकर चाप खींचे गए है जो भुजाओं BC, CA एवं AB को उनके मध्य बिन्दुओं क्रमशः D, E एवं F पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन सर्वांसगम त्रिज्यखण्डों से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm तथा केन्द्रीय शीर्ष कोण θ = 60° (समबाहु ∆ के कोण) है।
ar (छायांकित क्षेत्र)

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 39.25 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ∆POR के शीर्षों P, Q एवं R को केन्द्र लेकर 14 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन त्रिज्यखण्डों के योग से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 14 cm दी है तथा मान लीजिए उनके शीर्ष कोण क्रमशः ∠P, ∠Q और ∠R हैं तो
छायांकित भाग का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकर पार्क चारों ओर से एक 21 m चौड़ी सड़क से घिरा है। यदि पार्क की त्रिज्या 105 m हो, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

सड़क एक वृत्ताकार वलय है जिसकी आन्तरिक त्रिज्या r1 = 105 m दी है तथा इसकी बाह्य त्रिज्या r2 = 105 m + 21 m = 126 m है।
सड़क का क्षेत्रफल = π (R₂² – R₁²)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x [(126)² – (105)²]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (126 + 105) (126 – 105)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 231 x 21
= 15246 m²
अतः सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल = 15246 m² है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 12.59 में चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर 21 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चारों शीर्षों पर चार त्रिज्यखण्ड बने हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 21 cm तथा शीर्ष केन्द्रीय कोण ∠A, ∠B, ∠C एवं ∠D हैं।

[∴ ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 360° चतुर्भुज के शीर्ष कोणों का योग]
= πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (21)²
= 22 x 63
= 1386 cm² .
अतः छायांकित क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 11.
20 cm लम्बा एक तार का टुकड़ा एक वृत्त की चाप की शक्ल में मोड़ा गया है, जो वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
चाप की लम्बाई = 20 cm तथा केन्द्र पर कोण θ = 60° अन्तरित है।
चूँकि

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = \(\frac{60}{\pi}\) cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या एक वर्ग जिसकी भुजा a cm है के अन्तर्वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm होगी? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल :
नहीं हो सकता, क्योंकि इसकी त्रिज्या \(\frac { a }{ 2 }\) होगी तथा क्षेत्रफल \(\frac{1}{4} \pi a^{2} \mathrm{cm}^{2}\).

प्रश्न 2.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वर्ग की परिमाप जो a cm त्रिज्या वाले वृत्त का परिगत है, 8a cm होगी। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग की भुजा 2a cm है।

प्रश्न 3.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल से कम है? और क्यों?
हल :
यह सदैव सत्य नहीं। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड क्षेत्रफल-संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
क्या यह सत्य है कि किसी d cm व्यास वाले पहिए द्वारा एक चक्कर में चली गयी दूरी 2πd cm होगी? और क्यों?
हल :
नहीं क्योंकि यह πd cm होगी।

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले किसी पहिए द्वारा s m की दूरी तय करने में उसे \(\frac{\boldsymbol{S}}{2 \pi \boldsymbol{r}}\) चक्कर लगाने पड़ेंगे। क्या यह कथन सत्य हैं? और क्यों?
हल :
हाँ कथन सत्य है क्योंकि 1 चक्कर में चली गयी दूरी = 2πr m.

प्रश्न 7.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान के बराबर होगा। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि वह त्रिज्या r के मान पर निर्भर करेगा और जब r का मान 2 मात्रक होगा तभी यह सत्य होगा।

प्रश्न 8.
किसी r मात्रक त्रिज्या के वृत्त का चाप दूसरे 2r मात्रक त्रिज्या के वृत्त के चाप के बराबर है। तो प्रथम वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष (केन्द्रीय) कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड के शीर्ष (केन्द्रीय) कोण का दूना होगा। क्या यह कथन असत्य है? और क्यों?
हल :
नहीं, कथन सत्य है, क्योंकि चाप = कोण x त्रिज्या।

