Prasanna

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Intext Questions

MP Board Class 8th Maths Chapter 8 पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 127

प्रयास कीजिए (क्रमांक 8.1)

प्रश्न 1.
एक प्राथमिक विद्यालय में अभिभावकों से पूछा गया कि वे अपने बच्चों के गृह कार्य में सहायता करने के लिए प्रतिदिन कितने घण्टे व्यतीत करते हैं। 90 अभिभावकों ने \(\frac{1}{2}\) घण्टे से 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे तक सहायता की। जितने समय के लिए अभिभावकों ने अपने बच्चों की सहायता करना बताया उसके अनुसार अभिभावकों का वितरण संलग्न आकृति में दिखाया गया है जो इस प्रकार है –
20% ने प्रतिदिन 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे से अधिक सहायता की, 30% ने 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे से 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे तक सहायता की, 50% ने बिल्कुल नहीं की।

इसके आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए –

1. कितने अभिभावकों का सर्वे किया गया?
2. कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने सहायता नहीं की?
3. कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे से अधिक सहायता की?

हल:
1. माना कि x अभिभावकों का सर्वे किया।
चूँकि 30% अभिभावकों ने \(\frac{1}{2}\) घण्टे से 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे तक गृहकार्य कराने में अपने बच्चों की सहायता की। अब प्रश्नानुसार,
\(\frac{30}{100}\) × x = 90
x = \(\frac{90×100}{100}\) = 300
अतः कुल 300 अभिभावकों का सर्वे किया गया।

2. क्योंकि 50% अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने सहायता नहीं की।
अतः ऐसे अभिभावकों की संख्या = 300 का 50%
= \(\frac{50}{100}\) x 300 = 150
अतः 150 अभिभावकों ने सहायता नहीं की।

3. 20% अभिभावकों ने 17 से अधिक सहायता की। अतः अभिभावकों की संख्या = 300 का 20%
= \(\frac{20}{100}\) x 300 = 60
अतः 60 अभिभावकों ने घण्टे से अधिक सहायता की।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 14 सममिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई छेद की हुई आकृतियों की प्रतिलिपियाँ बनाकर (खींचकर) उनमें से प्रत्येक की सममित रेखाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
सममित रेखाएँ बिन्दुकित रेखाओं से निरूपित हैं।

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों में सममित रेखा (रेखाएँ) दी हुई हैं। अन्य छेद ज्ञात कीजिए।
हल:
निम्नांकित आकृतियों में अन्य छेद दर्शाए गए हैं :

प्रश्न 3.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृतियों में दर्पण रेखा (अर्थात् सममित रेखा) बिन्दुकित रेखा के रूप में दी गई है। बिन्दुकित (दर्पण) रेखा में प्रत्येक आकृति का परावर्तन करके, प्रत्येक आकृति को पूरा कीजिए। (आप बिन्दुकित रेखा के अनुदिश एक दर्पण रख सकते हैं और फिर प्रतिबिम्ब (image) के लिए दर्पण में देख सकते हैं)। क्या आपको पूरी की गई आकृति का नाम याद है ?
हल:
प्रत्येक आकृति की पूर्ण आकृति (परावर्तित आकृति) दर्शाई गई है:

प्रश्न 4.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृतियों में से प्रत्येक में विविध सममित रेखाओं (यदि हों तो) की पहचान कीजिए।
हल:
निम्नांकित आकृतियों में विविध सममित रेखाएँ दर्शाई गई हैं:

प्रश्न 5.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृति की प्रतिलिपि बनाइए। किसी एक विकर्ण की सममित रेखा लीजिए तथा कुछ और वर्गों को इस तरह छायांकित कीजिए कि यह आकृति इस विकर्ण के अनुदिश सममित हो जाए। क्या ऐसा करने की एक से अधिक विधियाँ हैं ? क्या यह आकृति दोनों विकर्णों के अनुदिश सममित होगी?
हल:

1. आकृति विकर्ण AC के अनुदिश सममित है।
2. चूँकि आकृति EF और GH के अनुदिश सममित हैं। अत: यह एक से अधिक रेखा के अनुदिश सममित है।
3. यह आकृति विकर्ण BD के भी अनुदिश सममित है।
   

प्रश्न 6.
पाठ्य-पुस्तक में दिये हुए आरेखों की प्रतिलिपियाँ बनाइए तथा प्रत्येक आकार को इस तरह पूरा कीजिए ताकि वह आकार दर्पण रेखा (या रेखाओं) के अनुदिश सममित हो।
हल:
आरेखों की दर्पण रेखा के अनुदिश सममिति निम्न प्रकार है:

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आकृतियों के लिए सममित रेखाओं की संख्याएँ बताइए:

(a) एक समबाहु त्रिभुज
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज
(c) एक विषमबाहु त्रिभुज
(d) एक वर्ग
(e) एक आयत
(f) एक समचतुर्भुज
(g) एक समान्तर चतुर्भुज
(h) एक चतुर्भुज
(i) एक समषट्भुज
(j) एक वृत्त

हल:

(a) एक समबाहु त्रिभुज – 3 सममित रेखाएँ
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज – 1 सममित रेखा
(c) एक विषमबाहु त्रिभुज – 0 (शून्य) समपित रेखा
(d) एक वर्ग – 4 सममित रेखाएँ
(e) एक आयत – 2 सममित रेखाएँ
(f) एक समचतुर्भुज – 2 सममित रेखाएँ
(g) एक समान्तर चतुर्भुज – 0 (शून्य) सममित रेखा
(h) एक चतुर्भुज – 0 (शून्य) सममित रेखा
(i) एक समषट्भुज – 6 सममित रेखाएँ
(j) एक वृत्त – असीमित सममित रेखाएँ

प्रश्न 8.
अंग्रेजी वर्णमाला के किन अक्षरों में निम्नलिखित के अनुदिश परावर्तन सममिति (दर्पण परावर्तन से सम्बन्धित सममिति) है :
(a) एक ऊर्ध्वाधर दर्पण
(b) एक क्षैतिज दर्पण
(c) ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दर्पण दोनों।
हल:
(a) एक ऊर्ध्वाधर दर्पण में निम्न अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों में परावर्तन सममिति है :
A, H, I, M, O, T, U, V, W,X और Y.

(b) क्षैतिज दर्पण के अनुदिश अंग्रेजी अक्षर, जिनमें परावर्तन सममिति है:
B,C, D, E, H, I,O और X.

(c) अंग्रेजी अक्षर, जिनमें ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दर्पणों के अनुदिश परावर्तन्द सममिति है :
H, I, O और X.

प्रश्न 9.
ऐसे आकारों के तीन उदाहरण दीजिए, जिनमें कोई सममित रेखा न हो।
उत्तर:
ऐसे आकार जिनमें सममित रेखा नहीं है :

1. एक विषमबाहु त्रिभुज
2. एक अनियमित चतुर्भुज
3. अक्षर F.

