Category: Class 7

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्न त्रिज्याओं वाले वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए):
(a) 14 cm
(b) 28 cm
(c) 21 cm
हल:
(a) यहाँ, त्रिज्या r = 14 cm
∴ वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 14 = 88 cm

(b) यहाँ, त्रिज्या r = 28 cm
∴ वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 28 = 176 cm

(c) यहाँ, त्रिज्या r = 21 mm
∴ वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 21 = 132 cm

प्रश्न 2.
निम्न वृत्तों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)
(a) त्रिज्या = 14 mm
(b) व्यास = 49 m
(c) त्रिज्या = 5 cm
हल:
(a) यहाँ, त्रिज्या r = 14 mm.
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (14)² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 14 × 14
= 616 mm²

(b) यहाँ, व्यास = 49 m, ∴ त्रिज्या r = \(\frac { 49 }{ 2 } \) m
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (\(\frac { 49 }{ 2 } \))² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × \(\frac { 49 }{ 2 } \) × \(\frac { 49 }{ 2 } \)
= \(\frac { 3773 }{ 2 } \) m² = 1886.5 m²

(c) यहाँ, त्रिज्या r = 5 cm
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (5)² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 5 × 5
= \(\frac { 550 }{ 7 } \) cm²

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्ताकार शीट की परिधि 154 मी हो, तो इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। शीट का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए
(π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)।
हल:
यहाँ, वृत्त की परिधि = 154 m,
माना कि त्रिज्या = r m
∴ वृत्त की परिधि = 2πr = 154

प्रश्न 4.
21 m व्यास वाले एक वृत्ताकार बगीचे के चारों ओर माली बाड़ लगाना चाहता है। खरीदे जाने वाले आवश्यक रस्से की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वह 2 पूरे चक्कर की बाड़ बनाना चाहता है। ₹ 4 प्रति मीटर की दर से रस्से पर व्यय ज्ञात कीजिए (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)।
हल:
वृत्ताकार बगीचे का व्यास = 21 m
∴ त्रिज्या (r) \(\frac { 21 }{ 2 } \) m
∴ वृत्ताकार बगीचे की परिधि = 2 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) × \(\frac { 21 }{ 2 } \) = 66 m
चूँकि रस्सी बगीचे के चारों ओर 2 चक्कर लगाती है।
∴ रस्सी की लम्बाई = 2 × 66 m = 132 m
अतः रस्सी की अभीष्ट लम्बाई = 132 m
अब, ₹ 4 प्रति मीटर की दर से रस्सी पर व्यय
= ₹ 4 × 132
= ₹ 528

प्रश्न 5.
4 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार शीट में से 3cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को निकाल दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
वृत्ताकार शीट की त्रिज्या R = 4cm (बाहरी त्रिज्या)
शीट में से निकाले गये वृत्त की त्रिज्या r = 3 cm (भीतरी त्रिज्या)
∴ शेष शीट का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल – भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल
= πR² – πr²
= π (R² – r²) = π (R + r) (R – r)
= 3.14 × (4 + 3) (4 – 3)
= 3.14 × 7 × 1 = 21.98 cm²

प्रश्न 6.
साइमा 1.5 m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल कवर के चारों ओर किनारी लगाना चाहती है। आवश्यक किनारी की लम्बाई ज्ञात कीजिए और ₹15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
वृत्ताकार टेबल कवर का व्यास = 1.5 m
∴ त्रिज्या r = \(\frac { 1.5 }{ 2 } \) m
∴ परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × \(\frac { 1.5 }{ 2 } \) m = 4.71 m
अत: किनारी की अभीष्ट लम्बाई = 4.71 m
अब, ₹ 15 प्रति मीटर की दर से किनारी लगाने का व्यय
= ₹ 15 × 4.71 = ₹ 70.65

प्रश्न 7.
दी गई आकृति व्यास के साथ एक अर्द्धवृत्त है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:
अर्द्धवृत्त का व्यास = 10 cm
∴ त्रिज्या r = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5cm

प्रश्न 8.
₹ 15 प्रति वर्ग मीटर की दर से 1.6m व्यास वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
टेबल के ऊपरी सतह का व्यास = 1.6m
∴ त्रिज्या (r) = \(\frac { 1.6 }{ 2 } \) = 0.8m
टेबल के ऊपरी सतह का क्षेत्रफल
= πr2 = 3.14 × (0.8)²
= 3.14 × 0.8 × 0.8 m²
∵ पॉलिश की दर = ₹ 15/m²
∴ टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय
= ₹15 × 3.14 × 0.8 × 0.8
= ₹30.144
अत: पॉलिश कराने का अभीष्ट व्यय
= ₹30.14(लगभग)

प्रश्न 9.
शाझली 44 cm लम्बाई वाला एक तार लेती है और उसे एक वृत्त के आकार में मोड़ देती है। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। यदि इस तार को दुबारा एक वर्ग के आकार में मोड़ा जाता है, तो इसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी?
कौन-सी आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है-वृत्त या वर्ग ?
(π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)
हल:
यहाँ, तार की लम्बाई = 44 cm,
‘माना कि वृत्त की त्रिज्या = r
∵ तार द्वारा बने वृत्त की परिधि = 2πr
∴ 2πr = 44

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 7 cm
अब, तार मोड़ने पर बने वृत्त का क्षेत्रफल
= πr² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (7)² = 154 cm²
∵ तार को पुनः वर्ग में मोड़ा गया है
∴ इस प्रकार बने वर्ग का परिमाप = वृत्त की परिधि
या वर्ग का परिमाप = 44 cm
माना कि वर्ग की भुजा = a
∴ 4a = 44
या a = \(\frac { 44 }{ 4 } \) = 11 cm
अब, वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (11)² = 121 cm²
∵ 154 cm² > 121 cm²
अत: वृत्ताकार आकृति अधिक क्षेत्रफल घेरती है।

प्रश्न 10.
14 cm त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार गत्ते की शीट में से 3.5 cm त्रिज्या वाले दो वृत्तों को और 3 cm लम्बाई तथा 1 cm चौड़ाई वाले एक आयत को निकाल दिया जाता है (जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है)। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)।

हल:
∵ वृत्ताकार शीट की त्रिज्या = 14 cm
∴ शीट का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (14)²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 14 × 14 = 616 cm²
छोटे वृत्त की त्रिज्या = 3.5 cm
∴ छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 3.5 × 3.5 cm²
= 38.5 cm²
अत: दो छोटे वृत्तों का क्षेत्रफल
= 2 × 38.5 cm² = 77 cm²
पुनः छोटे आयत की लम्बाई = 3 cm, चौड़ाई = 1 cm
∴ आयत का क्षेत्रफल = 3 × 1 = 3 cm²
∴ शीट से काटा गया कुल क्षेत्रफल
= 77 cm² + 3 cm² = 80 cm²
अतः, शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल
= 616 cm² – 80 cm²
= 536 cm²

प्रश्न 11.
6 cm भुजा वाले एक वर्गाकार ऐल्युमिनियम शीट के टुकड़े में से 2 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को काट दिया जाता है। शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 लीजिए)
हल:
वर्ग की भुजा = 6 cm
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = a × a = 6 × 6 = 36 cm²
शीट में से काटे गये वृत्त की त्रिज्या = 2 cm
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 2 × 2
= 12.56 cm²
शीट के शेष भाग का क्षेत्रफल = 36 cm² – 12.56 cm²
= 23.44 cm²

प्रश्न 12.
एक वृत्त की परिधि 31.4.cm है। वृत्त की त्रिज्या और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
यहाँ, वृत्त की परिधि = 31.4 cm
माना कि वृत्त की त्रिज्या = r
∴ 2πr = 31.4
या 2 × 3.14 × r = 314
या r = \(\frac{31 \cdot 4}{2 \times 3 \cdot 14}\)
= 5 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 5 cm
अब, वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
3.14 × 5 × 5
= 78.5 cm²

प्रश्न 13.
एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी के चारों ओर 4m चौड़ा पथ है तथा फूलों की क्यारी का व्यास 66 m है। इस पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)।
हल:
यहाँ, फूलों की क्यारी का व्यास = 66 m
∴ त्रिज्या (r) = \(\frac { 66 }{ 2 } \) = 33 m
∵ चारों ओर मार्ग की चौड़ाई = 4 m

∴ बाहरी वृत्त की त्रिज्या (R) = 33 m + 4 m
= 37 m
∴ शेष भाग का क्षेत्रफल = πR² – πr²
= π (R² – r²)
= 3.14 × (37² – 33²)
= 3.14 × (37 + 33) (37 – 33)
= 3.14 × 70 × 4 = 879.2 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 879.2 m²

प्रश्न 14.
एक वृत्ताकार फूलों के बगीचे का क्षेत्रफल 314 m² है। बगीचे के केन्द्र में एक घूमने वाला फव्वारा (Sprinkler) लगाया जाता है जो अपने चारों ओर 12 m त्रिज्या के क्षेत्रफल में पानी का छिड़काव करता है। क्या फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा ? (π = 3.14 लीजिए)
हल:
वृत्ताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 314 m²
माना कि बगीचे की त्रिज्या = r m
∴ बगीचे का क्षेत्रफल = πr² = 314

