Category: Class 7

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 14 सममिति Ex 14.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आकृतियों में से किन आकृतियों में 1 से अधिक क्रम की घूर्णन सममिति है ?

हल:
यहाँ, आकृति (a), (b), (d), (e) और (f) में क्रम 1 से अधिक घूर्णन सममिति है।

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति में घूर्णन सममिति का क्रम बताइए।
हल:
(a) आकृति (i) में बिन्दु A अंकित किया। अब इस आकृति को X के अनुदिश दो स्थितियों (180° और 360°) में घुमाया जिससे कि यह अपनी मूल स्थिति में आ जाएगी।

∴ इसमें क्रम 2 की घूर्णन सममिति है।

(b) आकृति (i) में बिन्दु A अंकित किया। अब इस आकृति को X के अनुदिश दो स्थितियों (180° और 360°) में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।

∴ इसमें क्रम 2 की घूर्णन सममिति है।

(c) आकृति (1) में बिन्दु A अंकित किया। अब इस आकृति को x के अनुदिश तीन स्थितियों (120°, 240° और 360°) में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।

∴ इसमें क्रम 3 की घूर्णन सममिति है।

(d) आकृति (i) में बिन्दु A अंकित किया। अब इस आकृति को X के अनुदिश चार स्थितियों (90°, 180°, 270° और 360°) में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।


∴ इसमें क्रम 4 की घूर्णन सममिति है।

(e) पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति (e) को X के अनुदिश चार स्थितियों (90°, 180°, 270° और 360°) में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।
∴ इसमें क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी।

(f) पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति (f) को x के अनुदिश पाँच स्थितियों (72°, 144°, 216°, 288° और 360°) में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।
∴ इसमें क्रम 5 की घूर्णन आकृति है।

(g) पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति (g) में छः स्थितियाँ 60°, 120°, 180°, 240°, 300° और 360° घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी दिखाई देगी।
∴ इसमें क्रम 6 की घूर्णन सममिति होगी।

(h) पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति (h) में तीन स्थितियाँ 120°, 240° और 360° में घुमाने पर प्राप्त आकृति ठीक मूल आकृति जैसी प्राप्त होगी।
∴ इसमें क्रम 3 की घूर्णन सममिति होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 291-292

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
अंग्रेजी वर्णमाला के कुछ अक्षरों में अद्भुत एवं आकर्षक सममितीय संरचनाएँ (structures) हैं। किन बड़े अक्षरों में केवल एक ही सममित रेखा है (जैसे E)? किन बड़े अक्षरों में क्रम 2 की घूर्णन सममिति है (जैसे I) ?
उपर्युक्त प्रकार से सोचते हुए, आप निम्नलिखित सारणी को भरने में समर्थ पाएँगे :
हल:

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 14 सममिति Ex 14.1

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई छेद की हुई आकृतियों की प्रतिलिपियाँ बनाकर (खींचकर) उनमें से प्रत्येक की सममित रेखाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
सममित रेखाएँ बिन्दुकित रेखाओं से निरूपित हैं।

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों में सममित रेखा (रेखाएँ) दी हुई हैं। अन्य छेद ज्ञात कीजिए।
हल:
निम्नांकित आकृतियों में अन्य छेद दर्शाए गए हैं :

प्रश्न 3.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृतियों में दर्पण रेखा (अर्थात् सममित रेखा) बिन्दुकित रेखा के रूप में दी गई है। बिन्दुकित (दर्पण) रेखा में प्रत्येक आकृति का परावर्तन करके, प्रत्येक आकृति को पूरा कीजिए। (आप बिन्दुकित रेखा के अनुदिश एक दर्पण रख सकते हैं और फिर प्रतिबिम्ब (image) के लिए दर्पण में देख सकते हैं)। क्या आपको पूरी की गई आकृति का नाम याद है ?
हल:
प्रत्येक आकृति की पूर्ण आकृति (परावर्तित आकृति) दर्शाई गई है:

प्रश्न 4.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृतियों में से प्रत्येक में विविध सममित रेखाओं (यदि हों तो) की पहचान कीजिए।
हल:
निम्नांकित आकृतियों में विविध सममित रेखाएँ दर्शाई गई हैं:

प्रश्न 5.
पाठ्य-पुस्तक में दी हुई आकृति की प्रतिलिपि बनाइए। किसी एक विकर्ण की सममित रेखा लीजिए तथा कुछ और वर्गों को इस तरह छायांकित कीजिए कि यह आकृति इस विकर्ण के अनुदिश सममित हो जाए। क्या ऐसा करने की एक से अधिक विधियाँ हैं ? क्या यह आकृति दोनों विकर्णों के अनुदिश सममित होगी?
हल:

1. आकृति विकर्ण AC के अनुदिश सममित है।
2. चूँकि आकृति EF और GH के अनुदिश सममित हैं। अत: यह एक से अधिक रेखा के अनुदिश सममित है।
3. यह आकृति विकर्ण BD के भी अनुदिश सममित है।
   

प्रश्न 6.
पाठ्य-पुस्तक में दिये हुए आरेखों की प्रतिलिपियाँ बनाइए तथा प्रत्येक आकार को इस तरह पूरा कीजिए ताकि वह आकार दर्पण रेखा (या रेखाओं) के अनुदिश सममित हो।
हल:
आरेखों की दर्पण रेखा के अनुदिश सममिति निम्न प्रकार है:

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आकृतियों के लिए सममित रेखाओं की संख्याएँ बताइए:

(a) एक समबाहु त्रिभुज
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज
(c) एक विषमबाहु त्रिभुज
(d) एक वर्ग
(e) एक आयत
(f) एक समचतुर्भुज
(g) एक समान्तर चतुर्भुज
(h) एक चतुर्भुज
(i) एक समषट्भुज
(j) एक वृत्त

हल:

(a) एक समबाहु त्रिभुज – 3 सममित रेखाएँ
(b) एक समद्विबाहु त्रिभुज – 1 सममित रेखा
(c) एक विषमबाहु त्रिभुज – 0 (शून्य) समपित रेखा
(d) एक वर्ग – 4 सममित रेखाएँ
(e) एक आयत – 2 सममित रेखाएँ
(f) एक समचतुर्भुज – 2 सममित रेखाएँ
(g) एक समान्तर चतुर्भुज – 0 (शून्य) सममित रेखा
(h) एक चतुर्भुज – 0 (शून्य) सममित रेखा
(i) एक समषट्भुज – 6 सममित रेखाएँ
(j) एक वृत्त – असीमित सममित रेखाएँ

प्रश्न 8.
अंग्रेजी वर्णमाला के किन अक्षरों में निम्नलिखित के अनुदिश परावर्तन सममिति (दर्पण परावर्तन से सम्बन्धित सममिति) है :
(a) एक ऊर्ध्वाधर दर्पण
(b) एक क्षैतिज दर्पण
(c) ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दर्पण दोनों।
हल:
(a) एक ऊर्ध्वाधर दर्पण में निम्न अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों में परावर्तन सममिति है :
A, H, I, M, O, T, U, V, W,X और Y.

(b) क्षैतिज दर्पण के अनुदिश अंग्रेजी अक्षर, जिनमें परावर्तन सममिति है:
B,C, D, E, H, I,O और X.

(c) अंग्रेजी अक्षर, जिनमें ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दर्पणों के अनुदिश परावर्तन्द सममिति है :
H, I, O और X.

प्रश्न 9.
ऐसे आकारों के तीन उदाहरण दीजिए, जिनमें कोई सममित रेखा न हो।
उत्तर:
ऐसे आकार जिनमें सममित रेखा नहीं है :

1. एक विषमबाहु त्रिभुज
2. एक अनियमित चतुर्भुज
3. अक्षर F.

प्रश्न 10.
आप निम्नलिखित आकृतियों की सममित रेखा के लिए अन्य क्या नाम दे सकते हैं ?
(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज
(b) एक वृत्त।
उत्तर:

(a) माध्यिका
(b) वृत्त का व्यास।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 288 प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
(a) क्या अब आप एक समबाहु त्रिभुज के लिए, घूर्णन सममिति के क्रम को बता सकते हैं (संलग्न आकृति) ?