प्रश्न 9.
दो भिन्न वृत्तों के समान संगत चापों द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल समान होंगे। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है क्योंकि यह केवल समान वृत्तों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 10.
दो विभिन्न वृत्तों के त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल यदि समान हों, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके संगत चापों की लम्बाई समान होगी? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल समान वृत्तों के चापों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 11.
क्या a cm लम्बाई एवं b cm चौड़ाई वाले आयत (जहाँ a > b) के अन्तर्गत खींचे गए। बड़े-से-बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πb² cm² होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या b/2 होगी।

प्रश्न 12.
दो भिन्न वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनकी परिधियाँ की बराबर होंगी? और क्यों?
हल :
हाँ, क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 13.
दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके क्षेत्रफल भी बराबर होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 14.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वृत्त के अन्तर्गत बने वर्ग का क्षेत्रफल p² cm² होगा यदि वृत्त का व्यास p cm हो? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वर्ग का विकर्ण p cm होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त का चाप, वृत्त की त्रिज्या और चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण में क्या सम्बन्ध है :
(a) कोण = चाप x त्रिज्या
(b) चाप = कोण x त्रिज्या
(c) त्रिज्या = चाप x कोण
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) चाप = कोण x त्रिज्या

प्रश्न 2.
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो इसकी परिमाप होगी :
(a) 11 cm
(b) 22 cm
(c) 44 cm
(d) 55 cm.
उत्तर:
(c) 44 cm

प्रश्न 3.
त्रिज्या के वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ(डिग्री में) है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा:

उत्तर:
\(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

प्रश्न 4.
यदि त्रिज्याओं R₁ एवं R₂ वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁² + R₂² = R²
(c) R₁ + R₂ < R
(d) R₁² + R₁² < R².
उत्तर:
(b) R₁² + R₂² = R²

प्रश्न 5.
यदि त्रिज्याओं R1 एवं R2 वाले वृत्तों की परिधियों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁ + R₂ > R
(c) R₁ + R₂ < R
(d) नहीं कह सकते।
उत्तर:
(a) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे गए बड़े-से-बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(a) r² वर्ग मात्रक
(b) \(\frac { 1 }{ 2 }\) r² वर्ग मात्रक
(c) 2r² वर्ग मात्रक
(d) √2 r² वर्ग मात्रक।
उत्तर:
(a) r² वर्ग मात्रक

प्रश्न 7.
एक वृत्त की परिधि एक वर्ग की परिमाप के बराबर हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 22 : 7
(b) 14 : 11
(c) 7 : 22
(d) 11 : 14.
उत्तर:
(b) 14 : 11

प्रश्न 8.
एक एकल वृत्ताकार पार्क बनाना प्रस्तावित है जिसका क्षेत्रफल दो छोटे वृत्ताकार पार्कों के क्षेत्रफल के योगफल के बराबर है। यदि छोटे पार्कों के व्यास क्रमश: 16 m एवं 12 m हों, तो नए पार्क की त्रिज्या होगी :
(a) 10 m
(b) 15 m
(c) 20 m
(d) 24 m.
उत्तर:
(a) 10 m

प्रश्न 9.
6 cm भुजा वाले वर्ग के अन्तर्गत खींचे गए वृत्त का क्षेत्रफल होगा :
(a) 36π cm²
(b) 18π cm²
(c) 12π cm²
(d) 9π cm².
उत्तर:
(d) 9π cm².

प्रश्न 10.
8 cm त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत बनने वाले वर्ग का क्षेत्रफल होगा :
(a) 256 cm²
(b) 128 cm²
(c) 64√2 cm²
(d) 64 cm².
उत्तर:
(b) 128 cm²

प्रश्न 11.
एक वृत्त की परिधि 36 cm एवं 20 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है, तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी:
(a) 56 cm
(b) 42 cm
(c) 28 cm
(d) 16 cm.
उत्तर:
(c) 28 cm