अब फव्वारे द्वारा घिरे क्षेत्र की त्रिज्या = 12 m
∵ 12 m > 10 m
हाँ, फव्वारा पूरे बगीचे में पानी का छिड़काव कर सकेगा।

प्रश्न 15.
आकृति में अन्तः और बाह्य वृत्तों की परिधि ज्ञात कीजिए (π = 3.14 लीजिए)

हल:
यहाँ, बाह्य वृत्त की त्रिज्या (R) = 19 m
∴ बाह्य वृत्त की परिधि = 2πR
= 2 × 3.14 × 19 m
= 119.32 m
अन्त: वृत्त की त्रिज्या (r) = 19m – 10 m = 9m
∴ अन्तः वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × 9
= 56.52 m

प्रश्न 16.
28 cm त्रिज्या वाले एक पहिए को 352 m दूरी · तय करने के लिए कितनी बार घुमाना पड़ेगा?
(π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए)
हल:
पहिए की त्रिज्या (r) = 28 cm
∴ पहिए की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 28 cm = 176 cm
∵ पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी = 176 cm
∵ पहिए द्वारा तय कुल दूरी = 352 m = 35,200 cm

अतः पहिया 352 m की दूरी 200 चक्करों में तय करेगा।

प्रश्न 17.
एक वृत्ताकार घड़ी की मिनट की सुई की लम्बाई 15 cm है। मिनट की सुई की नोंक 1 घण्टे में कितनी दूरी तय करेगी। (π = 3.14 लीजिए)
हल:
∵ मिनट की सुई की लम्बाई = 15 cm
∴ मिनट की सुई की नोंक द्वारा बनाए गए वृत्त की त्रिज्या
(r) = 15 cm
इस प्रकार, बने वृत्त की परिधि
= 2πr = 2 × 3.14 × 15 = 94.2 cm
∵ मिनट की सुई 1 घण्टे में 1 चक्कर लगाती है।
अत: मिनट की सुई की नोंक द्वारा 1 घण्टे में चली गई अभीष्ट दूरी = 94.2 cm

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 241

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न को बदलिए :
(i) 50 cm² को mm² में
(ii) 2 ha को m² में
(iii) 10 m² को cm² में
(iv) 1000 cm² को mm² में
हल:
(i) ∵ 1 cm² = (10 × 10) mm² = 100 mm²
∴ 50 cm = (50 × 100) mm²
= 5000 mm²

(ii) ∵ 1 हेक्टेअर = (100 × 100) m² = 10000 m²
∴ 2 हेक्टेअर = 2 × 10000 = 20000 m²

(iii) ∵ 1m² = (100 × 100) cm²
= 10000 cm²
∴ 10 m² = 10 × 10000 = 100000 cm²

(iv) ∵ 1 cm² = (10 × 10) mm² = 100 mm²
∴ 1000 cm² = 1000 × 100 = 100000 mm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 243-244

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न में प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

हल:
(a) यहाँ, आधार (b) = 7 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (7 × 4) cm² = 28 cm

(b) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm.
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= b × h = (5 × 3) cm² = 15 cm²

(c) यहाँ, आधार (b) = 2.5 cm, ऊँचाई (h) = 3.5 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (2.5 × 3.5) cm² = 8.75 cm²

(d) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 4.8 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (5 × 4.8) cm² = 24 cm²

(e) यहाँ, आधार (b) = 2 cm, ऊँचाई (h) = 4.4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (2 × 4.4) cm² = 8.8 cm²

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

हल:
(a) यहाँ, आधार (b) = 4 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 4 × 3) cm²
= 6 cm²

(b) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 3.2 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 5 × 32) cm²
= 8 cm²

(c) यहाँ, आधार (b) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 3 × 4 ) cm²
= 6 cm²

(d) यहाँ, आधार (b) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= ( \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 3 × 2) cm²
= 3 cm²

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई

प्रश्न 5.
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (संलग्न चित्र 11.17)| QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 cm और QM = 7.6 cm, तो ज्ञात कीजिए :
(a) समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
(b) ON यदि, PS = 8 cm

हल:
(a) यहाँ, आधार SR = 12 cm,
संगत ऊँचाई QM = 7.6 cm
समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = b × h
= SR × QM
= (12 × 7.6) cm²
= 91.2 cm²

(b) अब, समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 91.2 cm², आधार (PS) = 8 cm
माना कि संगत ऊँचाई (QN) = h cm
b × h = 91.2
या 8 × h = 91.2
या h = \(\frac { 91.2 }{ 8 } \) = 11.4 cm
∴ QN = 11.4 cm

प्रश्न 6.
DL और BM समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं(संलग्न चित्र 11.18)। यदि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm² है, AB = 35 cm, और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ, समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= 1470 cm²
आधार AB = 35 cm,
∵ समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई = AB × DL
∴ 35 × DL = 1470
या DL = \(\frac { 1470 }{ 35 } \) = 42 cm
पुनः समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= AD × BM
∴ 49 × BM = 1470
या BM = \(\frac { 1470 }{ 49 } \) = 30 cm

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC, A पर समकोण है (संलग्न चित्र 11.19),और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ, AB = 5 cm, BC = 13 cm, AC = 12 cm
∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) AB × AC
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 5 × 12 cm²
= 30 cm²
पुन: ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) BC × AD
∴ 30 = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 13 × AD
या AD = \(\frac{30 \times 2}{13}=\frac{60}{13}\) cm

प्रश्न 8.
∆ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (संलग्न चित्र 11.20)। 4 से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। ∆ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तक की ऊँचाई, अर्थात् CE क्या होगी?

हल:
यहाँ, आधार BC = 9 cm,
संगत ऊँचाई AD = 6 cm
∴ ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × AD
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 9 × 6 cm²
= 27 cm²
पुन: ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × AB × CE
= 27 cm²
या \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 7.5 × CE = 27
या CE = \(\frac{27 \times 2}{7 \cdot 5}\) = 7.2 cm

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 236

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र 11.21 में
(a) किस वर्ग का परिमाप अधिक है ?
(b) कौन-सा अधिक है; छोटे वर्ग का परिमाप या वृत्त की परिधि?

हल:
(a) बाहरी वर्ग का परिमाप अधिक है।
(b) छोटे वर्ग के परिमाप से वृत्त की परिधि अधिक है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक चौथाई प्लेट तथा एक अर्द्ध प्लेट लीजिए। प्रत्येक को टेबल की ऊपरी सतह पर एक बार घुमाइए। कौन-सी प्लेट एक पूरे चक्कर में अधिक दूरी तय करती है? कौन-सी प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी?

हल:
एक पूरे चक्कर में अर्द्ध प्लेट अधिक दूरी तय करेगी। एक चौथाई प्लेट की अपेक्षा अर्द्ध प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 237

निम्न पर विचार कीजिए

एक किसान खेत के केन्द्र पर 7 m त्रिज्या वाली एक फूलों की क्यारी खोदता है। उसे खाद को खरीदने की आवश्यकता है। यदि 1 m² क्षेत्रफल के लिए 1 kg खाद की आवश्यकता हो, तो उसे कितने किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए?
हल:
यहाँ, फूलों की क्यारी की त्रिज्या r = 7 m
∵ क्यारी का क्षेत्रफल = πr²
∴ क्यारी का क्षेत्रफल = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 7 × 7 = 154 m²
∵ 1 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 kg
∴ 154 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 × 154
= 154 kg
अत: उसे 154 किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 238

प्रश्न 1.
₹10 प्रति m² की दर से, 2 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय क्या होगा?
हल:
यहाँ, टेबल की त्रिज्या r = 2 m
वृत्ताकार टेबल की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 2 × 2 = \(\frac { 88 }{ 7 } \) m²
अत: ₹ 10 प्रति m² की दर से ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय
= ₹ 10 × \(\frac { 88 }{ 7 } \) = ₹ \(\frac { 880 }{ 7 } \)
= ₹ 125.71 (लगभग)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 239-240

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर अलग-अलग त्रिज्याओं के वृत्तों को बनाइए। वर्गों की संख्या को गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
हल:
1 वर्ग सेमी के ग्राफ पर 2 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त खींचे।

दोनों वृत्तों के पूर्ण वर्ग को गिनने पर हमें क्रमश: 12 सेमी तथा 28 सेमी² क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
सूत्र का प्रयोग करने पर हमें उनका क्रमशः निम्न क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (2)²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 4 = \(\frac { 88 }{ 7 } \) सेमी² = 12.57 सेमी²
3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (3)² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 9
= \(\frac { 198 }{ 7 } \) सेमी² = 28.28 सेमी²
यहाँ हम देखते हैं कि दोनों क्षेत्रफलों के मान भिन्न-भिन्न प्राप्त होते हैं। हालांकि यह अन्तर बहुत कम है।