(b) जब उपरोक्त त्रिभुज को उसके केन्द्र के परितः (चारों ओर) 120° के कोण पर घुमाया जाता है, तो कितनी स्थितियों में त्रिभुज (स्थिति के अनुसार) पहले जैसा ही लगता है ?
हल:
(a) ∵ ऐसी तीन स्थितियाँ हैं जहाँ कि त्रिभुज एक जैसे दिखाई देंगे। अतः इसमें क्रम 3 की घूर्णन स्थितियाँ हैं। (120°,240°,360°)
(b) यहाँ केवल एक स्थिति होगी, जबकि त्रिभुज ठीक पहले जैसी स्थिति में दिखाई देगा, जबकि इसे केन्द्र के परितः 120° पर घुमाया जाएगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-से आकारों (संलग्न आकृति) में अंकित बिन्दुओं के परितः (चारों ओर) घूर्णन सममिति है।

हल:
क्योंकि हम जानते हैं कि जब कोई आकृति एक कोण के द्वारा एक बिन्दु पर घूर्णन करती है और पहले जैसी दिखाई देती है, तो उसे घूर्णन सममिति कहते हैं। इस प्रकार, आकृति (i), (ii) व (iv) में घूर्णन सममिति है।

इन्हें कीजिए

दो एक जैसे (सर्वांगसम चतुर्भुज खींचिए, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD एक कागज पर तथा दूसरा समान्तर चतुर्भुज A’B’C’D’ एक पारदर्शक शीट (Transparent sheet) पर। उनके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को क्रमशः 0 और 0′ से अंकित (या व्यक्त) कीजिए। समान्तर चतुर्भुजों को इस प्रकार रखिए कि A’ शीर्ष A पर रहे, B’ शीर्ष B पर रहे, इत्यादि।

इन आकारों में, अब बिन्दु O पर एक पिन लगाइए। अब पारदर्शक शीट को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाइए।

प्रश्न (i) एक पूरे चक्कर में पारदर्शकशीट पर बना आकार कागज पर बने आकार से कितनी बार संपाती होता है।
(ii) इसमें घूर्णन सममिति का क्या क्रम है ?
हल:
(i) जब हम पारदर्शक शीट को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाते हैं, तो दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं। पहली स्थिति में जब शीर्ष A’ शीर्ष A पर होता है और दूसरी स्थिति में शीर्ष A’ शीर्ष C पर होता है। इससे स्पष्ट होता है कि पूरा चक्कर घुमाने (360°) पर समान्तर चतुर्भुज की दो स्थितियाँ हैं, जहाँ यह एक जैसा दिखाई देगा।
(ii) इसमें क्रम 2 की घूर्णन सममिति होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 289

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
दी हुई आकृतियों के लिए x से अंकित बिन्दु के परितः घूर्णन सममिति का क्रम बताइए (संलग्न आकृति)।

हल:
जब आकृति (i) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति चार स्थितियों (90°, 180°,270° और 360°) में मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (i) में क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी।

जब आकृति (ii) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति तीन स्थितियों (120°, 240° और 360°) में | मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (ii) में क्रम 3 की घूर्णन सममिति होगी।

जब आकृति (iii) को अंकित बिन्दु के परितः घुमाया जाता है, तो यह आकृति दो स्थितियों (180° और 360°) में मूल आकृति जैसी दिखती है। अतः आकृति (iii) में क्रम 2 की घूर्णन सममिति होगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 290

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को प्रसारित रूप में लिखिए :
279404, 3006194, 2806196, 120719, 20068
हल:
(i) 279404
= 2 × 100000 + 7 × 10000 + 9 × 1000
+ 4 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1
= 2 × 105 + 7 × 104 + 9 × 103 + 4 × 10²
+ 0 × 101 + 4 × 100

(ii) 3006194
= 3 × 1000000 + 0 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 4 × 1
= 3 × 10⁶ + 0 × 10⁵ + 0 × 10⁴ + 6 × 10³
+ 1 × 10² + 9 × 10¹ + 4 × 10⁰

(ii) 2806196
= 2 × 1000000 + 8 × 100000 + 0 × 10000
+ 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 6 × 1
= 2 × 10⁶ + 8 × 10⁵ + 0 × 10⁴ + 6 × 10³
+ 1 × 10² + 9 × 10¹ + 6 × 10⁰

(iv) 120719
= 1 × 100000 + 2 × 10000 + 0 × 1000
+ 7 × 100 + 1 × 10 + 9 × 1
= 1 × 10⁵ + 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 7 × 10²
+ 1 × 10¹ + 9 × 10⁰

(v) 20068
= 2 × 10000 + 0 × 1000 + 0 × 100
+ 6 × 10 + 8 × 1 = 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 0 × 10²
+ 6 × 10¹ + 8 × 10⁰

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारित रूपों में से प्रत्येक के लिए संख्या ज्ञात कीजिए:
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
हल:
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
= 8 × 10000 + 6 × 1000 + 0 × 100 +4 × 10 + 5 × 1
= 80000 + 6000 + 0 + 40 + 5
= 86045

(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
= 4 × 100000 + 5 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 1
= 400000 + 5000 + 300 + 2
= 405302

(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
= 3 × 10000 + 7 × 100 + 5 × 1
= 30000 + 700 + 5
= 30705

(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
= 9 × 100000 + 2 × 100 + 3 × 10
= 900000 + 200 + 30
= 900230

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 5,00,00,000
(ii) 70,00,000
(iii) 3,18,65,00,000
(iv) 3,90,878
(v) 39087.8
(vi) 3908.78
हल:
(i) 5,00,00,000 = 5 × 10000000
= 5 × 10⁷

(ii) 70,00,000 = 7 × 1000000
= 7 × 10⁶

(iii) 3,18,65,00,000 = 3.186500000 × 10⁹
= 3.1865 × 10⁹

(iv) 3,90,878 = 3.90878 × 10⁵

(v) 39087.8 = 3.90878 × 10⁴

(vi) 3908.78 = 3.90878 × 10³

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में प्रकट होने वाली (आने वाली) संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी 3,84,000,000 m है।
(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल (या वेग) 3,00,000,000 m/sec है।
(c) पृथ्वी का व्यास 1,27,56,000 m है।
(d) सूर्य का व्यास 1,400,000,000 m है।
(e) एक आकाशगंगा में औसतन 100,000,000,000 तारे हैं।
(f) विश्व मण्डल (या सौर मण्डल) 12,000,000,000 वर्ष पुराना है।
(g) आकाशगंगा के मध्य से सूर्य की दूरी 300,000,000,000,000,000,000 m आंकलित की गई है।
(h) 1.8 g भार वाली पानी की एक बूंद में 60,230,000,000,000,000,000,000 अणु (molecules) होते हैं।
(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 km³ समुद्र जल है।
(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या 1,027,000,000 थी।
हल:
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी
= 3,84,000,000 m
= 3.84000,000 × 10⁸ = 3.84 m × 10⁸ m

(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल
= 3.00,000,000 m/sec = 3 × 10⁸ m/sec

(c) पृथ्वी का व्यास = 12756000 m
= 1.2756000 × 10⁷ m = 1.2756 × 10⁷ m

(d) सूर्य का व्यास = 1,400,000,000m
= 1.400,000,000 × 10⁹ m
= 1.4 × 10⁹ m

(e) एक आकाशगंगा में औसतन तारे
= 1,00.000.000,000 = 1 × 10¹¹

(f) विश्वमण्डल पुराना है = 12,000,000,000
= 1.2 × 10¹⁰ वर्ष

(g) आकाश गंगा से सूर्य की दूरी
= 300,000,000,000,000,000,000 m
= 3 × 10²⁰ m

(h) 1.8g भार वाली पानी की बँद में अण
= 60,230,000,000,000,000,000,000
= 6.023 × 10²²

(i) पृथ्वी में समुद्र जल
= 1,353,000,000 km³
= 1.353 × 10⁹ km³

(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या
= 1,027,000,000 = 1.027 × 10⁹

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸
(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
(iii) a³ × a²
(iv) 7^x × 7²
(v) (5²)³ ÷ 5³
(vi) 2⁵ × 5⁵
(vii) a⁴ × b⁴
(viii) (3⁴)³
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³
(x) 8^t ÷ 8²
हल:
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸ = 3²⁺⁴⁺⁸ = 3¹⁴
(∵ a^m × aⁿ × a^r = a^m+n+r)

(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6^15-10
(∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 6⁵

(iii) a³ × a² = a³⁺²
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)
= a⁵

(iv) 7^x × 7² = 7^x+2
(∵ a^m × aⁿ = a^m+n)

(v) (5²)³ ÷ 5³ = 5^2×3 ÷ 5³ = 5⁶ ÷ 5³
[∵ (a^m)ⁿ = a^mn, a^m ÷ aⁿ = a^m-n)]
= 5^6-3 = 5³

(vi) 2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= 10⁵

(vii) a⁴ × b⁴ = (a × b)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= (ab)⁴

(viii) (3⁴)³ = 3^4×3 [∵ (a) = (a^m)ⁿ = a^mn]
= 3¹²

(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³ = (2^20-15) × 2³
[∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n, a^m × aⁿ = a^m+n]
= 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 28

(x) 8^t ÷ 8² = 8^t-2 (∵ a^m + aⁿ = a^m-n)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:

हल:

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 10¹¹ = 100¹¹
(ii) 2³ > 5²
(iii) 2³ × 3² = 6⁵
(iv) 3⁰ = (1000)⁰
हल:
(i) L.H.S. = 10 × 10¹¹ = 10¹²
और R.H.S. = (100)¹¹ = (10²)¹¹
= 10^2×11 = 10²²
∴ 10 × 10¹¹ ≠ 100¹¹
अत: कथन असत्य है।
यहाँ L.H.S ≠ R. H. S.

