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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन क्रिया किर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं :
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \)
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \)
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \)
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \)
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \)
(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)
(viii) \(\frac { 6 }{ 15 } \)
(ix) \(\frac { 35 }{ 50 } \)
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \)
हल:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \) = \(\frac{13}{5^{5}}\)
चूँकि हर में केवल 5 की धात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \) = \(\frac{17}{2^{3}}\)
चूँकि हर में केवल 2 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \) = \(\frac{64}{5^{1} \times 7^{1} \times 13^{1}}\)
चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की धात हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \) = \(\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}\) = \(\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \) = \(\frac{29}{7^{3}}\)
चूँकि हर में 7 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में चूँकि केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(vii) \(\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}\)
के हर में चूँकि 2 एवं 5 के अतिरिक्त 7 की घातें भी हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) चूँकि \(\frac { 6 }{ 15 } \) = \(\frac { 2 }{ 5 } \) के हर में केवल 5 की घात है
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(ix) चूँकि \(\frac { 35 }{ 50 } \) = \(\frac { 7 }{ 10 } \) = \(\frac{7}{2 \times 5}\) के हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \) = \(\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
चूँकि इसके हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 की भी घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हल:
ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के प्रसार सांत हैं :

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000…..
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\)
हल:
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{10^{9}}\) 43123456789 में दशमलव प्रसार सांत है। अत: यह परिमेय संख्या है, जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही हैं।
(ii) 0.120120012000120000 …………. का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\) में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 5 के अतिरिक्त एक अन्य गुणखण्ड है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए:
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल:
(i) x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2) [गुणनखण्ड करने पर]
चूँकि x² – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x² – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं – 2 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii) 4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
चूँकि 4s² – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
25 – 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, 4s² – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii) 6x² – 3 – 7x = 6x² – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x² – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1 ⇒ x = –\(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः, 6x² – 3 – 7x के शून्यक \(\frac { 3 }{ 2 } \) और –\(\frac { 1 }{ 3 } \) होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv) 4u² + 8u = 4u (u + 2)
चूँकि 4u² + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v) t² – 15 = (t)² – (\(\sqrt { 15 }\))² = (t + \(\sqrt { 15 }\)) (t – \(\sqrt { 15 }\))
चूँकि t² – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + \(\sqrt { 15 }\) = 0 ⇒ t = – \(\sqrt { 15 }\)
अथवा t – \(\sqrt { 15 }\) = 0
⇒ t = \(\sqrt { 15 }\)
अतः, t² – 15 के शून्यक – \(\sqrt { 15 }\) और \(\sqrt { 15 }\) होंगे।
अब शून्यकों का योग = – \(\sqrt { 15 }\) + \(\sqrt { 15 }\) = 0 = \(\frac { -0 }{ 1 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi) 3x² – x – 4 = (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x² – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
अथवा x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
अतः, 3x² – x – 4 के शून्यक \(\frac { 4 }{ 3 } \) और -1 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं:
(i) \(\frac { 1 }{ 4 } \), -1
(ii) \(\sqrt { 2 }\), \(\frac { 1 }{ 3 } \)
(iii) 0, \(\sqrt { 5 }\)
(iv) 1,1
(v) –\(\frac { 1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
(vi) 4,1
हल:
(i) मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = \(\frac { 1 }{ 4 } \) = – \(\frac { b }{ a } \) = \(\frac { -(-1) }{ 4 } \)
और α.β = -1 = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { (-4) }{ 4 } \) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\sqrt{2}=-\frac{(-3 \sqrt{2})}{3}\)
और \(\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a= 3 तब b = – 3 \(\sqrt { 2 }\) एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=0=-\frac{0}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\sqrt { 5 }\) = \(=\frac{\sqrt{5}}{1}\)
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = \(\sqrt { 5 }\) होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x² + 0.x + \(\sqrt { 5 }\) अर्थात् x² + \(\sqrt { 5 }\) है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x² + \(\sqrt { 5 }\)) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=1=-\frac{(-1)}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = 4 = – \(\frac { (-4) }{ 1 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,: x² + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP के प्रथम पाँच पदों का योग और उसी श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग का कुल योग 167 है। यदि उस श्रेणी के प्रथम 10 पदों का योग 235 हो, तो उस श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
माना AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
S₅ + S₇ = \(\frac { 5 }{ 2 }\)[2a + 4d] + \(\frac { 7 }{ 2 }\)[2a + 6d] = 167
\(\frac{10 a+20 d}{2}+\frac{14 a+42 d}{2}=167\)
\(\frac{24 a+62 d}{2}\) = 167 ⇒ 12a + 31d = 167 …(1)
S₁₀ = \(\frac { 10 }{ 2 }\)[2a + 9d] = 235
2a + 9d = 47 …(2)
12a + 54d = 282 ….(3) [समीकरण (2) x 6 से]
23d = 115 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
d = \(\frac { 115 }{ 23 }\) = 5
d का मान समीकरण (2) में रखने पर,
2a + 9 x 5 = 47
2a = 47 – 45 = 2
a = \(\frac { 2 }{ 2 }=1\)
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n – 1) d]
S₂₀ = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 x 1+ (20 – 1) x 5]
= 10[2 + 95]
= 10 x 97
= 970
अतः प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = 970 है।

प्रश्न 2.
निम्न को ज्ञात कीजिए:
(i) 1 से 500 के मध्य उन पूर्णाकों का योग जो 2 और 5 से विभाज्य हैं।
(ii) 1 से 500 तक उन पूर्णाकों का योग जो 2 एवं 5 से विभाज्य हैं।
हल :
(i) 1 और 500 के मध्य 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य पूर्णांक होंगे क्रमशः
10, 20, 30, 40, ……………., 480, 490.
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं a_n = 490
a_n = a + (n – 1) x d
10 + (n – 1) x 10 = 490
10 + 10n – 10 = 490
n = \(\frac { 490 }{ 10 }=49\) पद
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S₄₉ = \(\frac { 49 }{ 2 }\)[2 x 10 + (49-1) – 10]
= \(\frac { 49 }{ 2 }\)[20 + 480]
= \(\frac { 49 }{ 2 }\) x 500
= 12250
अतः अभीष्ट योग = 12250 है।

(ii) 1 से 500 तक की 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य संख्याएँ क्रमश: 10, 20, 30, ……………, 490, 500 होंगी, जो एक AP का निर्माण करती हैं,
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं a_n = 500.
a_n = a + (n-1) x d
10 + (n-1) x 10 = 500
10 + 10n – 10 = 500
n = \(\frac { 500 }{ 10 }\) = 50
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S₅₀ = \(\frac { 50 }{ 2 }\)[2 x 10 + (50 – 1) x 10]
S₅₀ = 25[20 + 490]
= 25 x 510
= 12750
अंत: अभीष्ट योग = 12750 है।

प्रश्न 3.
किसी AP का 8वाँ पद इसके दूसरे पद का आधा है एवं 11वाँ पद इसके 4वें पद के एक-तिहाई से एक अधिक है। इसके 15वें पद को ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
a₈ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)a₂
⇒ a + 7d = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(a + d)
2a + 14d = a + d
⇒ a + 13d= 0 ….(1)
a₁₁ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)a₄ + 1
a + 10d = \(\frac { 1 }{ 3 }\)(a + 3d) + 1
3a + 30d = a + 3d + 3
2a + 27d = 3
2a + 26d = 0 …(3) [समीकरण (1) x 2 से]
d = 3 [समीकरण (2) – समीकरण (3) से]
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 13 x 3 = 0
a_n = – 13 x 3 = – 39
a = a + (n – 1) x d
a₁₅ = – 39 + (15 – 1) x 3
a₁₅ = – 39 + 42 = 3
अत: अभीष्ट 15वाँ पद = 3 है।

प्रश्न 4.
100 और 200 के मध्य उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो
(i) 9 से विभाज्य है,
(i)9 से विभाज्य नहीं है।
हल :
(i) 100 एवं 200 के मध्य 9 से विभाज्य पूर्णांक हैं : 108, 117, 126, ……., 189, 198. जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 108,d = 117 – 108 = 9 एवं a_n = 198
a_n = a+ (n-1) x d
198 = 108 + (n-1) x 9 = 108 + 9n – 9
9n = 198 + 9 – 108 = 207 – 108 = 99
n = \(\frac { 99 }{ 9 }\) = 11
अब चूँकि S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S₁₁ = \(\frac { 11 }{ 2 }\)[2 x 108 + (11-1) x 9]
= \(\frac { 11 }{ 2 }\)[216 + 90]
= \(\frac { 11 }{ 2 }\) x 306
S₁₁ = 11 x 153
= 1683
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का अभीष्ट योग = 1683 है।

