MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸
(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
(iii) a³ × a²
(iv) 7^x × 7²
(v) (5²)³ ÷ 5³
(vi) 2⁵ × 5⁵
(vii) a⁴ × b⁴
(viii) (3⁴)³
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³
(x) 8^t ÷ 8²
हल:
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸ = 3²⁺⁴⁺⁸ = 3¹⁴
(∵ a^m × aⁿ × a^r = a^m+n+r)

(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6^15-10(∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 6⁵

(iii) a³ × a² = a³⁺²
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)
= a⁵

(iv) 7^x × 7² = 7^x+2
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)

(v) (5²)³ ÷ 5³ = 5^2×3 ÷ 5³ = 5⁶ ÷ 5³
[∵ (a^m)ⁿ = a^mn, a^m ÷ aⁿ = a^m-n)]
= 5^6-3 = 5³

(vi) 2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= 10⁵

(vii) a⁴ × b⁴ = (a × b)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= (ab)⁴

(viii) (3⁴)³ = 3^4×3 [∵ (a) = (a^m)ⁿ = a^mn]
= 3¹²

(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³ = (2^20-15) × 2³
[∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n, a^m × aⁿ = a^m+n]
= 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 28

(x) 8^t ÷ 8² = 8^t-2 (∵ a^m + aⁿ = a^m-n)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 image 1
हल:

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 10¹¹ = 100¹¹
(ii) 2³ > 5²
(iii) 2³ × 3² = 6⁵
(iv) 3⁰ = (1000)⁰
हल:
(i) L.H.S. = 10 × 10¹¹ = 10¹²
और R.H.S. = (100)¹¹ = (10²)¹¹
= 10^2×11 = 10²²
∴ 10 × 10¹¹ ≠ 100¹¹
अत: कथन असत्य है।
यहाँ L.H.S ≠ R. H. S.

(ii) L.H.S. = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
और R.H.S. = 5² = 5 × 5 = 25
यहाँ L.H.S. < R. H. S.
8 < 25 अर्थात् 2³ < 5²
अत: कथन असत्य है।

(iii) ∵ L.H.S. = 2³ × 3² = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 72
R.H.S. = 6⁵ = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7,776
यहाँ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ 72 ≠ 7,776 अर्थात् 2³ × 3² ≠ 6⁵
अत: कथन असत्य है।

(iv) 3⁰ = (1000)⁰
∵ 3⁰ = 1 और (1000)⁰ = 1
यहाँ L.H.S. = R.H.S.
∴ 3⁰ = (1000)⁰
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल:
MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 image 4
∵ 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
और 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁶ × 3
∴ 108 × 192 = 2² × 3³ × 2⁶ × 3
= 2⁸ × 3⁴

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 image 5
∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 3³ × 5

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 image 6
∵ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
∴ 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 image 7
∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁸ × 3¹ = 2⁸ × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :
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हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
10 की घातों का प्रयोग करते हुए घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए:
(i) 172
(ii) 5643
(iii) 56439
(iv) 176428
हल:
(i) 172 = 1 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 1 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰

(ii) 5643 = 5 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1
= 5 × 10³ + 6 × 10² + 4 × 10¹ + 3 × 10⁰

(iii) 56439 = 5 × 10000 + 6 × 1000 + 4 × 100 +3 × 10 + 9 × 1
= 5 × 10⁴ + 6 × 10³ + 4 × 10² + 3 × 10¹ + 9 × 10⁰

(iv) 176428 = 1 × 100000 + 7 × 10000 + 6 × 1000 +4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
= 1 × 10⁵ + 7 × 10⁴ + 6 × 10³
+4 × 10² + 2 × 10¹ + 8 × 10⁰

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 279