(ii) L.H.S. = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
और R.H.S. = 5² = 5 × 5 = 25
यहाँ L.H.S. < R. H. S.
8 < 25 अर्थात् 2³ < 5²
अत: कथन असत्य है।

(iii) ∵ L.H.S. = 2³ × 3² = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 72
R.H.S. = 6⁵ = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7,776
यहाँ L.H.S. ≠ R.H.S.
∴ 72 ≠ 7,776 अर्थात् 2³ × 3² ≠ 6⁵
अत: कथन असत्य है।

(iv) 3⁰ = (1000)⁰
∵ 3⁰ = 1 और (1000)⁰ = 1
यहाँ L.H.S. = R.H.S.
∴ 3⁰ = (1000)⁰
अत: कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल:

∵ 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33
और 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁶ × 3
∴ 108 × 192 = 2² × 3³ × 2⁶ × 3
= 2⁸ × 3⁴

∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 3³ × 5

∵ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
∴ 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶

∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁸ × 3¹ = 2⁸ × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :

हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
10 की घातों का प्रयोग करते हुए घातांकीय रूप में प्रसारित कीजिए:
(i) 172
(ii) 5643
(iii) 56439
(iv) 176428
हल:
(i) 172 = 1 × 100 + 7 × 10 + 2 × 1
= 1 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰

(ii) 5643 = 5 × 1000 + 6 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1
= 5 × 10³ + 6 × 10² + 4 × 10¹ + 3 × 10⁰

(iii) 56439 = 5 × 10000 + 6 × 1000 + 4 × 100 +3 × 10 + 9 × 1
= 5 × 10⁴ + 6 × 10³ + 4 × 10² + 3 × 10¹ + 9 × 10⁰

(iv) 176428 = 1 × 100000 + 7 × 10000 + 6 × 1000 +4 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1
= 1 × 10⁵ + 7 × 10⁴ + 6 × 10³
+4 × 10² + 2 × 10¹ + 8 × 10⁰

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 279

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 2⁶
(ii) 9³
(iii) 11²
(iv) 5⁴
हल:
(i) 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(iii) 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 11² = 11 × 11 = 121
(iv) 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल:
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴
(ii) t × t = t²
(iii) b × b × b × b = b⁴
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 5² × 7³
(v) 2 × 2 × a × a = 2² × a²
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d = a³ × c⁴ × d

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 4³ या 3⁴
(ii) 5³ या 3⁵
(iii) 2⁸ या 8²
(iv) 100² या 2¹⁰⁰
(v) 2¹⁰ या 10²
हल:
(i) ∵ 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
और 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
∵ 81 > 64 ∴ 3⁴ > 4³
अतः 3⁴ बड़ा है।

(ii) ∵ 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
और 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
∵ 243 > 125 ∴ 3⁵ > 5³
अतः 3⁵ बड़ा है।

(iii) ∵ 2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 8² = 8 × 8 = 64
∵ 256 > 64 ∴ 2⁸ > 8²
अतः 28 बड़ा है।

(iv) ∵ 100² = 100 × 100 = 10000
और 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)¹⁰
= (1024)¹⁰ = (1024)^5×2
= (1024 × 1024)⁵
= (1048576)⁵
∵ 1048576 > 10000
∴ (1048576)⁵ > 100²
या (2¹⁰)¹⁰ > 100² या 2¹⁰⁰ > 100²
अत: (2¹⁰)¹⁰ बड़ा है।

(v) ∵ 2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 1024
और 10² = 10 × 10 = 100
∵ 1024 > 100, ∴ 2¹⁰ > 10²
अतः 2¹⁰ बड़ा है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल:
(i) 648

∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 23 × 34

(ii)405

∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5
= 34 × 5

(iii) 540

∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 22 × 33 × 5

(iv) 3600

∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

प्रश्न 6.
सरल कीजिए:
(i) 2 × 10³
(ii) 7² × 2²
(iii) 2³ × 5
(iv) 3 × 4⁴
(v) 0 × 10²
(vi) 5² × 3³
(vii) 2⁴ × 3²
(viii) 3² × 10⁴
हल:
(i) 2 × 10³ = 2 × 1000 = 2000
(ii) 7² × 2² = 49 × 4 = 196
(iii) 2³ × 5 = 8 × 5 = 40
(iv) 3 × 4⁴ = 3 × 256 = 768
(v) 0 × 10² = 0 × 100 = 0
(vi) 5² × 3³ = 25 × 27 = 675
(vii) 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
(viii) 3² × 10⁴ = 9 × 10000 = 90000

प्रश्न 7.
सरल कीजिए:
(i) (-4)³
(ii) (-3) × (-2)³
(iii) (-3)² × (-5)²
(iv) (-2)³ × (-10)³
हल:
(i) (-4)³ = (-4) × (-4) × (-4)
= -64

(ii) (-3) × (-2)³ = (-3) (-2) (-2) (-2)
= (-3) × (-8) = 24

(iii) (-3)² × (-5)² = (-3) (-3) (-5) (-5)
= 9 × 25 = 225

(iv) (-2)³ × (-10)3 = (-2)(-2)(-2) (-10) (-10) (- 10)
= (-8) × (-1000) = 8000

प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 10¹²; 1.5 × 10⁸
(ii) 4 × 10¹⁴;3 × 10¹⁷
हल:
(i) ∵ 2.7 × 10¹² = \(\frac { 27 }{ 10 } \) × 10¹²
= 27 × 10¹¹ में 13 अंक होंगे।
और 1.5 × 10⁸ = \(\frac { 27 }{ 10 } \) × 10⁸
= 15 × 10⁷ में 9 अंक होंगे।
स्पष्ट है कि 27 × 10¹¹ > 15 × 10⁷
⇒ 2.7 × 10¹² > 1.5 × 10⁸

(ii) ∵ 4 × 10¹⁴ में 15 अंक होंगे
और 3 × 10¹⁷ में 18 अंक होंगे।
∴ 4 × 10¹⁴ < 3 × 10¹⁷

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 270

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 2⁵ × 2³
(ii) p³ × p²
(iii) 4³ × 4²
(iv) a³ × a² × a⁷
(v) 5³ × 5⁷ × 5¹²
(vi) (-4)¹⁰⁰ × (-4)²⁰
हल:
(i) 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
(ii) p³ × p² = p³⁺² = p⁵
(iii) 4³ × 4² = 4³⁺² = 4⁵
(iv) a³ × a² × a⁷ = a³⁺²⁺⁷ = a¹²
(v) 5³ × 5⁷ × 5¹² = 5³⁺⁷⁺¹² = 5²²
(vi) (-4)¹⁰⁰ × (-4)²⁰ = (-4)¹⁰⁰⁺²⁰ = (-4)¹²⁰

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 271

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके घातांकीय रूप में लिखिए : उदाहरण के लिए, 116 + 113 = 114
(i) 2⁹ ÷ 2³
(ii) 10⁸ ÷ 10⁴
(iii) 9¹¹ ÷ 9⁷
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³
(v) 7¹³ ÷ 7¹⁰
हल:
(i) 2⁹ ÷ 2³ = 2^9-3 = 2⁶
(ii) 10⁸ ÷ 10⁴ = 10^8-4 = 10⁴
(iii) 9¹¹ ÷ 9⁷ = 9^11-7 = 9⁴
(iv) 20¹⁵ ÷ 20¹³ = 20^15-13 = 20²
(v) 7¹³ ÷ 7¹⁰ = 7^13-10 = 7³

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सरल करके, उत्तर को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) (6²)⁴
(ii) (2²)¹⁰⁰
(iii) (7⁵⁰)²
(iv) (5³)⁷
हल:
(i) (6²)⁴ = 6^2×4 = 68
(ii) (2²)¹⁰⁰ = 2^2×100 = 2²⁰⁰
(iii) (7⁵⁰)² = 7^50×2 = 7¹⁰⁰
(iv) (5³)⁷ = 5^3×7 = 5²¹