प्रश्न 12.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 24 cm एवं 7 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफल का योग है, तो उस वृत्त का व्यास होगा:
(a) 31 cm
(b) 25 cm
(c) 62 cm
(d) 50 cm.
उत्तर:
(d) 50 cm.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी उस वृत्त की ………… कहलाती है।
2. वृत्त की परिधि के मध्य घिरे हुए क्षेत्र की माप उस वृत्त का ………… कहलाता है।
3. एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो उस वृत्त का एक ………….. कहलाता है।
4. त्रिज्यखण्ड की संगत चाप की माप उस चाप की ………… कहलाती है।
5. वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो जीवा और संगत चाप से परिबद्ध हो उस वृत्त का ………… कहलाता है।
5. कोण θ वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र ………… है। (2019)
उत्तर-
1. परिधि (परिमाप),
2. क्षेत्रफल,
3. त्रिज्यखण्ड,
4. लम्बाई,
5. वृत्तखण्ड,
6. त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

जोड़ी मिलाना

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. सर्वांगसम वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
2. समरूप वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
3. सर्वांगसम वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
4. समरूप वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
5. यदि एक वृत्त की परिधि एवं एक वर्ग की परिमाप बराबर है तो वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक वृत्त के व्यास d एवं परिधि में क्या सम्बन्ध है?
2. एक वृत्त के व्यास d एवं उसके क्षेत्रफल में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर-
1. परिधि = πd,
2. वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi d^{2}\)

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपरोक्त बंटन को एक ‘कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन’ में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडीकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट तोरण :

अतः अभीष्ट माध्यक भार का मान 47.5 kg (तोरण के द्वारा प्राप्त) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रत्येक हेक्टेयर (ha) गेहूँ उत्पादन दर्शाते हैं:

इस बंटन को अधिक के प्रकार के’ बंटन में बदलिए और फिर तोरण खींचिए।
हल:

अभीष्ट तोरण :

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शुन्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणाकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 } \),1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना p (x) = 2x³ + x² – 5x +2

अतः, \(\frac { 1 }{ 2 } \),1 एवं – 2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

(ii) माना p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2 (दिया है)
⇒ p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5 (2)-2 .
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
तथा p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
इसलिए 2 एवं 1 दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, अतः (x – 2) (x – 1) अर्थात् x² – 3x + 2 इस बहुपद का एक गुणक होगा।

⇒ x³ – 4x² + 5x – 2 = (x² – 3x + 2) (x – 1)
⇒ (x – 1) दिए बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 का एक अन्य गुणक होगा।
⇒ दिए बहुपद का अन्य (तीसरा) शून्यक 1 होगा।
अतः, 2, 1, 1 दिए बहुपद के शून्यक हैं सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लें उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, – 14 हों।
हल:
मान लीजिए त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d है जिसके शून्यक α,β और γ हैं तो हम पाते हैं कि
α + β + γ = –\(\frac { b }{ a } \) = 2
तथा αβ + βγ + yα = \(\frac { c }{ a } \) = -7
एवं αβγ = – \(\frac { d }{ a } \) = – 14
यदि a = 1 तब b = -2, c = -7 एवं d = 14
अतः, अभीष्ट त्रिघात बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14 होगा।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हैं इसलिए a – b + a + a + b = –\(\frac { (-3) }{ 1 } \) = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac { 3 }{ 3 } \) = 1 …(1)
तथा (a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = \(\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
⇒ a² – ab + a² + ab + a² – b² = 1
⇒ 3a² – b² = 1 …(2)
एवं (a – b) (a) (a + b) = –\(\frac { 1 }{ 1 } \) = -1
⇒ a (a² – b²)= – 1 ⇒ a³ – ab² = – 1
अब समीकरण (1) एवं (2) से,
3(1)² – b² = 1 ⇒ 3 – b² = 1
⇒ b² = 3 – 1 = 2 ⇒ b = ± \(\sqrt { 2 }\) …(4)
एवं समीकरण (1) एवं (3) से,
(1)³ – (1) (b²) = – 1 ⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 1 + 1 = 2 ⇒ b= ± \(\sqrt { 2 }\)
अतः, a और b के अभीष्ट मान a = 1 एवं b = ± \(\sqrt { 2 }\) हैं।

