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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 – 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x2 – 3x + 5 = 0 में a = 2, b = – 3 एवं c = 5
तो विविक्तकर b2 – 4ac = (-3)2 – 4(2) (5)
= 9 – 40 = – 31
अत: वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) चूँकि 3x2 – 4\(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0 में a = 3, b = – 4 \(\sqrt { 3 }\) एवं c = 4
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 1
अत: दोनों मूल बराबर हैं तथा प्रत्येक का मान, \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) एवं \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) है।

(iii) चूँकि 2x2 – 6x + 3 = 0 में a = 2, b = 6 एवं c = 3
तो विविक्तकर b2 – 4ac = (-6)2 – 4(2) (3)
= 36 – 24 = 12
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अत: मूल असमान वास्तविक हैं जिनका मान \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\) है।

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प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2)+ 6 = 0
हल:
(i) चूँकि समीकरण 2x2 + kx + 3 = 0 में a = 2, b = k, c = 3.
एवं बराबर मूलों के लिए b2 – 4ac = 0
⇒ k2 – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k2 = 24 ⇒ k = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)
अतः k के अभीष्ट मान = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)

(ii) चूँकि समीकरण kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0 में a = k, b = -2k एवं c = 6
एवं बराबर मूलों के लिए. b2 – 4ac = 0
⇒ (-2k)2 – 4(k) (6) = 0
⇒ 4k2 – 24k = 0 ⇒ k2 – 6k = 0
⇒ k (k – 6) = 0
या तो k = 0 तब समीकरण 6 = 0 जो सम्भव नहीं है।
अथवा k – 6 = 0 ⇒ k = 6
अत: k का अभीष्ट मान = 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m- हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो उसकी लम्बाई = 2x m
तब प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 2x × x = 800 m2
⇒ 2x2 = 800 ⇒ x2 = 400
⇒ x = ± \(\sqrt { 400 }\) = ± 20
लेकिन माप ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 20 m
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m
एवं लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: बगिया बनाना सम्भव है तथा बगिया की अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः 40 m एवं 20 m है।

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प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
मान लीजिए कि एक मित्र की आयु x वर्ष है तो दूसरे मित्र की आयु (20 – x) होगी।
अब प्रश्नानुसार (x – 4) (20 – x – 4) = 48
⇒ (x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16x – x2 – 64 + 4x = 48
⇒ x2 – 20x + 112 = 0
यहाँ a = 1, b = -20 एवं c = 112
तो b2 – 4ac = (-20)2 – 4 (1) (112)
= 400 – 448 = – 48
अतः दत्त स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m- के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि पार्क की चौड़ाई = x m
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अतः पार्क बनाना सम्भव है और वह वर्गाकार होगा जिसकी प्रत्येक भुजा = 20 m.

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