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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरण युग्मों को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 14; x – y = 4
(ii) s – t = 3; \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6
(iii) 3x – y = 3; 9x – 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.33; 0.4x + 0.5y = 2.3
(v) \(\sqrt { 2 }\) x + \(\sqrt { 3 }\) y = 0; \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 8 }\) y = 0
(vi) \(\frac { 3x }{ 2 } \) – \(\frac { 5y }{ 3 } \) = -2; \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \)
हल:
(i) चूँकि
x + y = 14 ….(1)
एवं x – y = 4 ….(2)
समीकरण (2) से x का मान x = y + 4 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
y + 4 + y = 14 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
एवं x = y + 4 = 5 + 4 = 9
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 9 एवं y = 5 है।

(ii) चूँकि s – t = 3 ….(1)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6 ….(2)
समीकरण (1) से s = t + 3 समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
\(\frac { t+3 }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = 6 ⇒ 2t + 6 + 3t = 36
⇒ 5 t = 30 ⇒ t = \(\frac { 30 }{ 5 } \) = 6
एवं s = t + 3 = 6 + 3 = 9
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल s = 9 एवं t = 6 है।

(iii) चूँकि 3x – y = 3
एवं 9x – 3y = 9
समीकरण (1) से y = 3x – 3 समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
9x – 3 (3x – 3) = 9 ⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9 जो x से रहित समीकरण है
इसलिए x के सभी मानों के लिए सत्य है।
अतः उक्त समीकरण युग्म के अभीष्ट हल अनन्तशः अनेक हैं :

(iv) चूंकि 0.2x + 0.3y = 1.3 ….(1)
एवं 0.4x + 0.5y = 2.3 ….(2)
⇒ 2x + 3y = 13 ….(3)
[दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर]
एवं 4x + 5y = 23
समीकरण (3) से x = \(\frac { 13-3y }{ 2 } \) समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 3 है।

(v) चूँकि \(\sqrt { 2 }\)x + \(\sqrt { 3 }\) y = 0 …(1)
एवं \(\sqrt { 3 }\)x – \(\sqrt { 8 }\) y = 0 ….(2)
समीकरण (1) से x = \(=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) करण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 0 एवं y = 0 है।

(vi) चूँकि \(\frac { 3x }{ 2 } \) – \(\frac { 5y }{ 3 } \) = -2 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
⇒ 9x – 10y = -12 ….(3)
[दोनों समीकरणों को 6 से गुणा करने पर]
एवं 2x + 3y = 13 ….(4)
समीकरण (4) से, x = \(\frac { 13-3y }{ 2 } \) समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:

अतः उक्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 3 है।

प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
चूँकि 2x + 3y = 11 ….(1)
एवं 2x – 4y = – 24 ….(2)
समीकरण (2) से x = 2y – 12 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
2 (2y – 12) + 3y = 11 ⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 7y = 11 + 24 = 35 ⇒ y = \(\frac { 35 }{ 7 } \) = 5
एवं x = 2y – 12 = 2 × 5 – 12 = 10 – 12 = -2
अत: दत्त समीकरणों का अभीष्ट हल x = -2 एवं y = 5 है।
अब चूँकि y = mx + 3
⇒ 5 = m (-2) + 3 (x एवं y के मान रखने पर)
⇒ 2 m = 3 – 5 = -2 ⇒ m = \(\frac { -2 }{ 2 } \) = -1
अत: m का अभीष्ट मान = -1 है।

प्रश्न 3.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए :
(i) दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो सम्पूरक कणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले एवं प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है, तथा 15 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह ” हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह – हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
(i) मान लीजिए अभीष्ट संख्याएँ x एवं y हैं और x > y तो प्रश्नानुसार,
x – y = 26 …(1) एवं x = 3y …(2)
अब समीकरण (2) सेx का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13
एवं x = 3y = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ क्रमशः 39 एवं 13 हैं।

(ii) मान लीजिए कि दो अभीष्ट सम्पूरक कोण x एवं y हैं और x > y तो प्रश्नानुसार,
x + y = 180 ….(1) (सम्पूरक कोणों का योग = 180°)
एवं x – y = 18 ….(2)
समीकरण (2) से x = 18 + y समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
18 + y + y = 180 ⇒ 2y = 180 – 18 = 162
⇒ y = \(\frac { 162 }{ 2 } \) = 81
एवं x = 18 + y = 18 + 81 = 99
अतः अभीष्ट कोण क्रमश: 99° एवं 81° हैं।

(iii) मान लीजिए एक बल्ले का मूल्य ₹x एवं एक गेंद का मूल्य ₹y है तो प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 …..(1)
एवं 3x + 5y = 1750 …..(2)
समीकरण (2) से x = \(\frac { 1750-5y }{ 3 } \) समीकरण (1) में रखने पर,

अतः बल्ले एवं गेंद का अभीष्ट मूल्य क्रमशः ₹ 500 एवं ₹50 प्रति नग हैं।

(iv) मान लीजिए कि नियत भाड़ा ₹ x एवं प्रति km भाड़े की दर ₹ y है, तो प्रश्नानुसार,
x + 10y = 105 ….(1)
एवं x + 15y = 155 ….(2)
अब समीकरण (1) से x = 105 – 10y समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
105 – 10y + 15y = 155 ⇒ 10y + 15y = 155 – 105
⇒ 5y = 50 ⇒ y = \(\frac { 50 }{ 5 } \) = ₹ 10
एवं x = 105 – 10y = 105 – 10 × 10 = 105 – 100 = ₹5
अतः अभीष्ट नियत भाड़ा ₹ 5 एवं प्रति km भाड़े की दर ₹10 है।

(v) मान लीजिए कि भिन्न का अभीष्ट अंश x एवं हर y है, तो अभीष्ट भिन्न = \(\frac { x }{ y } \) है।
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { x+2 }{ y+2 } \) = \(\frac { 9 }{ 11 } \)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x – 9y = 18 – 22 = – 4 ….(1)
एवं \(\frac { x+3 }{ y+3 } \) = \(\frac { 5 }{ 6 } \)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18 = -3
समीकरण (2) से x = \(\frac { 5y-3 }{ 6 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :

(vi) मान लीजिए जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है
तो प्रश्नानुसार, (x + 5) = 3 (y + 5)
⇒ x – 3y = 15 – 5 = 10 ….(1)
एवं (x – 5) = 7 (y – 5)
⇒ x – 7y = – 35 + 5 = -30 ….(2)
समीकरण (2) से x = 7y – 30 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
7y – 30 – 3y = 10
⇒ 7y – 3y = 10 + 30.
⇒ 4y = 40 ⇒ y = \(\frac { 40 }{ 4 } \) = 10 वर्ष
एवं x = 7y – 30 = 7 × 10 – 30 = 70 – 30 = 40 वर्ष
अतः जैकब की अभीष्ट वर्तमान आयु = 40 वर्ष एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न. 1
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
यहाँ x₁ = – 1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = – 3, m₁ = 2, m₂ = 3

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3) है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बिन्दुओं A (4, – 1) एवं B (- 2, – 3) को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB है। P (x’, y’ ) एवं Q (x”, y”) ऐसे दो बिन्दु हैं जो दिए रेखाखण्ड AB को समत्रिभाजित करते हैं।
चूँकि P के लिए m₁ = 1 एवं m₂ = 2 हैं

चूँकि Q के लिए m₁ = 2 एवं m₂ = 1 हैं।

अतः दी हुए रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दु क्रमश: \(\left(2, \frac{-5}{3}\right)\) एवं \(\left(0, \frac{-7}{3}\right)\) हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 7.3 में दिया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac { 1 }{ 4 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं MT पंक्ति में AD का \(\frac { 1 }{ 5 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना
चाहिए?
हल :

हरे झण्डे के स्थिति निर्देशांक
G(2, \(\frac { 100 }{ 4 }\)) अर्थात् G (2, 25) एवं लाल झण्डे के स्थिति निर्देशांक R (8, \(\frac { 100 }{ 5 }\)) अर्थात् R (8, 20) हैं। मान लीजिए रश्मि नीला झण्डा B (x,y) पर गाड़ती है जो GR रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु है।


अतः हरे एवं लाल झण्डे के बीच की अभीष्ट दूरी = √61 m एवं रश्मि अपना नीला झण्डा 5वीं पंक्ति में 22.5 m की दूरी पर गाड़ेगी।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
मान लीजिए बिन्दु (-1, 6) दिए रेखाखण्ड को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है एवं रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (- 3, 10) एवं (6, – 8) हैं।
चूँकि

⇒ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
⇒ 6m₁ + m₁ = 3m₂ – m₂
⇒ 7m₁ = 2m₂
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\)
⇒ m₁ : m₂ = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7 है।

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बिन्दु A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड AB को x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) मान लीजिए m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट अनुपात 1 : 1 एवं विभाजक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-3}{2}, 0\right)\) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक क्रमशः A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) एवं D (3, 5) हैं तो समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण से विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिन्दु O पर द्विभाजित करते हैं।
⇒ AC के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = BD के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक

अतः x एवं’ के अभीष्ट मान क्रमशः 6 एवं 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
हल :
मान लीजिए बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं तब केन्द्र के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) से.
⇒ \(\frac { x+1 }{ 2 }\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
⇒ \(\frac { y+4 }{ 2 }\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 6 – 4 = – 10
अत: A के अभीष्ट निर्देशांक (3,-10) है।

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो। हल :
चूँकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB तथा बिन्दु P रेखाखण्ड AB पर है
BP = AB – \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB = \(\frac { 4 }{ 7 }\) AB
बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है तथा A (-2, – 2) और B (2, -4) दिए हैं।
मान लीजिए P के निर्देशांक (x, y) हैं

अतः P के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\) हैं।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:

जैसा कि आकृति 7.4 में दिखाया गया है। मान लीजिए A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः P (x’, y’), Q (x”, y”) एवं R (x”‘,y'”) हैं।
चूँकि यहाँ Q रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है।

Q के निर्देशांक (0, 5) हैं।
अब P रेखाखण्ड AQ का मध्य-बिन्दु है

एवं R रेखाखण्ड QB का मध्य-बिन्दु है

अतः रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः (-1, \(\frac { 7 }{ 2 }\)) (0, 5) एवं (1, \(\frac { 13 }{ 2 }\)) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रम में (3,0), (4, 5), (-1,4) और (-2,-1) हैं।
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A (3, 0), B (4, 5), C (-1,4) और D (-2, – 1) दिए हुए हैं।

चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC × BD
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 4√2 x 6√2
= 4 x 6
= 24
वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई है। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm.
हल :
(i) (7)² = 49, (24)² = 576 एवं (25)² = 625
चूँकि 49 + 576 = 625
(7)² + (24)² = (25)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 25 cm है।

(ii) यहाँ (3)² = 9, (8)² = 64 एवं (6)² = 36.
चूँकि 9 + 36 = 45 ≠ 64 अर्थात् (3)² + (6)² ≠ (8)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) यहाँ (50)² = 2,500, (80)² = 6,400 एवं (100)² = 10,000
चूँकि 2,500 + 6,400 = 8900 + 10,000 अर्थात् (50)² + (80)² ≠ (100)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) यहाँ (13)² = 169, (12)² = 144 एवं (5)² = 25
चूँकि 144 + 25 = 169
(12)² + (5)² = (13)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 13 cm है।

प्रश्न 2.
PQR समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM.MR है।
हल :

दिया है समकोण ∆PQR जिसका कोण P समकोण है। इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब PM डाला गया है।
∆PMR ~ ∆QMP [प्रमेय 6.7 से]
\(\frac{P M}{Q M}=\frac{M R}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
PM² = QM.MR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.34 में ABD एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
(i) AB = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD.