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 273

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
a^m × b^m = (ab)^m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 4³ × 2³
(ii) 2⁵ × b⁵
(iii) a² × t²
(iv) 5⁶ × (-2)⁶
(v) (-2)⁴ × (-3)⁴
हल:
(i) 4³ × 2³ = (4 × 2)³ = (8)³
(ii) 2⁵ × b⁵ = (2 × b)⁵ = (2b)⁵
(iii) a² × t² = (a × t)² = (at)²
(iv) 56 × (-2)² = {5 × (-2)}²
= (-10)⁶ = (10)⁶
(v) (-2)⁴ × (-3)⁴ = {(-2) × (-3)}⁴ = (6)⁴

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
a^m + b^m = (\(\frac { a }{ b } \))m का प्रयोग करके, अन्य रूप में बदलिए:
(i) 4⁵ ÷ 3⁵
(ii) 2⁵ ÷ b⁵
(iii) (-2)³ ÷ b³
(iv) p⁴ ÷ q⁴
(v) 5⁶ ÷ (-2)⁶
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 276

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4

प्रश्न 1.
बराबर लम्बाई के रेखाखण्डों से बनाए गए अंकों के पैटर्न को देखिए। आप रेखाखण्डों से बने हुए इस प्रकार के अंकों को इलेक्ट्रॉनिक घड़ियों या कैलकुलेटरों पर देख सकते हैं।

यदि बनाए गए अंकों की संख्या n ली जाए, तो उसके लिए आवश्यक रेखाखण्डों की n संख्या दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक पैटर्न के दाईं ओर लिखा गया है। 6,4,8 के प्रकार के 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए कितने रेखाखण्डों की आवश्यकता होगी?
हल:
(i) ∵ 6 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या
= (5n + 1)
∴ 5 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 5 + 1 = 25 + 1 = 26
10 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 10 + 1 = 50 + 1 = 51
100 अंकों की संख्या के लिए रेखाखण्डों की संख्या
= 5 × 100 + 1 = 500 + 1 = 501

(ii) ∵ 4 की तरह n अंकों को बनाने के लिए रेखाखण्डों की संख्या = (3n + 1)
∴ 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः
3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16
3 × 10 + 1 = 30 + 1 = 31
3 × 100 + 1 = 300 + 1 = 301

(iii) 8 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 2)
∴ 5, 10, 100 को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः
5 × 5 + 2 = 25 + 2 = 27
5 × 10 + 2 = 50 + 2 = 52
5 × 100 + 2 = 500 + 2 = 502

प्रश्न 2.
संख्या पैटों की निम्नलिखित सारणी को पूरा करने के लिए, दिए हुए बीजीय व्यंजकों का प्रयोग कीजिए:

हल:
(i) व्यंजक (2n – 1) के लिए
100 वाँ पद = 2 × 100 – 1 = 200 – 1 = 199

(ii) व्यंजक (3n + 2) के लिए
5 वाँ पद = 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17
10 वाँ पद = 3 × 10 + 2 = 30 + 2 = 32
100 वाँ पद = 3 × 100 + 2 = 300 + 2 = 302

(iii) व्यंजक (4n + 1) के लिए
5 वाँ पद = 4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21
10 वाँ पद = 4 × 10 + 1 = 40 + 1 = 41
100 वाँ पद = 4 × 100 + 1 = 400 + 1 = 401

(iv) व्यंजक 7n + 20 के लिए
5 वाँ पद = 7 × 5 + 20 = 35 + 20 = 55
10 वाँ पद = 7 × 10 + 20 = 70 + 20 = 90
100 वाँ पद = 7 × 100 + 20 = 700 + 20 = 720

(v) व्यंजक n² + 1 के लिए
5 वाँ पद = (5)² + 1 = 25 + 1 = 26
10 वाँ पद = (10)² + 1 = 100 + 1 = 101

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.3

प्रश्न 1.
यदि m = 2 है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) m – 2
(ii) 3m – 5
(iii) 9 – 5m
(iv) 3m² – 2m – 7
(v) \(\frac { 5m }{ 2 } \) – 4
हल:
(i) m – 2 ∵ m = 2
∴ m – 2 = 2 – 2 = 0
(ii) 3m – 5 = 3 × 2 – 5 = 6 – 5 = 1

(iii) 9 – 5m = 9 – 5 × 2 = 9 – 10 = -1

(iv) 3m² – 2m – 7
= 3(2)² – 2 × 2 – 7
= 3 × 4 – 4 – 7 = 12 – 11 = 1

(v) \(\frac { 5m }{ 2 } \) – 4 = \(\frac{5 \times 2}{2}\) – 4 = 5 – 4 = 1

प्रश्न 2.
यदि p = -2 है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 4p + 7
(ii) -3p + 4p + 7
(iii) -2p³ – 3p² + 4p + 7
हल:
यहाँ p = -2
(i) 4p + 7 = 4 × (-2) + 7 = – 8 + 7 = – 1

(ii) -3p² + 4p + 7
= -3(-2)² + 4(-2) + 7
= -3 × 4 – 8 + 7
= – 12 – 8 + 7 = – 13

(iii) -2p³ – 3p² + 4p + 7
= -2(-2)³ – 3(-2)² + 4(-2) + 7
= -2(-8) – 3 × 4 – 8 + 7
= 16 – 12 – 8 + 7 = 23 – 20 = 3

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए, जब x = -1 है:
(i) 2x – 7
(ii) -x + 2
(iii) x² + 2x + 1
(iv) 2x² – x – 2
हल:
यहाँ x = -1
(i) 2x – 7 = 2 (-1) – 7 = – 2 – 7 = – 9
(ii) -x + 2 = – (-1) + 2 = 1 + 2 – 3
(iii) x² + 2x + 1 = (-1)² + 2(- 1) + 1
= 1 – 2 + 1 = 2 – 2 = 0
(iv) 2x² – x – 2 = 2 (-1)² – (-1) – 2
= 2 × 1 + 1 – 2 = 2 + 1 – 2 = 1

प्रश्न 4.
यदि a = 2 और b = -2 हो, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) a² + b²
(ii) a² + ab + b²
(iii) a² – b²
हल:
यहाँ, a = 2 और b = -2
(i) a² + b² = (2)² + (-2)² = 4 + 4 = 8
(ii) a² + ab + b² = (2)² + 2 (-2) + (-2)²
= 4 – 4 + 4 = 4
(iii) a² – b² = (2)² – (-2)² = 4 – 4 = 0

प्रश्न 5.
जब a = 0 और b = -1 है, तो दिए हुए व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 2a + 2b
(ii) 2a² + b + 1
(iii) 2a²b + 2ab² + ab
(iv) a² + ab + 2
हल:
यहाँ, a = 0 और b = -1
(i) 2a + 2b = 2 × 0 + 2x (-1)
= 0 – 2 = – 2

(ii) 2a² + b² + 1 = 2 × (0)² + (-1)² + 1
= 2 × 0 + 1 + 1 = 2

(iii) 2a²b + 2ab² + ab = 2 (0)² (-1) + 2 (0) (-1)² + 0 × (-1)
= 0 + 0 + 0 = 0

(iv) a² + ab + 2 = (0) + 0 (-1) + 2
= 0 + 0 + 2 – 2

प्रश्न 6.
इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजिए, जब x का मान 2 है:
(i) x + 7 + 4 (x – 5)
(ii) 3(x + 2) + 5x – 7
(iii) 6x + 5(x – 2)
(iv) 4(2x – 1)+ 3x + 11
हल:
(i) x + 7 + 4 (x – 5) = x + 7 + 4x – 20
= x + 4x + 7 – 20
= 5x – 13
x = 2 रखने पर, 5x – 13 = 5 × 2 – 13
= 10 – 13 = -3

(ii) 3 (x + 2) + 5x – 7 = 3x + 6 + 5x – 7
= 3x + 5x + 6 – 7
= 8x – 1
x = 2 रखने पर,
8x – 1 – 8 × 2 – 1 = 16 – 1 = 15

(iii) 6x + 5(x – 2) = 6x + 5x – 10
= 11x – 10
x = 2 रखने पर,
11x – 10 = 11 × 2 – 10
= 22 – 10 = 12

(iv) 4(2x – 1) + 3x + 11
= 8x – 4 + 3x + 11
= 8x + 3x – 4 + 11
= 11x + 7
x = 2 रखने पर,
11x + 7 = 11 × 2 + 7 = 22 + 7 = 29