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt { 3 }\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2 ± \(\sqrt { 3 }\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं इसलिए (x – 2 – \(\sqrt { 3 }\) ) (x – 2 + \(\sqrt { 3 }\) ) अर्थात्
[(x – 2)² – (\(\sqrt { 3 }\))²]
अर्थात् (x² – 4x + 4 – 3) अर्थात् (x² – 4x + 1) इस बहुपद का एक गुणक होगा।

इसलिए x² – 2x – 35 भी दिए हुए बहुपद का एक अन्य गुणक होगा। गुणनखण्ड करने पर,
x² – 2x – 35 = x² – (7 – 5) x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5) प्राप्त होता है।
अतः, 7 एवं – 5 दिए बहुपद के दो अन्य अभीष्ट शून्यक होंगे।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए तो शेषफल (x + a) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:

लेकिन शेषफल = x + a दिया है। इसलिए दोनों शेषफलों की तुलना करने पर हम पाते हैं –
2k – 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 ….(1)
एवं K² – 8k + 10 = a ….(2)
⇒ a = (5)² – 8 (5) + 10 = 25 – 40 + 10 = 35 – 40
⇒ a = -5
अतः, k एवं a के अभीष्ट मान k = 5 एवं a = -5 हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का – भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10,000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) हाँ, 15, 23.31, 39, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चत संख्या 8 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(ii) नहीं, आयतन V,\(\frac { 3V }{ 4 } \),(\(\frac { 3 }{ 4 } \))² V,(\(\frac { 3 }{ 4 } \))³ …… क्योंकि सार्वान्तर समान नहीं है।
(iii) हाँ, खुदाई की लागत ₹ 150, 200, 250, 300, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या 50 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(iv) नहीं, राशियाँ 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \)). 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))² , 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))³, 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))⁴ …………. सार्वान्तर समान नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद और सार्वान्तर में निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = – 2,d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = – 1, d =
(v) a = -1, d = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
हल:
(i) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 10, 20, 30, 40
(ii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : -2, -2, -2, -2
(iii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 4, 1, -2, -5
(iv) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1, –\(\frac { 1 }{ 2 } \), 0, \(\frac { 1 }{ 2 } \).
(v) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1-25, -1:50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1,-1,-3, ……….
(ii) -5, -1, 3, 7, ………….
(iii) \(\frac { 1 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 3 } \),\(\frac { 9 }{ 3 } \),\(\frac { 13 }{ 3 } \) ………….
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3:9 ………….
हल:
(i) प्रथम पद: a = 3 एवं सार्वान्तर d = 1 – 3 = -2.
(ii) प्रथम पद a = -5 एवं सार्वान्तर d = (-1) – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) प्रथम पद : a = \(\frac { 1 }{ 3 } \) एवं सार्वान्तर d = \(\frac { 5 }{ 3 } \) – \(\frac { 1 }{ 3 } \) = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(iv) प्रथम पद : a = 0.6 एवं सार्वान्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद और लिखिए :
(i) 2, 4, 8, 16, …………..
(ii) 2,\(\frac { 5 }{ 2 } \),3,\(\frac { 7 }{ 2 } \) ………………
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..
(iv) -10, -6, -2, 2, ……….
(v) 3,3 + \(\sqrt { 2 }\), 3 + 2 \(\sqrt { 2 }\), 3 + 3\(\sqrt { 2 }\) ……………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….
(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
(viii) –\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(ix) 1,3,9,27, ………..
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………
(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..
(xii) \(\sqrt { 2 }\), \(\sqrt { 8 }\), \(\sqrt { 18 }\), \(\sqrt { 32 }\), ………………..
(xiii) \(\sqrt { 3 }\), \(\sqrt { 6 }\), \(\sqrt { 9 }\), \(\sqrt { 12 }\), ………………..
(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
(xv) 1²,5²,7²,7³, ………………
हल:
(i) 2, 4, 8, 16,………………