(ii) 100 और 200 के मध्य पूर्णांक क्रमशः 101, 102, 103, …………, 199 होंगे, जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 101 एवं d = 102 – 101 = 1 तथा a_n = 199.
a_n = a + (n-1) x d
199 = 101 + (n – 1) x 1 = 101 + n-1 = n + 100
n = 199 – 100 = 99
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S₉₉ = \(\frac { 99 }{ 2 }\)[2 x 101+ (99 -1) x 1]
= \(\frac { 99 }{ 2 }\)[202 + 98]
= \(\frac { 99 }{ 2 }\) x 300
= 99 x 150
= 14850
चूँकि 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग
= 100 और 200 के मध्य सभी संख्याओं का योग – 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का योग।
अभीष्ट योग = 14850 – 1683 = 13167
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग = 13167 है।

प्रश्न 5.
एक AP के 11वें पद का 18वें पद से अनुपात 2 : 3 है। 5वें पद का 21वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए और साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,

अतः a₅ : a₂₁ का अभीष्ट अनुपात 1 : 3 है।

अत: S₅ : S₂₁ का अभीष्ट अनुपात 5 : 49 है।

प्रश्न 6.
एक समान्तर श्रेढ़ी का 14वाँ पद उसके 8वें पद का दुगना है। यदि उसका छटा पद – 8 है, तो उसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार
a + 13d = 2(a + 7d)
= 2a + 14d
⇒ a + d = 0 …(1)
⇒ a + 5d = -8 …(2)
⇒ 4d = – 8 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = \(-\frac { 8 }{ 4 }\) = -2
⇒ a + (-2) = 0 [d का मान समीकरण (1) में रखने पर]
⇒ a = 2
⇒ S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1)d]
⇒ S₂₀ = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 x 2 + (20 – 1) (-2)]
= 10 (4 – 38)
= 10 (-34)
= – 340
अतः AP के प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = – 340 है।

प्रश्न 7.
समान्तर श्रेढ़ी 8, 10, 12, ……………. का 60वाँ पद ज्ञात कीजिए। यदि उसमें कुल 60 पद हैं, तो इस श्रेढ़ी के अन्तिम दस पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई AP 8, 10, 12, ………….. T_n में ज्ञात है,
प्रथम पद a = 8 एवं सार्वान्तर d = 10 – 8 = 2 तथा n = 60 है।
∴ T_n = a + (n – 1)d
T₆₀ = 8 + (60 – 1) x 2
= 8 + 59 x 2
= 8 + 118
= 126
अत: अभीष्ट 60वाँ पद = 126 है।
अब श्रेढ़ी को उल्टे क्रम में लिखने पर,
AP = 126, 124, 122, ……… होगी।।
जिसका प्रथम पद a’ = 126 एवं सार्वान्तर d’ = 124 – 126 = – 2 एवं n’ = 10 है।
S_n’ = \(\frac { n’ }{ 2 }\)[2a’ + (n’ – 1) x d’]
S₁₀ = \(\frac { 10 }{ 2 }\)[2 x 126 + (10 – 1) – (-2)]
S₁₀ = 5[252 + 9(-2)]
= 5[252 – 18]
= 5 x 234
= 1170
अतः श्रेणी के अन्तिम दस पदों का अभीष्ट योग = 1170 है।

प्रश्न 8.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों के योगों में (7n + 1) : (4n + 27) का अनुपात है, तो उनके mवे पदों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दी गई समान्तर श्रेढ़ियाँ हैं :
a₁, a₁ + d₁, a₁ + 2d₁, + ……….
एवं a₂, a₂ + d₂, a₂ + 2d₂ + ……….
तो प्रश्नानुसार,

2a₁ + nd₁ – d₁ = 7k n + k
d₁ n + 2a₁ – d₁ = 7k n + k
d₁ = 7k एवं 2a₁ – d₁ = k
[स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a₁ – 7k = k ⇒ 2a₁ = 8k ⇒ a₁ = \(\frac { 8k }{ 2 }\) = 4k
2a₂ + nd₂ – d₂ = 4k n + 27k
d₂n + 2a₂ – d₂ = 4kn + 27k
d₂ = 4k एवं 2a₂ – d₂ = 27k
स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a₂ – 4k = 27k
⇒ 2a₂ = 31k
⇒ a₂ = \(\frac { 31 }{ 2 }\) k

अतः उनके mवें पदों का अभीष्ट अनुपात = \(\frac { 14m-6 }{ 8m+23 }\) है।

प्रश्न 9.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के n पदों के योगफलों का अनुपात (7n + 1) : (4n + 27) है, तो उनके 9वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
(m = 9 लेकर उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर – अभीष्ट अनुपात = \(\frac { 24 }{ 19 }\)]

प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम पदों के योगफल को S_n द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इस श्रेढ़ी में यदि S₅ + S₇ = 167 तथा S₁₀ = 235 है, तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
हल :
[निर्देश : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 1 का हल देखिए जिसमें हम a = 1 एवं d= 5 प्राप्त करते हैं।
चूँकि a = 1 एवं d = 5 तो
a₁ = a = 1
a₂ = a + d = 1 + 5 = 6
a₃ = a + 2d = 1 + 5 x 2 = 1 + 10 = 11
a₄ = a + 3d = 1 + 3 + 5 = 1 + 15 = 16
…………………………
………………………..
a_n = a+ (n – 1)d = 1 + (n – 1) x 5
= 1 + 5n – 5 = 5n – 4
अत: अभीष्ट समान्तर श्रेढी 1, 6, 11, 16, …. 5n – 4 हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पुष्टि कीजिए कि निम्न में प्रत्येक AP है तब अगले तीन-तीन पद लिखिए :
(i) \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)……..
(ii) \(5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4\)…………
(iii) √3, 2√3, 3√3……
(iv) a + b, (a + 1) + b, (a +1) + (b + 1), ………
(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3,………
हल :
(i) \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)……..
चूँकि यहाँ

सार्वान्तर समान है अतः AP है।
अब अगले तीन पद

अत: अभीष्ट अगले तीन \(1, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}\) हैं।

(ii) \(5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4\)…………
चूँकि यहाँ

सार्वान्तर समान हैं अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं

अतः अभीष्ट अगले तीन पद \(\frac{11}{3}, \frac{10}{3}\) एवं 3 हैं।

(iii) √3, 2√3, 3√3, ……
चूँकि यहाँ a₂ – a₁ = 2 √3 – √3 = √3
एवं a₃ – a₂ = 3 √3 – 2 √3 = 3
सार्वान्तर समान हैं अतः AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं
(3√3 + √3 = 4√3), (4√3 + √3 = 5√3) एवं (5√3 + √3 = 6√3)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद 4√3, 5√3, एवं 6√3 हैं।

(iv) a+ b, (a + 1)+ b, (a + 1) + (b + 1), ……
चूँकि यहाँ
a₂ – a₁ = [(a + 1) + b] – (a + b) = 1
a₃ – a₂ = [(a + 1) + (b + 1)] – [(a + 1) + (b)] = 1
………….
………….
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(a + 1) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 1)
(a + 2) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 2)
(a + 2) + (b + 2)+ 1 = (a + 3) + (b + 2)
………
………
अतः अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (a + 2) + (b + 1), (a + 2) + (b + 2) एवं (a + 3)+ (b + 2) हैं।

(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3, …..
चूँकि यहाँ
a₂ – a₁ = (2a + 1) – a = a+ 1
a₃ – a₂ = (3a + 2) – (2a + 1) = a + 1
एवं a₄ – a₃ = (4a + 3) – (3a + 2) = a + 1
……………
……………
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(4a + 3) + (a + 1) = (5a + 4)
(5a + 4) + (a + 1) = (6a + 5)
(6a + 5) + (a + 1) = (7a + 6)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (5a + 4), (6a + 5) एवं (7a + 6) हैं।

प्रश्न 2.
उन AP के प्रथम तीन पद लिखिए जिनके a एवं d नीचे दिए गए हैं :
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), d = \(-\frac { 1 }{ 6 }\)
(ii) a = -5, d = -3
(iii) a = √2, d = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
हल :
(i) यहाँ a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं d = \(-\frac { 1 }{ 6 }\) (दिया है)


अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\) एवं \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।

(ii) चूँकि यहाँ a = – 5 एवं d= – 3 (दिया है)
a₁ = a = -5
a₂ = a + d = (-5) + (-3) = – 5 – 3 = -8
a₃ = a + 2d = (-5) + 2 (-3) = – 5 – 6 = – 11
अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः – 5, -8 एवं -11 हैं।

(iii) चूँकि यहाँ a = √2 एवं d = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (दिया है)

अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः \(\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}\) एवं \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) हैं।

प्रश्न 3.
a, b एवं c के मान ज्ञात कीजिए जिसमें कि a, 7, b, 13 एवं c एक AP में हों।
हल :
चूँकि a, 7, b, 23 एवं c एक AP में हैं और मान लीजिए प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो, तो
a₁ = a = a …(1)
a₂ = a + d = 7 …..(2)
a₃ = a + 2d = b ….(3)
a₄ = a + 3d = 23 …(4)
a₅ = a + 4d = c …….(5)
(a + 3d) – (a + d) = 23 – 7 [समी. (4) – समी. (2) से]
⇒ 2d = 16
⇒ d = \(\frac { 16 }{ 2 }\) = 8
d = 8 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 8 = 7 ⇒ a = 7 – 8 = -1
अब b = a + 2d = – 1 + 2 x 8 = – 1 + 16 = 15
एवं c = a + 4d = – 1 + 4 x 8 = – 1 + 32 = 31
अतः a, b एवं c के अभीष्ट मान क्रमशः – 1, 15 एवं 31 हैं।

प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए कि 55 दी हुई AP 7, 10, 13,……. का कोई पद है या नहीं। अगर है तो ज्ञात कीजिए यह कौन-सा पद है?
हल :
AP : 7, 10, 13, …….. (दी है)
यहाँ a = 7 एवं d = 10 – 7 = 3
मान लीजिए 55 इस AP का nवाँ पद है
a_n = a + (n – 1)d
55 = 7 + (n – 1) x 3 = 7 + 3n – 3
3n = 55 + 3 – 7 = 58 – 7 = 51
n = \(\frac { 51 }{ 3 }\) = 17
अतः 55 दी हुई AP का 17वाँ पद है।

प्रश्न 5.
निम्न AP का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……….. + (-236)
(ii) \(\left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\) …. n पदों तक
(iii) \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{3 a-2 b}{a+b}+\frac{5 a-3 b}{a+b}+\)………11 पदों तक
हल :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……. + (-236).
यहाँ a = 1 एवं d = (-2) – (1) = – 3 एवं a_n = – 236
a_n = a + (n – 1) x d
– 236 = 1 + (n – 1) (-3)
– 236 = 1 – 3n + 3
3n = 236 + 1 + 3 = 240
n = \(\frac { 240 }{ 3 }\) = 80
S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[a + a]
S₈₀ = \(\frac { 80 }{ 2 }\) [1+ (-236)]
= 40 (-235)
= – 9400
अतः अभीष्ट योग = – 9400 है।

(ii) \(\left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\) …. n पदों तक

अत: अभीष्ट योग = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (7n – 1) है।

(iii) \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{3 a-2 b}{a+b}+\frac{5 a-3 b}{a+b}+\)………11 पदों तक


अत: अभीष्ट योग = \(\frac { 11(11a-6b) }{ a+b }\) है।

प्रश्न 6.
AP: -2, -7, -12, ……. का कौन-सा पद – 77 है। इस AP का पद – 77 तक योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ a = – 2, d = (-7) – (-2) = -7 + 2 = – 5 एवं a_n = – 77
a_n = a + (n – 1) x d
– 77 = – 2 + (n – 1)(-5)= – 2 – 5n + 5
5n = 77 + 5 – 2 = 82 – 2 = 80
n = \(\frac { 80 }{ 2 }\) = 16
अतः – 77 दी हुई AP का 16वाँ पद है।
अब ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[a + a_n]
S₁₆ = \(\frac { 16 }{ 2 }\)[-2 – 77]
= 8 (-79)
= – 632
अतः अभीष्ट योग = -632 है।

प्रश्न 7.
यदि a_n = 3 – 4n तो दर्शाइए कि a₁, a₂, a₃, ………. एक AP का निर्माण करते हैं। S₂₀ का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि a_n = 3 – 4n
a₁ = 3 – 4 x 1 = 3 – 4 = – 1
a₂ = 3 – 4 x 2 = 3 – 8 = – 5
a₃ = 3 – 4 x 3 = 3 – 12 = – 9
…………….
…………….
a₁, a₂, a₃, ……… =- 1, -5,-9, ……….
एवं a₂ – a₁ = (-5) – (-1) = – 5 + 1 = – 4
a₃ – a₂ = (-9) – (-5) = -9 + 5 = – 4
चूँकि यहाँ सार्वान्तर d = -4 समान है
अत: a₁, a₂, a₃, ……. एक AP का निर्माण करते हैं।
अब ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n – 1) x d]
S₂₀ = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 (-1) + (20 – 1) – (-4)]
= 10 [-2 – 76]
= 10 (-78)
= – 780
अतः S₂₀ का अभीष्ट मान = – 780 है।

प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 तथा इसके सभी पदों का योगफल 400 है। इस समान्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या तथा सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 5 तथा अन्तिम पद T_n = 45, योगफल S_n = 400 दिए हैं। मान लीजिए सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 }\) [a + T_n]
400 = \(\frac { n }{ 2 }\) [5 + 45]
⇒ 25n = 400
n = \(\frac { 400 }{ 25 }\) = 16
T_n = a + (n – 1) x d
45 = 5 + (16 – 1) x d
15d = 40
d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः पदों की अभीष्ट संख्या = 16 एवं सार्वान्तर = \(\frac { 8 }{ 3 }\) है।

प्रश्न 9.
श्रेढ़ी \(20,19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}\)….. का कौन-सा पद प्रथम ऋणात्मक पद हैं?
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 20
तथा सार्वान्तर d = \(19\frac { 1 }{ 4 }\) – 20 = \(-\frac { 3 }{ 4 }\) है।
मान लीजिए nवाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
T_n = a + (n – 1)d
\(20+(n-1) \times\left(-\frac{3}{4}\right)<0\)
80 + 3 – 3n < 0
3n > 83
n > \(\frac { 83 }{ 3 }\)
n > \(27\frac { 2 }{ 3 }\)
n = 28
अतः अभीष्ट प्रथम ऋणात्मक पद = 28वाँ पद है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी का चौथा पद शून्य है। सिद्ध कीजिए कि इसका 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
हल :
मान लीजिए किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
T₄ = a + 3d = 0
⇒ a = -3d ……(1)
अब
⇒ \(\frac{T_{25}}{T_{11}}=\frac{a+24 d}{a+10 d}\) …….(2)
समीकरण (1) से a = – 3d मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{T_{25}}{T_{11}}=\frac{-3 d+24 d}{-3 d+10 d}=\frac{21 d}{7 d}=3\)
T₂₅ = 3 x T₁₁
अतः दी हुई श्रेढ़ी का 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-कौन AP बनाते हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i)-1,-1,-1,-1, …………..
(ii) 0, 2, 0, 2, ………….
(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, ……….
(iv) 11, 22, 33, …….
(v) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\)…..
(vi) 2,2²,2³,2⁴,………..
(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
हल :
(i)- 1, – 1, – 1, – 1, ……..
चूँकि a₂ – a₁ = (-1) – (-1) = 0
एवं a₃ – a₂ = (-1) – (-1) = 0
a₄ – a₃ = (-1) – (-1) = 0
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 0
अतः उक्त श्रेढ़ी एक AP है।

(ii) 0, 2, 0, 2, ….
चूँकि a₂ – a₁ = 2 – 0 = 2
एवं a₃ – a₂ = 0 – 2 = – 2
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, …………
चूँकि a₂ – a₁ = 1 – 1 = 0
एवं a₃ – a₂ = 2 – 1 = 1
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iv) 11, 22, 33, ….
चूँकि a₂ – a₁ = 22 – 11 = 11
एवं a₃ – a₂ = 33 – 22 = 11
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 11
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

(v) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\)…..

अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vi) 2, 2², 2³, 2⁴,…….
चूँकि a₂ – a₁ = 2² – 2 = 4 – 2 = 2
एवं a₃ – a₂ = 2³ – 2² = 8 – 4 = 4
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
अर्थात् √3, 2√3, 3√3, 4√3,……..
चूँकि a₂ – a₁ = 2√3 – √3 = √3
एवं a₃ – a₂ = 3√3 – 2√3 = √3
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = √3
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 2.
पुष्टि कीजिए कि यह कहना सत्य है कि \(-1, \frac{-3}{2},-2, \frac{5}{2}\) …… एक AP बनाती है। क्योंकि a₂ – a₁ = a₃ – a₂.
हल :
शृंखला \(-1, \frac{-3}{2},-2, \frac{5}{2}\) ……
चूँकि

चूँकि (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह कहना गलत है कि उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 3.
एक AP -3,-7,-11,………. है। क्या हम बिना a₂₀ एवं a₃₀ ज्ञात किए हुए a₃₀ – a₂₀ का मान ज्ञात कर सकते हैं। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
∵ a₃₀ = a + 29d
एवं a₂₀ = a + 19d
a₃₀ – a₂₀ = (a + 29d) – (a + 19d) = 10d
चूँकि यहाँ d = (-7) – (-3)
= -7 + 3
= -4
a₃₀ – a₂₀ = 10d = 10 (-4)
= -40
हाँ हम बिना a₂₀ एवं a₃₀ ज्ञात किए a₃₀ – a₂₀ ज्ञात कर सकते हैं जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

प्रश्न 4.
क्या AP: 31, 28, 25, …….. का कोई पद है 0 ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
AP : 31, 28, 25, ……….
जहाँ a = 31 एवं d = 28 – 31 = -3
मान लीजिए 0 इस AP का nवाँ पद है।
a_n = a + (n-1) x d
0 = 31 + (n – 1) x (-3)
0 = 31 – 3n + 3
3n = 31 + 3 = 34
n = \(\frac { 34 }{ 3 }\) जो एक पूर्णांक नहीं है
अतः 0 दी गई AP का कोई पद नहीं है।

प्रश्न 5.
इस बात की पुष्टि कीजिए कि “क्या यह कहना सत्य है कि निम्नांकित पद किसी AP के nवें पद हैं।”
(i) 2n – 3
(ii) 3n² + 5
(iii) 1 + n + n²
हल :
(i) यदि
a_n = 2n – 3
a₁ = 2 x 1 – 3 = 2 – 3 = -1
a₂ = 2 x 2 – 3 = 4 – 3 = 1
a₃ = 2 x 3 – 3 = 6 – 3 = 3
a₂ – a₁ = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2
a₃ – a₂ = 3 – 1 = 2
a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = 2
अतः उक्त पद एक AP का nवाँ पद है।

(ii) यदि
a_n = 3n² + 5
a₁ = 3 (1)² + 5 = 3 + 5 = 8
a₂ = 3 (2)² + 5 = 12 + 5 = 17
a₃ = 3 (3)² + 5 = 27 + 5 = 32
a₂ – a₁ = 17 – 8 = 9 एवं a₃ – a₂ = 32 – 17 = 15
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

(iii) यदि
a_n = 1 + n + n²
a₁ = 1+ 1 + (1)² = 1 + 1 + 1 = 3
a₂ = 1 + 2 + (2)² = 1 + 2 + 4 = 7
a₃ = 1 + 3 + (3)² = 1 + 3 + 9 = 13
a₂ – a₁ = 7 – 3 = 4 एवं a₃ – a₂ = 13 – 7 = 6
a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं?
हल :
चूँकि k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं।
⇒ (2k – 1) – (k + 9) = (2k + 7) – (2k – 1)
⇒ 2k – 1 – k – 9 = 2k + 7 – 2k + 1
⇒ k = 10 + 8 = 18
अतःk का अभीष्ट मान = 18 है।

प्रश्न 7.
एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें a₂₁ – a₇ = 84 है का सार्वान्तर क्या है?
हल :
मान लीजिए श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है
a₂₁ – a₇ = 84 (दिया है)
⇒ (a + 20a) – (a + 6d) = 84
⇒ 20d – 6d = 84
⇒ 14d = 84
⇒ d = \(\frac { 84 }{ 14 }\) = 6
अतः अभीष्ट सार्वान्तर = 6 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP में यदि d = -4,n = 7 एवं a_n = 4 तो a है :
(a) 6
(b) 8
(c) 20
(d) 28.
उत्तर:
(d) 28.

प्रश्न 2.
किसी AP में यदि a = 3.5, d = 0,n = 101, तब a_n का मान होगा :
(a) 0
(b) 3.5
(c) 103.5
(d) 104.5.
उत्तर:
(b) 3.5

प्रश्न 3.
संख्याओं की सूची -10, -6, – 2, 2, ……….. है :
(a) एक AP, जहाँ d = – 16
(b) एक AP, जहाँ d = 4
(c) एक AP, जहाँ d = – 4
(d) एक AP नहीं।
उत्तर:
(b) एक AP, जहाँ d = 4

प्रश्न 4.
एक AP: \(-5, \frac{-5}{2}, 0, \frac{5}{2}\) ,………. का 11वाँ पद होगा :
(a) – 20
(b) 20
(c) – 30
(d) 30.
उत्तर:
(b) 20

प्रश्न 5.
एक AP का प्रथम पद -2 और सार्वान्तर – 2 है के प्रथम चार पद होंगे :
(a) – 2, 0, 2, 4
(b) – 2, 4, – 8, 16
(c) – 2, – 4, – 6, – 8
(d) – 2, – 4, – 8, – 16.
उत्तर:
(c) – 2, – 4, – 6, – 8

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम दो पद – 3 एवं 4 हैं, इसका 21वाँ पद होगा :
(a) 17
(b) 137
(c) 143
(d) – 143.
उत्तर:
(b) 137

प्रश्न 7.
एक AP का दूसरा पद 13 है तथा इसका पाँचवाँ पद 25 है तो इसका 7वाँ पद क्या होगा?
(a) 30
(b) 33
(c) 37
(d) 38.
उत्तर:
(b) 33

प्रश्न 8.
किसी AP: 21, 42, 63 84,………. का कौन-सा पद 210 होगा?
(a) 9वाँ
(b) 10वाँ
(c) 11वाँ
(d) 12वाँ।
उत्तर:
(b) 10वाँ

प्रश्न 9.
यदि एक AP का सार्वान्तर 5 है तब a₁₈ – a₁₃ का क्या मान होगा?
(a) 5
(b) 20
(c) 25
(d) 30.
उत्तर:
(c) 25

प्रश्न 10.
उस AP का सार्वान्तर क्या होगा जिसमें a₁₈ – a₁₄ = 32 ?
(a) 8
(b) -8
(c) -4
(d) 4.
उत्तर:
(a) 8

प्रश्न 11.
दो AP का सार्वान्तर समान है। एक AP का प्रथम पद 1 एवं दूसरी का प्रथम पद 8 तब उनके चौथे पदों में अन्तर होगा:
(a) -1
(b) -8
(c) 7
(d) -9.
उत्तर:
(c) 7

प्रश्न 12.
एक AP के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर है तब इसका 18वाँ पद है:
(a) 7
(b) 11
(c) 18
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 13.
किसी AP :- 11,-8,-5,……….49 के अन्त से चौथा पद है :
(a) 37
(b) 40
(c) 43
(d) 58.
उत्तर:
(b) 40

प्रश्न 14.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने वाले प्रसिद्ध गणितज्ञ थे :
(a) पाइथगोरस
(b) न्यूटन
(c) गॉउस
(d) यूक्लिड।
उत्तर:
(c) गॉउस

प्रश्न 15.
एक AP का प्रथम पद – 5 है तथा सार्वान्तर 2 है तब प्रथम 6 पदों का योग है :
(a) 0
(b) 5
(c) 6
(d) 15.
उत्तर:
(a) 0

प्रश्न 16.
एक AP : 10, 6, 2, ……….. के प्रथम 16 पदों का योग है :
(a) – 320
(b) 320
(c) – 352
(d)- 400.
उत्तर:
(a) – 320

प्रश्न 17.
एक AP में a = 1, a_n = 20 एवं S_n = 399 तब n का मान है :
(a) 19
(b) 21
(c) 38
(d) 42.
उत्तर:
(c) 38

प्रश्न 18.
3 के प्रथम पाँच गुणकों का योग है :
(a) 45
(b) 55
(c) 65
(d) 75.
उत्तर:
(a) 45

प्रश्न 19.
AP: 5, 8, 11, 14,……… का 10वाँ पद है:
(a) 32
(b) 35
(c) 38
(d) 185.
उत्तर:
(a) 32