प्रश्न 10.
आप निम्नलिखित आकृतियों की सममित रेखा के लिए अन्य क्या नाम दे सकते हैं ?
(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज
(b) एक वृत्त।
उत्तर:

(a) माध्यिका
(b) वृत्त का व्यास।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 288 प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
(a) क्या अब आप एक समबाहु त्रिभुज के लिए, घूर्णन सममिति के क्रम को बता सकते हैं (संलग्न आकृति) ?

(b) जब उपरोक्त त्रिभुज को उसके केन्द्र के परितः (चारों ओर) 120° के कोण पर घुमाया जाता है, तो कितनी स्थितियों में त्रिभुज (स्थिति के अनुसार) पहले जैसा ही लगता है ?
हल:
(a) ∵ ऐसी तीन स्थितियाँ हैं जहाँ कि त्रिभुज एक जैसे दिखाई देंगे। अतः इसमें क्रम 3 की घूर्णन स्थितियाँ हैं। (120°,240°,360°)
(b) यहाँ केवल एक स्थिति होगी, जबकि त्रिभुज ठीक पहले जैसी स्थिति में दिखाई देगा, जबकि इसे केन्द्र के परितः 120° पर घुमाया जाएगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-से आकारों (संलग्न आकृति) में अंकित बिन्दुओं के परितः (चारों ओर) घूर्णन सममिति है।

हल:
क्योंकि हम जानते हैं कि जब कोई आकृति एक कोण के द्वारा एक बिन्दु पर घूर्णन करती है और पहले जैसी दिखाई देती है, तो उसे घूर्णन सममिति कहते हैं। इस प्रकार, आकृति (i), (ii) व (iv) में घूर्णन सममिति है।

इन्हें कीजिए

दो एक जैसे (सर्वांगसम चतुर्भुज खींचिए, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD एक कागज पर तथा दूसरा समान्तर चतुर्भुज A’B’C’D’ एक पारदर्शक शीट (Transparent sheet) पर। उनके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को क्रमशः 0 और 0′ से अंकित (या व्यक्त) कीजिए। समान्तर चतुर्भुजों को इस प्रकार रखिए कि A’ शीर्ष A पर रहे, B’ शीर्ष B पर रहे, इत्यादि।

इन आकारों में, अब बिन्दु O पर एक पिन लगाइए। अब पारदर्शक शीट को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाइए।

प्रश्न (i) एक पूरे चक्कर में पारदर्शकशीट पर बना आकार कागज पर बने आकार से कितनी बार संपाती होता है।
(ii) इसमें घूर्णन सममिति का क्या क्रम है ?
हल:
(i) जब हम पारदर्शक शीट को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाते हैं, तो दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं। पहली स्थिति में जब शीर्ष A’ शीर्ष A पर होता है और दूसरी स्थिति में शीर्ष A’ शीर्ष C पर होता है। इससे स्पष्ट होता है कि पूरा चक्कर घुमाने (360°) पर समान्तर चतुर्भुज की दो स्थितियाँ हैं, जहाँ यह एक जैसा दिखाई देगा।
(ii) इसमें क्रम 2 की घूर्णन सममिति होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 289

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
दी हुई आकृतियों के लिए x से अंकित बिन्दु के परितः घूर्णन सममिति का क्रम बताइए (संलग्न आकृति)।

हल:
जब आकृति (i) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति चार स्थितियों (90°, 180°,270° और 360°) में मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (i) में क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी।

जब आकृति (ii) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति तीन स्थितियों (120°, 240° और 360°) में | मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (ii) में क्रम 3 की घूर्णन सममिति होगी।

जब आकृति (iii) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति दो स्थितियों (180° और 360°) में मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (iii) में क्रम 2 की घूर्णन सममिति होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 290

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.2

प्रश्न 1.
अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए –

1. 64
2. 512
3. 10648
4. 27000
5. 15625
6. 13824
7. 110592
8. 46656
9. 175616
10. 91125

हल:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

प्रश्न 2.
बताइए सत्य है या असत्य –

1. किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है।
2. एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है।
3. यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है।
4. ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है जो 8 पर समाप्त होता है।
5. दो अंकों की संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
6. दो अंकों की संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं।
7. एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक वाली संख्या हो सकती है।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. असत्य
6. असत्य
7. सत्य।

प्रश्न 3.
आपको यह बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन है। क्या बिना गुणनखण्ड किए आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है? इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों के अनुमान लगाइए।
हल:
1331 के लिए इस संख्या के दो समूह 1 और 331 हैं।
331 का इकाई अंक 1 है। अतः घनमूल का इकाई अंक 1 होगा।
दूसरे समूह का अंक 1 है।
∴ 1³ = 1, अतः घनमूल का दहाई का अंक 1 होगा।
\(\sqrt[3]{1331}\) = 11
4913 के लिए
4913 के दो समूह बनाए 4 और 913
प्रथम समूह 913 का इकाई अंक 3 है। 3 किसी संख्या के स्थान पर तब आता है जब उसके घनमूल के इकाई का अंक 7 हो।
अतः घनमूल का इकाई अंक = 7
दूसरे समूह 4 के लिए
1³ = 1 और 2³ = 8
अतः 1³ < 4 < 2³
अतः घनमूल का दहाई अंक = 1
∴ \(\sqrt[3]{4913}\) = 17
12167 के लिए
12167 के दो समूह बनाए 12 और 167
प्रथम समूह 167 में इकाई का अंक 7 है, 7 पर समाप्त होने वाली संख्या का घनमूल = 3
अतः घनमूल का इकाई अंक = 3.
दूसरे समूह 12 के लिए
23 = 8 और 33 = 27
2³ < 12 < 3³ अतः घनमूल का दहाई का अंक = 2
∴ \(\sqrt[3]{12167}\) = 23
32768 के लिए
संख्या का प्रथम समूह 768 तथा दूसरा समूह 32.
प्रथम समूह की संख्या का इकाई अंक 8 है। 8 किसी संख्या के स्थान पर तब आता है जब उसके घनमूल का इकाई अंक 2 हो।
अतः घनमूल का इकाई अंक = 2
दूसरे समूह 32 के लिए
3³ = 27 और 4³ = 64
इसलिए 3³ < 32 < 4³ अतः घनमूल का दहाई का अंक = 3
∴ \(\sqrt[3]{32768}\) = 32

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को प्रसारित रूप में लिखिए :
279404, 3006194, 2806196, 120719, 20068
हल:
(i) 279404
= 2 × 100000 + 7 × 10000 + 9 × 1000
+ 4 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1
= 2 × 105 + 7 × 104 + 9 × 103 + 4 × 10²
+ 0 × 101 + 4 × 100

(ii) 3006194
= 3 × 1000000 + 0 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 4 × 1
= 3 × 10⁶ + 0 × 10⁵ + 0 × 10⁴ + 6 × 10³
+ 1 × 10² + 9 × 10¹ + 4 × 10⁰

(ii) 2806196
= 2 × 1000000 + 8 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 6 × 1
= 2 × 10⁶ + 8 × 10⁵ + 0 × 10⁴ + 6 × 10³
+ 1 × 10² + 9 × 10¹ + 6 × 10⁰