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 500 m तथा 300 m है। ज्ञात कीजिए :
(i) भूखण्ड का क्षेत्रफल
(ii) भूखण्ड का मूल्य, यदि 1 m² का मूल्य ₹ 10,000
हल:
(i) भूखण्ड की लम्बाई, l = 500 m,
चौड़ाई b = 300 m
भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b
= 500 m × 300 m = 1,50,000 m²

(ii) भूखण्ड के 1 m² का मूल्य = ₹10,000
∴ भूखण्ड के 1,50,000 m² का मूल्य
= ₹ 10,000 × 1,50,000
= ₹ 1,50,00,00,000

प्रश्न 2.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 m है।
हल:
∵ वर्गाकार पार्क का परिमाप = 320 m
अर्थात् 4 × भुजा = 320 m
भुजा = \(\frac { 320 }{ 4 } \)m = 80m
वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= 80 m × 80 m
= 6,400 m²

प्रश्न 3.
एक आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 440 m- और लम्बाई 22 m हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 22 m
माना कि भूखण्ड की चौड़ाई = b
∴ भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b = 22 × b
या 22 × b = 440
या b = \(\frac { 440 }{ 22 } \) = 20 m
अतः भूखण्ड की चौड़ाई = 20 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2 × (22 + 20)
= 2 × 42 = 84 m

प्रश्न 4.
एक आयताकार शीट का परिमाप 100 cm है। यदि लम्बाई 35 cm हो, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए। क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार शीट का परिमाप = 100 cm, लम्बाई = 35 cm, चौड़ाई b = ?
∴ 2(l + b) = 100 cm
या 2(35 + b) = 100 cm
या 35 + b = \(\frac { 100 }{ 2 } \) = 50 cm
b = 50 – 35 = 15 cm
∴ शीट की चौड़ाई = 15 cm
अब, क्षेत्रफल = l × b
∴ शीट का क्षेत्रफल = 35 × 15 = 525 cm²

प्रश्न 5.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के बराबर है। यदि वर्गाकार पार्क की एक भुजा 60 m हो और आयताकार पार्क की लम्बाई 90 m हो, तो आयताकार पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्गाकार पार्क की भुजा = 60 m
आयताकार पार्क की लम्बाई = 90 m
∴ वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = a² = 60 m × 60 m
= 3,600 m²
∵ आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल
∴ लम्बाई × चौड़ाई = 3,600 m²

प्रश्न 6.
एक तार आयत के आकार का है। इसकी लम्बाई 40 cm और चौड़ाई 22 cm है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है, तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए कि किस आकार का क्षेत्रफल अधिक होगा?
हल:
लम्बाई l = 40 cm, चौड़ाई b = 22 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2(40 + 22)
= 2 × 62 = 124cm
आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 40 × 22
= 880 cm²
∵ तार को मोड़कर वर्ग बनाया गया है।
∴ वर्ग का परिमाप – आयत का परिमाप
4 × a= 124 cm
या वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = \(\frac { 124 }{ 4 } \) = 31 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (a)²
= 31 × 31
= 961 cm²
∵ 961 cm² > 880 cm²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से अधिक है।

प्रश्न 7.
एक आयत का परिमाप 130 cm है। यदि आयत की चौड़ाई 30 cm हो, तो आयत की लाबाई ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत का परिमाप = 130 cm
आयत की चौड़ाई = 30 cm
∵ आयत का परिमाप = 2 × (l + b)
∴ 2(l + 30) = 130 cm
या l + 30 = \(\frac { 130 }{ 2 } \) = 65 cm
या आयत की लम्बाई l = 65 – 30 = 35 cm
∴ आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 35 × 30 cm²
= 1,050 cm²

प्रश्न 8.
2 m लम्बाई और 1 m चौड़ाई वाले दरवाजे को एक दीवार में लगाया जाता है। दीवार की लम्बाई 4.50 m तथा चौड़ाई 3.6m है (चित्र 11.5)।₹ 20 प्रति m’ की दर से दीवार पर सफेदी (white wash) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
दरवाजे की लम्बाई = 2 m, चौड़ाई = 1 m, दीवार की लम्बाई = 4.50 m, चौड़ाई = 3.6 m.
∴ दीवार का क्षेत्रफल = l × b
= 4.50 m × 3.6m
= 16.2 m²
दरवाजे का क्षेत्रफल = 2 m × 1 m = 2 m²
दीवार पर सफेदी वाला क्षेत्रफल
= दीवार का क्षेत्रफल – दरवाजे का क्षेत्रफल
= 16.2 m² – 2 m² = 14.2 m²
∴ सफेदी कराने का व्यय = ₹ 14.2 × 20
= ₹ 284

प्रश्न:
08 cm और 5 cm भुजाओं वाला एक आयत लीजिए। आयत को विकर्ण के अनुदिश ऐसा काटिए जिससे दो त्रिभुज प्राप्त हों (चित्र 11.6)।
एक त्रिभुज को दूसरे पर रखिए।

प्रश्न 1.
क्या ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप कह सकते हैं कि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 3.
क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम भी हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये त्रिभुज सर्वांगसमता के SSS गुण के अनुसार सर्वांगसम है।

प्रश्न 4.
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आयत का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × (l × b) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 8 × 5 = 20 cm²
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 cm² है।

प्रश्न:
अब एक 5 cm भुजा वाला वर्ग लीजिए और इसे 4 त्रिभुजों में बाँटिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है (चित्र 11.7)।

प्रश्न 1.
क्या चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 2.
क्या वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं ?
उत्तर:
हाँ, वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × वर्ग का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 5 × 5
= \(\frac { 25 }{ 4 } \) = 6.25 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 226

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
आगे दिए गए सभी आयत जिसकी लम्बाई 6.cm और चौड़ाई 4 cm है, सर्वांगसम बहुभुज से मिलकर बने हैं। प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
आयत की लम्बाई = 6 cm, चौड़ाई = 4 cm,
आयत सर्वांगसम बहुभुज बनाते हैं।
प्रत्येक दशा में बहुभुज का क्षेत्रफल
= आयत का क्षेत्रफल
= l × b = 6 × 4 = 24 cm²

(i) चूँकि आकृति में कुल छ: बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 24 }{ 6 } \) = 4 cm²

(ii) ∵ आकृति में कुल 4 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल = \(\frac { 24 }{ 6 } \) = 6 cm²

(iii) ∵ आकृति में 2 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12 cm²

(iv) ∵ आकृति में कुल 2 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12 cm²

(v) ∵ आकृति में कुल 8 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 8 } \) = 3 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 227-228

पाठ्या-पुस्तक में दिये गये समान्तर चतुर्भुजों के बारे में सोचिए।
आकृतियों द्वारा घेरे गए वर्गों की संख्या को गिनकर समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और भुजाओं को मापकर परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
तालिका को पूरा कीजिए।
हल:
समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक आकृति में वर्गों की संख्या 15 है। इसलिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 15 वर्ग इकाई

परिमाप निकालने के लिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज की भुजा AD को नापते हैं।
आकृति : (a) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(l + b) = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(b) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6) = 17.2 इकाई
(c) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(d) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(e) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6)
= 17.2 इकाई
(f) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(g) AD =5 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 5) = 20 इकाई

तालिका

इकाई स्पष्ट है कि क्षेत्रफल सभी चतुर्भुजों का समान है, लेकिन परिमाप भिन्न हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 228

प्रश्न:
पाठ्य-पुस्तक में दिये गये 7 cm तथा 5 cm भुजाओं वाले समान्तर चतुर्भुजों को देखिए।
प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणाम का विश्लेषण कीजिए।
हल:

यहाँ, स्पष्ट है कि समान्तर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग है, लेकिन परिमाप समान हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 229

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(iii) समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB = 7.2 cm और C से AB पर लम्ब 4.5 cm है।
हल:
(i) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 3.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 8 cm × 3.5 cm = 28 cm²

(ii) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 2.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
=8 cm × 2.5 cm = 20 cm²

(iii) समान्तर चतुर्भुज का आधार AB = 7.2 cm
ऊँचाई = 4.5cm
क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 7.2 cm × 4.5 cm
= 32.40 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 230

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ऊपर दिए गए क्रियाकलापों को अलग-अलग प्रकार के त्रिभुज लेकर कीजिए।
हल:
दिया है, ∆ABC हम दूसरा ∆ACD इस प्रकार लेते हैं कि समान्तर चतुर्भुज ABCD दिखाई दे, जैसा कि चित्र 11:11 में दिखाया गया है :

ऊपर की प्रत्येक आकृति में, ∆ABC के क्षेत्रफल का दो गुना समान्तर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।
क्योंकि हम जानते हैं कि ∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (आधार × ऊँचाई)
तथा समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई होता है।

प्रश्न 2.
अलग-अलग प्रकार के समान्तर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में एक विकर्ण के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं ?
हल:
दिया है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विकर्ण AC अथवा BD के अनुदिश काटा, जैसा कि चित्र 11.12 में दिखाया गया है। ये त्रिभुज आपस में सर्वांगसम होंगे।

प्रश्न 3.
चित्र 11.13 में सभी त्रिभुज, आधार AB = 6 cm पर स्थित हैं। आधार AB पर प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है?