प्रश्न 20.
किसी AP में यदि a = 7.2, d = 3.6 एवं a_n = -7.2 तब n का मान है :
(a) 1
(b) 3
(c) 4
(d) 5.
उत्तर:
(d) 5.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. जब किसी अनुक्रम के पदों को किसी नियम द्वारा लिखा जाता है, तो इसे ………. कहते हैं।
2. वह अनुक्रम जिसका प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक निश्चित अन्तर रखता है ………. कहलाता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किसी पद का उसके पूर्ववर्ती पद में अन्तर ………… कहलाता है।
4. कोई तीन राशियाँ समान्तर श्रेढ़ी में हों तो मध्य वाली राशि शेष दो राशियों का ……….. कहलाती है।
5. एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो तो उसका nवाँ पद ………… होगा।
6. सार्वान्तर श्रेढ़ी \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \ldots\) सार्वान्तर d = ………. है। (2019)
उत्तर-
1. श्रेढ़ी,
2. समान्तर श्रेढ़ी,
3. सार्वान्तर,
4. समान्तर माध्य,
5. a + (n – 1)d,
6. – 1.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समान्तर श्रेढ़ी के पद सदैव बढ़ते क्रम में होते हैं।
2. 5 और 7 का समान्तर माध्य 6 होता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किन्हीं दो पदों का अन्तर सार्वान्तर होता है।
4. समान्तर श्रेढ़ी 10, 5, ………. का अगला पद 0 होगा।
5. 1, 2, 1, 3, ………… एक समान्तर श्रेढ़ी है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 2√2, √2 , 0, ……….. का अगला पद क्या होगा?
2. 5, 10, 15, ……… का अगला पद क्या होगा?
3 \(\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}, \sqrt{5}\) ……….. कौन-सी श्रेढ़ी है?
4. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\) ……….. समान्तर श्रेढ़ी है या नहीं?
5. यदि किसी श्रेढ़ी में पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
उत्तर-
1. -√2 ,
2. 20,
3. समान्तर श्रेढ़ी,
4. नहीं,
5. अनन्त श्रेढ़ी।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – \(\frac { 8 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { 21 }{ 8 } \) , \(\frac { 5 }{ 16 } \)
(iii) -2\(\sqrt { 3 }\),-9
(iv) \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}},-\frac{1}{2}\)
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –\(\frac { 8 }{ 3 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 4 }{ 3 } \) है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- \(\frac { 8 }{ 3 } \)) x + \(\frac { 4 }{ 3 } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4)
अब \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 6x + 2x + 4)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग \(\frac { 21 }{ 8 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 5 }{ 16 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac { 1 }{ 16 } \) (16x² – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 8 } \) हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -2\(\sqrt { 3 }\) एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-2\(\sqrt { 3 }\)) x + (-9)
= x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9
अब x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 = x2 + 3 \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 3 }\) x – 9
= x (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (x + 3 \(\sqrt { 3 }\))
= (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) (x – \(\sqrt { 3 }\))
⇒ शून्यक क्रमशः-3\(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}}\) एवं गुणन –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left(2 \sqrt{5} x^{2}+3 x-\sqrt{5}\right)\) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
\(-\frac{\sqrt{5}}{2}\) एवं \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) हैं।

प्रश्न 2.
\(\sqrt { 2 }\) घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4 \(\sqrt { 2 }\) का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \(\sqrt { 2 }\) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – \(\sqrt { 2 }\)) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

⇒ 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4\(\sqrt { 2 }\) = (x – \(\sqrt { 2 }\)) (6x² + 7 \(\sqrt { 2 }\)x + 4)
अब 6x² + 7\(\sqrt { 2 }\) x + 4 = 6x² + 4\(\sqrt { 2 }\) x + 3\(\sqrt { 2 }\) x + 4
= 2x (3x + 2\(\sqrt { 2 }\)) + \(\sqrt { 2 }\) (3x + 2\(\sqrt { 2 }\))
= (3x + 2\(\sqrt { 2 }\) ) (2x + \(\sqrt { 2 }\))
⇒ अन्य शून्यक \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = हैं।

प्रश्न 3.
(x – \(\sqrt { 5 }\)) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3 \(\sqrt { 5 }\) x² + 13x – 3\(\sqrt { 5 }\) का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – \(\sqrt { 5 }\)) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है


अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः \(\sqrt { 5 }\), (\(\sqrt { 5 }\) + \(\sqrt { 2 }\)) एवं (\(\sqrt { 5 }\)  – \(\sqrt { 2 }\)) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x² – 3x – 1
(2) 3x² + 4x – 4
(3) 5t² + 12t + 7
(4) t³ – 2t² – 15t
(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \) x + \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(6) 4x² + 5 \(\sqrt { 2 }\) x – 3
(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\) ) s + \(\sqrt { 2 }\)
(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15
(9) y² + \(\frac { 3 }{ 2 } \) \(\sqrt { 5 }\) y – 5,
(10) 7y² – \(\frac { 11 }{ 3 } \) y – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(1) 4x² – 3x – 1 = 4x² – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x² + 4x – 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं \(\frac { 2 }{ 3 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t² + 12t + 7 = 5t² + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –\(\frac { 7 }{ 5 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –\(\frac { 7 }{ 5 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t³ – 2t² – 15t = t [t² – 2t – 15]
= t [t² – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \)x + \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 14x + 3) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 12x + 2x + 3)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { -3 }{ 2 } \) और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { -1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक –\(\frac { 3 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x² + 5\(\sqrt { 2 }\) x – 3 = 4x² + 6\(\sqrt { 2 }\) x –\(\sqrt { 2 }\) x – 3
= 2\(\sqrt { 2 }\) x (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) – 1 (\(\sqrt { 2 }\)x + 3)
= (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) (2\(\sqrt { 2 }\) x – 1)

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\))s + \(\sqrt { 2 }\) = 2s² – s – 2\(\sqrt { 2 }\) s + \(\sqrt { 2 }\)
= s (2 s – 1) – \(\sqrt { 2 }\) (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – \(\sqrt { 2 }\))
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं ज़ब s – \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ s = \(\sqrt { 2 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं \(\sqrt { 2 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15 = u² + 5\(\sqrt { 3 }\) u – \(\sqrt { 3 }\) u – 15
= u(u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (u + 5 \(\sqrt { 3 }\))
= (u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) (u – \(\sqrt { 3 }\))
जब u + 5 \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं जब u – \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)

अतः, अभीष्ट शून्यक – 2\(\sqrt { 5 }\) एवं \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)

जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – \(\frac { 1 }{ 7 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 7 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x⁶ + 2x³ + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x² + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k² – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k समान शून्यक रखता हो, \(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – \(\frac { b }{ a } \) ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a } \) धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = \(\frac { -d }{ a } \)
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx² + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)² – 4k² = 0 ⇒ k² = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ k = ± \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान \(\frac { 1 }{ 2 } \) या \(\frac { -1 }{ 2 } \) हो सकता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(b) – \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(d) – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(d) 2x² + 2x -24.
उत्तर:
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –\(\frac { c }{ a } \)
(b) \(\frac { c }{ a } \)
(c) 0
(d) – \(\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
2. दो बहुपद का योग …………………… होता है।
3. ar² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

1. 1,2
2. एक बहुपद
3. द्विघात
4. शून्यक
5. एक।

जोडी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
\(\sqrt { x }\) + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– \(\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
\(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।
(ii)-37,-33,-29, …………….. 12 पदों तक।
(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \), ……….. 11 पदों तक।
हल:
(i) 2, 7, 12, ……….. 10 पदों तक
यहाँ a = 2,d = 7 – 2 = 5 एवं n = 10 है।
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S₁₀ = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5 (4 + 45)
⇒ S_n = 5 × 49 = 245
अत: अभीष्ट योग = 245 है।

(ii) -37,-33,-29, ……… 12 पदों तक
यहाँ a = -37, d = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4 एवं n = 12
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1)व]
⇒ S₁₂ = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × (-37) + (12 – 1) (4)]
= 6 (-74 + 11 × 4)
= 6 (-74 + 44)
= 6 (-30) = -180
अतः अभीष्ट योग = -180 है।

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………. 100 पदों तक
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 एवं n = 100
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) d]
⇒ S₁₀₀ = \(\frac { 100 }{ 2 } \) [2 × 0.6 + (100 – 1) (1.1)]
= 50 (1.2 + 99 × 1.1)
= 50 (1.2 + 108.9)
⇒ S₁₀₀ = 50 × 110.1 = 5505.0
अभीष्ट योग = 5505 है।

(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \) ………. 11 पदों तक
यहाँ, a = \(\frac { 1 }{ 15 } \), d = \(\frac { 1 }{ 12 } \) – \(\frac { 1 }{ 15 } \) = \(\frac { 15-12 }{ 180 } \) = \(\frac { 3 }{ 180 } \) = \(\frac { 1 }{ 60 } \) एवं n = 11
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S₁₁ = \(\frac { 11 }{ 2 } \) [2 × \(\frac { 1 }{ 15 } \) + (11 – 1) × \(\frac { 1 }{ 60 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [\(\frac { 2 }{ 15 } \) + \(\frac { 1 }{ 6 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [latex]\frac { 4+5 }{ 30 } [/latex] = \(\frac { 11 }{ 2 } \) × \(\frac { 9 }{ 30 } \) = \(\frac { 33 }{ 20 } \)
अतः अभीष्ट योग = \(\frac { 33 }{ 20 } \) है।