(iv) 120719
= 1 × 100000 + 2 × 10000 + 0 × 1000
+ 7 × 100 + 1 × 10 + 9 × 1
= 1 × 10⁵ + 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 7 × 10²
+ 1 × 10¹ + 9 × 10⁰

(v) 20068
= 2 × 10000 + 0 × 1000 + 0 × 100
+ 6 × 10 + 8 × 1 = 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 0 × 10²
+ 6 × 10¹ + 8 × 10⁰

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारित रूपों में से प्रत्येक के लिए संख्या ज्ञात कीजिए:
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
हल:
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
= 8 × 10000 + 6 × 1000 + 0 × 100 +4 × 10 + 5 × 1
= 80000 + 6000 + 0 + 40 + 5
= 86045

(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
= 4 × 100000 + 5 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 1
= 400000 + 5000 + 300 + 2
= 405302

(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
= 3 × 10000 + 7 × 100 + 5 × 1
= 30000 + 700 + 5
= 30705

(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
= 9 × 100000 + 2 × 100 + 3 × 10
= 900000 + 200 + 30
= 900230

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 5,00,00,000
(ii) 70,00,000
(iii) 3,18,65,00,000
(iv) 3,90,878
(v) 39087.8
(vi) 3908.78
हल:
(i) 5,00,00,000 = 5 × 10000000
= 5 × 10⁷

(ii) 70,00,000 = 7 × 1000000
= 7 × 10⁶

(iii) 3,18,65,00,000 = 3.186500000 × 10⁹
= 3.1865 × 10⁹

(iv) 3,90,878 = 3.90878 × 10⁵

(v) 39087.8 = 3.90878 × 10⁴

(vi) 3908.78 = 3.90878 × 10³

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में प्रकट होने वाली (आने वाली) संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी 3,84,000,000 m है।
(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल (या वेग) 3,00,000,000 m/sec है।
(c) पृथ्वी का व्यास 1,27,56,000 m है।
(d) सूर्य का व्यास 1,400,000,000 m है।
(e) एक आकाशगंगा में औसतन 100,000,000,000 तारे हैं।
(f) विश्व मण्डल (या सौर मण्डल) 12,000,000,000 वर्ष पुराना है।
(g) आकाशगंगा के मध्य से सूर्य की दूरी 300,000,000,000,000,000,000 m आंकलित की गई है।
(h) 1.8 g भार वाली पानी की एक बूंद में 60,230,000,000,000,000,000,000 अणु (molecules) होते हैं।
(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 km³ समुद्र जल है।
(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या 1,027,000,000 थी।
हल:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी
= 3,84,000,000 m
= 3.84000,000 × 10⁸ = 3.84 m × 10⁸ m

(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल
= 3.00,000,000 m/sec = 3 × 10⁸ m/sec

(c) पृथ्वी का व्यास = 12756000 m
= 1.2756000 × 10⁷ m = 1.2756 × 10⁷ m

(d) सूर्य का व्यास = 1,400,000,000m
= 1.400,000,000 × 10⁹ m
= 1.4 × 10⁹ m

(e) एक आकाशगंगा में औसतन तारे
= 1,00.000.000,000 = 1 × 10¹¹

(f) विश्वमण्डल पुराना है = 12,000,000,000
= 1.2 × 10¹⁰ वर्ष

(g) आकाश गंगा से सूर्य की दूरी
= 300,000,000,000,000,000,000 m
= 3 × 10²⁰ m

(h) 1.8g भार वाली पानी की बँद में अण
= 60,230,000,000,000,000,000,000
= 6.023 × 10²²

(i) पृथ्वी में समुद्र जल
= 1,353,000,000 km³
= 1.353 × 10⁹ km³

(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या
= 1,027,000,000 = 1.027 × 10⁹

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन – नहीं हैं?

1. 216
2. 128
3. 1000
4. 100
5. 46656

हल:
1. 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3
स्पष्ट है कि अभाज्य गुणनखण्ड समान गुणनखण्डों के त्रिक हैं और कोई गुणनखण्ड शेष नहीं है।
अत: 216 एक पूर्ण घन है।

2. 128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के त्रिक बनाने पर 2 शेष रहता है।
अतः 128 एक पूर्ण घन नहीं है।

3. 1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
स्पष्ट है कि अभाज्य गुणनखण्ड समान गुणनखण्डों के त्रिक हैं और कोई गुणनखण्ड शेष नहीं है।
अतः 1000 एक पूर्ण घन है।

4. 100 = 2 x 2 x 5 x 5
स्पष्ट है कि अभाज्य गुणनखण्ड समान गुणनखण्डों के त्रिक नहीं हैं तथा 2 x 2 x 5 x 5 शेष रहता है।
अतः 100 पूर्ण घन नहीं है।

5. 46656 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
स्पष्ट है कि अभाज्य गुणनखण्ड समान गुणनखण्डों के त्रिक हैं तथा कोई गुणनखण्ड शेष नहीं है।
अतः 46656 एक पूर्ण घन संख्या है।

प्रश्न 2.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण घन बन जाए:

1. 243
2. 256
3. 72
4. 675
5. 100.

हल:
1.

243 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन का समूह बनाने पर 3 के समूह का एक गुणनखण्ड कम है।
अतः 3 से गुणा करने पर संख्या 243 पूर्ण घन बन जाएगी।

2.

256 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 256 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन का समूह बनाने पर 2 के समूह का एक गुणनखण्ड कम है।
अतः 2 से गुणा करने पर संख्या 256 पूर्ण घन बन जाएगी।

3.

72 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन का समूह बनाने पर 3 के समूह का एक गुणनखण्ड कम है।
अतः 3 से गुणा करने पर संख्या 72 पूर्ण घन बन जाएगी।

4.

675 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 675 = 3 x 3 x 3 x 5 x 5
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह बनाने पर 5 के समूह का एक गुणनखण्ड कम है।
अतः 5 से गुणा करने पर संख्या 675 पूर्ण घन बन जाएगी।

5.

100 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर, 100 = 2 x 2 x 5 x 5
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह बनाने पर 2 के समूह का एक व 5 के समूह का एक गुणनखण्ड कम है।
अत: 2 x 5 = 10 से गुणा करने पर संख्या 100 पूर्ण घन बन जाएगी।

प्रश्न 3.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाए

1. 81
2. 128
3. 135
4. 192
5. 704.

हल:
1.

81 = 3 x 3 x 3 x 3
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों की तीन-तीन के समूह (त्रिक) बनाने पर गुणनखण्ड 3 अधिक है।
अत: 3 से भाग देने पर संख्या 81 पूर्ण घन बन जाएगी।

2.

128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह (त्रिक) बनाने पर गुणनखण्ड 2 अधिक है।
अतः 2 से भाग देने पर संख्या 128 पूर्ण घन बन जाएगी।

3.