हल:
चित्र से स्पष्ट है कि प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई आधार AB पर बराबर है।
∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
अतः हम कह सकते हैं कि समान आधार और बराबर ऊँचाई के त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 4.
आधार 6 cm वाले एक अधिक कोण त्रिभुज (obtuse angled triangle) त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं।
इसकी ऊँचाई AD शीर्ष A से DC पर लम्ब है जो त्रिभुज के बाह्य स्थित है।
क्या आप इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं ?

हल:
हाँ, इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × AD
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 6 × 4 = 12 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 232-234

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.4

प्रश्न 1.
∆ ABC की रचना कीजिए, जब m∠A= 60°, m∠B = 30° और AB = 5.8 cm दिया है।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार AB = 5.8 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. AB के बिन्दु A और B पर क्रमश: 60° और 30° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें AX और BY खींची, जो परस्पर बिन्दु C पर काटती हैं।

अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
∆ PQR की रचना कीजिए, यदि PQ = 5 cm, m ∠PQR = 105° और m ∠QRP = 40° दिया है।
(संकेत : त्रिभुज के कोण योग गुण को याद कीजिए।)
हल:
∆ POR बनाने के लिए पहले m∠P ज्ञात करते हैं।
∵ m∠P + m∠Q + m∠R = 180°
∴ m∠P + 105° + 40° = 180°
या m∠P = 180° – (105° + 40°) = 35°

रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार PQ = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. PQ के बिन्दु P और Q पर क्रमशः 350 और 105° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें PM और OY खीर्ची जो परस्पर R पर काटती हैं।

अतः प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि आप ∆ DEF की रचना कर सकते हैं या नहीं, यदि EF = 7.2 cm, m∠E = 110° और m∠F = 80° है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
यहाँ, m∠E = 110°, m∠F = 80°
अर्थात m∠E + m∠F = 1100 + 80° = 190° > 180°
चूँकि त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∆ DEF की रचना नहीं की जा सकती है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 220

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.3

प्रश्न 1.
∆ DEF की रचना कीजिए, ताकि DE = 5 cm, DF = 3 cm और m ∠EDF = 90° हो।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार DE = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. DE के बिन्दु D पर 90° का कोण बनाते हुए एक किरण DX खींची तथा जिसमें से DF = 3 cm का रेखाखण्ड काटा।
3. F और E को मिलाया।

अतः प्राप्त ∆ DEF अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी प्रत्येक समान भुजा की लम्बाई 6.5 cm हो और उनके बीच का कोण 110° का हो।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार AB = 6.5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
   
2. AB के बिन्दु B पर ∠ABX = 110° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
3. रेखा BX में से BC = 6.5 cm काटकर रेखाखण्ड BC प्राप्त किया।
4. C और A को मिलाया। अतः प्राप्त ∆ABC अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
BC = 7.5 cm,AC = 5 cm और m∠C = 60° वाले ∆ABC की रचना कीजिए।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार BC = 7.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. BC के बिन्दु C पर ∠BCX = 60° बनाते हुए एक किरण CX खींची।
3. किरण CX में से AC = 5 cm काटकर रेखाखण्ड AC प्राप्त किया।
4. A व B को मिलाया।

अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 218

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
उपर्युक्त उदाहरण में, एक भुजा की लम्बाई और दो कोणों के माप दिए गए थे। अब निम्नलिखित समस्या का अध्ययन कीजिए:
∆ ABC में यदि AC = 7 cm, m∠A = 60° और m∠B = 50° है, तो क्या आप त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ? (त्रिभुज का कोण योग गुण आपकी सहायता कर सकता है।)
हल:
यहाँ, हमें AC, ∠A तथा ∠B दिया हुआ है। त्रिभुज के कोण योग गुणं से तीसरा कोण ∠C ज्ञात करेंगे।
∴ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ 60° + 50° + m∠C = 180°
या m∠C = 180° – (60° + 50°) = 70°
इन मापों के आधार पर ∆ ABC की रचना की जा सकती है।

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.2

प्रश्न 1.
∆XYZ की रचना कीजिए, जिसमें XY = 4.5 cm, YZ = 5 cm और ZX= 6 cm है।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार YZ = 5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
2. YZ के बिन्दु Y को केन्द्र मानकर व 4.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
   
3. YZ के बिन्दु z को केन्द्र मानकर व 6 cm त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले वाले चाप को x पर काटता है।
4. x को Y व z से मिलाकर XY और XZ रेखाखण्ड खींचे।

अतः प्राप्त ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
5.5 cm भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रंचना कीजिए।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार BC = 5.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. BC के बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 5.5 cm त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
3. A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
∆ PQR की रचना कीजिए, जिसमें PQ = 4cm, QR = 3.5 cm और PR = 4 cm है। यह किस प्रकार का त्रिभुज है ?
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार QR = 3.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. QR के बिन्दुव Q को क्रमशः केन्द्र मानकर व 4 cm की त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु P पर काटते हैं।
3. P को ए व R से मिलाकर क्रमशः PQ व PR रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
चूँकि PQ = PR = 4 cm
अतः ∆ PQR समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
∆ ABC की रचना कीजिए,ताकि AB = 2.5cm, BC = 6 cm और AC = 6.5 cm हो। ∠B को मापिए।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार BC = 6 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. BC के बिन्दु B को केन्द्र मानकर व 2.5 cm की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
3. BC के बिन्दु C को केन्द्र मानकर व 6.5 cm की त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले चाप को बिन्दु A पर काटता है।
4. A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
मापने पर, ∠B = 90°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 217

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक रेखा (मान लीजिए AB) खींचिए और इसके बाहर स्थित कोई बिन्दु C लीजिए। केवल पैमाना (रूलर) और परकार को प्रयोग करते हुए C से होकर AB के समान्तर एक रेखा खींचिए।
हल:
रचना के पद :

1. एक रेखा AB खींची और इसके बाहर एक बिन्दु C लिया।
   
2. रेखा AB पर एक बिन्दुलिया और CD को मिलाया।
3. D को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो AB को E पर तथा CD को F पर काटता है।
4. C को केन्द्र मानकर और DE के बराबर त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो CD को G पर काटता है।
5. G को केन्द्र मानकर और EF त्रिज्या लेकर ऊपरी चाप बिन्दु H पर काटा।
6. CH को मिलाते हुए रेखा m खींची। इस प्रकार रेखा m अभीष्ट रेखा है जो m || AB है।

प्रश्न 2.
एक रेखा l खींचिए और l पर स्थित किसी बिन्दु पर l पर लम्ब खींचिए इस लम्ब रेखा पर एक बिन्दु x लीजिए जो l से 4 cm की दूरी पर हो। x से होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए।
हल:

रचना के पद:

1. एक रेखा l खींची और इस पर एक बिन्दु A लिया।
2. A पर 90° का कोण बनाते हुए l पर लम्बवत् रेखा AN खींची।
3. AN पर कोई बिन्दु x लिया। AX = 4 cm
4. पर 90° का कोण बनाकर AN पर लम्ब खींचा।, m || l अभीष्ट रेखा है, जो x से होकर जाती है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए l एक रेखा है और Pएक बिन्दु है: जो l पर स्थित नहीं है। Pसे होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए। अब P को l के किसी बिन्दुए से जोड़िए। m पर कोई अन्य बिन्दु R चुनिए। R से होकर, PQ के समान्तर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए यह रेखा l से बिन्दु पर मिलती है। समान्तर रेखाओं के इन दोनों युग्मों से क्या आकृति बनती
हल:
रचना के पद:

1. 1. एक रेखा l खींची और इसके बाहर कोई बिन्दु P लिया।
   2. रेखा l पर कोई बिन्दुए लिया और PQ को मिलाया।
   3. P से m || l खींची।
   4. रेखा m पर कोई बिन्दु R लिया।
   5.  R से RS || PQ इस प्रकार खींची कि यह l पर 5 से मिले।

∴ l || m अत: RP || SQ
साथ ही PQ || RS
∴ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 214

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
एक विद्यार्थी ने एक ऐसा त्रिभुज खींचने का प्रयत्न किया, जिसकी रफ आकृति यहाँ दी गई है। पहले उसने QR खींचा। फिर उसने 0 को केन्द्र मानकर और 3 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा तथा R को केन्द्र मानकर और 2 cm त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचा। परन्तु वह नहीं प्राप्त कर सका। इसका क्या कारण है ? इस प्रश्न से सम्बन्धित किसी गुण को आप जानते हैं ? क्या ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है? (त्रिभुज के इस गुण को याद कीजिए : किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है।) सोचिए क्या यह सही है ?