हल :
समकोण त्रिभुज ABD में समकोण बनाने वाले शीर्ष A से BD पर लम्ब AC डाला गया है।
∆ACB ~ ∆DCA ~ ∆DAB …(1) [प्रमेय 6.7 से]
(i) ∆ACB ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A B}{B D}=\frac{B C}{A B}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AB² = BC.BD.
इति सिद्धम्

(ii) ∆ACB ~ ∆DCA [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A C}{D C}=\frac{B C}{A C}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AC² = BC.DC.
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AD² = BD.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है। (2019)
हल :

त्रिभुज एक दिया हुआ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠C समकोण है, तथा
BC = AC …(1)
AB² = BC² + AC² …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AC² + AC²
= 2AC². [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल :

∵ ∆ABC में, AC = BC एवं AB² = 2AC² दिए हुए हैं।
⇒ AB² = AC² + BC² [∵ AC = BC]
⇒ ∠ACB एक समकोण है [प्रमेय 6.9, पाइथागोरस प्रमेय का विलोम]
अत: ABC एक समकोण त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = CA = 2a
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुजों के शीर्षलम्ब परस्पर बराबर होते हैं तथा सम्मुख भुजाओं को समद्विभाजित करते हैं। समकोण त्रिभुज ADB में ∠D समकोण है [AD ⊥ BC]
तथा कर्ण AB = 2a [दिया है]
BD = a [BD = DC]
अब समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है।
⇒ AD² = AB² – BD² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AD² = (2a)² – (a)²
⇒ AD² = 4a² – a² = 3a²
⇒ AD = √3a² = a√3
अतः दिए हुए समबाहु ∆ABC को प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई = a√3 है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB² = AO² + BO² [पाइथागोरस प्रमेय से]
= \(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\)
[∵ AO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC एवं BO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD]
⇒ AB² = \(\frac { 1 }{ 4 }\)AC² + \(\frac { 1 }{ 4 }\)BD²
⇒ 4AB² = AC² + BD²
⇒ AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.39 में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O है, तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ CA और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + OB² + CE² = AE² + CD² + BF²
हल :

दिया है : ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O तथा
OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB
रचना : OA, OB और OC को मिलाइए।
(i) ∵ पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OFA में,
OA² – OF² = AF² …(1)
समकोण ∆ODB में,
OB² – OD² = BD² ….(2)
एवं समकोण ∆OEC में,
OC² – OE² = CE² …(3)
OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE² = AF² + BD² + CE²
[समीकरण (1) + (2) + (3) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE² …(4)
इति सिद्धम्

(ii) चूँकि पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OEA में,
OA² – OE² = AE² ….(5)
समकोण ∆OFB में,
OB² – OF² = BF² ….(6)
एवं समकोण ∆ODC में,
OC² – OD² = CD² ….(7)
OA² – OE² + OB² – OF² + OC² – OD² = AE² + BF² + CD²
[समीकरण (5) + (6) + (7) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AE² + CD² + BF² …(8)
AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
[समीकरण (4) एवं (8) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

AB एक 10 m लम्बी सीढ़ी है जिसे दीवार BC पर टिकाया गया है। दीवार पर स्थित खिड़की B दीवार पर उसके आधार से 8 m की ऊँचाई तक जाती है। सीढ़ी का निचला सिरा A दीवार के आधार C से AC की दूरी पर है।
अब समकोण ∆BCA में, ∠C = 90°
AC² = AB² – BC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (10)² – (8)
= 100 – 64
= 36
AC² = √36 = 6 m
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से अभीष्ट दूरी = 6 m है।

प्रश्न 10.
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाढ़ा जाए कि तार तना रहे, जबकि तार की लम्बाई 24 m है।
हल :

एक ऊर्ध्वाधर खम्भा AB = 18 m है जो सिरे A से एक तार AC = 24 m से एक खूटे C से जुड़ा है। खम्भे के आधार B से खूटे C की दूरी BC है।
अब समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से, चूँकि
BC² = AC² – AB²
BC² = (24)² – (18)²
BC² = 576 – 324
= 252
BC = √252 = 6√7 m
अतः खूटे की खम्भे के आधार से अभीष्ट दूरी = 6√7 m.

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अण्डे से पश्चिम की ओर 1200 k/hr की चाल से उड़ता है। \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी ?
हल :

पहले हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) , घण्टे में उत्तर की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1000 = 1500 km तथा
दूसरे हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे में पश्चिम की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1200 = 1800 km जहाज A और B की स्थिति \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दूरी की संलग्न आकृति में प्रदर्शित की गई है तथा उनके बीच की दूरी AB है।
चूँकि समकोण त्रिभुज AOB में ∠AOB समकोण है।
AB² = (AO)² + (BO)²
पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = (1500)² + (1800)²
= 2250000 + 3240000
= 5490000
AB = \(\sqrt{5490000}=\sqrt{90000 \times 61}\)
= 300√61 km
अतः दोनों हवाई जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी = 300√61 km है।

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m है तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके बीच की दूरी 12 m है, तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दो खंभे AB = 6m एवं CD = 11m समतल भूमि पर दूरी BD = 12 m पर स्थित है उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC है। (देखिए संलग्न आकृति 6.43) E से AE ⊥ CD खींचिए।
अब समकोण ∆AEC में,
भुजा AE = BD = 12 m एवं ED = AB = 6 m
एवं CD = 11 m
CE = CD – ED
= 11 m – 6 m
= 5m
अब समकोण ∆AEC में (जहाँ ∠AEC = 90°),
AC² = AE² + CE² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25
= 169
AC = √169 = 13 m
अतः खम्भों के ऊपरी सिरे के बीच की अभीष्ट दूरी = 13 m है।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।
हल :

दिया है : ABC एक त्रिभुज जिसका ∠C = 90°. इसकी भुजाओं CA एवं CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।
AE, BD एवं DE को मिलाया गया है।
चूँकि समकोण ∆ACE में, ∠ACE समकोण है
AE² = AC² + EC² ….(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆BCD में, ∠BCD समकोण है
BD² = BC² + DC² …(2) पाइथागोरस प्रमेय से]
AE² + BD² = AC² + BC² + EC² + DC² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
समकोण ∆ACB में, ∠ACB समकोण है
AB² = AC² + BC² …(4) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆DCE में, ∠DCE समकोण है
DE² = DC² + EC² …(5)
AB² + DE² = AC² + BC² + EC² + DC² …(6) [समीकरण (4) + (5) से]
AE² + BD² = AB² + DE². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। (देखिए संलग्न आकृति 6.45) सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।
हल :

दिया है : ∆ABC के शीर्ष से शीर्ष लम्ब AD ⊥ BC खींचा गया है जो BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD
DB = \(\frac { 3 }{ 4 }\) BC
तथा CD = \(\frac { 1 }{ 4 }\) BC ….(1)
समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆ADC में, LADC समकोण है
AC² = AD² + CD² …(3) [पाइथागोरस प्रमेय]
AB² – AC² = BD² – CD² [समीकरण (2) – (3) से]
AB² – AC² = (BD + CD) (BD – CD)
= \(B C\left[\frac{3}{4} B C-\frac{1}{4} B C\right]\) [समीकरण (1) से]
AB² – AC² = BC x \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC²
2 AB² – 2AC² = BC²
2AB² = 2 AC² + BC².
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी समाबहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC. सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7 AB² है।
हल :

दिया है : ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा BC पर
बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC
यहाँ AB = BC = CA ….(1)
एवं BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC …(2)
रचना : A से AE ⊥ BC खींचिए।
चूँकि BE = EC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB_…(3)
[∵ BC = AB]
[∵ समबाहु त्रिभुज का शीर्ष लम्ब आधार को समाद्विभाजित करता है।]
⇒ DE = BE – BD = \(\frac{B C}{2}-\frac{B C}{3}\) [समीकरण (3) एवं (2) से]
\(D E=\frac{3 B C-2 B C}{6}=\frac{B C}{6}=\frac{A B}{6}\) …..(4) [∵BC = AB]
∵समकोण ∆AEB में, ∠AEB समकोण है।
⇒ AE² = AB² – BE² ….(5)
∵समकोण ∆AED में, ∠AED समकोण है
⇒ AE² = AD² – DE² …(6)
⇒ AB² – BE² = AD² – DE² …..(7) [समीकरण (5) एवं (6) से]

⇒ 36AB² – 9AB² = 36AD² – AB²
⇒ 36AD² = 36AB² + AB² – 9AB² = 28AB²
⇒ 9AD² = 7AB².
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्ष लम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्षलम्ब AD है जो BC को समद्विभाजित करता है [समबाहु ∆ का शीर्ष लम्ब है]
BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB …(1)
चूँकि समकोण त्रिभुज ADB में, LADB समकोण है
AB² = AD² + BD² …(2)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AD² + \(\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}\)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
AB² = AD² + \(\frac{A B^{2}}{4}\)
4AB² = 4AD² + AB²
3AB² = 4AD²
अतः किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है तो कोण B है :
(a) 120°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°.
हल :
सही उत्तर (c) 90° है, क्योंकि
(AB)² = (6√3)² = 108
(AC)² = (12)² = 144
(BC)² = (6)² = 36
⇒ 108 + 36 = 144
⇒ (AB)² + (BC)² = (AC)²
⇒ ∠B = 90° समकोण [पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा]

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

निम्न में से प्रत्येक में रचना का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm की दूरी पर स्थिर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल :

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड OP = 10 cm खींचिए।
2. O की केन्द्र लेकर 6 cm की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
3. OP का लम्ब अर्द्धक XY खींचिए – जो OP को बिन्दु Q पर समद्विभाजित करता है।
4. Q को केन्द्र लेकर OQ = QP = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को R एवं S बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PR एवं PS को मिलाइए।

अतः यही PR एवं PS अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म है जिनका मापन करने पर प्रत्येक की लम्बाई 8 cm है।
रचना का औचित्य : ∆PRO में चूँकि ∠ORP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो कि त्रिज्या OR के सिरे पर बना कोण है।
अतः PR और इसी प्रकार PS स्पर्श रेखायुग्म है, क्योंकि स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कोण एक समकोण (90°) होता है।

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

1. O को केन्द्र लेकर दो वृत्त क्रमश: 6 cm एवं 4 cm त्रिज्या के खींचे।
2. 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर कोई बिन्दु P लेकर OP को मिलाइए।
3. OP का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
4. M को केन्द्र लेकर MO = MP के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PN को मिलाइए जो बाह्य वृत्त को Q पर प्रतिच्छेद करती है।

यही PN अभीष्ट स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4-4 cm (लगभग) आती है। परिकलन करने पर समकोण ∆ONP में पाइथागोरस प्रमेय से,
PN = \(\sqrt{(O P)^{2}-(O N)^{2}}=\sqrt{(6)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\) = 4.4 cm लगभग
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखा PN है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4.4 cm (लगभग) एवं परिकलन करने पर भी 4.4 cm (लगभग)
रचना का औचित्य : चूँकि ∠ONP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो ON त्रिज्या के सिरे पर PN रेखा द्वारा अन्तरित है।
अतः PN, ON त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 3.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :

1. O को केन्द्र मानकर 3 cm की त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त के एक व्यास MON को दोनों ओर क्रमशः बिन्दु P एवं Q तक इस प्रकार बढ़ाइए कि OP = OQ = 7 cm हो।
3. OP एवं OQ को क्रमशः बिन्दु R और S बिन्दुओं पर समद्विभाजित कीजिए।
4. R एवं S को केन्द्र लेकर क्रमश: RP = RO एवं SQ = SO की त्रिज्याओं से वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को क्रमश: A और B तथा C और D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
5. PA, PB तथा QC, QD को मिलाइए।

अतः यही PA, PB, QC एवं QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि PA, PB, QC एवं QD क्रमशः वृत्त की त्रिज्याओं OA, OB, OC एवं OD के सिरों क्रमश: A, B, C एवं D पर समकोण (90°) बनाते हैं क्योंकि ये अर्द्धवृत्तों के कोण हैं।
अत: PA, PB, QC और QD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :

चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याएँ केन्द्र पर जो कोण बनाती है वह स्पर्श रेखाओं के मध्य बनने वाले कोण का सम्पूरक होता है।
⇒ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्याओं के मध्य कोण = 180° – 60° = 120°
रचना के पद :

1. O को केन्द्र लेकर 5 cm त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त भी एक त्रिज्या OP खींचिए तथा OP के बिन्दु O पर ∠POQ = 120° का कोण बनाती हुई दूसरी त्रिज्या OQ खींचिए।
3. OP एवं OQ के बिन्दु P एवं Q पर क्रमश: ∠OPR = ∠OQR = 90° का कोण बनाते हुए रेखाएँ PR एवं QR खींचिए जो परस्पर बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : चूँकि RP एवं RQ क्रमशः त्रिज्याओं OP एवं OQ के अन्त्यः बिन्दुओं P एवं Q पर लम्ब हैं (रचना से)। अत: RP एवं RQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा उनके बीच का कोण 60° है (कारण उपरोक्त)।

प्रश्न 5.
8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त
के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. एक रेखाखण्ड AB = 8 cm खींचिए।
2. A को केन्द्र लेकर 4 cm की त्रिज्या से तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm की त्रिज्या से दो वृत्त खींचिए।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
4. O को केन्द्र लेकर OA = OB की लम्बाई के बराबर त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो वृत्तों को क्रमश: P एवं Q तथा R एवं S पर प्रतिच्छेद करता है।
5. BP, BQ, AR एवं AS को मिलाइए।

अत: BP, BQ, AR एवं AS अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : प्रत्येक स्पर्श रेखा संगत वृत्त के स्पर्श बिन्दु पर खींची गयी त्रिज्या पर लम्ब है क्योंकि ये कोण अर्द्धवृत्त के कोण हैं। अतः ये रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° हैं। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि ∆ABC एक दिया हुआ समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा B से AC पर डाला गया लम्ब BD है।
बिन्दुओं B, C, D से होकर एक वृत्त खींचा गया है।
चूँकि वृत्त समकोण ∆BDC का परिवृत्त है, अत: BC •इसका व्यास है और चूँकि AB त्रिज्या OB के बिन्दु B पर लम्ब है इसलिए AB इस वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
A से इस वृत्त पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींचनी है और बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है।
रचना : A को केन्द्र लेकर AB = 6 cm के बराबर त्रिज्या से एक चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। AP को मिलाइए।
अतः, AB एवं AP अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।
रचना का औचित्य : स्वयं हल में स्पष्ट है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (2019)
हल :