135 = 3 x 3 x 3 x 5
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह (त्रिक) बनाने पर गुणनखण्ड 5 अधिक है।
अत: 5 से भाग करने पर संख्या 135 पूर्ण घन बन जाएगी।

4.

192 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह (त्रिक) बनाने पर गुणनखण्ड 3 अधिक है।
अतः 3 से भाग करने पर संख्या 192 पूर्ण घन बन जाएगी।

5.

704 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 11
यहाँ अभाज्य गुणनखण्डों के तीन-तीन के समूह त्रिक बनाने पर गुणनखण्ड 11 अधिक है।
अतः 11 से भाग देने पर संख्या 704 पूर्ण घन बन जाएगी।

प्रश्न 4.
परीक्षित प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाता है जिसकी भुजाएँ 5 cm, 2 cm और 5 cm हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?
हल:
घनाभ का आयतन = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
5 x 2 x 5 सेमी³ = 2 x 5 x 5 सेमी³ घन बनाने के लिए आवश्यक घनाभों की संख्या
= 2 x 2 x 5 = 20 घनाभ

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 122

घनमूल

प्रश्न 1.
यदि किसी घन का आयतन 125 cm है, तो उसकी भुजा की लम्बाई क्या होगी?
हल:
घन का आयतन = 125 घन सेमी
घन की भुजा = \(\sqrt[3]{125}\)
\(\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5}\)
= 5 सेमी

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 123

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 7.2)

प्रश्न 1.
बताइए कि सत्य है या असत्य: किसी पूर्णांक m के लिए, m² < m³ होता है। क्यों?
हल:
1. माना कि यदि m = 2, तब
m² = 2 x 2 = 4 तथा m³ = 2 x 2 x 2 = 8
स्पष्ट है कि 4 < 8 अर्थात् m² < m³

2. यदि m = 3, तब
m² = 3 x 3 = 9 तथा m³ = 3 x 3 x 3 = 27
स्पष्ट है कि 9 < 27 अर्थात् m² < m³

3. यदि m = 4, तब
m² = 4 x 4 = 16 तथा m³ = 4 x 4 x 4 = 64
स्पष्ट है कि 16 < 64 अर्थात् m² < m³

4. यदि m = 5, तब
m² = 5 x 5 = 25 तथा m² = 5 x 5 x 5= 125
स्पष्ट है कि 25 < 125 अर्थात् m² < m³

5. परन्तु यदि m = 1, तब
m² = 1 x 1 = 1 तथा m³ = 1 x 1 x 1 = 1
स्पष्ट है कि m² = m³

6. यदि m = – 1, तब
m² = (-1) x (-1) = 1
तथा m³ = (-1) x (-1) x (-1) = – 1
स्पष्ट है कि, 1 > – 1 अर्थात् m² > m³

7. यदि m = -2, तब
m² = (-2) x (-2) = 4
तथा m³ = (-2) (-2) (-2) = – 8
स्पष्ट है कि 4 > – 8 अर्थात् m² > m³

8. यदि m = – 3, तब
m² = (-3) x (-3)= 9
तथा m³ = (-3) (-3) (-3) = – 27
स्पष्ट है कि 9 > (-27) अर्थात् m² > m³

9. परन्तु यदि m = 0, तब
m² = 0 तथा m³ = 0
∴ m² = m³
अतः हम कह सकते हैं कि ऋणात्मक पूर्णांक m के लिए m² < m³ असत्य है।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸
(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
(iii) a³ × a²
(iv) 7^x × 7²
(v) (5²)³ ÷ 5³
(vi) 2⁵ × 5⁵
(vii) a⁴ × b⁴
(viii) (3⁴)³
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³
(x) 8^t ÷ 8²
हल:
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸ = 3²⁺⁴⁺⁸ = 3¹⁴
(∵ a^m × aⁿ × a^r = a^m+n+r)

(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6^15-10
(∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 6⁵

(iii) a³ × a² = a³⁺²
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)
= a⁵

(iv) 7^x × 7² = 7^x+2
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)

(v) (5²)³ ÷ 5³ = 5^2×3 ÷ 5³ = 5⁶ ÷ 5³
[∵ (a^m)ⁿ = a^mn, a^m ÷ aⁿ = a^m-n)]
= 5^6-3 = 5³

(vi) 2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= 10⁵

(vii) a⁴ × b⁴ = (a × b)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= (ab)⁴

(viii) (3⁴)³ = 3^4×3 [∵ (a) = (a^m)ⁿ = a^mn]
= 3¹²

(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³ = (2^20-15) × 2³
[∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n, a^m × aⁿ = a^m+n]
= 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 28

(x) 8^t ÷ 8² = 8^t-2 (∵ a^m + aⁿ = a^m-n)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

हल:

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 10¹¹ = 100¹¹
(ii) 2³ > 5²
(iii) 2³ × 3² = 6⁵
(iv) 3⁰ = (1000)⁰
हल:
(i) L.H.S. = 10 × 10¹¹ = 10¹²
और R.H.S. = (100)¹¹ = (10²)¹¹
= 10^2×11 = 10²²
∴ 10 × 10¹¹ ≠ 100¹¹
अत: कथन असत्य है।
यहाँ L.H.S ≠ R. H. S.

(ii) L.H.S. = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
और R.H.S. = 5² = 5 × 5 = 25
यहाँ L.H.S. < R. H. S.
8 < 25 अर्थात् 2³ < 5²
अत: कथन असत्य है।

(iii) ∵ L.H.S. = 2³ × 3² = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 72
R.H.S. = 6⁵ = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7,776
यहाँ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ 72 ≠ 7,776 अर्थात् 2³ × 3² ≠ 6⁵
अत: कथन असत्य है।

(iv) 3⁰ = (1000)⁰
∵ 3⁰ = 1 और (1000)⁰ = 1
यहाँ L.H.S. = R.H.S.
∴ 3⁰ = (1000)⁰
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल:

∵ 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
और 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁶ × 3
∴ 108 × 192 = 2² × 3³ × 2⁶ × 3
= 2⁸ × 3⁴

∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 3³ × 5

∵ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
∴ 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶

∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁸ × 3¹ = 2⁸ × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
10 की घातों का प्रयोग करते हुए घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए:
(i) 172
(ii) 5643
(iii) 56439
(iv) 176428
हल:
(i) 172 = 1 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 1 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰

(ii) 5643 = 5 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1
= 5 × 10³ + 6 × 10² + 4 × 10¹ + 3 × 10⁰

(iii) 56439 = 5 × 10000 + 6 × 1000 + 4 × 100 +3 × 10 + 9 × 1
= 5 × 10⁴ + 6 × 10³ + 4 × 10² + 3 × 10¹ + 9 × 10⁰

(iv) 176428 = 1 × 100000 + 7 × 10000 + 6 × 1000 +4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
= 1 × 10⁵ + 7 × 10⁴ + 6 × 10³
+4 × 10² + 2 × 10¹ + 8 × 10⁰

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 279

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Intext Questions

MP Board Class 8th Maths Chapter 7 पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 117