हल:
इन मापों से त्रिभुज बनना असम्भव है। क्योंकि त्रिभुज का बनना तभी सम्भव है जबकि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो, परन्तु यहाँ 2 cm + 3 cm = 5cm < 6 cm

अत: ऐसे त्रिभुज का कोई अस्तित्व नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 215

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.3

प्रश्न 1.
क्रय-विक्रय के निम्न सौदों में हानि या लाभ ज्ञात कीजिए। प्रत्येक दशा में प्रतिशत हानि या प्रतिशत लाभ भी ज्ञात कीजिए।
(a) बगीचे में काम आने वाली कैंची ₹ 250 में खरीदी तथा ₹ 325 में बेची गई।
(b) एक रेफ्रिजरेटर ₹ 12,000 में खरीदा गया और ₹13500 में बेचा गया।
(c) एक अलमारी ₹ 2500 में खरीदी गई और ₹ 3000 में बेची गई।
(d) एक स्कर्ट ₹250 में खरीदकर ₹150 में बेची गई।
हल:
(a) कैंची का क्रय मूल्य = ₹250,
विक्रय मूल्य = ₹325
∴ विक्रय > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
= ₹325 – ₹250 = ₹ 75

(b) क्रय मूल्य = ₹ 12000
विक्रय मूल्य = ₹ 13500
∴ विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य-क्रय मूल्य
= ₹ 13,500 – ₹12,000
= ₹ 1,500

(c) क्रय मूल्य = ₹ 2500, विक्रय मूल्य = ₹ 3000
∴ विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
= ₹3000 – ₹2500
= ₹500

(d) क्रय मूल्य = ₹250, विक्रय मूल्य = ₹ 150
∴ विक्रय मूल्य < क्रय मूल्य
∴ हानि = क्रय मूल्य – विक्रय मूल्य
= ₹250 – ₹150
= ₹ 100

प्रश्न 2.
दिए गए प्रत्येक अनुपात के दोनों पदों को प्रतिशत में बदलिए:
(a) 3:1
(b) 2:3:5
(c) 1:4
(d) 1:2:5
हल:
(a) अनुपात = 3:1, कुल भाग = 3 + 1 = 4
अतः पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 4 } \) × 100% = 75%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 100% = 25%

(b) अनुपात = 2:3:5, कुल भाग = 2 + 3 + 5 = 10
अत: पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 2 }{ 10 } \) × 100% = 20%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 10 } \) × 100% = 30%
तीसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 5 }{ 10 } \) × 100% = 50%

(c) अनुपात = 1:4, कुल भाग = 1 + 4 = 5
अत: पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 5 } \) × 100% = 20%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 4 }{ 5 } \) × 100% = 80%

(d) अनुपात = 1:2:5, कुल भाग = 1 + 2 + 5 = 8
अतः पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 8 } \) × 100% = 12.5%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 2 }{ 8 } \) × 100% = 25%
तीसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 5 }{ 8 } \) × 100% – 62.5%

प्रश्न 3.
एक नगर की जनसंख्या 25,000 से घटकर 24,500 रह गई। घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल:
नगर की जनसंख्या = 25,000
घटी हुई जनसंख्या = 24,500
जनसंख्या में कमी = 25,000 – 24,500 = 500

प्रश्न 4.
अरुण ने एक कार ₹3,50,000 में खरीदी। अगले वर्ष उसका मूल्य बढ़कर ₹3,70,000 हो गया। कार के मूल्य की प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
हल:
कार का क्रय मूल्य = ₹3,50,000
कार का बढ़ा हुआ मूल्य = ₹ 3,70,000
कार के मूल्य में वृद्धि = ₹3,70,000 – ₹3,50,000
= ₹20,000
कार के मूल्य में प्रतिशत वृद्धि

प्रश्न 5.
मैंने एक टी.वी. ₹ 10,000 में खरीदकर 20 प्रतिशत लाभ पर बेच दिया। मुझे बेचने पर कितना धन प्राप्त हुआ ?
हल:
टी.वी. का क्रय मूल्य = ₹10,000,
लाभ प्रतिशत = 20%
लाभ = ₹ 10000 का 20%
= \(\frac { 20 }{ 100 } \) × 10,000 = ₹2,000
अब, विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ
= ₹10,000 + ₹2,000
= ₹ 12,000

प्रश्न 6.
जूही एक वाशिंग मशीन ₹ 13,500 में बेचने पर 20 प्रतिशत की हानि उठाती है। उसने वह मशीन कितने में खरीदी थी?
हल:
वाशिंग मशीन का विक्रय मूल्य = ₹13,500
हानि = 20%, क्रय मूल्य = ?
अब, माना कि क्रय मूल्य = ₹x
हानि = ₹x का 20%
= \(\frac { 20 }{ 100 } \) × x% = \(\frac { x }{ 5 } \)%
क्रय मूल्य – हानि = विक्रय मूल्य
₹ x – \(\frac { x }{ 5 } \) = ₹ 13,500
₹ \(\frac { 4 }{ 5 } \) x = ₹ 13,500
∴ क्रय मूल्य x = \(\frac{13,500 \times 5}{4}\)
= ₹ 16,875

प्रश्न 7.
(1) चाक पाउडर में कैल्शियम, कार्बन तथा ऑक्सीजन का अनुपात 10:3:12 होता है। इसमें कार्बन की प्रतिशत मात्रा ज्ञात कीजिए।
(ii) पाक की एक छड़ी में यदि कार्बन की मात्रा 3 gm है, तब उसका कुल भार कितना होगा?
हल:
(i) चाक पाउडर में कैल्शियम, कार्बन तथा ऑक्सीजन : का अनुपात = 10:3:12
अनुपात का योग = 10 + 3 + 12 = 25
चाक पाउडर में कार्बन का % = \(\frac { 3 }{ 25 } \) × 100%
= 12%
(ii) माना कि चाक की छड़ी का भार = x ग्राम
अब, x का 12% = \(\frac { 12 }{ 100 } \) × x
∴ \(\frac { 12 }{ 100 } \) x = 3 gm
या x = \(\frac{3 \times 100}{12}\) = 25gm
अत: चाक की छड़ी का भार = 25 gm

प्रश्न 8.
अमीना एक पुस्तक ₹275 में खरीदकर उसे 15 प्रतिशत हानि पर बेचती है। पुस्तक का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
पुस्तक का क्रय मूल्य = ₹275, हानि = 15%
∴ हानि = ₹275 × \(\frac { 15 }{ 100 } \)
= ₹ \(\frac { 165 }{ 4 } \) = ₹ 41.25
अब, विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य – हानि
= ₹ 275 – ₹41.25
= ₹ 233.75

प्रश्न 9.
प्रत्येक दशा में 3 वर्ष बाद कितना मिश्रधन देय होगा?
(a) मूलधन = ₹ 1,200, दर = 12%, वार्षिक
(b) मूलधन = ₹ 7,500, दर = 5% वार्षिक
हल:
(a) मूलधन (P) = ₹ 1,200, दर (R) = 12%, समय (T) = 3 वर्ष

अब, मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
= ₹ 1,200 + ₹432 = ₹ 1,632

(b) मूलधन (P) = ₹ 7,500, दर (R) = 5%, समय (T) = 3 वर्ष

अब, मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
= ₹ 7,500 + ₹ 1,125
= ₹ 8,625

प्रश्न 10.
₹ 56,000 पर, 2 वर्ष पश्चात् किस दर से ₹ 280 साधारण ब्याज देय होगा ?
हल:
मूलधन (P) = ₹ 56000, समय (T) = 2 वर्ष, साधारण ब्याज = ₹ 280

प्रश्न 11.
मीना ने 9 प्रतिशत वार्षिक दर से, 1 वर्ष पश्चात् ₹ 45 ब्याज के रूप में दिए। उसने कितना धन उधार लिया था ?
हल:
दर (R) = 9% वार्षिक, समय (T) = 1 वर्ष, साधारण ब्याज = ₹45

अतः मीना ने ₹ 500 उधार लिए थे।

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.2

प्रश्न 1.
दी गई भिन्न संख्याओं को प्रतिशत में बदलो :
(a) \(\frac { 1 }{ 8 } \)
(b) \(\frac { 5 }{ 4 } \)
(c) \(\frac { 3 }{ 40 } \)
(d) \(\frac { 2 }{ 7 } \)
हल:
(a) \(\frac { 1 }{ 8 } \) = \(\frac { 1 }{ 8 } \) × \(\frac { 100 }{ 100 } \) = \(\frac { 100 }{ 8 } \) % = \(\frac { 25 }{ 2 } \) % = 12.5%

(b) \(\frac { 5 }{ 4 } \) = \(\frac { 5 }{ 4 } \) × \(\frac { 100 }{ 100 } \) = \(\frac{5 \times 100}{4}\)% = 125%

(c) \(\frac { 3 }{ 40 } \) = \(\frac { 3 }{ 40 } \) × \(\frac { 100 }{ 100 } \) = \(\frac{3 \times 100}{40}\)% = 7.5%

(d) \(\frac { 2 }{ 7 } \) = \(\frac { 2 }{ 7 } \) × \(\frac { 100 }{ 100 } \) = \(\frac { 200 }{ 7 } \)% = 28\(\frac { 4 }{ 7 } \)%