प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ………….+ 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ………….+ (-230)
हल:
(i) S_n = 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……… + 84
चूँकि (10\(\frac { 1 }{ 2 } \) – 7) = (14 – 10\(\frac { 1 }{ 2 } \)) = 3\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 2 } \)
अतः उक्त एक AP है, जहाँ a = 7 एवं a_n = 84.
∵ a_n = a + (n – 1) d
⇒ 84 = 7 + (n – 1) (\(\frac { 7 }{ 2 } \))
⇒ 168 = 14 + 7n – 7
⇒ 7n = 168 + 7 – 14 = 175 – 14 = 161
⇒ n = \(\frac { 161 }{ 7 } \) = 23, अतः श्रेढ़ी में 23 पद हैं।
चूँकि S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l] = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + a_n]
⇒ S_n = \(\frac { 23 }{ 2 } \) [7+ 84] = \(\frac { 23 }{ 2 } \) × 91
= \(\frac { 2093 }{ 2 } \) = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: अभीष्ट योग = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।

(ii) S_n = 34 + 32 + 30 + …………… + 10
यहाँ a = 34,d = 32 – 34 = -2 एवं a_n = 10
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (-2)
⇒ 10 = 34 – 2n + 2
⇒ 2n = 36 – 10 = 26
⇒ n = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13, अतः श्रेणी में 13 पद हैं।
∴ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + a_n)
⇒ S_n = \(\frac { 13 }{ 2 } \) (34 + 10)
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 44 = 13 × 22 = 286
अत: अभीष्ट योग = 286 है।

(iii) S_n = (-5)+ (-8) + (-11) + ………. + (-230)
यहाँ a = -5, d= (-8) – (-5) = -8 + 5 = -3 एवं a_n = -230
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (-3)
⇒ -230 = -5 – 3n + 3
⇒ 3n = 230 + 3 – 5 = 233 – 5 = 228
⇒ n = \(\frac { 228 }{ 3 } \) = 76
चूँकि S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + a_n]
= \(\frac { 76 }{ 2 } \) [-5 + (-230)]
= 38 (-235) = -8930
अतः अभीष्ट योग = -8930 है।

प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) यहाँ a = 5, d = 3 एवं a_n = 50 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) × 3
⇒ 50 = 5 + 3n – 3
⇒ 3n = 50 + 3 – 5 = 48
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
और ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × a]
= \(\frac { 16 }{ 2 } \)[2 × 5 + (16 – 1) × 3]
= 8 (10 + 45) = 8 × 55 = 440
अतः n एवं Sn के अभीष्ट मान क्रमशः 16 एवं 440 हैं।

(ii) यहाँ a = 7 एवं a₁₃ = 35 (दिए हैं)
∵ a_n = a+ (n – 1) × d
⇒ 35 = a₁₃ = 7 + (13 – 1) × d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac { 28 }{ 12 } \) = \(\frac { 7 }{ 3 } \)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₃ = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 7 + (13 – 1) × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 12 × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 28] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [42]
= 13 × 21 = 273
अत: d एवं S₁₃ के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 3 } \) एवं 273 हैं।

(iii) यहाँ a₁₂ = 37 और d = 3 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 37 = a₁₂ = a + (12 – 1) × 3
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 – 33 = 4
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₂ = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 4 + (12 – 1) × 3]
= 6 [8 + 33] = 6 × 41 = 246
अत: a एवं S₁₂ के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 246 हैं।

(iv) यहाँ a₃ = 15 और S₁₀ = 125 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 15 = a₃ = a + (3 – 1) × d
⇒ a + 2d = 15 …..(1)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 125 = S₁₀ = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2a + (10 – 1) × d]
⇒ 125 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = 25 …..(2)
एवं 2a + 4d = 30 [समीकरण (1) × (2) से]
⇒ 5d = – 5 ⇒ d = –\(\frac { 5 }{ 5 } \) = -1
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 (-1) = 15 ⇒ a = 15 + 2 = 17.
अब ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a₁₀ = 17 + (10 – 1) × (- 1)
= 17 + 9 (-1) = 17 – 9 = 8
अत: d एवं a₁₀ के अभीष्ट मान क्रमशः -1 एवं 8 हैं।

(v) यहाँ d = 5 एवं S₉ = 75 (दिए हैं)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + a_n]

समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर,

अत: a एवं a₉ के अभीष्ट मान क्रमशः –\(\frac { 35 }{ 3 } \) एवं \(\frac { 85 }{ 3 } \) हैं।

(vi) यहाँ, a = 2, d = 8 और S_n = 90 (दिए हैं)
∴ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ \(\frac { n }{ 2 } \) × [2 × 2 + (n – 1) × 8] = 90
⇒ 4n + 8n² – 8n = 180
⇒ 8n² – 4n – 180 = 0
⇒ 2n² – n – 45 = 0
⇒ 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5)+ 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5) (2n + 9) = 0
या तो 2n + 9 = 0 ⇒ n= –\(\frac { 9 }{ 2 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 5 = 0 ⇒ n = 5
अब ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 2 + (5 – 1) × 8
⇒ a_n = 2 + 32 = 34
अतः n एवं a_n के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 34 हैं।

(vii) यहाँ a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 (दिए हैं)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + a_n]
⇒ 210 = \(\frac { n }{ 2 } \) [8 + 62] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 70
⇒ 35n = 210 ⇒ n = \(\frac { 210 }{ 35 } \) = 6
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 62 = 8 + (6 – 1) × d = 8 + 5d
⇒ 5d = 62 – 8 = 54 ⇒ d = 54/5
अत: n और 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 6 और 54/5 हैं।

(viii) यहाँ a_n = 4, d = 2 और S_n = – 14 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1)d
⇒ 4 = a + (n – 1) × 2
⇒ a + 2n = 4 + 2 = 6 ….(1)
और ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + a_n]
⇒ – 14 = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + 4]
⇒ – 28 = n(a + 4) …..(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-28 = n[6 – 2n + 4] = n(10 – 2n)
⇒ -28 = 10n – 2n²
⇒ 2n² – 10n – 28 = 0
⇒ n² – 5n – 14 = 0
⇒ n² – 7n+ 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n+ 2) = 0
या तो n + 2 = 0 तब n = -2 जो असम्भव है।
अथवा n – 7 = 0 ⇒ n = 7
n = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 7 = 6 ⇒ a = 6 – 14 = – 8
अत: a एवं n के अभीष्ट मान क्रमशः -8 और 7 हैं।

(ix) यहाँ a = 3, n = 8 और S = 192 (दिए हैं)
S = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 192 = \(\frac { 8 }{ 2 } \)[2 × 3 + (8 – 1) × d]
⇒ 192 = 4 [6 + 7d]
⇒ 7d + 6 = 48
⇒ 7d = 48 – 6 = 42
⇒ d = \(\frac { 42 }{ 7 } \) = 6
अतः d का अभीष्ट मान 6 है।

(x) यहाँ l = 28, S = 144 और n = 9 (दिए हैं)
∵ S = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
⇒ 144 = \(\frac { 9 }{ 2 } \)(a + 28)
⇒ a + 28 = \(\frac{144 \times 2}{9}\) = 16 × 2 = 32
⇒ a = 32 – 28 = 4
अत: a का अभीष्ट मान 4 है।

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए AP: 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
यहाँ S_n = 636 तथा AP : 9, 17, 25,………… दिए हैं; जहाँ a = 9 एवं d = 25 – 17 = 8.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 636 = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 9 + (n – 1) × 8]
⇒ 636 = 9n + 4n² – 4n
⇒ 4n² + 5n – 636 = 0
⇒ 4n² +53n – 48n = 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
या तो 4n + 53 = 0 ⇒ n = –\(\frac { 53 }{ 4 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 12 = 0 ⇒ n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए दी गई AP के हमें 12 पद लेने चाहिए।

प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, l = 45 एवं S_n = 400 (दिए हैं)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l]
⇒ 400 = \(\frac { n }{ 2 } \) [5 + 45] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 50 = 25n
⇒ 25n = 400 ⇒ n = \(\frac { 400 }{ 25 } \) = 16
∵ a_n = l = a + (n – 1) × d
⇒ 45 = 5 + (16 – 1) × d
⇒ 15d = 45 – 5 = 40
⇒ d = \(\frac { 40 }{ 15 } \) = \(\frac { 8 }{ 3 } \)
अत: अभीष्ट पदों की संख्या एवं सार्वान्तर क्रमश: 16 एवं 8/3 हैं।

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?
हल:
यहाँ a = 17, l = a_n = 350 एवं d = 9(दिए हैं)
∵ l = a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 350 = 17 + (n – 1) × 9
⇒ 350 = 17 + 9n – 9
⇒ 9n = 350 + 9 – 17 = 359 – 17 = 342
⇒ n = \(\frac { 342 }{ 9 } \) = 38
और ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
= \(\frac { 38 }{ 2 } \)(17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई AP में अभीष्ट पदों की संख्या 38 तथा उनका योग 6973 है।