भूमिका हार्डी-रामानुजन संख्या

प्रश्न 1.
1729 सबसे छोटी हार्डी-रामानुजन संख्या है। इस प्रकार की अनेक संख्याएँ हैं : उनमें से कुछ हैं 4104 (2,16; 9,5), 13832 (18, 20; 2,024)। कोष्ठकों में दी हुई संख्याएँ लेकर इसकी जाँच कीजिए।
हल:
जाँच –

• 4104 = 4096 + 8 = 16³ + 2³ और
• 4104 = 3375 + 729 = 15³ + 9³
• 13832 = 5832 + 8000 = 18³ + 20³
• और 13832 = 13824 + 8 = 24³ + 2³

घन –

प्रश्न 1.
1 सेमी भुजा वाले कितने घनों से 2 सेमी भजा वाला एक घन बनेगा?
हल:
2 सेमी भुजा वाला एक घन बनाने के लिए 1 सेमी भुजा वाले 2 x 2 x 2 = 8 घनों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 2.
1 सेमी भुजा वाले कितने घनों से 3 सेमी भुजा वाला एक घन बनेगा?
हल:
3 सेमी भुजा वाला एक घन बनाने के लिए 1 सेमी भुजा वाले 3 x 3 x 3 = 27 घनों की आवश्यकता होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 118

प्रश्न 1.
क्या आप बता सकते हैं कि इनको ये नाम क्यों दिए गए हैं?
हल:
हाँ, बता सकते हैं। इनको ये नाम इसलिए दिए गए हैं क्योंकि इसमें एक संख्या को स्वयं उसी से तीन बार गुणा किया जाता है।

प्रश्न 2.
नीचे 1 से 10 तक की संख्याओं के घन दिए गए हैं:

पूर्ण कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
यहाँ 1 से 1000 तक दस पूर्ण घन हैं। (इसकी जाँच कीजिए), 1 से 100 तक कितने पूर्ण धन हैं?
हल:
जाँच –

• 1 = 1 x 1 x 1
• 8 = 2 x 2 x 2
• 27 = 3 x 3 x 3
• 64 = 4 x 4 x 4
• 125 = 5 x 5 x 5
• 216 = 6 x 6 x 6
• 343 = 7 x 7 x 7
• 512 = 8 x 8 x 8
• 729 = 9 x 9 x 9
• 1000 = 10 x 10 x 10.

यहाँ स्पष्ट है कि संख्या को उसी संख्या से 3 बार गुणा करने पर संख्याएँ 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 और 1000 प्राप्त होती है।
∴ 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 और 1000 पूर्ण घन संख्याएँ हैं।
यहाँ 1 से 100 तक 1, 8, 27 और 64, 4 पूर्ण घन हैं।

प्रश्न 4.
सम संख्याओं के घनों को देखिए। क्या ये सभी सम हैं? आप विषम संख्याओं के घनों के बारे में क्या कह सकते हैं?
हल:
हाँ, सम संख्याओं के सभी घन सम हैं। विषम संख्याओं के घन विषम हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 119

प्रश्न 1.
ऐसी कुछ संख्याओं पर विचार कीजिए जिनकी इकाई का अंक 1 है। इनमें से प्रत्येक संख्या का घन ज्ञात कीजिए। उस संख्या के घन के इकाई के अंक के बारे में आप क्या कह सकते हैं, जिसकी इकाई का अंक 1 है।?
इसी प्रकार, उन संख्याओं के घनों की इकाई के अंकों के बारे में पता कीजिए, जिनकी इकाई के अंक 2,3,4 इत्यादि हैं।
हल:
1, 11, 21, 31,41,… आदि कुछ ऐसी संख्याएँ हैं जिनके इकाई का अंक 1 है। इन संख्याओं के घन हैं –

• 1³ = 1
• 11³ = 1331
• 21³ = 9261
• 31³ = 29791
• 41³ = 68921

आदि यहाँ यह स्पष्ट है कि ऐसी संख्याएँ जिनके इकाई का अंक 1 है उन संख्याओं के घनों का इकाई अंक भी 1 है।
इन संख्याओं के घन जिनके इकाई अंक 2, 3, 4, …… आदि हैं –

• 2 → 23 = 8 12³ = 1728 – 22³ = 10648
• 3 → 33 = 27 13³ =2197 – 23³ = 12167
• 4 → 43 = 64 14³ = 2744 – 24³ = 13824
• 5 → 53 = 125 15³ = 3375 – 25³ = 15625
• 6 → 63 = 216 16³ =4096 – 26³ = 17576
• 7 → 73 = 343 17³ = 4913 – 27³ = 19683
• 8 → 83 = 512 18³ = 5832 – 28³ = 21952
• 9 → 93 = 729 19³ = 6859 – 29³ =24389
• 10 → 103 = 1000 20³ = 8000 – 30³ = 27000 .. इत्यादि।

यहाँ यह स्पष्ट है कि जिन संख्याओं के इकाई अंक 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 हैं उनके घनों के इकाई अंक क्रमशः 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9 और 0 हैं।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 7.1)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के घन के इकाई अंक ज्ञात कीजिए:

1. 3331
2. 8888
3. 149
4. 1005
5. 1024
6. 77
7. 5022
8. 53

हल:
संख्याओं के घन के इकाई अंक –

1. 3331 → 1³ = 1 x 1 x 1 = 1; इकाई अंक =1
2. 8888 → 8³ = 8 x 8 x 8 = 512; इकाई अंक = 2
3. 149 → 9³ = 9 x 9 x 9 = 729; इकाई अंक = 9
4. 1005 → 5³ = 5x5x5 = 125; इकाई अंक = 5
5. 1024 → 4³ = 4 x 4 x 4 = 64; इकाई अंक = 4
6. 77 → 7³ = 7 x 7 x 7 = 343; इकाई अंक = 3
7. 5022 → 2³ = 2 x 2 x 2 = 8; इकाई अंक = 8
8. 53 → 3³ = 3 x 3 x 3 = 27; इकाई अंक = 7

कुछ रोचक प्रतिरूप

क्रमागत विषम संख्याओं को जोड़ना

विषम संख्याओं के योगों के निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए –

• 1 = 1 = 1³
• 3 + 5 = 8 = 2³
• 7 + 9 + 11 = 27 = 3³
• 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³
• 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³

प्रश्न 1.
क्या यह रोचक नहीं है? योग 10³ प्राप्त करने के लिए कितनी क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी?
हल:
हाँ, यह रोचक है। उपर्युक्त प्रतिरूप से स्पष्ट है कि योग 103 प्राप्त करने के लिए 10 क्रमागत विषम संख्याओं की आवश्यकता होगी।

प्रयास कीजिए (क्रमांक 7.2)

प्रश्न 1.
उपर्युक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित संख्याओं को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए –

1. 6³
2. 8³
3. 7³

हल:

1. 6³ = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216
2. 8³ = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 512
3. 7³ = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए:

• 2³ – 1³ = 1 + 2 x 1 x 3
• 3³ – 2³ = 1 + 3 x 2 x 3
• 4³ – 3³ = 1 + 4 x 3 x 3

उपर्युक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:

1. 7³ – 6³
2. 12³ – 11³
3. 20³ – 19³
4. 51³ – 50³

हल:
उपर्युक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए –

1. 7³ – 6³ = 1 + 7 x 6 x 3 = 1 + 126 = 127
2. 12³ – 11³ = 1 + 12 x 11 x 3 = 1 + 396 = 397
3. 20³ – 19³ = 1 + 20 x 19 x 3 = 1 + 1140 = 1141
4. 51³ – 50³ = 1 + 51 x 50 x 3 = 1 + 7650 = 7651

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 120

प्रश्न 1.
यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड में प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आता है, तो क्या वह संख्या एक पूर्ण घन होती है?
हल:
यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आता है, तो वह संख्या एक पूर्ण घन होती

प्रश्न 2.
क्या 729 पूर्ण घन है?
हल:
∴ 729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
प्रश्न 3.
क्या आपको याद है कि a^m x b^m = (a x b)^m होता है?
हल:
हाँ, याद है कि a^m x b^m = (a x b)^m

प्रयास कीजिए (क्रमांक 7.3)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन हैं?

1. 400
2. 3375
3. 8000
4. 15625
5. 9000
6. 6859
7. 2025
8. 10648.

हल:
1.

संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 x 5 x 5 शेष रहता है।
अतः 400 पूर्ण घन नहीं है।

2.

यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अत: 3375 एक पूर्ण घन है।

3.

यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अतः 8000 एक पूर्ण घन है।

4.

यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अतः 15625 एक पूर्ण घन है।

5.

संख्याओं के त्रिक बनाने पर 3 x 3 शेष रहता है।
अत: 9000 पूर्ण घन नहीं है।

6.

यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अत: 6859 एक पूर्ण घन है।

7.

संख्याओं के त्रिक बनाने पर 3 x 5 x 5 शेष रहता है।
अत: 2025 एक पूर्ण घन नहीं है।

8.

यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अतः 10648 एक पूर्ण घन है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 121
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (क्रमांक 7.1)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ पूर्ण घन हैं –

1. 2700
2. 16000
3. 64000
4. 900
5. 125000
6. 36000
7. 21600
8. 10000
9. 27000000
10. 1000

इन पूर्ण घनों में आप क्या प्रतिरूप देखते हैं?
हल:
प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,
1. 2700 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5
संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 x 2 x 5 x 5 शेष रहता है।
अतः 2700 एक पूर्ण घन नहीं है।

2. 16000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 शेष रहता है।
अत: 16000 एक पूर्ण घन नहीं है।

3. 64000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अतः 64000 एक पूर्ण घन है।

4. 900 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5
यहाँ हम त्रिक बनाकर देखते हैं, तो किसी भी संख्या का त्रिक नहीं बनता है।
अत: 900 एक पूर्ण घन नहीं है।

5. 125000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
यहाँ प्रत्येक गुणनखण्ड तीन बार आया है।
अत: 125000 एक पूर्ण घन है।

6. 36000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5
संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 x 2 x 3 x 3 शेष रहता है।
अतः 36000 एक पूर्ण घन नहीं है।

7. 21600 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5
संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 x 5 शेष रहता है।
अत: 21600 एक पूर्ण घन नहीं है।

8. 10000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5
संख्याओं के त्रिक बनाने पर 2 x 5 शेष रहता है।
अतः 10000 एक पूर्ण घन नहीं है।

9. 27000000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
यहाँ प्रत्येक संख्या तीन-तीन बार आयी है।
अत: 27000000 एक पूर्ण घन है।

10. 1000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
यहाँ प्रत्येक संख्या तीन बार आई है।
अत: 1000 एक पूर्ण घन है।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 2⁶
(ii) 9³
(iii) 11²
(iv) 5⁴
हल:
(i) 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(iii) 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 11² = 11 × 11 = 121
(iv) 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल:
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴
(ii) t × t = t²
(iii) b × b × b × b = b⁴
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 5² × 7³
(v) 2 × 2 × a × a = 2² × a²
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d = a³ × c⁴ × d

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 4³ या 3⁴
(ii) 5³ या 3⁵
(iii) 2⁸ या 8²
(iv) 100² या 2¹⁰⁰
(v) 2¹⁰ या 10²
हल:
(i) ∵ 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
और 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
∵ 81 > 64 ∴ 3⁴ > 4³
अतः 3⁴ बड़ा है।

(ii) ∵ 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
और 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
∵ 243 > 125 ∴ 3⁵ > 5³
अतः 3⁵ बड़ा है।

(iii) ∵ 2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 8² = 8 × 8 = 64
∵ 256 > 64 ∴ 2⁸ > 8²
अतः 28 बड़ा है।

(iv) ∵ 100² = 100 × 100 = 10000
और 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)¹⁰
= (1024)¹⁰ = (1024)^5×2
= (1024 × 1024)⁵
= (1048576)⁵
∵ 1048576 > 10000
∴ (1048576)⁵ > 100²
या (2¹⁰)¹⁰ > 100² या 2¹⁰⁰ > 100²
अत: (2¹⁰)¹⁰ बड़ा है।

(v) ∵ 2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 1024
और 10² = 10 × 10 = 100
∵ 1024 > 100, ∴ 2¹⁰ > 10²
अतः 2¹⁰ बड़ा है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल:
(i) 648

∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 23 × 34

(ii)405

∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 34 × 5

(iii) 540

∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 22 × 33 × 5

(iv) 3600

∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

प्रश्न 6.
सरल कीजिए:
(i) 2 × 10³
(ii) 7² × 2²
(iii) 2³ × 5
(iv) 3 × 4⁴
(v) 0 × 10²
(vi) 5² × 3³
(vii) 2⁴ × 3²
(viii) 3² × 10⁴
हल:
(i) 2 × 10³ = 2 × 1000 = 2000
(ii) 7² × 2² = 49 × 4 = 196
(iii) 2³ × 5 = 8 × 5 = 40
(iv) 3 × 4⁴ = 3 × 256 = 768
(v) 0 × 10² = 0 × 100 = 0
(vi) 5² × 3³ = 25 × 27 = 675
(vii) 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
(viii) 3² × 10⁴ = 9 × 10000 = 90000

प्रश्न 7.
सरल कीजिए:
(i) (-4)³
(ii) (-3) × (-2)³
(iii) (-3)² × (-5)²
(iv) (-2)³ × (-10)³
हल:
(i) (-4)³ = (-4) × (-4) × (-4)
= -64