प्रश्न 2.
दी गई दशमलव भिन्नों को प्रतिशत में बदलो:
(a) 0.65
(b) 2.1
(c) 0.02
(d) 12.35
हल:
(a) 0.65 = \(\frac { 65 }{ 100 } \) = \(\frac { 65 }{ 100 } \) × 100% = 65%
(b) 2.1 = \(\frac { 21 }{ 10 } \) = \(\frac { 21 }{ 10 } \) × 100% = 210%
(c) 0.02 = \(\frac { 2 }{ 100 } \) = \(\frac { 2 }{ 100 } \) × 100% = 2%
(d) 12.35 = \(\frac { 1235 }{ 100 } \) = \(\frac { 1235 }{ 100 } \) × 100% = 1235%

प्रश्न 3.
अनुमान लगाइए कि आकृति का कितना भाग रंग दिया गया है और इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत रंगीन है।

हल:
(i) ∵ रंगीन भाग = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
∴ रंगे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 100% = 25%
अतः रंगीन भाग 25% है।

(ii) ∵ रंगीन भाग = \(\frac { 3 }{ 5 } \)
∴ रंगे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 5 } \) × 100% = 60%
अतः रंगीन भाग 60% है।

(iii) यहाँ 8 में से 3 भाग रंगीन हैं।
∴ रंगीन भाग = \(\frac { 3 }{ 8 } \)
∴ रंगे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 8 } \) × 100% = \(\frac { 75 }{ 2 } \) %
= 37.5%
अत: रंगीन भाग 37.5% है।

प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए:
(a) 250 का 15%
(b) 1 घण्टे का 1%
(c) 2500 का 20%
(d) 1 किग्रा का 75%
हल:
(a) 250 का 15% = \(\frac { 15 }{ 100 } \) × 250
= \(\frac { 75 }{ 2 } \) = 37.5%

(b) 1 घण्टे का 1% = \(\frac { 1 }{ 100 } \) × 1 घण्टे
= \(\frac { 1 }{ 100 } \) × 60 मिनट
= \(\frac { 3 }{ 5 } \) मिनट
= \(\frac { 3 }{ 5 } \) × 60 सेकण्ड
= 36 सेकण्ड

(c) 2500 का 20% = \(\frac { 20 }{ 100 } \) × 2500 = 500

(d) 1 किग्रा का 75% = \(\frac { 75 }{ 100 } \) × 1 किग्रा
= 0.75 किग्रा
= 0.75 × 1000 ग्राम = 750 ग्राम

प्रश्न 5.
सम्पूर्ण राशि ज्ञात कीजिए, यदि
(a) इसका 5%, 600 है।
(b) इसका 12%, 1080 है।
(c) इसका 40%,500 km है।
(d) इसका 70%, 14 मिनट है।
(e) इसका 8%, 40 लीटर है।
हल:
(a) माना कि सम्पूर्ण राशि x है।
∴ x का 5% = 600
या \(\frac { 5 }{ 100 } \) × x = 600
या x = \(\frac{600 \times 100}{5}\) = 12000
अत: अभीष्ट राशि 12000 है।

(b) मानाकि सम्पूर्ण राशि x है।
∴ x का 12% = 1080
या \(\frac { 12 }{ 100 } \) × x = 1080
या x = \(\frac{1080 \times 100}{12}\) = 9000
अतः अभीष्ट राशि 9000 है।

(c) मानाकि सम्पूर्ण राशि x है।
∴ x का 40% = 500 km
या \(\frac { 40 }{ 100 } \) × x = 500 km
या x = \(\frac{500 \times 100}{40}\) km = 1250 km
अतः अभीष्ट राशि 1250 km है।

(d) मानाकि सम्पूर्ण राशि x है।
∴ x का 70% = 14 मिनट या \(\frac { 70 }{ 100 } \) × x = 14 मिनट
या x = \(\frac{14 \times 100}{70}\) मिनट = 20 मिनट
अतः अभीष्ट राशि 20 मिनट है।

(e) मानाकि सम्पूर्ण राशि x है।
∴ x का 8% = 40 लीटर
या \(\frac { 8 }{ 100 } \) × x = 40 लीटर
या x = \(\frac{40 \times 100}{8}\) लीटर = 500 लीटर
अतः अभीष्ट राशि 500 लीटर है।

प्रश्न 6.
दिए गए प्रतिशतों को साधारण व दशमलव भिन्नों में बदलो और अपने उत्तर को सरलतम रूप में लिखो :
(a) 25%
(b) 150%
(c) 20%
(d) 5%
हल:
(a) साधारण भिन्न – 25% = \(\frac { 25 }{ 100 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
दशमलव भिन्न = \(\frac { 1 }{ 4 } \) = 0.25

(b) साधारण भिन्न – 150% = \(\frac { 150% }{ 100 } \) = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
दशमलव भिन्न – \(\frac { 3 }{ 2 } \) = 1.5

(c) साधारण भिन्न – 20% = \(\frac { 20 }{ 100 } \) = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
दशमलव भिन्न- \(\frac { 1 }{ 5 } \) = 0.20

(d) साधारण भिन्न – 5% = \(\frac { 5 }{ 100 } \) = \(\frac { 1 }{ 20 } \)
दशमलव भिन्न – \(\frac { 1 }{ 20 } \) = 0.05

प्रश्न 7.
एक नगर में 30% महिलाएं, 40% पुरुष तथा शेष बच्चे हैं। बच्चों का प्रतिशत कितना है ?
हल:
∴ महिलाएँ = 30% तथा पुरुष = 40%
∴ बच्चों का प्रतिशत = 100% – (30% + 40%)
= 100% – 70% = 30%

प्रश्न 8.
किसी क्षेत्र के 15,000 मतदाताओं में से 60% ने मतदान में भाग लिया। ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत ने मतदान में भाग नहीं लिया। क्या अब ज्ञात कर सकते हैं कि वास्तव में कितने मतदाताओं ने मतदान नहीं किया ?
हल:
कुल मतदाता = 15,000
मतदान करने वाले मतदाताओं का प्रतिशत = 60%
∴ मतदान न करने वाले मतदाताओं का प्रतिशत
= 100% – 60% = 40%
मतदान न करने वाले मतदाताओं की संख्या
= 15000 का 40%
= \(\frac { 40 }{ 100 } \) × 15000 = 6000
अत: 6000 मतदाताओं ने मतदान नहीं किया।

प्रश्न 9.
मीता अपने वेतन में से ₹ 4000 बचाती है। यदि यह उसके वेतन का 10% है, तब उसका वेतन कितना है ?
हल:
माना कि उसका वेतन ₹ है।
उसकी बचत = वेतन का 10%
∴ x का 10% = ₹4000
या \(\frac { 10 }{ 100 } \) × x = ₹4000
या x = ₹ \(\frac{4000 \times 100}{10}\) = ₹40000
अत: उसका वेतन ₹40000 है।

प्रश्न 10.
एक स्थानीय क्रिकेट टीम ने, एक सत्र (Season) में 20 मैच खेले। इनमें से उस टीम ने 25% मैच जीते। जीते गए मैचों की संख्या कितनी थी ?
हल:
कुल खेले गये मैचों की संख्या = 20
टीम द्वारा जीते गए मैच = 25%
∴ जीते गए मैचों की संख्या = 20 का 25%
= \(\frac { 25 }{ 100 } \) × 20 = 5
अत: टीम ने 5 मैच जीते।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 179

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
15 मिठाइयों को मनु तथा सोनू में इस प्रकार बाँटिए कि उन्हें कुल का क्रमशः 20% तथा 80% मिले।
हल:
कुल मिठाइयों की संख्या = 15
मनु का हिस्सा = 15 का 20%
= \(\frac { 20 }{ 100 } \) × 15
= 3 मिठाइयाँ
सोनू का हिस्सा = 15 का 80%
= \(\frac { 80 }{ 100 } \) × 15
= 12 मिठाइयाँ

प्रश्न 2.
यदि किसी त्रिभुज के कोणों में अनुपात 2:3:4 है तब उसके प्रत्येक कोण की माप क्या होगी?
हल:
∵ त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग = 180°
त्रिभुज के कोणों का अनुपात = 2:3:4
अनुपात का योग = 2 + 3 + 4 = 9

अतः अभीष्ट कोण 40°, 60° और 80° हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 180

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
बढ़ने या घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए :
(i) कमीज का मूल्य ₹ 80 से घटकर 60 हो गया।
(ii) किसी परीक्षा में प्राप्तांक बढ़कर 20 से 30 हो गए।
हल:
(i) कमीज का वास्तविक मूल्य = ₹ 80
कमीज का नया मूल्य = ₹60
कमीज के मूल्य में कमी = ₹80 – ₹60 = ₹20

(ii) मूल प्राप्तांक = 20
नये प्राप्तांक = 30
प्राप्तांक में वृद्धि = 30 – 20 = 10

प्रश्न 2.
मेरी माताजी कहती हैं कि उनके बचपन, के समय पैट्रोल की दर ₹ 1 प्रति लीटर थी और आजकल यह ₹52 प्रति लीटर है। पैट्रोल की दर में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई ?
हल:
पैट्रोल का पहले का मूल्य = ₹ 1 प्रति लीटर
पैट्रोल का नया मूल्य = ₹52 प्रति लीटर
पैट्रोल के मूल्य में वृद्धि =₹52 – ₹ 1 = ₹51