रचना के पद :

1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का केन्द्र O उचित विधि से ज्ञात PK किया।
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया और OP को मिलाया।
4. OP का लम्ब-अर्द्धक XY खींचा जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. M को केन्द्र लेकर MP = MO की त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जो दिए हुए वृत्त को क्रमशः Q और R बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
6. PQ और PR को मिलाइए।

अत: PQ एवं PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : PQ और PR क्रमशः OQ एवं OR त्रिज्याओं के साथ समकोण बनाती हैं क्योंकि अर्द्धवृत्त के कोण हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।

प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
\(P(\overline{E})\) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ \(P(\overline{E})\) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना \((\overline{E})\) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – \(P(\overline{E})\)
P(E) = 1 – 0.992 [\(P(\overline{E})\) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 8 }\) हैं।

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम \(n\left(E_{G}\right)=4\).
हरा कंचा न होने का परिणाम \(n\left(\overline{E}_{G}\right)=17-4=13\)

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 17 }\), (ii) \(\frac { 8 }{ 17 }\) और (iii) \(\frac { 13 }{ 17 }\) हैं।

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E₁) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E₂) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E₃) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E₄) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E₁) + n(E₂) + n(E₃) + n(E₄)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 9 }\) एवं (ii) \(\frac { 17 }{ 18 }\) हैं।

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :

कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{13}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 13 }\) हैं।

प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :

चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E₁) = 1 आठ का अंक
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)

(ii) विषम संख्याएँ हैं : E₂ = 1, 3, 5, 7
n(E₂) = 4
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E₃ = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E₃) = 6
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E₄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E₄) = 8
\(P(E)_{4}=\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{8}{8}=1\)
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (iv) 1 हैं।

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E₁ = 2, 3, 5
n(E₁) = 3
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E₂ = 3, 4, 5
n(E₂) = 3
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) विषम संख्याएँ हैं : E₃ = 1, 3, 5
n(E₃) = 3
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E₁) = 2.

(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E₂) = 12

(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E₃) = 6

(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E₄) = 1

(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E₅) = 13

(vi) एक ईंट की बेगम n(E₆) = 1

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि

(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S₂) = 4.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\), (ii) (a) \(\frac { 1 }{ 4 }\) (b) 0 हैं।

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 11 }{ 12 }\) है।

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S₁) = 20 एवं n(E₁) = 4
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n\left(S_{1}\right)}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) n(S₂) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E₂) = 15
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n\left(S_{2}\right)}=\frac{15}{19}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 19 }\) हैं।

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E₁) = 90 – 9 = 81
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E₂) = 9.
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E₃) = 18
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 9 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 10 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 5 }\) हैं।

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E₁) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ∵ \(n\left(E_{2}\right)=1 \Rightarrow P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{1}{6}\).
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :

आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\) हैं।

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, \(n(\overline{E})\) = 20

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 31 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 5 }{ 36 }\)

प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 11 }\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :

(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) है।

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.

(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E₁) = 25
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)

(ii) n(E₂) = n(S) – n(E₁) = 36-25 = 11
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{11}{36}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 25 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 11 }{ 36 }\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\) एवं \(\frac { 1 }{ 2 }\), होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (k + 1, 2k), B (3k, 2k + 3) तथा C (5k – 1, 5k) सरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A, B एवं C सरेख हैं
⇒ ar (ABC) = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [(k + 1) (2k + 3 – 5k)] + (3k) (5k – 2k) + (5k – 1) (2k – 2k – 3) = 0
⇒ (k + 1) (-3k + 3) + (3k) (3k) + (5k – 1) (-3) = 0
⇒ -3k² + 3k – 3k + 3 + 9k² – 15k + 3 = 0
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
⇒ 2k² – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k (k – 2) – 1 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (2k – 1) = 0
या तो k – 2 = 0 ⇒ k = 2
अथवा 2k – 1 = 0 ⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: k का अभीष्ट मान 2 या \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 2.
k के मान ज्ञात कीजिए, जिससे (1, -1), (-4, 2k) तथा (-k, -5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
हल :
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 24 वर्ग इकाई (दिया है)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k)] (-1 – 2k)] = 24
⇒ [(2k + 5) + (-4) (-4) + (-k) (-2k – 1)] = 48
⇒ 2k + 5 + 16 + 2k² + k = 48
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
⇒ 2k² + 9k – 6k – 27 = 0
⇒ k(2k + 9) – 3(2k + 9) = 0
⇒ (2k + 9)(k – 3) = 0
या तो 2k + 9 = 0 ⇒ k = \(-\frac { 9 }{ 2 }\)
अथवा k – 3 = 0 ⇒ k = 3
अत: k के अभीष्ट मान = \(-\frac { 9 }{ 2 }\) अथवा 3 हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) तथा C(7, 2) हैं। एक रेखाखण्ड DE भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः बिन्दुओं D तथा E पर इस प्रकार काटता हुआ खींचा गया \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) है
∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा उसकी ∆ABC के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।
हल :

चूँकि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) दिया है। अतः बिन्दु D एवं बिन्दु E रेखाखण्ड AB एवं AC को क्रमशः 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

अत: त्रिभुज ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 5 }{ 6 }\) वर्ग इकाई है।
अब ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (3) + 1 (-4) + 7 (1)]
⇒ ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 4 + 7]
= \(\frac { 15 }{ 2 }\) वर्ग इकाई …(2)
⇒ \(\frac { ar(ADE) }{ ar(ABC) } =\frac { \frac { 5 }{ 6 } }{ \frac { 15 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } \)
अतः ∆ar (ADE) : ar (ABC) = 1:9 है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y), बिन्दुओं P (2, – 2), तथा Q (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y) रेखाखण्ड PQ को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो


⇒ 33m + 22 = 24m + 24
⇒ 33m – 24m = 24 – 22
⇒ 9m = 2
⇒ m = \(\frac { 2 }{ 9 }\)
अतः अभीष्ट अनुपात = 2:9
अब

अतः y का अभीष्ट मान = \(\frac { -4 }{ 11 }\)

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु P (x,y) बिन्दुओं A (a + b, b – a) तथा B (a – b, a + b) से समदूरस्थ है तो सिद्ध कीजिए bx = ay.
हल :

चूँकि PA = PB (दिया है)

⇒ (x – a – b)² + (y + a – b)² = (x – a + b)² + (y – a – b)² दोनों ओर वर्ग करने पर।
⇒ x² + a + b² – 2xa + 2ab – 2xb + y² + a² + b² + 2ya – 2ab – 2yb
= x² + a² + b² – 2xa – 2ab + 2xb + y² + a² + b² – 2ya + 2ab – 2yb
⇒ x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax – 2bx + 2ay – 2by
= x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax + 2bx – 2ay – 2by
⇒ 4ay = 4bx
⇒ bx = ay
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9,4) समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं, तथा E रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है, तो ∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष दिए हैं तथा E बिन्दु, रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है।
ar (∆ADE) ज्ञात करना है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
ar (ABC) = ar (ACD) …(1) [विकर्ण समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि AE, ∆ACD की माध्यिका है [E, DC का मध्य-बिन्दु है]
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ACD) ….(2)
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) [समीकरण (1) व (2) से]
ar (ADE) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) [6(2 – 4) + 8 (4 – 1) +9 (1 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [6 (-2) + 8 (3)] + 9 (-1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 24 – 9]

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 21]
= \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई
अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
बिन्दु A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) ∆ABC के शीर्ष हैं, तो
(i) यदि A से खींची गयी माध्यिका BC से बिन्दु D पर मिलती है तो बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AP : PD = 2 : 1.
(iii) माध्यिका BE एवं CF पर बिन्दु Q एवं R इस प्रकार स्थित हैं कि BQ : QE = 2 : 1 तो Q एवं R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(iv) त्रिभुज ABC के केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है ∆ABC की माध्यिकाएँ AD, BE एवं CF क्रमशः रेखाखण्ड BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दुओं क्रमश: D, E एवं F पर मिलती हैं। P, Q एवं R बिन्दु क्रमशः माध्यिकाओं AD, BE एवं CF को क्रमशः AP : PD = 2 : 1, BQ : QE = 2 : 1 एवं CR : RF = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.23)।
A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) निर्देशांक दिए हैं।
(i) चूँकि बिन्दु D रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\)
अतः बिन्द D के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) हैं।

(ii) चूँकि बिन्दु P बिन्दु A (x₁, y₁) एवं D \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iii) बिन्दु E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है।
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु F रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु , बिन्दु B (x₂, y₂) एवं E \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु Q के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।
चूँकि बिन्दु R बिन्दु C (x₃, y₃) एवं बिन्दु \(F\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iv) ∆ABC के शीर्ष A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) हैं
∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) (हम जानते हैं)
अत: ∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (x, y), B (-5, 7) तथा C (-4, 5) सरेखीय हों, तो x तथा y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं ⇒ ar (ABC) = 0
\(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (7 – 5) + (-5) (5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
2x + y + 3 = 0
अतः x एवं y में अभीष्ट सम्बन्ध 2x + y + 3 = 0 है।

प्रश्न 2.
बिन्दु A (4, 7), B (p, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिसमें B समकोण है। p का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि त्रिभुज ABC बिन्दु B पर समकोण है।
⇒ AB² + BC² = AC² [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ (p – 4)² + (3 – 7)² + (p – 7)² + (3 – 3)² = (4 – 7)² + (7 – 3)²
⇒ p² – 8p + 16 + 16 + p² – 14p + 49 + 0 = 9 + 16
⇒ 2p² – 22p + 56 = 0
⇒ p² – 11p + 28 = 0
⇒ p² – 4p – 7p + 28 = 0
⇒ p (p – 4) – 7 (p – 4) = 0
⇒ (p – 4) (p – 7) = 0
या तो p – 4 = 0 ⇒ p = 4
अथवा p – 7 = 0 ⇒ p = 7
अतः p का अभीष्ट मान या तो 4 है अथवा 7 है।

प्रश्न 3.
एक रेखा y-अक्ष तथा x-अक्ष को क्रमश: P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि (2, -5) PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि P, y-अक्ष का तथा Q, x-अक्ष का बिन्दु है तो मान लीजिए P(0, Y) तथा Q(x, 0) हैं।
चूँकि (2,-5) PQ का मध्य-बिन्दु हो, तो
\(\frac { x+0 }{ 2 }\) = 2
⇒ x = 4
⇒ Q (4,0)
एवं
\(\frac { y+0 }{ 2 }\) = -5
⇒ y = -10
⇒ P (0, -10)
अत: P एवं ए के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः P (0, – 10) एवं Q (4, 0) हैं।

प्रश्न 4.
यदि P (x, y) की A (5, 1) तथा B (-1, 5) से दूरियाँ समान हों तो सिद्ध कीजिए कि 3x = 2y.
हल :
चूँकि PA = PB दिया है
(PA)² = (PB)²
(x – 5)² + (y – 1)² = (x + 1)² + (y – 5)²
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
-10x – 2x = – 10y + 2y
-12x = – 8y
3x = 2y.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (3, 0), (6, 4) एवं (-1, 3) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
हल :
मान लीजिए ∆PQR के शीर्ष P (3,0), Q (6, 4) एवं R (-1, 3) दिये हैं तो

PQ = RP = √25
एवं PQ² + RP² = 25 + 25 = 50 = (√50)² = QR²
∆PQR समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः दिया हुआ ∆ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
बिन्दु A (-5, 6), B (-4,- 2) और C (7,5) से बने त्रिभुज का प्रकार (प्रकृति) बतलाइए।
हल :

चैंकि AB ≠ BC ≠ CA
अतः दिया हुआ अभीष्ट ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (7,-4) से 2√5 इकाई की दूरी पर हैं। इस प्रकार से कितने बिन्दु होंगे?
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है (x-अक्ष पर y शून्य होता है) तो प्रश्नानुसार,
\(\sqrt{(x-7)^{2}+(0+4)^{2}}=2 \sqrt{5}\)
⇒ x² – 14x + 49 + 16 = 20 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 5x – 9x + 45 = 0
⇒ x (x – 5) – 9 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x – 9) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः अभीष्ट दो बिन्दु क्रमशः (5,0) एवं (9,0) होंगे।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दुओं A (-3, -14) एवं B (a, -5) के बीच की दूरी 9 इकाई है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ AB = 9 (दिया है)
⇒ \(\sqrt{(a+3)^{2}+(-5+14)^{2}}=9\)
⇒ a² + 6a + 9 + 81 = 81 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ a² + 6a + 9 = 0
⇒ (a + 3)² = 0
⇒ a + 3 = 0
⇒ a = -3
अतः a का अभीष्ट मान -3 है।