प्रश्न 7.
इन व्यंजकों को सरल कीजिए तथा इनके मान ज्ञात कीजिए, जब x = 3,4 = -1 और b = -2 है :
(i) 3x – 5 – x +9
(ii) 2 – 8x + 4x + 4
(iii) 3a + 5 – 8a + 1
(iv) 10 – 3b – 4 – 5b
(v) 2a – 2b – 4 – 5 + a
हल:
(i) 3x – 5 – x + 9 = 2x + 4
x = 3 रखने पर,
2x + 4 = 2 × 3 + 4
= 6 + 4 = 10

(ii) 2 – 8x + 4x + 4 = 6 – 4x
x = 3 रखने पर,
6 – 4x = 6 – 4 × 3
= 6 – 12 = -6

(iii) 3a + 5 – 8a + 1 = -5a + 6
a = -1 रखने पर,
-5a + 6 = -5 × (-1) + 6
= 5 + 6 = 11

(iv) 10 – 3b – 4 – 5b = 6 – 8b.
b – 2 रखने पर,
6 – 8b = 6 – 8 × (-2)
= 6 + 16 = 22

(v) 2a – 2b – 4 – 5 + a = 3a – 2b – 9
a = -1, b = – 2 रखने पर,
3a – 2b – 9 = 3(- 1)-2(- 2)- 9
= -3 + 4 -9 = -8

प्रश्न 8.
(i) यदि z = 10 है, तो z³ – 3(z – 10) का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि p = -10 है, तो p² – 2p – 100 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) जब z = 10 है, तो 2
z³ – 3(z – 10) = (10)³ – 3(10 – 10)
= 1000 – 3 × 0
= 1000 – 0 = 1000

(ii) जब p = -10 है, तो
p² – 2p – 100 = (-10)2 – 2(-10) – 100
= 100 + 20 – 100
= 20

प्रश्न 9.
यदि x = 0 पर 2x² + x – a का मान 5 के बराबर है, तो a का मान क्या होना चाहिए ?
हल:
x = 0 पर, 2x² + x – a = 5
∴ 2 × (0)² + 0 – a = 5
या 0 + 0 – a = 5 ⇒ a = -5

प्रश्न 10.
व्यंजक 2(a² + ab) + 3 – ab को सरल कीजिए और इसका मान ज्ञात कीजिए, जब a = 5 और b = -3 है।
हल:
2 (a² + ab) + 3 – ab
= 2a² + 2ab + 3 – ab
= 2a² + 2ab – ab + 3
= 2a² + ab + 3
a = 5 और b = – 3 रखने पर,
2a² + ab + 3 = 2(5)2 + 5 × (-3) + 3
= 2 × 25 + (-15) + 3
= 50 – 15 + 3 = 38

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 261

प्रयास कीजिए

पाठ्य-पुस्तक में दिये गये आधारभूत आकारों को लेकर उपर्युक्त प्रकार के पैटर्न बनाइए :
आकारों को बनाने के लिए आवश्यक रेखाखण्डों की संख्या दाईं ओर लिखी हुई है। साथ ही n आकारों को बनाने के लिए आवश्यक रेखाखण्डों को दर्शाने वाला व्यंजक भी दाईं ओर दिया हुआ है। आगे बढ़िए और ऐसी ही और पैटर्नो की खोज कीजिए।
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 262

n भुजा वाले किसी बहुभुज के एक शीर्ष से हम कुल
(n – 3) विकर्ण खींच सकते हैं। एक सप्तभुज (7 भुजाएँ) और अष्टभुज (8 भुजाएँ) के लिए उनकी आकृतियाँ
खींच करके इसकी जाँच कीजिए। यह संख्या एक त्रिभुज (3 भुजाएँ) के लिए क्या है ?
हल:
(i) सप्तभुज ABCDEFG में, विकर्ण AC, AD, AE, AF हैं, अर्थात् इसमें 4 विकर्ण हैं। यदि n – 3 में n = 7 रखें, तो विकर्ण = 7 – 3 = 4

(ii) अष्टभुज ABCDEFGH में विकर्ण AC, AD, AE, AF, AG हैं अर्थात् इसमें 5 विकर्ण हैं। यदि n – 3 में n = 8 रखें, तो विकर्ण = 8 – 3 = 5

(iii) ∆ABC में कोई विकर्ण नहीं होता है। यदि n – 3 में n = 3 रखें, तो 3 – 3 = 0

अतः प्रत्येक स्थिति में परिणाम सन्तुष्ट होता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 262-263

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.2

प्रश्न 1.
समान पदों को संयोजित (मिलान) करके सरल कीजिए:
(i) 21b – 32 + 7b – 20b
(ii) -z² + 13z² – 5z + 7z³ – 15z
(iii)p – (p – q) – q – (q – p)
(iv) 3a – 2b – ab – (a – b + ab) + 3ab + b – a
(v) 5x²y – 5x² + 3yx² – 3y² + x² – 8xy² – 3y²
(vi) (3y² + 5y – 4) – (8y – y² – 4)
हल:
(i) 21b – 32 + 7b – 20b
= 21b + 7b – 20b – 32
= (21 + 7 – 20) b – 32
= 8b – 32

(ii) – z² + 13z² – 5z + 7z³ – 15z
= 7z³ – z² + 13z² – 5z – 15z
= 7z³ + (-1 + 13)z² + (-5 -15) z
= 7z³ + 12z³ – 20z

(iii) p – (p – q) – q – (q – p)
= p – p + q – q – q + p
= p – p + p + q – q – q
= (1 – 1 + 1)p + (1 – 1 – 1)q
= p – q

(iv) 3a – 2b – ab – (a – b + ab) + 3ab + b – a
= 3a – 2b – ab – a + b – ab + 3ab + b – a
= (3a – a – a) + (-2b + b + b) + (-ab -ab + 3ab)
= (3 – 1 – 1)a + (-2 + 1 + 1) b + (- 1 – 1 + 3)ab
= (1)a + (0) b + (1) ab = a + ab

(v) 5x² y – 5x² + 3yx² – 3y² + x² – y² + 8xy²
= (5x²y + 3yx²) + (8xy²) + (-5x² + x²) + (-3y² – y² – 3y²)
= (5 + 3) x²y + 8xy² + (- 5 + 1)x² + (- 3 – 1 – 3) y²
= 8x²y + 8xy² – 4x² – 7y²

(vi) (3y² + 5y – 4) – (8y – y² – 4)
= 3y² + 5y – 4 – 8y + y² + 4
= (3y² + y²) + (5y – 8y) + (- 4 + 4)
= (3 + 1) y² + (5 – 8) y + (- 4 + 4)
= 4y² – 3y + 0 = 4y² – 3y

प्रश्न 2.
जोड़िए:
(i) 3mn, -5mn, 8mn, -4mn
(ii) t – 8tz, 3tz – z, z – 1
(iii) -7mn + 5,12mn + 2, 9mn – 8, -2 mn – 3
(iv) a + b – 3,b – a + 3,a – b + 3
(v) 14x + 10y – 12xy – 13, 18 – 7x – 10y + 8xy,4xy
(vi) 5m – 7n, 3n – 4m + 2, 2m – 3mn – 5
(vii) 4x²y, – 3xy², -5xy², 5x²y
(viii) 3p²q² – 4pq + 5, – 10p²q², 15 + 9pq + 7p²q²
(ix) ab – 4a, 4b – ab, 4a – 4b
(x) x² – y² – 1 – y² – 1 – x², 1 – x² – y²
हल:
(i) अभीष्ट योग
= 3mn + (-5mn) + 8mn + (-4mn)
= [3+ (-5) + 8 + (-4)] mn
= [11 – 9] mn = 2mn

(ii) अभीष्ट योग
= (1 – 8tz) + (3tz – z) + (z – t)
= t – 8tz + 3tz – z + z – t
= (t – t) + (-z + z) + (-8tz + 3tz)
= (1 – 1) t + (- 1 + 1) z + (- 8 + 3) tz
= (0) t + (0) z + (-5)tz = – 5tz

(iii) अभीष्ट योग = (-7mn + 5) + (12mn + 2) + (9mn – 8) + (-2mn – 3)
= -7mn + 5 + 12mn + 2 + 9mn – 8 – 2mm – 3
= (-7mm + 12mn + 9mn – 2mn) + (5 + 2 – 8 – 3)
= (-7 + 12 + 9 – 2) mn + (7 – 11)
= (21 – 9) mn + (-4) = 12mn – 4

(iv) अभीष्ट योग = (a + b – 3) + (b – a + 3) + (a – b + 3)
= a + b – 3 + b – a + 3 + a – b + 3
= ( a – a + a) + (b + b – b) + ( – 3 + 3 + 3)
= (1 – 1 + 1)a + (1 + 1 – 1) b + (- 3 + 6)
= (1) a + (1) b + (3)
= a + b + 3

(v) अभीष्ट योग
= (14x + 10y – 12xy – 13) + (18 – 7x – 10y + 8xy) + 4xy
= 14x + 10y – 12xy – 13 + 18 – 7x – 10y + 8xy + 4xy
= (14x – 7x) + (10y – 10y) + (- 12xy + 8xy + 4xy) + (- 13 + 18)
= (14 – 7) x + (10 – 10)y (- 12 + 8 + 4) xy + (5)
= (7)x + (0)y + (- 12 + 12) xy + (5)
= 7x + (0) y + (0) xy + 5
= 7x + 5.