(ii) (-3) × (-2)³ = (-3) (-2) (-2) (-2)
= (-3) × (-8) = 24

(iii) (-3)² × (-5)² = (-3) (-3) (-5) (-5)
= 9 × 25 = 225

(iv) (-2)³ × (-10)3 = (-2)(-2)(-2) (-10) (-10) (- 10)
= (-8) × (-1000) = 8000

प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 10¹²; 1.5 × 10⁸
(ii) 4 × 10¹⁴;3 × 10¹⁷
हल:
(i) ∵ 2.7 × 10¹² = \(\frac { 27 }{ 10 } \) × 10¹²
= 27 × 10¹¹ में 13 अंक होंगे।
और 1.5 × 10⁸ = \(\frac { 27 }{ 10 } \) × 10⁸
= 15 × 10⁷ में 9 अंक होंगे।
स्पष्ट है कि 27 × 10¹¹ > 15 × 10⁷
⇒ 2.7 × 10¹² > 1.5 × 10⁸

(ii) ∵ 4 × 10¹⁴ में 15 अंक होंगे
और 3 × 10¹⁷ में 18 अंक होंगे।
∴ 4 × 10¹⁴ < 3 × 10¹⁷

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 270

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 2⁵ × 2³
(ii) p³ × p²
(iii) 4³ × 4²
(iv) a³ × a² × a⁷
(v) 5³ × 5⁷ × 5¹²
(vi) (-4)¹⁰⁰ × (-4)²⁰
हल:
(i) 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
(ii) p³ × p² = p³⁺² = p⁵
(iii) 4³ × 4² = 4³⁺² = 4⁵
(iv) a³ × a² × a⁷ = a³⁺²⁺⁷ = a¹²
(v) 5³ × 5⁷ × 5¹² = 5³⁺⁷⁺¹² = 5²²
(vi) (-4)¹⁰⁰ × (-4)²⁰ = (-4)¹⁰⁰⁺²⁰ = (-4)¹²⁰

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 271

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए : उदाहरण के लिए, 116 + 113 = 114
(i) 2⁹ ÷ 2³
(ii) 10⁸ ÷ 10⁴
(iii) 9¹¹ ÷ 9⁷
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³
(v) 7¹³ ÷ 7¹⁰
हल:
(i) 2⁹ ÷ 2³ = 2^9-3 = 2⁶
(ii) 10⁸ ÷ 10⁴ = 10^8-4 = 10⁴
(iii) 9¹¹ ÷ 9⁷ = 9^11-7 = 9⁴
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³ = 20^15-13 = 20²
(v) 7¹³ ÷ 7¹⁰ = 7^13-10 = 7³

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके, उत्तर को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) (6²)⁴
(ii) (2²)¹⁰⁰
(iii) (7⁵⁰)²
(iv) (5³)⁷
हल:
(i) (6²)⁴ = 6^2×4 = 68
(ii) (2²)¹⁰⁰ = 2^2×100 = 2²⁰⁰
(iii) (7⁵⁰)² = 7^50×2 = 7¹⁰⁰
(iv) (5³)⁷ = 5^3×7 = 5²¹

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 273

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
a^m × b^m = (ab)^m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 4³ × 2³
(ii) 2⁵ × b⁵
(iii) a² × t²
(iv) 5⁶ × (-2)⁶
(v) (-2)⁴ × (-3)⁴
हल:
(i) 4³ × 2³ = (4 × 2)³ = (8)³
(ii) 2⁵ × b⁵ = (2 × b)⁵ = (2b)⁵
(iii) a² × t² = (a × t)² = (at)²
(iv) 56 × (-2)² = {5 × (-2)}²
= (-10)⁶ = (10)⁶
(v) (-2)⁴ × (-3)⁴ = {(-2) × (-3)}⁴ = (6)⁴

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
a^m + b^m = (\(\frac { a }{ b } \))m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 4⁵ ÷ 3⁵
(ii) 2⁵ ÷ b⁵
(iii) (-2)³ ÷ b³
(iv) p⁴ ÷ q⁴
(v) 5⁶ ÷ (-2)⁶
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 276

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4

प्रश्न 1.
बराबर लम्बाई के रेखाखण्डों से बनाए गए अंकों के पैटर्न को देखिए। आप रेखाखण्डों से बने हुए इस प्रकार के अंकों को इलेक्ट्रॉनिक घड़ियों या कैलकुलेटरों पर देख सकते हैं।

यदि बनाए गए अंकों की संख्या n ली जाए, तो उसके लिए आवश्यक रेखाखण्डों की n संख्या दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक पैटर्न के दाईं ओर लिखा गया है। 6,4,8 के प्रकार के 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए कितने रेखाखण्डों की आवश्यकता होगी?
हल:
(i) ∵ 6 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या
= (5n + 1)
∴ 5 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 5 + 1 = 25 + 1 = 26
10 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 10 + 1 = 50 + 1 = 51
100 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 100 + 1 = 500 + 1 = 501

(ii) ∵ 4 की तरह n अंकों को बनाने के लिए रेखाखण्डों की संख्या = (3n + 1)
∴ 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः
3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
3 × 10 + 1 = 30 + 1 = 31
3 × 100 + 1 = 300 + 1 = 301

(iii) 8 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 2)
∴ 5, 10, 100 को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः
5 × 5 + 2 = 25 + 2 = 27
5 × 10 + 2 = 50 + 2 = 52
5 × 100 + 2 = 500 + 2 = 502

प्रश्न 2.
संख्या पैटों की निम्नलिखित सारणी को पूरा करने के लिए, दिए हुए बीजीय व्यंजकों का प्रयोग कीजिए:

हल:
(i) व्यंजक (2n – 1) के लिए
100 वाँ पद = 2 × 100 – 1 = 200 – 1 = 199

(ii) व्यंजक (3n + 2) के लिए
5 वाँ पद = 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17
10 वाँ पद = 3 × 10 + 2 = 30 + 2 = 32
100 वाँ पद = 3 × 100 + 2 = 300 + 2 = 302

(iii) व्यंजक (4n + 1) के लिए
5 वाँ पद = 4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21
10 वाँ पद = 4 × 10 + 1 = 40 + 1 = 41
100 वाँ पद = 4 × 100 + 1 = 400 + 1 = 401

(iv) व्यंजक 7n + 20 के लिए
5 वाँ पद = 7 × 5 + 20 = 35 + 20 = 55
10 वाँ पद = 7 × 10 + 20 = 70 + 20 = 90
100 वाँ पद = 7 × 100 + 20 = 700 + 20 = 720

(v) व्यंजक n² + 1 के लिए
5 वाँ पद = (5)² + 1 = 25 + 1 = 26
10 वाँ पद = (10)² + 1 = 100 + 1 = 101

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 8th Social Science Solutions Chapter 18 Revolutionary Movement in India

MP Board Class 8th Social Science Chapter 18 Text Book Exercise

Choose the correct option of the following.