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (5, 1), (-2, -3) एवं (8, 2m) सरेखीय हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि दिए हुए बिन्दु सरेखीय हैं अतः उससे बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0 शून्य होगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [5 (-3 – 2m) + (-2) (2m – 1) + 8 (1 + 3)] = 0
⇒ – 15 – 10m – 4m + 2 + 32 = 0
⇒ – 14m + 19 = 0
⇒ 14m = +19
⇒ m = \(\frac { 19 }{ 14 }\)
अतः m का अभीष्ट मान = \(\frac { 19 }{ 14 }\) इकाई है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु A (2, -4), बिन्दुओं P (3, 8) एवं Q (-10, v) से बराबर दूरी पर स्थित है, तो v का मान बताइए।
हल :
चूँकि AP = AQ दिया है
\(\sqrt{(2-3)^{2}+(-4-8)^{2}}=\sqrt{(2+10)^{2}+(-4-v)^{2}}\)
⇒ (-1)² + (- 12)² = (12)² + (-4 – v)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 1 + 144 = 144 + 16 + v² + 8v
⇒ v² + 8v + 15 = 0
⇒ v² + 3v + 5v + 15 = 0
⇒ v(v + 3) + 5 (v + 3) = 0
⇒ (v + 3) (v+ 5) = 0
या तो v + 3 = 0 ⇒ v = -3
v + 5 = 0 ⇒ v = -5
अतः v के अभीष्ट मान = -3 अथवा -5 हैं।

प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-8, 4), (-6, 6) एवं (-3, 9) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (6 – 9) + (-6) (9 – 4) + (-3) (4 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (-3) + (-6) (5) + (-3) (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 30 + 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [30 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0
= 0
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 0 है।

प्रश्न 12.
x-अक्ष, बिन्दुओं (-4,-6) एवं (-1, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? उस छेदक बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित छेदक बिन्दु (x, 0) है तथा यह दी गयी रेखाखण्ड को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तो
\(\frac{m(7)+1(-6)}{m+1}=0\)
7m – 6 = 0
m = \(\frac { 6 }{ 7 }\)
अत: x-अक्ष दिए रेखाखण्ड को 6 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब

\(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: छेदक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (\(\frac { -34 }{ 13 }\), 0) हैं।

प्रश्न 13.
यदि P (9a – 2,- b) बिन्दुओं A (3a + 1, -3) एवं B (8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

⇒ 36a – 8 = 27a + 1
⇒ 36a – 27a = 1 + 8
⇒ 9a = 9
⇒ a = \(\frac { 9 }{ 9 }\) = 1

⇒ b = -3
अतः a एवं b के अभीष्ट मान क्रमशः 1 एवं -3 हैं।

प्रश्न 14.
यदि (a, b), बिन्दुओं A (10, -6) एवं B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है तथा a – 2b = 18 तोk का मान तथा AB दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,

a – 2b = 18 (दिया है) …..(3)
a – 2 (-1) = 18
a = 16 ….(4) [समीकरण (2) एवं (3) से]
k + 10 = 2 x 16 = 32 [समीकरण (1) एवं (4) से]
k= 32 – 10 = 22
अतः k का अभीष्ट मान = 22 है।

अत: AB का अभीष्ट मान = 2√61 इकाई है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P (- 1, 3) एवं Q (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर इस प्रकार स्थित बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि PR = \(\frac { 3 }{ 5 }\) PQ.
हल :

माना R के निर्देशांक (x, y) हैं और यह PQ को इस प्रकार विभाजित करता है कि PR : PQ = \(\frac { 3 }{ 5 }\)
PR : PQ = 3 : 5
PR : RQ = 3 : 2

अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{4}{5}, \frac{21}{5}\right)\) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

[बताइए निम्न कथन सत्य हैं या असत्य अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
बिन्दु A (-1,0), B (3, 1), C (2, 2) एवं D (-2, 1) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) तथा BD का मध्य-बिन्दु भी (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) है जो समान हैं तथा समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दु (4, 5), (7, 6) एवं (6, 3) संरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दुओं से निर्मित त्रिभुजकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (6 – 3) + 7 (3 – 5) + 6 (5 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (12 – 14 – 6)
= – 4 ≠ 0.

प्रश्न 3.
बिन्दु P (0, – 7), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 0) तथा B (7, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक पर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि P (0, – 7) y-अक्ष पर है तथा

अर्थात् PA = PB जो AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्न 4.
शीर्ष A (-2, 0), B (2, 0) एवं C (0, 2) वाला त्रिभुज ABC एवं शीर्ष D (-4,0), E (4,0) एवं F (0, 4) वाला त्रिभुज DEF समरूप हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

प्रश्न 5.
बिन्दु P(-4, 2), बिन्दुओं A (-4, 6) एवं B (-4, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों बिन्दु x = – 4 रेखा पर स्थित हैं।

प्रश्न 6.
बिन्दु (0, 5), (0, – 9) एवं (3, 6) सरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्रथम दो बिन्दु }-अक्ष पर स्थित हैं जबकि तीसरा बिन्दु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 7.
बिन्दु P (0, 2), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 1) तथा B (3, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि \(P A=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) एवं \(P B=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) है अर्थात् PA ≠ PB.

प्रश्न 8.
बिन्दु A (3, 1), B (12, – 2) एवं C (0, 2) किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं हो सकते।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [3 (-2 – 2) + 12 (2 – 1) + 0 (1 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 12 + 0]
= 0.

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 3), B (6, 4), C (5,-6) एवं D (-3, 5) किसी समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)\) तथा BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\) है
अर्थात् विकर्ण परस्पर समद्विभाजित नहीं करते।

प्रश्न 10.
एक वृत्त का केन्द्र O मूलबिन्दु है। बिन्दु P (5, 0) इस पर स्थित है तथा बिन्दु Q(6, 8) वृत्त के बाहर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है,क्योंकि OP = √(5)² = 5 एवं \(O Q=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) है
अर्थात् OQ > r (OP).

प्रश्न 11.
बिन्दु A (2, 7), बिन्दुओं P (6, 5) एवं Q (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि \(A P=\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\) एवं \(A Q=\sqrt{(2)^{2}+(11)^{2}}\) \(=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5 \sqrt{5}\) अर्थात् AP ≠ AQ.

प्रश्न 12.
बिन्दु P (5, – 3), दो बिन्दुओं A (7, – 2) एवं B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले दो बिन्दुओं में से एक है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि \(\frac{1(1)+2(7)}{1+2}=\frac{15}{3}=5\) एवं \(\frac{1(-5)+2(-2)}{1+2}=\frac{-5-4}{3}=\frac{-9}{3}\)
= – 3 अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु A (-6, 10), B (-4, 6) एवं C (3,-8) सरेखीय बिन्दु हैं इस प्रकार कि \(AB=\frac { 2 }{ 9 }AC\)
हल :
कथन सत्य है. क्योंकि

B, AC को 2 : 7 की अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात् AB = \(\frac { 2 }{ 9 }\) AC.

प्रश्न 14.
बिन्दु P(-2, 4), त्रिज्या 6 एवं केन्द्र (3, 5) वाले वृत्त पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि

प्रश्न 15.
बिन्दु A (-1,- 2), B (4, 3), C (2, 5) एवं D (-3, 0) क्रम में एक आयत का निर्माण करते हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) एवं BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) है।

अर्थात् विकर्ण AC = BD = √58 एवं विकर्ण परस्पर बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) पर समद्विभाजित करते हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष से बिन्दु P (2, 3) की दूरी है :
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 5.
उत्तर:
(b) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु A (0, 6) एवं B (0, – 2) के बीच दूरी है :
(a) 6
(b) 8
(c) 4
(d) 2.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 3.
मूल बिन्दु से बिन्दु P(-6, 8) की दूरी है :
(a) 8
(b) 2√7
(c) 10
(d) 6.
उत्तर:
(c) 10

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, 5) एवं (-5, 0) के बीच दूरी है :
(a) 5
(b) 5√2
(c) 2√5
(d) 10.
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 5.
AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष हैं A (0, 3), 0 (0, 0) एवं B (5,0); इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(a) 5
(b) 3
(c) √34
(d) 4.
उत्तर:
(c) √34

प्रश्न 6.
त्रिभुज की परिमाप जिसके शीर्ष (0, 4), (0, 0) एवं (3, 0) हैं, है :
(a) 5
(b) 12
(c) 11
(d) 7 + √5.
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 7.
शीर्ष A (3,0), B (7,0) एवं C (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(a) 14
(b) 28
(c) 8
(d) 6.
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 8.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) एवं (0, 3) शीर्ष हैं :
(a) समकोण त्रिभुज के
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के
(c) समबाहु त्रिभुज के
(d) विषमबाहु त्रिभुज के।
उत्तर:
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के

प्रश्न 9.
बिन्दु A (-2, -5) एवं B (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित बिन्द
(a) (0,0)
(b) (0, 2)
(c) (2,0)
(d) (-2,0).
उत्तर:
(a) (0,0)

प्रश्न 10.
बिन्दुओं A (-2, 8) एवं B (-6,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है :
(a) (-4,-6)
(b) (2,6)
(c) (-4, 2)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(c) (-4, 2)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी ………. कहलाती है।
2. किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी ……….. कहलाती है।
3. (0, y) एवं (x, 0) के मध्य दूरी ………… होती है।
4. (2a, 0) एवं (0, 2b) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ……….. हैं।
5. तीन सरेखीय बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ………… है।
उत्तर-
1.x-निर्देशांक या भुज,
2. y-निर्देशांक या कोटि
3. \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
4. (a, b),
5. शून्य (0)।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. (3, 0) एवं (0, 4) के बीच की दूरी 5 इकाई होती है।
2. (-4, 6) एवं (4,-6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक (4, 6) हैं।
3. (4,0) एवं (0, 3) के बीच दूरी 5 इकाई है।
4. (0, 0), (3, 0), (0, 4) द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 इकाई है।
5. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) शीर्ष वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
2. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य दूरी क्या होगी?
3. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) को मिलाने वाली रेखा को m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
4. बिन्दु (x₁, y₁), (x₂, y₂) एवं (x₃, y₃) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखिए।
5. मूलबिन्दु से बिन्दु (x, y) के बीच दूरी क्या होगी?
उत्तर-

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5 : 8 अनुपात में विभाजित कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 7.6 cm लम्बा दिया हुआ रेखाखण्ड है जिसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण :

1. AB = 7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. रेखा AB के बिन्दु A पर नीचे की ओर ∠BAX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण AX खींचिए।
3. रेखा AB के बिन्दु B पर ऊपर की ओर ∠ABY = ∠BAY = θ न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. AX एवं BY से क्रमश: AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 = B7B8 रेखाखण्ड काटिए।
5. A6B8 रेखाखण्ड को मिलाइए जो AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।

अत: AB के अभीष्ट विभाजित खण्ड AC : CB = 5 : 8 है।
एवं AC = 2.9 (लगभग)
तथा BC = 4.7 (लगभग)
उत्तर रचना का औचित्य : ∆CAA5 एवं ∆CBB8 में,
∵ ∠CAA5 = ∠CBB8 [रचना से हैं।
∵ ∠ACA5 = ∠BCB8 [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
⇒ ∆CAA5 ~ ∆CBB8 [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A C}{B C}=\frac{A A_{5}}{B B_{8}}=\frac{5}{8}\)
⇒ AC : BC = 5 : 8.