(vi) अभीष्ट योग
= (5m – 7n) + (3n – 4m + 2) + (2m – 3mn – 5)
= 5m – 7n + 3n – 4m + 2 + 2m – 3mn – 5
= (5m – 4m + 2m) + (-7n + 3n) -3mn + (2 – 5)
= (5 – 4 + 2) m + (- 7 + 3) n – 3 mn – 3
= 3m – 4n – 3mn – 3

(vii) अभीष्ट योग
= 4x²y + (-3xy²) + (-5xy²) + 5x²y
= 4x²y – 3xy – 5xy² + 5x²y
= (4 + 5) x²y + (- 3 – 5) xy²
= 9x²y – 8xy²

(viii) अभीष्ट योग
= (3p²q² – 4pq + 5) + (-10 p²q²) + (15 + 9pq + 7p²q²)
= 3p²q² – 4pq + 5 – 10p²q² + 15 + 9pq + 7p²q²
= 3p²q² – 10p²q² + 7p²q² – 4pq + 9pq + 5 + 15
= (3 – 10 + 7)p²q² + (- 4 + 9) pq + (5 + 15)
= (0)p²q² + 5pq + 20
= 5pq + 20

(ix) अभीष्ट योग
= (ab – 4a) + (4b – ab) + (4a – 4b)
= ab – 4a + 4b – ab + 4a – 4b
= ab – ab – 4a + 4a + 4b – 4b
= (0) ab + (0) a + (0) b
= 0 + 0 + 0 = 0

(x) अभीष्ट योग
= (x² – y² – 1) + (y² – 1 – x²) + (1 – x² – y²)
= x² – y² – 1 + y² – 1 – x + 1 – x² – y²
= x² – x² – x² – y² + y² – y² – 1 – 1 + 1
= (1 – 1 – 1) x² + (- 1 + 1 – 1) y² + (- 1 – 1 + 1)
= – x² – y² – 1

प्रश्न 3.
घटाइए:
(i) y² में से – 5y²
(ii) – 12xy में से 6xy
(iii) (a + b) में से (a – b)
(iv) b (5 – a) में से a (b – 5)
(v) 4m² – 3mn + 8 में से – m² + 5mn
(vi) 5x – 10 में से – x² + 10x – 5
(vii) 3ab – 2a² – 2b² में से 5a² – 7ab + 5b²
(viii) 5p² + 3q² – Pq में से 4pq – 5q² – 3p²
हल:
(i) अभीष्ट अन्तर
y2 – (-5y2)
= y2 + 5 = 6y2

(ii) अभीष्ट अन्तर = – 12xy – 6xy = -18xy

(iii) अभीष्ट अन्तर
= (a + b) – (a – b) = a + b – a + b
= (1 – 1)a + (1 + 1) b = 2b

(iv) अभीष्ट अन्तर
= b (5 – a) – a (b – 5)
= 5b – ab – ab + 5a
= 5a + 5b + ( – 1 – 1) ab
= 5a + 5b – 2ab

(v) अभीष्ट अन्तर
= (4m² – 3mn + 8) – (- m² + 5mn)
= 4m² – 3mn + 8 + m² – 5mn
= 4m² + m² – 3mn – 5mn + 8
= (4 + 1)m + (- 3 – 5)mn + 8
= 5m² – 8mn + 8

(vi) अभीष्ट अन्तर
= (5x – 10) – (- x² + 10x – 5)
= 5x – 10 + x² – 10 x + 5
= x² + (5 – 10) x + (- 10 + 5)
= x² – 5x – 5

(vii) अभीष्ट अन्तर
= (3ab – 2a² – 2b²) – (5a² – 7ab + 5b²)
= 3ab – 2a² – 2b² – 5a² + 7ab – 5b²
= -2a² – 5a² – 2b² – 5b² + 3ab + 7ab
=(- 2 – 5) a² + (- 2 – 5) b² + (3 + 7) ab
= -7a – 7b² + 10ab

(viii) अभीष्ट अन्तर
= (5p² + 3q² – pq) – (4pq – 5q² – 3p²)
= 5p² + 3q² – pq – 4pq + 5q² + 3p²
= 5p² + 3p² + 3q² + 5q² – pq – 4pq
= (5 + 3)p² + (3 + 5) q² + (- 1 – 4)pq
= 8p² + 8q² – 5pq

प्रश्न 4.
(a) 2x² + 3xy प्राप्त करने के लिए x² + xy + ya में क्या जोड़ना चाहिए?
(b) -3a + 7b + 16 प्राप्त करने के लिए 2a + 8b + 10 में से क्या घटाना चाहिए ?
हल:
(a) अभीष्ट व्यंजक
= (2x² + 3xy) – (x² + xy + y²)
= 2x² + 3xy – x² – xy – y²
= 2x² – x² – y² + 3xy – xy
= (2 – 1) x² – y² + (3 – 1)xy
= x² – y² + 2xy

(b) अभीष्ट व्यंजक
= (2a + 8b + 10) – (- 3a + 7b + 16)
= 2a + 8b + 10 + 3a – 7b – 16
= 2a + 3a + 8b – 7b + 10 – 16
= (2 + 3)a + (8 – 7)b + (10 – 16)
= 5a + b – 6

प्रश्न 5.
-x² – y² + 6xy + 20 प्राप्त करने के लिए, 3x² – 4y² + 5xy + 20 में से क्या निकाल लेना चाहिए?
हल:
अभीष्ट व्यंजक = (3x² – 4y² + 5xy + 20) -(- x² – y² + 6xy + 20)
= 3x² – 4y² + 5xy + 20 + x² + y² – 6xy – 20
= 3x² + x² – 4y² + y² + 5xy – 6xy + 20 – 20
= (3 + 1)x² + (- 4 + 1) y² + (5 – 6) xy + (20 – 20)
= 4x² – 3y² – xy + 0
= 4x² – 3y² – xy

प्रश्न 6.
(a) 3x – y + 11 और – y – 11 के योग में से 3x – y – 11 को घटाइए।
(b) 4 + 3x और 5 – 4x + 2x² के योग में से 3x² – 5x और – x² + 2x + 5 के योग को घटाइए।
हल:
(a) 3x – y + 11 और – y – 11 का योग
= (3x – y + 11) + (- y – 11)
= 3x – y + 11 – y – 11
= 3x – y – y + 11 – 11
= 3x – 2y
अब 3x – 2y में से 3x – y – 11 को घटाने पर,
अभीष्ट अन्तर = (3x – 2y) – (3x – y – 11)
= 3x – 2y – 3x + y + 11
= (3x – 3x) + (-2y + y) + 11
= 0 – y + 11
= – y + 11

(b) 4 + 3x और 5 – 4x + 2x² का योग
= 4 + 3x + 5 – 4 x + 2x²
= (4 + 5) + (3x – 4x) + 2x²
= 9 – x + 2x²
3x² – 5x और = x² + 2x + 5 का योग
= 3x² – 5x – x² + 2x + 5
= 3x² – x² – 5x + 2x + 5
= (3 – 1)x² + (- 5 + 2)x + 5
= 2x² – 3x + 5
अब, प्रश्नानुसार
अभीष्ट अन्तर = (9 – x + 2x²) – (2x² – 3x + 5)
= 9 – x + 2x² – 2x² + 3x – 5
= (9 – 5) + (- x + 3x) + (2x² – 2x²)
= 4 + (- 1 + 3)x + (2 – 2) x²
= 4 + (2)x + (0) x²
= 4 + 2x ⇒ 2x +4
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 258

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में चरों, अचरों और अंकगणितीय संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए बीजीय व्यंजक प्राप्त कीजिए –