प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
यहाँ, d = 7, a₂₂ = 149 एवं n = 22 (दिए हैं)
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a₂₂ = a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149 ⇒ a = 149 – 147 = 2
और ∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + a_n)
⇒ S₂₂ = \(\frac { 22 }{ 2 } \) [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अत: AP के प्रथम 22 पदों का अभीष्ट योग = 1661 है।

प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
यहाँ n = 51, a₂ = 14 एवं a₃ = 18
∵ a₂ = a + (2 – 1)d = 14, ⇒ a + d = 14 ….(1)
एवं a₃ = a + (3 – 1)d = 18 ⇒ a + 2d = 18 …(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
d = 18 – 14 = 4
d = 4 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 = 14 ⇒ a = 14 – 4 = 10
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₅₁ = \(\frac { 51 }{ 2 } \) [2 × 10 + (51 – 1) × 4]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) [20 + 200]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) × 220
= 51 × 110 = 5610
अतः प्रथम 51 पदों का अभीष्ट योग = 5610 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ
S₇ = 49 एवं S₁₇ = 289 दिए हैं।
⇒ S₇ = \(\frac { 7 }{ 2 } \)[2a + 6d] = 49
⇒ 7a + 21d = 49 ⇒ a + 3d = 7 …..(1)
एवं S₁₇ = \(\frac { 17 }{ 2 } \) [2a +16d] = 289
⇒ a + 8d = 17 …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5d = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 3 × 2 = 7 ⇒ a = 7 – 6 = 1
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac { n }{ 2 } \) [2 + 2n – 2] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 2n = n²
अतः प्रथम n पदों का अभीष्ट योग = n² है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a₁, a₂, ……… a_n, ….. एक AP बनाती है। यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल:

एवं a_n = 3 + 4n
यहाँ a₁, a₂, a₃, ……… a_n, ……………
= 7, 11, 15, ……….. (3 + 4n), एक AP है।
जहाँ a = 7 एवं d = 4 (सार्वान्तर)
अतः a₁, a₂, a₃, ………… a_n …………. एक AP बनाती है, यदि a_n = 3 + 4n. इति सिद्धम् अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 7 + (15 – 1) (4)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] [14 + 14 × 4]= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [14 + 56]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] = 15 × 35 = 525
अतः AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = 525 है।

एवं a_n = 9 – 5n
यहाँ, a₁, a₂, a₃, ……….. a_n, ……..
= 4, -1, -6, …………. (9 – 5n), ………….. एक AP है। जहाँ a = 4 एवं d = -5
अतः a₁, a₂, a₃, ………… an………… एक AP बनाती हैं, यदि a_n = 9 – 5n.
इति सिद्धम अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S₁₅ = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 4 + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 + 14 (-5)] = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 – 70]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) (-62) = 15 (-31) = -465
अत: AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = -465 है।

प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n² है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ S_n = 4n – n² (दिया है)
⇒ S₁ = 4 × 1 – (1)² = 4 – 1 = 3 ⇒ a = 3
⇒ S₂ = 4 × 2 – (2)² = 8 – 4 = 4
दूसरा पद a₂ = S₂ – S₁, = 4 – 3 = 1
⇒ सार्वान्तर d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = -2
अब a₃ = a + 2d = 3 + 2 (-2) = 3 – 4 = -1
a₁₀ = a + 9d = 3 + 9 × (-2)= 3 – 18 = – 15
एवं a_n = a + (n – 1)d = 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2 = 5 -2n
अतः अभीष्ट मान S₁ = a₁ = 3, S₂ = 4, a₂ = 1, a₃ = -1, a₁₀ = -15 एवं a_n = 5 – 2n है।

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …………….
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6, n = 40.
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₄₀ = \(\frac { 40 }{ 2 } \) [2 × 6 + (40 – 1) × 6]
= 20 [12 + 240 – 6] = 20(246) = 4920
अतः अभीष्ट 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, …
यहाँ a = 8,d = 16 – 8 = 8 एवं n = 15
S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 8 + (15 – 1) × 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [16 + 120 – 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) × 128 = 15 × 64 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का अभीष्ट योग = 960 है।

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1,3,5,7, ……………, 45,47, 49
जहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, a_n = 49
∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 49 = 1 + (n – 1) × 2
⇒ 49 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1
⇒ 2n = 49 + 1 = 50 ⇒ n = \(\frac { 50 }{ 2 } \) = 25
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ S_n = \(\frac { 25 }{ 2 } \) (1 + 49) = \(\frac { 25 }{ 2 } \) × 50 = 25 × 25 = 625
अत: 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है।

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
जुर्माने की राशि प्रतिदिन क्रमशः ₹200, ₹250, ₹300 ……….. है, जो एक AP का निर्माण करती है।
जहाँ a = ₹ 200, d = ₹ 250 – ₹ 200 = ₹ 50 एवं n = 30 दिन।
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₃₀ = \(\frac { 30 }{ 2 } \) [2 × 200 + (30 – 1) × 50]
= 15 [400 + 1500 – 50]
= 15 [1900 – 50] = 15 × 1850
= ₹27750
अतः जुर्माने के रूप में कुल ₹ 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी।

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रथम पुरस्कार ₹ a है तथा d = – ₹ 20, n = 7 एवं S7 = ₹ 700 (दिए हैं)
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 700 = \(\frac { 7 }{ 2 } \) [2 × a + (7 – 1) × (- 20)]
⇒ 1400 = 7[2a – 120]
⇒ 1400 = 14a – 840
⇒ 14a = 1400 + 840 = 2240
⇒ a = \(\frac { 2240 }{ 14 } \) = 160
a₂ = 160 – 20 = 140, a₃ = 140 – 20 = 120, a₄ = 120 – 20 = 100, a₅ = 100 – 20 = 80, a₆ = 80 – 20 = 60 एवं a₇ = 60 – 20 = 40
अत: अभीष्ट पुरस्कार क्रमशः ₹ 160, ₹140, ₹ 120, ₹100, ₹ 80, ₹60 एवं ₹40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल:
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन-तीन अनुभाग हैं। इसलिए कक्षा I द्वारा 1 × 3 = 3 पेड़, कक्षा II द्वारा 2 × 3 = 6 पेड़, कक्षा III द्वारा 3 × 3 = 9 पैड़ इसी प्रकार कक्षा XII द्वारा 12 × 3 = 36 पेड़ लगाए जाएंगे। इस प्रकार 3, 6, 9, ……………, 36 एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 3, d = 6 – 3 – 3 एवं n = 12.
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₂ = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6 [6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की अभीष्ट संख्या = 234 होगी।

प्रश्न 18.
केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …………. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए।)

हल:
मान लीजिए l₁, l₂, l₃, ………. क्रमशः A, B,
A, ………… केन्द्रों वाले अर्धवृत्तों की लम्बाईयाँ हैं, तो
l₁ = 0.5 π cm, l₂ = 1:0 π cm, l₃ = 1.5 π cm
इस प्रकार l₁, l₂, l₃, …………… अर्थात्
0.5 π, 1.0 π, 1.5 π, …………… 13 पद एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 0.5 π, d = 1.0 π – 0.5 π= 0.5 π एवं n = 13.
चूँकि S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₃ = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 0.5 π + (13 – 1) × 0.5 π]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [1.0 π + 6.0 π] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 π
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) = 143 cm
अतः अभीष्ट सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm है।

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

हल:
पंक्तियों में लट्ठों की संख्याएँ एक AP का निर्माण करती हैं, जहाँ a = 20, d = 19 – 20 = – 1 एवं S_n = 200, दिया है।
∵ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 200 = \(\frac { n }{ 2 } \) [2 × 20 + (n – 1) × (-1)]
⇒ 400 = n(40 – n + 1)
⇒ 400 = 41n – n²
⇒ n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
या तो n – 25 = 0 तब n = 25
तब a₂₅ = 20 + (25 – 1) (-1) = 20 – 24 = – 4
अतः सबसे ऊपरी पंक्ति में -4 लट्टे होते हैं, जो असम्भव है, इसलिए n – 16 = 0 एवं n = 16
तथा a₁₆ = 20 + (16 – 1) (-1) = 20 – 15 = 5 लट्टे
अत: कुल पंक्तियाँ 16 हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्टे हैं।

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.3)