प्रश्न 2.
4 cm, 5cm एवं 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और इसके समरूप अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 2 }{ 3 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए कि एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ AB = 4 cm, BC = 5 cm और CA = 6 cm हैं तथा इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना दिए हुए स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) के अनुसार करनी है।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र मानकर AB = 4 cm की त्रिज्या एवं C को केन्द्र मानकर CA = 6 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
4. BC रेखाखण्ड के बिन्दु B पर नीचे की ओर ∠CBX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BX खींचिए।
5. किरण BX से BB1 = B1B2 = B2B3 तीन बराबर रेखाखण्ड खींचिए।
6. B3C को मिलाइए।
7. B2 से B2C’||B3BC एक रेखाखण्ड खींचिए जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’ A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆BA’C’ एवं ∆BAC में
∵∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵∠A’C’B = ∠ACB रचना से (संगत कोण है)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{2}}{B B_{3}}=\frac{2}{3}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ]

प्रश्न 3.
5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 7 }{ 5 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए ∆ABC की भुजाएँ क्रमश: AB = 5 cm, BC = 6 cm एवं CA = 7 cm की रचना करके एक अन्य ∆A’BC’ समरूप त्रिभुज की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) हैं।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र लेकर AB = 5 cm तथा C को केन्द्र लेकर CA = 7 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होगी।
4. BC को आगे X तक तथा BA को आगे Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर (नीचे की ओर) < XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
5. BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 रेखाखण्ड काटिए।
6. B5 को C से मिलाइए।
7. B7 से B7C’ || B5C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’A’ || CA रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆A’ BC’ एवं ∆ABC में
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [रचना से (संगत कोण हैं)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{7}}{B B_{5}}=\frac{7}{5}\)[समरूप प्रमुख का संगत मुजाए ह]

प्रश्न 4.
आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की
\(1\frac { 1 }{ 2 }\), गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज ABC का आधार BC = 8 cm एवं शीर्ष लम्ब (ऊँचाई) AD = 4 cm है तथा AB = AC की रचना करनी है तथा एक अन्य समरूप त्रिभुज A’BC’ की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(1\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 3 }{ 2 }\) हैं।
रचना के पदः

1. आधार BC = 8 cm का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. BC का लम्बार्द्धक PQ खींचिए जो आधार BC को बिन्दु M पर समद्विभाजित करता है।
3. MP में से MA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AB एवं AC को मिलाइए।
   इस प्रकार अभीष्ट ∆ABC (एक समद्विबाहु त्रिभुज) की रचना होती है।
5. BC, BA को क्रमशः X एवं Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर ∠CBZ = θ एक न्यूनकोण (नीचे की ओर) बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. किरण BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 रेखाखण्ड काटिए।
7. B2C को मिलाइए।
8. B3C’ || B2C खींचिए जो किरण BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’A’ || CA खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है, जहाँ स्केल गुणक \(\frac { 3 }{ 2 }\) है अर्थात् ∆A’BC’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(1\frac { 1 }{ 2 }\) गुनी है।
रचना का औचित्य : ∆A’BC’ एवं ∆ABC में,
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [संगत कोण हैं-रचना से]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{3}}{B B_{2}}=\frac{3}{2}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं]

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠ABC = 60° हैं। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए ∆ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm एवं ∠ABC = 60° है तथा इसके समरूप एक अन्य ∆A’BC’ खींचना है।
जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हो।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B पर ∠CBX = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
3. BX किरण में से BA = 5 cm का एक रेखाखण्ड काटा।
4. AC को मिलाया। इस प्रकार ∆ABC की रचना हुई।
5. BC के बिन्दु B पर ∠CBY = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींची।
6. किरण BY में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 रेखाखण्ड काटे।
7. B4C को मिलाया।
8. बिन्दु B3 से ∠C’B3B = ∠CB4B संगत कोण बनाते हुए C’B3 || CB रेखाखण्ड खींचा जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. बिन्दु C’ से ∠A’C’B = ∠ACB संगत कोण बनाते हुए रेखाखण्ड, A’C’ खींचा जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : त्रिभुज ABC में A’C’ || AC [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆BCB4 में C’B3 || CBA [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{3} B}{B_{4} B}=\frac{3}{4}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{3}{4}\) [समीकरण (1) और (2) से] ।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो, फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45° एवं ∠A = 105°, अतः ∠C = 180° – (45° + 105°) = 180° – 150° = 30° तथा स्केल गुणक \(\frac { 4 }{ 3 }\) वाले समरूप त्रिभुज की रचना करनी है।
रचना के पद :

1. एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BX से BC = 7 cm का एक रेखाखण्ड काटिए।
3. बिन्दु B पर ∠CBY = 45° बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. बिन्दु C पर ∠BCZ = 30° बनाते हुए एक किरण CZ खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
5. किरण BX के साथ नीचे की ओर ∠XBT = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BT खींचिए।
6. किरण BT में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4. रेखाखण्ड काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B4 से B4C’ || B3C खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’ से A’C’ || AC रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है। जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ है।
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1)[समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆C’BB4 में CB3 || C’B4 है
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{4} B}{B_{3} B}=\frac{4}{3}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{4}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 cm तथा 3 cm लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समकोण ∆ABC की रचना करनी है जिसका ∠B समकोण है तथा भुजाएँ AB = 4 cm तथा BC = 3 cm हैं। इसके अतिरिक्त एक अन्य । त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
रचना के चरण :

1. एक किरण BX खींचिए तथा BX में से BC = 3 cm का रेखाखण्ड काटिए।
2. बिन्दु B पर BC के साथ ∠CBY = 90° (समकोण) बनाते हुए किरण BY खींचिए।
3. किरण BY में से BA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AC को मिलाइए। इस प्रकार समकोण ∆ABC की रचना होती है।
5. बिन्दु B पर BX के साथ ∠XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. BZ में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B5 से B5C’ || B3C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. C’ से C’A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही ∆A’BC अभीष्ट समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं ∆C’BB5 में, CB3 || C’B5 [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{5} B}{B_{3} B}=\frac{5}{3}\) …..(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{5}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण किसी बिन्द से 30° है। यदि प्रेक्षक 20 मीटर मीनार की ओर चलता है तो उस मीनार के शीर्ष का कोण 15° बढ़ जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ एक मीनार है जिसके शीर्ष P का बिन्दु R पर उन्नयन कोण ∠PRQ = 30° है तथा मीनार की ओर RS = 20 m चलने पर उन्नयन कोण ∠PSQ = 30° + 15° = 45° हो जाता है। पुनः मान लीजिए मीनार की ऊँचाई PQ = hm तथा दूरी QS = x m है तो
समकोण ∆PQS में,
\(\frac { PQ }{ QS }\) = tan PSQ
⇒ \(\frac { h }{ x }\) = tan 45° = 1
⇒ h = x …(1)
एवं समकोण ∆PQR में,


अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 2.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण दो बिन्दुओं पर जो मीनार के पाद से क्रमशः s एवं t मात्रक की दूरी पर हैं, एक दूसरे के पूरक हैं तो सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √st है।
हल :

जैसा कि संलग्न आकृति 9.21 में दिखाया गया है। मान लीजिए मीनार PQ = h मात्रक ऊँची है। RQ = s एवं SQ = t है तथा ∠PRQ = θ एवं ∠PSQ = (90° – θ) है। समकोण ∆PRQ में,
\(\frac { PQ }{ RQ }\) = tan PRQ
\(\frac { h }{ s }\) = tanθ …..(1)
समकोण ∆PSQ में,

h² = st
h = √st
अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = √st है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक सड़क के ऊर्ध्वाधरतः स्थित एक गुब्बारे से एक ही दिशा में दो कारों के अवनमन कोण क्रमशः 45° एवं 60° पाये जाते हैं। यदि कारों के बीच की दूरी 100 m हो तो गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए गुब्बारे P की सड़क से ऊर्ध्वाधर ऊँचाई PQ = h m है तथा सड़क पर दो कारें A एवं B एक-दूसरे से AB = 100 m की दूरी पर हैं। P से A का अवनमन कोण ∠XPA = 45° एवं B का अवनमन कोण ∠XPB = 60° है। पुनः मान लीजिए कि BQ = x m तो चित्रानुसार ∠PAQ = ∠XPA = 45° (एकान्तर कोण हैं) एवं ∠PBQ = ∠XPB = 60° (एकान्तर कोण हैं)। समकोण त्रिभुज PQA में,

एवं समकोण ∆PQB में,
\(\frac { PQ }{ BQ }\) = tan PBQ
⇒ \(\frac { h }{ x }\) = tan 60° = √3 .
⇒ h = x√3 …(2)
⇒ h = (h – 100) √3 समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ h = h√3 – 100√3
⇒ (h√3 – h) = 100√3
⇒ h (√3 – 1) = 100√3

⇒ h = 50 (3 + √3) m
अतः, गुब्बारे की अभीष्ट ऊँचाई = 50 (3 + √3) m है।

प्रश्न 4.
एक हवाई जहाज भूतल से ऊपर 300 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। इस ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज से एक नदी के दोनों किनारों पर परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिन्दुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [√3 = 1.732 का प्रयोग कीजिए।]
हल :

PQ = 300 m की ऊँचाई पर उड़ रहे हवाई जहाज से नदी के किनारे पर स्थित बिन्दुओं R एवं S के अवनमन कोण ∠XPR = 60° एवं ∠XPS = 45° है। ∠PRQ = ∠XPR = 60° एवं ∠PSQ = ∠XPS = 45° मान लीजिए कि SR = x m एवं RQ = y m हैं समकोण ∆PQS में,

एवं समकोण ∆PQR में,
\(\frac { PQ }{ RQ }\) = tan PRQ
\(\frac { 300 }{ y }\) = tan 60° = √3
y = \(\frac{300}{\sqrt{3}}\) = 100√3 = 100 x 1.732 = 173.2 m …(2)
x + 173.2 = 300 [समीकरण (1) एवं (2) से]
x = 300 – 173.2
= 126.8 m
अतः, नदी की अभीष्ट चौड़ाई = 126.8 m है।

प्रश्न 5.
एक मीनार के पाद से गुजरने वाली सीधी रेखा पर पाद से क्रमशः 4 m तथा 16 m की दूरियों पर स्थित दो बिन्दु C और D स्थित हैं। यदि C और D से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हों, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए एक मीनार PQ = h m ऊँची है जिसके पाद Q से बिन्दुओं C एवं D की दूरियाँ क्रमशः QC = 4 m एवं QD = 16 m हैं तथा ∠PCQ = α° एवं ∠PDQ = (90 – α)° है। अब समकोण ∆PQC में,
\(\frac { PQ }{ QC }\) = tan PCQ ⇒ \(\frac { h }{ 4 }\) = tan a …(1)
एवं समकोण ∆PQD में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 8 m है।

प्रश्न 6.
भूमि के एक बिन्दु Xसे एक ऊर्ध्वाधर मीनार PQ के शिखर Q का उन्नयन कोण 60° है। एक अन्य बिन्दु Y जो X से 40 m ऊर्ध्वाधर रूप में ऊँचा है, से शिखर Q का उन्नयन कोण 450
है। मीनार PQ की ऊँचाई तथा दूरी PX ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.73 लीजिए)
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची मीनार के पास P से PX = x m की दूरी पर स्थित बिन्दु के ऊर्ध्वाधरतः XY = 40 m ऊपर बिन्दु Y है। X एवं Y पर मीनार के शिखर Q के उन्नयन कोण ∠QXP = 60° और ∠QYR = 45° दिए हैं।
चित्रानुसार,
YR = PX = x m
PR = XY = 40 m
⇒ QR = PQ – PR = (h – 40)
समकोण त्रिभुज ∆ORY में,
\(\frac { QR }{ YR }\) = tan QYR ⇒ \(\frac { h-40 }{ x }\) = tan 45°
h – 40 = x tan 45° = x ⇒ h = x + 40 …(1)
समकोण ∆QPX में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 94.60 m है।

प्रश्न 7.
एक व्यक्ति एक जलयान के डैक जो पानी के स्तर से 10 m ऊँचा है, से एक पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° पाता है। पहाड़ी से जलयान की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची एक पहाड़ी से QB = x m की दूरी पर स्थित AB = 10 m ऊँचा जलयान का डैक है जिससे पहाड़ी के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं पहाड़ी के तल Q का अवनमन कोण RAQ = 30° है।
RQ = AB = 10 m
एवं AR = QB = x m
तथा PR = PQ – RQ = (h – 10) m
अब समकोण ∆ARO में,
\(\frac { RQ }{ AR }\) = tanRAQ
\(\frac { 10 }{ x }\) = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
x = 10√3 …(1)
एवं समकोण ∆PRA में,
\(\frac { PR }{ AR }\) = tan PAR ⇒ \(\frac { h-10 }{ x }\) = tan 60° = √3
(h – 10) = x√3 …(2)
h – 10 = 10 √3 x 3 [समीकरण (1) एवं (2) से]
h = 30 + 10 = 40 m
अतः, पहाड़ी से जलयान की अभीष्ट दूरी = 10√3 m तथा पहाड़ी की ऊँचाई = 40 m है।

प्रश्न 8.
एक झील में पानी के तल से 20 m ऊँचे बिन्दु A से, एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का A से अवनमन कोण 60° है। A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक बादल पानी के तल BC से PC = h m की ऊँचाई पर स्थित है जिसका प्रतिबिम्ब जल में बिन्दु Q पर बनेगा। इस प्रकार कि CQ = PC = h m (प्रकाश के परावर्तन के नियम से)। जल स्तर से AB = 20 m की ऊँचाई पर बिन्दु A से बादल P का उन्नयन कोण ∠PAD = 30° एवं बादल के प्रतिबिम्ब Q का अवनमन कोण ∠QAD = 60° एवं AD = x m है
⇒ DC = AB = 20 m