Question 1.
Who was not among the revolutionary activity in foreign country?
(a) Shamji Verma
(b) Sardar Ajeet Singh
(c) Madan Lal Dhingra
(d) Vinayak Damodar Savarkar
Answer:
(b) Sardar Ajeet Singh

Question 2.
Who hoisted Indian Flag in 1907 in Germany?
(a) Bhikaji Camma
(b) Lala Hardayal
(c) Mrs Annie Besant
(d) Lala Lajpat Rai
Answer:
(a)Bhikaji Camma

Question 3.
In which district of Madhya Pradesh Chandra Shekhar Azad was born?
(a) Jhabua
(b) Mandla
(c) Raisen
(d) Panna
Answer:
(a) Jhabua

Question 4.
Azad Hind Fauz was founded by
(a) Subhash Chandra Bose
(b) Capt. Mohan Singh
(c) Capt. Prem Kumar Sehgal
(d) Shahnawaz Khan
Answer:
(b)Capt. Mohan Singh

Fill in the blanks :

1. Shyamji Verma founded in ……….. 1905 in London.
2. In 1908 Khudi Ram Bose threw bomb on ………….
3. Dev Narain Tiwari was hanged to death in …………

Answer:

1. Indian house in London
2. The carriage of the defamed judge Kingsford
3. 1931.

MP Board Class 8th Social Science Chapter 18 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Write the names of prominent revolutionaries of Madhya Pradesh?
Answer:
Chandra Shekhar Azad, Thakur Yashwant Singh, Dev Narain Tiwari, Dalpat Rao were the prominent revolutionaries of Madhya Pradesh.

Question 2.
Which villages were occupied by Basudev Balwant Phadke?
Answer:
Basudev Phadke was the leader of the revolutionary movement with the help of few people he occupied Dhamri, Balte Palspe villages in 1879.

Question 3.
Who was assassinated by Chapekar Brothers?
Answer:
In 1897 Damodar and Balkrishan Chapekar brothers murdered Rand, head of the Plague Committee and Lieutenant Amherst in Pune.

MP Board Class 8th Social Science Chapter 18 Short Answer Type Questions

Question 1.
Describe about the revolutionary activities in abroad?
Answer:
Indian revolutionaries were active in other parts of the world also Shyamji Verma established ‘India House’ in London in 1905. He started sociolongistic magazine and scholarships.Vinayak Damodar Savarkar, Birendranath Chattopadhyay, Tirumal Acharya, Bhikaji Camma, Bhai Permanand, Madan Lal Dhingra and Lala Hardayal were the active members of this society.

Madan Lal Dhingra in 1909 killed Curzon Vailer the Secretary of India. He was hanged and Sarvarkar was sent to cellular jail at Andaman Island. In US the Ghadar party was formed in 1913. Lala Hardayal was the key activist of this party. The Ghadar magazine was published.

As the world was begun Lala Hardayal and his comrades went to Germany, Birendranath Chattopadhyay, Bhupender Dutt and Lala Hardayal founded Independence Committee in
Germany. The revolutionaries with their patriotism and self-sacrifice became the source of inspiration for the Indians.

Question 2.
What was Kakori Conspiracy? Describe it?
Answer:
Money was required to run the revolutionaries movements. A group of revolutionaries were successful in robbing the govt, cash at the Kakori Railway station on August 2. 1925 on Saharanpur-Lucknow line. Many of them were arrested after this incident and they were tried in the Kakori Conspiracy Case.

Four of them Ram Prasad Bismil, Ashfaqullah Khan, Roshan Singh and Rajendra Lahiri were sentenced to death and 17 others were sentenced to long-term imprisonment.

Question 3.
Write the names of key organisation of the second phase revolutionary movement?
Answer:
The following were the main revolutionary organisations of the second phase:

1. Youth sabha founded by the Bhagat Singh, Yeshpal and Chhabildas.
2. Hindustan Democratic Republic
3. Hindustan Socialist Republic Association. In 1928 Chandra Shekhar Azad, Sachidra Nath Sanyal, Ram
4. Prasad Bismil together changed the name of Hindustan. Republic Association as Hindustan Socialist
5. Republic Association.
6. Azad Hind Fauz. It was founded by Captain Mohan Singh.

MP Board Class 8th Social Science Chapter 18 Long Answer Type Questions

Question 1.
What were the reasons of the rise of revolutionary movement?
Answer:
The aim of this movement was to change the system based on injustice and to end the oppression of Indians by the British govt, in India. To free the Indian people and to tolerate hardships to get the freedom from ‘English Rule’.

The main factors of the rise of the revolutionary movements were:

1. Economic Disparity:
At the end of the 19th century and early years of 20th century was the period of famines and epidemics. The apathy by the British govt, on such time added fuel to fire the resentment among Indians.

2. Lord Curzon’s Policy:
The senate system followed after Indian University Act. 1904 was the cause of resentment in educated Indians. The govt, confidential ordinance and Calcutta Corporation ordinance contributed more resentment in the Indian people.

3. Partition of Bengal (1905):
The division of Bengal in two parts under the policy of divide and rule by Lord Curzon angered the whole nation and it created sense of devotion and sacrifice among the young Indians.

4. International events:
The independence movements of America, France, Italy, Germany and Ireland inspired Indian revolutionaries too In 1905 the Japanese won over Russia instilled sense of new awakening among the Indians.

Question 2.
What methods were adopted by the revolutionaries against the British rule?
Answer:
Revolutionaries thought that we can not achieve freedom merely through peaceful movements. They Want freedom from British Rule as early as possible therefore they showed self sacrifice to create the feelings of bravery and patriotism among the Indian youths to embrace struggle for Swaraj.

Initially the revolutionaries could not chalk out their plans and programmes but later on the outlay of programmes came into existence.

They adopted the following methods:

Methods used by Revolutionaries:
The revolutionaries used violent methods. They used to organize themselves into small secret societies and give training to their members in making bombs and firearms. They tried to get anus from other countries and also planned their activities from there.

The revolutionaries were brave and fearless and worked with full determination and mad9 sacrifices. Instead of uniting the common people for the national cause, they made individuals their targets. By their daring activities, they were a great source of inspiration to the Indian people.

Question 3.
Write notes on:

1. Azad Hind Fuaz
2. Chandra Shekher Azad

Answer:
1.Azad Hind Fuaz:
At the initiative of Rashbehari Bose, Captain Mohan Singh (one of the Indian soldiers taken prisoner by Japanese) formed the Azad Hind Fuaz. Subhash Chandra Bose instilled new energy into Azad Hind Fuaz and became famous by the name of Netaji.

In the capacity of leader of Azad Hind Fuaz he formed temporary India Govt, in Singapore on October 23 and took vow to shed last drop of blood for the freedom of the country. In 1944 Azad Hind Fauz was successful in moving up to the eastern border of India.

In 1944 he hoisted Indian flag in Kohima. And then seized Imphal but due to paucity of ration and excess rains he had to retreat from there. Netaji gave the slogan “Give me blood and I will give you freedom”.

In 1944 the position of Japan in world politics had become very weak. So the Azad Hind Fauz began to disintegrate.

2. Chandra Shekher Azad:
Chandra Shekhar Azad was born at Bhavra village in Jhabua district in Madhya Pradesh. He embraced non-cooperation movement at the tender age of 14. When he was arrested he told his name was Azad.

His role in Kakori conspiracy, Saunder’s killing and bombing at the assembly was notable. Finally surrounded by British police at the Alfred park in Allahabad, he shot himself dead. He paid his life for the freedom of India. He will be remembered for his great sacrifice for his motherland.

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