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 183

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक दुकानदार ने एक कुर्सी ₹ 375 में खरीदी तथा ₹ 400 में बेच दी। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल:
कुर्सी का क्रय मूल्य = ₹ 375
कुर्सी का विक्रय मूल्य = ₹ 400
∴ विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य
∴ लाभ = ₹400 – ₹375 = ₹25

प्रश्न 2.
एक वस्तु ₹50 में क्रय की गई तथा 12 प्रतिशत लाभ पर बेच दी गई। उसका विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
वस्तु का क्रय मूल्य = ₹50, लाभ = 12%
∴ ₹50 पर लाभ = ₹50 का 12%
= \(\frac { 12 }{ 100 } \) × ₹50 = ₹6
अत: वस्तु का विक्रय मूल्य = ₹50 + ₹6 = ₹56

प्रश्न 3.
एक वस्तु ₹ 250 में बेचने पर 5 प्रतिशत लाभ प्राप्त हुआ। उसका क्रय मूल्य क्या था?
हल:
वस्तु का विक्रय मूल्य = ₹250, लाभ = 5%
माना कि क्रय मूल्य x रूपया है।
लाभ = x का 5%
= \(\frac { 5 }{ 100 } \) × x = ₹ \(\frac { x }{ 20 } \)
∴ विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ
∴ ₹ 250 = ₹x + ₹\(\frac { x }{ 20 } \)
या ₹250 = ₹ \(\frac { 21x }{ 20 } \)
या x = ₹ \(\frac{250 \times 20}{21}\) = ₹ 238 \(\frac { 2 }{ 21 } \)
अत: वस्तु का क्रय मूल्य = ₹ 238 \(\frac { 2 }{ 21 } \)

प्रश्न 4.
एक वस्तु 5 प्रतिशत हानि उठाकर ₹ 540 में बेची गई। उसका क्रय मूल्य क्या था ?
हल:
वस्तु का विक्रय मूल्य = ₹ 540, हानि = 5%
माना कि वस्तु का क्रय मूल्य = ₹ x
हानि = ₹ x का 5% = \(\frac { 5 }{ 100 } \) × x = ₹ \(\frac { x }{ 20 } \)
∴ विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य – हानि
∴ ₹540 = ₹x – ₹\(\frac { x }{ 20 } \) = ₹ \(\frac { 19 }{ 20 } \)x
या x = ₹ \(\frac{540 \times 20}{19}\) = ₹ 568 \(\frac { 8 }{ 19 } \)
अत: वस्तु का क्रय मूल्य = 568 \(\frac { 8 }{ 19 } \)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 185

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
₹ 10000, 5 प्रतिशत वार्षिक दर से जमा किए जाते हैं। एक वर्ष बाद कितना ब्याज प्राप्त होगा?
हल:
मूलधन (P) = ₹10000, दर R = 5%,
समय (T) = 1 वर्ष

प्रश्न 2.
₹ 3500, 7 प्रतिशत वार्षिक दर से उधार दिए जाते हैं। दो वर्ष बाद कितना साधारण ब्याज देय होगा?
हल:
मूलधन (P) = ₹ 3500, दर (R) = 7%, समय (T) = 2 वर्ष

प्रश्न 3.
₹ 6,050, 6.5 प्रतिशत वार्षिक दर से उधार लिए जाते हैं। 3 वर्ष बाद कितना ब्याज तथा कितना मिश्रधन देय होगा?
हल:
मूलधन (P) = ₹ 6050, दर (R) = 6.5%, समय (T) = 3 वर्ष

∴ मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
∴ मिश्रधन = ₹6050 + ₹ 1179.75
= ₹7229.75

प्रश्न 4.
₹ 7000, 3.5 प्रतिशत वार्षिक दर से दो वर्ष के लिए उधार लिए जाते हैं। दो वर्ष बाद कितना मिश्रधन देय होगा?
हल:
मूलधन (P) = ₹ 7000, दर (R) = 3.5%, समय (T) = 2 वर्ष

∴ मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
∴ मिश्रधन = ₹7,000 + ₹490
= ₹7,490

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 186

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
आपके बैंक खाते में ₹ 2,400 जमा हैं तथा ब्याज की दर 5 प्रतिशत वार्षिक है। कितने वर्षों बाद ब्याज की राशि ₹ 240 होगी?
हल:
यहाँ, मूलधन (P) = ₹ 2,400, दर (R) = 5%, ब्याज (S.I.) = ₹240, समय (T) = ?

प्रश्न 2.
किसी धन का 5 प्रतिशत वार्षिक दर से 3 वर्ष का ब्याज ₹ 450 होता है। वह धन ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, दर (R) = 5%, समय (T) = 3 वर्ष, साधारण ब्याज (S.I.) = ₹ 450, मूलधन (P) = ?

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.1

प्रश्न 1.
अनुपात ज्ञात कीजिए :
(a) ₹ 5 का 50 पैसे से
(b) 15 kg का 210g से
(c) 9 m का 27 cm से
(d) 30 दिनों का 36 घण्टों से
हल:
(a) ₹5 का 50 पैसे से,
= ₹ 5 : 50 पैसे
= 5 × 100 पैसे : 50 पैसे (∵ 1 रुपया = 100 पैसे)
= 500 : 50 = \(\frac { 500 }{ 50 } \) : \(\frac { 50 }{ 50 } \)
(∵500 और 50 का म. स. = 50)
= 10 : 1

(b) 15 kg का 210 g से
= 15 kg : 210g = 15 × 1000g : 210g (∵ 1 kg = 1000g)
= 15000 : 210 = \(\frac { 15000 }{ 30 } \) : \(\frac { 210 }{ 30 } \)
(∵ 15000 और 210 का म. स. = 30)
= 500 : 7

(c) 9 m का 27 cm से,
= 9 m : 27 cm = 9 × 100 cm : 27 cm (∵ 1 m = 100 cm)
= 900 : 27 = \(\frac { 900 }{ 90 } \) : \(\frac { 27 }{ 9 } \) (∵ 900 और 27 का म .स. = 9)
= 100 : 3

(d) 30 दिनों का 36 घण्टे से
= 30 दिन : 36 घण्टे = 30 × 24 घण्टे : 36 घण्टे (∵ 1 दिन = 24 घण्टे)
= 720 घण्टे : 36 घण्टे = \(\frac { 720 }{ 36 } \) : \(\frac { 36 }{ 36 } \)
(∵ 720 और 36 का म. स. = 36)
= 20 : 1

प्रश्न 2.
एक कम्प्यूटर प्रयोगशाला में 6 विद्यार्थियों के लिए 3 कम्प्यूटर होने चाहिए। ज्ञात कीजिए कि 24 विद्यार्थियों के लिए कितने कम्प्यूटरों की आवश्यकता होगी?
हल:
माना कि आवश्यक कम्प्यूटर = x
∴ 3 : x = 6 : 24
या x × 6 = 3 × 24
या x = \(\frac{3 \times 24}{6}\) = 12
अतः अभीष्ट कम्प्यूटरों की संख्या = 12

प्रश्न 3.
राजस्थान की जनसंख्या = 570 लाख और उत्तर प्रदेश की जनसंख्या = 1660 लाख; राजस्थान का क्षेत्रफल = 3 लाख km² और उत्तर प्रदेश का क्षेत्रफल = 2 लाख km² ज्ञात कीजिए :
(i) इन दोनों राज्यों में प्रति km2 कितने व्यक्ति हैं ?
(ii) किस राज्य की जनसंख्या कम घनी है ?
हल:
(i) राजस्थान की जनसंख्या = 570 लाख, राजस्थान का क्षेत्रफल = 3 लाख km²
∴ प्रति km² में व्यक्तियों की संख्या
= \(\frac { 570 }{ 3 } \) = 190 लाख प्रति km²
उत्तर प्रदेश की जनसंख्या = 1660 लाख, उत्तर प्रदेश का क्षेत्रफल = 2 लाख km²
∴ प्रति km² में व्यक्तियों की संख्या
= \(\frac { 1660 }{ 2 } \) = 830 लाख प्रति km²

(ii) ∵ 190 लाख < 830 लाख
अत: राजस्थान की जनसंख्या कम घनी है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 170

रीना एक मेज के ऊपरी भाग (टॉप) को बनाने के लिए 100 भिन्न-भिन्न रंगों वाली टाइलें प्रयोग करती है। उसने पीले, हरे, लाल और नीले रंग वाली टाइलें अलग-अलग गिनीं और एक तालिका में निम्न प्रकार लिखा। क्या आप इस तालिका को पूरी करने में उसकी सहायता करेंगे ?
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 171

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न आँकड़ों के लिए विभिन्न ऊँचाई वाले बच्चों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
एक दुकान में विभिन्न मापों वाले जूतों की जोडियों की संख्या निम्न प्रकार है-माप 2:20, माप 3:30, माप 4:28, माप 5:14, माप 6:8.
इस सूचना को ऊपर की भाँति एक तालिका के रूप में लिखिए और दुकान में उपलब्ध जूते की हर माप को प्रतिशतता में भी ज्ञात कीजिए।
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 172

