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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शुन्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणाकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 } \),1,-2
(ii) x3 – 4x2 + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना p (x) = 2x3 + x2 – 5x +2
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अतः, \(\frac { 1 }{ 2 } \),1 एवं – 2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। सत्यापित होता है।
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अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

(ii) माना p (x) = x3 – 4x2 + 5x – 2 (दिया है)
⇒ p (2) = (2)3 – 4(2)2 + 5 (2)-2 .
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
तथा p (1) = (1)3 – 4 (1)2 + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
इसलिए 2 एवं 1 दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, अतः (x – 2) (x – 1) अर्थात् x2 – 3x + 2 इस बहुपद का एक गुणक होगा।
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⇒ x3 – 4x2 + 5x – 2 = (x2 – 3x + 2) (x – 1)
⇒ (x – 1) दिए बहुपद x3 – 4x2 + 5x – 2 का एक अन्य गुणक होगा।
⇒ दिए बहुपद का अन्य (तीसरा) शून्यक 1 होगा।
अतः, 2, 1, 1 दिए बहुपद के शून्यक हैं सत्यापित होता है।
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अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

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प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लें उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, – 14 हों।
हल:
मान लीजिए त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d है जिसके शून्यक α,β और γ हैं तो हम पाते हैं कि
α + β + γ = –\(\frac { b }{ a } \) = 2
तथा αβ + βγ + yα = \(\frac { c }{ a } \) = -7
एवं αβγ = – \(\frac { d }{ a } \) = – 14
यदि a = 1 तब b = -2, c = -7 एवं d = 14
अतः, अभीष्ट त्रिघात बहुपद = x3 – 2x2 – 7x + 14 होगा।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि x3 – 3x2 + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हैं इसलिए a – b + a + a + b = –\(\frac { (-3) }{ 1 } \) = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac { 3 }{ 3 } \) = 1 …(1)
तथा (a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = \(\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
⇒ a2 – ab + a2 + ab + a2 – b2 = 1
⇒ 3a2 – b2 = 1 …(2)
एवं (a – b) (a) (a + b) = –\(\frac { 1 }{ 1 } \) = -1
⇒ a (a2 – b2)= – 1 ⇒ a3 – ab2 = – 1
अब समीकरण (1) एवं (2) से,
3(1)2 – b2 = 1 ⇒ 3 – b2 = 1
⇒ b2 = 3 – 1 = 2 ⇒ b = ± \(\sqrt { 2 }\) …(4)
एवं समीकरण (1) एवं (3) से,
(1)3 – (1) (b2) = – 1 ⇒ 1 – b2 = – 1
⇒ b2 = 1 + 1 = 2 ⇒ b= ± \(\sqrt { 2 }\)
अतः, a और b के अभीष्ट मान a = 1 एवं b = ± \(\sqrt { 2 }\) हैं।

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प्रश्न 4.
यदि बहुपद x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt { 3 }\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2 ± \(\sqrt { 3 }\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं इसलिए (x – 2 – \(\sqrt { 3 }\) ) (x – 2 + \(\sqrt { 3 }\) ) अर्थात्
[(x – 2)2 – (\(\sqrt { 3 }\))2]
अर्थात् (x2 – 4x + 4 – 3) अर्थात् (x2 – 4x + 1) इस बहुपद का एक गुणक होगा।
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इसलिए x2 – 2x – 35 भी दिए हुए बहुपद का एक अन्य गुणक होगा। गुणनखण्ड करने पर,
x2 – 2x – 35 = x2 – (7 – 5) x – 35
= x2 – 7x + 5x – 35
= x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5) प्राप्त होता है।
अतः, 7 एवं – 5 दिए बहुपद के दो अन्य अभीष्ट शून्यक होंगे।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x4 – 6x3 + 16x2 – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x2 – 2x + k से भाग दिया जाए तो शेषफल (x + a) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:
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लेकिन शेषफल = x + a दिया है। इसलिए दोनों शेषफलों की तुलना करने पर हम पाते हैं –
2k – 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 ….(1)
एवं K2 – 8k + 10 = a ….(2)
⇒ a = (5)2 – 8 (5) + 10 = 25 – 40 + 10 = 35 – 40
⇒ a = -5
अतः, k एवं a के अभीष्ट मान k = 5 एवं a = -5 हैं।

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