एाव PD = PC – DC = (h – 20) m
तथा QD = CQ + DC = (h + 20) m
अब समकोण ∆PDA में,

एवं समकोण ∆QDA में,

अब समकोण ∆PDA में,

अतः, बादल की बिन्दु A से अभीष्ट दूरी = 40 m है।

प्रश्न 9.
धरातल के एक बिन्दु A से हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदिहवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 m पर उड़ रहा हो, तो हवाई जहाज की गति किलोमीटर/घण्टा ज्ञात कीजिए।
हल :

मानलीजिए एक हवाईजहाज PR = 1500 √3 m की ऊँचाई पर बिन्दु P पर स्थित है तथा यह गति करते हुए 15 s में x m की दूरी तय करके बिन्दु Q पर आता है, जहाँ QS ऊँचाई = 1500 √3 m है। R से AR = y m की दूरी पर स्थित बिन्दु A से बिन्दु P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं बिन्दु Q का उन्नयन कोण ∠QAS = 30° है।
RS = PQ = x m
एवं AS = AR + RS = (y + x) m
अब समकोण ∆PRA में,
\(\frac { PR }{ AR }\) = tan PAR ⇒ \(\frac{1500 \sqrt{3}}{y}\) = tan 60° = √3
⇒ y = 1500 m ……(1)
एवं समकोण ∆QAS में,
\(\frac { QS }{ AS }\) = tan QAS
\(\frac{1500 \sqrt{3}}{y+x}\) = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y + x = 1500√3 x √3 = 4500 m
1500 + x = 4500
x = 4500 – 1500 = 3000 m
हवाई जहाज द्वारा चली गयी दूरी = 3000m = 3 km
तथा यात्रा में लिया गया समय

चाल = 3 x 240 = 720 k/h
अतः, हवाई जहाज की अभीष्ट चाल = 720 k/h है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ज्ञात कीजिए जबकि h m ऊँचे किसी खम्भे की छाया √3 h m लम्बी है।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँचे खम्भे की छाया QR = h√3 m है तथा सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ∠PRQ = θ है। तो समकोण त्रिभुज PQR में,
\(\frac { PQ }{ QR }\) = tan PRQ
\(\frac { 1 }{ 2 }\) = tanθ
tan θ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) = tan 30°
θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश (उन्नयन कोण) = 30° है।

प्रश्न 2.
एक 15 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शीर्ष तक ठीक-ठीक पहुँचती है। यदि सीढ़ी 60° का कोण दीवार के साथ बनाती है तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 15 m लम्बी एक सीढ़ी दीवार के शीर्ष के साथ ∠ABC = 60° का कोण बनाते हुई खड़ी है। दीवार की ऊँचाई BC = h m है। समकोण ∆BCA में,
\(\frac { BC }{ AB }\) = COS ABC
⇒ \(\frac { h }{ 15 }\) = cos 60°= \(\frac { 1 }{ 2 }\)
⇒ h = \(\frac { 15 }{ 2 }\)
= 7.5 m
अतः, दीवार की अभीष्ट ऊँचाई = 7.5 m है।

प्रश्न 3.
1.5 m ऊँचा एक प्रेक्षक एक 22 m ऊँची मीनार से 20.5m की दूरी पर खड़ा है। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँख से ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = 22 m एक मीनार है जिससे AR = BQ = 20.5 m की दूरी पर एक प्रेक्षक AB = 1.5 m ऊँचा खड़ा है। प्रेक्षक की आँख से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠PAR = θ°
PR = PQ – RQ
= PQ – AB
= 22 – 1.5
= 20.5 m.
समकोण ∆PRA में,

अतः, अभीष्ट उन्नयन कोण = 45° है।

प्रश्न 4.
यदि 30 m ऊँची एक मीनार भूमि पर 10√3 m लम्बी छाया बनाती है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?
हल :

मान लीजिए PQ = 30 m ऊँची मीनार की छाया भूमि पर RQ = 10√3 m है तथा सूर्य का उन्नयन कोण ∠PRQ = θ है तो समकोण ∆PQR में,
tanθ = \(\frac{P Q}{R Q}=\frac{30}{10 \sqrt{3}}\) = √3
⇒ tanθ = tan 60°
⇒ θ = 60°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नयन कोण = 60° है।

प्रश्न 5.
एक दीवार के साथ लगी सीढ़ी क्षैतिज के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाद दीवार से 2.5m की दूरी पर है तो सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = l m लम्बी एक सीढ़ी क्षैतिज के साथ ∠BAC = 60° का कोण बनाती है तथा बिन्दु A दीवार से AC = 2.5 m की दूरी पर है तो समकोण ∆ACB में,
cos BAC = \(\frac { AC }{ AB }\)
⇒ cos 60°= \(\frac{2 \cdot 5}{l}=\frac{1}{2}\)
⇒ l = 2 x 2.5 = 5m
अतः, सीढ़ी की अभीष्ट लम्बाई = 5 m है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 9.37 में एक मीनार AB की ऊँचाई 20 m है और इसकी भूमि पर परछाईं BC की लम्बाई 20√3 है। सूर्य का उन्नतांश ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 20 m ऊँची मीनार की परछाई BC = 20√3 m है तथा सूर्य का उन्नातांश θ° है तो समकोण ∆ABC में,
tan ACB = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan θ = \(\frac{20}{20 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan 30°
⇒ θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश = 30° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सत्य/असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
एक मीनार की छाया की लम्बाई बढ़ने के साथ-साथ ही सूर्य का उन्नतांश भी बढ़ता जाता है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नतांश बढ़ने पर छाया की लम्बाई घटती है।

प्रश्न 2.
एक मनुष्य एक झील के तल से 3 m ऊँचे प्लेटफार्म पर खड़ा एक बादल एवं उसके प्रतिबिम्ब का प्रेक्षण करता है तब वह देखता है कि बादल का उन्नयन कोण उसके प्रतिबिम्ब के अवनमन
कोण के बराबर है।
हल:
कथन असत्य है, क्योंकि प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण बादल के उन्नयन कोण से अधिक होगा।

प्रश्न 3.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई दूनी कर दी जाए तो इसके शीर्ष का उन्नयन कोण भी दूना हो जायेगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नयन कोण मीनार की ऊँचाई से तीन गुना करने पर दूना होगा।

प्रश्न 4.
किसी मीनार की ऊँचाई और इसके प्रेक्षक बिन्दु की दूरी में 10% वृद्धि कर दी जाए तो उन्नयन कोण समान रहेगा।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि दोनों भुजाओं का अनुपात समान रहने पर tanθ का मान और इसलिए कोण θ का मान वही रहेगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि धूप में खड़े एक व्यक्ति की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुना हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण होगा :
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 2.
एक पेड़ की छाया 20√3 मीटर है। यदि पेड़ की ऊँचाई 20 मीटर हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा:
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 3.
एक व्यक्ति किसी बिजली के खम्भे के शिखर से देखता है कि धरातल के एक बिन्दु का अवनमन कोण 60° है। यदि खम्भे के पाद से बिन्दु की दूरी 25 मीटर हो, तो खम्भे की ऊँचाई होगी :
(a) 25 मीटर
(b) 25√2 मीटर
(c) 25√3 मीटर
(d) 1 मीटर।
उत्तर:
(c) 25√3 मीटर

प्रश्न 4.
पुल पर बैठा एक व्यक्ति नदी में एक नाव देखता है, जिसका अवनमन कोण 45° है। यदि पुल की ऊँचाई 15 मीटर हो, तो नाव की पुल से दूरी होगी :
(a) 10 मीटर
(b) 15 मीटर
(c) 25 मीटर
(d) 5 मीटर।
उत्तर:
(b) 15 मीटर

प्रश्न 5.
पेड़ की छाया, उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन) कोण होगा :
अथवा
यदि मीनार की ऊँचाई एवं छाया की लम्बाई समान हो, तो सूर्य के उन्नयन कोण का मान होगा :
(a) 30°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45.
उत्तर:
(d) 45.

प्रश्न 6.
एक भवन के पाद से 30 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। भवन की ऊँचाई है:
(a) 25 मीटर
(b) 30 मीटर
(c) 25√2 मीटर
(d) 30√2 मीटर।
उत्तर:
(b) 30 मीटर

प्रश्न 7.
एक 6 m ऊँचे खम्भे की छाया 2√3 m लम्बी है तो सूर्य का उन्नतांश होगा :
(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°.
उत्तर:
(a) 60°

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. नीचे खड़े रहकर ऊपर की ओर देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना ऊपर की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ……….. कहलाता है।
2. ऊपर के किसी बिन्दु से नीचे के किसी बिन्दु को देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना नीचे की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ………… कोण कहलाता है।
3. यदि किसी मीनार (पेड़) की ऊँचाई एवं उसकी छाया (की लम्बाई) बराबर (समान) हो, तो उस समय उसका (सूर्य का) उन्नयन कोण ……….. होगा।
4. एक भवन के पास से 25 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है, तो भवन की ऊँचाई …………. होगी।
उत्तर-
1. उन्नयन कोण,
2. अवनमन,
3. 45°,
4.25 मीटर।

सत्य/असत्य कथन

1. क्षैतिज तल से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के साथ अवनमन कोण बनाती है।
2. वह रेखा जो हमारी आँख से वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ती है, दृष्टि रेखा कहलाती है।
3. देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है, जबकि वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को नीचे की ओर झुकाना पड़ता है। (2019)
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. उस मापक यन्त्र का नाम लिखिए जिसके द्वारा किसी दूरस्थ बिन्दु या ऊँचाई का कोण मापन किया जा सकता है।
2. वह रेखा क्या कहलाती है जो हमारी आँख से सीधे भूमि के समानान्तर जाती है?
3. हमारी आँख से उस वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ने वाली रेखा क्या कहलाती है?
4. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से ऊपर हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से ऊपर को मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
5. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से नीचे हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से नीचे की ओर मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
6. एक वृक्ष की ऊँचाई एवं उसकी छाया बराबर हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?
उत्तर-
1. षष्टक,
2. क्षैतिज रेखा,
3. दृष्टि रेखा,
4. उन्नत (उन्नयन) कोण,
5. अवनत (अवनमन) कोण,
6. 45°

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:

अत: cotA के पदों में \(\sin A=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}, \sec A=\frac{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}{\cot A}\) एव \(\tan A=\frac{1}{\cot A}\) है।

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल :
मान लीजिए समकोण ∆ABC में ∠B समकोण है और sec A = x = \(\frac { AC }{ AB }\)
यदि कर्ण AC = x तो संलग्न भुजा AB = 1

अतः sec A के पदों में विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात हैं :

प्रश्न 3.
मान निकालिए:
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल :
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान =1

(ii) sin 25°. cos 65° + cos 25°. sin 65°
= sin 25°. cos (90° – 25°) + cos 25°. sin (90° – 25°)
= sin 25°. sin 25° + cos 25°. cos 25°
= sin 25° + cos² 25° = 1 [∴ sin²θ + cos²θ = 1 (सर्वसमिका)]
अतः अभीष्ट मान = 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :
(i) 9 sec²A – 9 tan² A बराबर है :
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (B) 9 है,
क्योंकि 9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec²A – tan² A)
= 9 x 1
= 9

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1.
हल :
सही विकल्प (C) 2 है, क्योंकि
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है :
(A) sec A
(B) sin A
(C) coses A
(D) cos A.
हल :
सही विकल्प (D) cos A है,
क्योंकि (sec A + tan A)(1 – sin A)

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) बराबर है :
(A) sec² A
(B) – 1
(C) cot² A
(D) tan² A.
हल :
सही विकल्प (D) tan² A है,
क्योंकि

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं
(i) \((\csc \theta-\cot \theta)^{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)
(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \cdot \csc \theta\)
(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
(v) cosec² A = 1 + cot² A \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\csc A+\cot A\)
(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A\)
(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta\)
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
(ix) \((\csc A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{\cot A}\right)^{2}=\tan ^{2} A\)
हल :
(i) \((\csc \theta-\cot \theta)^{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)


LHS = RHS
इति सिद्धम

(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \cdot \csc \theta\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(v) cosec² A = 1 + cot² A \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\csc A+\cot A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + 2 sin A cosec A + cosec² A + cos² A + 2 cos A sec A + sec² A
= sin² A + cos² A + 2 sin A cosec A + 2 cos A sec A + sec² A + cosec² A
= 1 + 2 + 2 + (1 + tan² A) + (1 + cot² A) [∵ sin² A + cos² A = 1, sin A coses A = 1 एाव cos A sec A = 1 एाव sec² A = 1 + tan² A तथा cosec² A = 1 + cot² A]
= 7 + tan² A + cot² A
= R.H.S.
L.H.S = R.H.S.
इति सिद्धम्

(ix) \((\csc A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{\cot A}\right)^{2}=\tan ^{2} A\)


LHS = RHS
इति सिद्धम

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 6.72 में यदि ∠A = ∠C, AB = 6 cm, BP = 15 cm, AP = 12 cm और CP = 4 cm, तो PD और CD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABP एवं ∆CDP में,
∠A = ∠C (दिया है)
∠APB = ∠CPD (शीर्षभिमुख कोण हैं)
∆ABP ~ ∆CDP [AA समरूपता]