1. संख्या y में से z को घटाना।
2. संख्याओं x और y के योग का आधा।
3. संख्या z को स्वयं उससे गुणा किया जाता है।
4. संख्याओं p और q के गुणनफल का एक-चौथाई।
5. दोनों संख्याओं x और y के वर्गों को जोड़ा जाता है।
6. संख्याओं m और n के गुणनफल के तीन गुने में संख्या 5 जोड़ना।
7. 10 में से संख्याओं y और z के गुणनफल को घटाना।
8. संख्याओं a और b के गुणनफल में से उनके योग को घटाना।

हल:

1. y – 2
2. \(\frac { 1 }{ 2 } \) = (x + y)
3. z²
4. \(\frac { 1 }{ 4 } \)pq
5. x² + y²
6. 3mn + 5
7. 10 – yz
8. ab – (a + b)

प्रश्न 2.
(i) निम्नलिखित व्यंजकों में पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए। पदों और उनके गुणनखण्डों को पेड़ आरेख द्वारा भी दर्शाइए :
(a) x – 3
(b) 1 + x + x²
(c) y – y³
(d) 5x² + 7x²y
(e) – ab + 2b² – 3a²
(ii) नीचे दिए गए व्यंजकों में,पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए :
(a) -4x + 5
(b) -4x + 5y
(c) 5y + 3y²
(d) xy + 2x²y²
(e) Pq + q
(f) 1.2ab – 2.4b + 3.6a
(g) \(\frac { 3 }{ 4 } \)x + \(\frac { 1 }{ 4 } \)
(h) 0.12p² + 0.2q²
हल:
(i) (a) x – 3

(b) 1 + x + x²

(c) y – y³

(d) 5x² + 7x²y

(e) – ab + 2b² – 3a²

(ii) हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों में पदों के संख्यात्मक गुणांकों जो अचर न हों, की पहचान कीजिए :
(i) 5 – 3t²
(ii) 1 + t + t² + t³
(iii) x + 2xy + 3y
(iv) 100m + 1000n
(v) -p²q² + 7pq
(vi) 1.2a + 0.8b
(vii) 3.14 r²
(viii) 2(l + b)
(ix) 0.1 y + 0.01 y²
हल:

प्रश्न 4.
(a) वे पद पहचानिए जिनमें x है और फिर इनमें x का गुणांक लिखिए:
(i) y²x + y
(ii) 13y² – 8yx
(iii) x + y + z
(iv) y + z + zx
(v) 1 + x + xy
(vi) 12xy + 25
(vii) 7 + xy²

(b) वे पद पहचानिए जिनमें है और फिर इनमें y² का गुणांक लिखिए :
(i) 8 – xy²
(ii) 5y² + 7x
(iii) 2x²y – 15xy² + 7y²
हल:
(a)

(b)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित व्यंजकों को एकपदी, द्विपद और त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए :

1. 4y – 7z
2. y²
3. x + y – xy
4. 100
5. ab – a – b
6. 5 – 3t
7. 4p²q – 4pq²
8. 7mn
9. z² – 3z + 8
10. a² + b²
11. z² + z
12. 1 + x + x²

हल:

1. द्विपद
2. एकपदी
3. त्रिपद
4. एकपदी
5. त्रिपद
6. द्विपद
7. द्विपद
8. एकपदी
9. त्रिपद
10. द्विपद
11. द्विपद
12. त्रिपद।

प्रश्न 6.
बताइए कि दिए हुए पदों के युग्म समान पदों के हैं या असमान पदों के हैं :

1. 1,100
2. -7x, \(\frac { 5 }{ 2 } \)x
3. -29x, -29y
4. 14xy, 42yx
5. 4m²p, 4mp²
6. 12xz, 12x²z²

हल:

1. समान पद
2. समान पद
3. असमान पद
4. समान पद
5. असमान पद
6. असमान पद

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में समान पदों को छाँटिए :
(a) -xy², -4yx², , 8x², 2xy², 7y, – 11x²,-100x, – 11yx, 20x²y, -6x²,y, 2xy, 3x.
(b) 10pq, 7p, 8q, -p²q², – 7qp, – 100q, – 23, 12q²p², -5p², 41, 2405p, 78qp, 13p²q, qp², 701p²
हल:
(a) दिए हुए पदों में समान पदों के समूह:
-xy², 2ry²; – 4yx², 20x²y; 8x², – 11x²; – 6x²; 7y, y; – 100x, 3x; -11yx, 2xy
(b) दिए हुए पदों में समान पदों के समूह –
10pq, – 7qp, 78qp; 7p, 2405p; 8q, – 100q; – p²q², 12q²p²; – 23, 41; -5p², 701p², 13p²q, qp²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 253

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
कम-से-कम ऐसी दो स्थितियों के बारे में सोचिए, जिनमें से प्रत्येक में आपको दो बीजीय व्यंजकों को बनाने की आवश्यकता पड़े और उन्हें जोड़ना या घटाना पड़े।
हल:

• राहुल की मासिक आय दीपक की आय की तीन गुनी है और मीनाक्षी की मासिक आय राहुल और दीपक की प्रति माह आय के योग से ₹ 300 अधिक है। मीनाक्षी की प्रतिमाह आय क्या है?
• दो हवाई जहाज विपरीत दिशाओं में उड़ना आरम्भ करते हैं। एक की औसत चाल, दूसरे की औसत चाल से 100 km/h अधिक है। यदि चार घण्टे बाद उनके बीच की दूरी 4000 km हो, तो उनकी औसत चाल ज्ञात कीजिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 255

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
जोड़िए और घटाइए:
(i) m – n, m + n
(ii) mn + 5 – 2, mn + 3
हल:
(i) योग : m – n + m + n
= m + m – n + n
= 2m + 0n = 2m
घटाना: (m – n) – (m + n)
= m – n – m – n
= m – m – n – n
= 0 – 2n = -2n

(ii) योग: mn + 5 – 2, mn +3
= mn + 5 – 2 + mn + 3
= mn + mn + 5 – 2 + 3
= 2mn + 6
घटाना: (mn + 5 – 2) – (mn + 3)
= mn + 5 – 2 – mn – 3
= mn – mn + 5 – 2 – 3
= 0 + 0 = 0

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 256

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.4

प्रश्न 1.
एक बगीचा 90 m लम्बा और 75 m चौड़ा है। इसके बाहर चारों तरफ 5 m चौड़ा पथ बनाना है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। बगीचे का क्षेत्रफल हेक्टेअर में भी ज्ञात कीजिए।
हल:
बगीचे की लम्बाई (l) = 90 m, चौड़ाई (b) = 75 m

बगीचे का क्षेत्रफल = l × b
= 90 m × 75 m = 6750 m²
= \(\frac { 6750 }{ 10000 } \) हेक्टेअर
= 0.6750 हेक्टेअर
∵ बगीचे के चारों ओर का पथ आयत बनाता है।
∴ बाह्य आयत की लम्बाई = 90 + 5 + 5 = 100 m
व चौड़ाई = 75 + 5 + 5 = 85 m
∴ पथ सहित बगीचे का बाह्य आयत का क्षेत्रफल
= 100 × 85 = 8,500 m²
अतः पथ का क्षेत्रफल = बाह्य आयत का क्षेत्रफल – बगीचे का क्षेत्रफल
= 8500 m² – 6750 m² = 1750 m²

प्रश्न 2.
125 m लम्बाई और 65m चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के चारों ओर बाहर एक 3 m चौड़ा पथ बना हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 11.29 में,
PQ = AB + 2 × पथ की चौड़ाई
= 125 + 2 × 3 = 125 + 6 = 131 m
व QR = BC + 2 × पथ की चौड़ाई
= 65 + 2 × 3 = 65 + 6 = 71 m

अब, पथ का क्षेत्रफल
= बाह्य आयत PORS का क्षेत्रफल – पार्क ABCD का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × BC
= 131 × 71 – 125 × 65
= 9301 – 8125 = 1176m²

प्रश्न 3.
8 cm लम्बे और 5 cm चौड़े एक गत्ते पर एक चित्र की पेंटिंग इस प्रकार बनाई गई है कि इसकी प्रत्येक भुजाओं के अनुदिश 1.5 cm चौड़ा हाशिया (margin) छोड़ा गया है। हाशिये का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 11.30 में,
PQ = 8 cm, QR = 5 cm
AB = PQ – 2 × हाशिये की चौड़ाई
= 8 – 2 × 1.5 = 8 – 3 = 5 cm
BC = QR – 2 × हाशिये की चौड़ाई
= 5 – 2 × 1.5 = 5 – 3 = 2 cm