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह A.P. नही है।

(ii) 2,\(\frac { 5 }{ 2 } \),3,\(\frac { 7 }{ 2 } \) ………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः = (\(\frac { 7 }{ 2 } \) + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 4),(4 + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = \(\frac { 9 }{ 2 } \)) एवं (\(\frac { 9 }{ 2 } \) + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5)
अत: यह A.P. है तथा इसका सार्वान्तर d = \(\frac { 1 }{ 2 } \) है, एवं इसके अगले तीन पद क्रमशः 4,\(\frac { 9 }{ 2 } \) एवं 5 हैं।

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = – 2 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-7.2, -2 = -9.2)
(-9.2 -2 = -11.2) एवं (-11.2 – 2 = -13.2)
अतः यह A.P. है जिसका सार्वान्तर d = -2 है तथा अगले तीन पद क्रमशः -9.2, -11.2 एवं -13.2 हैं।

(iv) -10, -6, -2, 2, ……….

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 4 [सान्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (2 + 4) = 6, (6 + 4)= 10 एवं (10 + 4)= 14.
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 4 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः 6, 10 एवं 14 हैं।

(v) 3,3 + \(\sqrt { 2 }\), 3 + 2 \(\sqrt { 2 }\), 3 + 3\(\sqrt { 2 }\) ……………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\sqrt { 2 }\) [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (3 + 3\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 4\(\sqrt { 2 }\)), (3 + 4\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 5\(\sqrt { 2 }\)),
एवं (3 + 5\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 6\(\sqrt { 2 }\))
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = \(\sqrt { 2 }\) है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः
(3 + 4 \(\sqrt { 2 }\)), (3 + 5\(\sqrt { 2 }\)) एवं (3 + 6\(\sqrt { 2 }\)) हैं।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
⇒ a₂ – a₁ = (-4) – (0) = -4
a₃ – a₂ = (-8) – (-4) = -4
a₄ – a₃ = (-12) – (-8) = -4
⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)= -4 [सावन्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-12 -4 = -16); (-16 -4 = -20) एवं (-20 -4) = -24.
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = – 4 तथा इसके अलगे तीन पद : -16, -20 एवं -24 हैं।

(viii) –\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \)

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 0 [सान्तिर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \)), (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \))
अतः यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 0 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः – \(\frac { 1 }{ 2 } \), – \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(ix) 1,3,9,27, ………..

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(x) a, 2a, 3a, 4a, …………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = a [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (4a + a = 5a), (5a+a = 6a) एवं (6a + a = 7a).
अतः यह एक AP है जिसका सार्वान्तर d = a है तथा अगले तीन पद 5a, 6a एवं 7a हैं।

(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)
अत: यह एक A.P. नहीं है।

(xii) \(\sqrt { 2 }\), \(\sqrt { 8 }\), \(\sqrt { 18 }\), \(\sqrt { 32 }\), ………………..
अर्थत \(\sqrt { 2 }\),2\(\sqrt { 2 }\),3\(\sqrt { 2 }\),4\(\sqrt { 2 }\),………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\sqrt { 2 }\) [सार्वान्तर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (4\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 5\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 50 }\))
(5\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 6\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 72 }\)) एवं (6\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 \) = 7\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 98 }\))
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = \(\sqrt { 2 }\) तथा अगले तीन पद क्रमशः \(\sqrt { 50 }\), \(\sqrt { 72 }\) एवं \(\sqrt { 98 }\) हैं।

(xiii) \(\sqrt { 3 }\), \(\sqrt { 6 }\), \(\sqrt { 9 }\), \(\sqrt { 12 }\), ………………..
a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
अर्थत 1,9,25,49, ………………..
⇒ a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 49 – 25 = 24
= (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह एक A.P. नहीं है।

(xv) 1², 5², 7², 73, ………………..
अर्थात् 1, 25, 49, 73 ……………….
a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)²
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)² + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 11², 145 होंगे।