अतः PD की अभीष्ट लम्बाई = 5 cm एवं CD की अभीष्ट लम्बाई = 2 cm है।

प्रश्न 2.
∆ABC ~ ∆EDF दिए हैं जिनमें AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं DE = 12 cm. त्रिभुजों की शेष बची भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆ABC ~ ∆EDF (दिया है)
\(\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D F}=\frac{A C}{E F}\) ….(1) (समरूप त्रिभुजों के प्रगुण)
AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं ED = DE = 12 cm के दिए हुए मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः शेष बची भुजाओं BC एवं EF की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 6.25 cm एवं 16.8 cm है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
अथवा
यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभक्त करती है।
हल :

ज्ञात है : ∆ABC जिसमें रेखा DE || BC और रेखा DE, AB को D पर तथा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
रचना : D को C से तथा B को E से मिलाइए एवं EF ⊥ AB खींचिए (देखिए आकृति 6.73)।

प्रश्न 4.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर के सहारे इस प्रकार रखी है कि उसका शीर्ष दीवार की 4 m ऊँचाई तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के पाद को दीवार की तरफ 1.6 m विस्थापित कर दिया जाए तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जिससे सीढ़ी का शीर्ष दीवार पर ऊपर की ओर खिसकता है।
हल :

AB = 5 m लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार CA के सहारे खड़ी है जहाँ AC = 4 m है। अब सीढ़ी को दीवार की ओर BB’ = 1.6 m खिसकाने पर नई
स्थिति A’B’ हो जाती है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² – AC²
BC² = (5)² – (4)²
= 25 – 16
= 9
BC = √9 = 3 m
एवं समकोण ∆A’CB’ में पाइथागोरस प्रमेय से,
A’C = A’B’² – B’C
लेकिन A’B’ = AB = 5 m
B’C = BC – BB’
= 3 m – 1.6 m
= 1.4 m
A’C² = (5)² – (1.4)²
= 25 – 1.96
= 23.04
A’C = √23.04
= 4.8 m
A’A = A’C – AC = 4.8 – 4 = 0.8 m
अतः दीवार के सहारे सीढ़ी का शीर्ष 0.8 m ऊपर की ओर खिसकेगा।

प्रश्न 5.
किसी शहर A से दूसरे शहर B तक जाने का रास्ता शहर C से होकर जाता है, इस प्रकार कि AC ⊥ CB एवं AC = 2x km तथा CB = 2 (x + 7) km. एक 26 km लम्बा राजमार्ग (हाईवे) बनाना प्रस्तवित है जो शहर A एवं B को सीधा जोड़ेगा। बताइए शहर A से शहर B तक जाने में राजमार्ग बनने पर कितनी दूरी की बचत होगी?
हल :

तीनों सड़कें समकोण त्रिभुज ACB की संरचना करती हैं, जहाँ AB = 26 km, AC = 2x km एवं CB = 2 (x + 7) km है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² + BC² = AB²
(2x)² + [2 (x + 7)]² = (26)²
4x² + 4 (x² + 14x + 49) = 676
4x² + 4x² + 56x + 196 = 676
8x² + 56x – 480 = 0
x² + 7x – 60 = 0
x² + 12x – 5x – 60 = 0
x (x + 12) – 5 (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 5) = 0
या तो x + 12 = 0 ⇒ x = – 12 km [जो असम्भव है]
अथवा
x – 5 = 0 ⇒ x = 5 km
राजमार्ग बनने से पहले तय की जाने वाली दूरी
= AC + CB = 2x + 2x + 14
= 4x + 14
= 4 × 5 + 14
= 20 + 14
= 34 km
दूरी में अन्तर = 34 km – 26 km = 8 km
अतः तय की गई दूरी में अभीष्ट बचत = 8 km.

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.76 में ABC एक समकोण त्रिभुज है जो B पर समकोण है एवं BD ⊥ AC. यदि AD = 4 cm एवं CD = 5 cm तो BD एवं AB के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण AC पर डाला गया लम्ब BD त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के भी समरूप होते हैं (हम जानते हैं)।
⇒∆ADB ~ ∆BDC ~ ∆ABC [प्रमेय : 6.7 से]
⇒\(\frac{A D}{B D}=\frac{B D}{C D}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒\(\frac{4 \mathrm{cm}}{B D}=\frac{B D}{5 \mathrm{cm}}\)
⇒[∵ AD = 4 cm एवं CD = 5 cm दिया है।]
⇒BD² = 4 x 5 = 20
⇒BD = √20 = 2√5 cm
अब समकोण ∆ADB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒AB² = AD² + BD² = (4)² + (2√5)²
= 16 + 20
= 36
⇒AB = √36 = 6 cm
अंत: BD एवं AB की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 2√5 cm एवं 6 cm हैं।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.77 में ∆POR एक समकोण त्रिभुज है, जो बिन्दु Q पर समकोण है एवं QS ⊥ PR तथा PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm तो QS, RS एवं QR के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ समकोण ∆PSQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
QS² = PQ² – PS² = (6)² – (4)²
[∵ PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm दिया है]
QS² = 36 – 16 = 20
QS = √20 = 2√5 cm
∵ समकोण ∆ में समकोण वाले शीर्ष पर डाला गया लम्ब त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभक्त करता है तथा प्रत्येक त्रिभुज मूल त्रिभुज के भी समरूप होता है। (हम जानते हैं)
∆PQS ~ ∆QRS ~ ∆PRQ

[समीकरण (1) में PQ = 6 cm, QS = 2√5 cm एवं RS = 5 cm मान रखने पर]
\(Q R=\frac{6 \times 5}{2 \sqrt{5}}=3 \sqrt{5} \mathrm{cm}\)
अत: QS, RS एवं QR के अभीष्ट मान क्रमश: 2√5 cm, 5 cm एवं 3√5 cm हैं।

प्रश्न 8.
एक चतुर्भुज ABCD में ∠A + ∠D = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि : AC² + BD² = AD² + BC²
हल :

ज्ञात है : चतुर्भुज ABCD जिसमें ∠A + ∠D = 90°
तथा AC एवं BD को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AD² + BC²
रचना : AB एवं DC को बढ़ाइए जो बिन्दु E पर मिलते हैं।
उपपत्ति : चूँकि ∆EAD में ∠A + ∠D = 90° (दिया है)
⇒∆AED, ∆AEC, ∆BEC एवं ∆DEB समकोण ∆ हैं, जिसमें ∠E = 90°
∵ समकोण ∆AEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AE² + CE² …(1)
∵ समकोण ∆DEB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = DE² + BE² …(2)
⇒AC² + BD² = AE² + DE² + BE² + CE² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
∵ समकोण ∆AED में पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AE² + DE² …(4)
∵ समकोण ∆BEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = BE² + CE² ….(5)
⇒AD² + BC² = AE² + DE² + BE² + CE² …(6)
[समीकरण (4) + (5) से]
⇒AC² + BD² = AD² + BC². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है के विकर्ण AC एवं BD का प्रतिच्छेद बिन्दु O है। O से होकर AB के समान्तर एक रेखाखण्ड PQ खींचा गया है जो AD को P पर तथा BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए : PO = QO
हल :

∵ AB || DC एवं AB || PQ
PQ || DC अर्थात् OQ|| DC || AB
तथा PO || AB || DC
∵ ∆BDC में, OQ || DC


PO = QO.
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 6.80 में रेखाखण्ड DF, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार विभाजित करता है कि E बिन्दु भुजा CA का मध्य-बिन्दु है एवं ∠AEF = ∠AFE है तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{B D}{C D}=\frac{B F}{C E}\)
हल :

दिया है : रेखाखण्ड DE, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हुए कि E, CA का मध्य-बिन्दु AB पर बिन्दु F पर मिलता है तथा ∠AEF = ∠AFE है। रचना : GC || DF खींचिए जो ∆ABC की भुजा AB के बिन्दु G पर मिलती है। चूँकि E, भुजा AC का मध्य-बिन्दु,
CE = AE (दिया है)
चूँकि ∠AEF = ∠AFE (दिया है)
AE = AF
AE = CE = AF
CG || DF खींचिए जो AB को बिन्दु G पर मिलती है।
∆ACG में, DF || CG

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण ∆ के कर्ण पर बने समाबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल शेष भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है तथा कर्ण AC पर समबाहु ∆FAC, AB पर बना समबाहु ∆DAB एवं BC पर बना समबाहु त्रिभुज EBC है।
AB = p, BC = b एवं AC = h.
समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = AC²
⇒ p² + b² = h² …(1)
ar (DAB) + ar (EBC)

अतः किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
∆PQR में, PD ⊥ QR इस प्रकार है कि D बिन्दु QR पर स्थित है। यदि PQ = a, PR = b, QD = c तथा DR = d तो सिद्ध कीजिए कि : (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d)
हल :

ज्ञात है : ∆PQR जिसमें PD ⊥ QR जहाँ D बिन्दु रेखा QR पर स्थित होगा। PQ = a, PR = b, QD = c एवं DR = d है।
सिद्ध करना है: (a + b)(a – b) = (c + d) (c – d)
अब समकोण ∆PDQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PQ² – QD² = a² – c² …(1)
एवं समकोण ∆PDR में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PR² – DR² = b² – d² ….(2)
⇒ a² – c² = b² – d² [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ a² – b² = c² – d²
⇒ (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d).
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक बल्ब एक खम्भे पर सड़क के तल से 6 m की ऊँचाई पर लगा है। एक 1.5 m ऊँचाई की स्त्री की छाया 3 m लम्बी पड़ती है। बताइए कि स्त्री खम्भे के आधार से कितनी दूरी पर खड़ी है?
हल :

मान लीजिए एक खम्भा PQ = 6 m ऊँचा है। एक स्त्री AB = 1.5 m ऊँचे खम्भे के आधार Q से QB = x m की दूरी पर खड़ी है जिसकी छाया CB = 3 m लम्बी पड़ती है।
चूँकि AB || PQ (ऊधर्वाधर है)
⇒ ∆ABC ~ ∆PQC [∠C उभयनिष्ठ ∠B = ∠Q = 90°]

⇒ 4.5 + 1.5x = 18
⇒ 1.5x = 18 – 4.5 = 13.5
⇒ x = \(\frac { 13.5 }{ 1.5 }\) = 9m
अतः स्त्री खम्भे के आधार से 9 m की दूरी पर खड़ी है।

प्रश्न 4.
18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया 9.6 m लम्बी है। स्तम्भ के शीर्ष की छाया के दूर अन्त्यः बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि PQ = 18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया QR = 9.6 m लम्बी पड़ती है।
बिन्दु R से खम्भे के शीर्ष P की दूरी PR = x m है।
समकोण ∆PQR में पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = PQ² + QR²
= (18)² + (9.6)²
= 324 + 92.16
= 416.16
PR = √416.16
= 20.4 m
अतः बिन्दु R से स्तम्भ के शीर्ष की अभीष्ट दूरी = 20.4m है।

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.85 में DE || AB तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆CAB में,
चूँकि DE || AB
⇒ \(\frac{C D}{D A}=\frac{C E}{E B}\) (प्रमेय : 6.1 से)
⇒ \(\frac{x+3}{3 x+19}=\frac{x}{3 x+4}\) (चित्रानुसार)
⇒ 3x² + 19x = 3x² + 4x + 9x + 12
⇒ 19x = 13x + 12
⇒ 6x = 12
⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 2
अतः x का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 6.
समलम्ब चतुर्भुज PQRS के विकर्ण परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ PQ || RS तथा PQ = 3RS, तो त्रिभुज POQ एवं ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है PQRS एक समचतुर्भुज जिसमें PQ || RS एवं PQ = 3RS. इसके विकर्ण PR एवं QS परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब ∆POQ एवं ∆ROS में,
∵ ∠POQ = ∠ROS [शीर्षाभिमुख कोण हैं।]
⇒ ∠RPQ = ∠PRS
[एकान्तर कोण हैं जहाँ PQ || RS एवं RP तिर्यक रेखा है]
⇒ ∆POQ ~ ∆ROS [AA समरूपता]

अतः ∆POQ एवं ∆ROS के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 9:1 है।

प्रश्न 7.
∆ABC ~ ∆DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm एवं FD = 12 cm. ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि
∆ABC ~ ∆DEF

∆ABC की परिमाप = AB + BC + CA
= 4 cm + 6 cm + 8 cm
= 18 cm
अत: ∆ABC की अभीष्ट परिमाप = 18 cm है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.87 में, यदि DE || BC तो ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

⇒ ∆ADE एवं ∆ABC में
⇒ ∠A = ∠A [उभयनिष्ठ हैं।]
⇒ ∠D = ∠B [संगत कोण हैं]
चूँकि DE || BC एवं AB तिर्यक रेखा है।
⇒ ∆ADE ~ ∆ABC [AA समरूपता]

अत: ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमश: 36 cm² एवं 100 cm² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की कोई भुजा की लम्बाई = 20 cm हो तो छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए छोटी त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई x cm है और हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों में,

अतः छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की अभीष्ट लम्बाई = 12 cm है।

प्रश्न 10.
एक 10 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के आधार से 6 m दूरी पर रखी हुई दीवार के साथ टिकी है। दीवार के उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ पर सीढ़ी का शीर्ष टिका है।
हल :

मान लीजिए एक सीढ़ी AB = 10 m लम्बी है और दीवार AC के आधार C से BC = 6 m की दूरी पर रखी हुई है तथा दीवार के साथ बिन्दु A पर टिकी है। A की ऊँचाई आधार से AC = h है तो समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ AC² = AB² – BC²
⇒ h² = (10)² – (6)²
= 100 – 36
= 64
⇒ h = √64
= 8 m
अतः दीवार के अभीष्ट बिन्दु की ऊँचाई = 8 m

प्रश्न 11.
आकृति 6.89 में ∠P ज्ञात कीजिए।

हल :
∆ABC एवं ∆PQR में,

⇒ ∠A = ∠R, ∠A = ∠Q एवं ∠C = ∠P
लेकिन ∠C + 60° + 80° = 180° [त्रिभुज के अन्त:कोण हैं।]
⇒ ∠C = 180° + 140° = 40°
⇒ ∠P = ∠C = 40°
अतः ∠P का अभीष्ट मान = 40° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 25 cm, 5 cm और 24 cm हैं, समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि (24)² + (5)² = 576 + 25 = 601 ≠ (25)²

प्रश्न 2.
∆DEF ~ ∆RPQ दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि ∠D = ∠R = एवं ∠F = ∠P.
हल :
कथन सत्य नहीं है, क्योंकि ∠F ≠ ∠P बल्कि ∠F = ∠Q.