अब, हाशिये का कुल क्षेत्रफल
= गत्ते का क्षेत्रफल – पेंटिंग का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × BC = 8 × 5 – 5 × 2 = 40 – 10 = 30 cm²

प्रश्न 4.
5.5m लम्बे और 4 m चौड़े कमरे के चारों ओर बाहर 2-25 m चौड़ा एक बरामदा बनाया गया है। ज्ञात कीजिए:
(i) बरामदे का क्षेत्रफल
(ii) ₹ 200 प्रति m² की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का व्यय।
हल:
चित्र 11.31 में,
ABCD कमरा है तथा इसके चारों ओर 2.25 m चौड़ा बरामदा है।
PQ = AB + 2 × बरामदे की चौड़ाई
= 5.5 + 2 × 2.25 = 5.5 + 4.5 = 10 m
QR = BC + 2 × बरामदे की चौड़ाई
= 4 + 2 × 2.25
= 4 + 4.5 = 8.5 m

(i) बरामदे का क्षेत्रफल = बाह्य आयतकार भाग PQRS का क्षेत्रफल – कमरे का क्षेत्रफल
= PQ × QR – AB × CD
= 10 × 8.5 – 5.5 × 4
= 85 – 22 = 63 m²

(ii) ₹ 200 प्रति m² की दर से बरामदे के फर्श पर सीमेंट कराने का कुल व्यय = ₹200 × 63 = ₹ 12,600

प्रश्न 5.
30 m भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे की परिसीमा से लगा भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ बना हुआ है। ज्ञात कीजिए:
(i) पथ का क्षेत्रफल
(ii) ₹ 40 प्रति m² की दर से शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय।
हल:
(i) चित्र 11.32 में,
PQRS बगीचा है। इसके भीतर की ओर 1 m चौड़ा पथ है।

AB = PQ – 2 × पथ की चौड़ाई
= 30 – 2 × 1
= 30 – 2 = 28 m.

BC = OR – 2 × पथ की चौड़ाई
= 30 – 2 × 1
= 30 – 2 = 28m
अब, पथ का क्षेत्रफल = बाह्य वर्ग PQRS का क्षेत्रफल
– अन्त:वर्ग ABCD का क्षेत्रफल
= 30 × 30 – 28 × 28
= 900 – 784
= 116 m²

(ii) बगीचे के शेष भाग का क्षेत्रफल
= ABCD का क्षेत्रफल
= (28 × 28) m²
= 784 m²
∴ ₹ 40 प्रति m² की दर से बगीचे के शेष भाग पर घास लगवाने का व्यय
= ₹40 × 784
= ₹ 31,360

प्रश्न 6.
700 m लम्बे और 300 m चौड़े एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर जाते 10 m चौड़े दो पथ बने हुए हैं, जो एक-दूसरे पर परस्पर लम्ब और चौपड़ के आकार के हैं। इनमें से प्रत्येक पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा पार्क की भुजाओं को छोड़कर पार्क के शेष भाग का भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर को हेक्टेयर में दीजिए।
हल:
PQ = EH = KL = KN = 10 m
लम्बाई के अनुदिश सड़क की लम्बाई = 700 m
चौड़ाई के अनुदिश सड़क की लम्बाई = 300 m

सड़कों PQRS व EFGH का क्षेत्रफल
= PQRS का क्षेत्रफल + EFGH का क्षेत्रफल – KLMN का क्षेत्रफल
(300 × 10 + 700 × 10 – 10 × 10) m²
= (3000 + 7000 – 100) m²
= 10000 m² – 100 m² = 9900 m²
= \(\frac { 9900 }{ 10000 } \) = 0.99 हेक्टेयर
अब, सड़कों को छोड़कर पार्क का क्षेत्रफल
= पार्क का क्षेत्रफल – परस्पर लम्ब सड़कों का क्षेत्रफल
= 700 × 300 – 9900
= 210000 – 9900 = 200100 m²
= \(\frac { 200100 }{ 10000 } \) हेक्टेयर = 20.01 हेक्टेयर

प्रश्न 7.
90 m लम्बाई और 60 m चौड़ाई वाले एक आयताकार मैदान में दो पथ बनाए गए हैं, जो भुजाओं के समान्तर हैं, एक-दूसरे को लम्बवत् काटते हैं और मैदान के मध्य से होकर निकलते हैं। यदि प्रत्येक पथ की चौड़ाई 3m हो, तो ज्ञात कीजिए:
(i) पथों द्वारा आच्छादित क्षेत्रफल
(ii) ₹110 प्रति m² की दर से पथ बनाने का व्यय।
हल:
(i) पथ PQRS का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 90 × 3 = 270 m²

पथ TUVW का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= 60 × 3 = 180 m²
उभयनिष्ठ भाग EFGH का क्षेत्रफल
= 3 × 3 = 9 m²
अत: पथों का कुल क्षेत्रफल = पथ PQRS का क्षेत्रफल + पथ TUVW का क्षेत्रफल – उभयनिष्ठ भाग EFGH का क्षेत्रफल
= 270 m² + 180 m² – 9m²
= 450 m² – 9 m²
= 441 m²

(ii) ₹ 110 प्रति m² की दर से पथ बनाने का व्यय
= ₹ 110 × 441
= ₹ 48,510

प्रश्न 8.
प्रज्ञा 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पाइप के चारों ओर एक रस्सी लपेटती है (जैसा दिखाया गया है) और रस्सी की आवश्यक लम्बाई को काट लेती है। इसके बाद वह उसे 4 cm भुजा वाले एक वर्गाकार बॉक्स के चारों ओर लपेटती है(दिखाया गया है)। क्या उसके पास कुछ और रस्सी बचेगी ? (π = 3.14)

हल:
वृत्ताकार पाइप की त्रिज्या (r) = 4 cm
∴ पाइप की परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × 4 = 25.12 cm
∴ पाइप पर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई
= 25.12 cm
अब, वर्ग का परिमाप = 4 × a
= 4 × 4 cm = 16 cm
∴ वर्ग पर लपेटी गई रस्सी की लम्बाई = 16 m
∵ 25.12 cm – 16 cm
∴ 25.12 cm – 16 cm = 9.12 cm.
हाँ, उसके पास 9-12 cm रस्सी और बचेगी।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति एक आयताकार पार्क के मध्य में एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी को दर्शाती है। ज्ञात कीजिए:

(i) पूरे पार्क का क्षेत्रफल
(ii) फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल
(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर, पार्क के शेष भाग का क्षेत्रफल
(iv) क्यारी की परिधि।
हल:
(i) यहाँ, पार्क की लम्बाई (l) = 10m, चौड़ाई = 5 m.
∴ पार्क का क्षेत्रफल = l × b
= 10 × 5 = 50 m²

(ii) फूलों की क्यारी की त्रिज्या (r) = 2 m
∴ फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल = 2
= 3.14 × 2 × 2
= 12.56 m²

(iii) फूलों की क्यारी को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल
= पार्क का क्षेत्रफल – क्यारी का क्षेत्रफल
= 50 m² – 12.56 m²
= 37.44 m²

(iv) क्यारी की परिधि = 2πr
= 2 × 3.14 × 2
= 12.56 m

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
(i) आयत ABCD का क्षेत्रफल
= l × b = 18 × 10 = 180 cm²
∆ AEF का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 10 × 6 = 30 cm²
∆ CBE का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 8 × 10 = 40 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= आयत ABCD का क्षेत्रफल
-(∆ AEF का क्षेत्रफल + ∆ CBE का क्षेत्रफल)
= 180 cm2 – (30 cm2 + 40 cm²)
= 180 cm2 – 70 cm = 110 cm²

(ii) वर्ग PQRS का क्षेत्रफल
= भुजा × भुजा
= 20 × 20 = 400 cm²
∆ PQT का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 20 × 10 = 100 cm²
∆ QRU का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 10 × 20 = 100 cm²
∆ TSU का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 10 × 10 = 50 cm²
अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल
– (∆ PQT का क्षेत्रफल + ∆ QRU का क्षेत्रफल + ∆ TSU का क्षेत्रफल)
= 400 cm² – (100 cm² + 100 cm² + 50 cm²)
= 400 cm² – 250 cm² = 150 cm²

प्रश्न 11.
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यहाँ, AC = 22 cm, BM = 3 cm, DN = 3 cm, और BM ⊥ AC, DN ⊥ AC.

हल:
∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 22 × 3 = 33 cm²
∆ ACD का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 22 × 3 = 33 cm²
∴ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆ACD का क्षेत्रफल
= 33 cm² + 33 cm² = 66 cm²

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