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
विभिन्न रंगों वाली 10 टुकड़ों (Chips) का संग्रह इस प्रकार से है:

तालिका पूर्ण कीजिए तथा प्रत्येक रंग वाले टुकड़ों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ (G) = 4, (B) = 3, तथा (R) = 3, योग = 10

प्रश्न 2.
माला के पास चूड़ियों का एक संग्रह है जिनमें 20 सोने तथा 10 चाँदी की चूड़ियाँ हैं। प्रत्येक प्रकार की चूड़ियों का प्रतिशत क्या है ? क्या आप इसके लिए भी ऊपर की तरह तालिका बना सकते हैं ?
हल:
हाँ, तालिका बना सकते हैं।
आँकड़ों को तालिका के रूप में रखने पर,

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या #173

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
निम्न उदाहरणों को ध्यान से देखिए और चर्चा कीजिए कि उनमें प्रत्येक के लिए कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है ?
1. वातावरण में, 1 gm वायु में उपस्थित हैं:
0-78 ग्राम नाइट्रोजन अथवा 78% नाइट्रोजन
0-21 ग्राम ऑक्सीजन अथवा 21% ऑक्सीजन
0-01 ग्राम अन्य गैस अथवा 1% अन्य गैस

2. एक कमीज के कपड़े में होते है :
\(\frac { 3 }{ 5 } \) सूती अथवा 60% सूती
\(\frac { 2 }{ 5 } \) अथवा 40% पॉलिस्टर
उत्तर:
दोनों उदाहरणों की तुलना करने पर दूसरी विधि अर्थात् प्रतिशत विधि अधिक उपयुक्त है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 174

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न (i) क्या आप किसी ‘केक’ (Cake) का 50% खा सकते हैं ?
क्या आप किसी केक’ (Cake) का 100% खा सकते है ?
क्या आप किसी ‘केक’ (Cake) का 150% खा सकते है ?
(ii) क्या किसी वस्तु का मूल्य 50% बढ़ सकता है ?
क्या किसी वस्तु का मूल्य 100% बढ़ सकता है ?
क्या किसी वस्तु का मूल्य 150% बढ़ सकता है ?
उत्तर:
(i) जब हम भागों के बारे में सोचते हैं तो यह 100% या इससे कम होता है। अतः
हम किसी केक का 50% खा सकते हैं।
हम किसी केक का 100% खा सकते हैं।
हम किसी केक का 150% नहीं खा सकते हैं।
(ii) जब हम किसी वस्तु के मूल्य में बढ़ोत्तरी के बारे में सोचते हैं, तो बढोत्तरी में प्रतिशत 100% से ज्यादा हो सकता है। अतः
किसी वस्तु का मूल्य 50% बढ़ सकता है।
किसी वस्तु का मूल्य 100% बढ़ सकता है।
किसी वस्तु का मूल्य 150% बढ़ सकता है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को प्रतिशत में बदलिए:
(a) \(\frac { 12 }{ 16 } \)
(b) 3.5
(c) \(\frac { 49 }{ 50 } \)
(d) \(\frac { 2 }{ 2 } \)
(e) 0.05
उत्तर:
(a) \(\frac { 12 }{ 16 } \) = \(\frac { 12 }{ 16 } \) × 100% = 75%
(b) 3.5 = 3.5 × 100% = 350%
(c) \(\frac { 49 }{ 50 } \) = \(\frac { 49 }{ 50 } \) × 100% = 98%
(d) \(\frac { 2 }{ 2 } \) = \(\frac { 2 }{ 2 } \) × 100% = 100%
(e) 0.05 = 0.05 × 100% = 100%

प्रश्न 2.
(i) 32 विद्यार्थियों में 8 अनुपस्थित हैं। विद्यार्थियों का क्या प्रतिशत अनुपस्थित है ?
(ii) 25 रेडियो सैट में 16 खराब हैं। खराब रेडियों सैटों का प्रतिशत क्या है ?
(ii) एक दुकान में 500 पुर्जे हैं जिनमें से 5 बेकार हैं। बेकार पुों का प्रतिशत क्या है ?
(iv) 120 मतदाताओं में से 90 ने ‘हाँ’ में मत दिया। कितने प्रतिशत ने ‘हाँ’ में मत दिया ?
हल:
(i) अनुपस्थित विद्यार्थियों का प्रतिशत
= \(\frac { 8 }{ 32 } \) × 100% = 25%

(ii) खराब रेडियों सैटों का प्रतिशत
= \(\frac { 16 }{ 25 } \) × 100% = 64%

(iii) खराब पुर्जी का प्रतिशत
= \(\frac { 5 }{ 500 } \) × 100% = 1%

(iv) ‘हाँ’ में मत देने वालों का प्रतिशत
= \(\frac { 90 }{ 120 } \) × 100% = 75%

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 175

प्रश्न 1.
निम्न तालिका को ध्यान से देखकर पूरा कीजिए :
हल:

प्रश्न 2.
ऐसे कुछ अन्य उदाहरण बनाइए और उन्हें हल भी कीजिए।
हलः
अन्य उदाहरण:

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
35% + ….% = 100%
64% + 20% + ….% = 100%
45% = 100% – ….%
70% = ….. % – 30%
हल:
35% + 65% = 100%
64% + 20%+16% = 100%
45% = 100%-55%
70% = 100%-30%

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के विद्यार्थियों में 65% के पास साइकिलें हैं। कितने प्रतिशत विद्यार्थियों के पास साइकिलें नहीं हैं ?
हल:
विद्यार्थी जिनके पास साइकिलें हैं = 65%
शेष विद्यार्थी = 100%-65%= 35%
अत: 35% विद्यार्थियों के पास साइकिलें नहीं हैं।

प्रश्न 3.
हमारे पास सेब, सन्तरों तथा आमों से भरी एक टोकरी है। यदि उसमें 50% सेब तथा 30% सन्तरे हैं, तब आमों का प्रतिशत कितना है?
हल:
सेबों का प्रतिशत = 50%, संतरों का प्रतिशत = 30%
सेबों तथा संतरों का कुल प्रतिशत = 50% + 30% = 80%
∴ आमों का प्रतिशत = 100%-80% = 20%
अत: टोकरी में आमों का प्रतिशत 20% है।

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
एक परिधान के बनाने पर हुए व्यय को देखिए। कढ़ाई पर 20%, कपड़े पर 50%, सिलाई पर 30%। क्या आप कुछ अन्य ऐसे ही उदाहरण दे सकते हैं।
उदाहरण – (i) पढ़ाई पर व्यय-फीस =50%, वाहन = 15%, किताबें व स्टेशनरी = 35%
(ii) भोजन पर व्यय-भोजन सामग्री = 60%, मजदूरी = 10%, गैस = 20%, मसाले = 10%

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 176

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों का कितने प्रतिशत छायांकित है ?

चित्र 8.1
हल:
(i) छायांकित भाग = \(\frac { 1 }{ 4 } \) + \(\frac { 1 }{ 4 } \) + \(\frac { 1 }{ 4 } \) = \(\frac { 3 }{ 4 } \)
छायांकित भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 4 } \) × 100% = 75%
(ii) छायांकित भाग = \(\frac { 1 }{ 4 } \) + \(\frac { 1 }{ 8 } \) + \(\frac { 1 }{ 8 } \) = \(\frac { 2+1+1 }{ 8 } \) = \(\frac { 4 }{ 8 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

छायांकित भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 100% = 50%

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 177

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए :
(a) 164 का 50%
(b) 12 का 75%
(c) 64 का 125%
हल:
(a) 164 का 50% = \(\frac { 50 }{ 100 } \) × 164
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 164 = 82

(b) 12 का 75% = \(\frac { 75 }{ 100 } \) × 12
= \(\frac { 3 }{ 4 } \) × 12 = 3 × 39

(c) 64 का 12 \(\frac { 1 }{ 2 } \)% = \(=\frac{12 \frac{1}{2}}{100} \times 64\)
= \(\frac { 25 }{ 2 } \) × \(\frac { 1 }{ 100 } \) 64 = 8

प्रश्न 2.
25 बच्चों की कक्षा में 8% बच्चे वर्षा में भीगना पसंद करते हैं। वर्षा में भीगने वाले बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्षा में भीगने वाले बच्चे = 25 का 8%
= \(\frac { 8 }{ 100 } \) × 25 = \(\frac { 8 }{ 4 } \) × 1 = 2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 178

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
9 किस संख्या का 25% है ?
हल:
मानाकि अभीष्ट संख्या x है।
∴ x का 25% = 9
या \(\frac { 25 }{ 100 } \) × x = 9
या x = \(\frac{9 \times 100}{25}\) = 9 × 4 = 36
अतः अभीष्ट संख्या 36 है।

प्रश्न 2.
15 किस संख्या का 75% है ?
हल:
मानाकि अभीष्ट संख्या x है।
∴ x का 75% = 15
या \(\frac { 75 }{ 100 } \) × x = 15
या x = \(\frac{15 \times 100}{75}\) = \(\frac { 100 }{ 5 } \) = 20
अतः अभीष्ट संख्या 20 है।

MP Board Class 7th Maths Solutions