प्रश्न 3.
किसी ∆POR की भुजाओं PQ एवं PR पर बिन्दु क्रमश: A एवं B इस प्रकार हैं कि PQ= 12.5 cm, PA = 5 cm, BR = 6 cm एवं PB = 4 cm. क्या AB || QR ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ AB || OR. क्योंकि

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.90 में BD एवं CF परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। क्या ∆PBC ~ ∆PDE और क्यों?
हल :

हाँ, ∆PBC ~ ∆PDE,
क्योकि \(\frac{P B}{P D}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \frac{P C}{P E}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)
एवं ∠BPC = ∠DPE [शीर्षाभिमुख कोण]
अर्थात् SAS समरूपता है।

प्रश्न 5.
∆PQR एवं ∆MST में ∠P = 55°, ∠Q = 25°, ∠M = 100° एवं ∠S = 25°, क्या ∆QPR ~ ∆TSM ? क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि ∆QPR ~ ∆STM.

प्रश्न 6.
क्या निम्न कथन सत्य है? और क्यों? “दो चतुर्भुज समरूप हैं अगर उनके संगत कोण बराबर हैं।”
हल :
नहीं, क्योंकि संगत भुजाएँ भी समानुपाती होनी चाहिए।

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ एवं परिमाप क्रमशः दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और परिमाप का तीन गुना है। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं? और क्यों?
हल :
हाँ, वे त्रिभुज समरूप हैं, क्योंकि दो संगत भुजाएँ एवं परिमाप समानुपाती हैं तो तीसरी भुजा भी समानुपाती होगी। (SSS समरूपता)

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज का एक न्यूनकोण दूसरे समकोण त्रिभुज के एक न्यूनकोण के बराबर हो तो क्या दोनों त्रिभुज समरूप होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ, समरूप होंगे। (AAA समरूपता)

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्ष लम्बों का अनुपात \(\frac { 3 }{ 5 }\) है तो क्या यह कहना सत्य है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 6 }{ 5 }\) होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है क्योंकि क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 9 }{ 25 }\) होगा।

प्रश्न 10.
∆POR की भुजा QR पर बिन्दु D इस प्रकार है कि PD ⊥ QR, क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆PQD ~ ∆RPD ? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है, क्योंकि यह तभी सम्भव है जब ∠P = 90° हो।

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.91 में ∠D = ∠C तो क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆ADE ~ ∆ACB ? और क्यों?
हल :

हाँ, कथन सत्य है क्योंकि AA समरूपता है।

प्रश्न 12.
क्या यह कहना सत्य है कि यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो एवं एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों तो त्रिभुज समरूप होंगे? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, कथन असत्य है क्योंकि दो जोड़े समानुपाती भुजाओं के मध्य कोण बराबर होने चाहिए।

प्रश्न 13.
∆ABC में, AB = 24 cm, BC = 10 cm एवं AC = 26 cm. क्या यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, त्रिभुज समकोण त्रिभुज है क्योंकि
AB² + BC² = (24)² + (10)²
= 576 + 100
= 676
= (26)²
= AC²

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज DEF की भुजाओं DE एवं DF पर क्रमशः बिन्दु P एवं Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = 5 cm, DE = 15 cm, DQ = 6 cm एवं DF = 18 cm. क्या PQ || EF ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :

हाँ, क्योंकि

अत: PQ || EF है।

प्रश्न 15.
∆FED ~ ∆STU दिया है क्या \(\frac{D E}{S T}=\frac{E F}{T U}\) और क्यों?
हल :
नहीं, \(\frac{D E}{S T} \neq \frac{E F}{T U}\) क्योंकि \(\frac{D E}{T U}=\frac{E F}{S T}\) संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो त्रिभुज समरूप होंगे, यदि :
(a) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं,
(b) त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों,
(c) त्रिभुजों के संगत क्षेत्रफल बराबर हों,
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।
उत्तर:
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।

प्रश्न 2.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। इनमें से समकोण त्रिभुज नहीं है :
(a) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी,
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,
(c) 5 सेमी, 12 सेमी, 13 सेमी,
(d) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी।
उत्तर:
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,

प्रश्न 3.
“एक त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।” यह कथन है : (a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(a) थेल्स प्रमेय का,

प्रश्न 4.
“यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,

प्रश्न 5.
“एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।” यह कथन है:
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,

प्रश्न 6.
“एक त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय का विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।

प्रश्न 7.
एक आदमी पूर्व की ओर 150 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 200 मीटर जाता है। आदमी की प्रारिम्भक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 150 मीटर,
(b) 25 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 250 मीटर।
उत्तर:
(d) 250 मीटर।

प्रश्न 8.
एक व्यक्ति पूर्व की ओर 15 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 8 मीटर जाता है। व्यक्ति की प्रारम्भिक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 23 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 7 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(b) 17 मीटर,

प्रश्न 9.
एक 25 मीटर लम्बी सीढ़ी एक भवन की जमीन से 20 मीटर ऊँची खिड़की तक जाती है। भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी होगी :
(a) 45 मीटर,
(b) 5 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(c) 15 मीटर,

प्रश्न 10.
एक सीढ़ी इस तरह रखी गई है कि उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से 12 मीटर ऊँची खिड़की तक जाता है। सीढ़ी की लम्बाई होगी :
(a) 7 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 25 मीटर,
(d) 13 मीटर।
उत्तर:
(d) 13 मीटर।

प्रश्न 11.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों में 9 : 16 का अनुपात है, तो उनके शीर्ष लम्बों का अनुपात होगा :
(a) 3 : 4,
(b) 4 : 3,
(c) 9 : 1,
(d) 16 : 9.
उत्तर:
(a) 3 : 4,

प्रश्न 12.
समरूपता के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है :
(a), कोण-कोण-कोण समरूपता,
(b) कोण-कोण समरूपता,
(c) भुजा-कोण-भुजा समरूपता,
(d) ये सभी।
उत्तर:
(d) ये सभी।

प्रश्न 13.
एक ∆ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमश: दो बिन्दु एवं E इस प्रकार हैं कि: AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm एवं DE || BC, तब DE की लम्बाई (cm में) होगी :
(a) 2.5,
(b) 3,
(c) 5,
(d) 6.
उत्तर:
(b) 3,

प्रश्न 14.
किसी समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई 16 cm एवं 12 cm है तो उसकी भुजा की लम्बाई है:
(a) 9 cm,
(b) 10 cm,
(c) 8 cm,
(d) 20 cm.
उत्तर:
(b) 10 cm,

प्रश्न 15.
यदि ∆ABC ~ ∆EDF एवं ∆ABC एवं ∆DEF समरूप नहीं हैं तब निम्न में से कौन सत्य नहीं है?
(a) BC.EF = AC.FD,
(b) AB.EF = AC.DE,
(c) BC.DE = AB. EF
(d) BC.DE = AB.FD.
उत्तर:
(c) BC.DE = AB. EF

प्रश्न 16.
यदि दो त्रिभुजों ABC एवं PQR में
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,
(b) ∆PQR ~ ∆ABC,
(c) ∆CBA ~ ∆POR,
(d) ∆BCA ~ ∆POR.
उत्तर:
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,

प्रश्न 17.
दो त्रिभुज DEF एवं PQR में ∠D = ∠Q एवं ∠R = ∠E तब निम्न में कौन सही नहीं है?

उत्तर:
(b) \(\frac{D E}{P Q}=\frac{E F}{R P}\)

प्रश्न 18.
∆ABC ~ ∆PQR दिया है एवं \(\frac{B C}{Q R}=\frac{1}{3}\) तब \(\frac{a r(P R Q)}{a r(B C A)}\) बराबर होगा :
(a) 9,
(b) 3,
(c) \(\frac { 1 }{ 3 }\).
(d) \(\frac { 1 }{ 9 }\).
उत्तर:
(a) 9,

प्रश्न 19.
∆ABC एवं ∆DEF में \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) तब ये दोनों त्रिभज समरूप होंगे जब :
(a) ∠B = ∠E,
(b) ∠A = ∠D,
(c) ∠B = ∠D,
(d) ∠A = ∠E
उत्तर:
(c) ∠B = ∠D,

प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ~ ∆QRD एवं \(\frac{a r(A B C)}{a r(P Q R)}=\frac{9}{4}\), AB = 18 cm, BC = 15 cm तब PR बराबर
होगा :
(a) 10 cm,
(b) 12 cm,
(c) \(\frac { 20 }{ 3 }\) cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(a) 10 cm

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज ……… होते हैं।
2. ………. त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
3. सभी वर्ग ……….. होते हैं।
4. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किन्हीं दो संगत भुजाओं के ……….. के अनुपात के बराबर होता है।
5. किसी त्रिभुज के शीर्ष कोण का ………….. सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।
6. यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे त्रिभुज ………… कहलाते हैं।
7. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 के अनुपात में है, तो उन त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात ………… होगा।
उत्तर-
1. समरूप,
2. समबाहु,
3. समरूप,
4. वर्गों,
5. समद्विभाजक,
6. समरूप त्रिभुज
7. 3 : 4

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2. →(d),
3.→(e),
4.→(a),
5. →(f),
6.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है।
2. यदि त्रिभुज की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं।
3. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
4. यदि दो त्रिभुज समकोणिक हों तो त्रिभुज समरूप होंगे।
5. यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दोनों भुजाओं को ___ समान अनुपात में विभक्त करती है।
6. थेल्स प्रमेय का कथन है-“यदि किसी त्रिभुज में कोई सरल रेखा उसकी दो भुजाओं को समान अनुपात __ में विभक्त करे, तो वह तीसरी भुजा के समानान्तर होती है।”
7. सभी वर्ग समरूप होते हैं। (2019)
8. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x आधार x शीर्ष लम्ब होता है। (2019)
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. सत्य,
5. सत्य,
6. असत्य,
7. सत्य,
8. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
2. समकोण त्रिभुज प्रमेय का नाम लिखिए।
3. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥ BC एवं AC² = AB² + BC² + 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
4. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥BC एवं AC² = AB² + BC² – 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
5. यदि किसी ∆ABC की माध्यिका AD हो, तब AB² + AC² = 2 (AD² + BD²), तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
6. आकृतियों का वह गुण जिसमें उनका आकार समान हो तथा विस्तार भिन्न-भिन्न हो, क्या कहलाता है?
7. समरूप त्रिभुज, ∆ABC एवं ∆PQR के क्षेत्रफल एवं भुजाओं में सम्बन्ध लिखिए।
8. दो समरूप त्रिभुजों के शीर्षलम्बों की माप में 2 : 3 का अनुपात हो, तो उनके क्षेत्रफलों में क्या अनुपात होगा?
9. पाइथागोरस प्रमेय का कथन लिखिए।
उत्तर-
1. थेल्स प्रमेय,
2. पाइथागोरस प्रमेय,
3. अधिककोण त्रिभुज प्रमेय,
4. न्यूनकोण त्रिभुज प्रमेय,
5. अपोलोनियसपमेय
6. समरूपता
7.

8. 4 : 9
9.”समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।”