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल:
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₁ = 2 × 5 = 10 m = a
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₂ = 2 × (5 + 3)= 2 × 8 = 16 m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a₃ = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 m
इस प्रकार दौड़ी गई दूरियाँ क्रमशः 10 m, 16 m, 22 m, ……………… एक AP का निर्माण करती हैं।
जहाँ a = 10 m, d = (16 m – 10 m) = 6 m एवं n = 10
चूँकि S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S₁₀ = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370 m
अतः प्रत्येक प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4= 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac { x }{ 2 } \) + \(\frac { 2y }{ 3 } \) = -1 और x – \(\frac { y }{ 3 } \) = 3
हल:
(i) विलोपन विधि :

x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac { 19 }{ 5 } \) + y = 5 ⇒ y = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) है।
प्रतिस्थापान विधि:
समीकरण (1) से y = 5 – x समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
2x – 3 (5 – x) = 4 ⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 15 + 4 = 19 ⇒ x = \(\frac { 19 }{ 5 } \)
एवं y = 5 – x = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) हैं।

(ii) विलोपन विधि :
3x + 4y = 10 ….(1)
एवं 2x – 2y = 2 ….(2)
⇒ 4x – 4y = 4 (3) [समीकरण (2) × 2 से]
⇒ 7x = 14 [समीकरण (1) + समीकरण (3) से]
⇒ x = 14/7 = 2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2 × 3 + 4y = 10 ⇒ 4y = 10 – 6 = 4
y = 4/4 = 1
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = (y + 1) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं –
3 (y + 1) +4y = 10 ⇒ 3y + 3 + 4y = 10
⇒ 7y = 10 – 3 = 7 ⇒ y = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
एवं x = (y + 1) = 1 + 1 = 2
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

(iii) विलोपन विधि:
3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ….(1)
एवं 9x = 2y + 7 = 9x – 2y = 7 ….(2)
9x – 15y = 12 ….(3) [समीकरण (1) × 3 से]
⇒ 13y = -5 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
⇒ y = \(\frac { -5 }{ 13 } \)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर हम पाते हैं :
3x – 5 (\(\frac { -5 }{ 13 } \)) = 4
⇒ 39x + 25 = 52 ⇒ 39x = 52 – 25 = 27
⇒ x = \(\frac { 27 }{ 39 } \) = \(\frac { 9 }{ 13 } \)
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (1) से x = \(\frac { 5y+4 }{ 3 } \) समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :

अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।

(iv) विलोपन विधि:

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = \(\frac { y+9 }{ 3 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :

y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
3x – (-3) = 9 ⇒ 3x = 9 – 3 = 6 ⇒ x = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = 2
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = – 3 है।
ज्ञातव्य : कभी-कभी विलोपन विधि प्रतिस्थापन विधि से उपयुक्त एवं सुविधाजनक होती है और कभी-कभी इसका विलोम भी होता है और कभी-कभी कोई भी अन्तर नहीं पड़ता।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह \(\frac { 1 }{ 2 } \) हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹50 और ₹100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए? किराये पर पुस्तक देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तकरखने के लिए ₹ 27 अदा किए जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए अभीष्ट भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का स्वरूप होगा \(\frac { x }{ y } \)
प्रश्नानुसार, \(\frac { x+1 }{ y-1 } \) = 1 ⇒ x + 1 = y – 1 ⇒ x – y = – 2 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ y+1 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ 2x = y + 1 ⇒ 2x – y = 1 ….(2)
⇒ [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
x के मान को समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
3 – y = – 2 ⇒ y = 3 + 2 = 5
अत: अभीष्ट भिन्न \(\frac { 3 }{ 5 } \) होगी।

(ii) मान लीजिए नूरी की आयु x वर्ष एवं सोनू की आयु y वर्ष है।
तो प्रश्नानुसार, (x – 5) = 3 (y – 5) ⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = 5 – 15 = – 10
एवं (x + 10) = 2 (y + 10) ⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10 = 10 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
एवं y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
x – 2 (20) = 10 ⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 40 + 10 = 50
अतः नूरी एवं सोनू की अभीष्ट वर्तमान आयु क्रमशः 50 वर्ष एवं 20 वर्ष है।

(iii) मान लीजिए संख्या का दहाई का अंक x एवं इकाई का अंक y है तो संख्या का मान होगा 10x + y अब प्रश्नानुसार,
x + y = 9 ….(1)
संख्या के अंकों को पलटने पर बनी नई संख्या का मान होगा 10y + x एवं प्रश्नानुसार अब
9 (10x +y) = 2 (10y +x),
⇒ 90x + 9y = 20y + 2x
⇒ 88x – 11y = 0 ⇒ 8x – y = 0 ….(2)
समीकरण (1) एवं समीकरण (2) को जोड़ने पर हम पाते हैं :
9x = 9 ⇒ x = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
1 + y = 9 ⇒ y = 9 – 1 = 8
अतः अभीष्ट संख्या का मान = 10x + y = 10 × 1 + 8 = 10 + 8 = 18 है।

(iv) मान लीजिए मीना बैंक से ₹50 के नोट तथा ₹ 100 के नोट प्राप्त करती है, तो प्रश्नानुसार
x + y = 25 ….(1)
एवं 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 ….(2)
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर प्राप्त होता है :
y = 40 – 25 = 15
y का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
x + 15 = 25 ⇒ x = 25 – 15 = 10
अत: ₹ 50 एवं ₹ 100 के नोटों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 10 एवं 15 है।

(v) मान लीजिए पुस्तक का प्रथम तीन दिन तक का नियत किराया ₹x एवं शेष दिनों के लिए प्रतिदिन का किराया ₹y है तो प्रश्नानुसार
x + 4y = 27 ….(1)
[∵ अतिरिक्त दिन = 7 – 3 = 4]
एवं x + 2y = 21 ….(2)
[∵ अतिरिक्त दिन = 5 – 3 = 2]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 (3) = 27 ⇒ x + 12 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15
अतः पुस्तक का प्रथम तीन दिनों तक अभीष्ट नियत किराया = ₹ 15 एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद a_n है :
हल:

हल:
(i) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 7 + (8 – 1) × 3
⇒ a_n = 7 + 7 × 3
⇒ a_n = 7 + 21 = 28

(ii) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + (10 – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + 9d
⇒ 9d = 18
⇒ d = \(\frac { 18 }{ 9 } \) = 2.

(iii) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ -5 = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a+ 17(-3)
⇒ -5 = a – 51
⇒ a = 51 – 5 = 46.

(iv) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 3.6 = 18.9 + (n – 1) × 25
⇒ 3.6 = – 18.9 + 2.5n – 2.5
⇒ 2.5n = 18.9 + 3.6 + 2.5
⇒ 2.5 n = 25.0
⇒ n = \(\frac { 25 }{ 2.5 } \) = 10

(v) ∵ a_n = a + (n – 1) × d
⇒ a_n = 35 + (105 – 1) × 0
⇒ a_n = 35 + 104 × 0
⇒ a_n = 3.5
अतः अत: a_n = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) AP: 19,7, 4 ….. 30 वाँ पद है :
(a) 97
(b) 77
(c) -77
(d) -87

(ii) AP -3, –\(\frac { 1 }{ 2 } \), 2, …….. का 11 वाँ पद है:
(a) 28
(b) 22
(c) -38
(d) -48 \(\frac { 1 }{ 2 } \)
हल:
(i) सही उत्तर (C) -77 है, क्योंकि a = 10, d = -3, n = 30
एवं a_n = a + (n – 1)d ⇒ a₃₀ = 10 + (30 – 1) (-3)
⇒ a₃₀ = 10 – 29 × 3 ⇒ 10 – 87 = -77

(ii) सही उत्तर (B) 22 है, क्योंकि a = -3, d = 2\(\frac { 1 }{ 2 } \), n = 11
एवं a_n = a + (n – 1)d ⇒ a_n = -3 + (11 – 1) (2.5)
⇒ a₁₁ = -3 + 10 × 2.5 = -3 + 25 = 22

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सामान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त स्थानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए।
(i) 2, [], 26
(ii) [], 13, [], 3
(iii) 5, [], [], 9\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(iv) -4, [], [], [], [], 6
(v) [], 38, [], [], [],-22
हल:
(i) प्रश्नानुसार, a = 2, a₃ = 26 एवं n = 3.
चूंकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ 26 = 2 + (3 – 1)d
⇒ 26 = 2 + 2d ⇒ 2d = 26 – 2 = 24 ⇒ d = \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12
अतः रिक्त स्थान a₂ = a + d = 2 + 12 = 14
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान (box) में पद 14 होगा।

(ii) प्रश्नानुसार, a₂ = 13 एवं a₄ = 3
⇒ 13 = a + (2 – 1)d ⇒ a + d = 13 ….(1)
एवं 3 = a+ (4 – 1)d ⇒ a + 3d = 3 …..(2)
⇒ 2d = 3 – 13 = – 10 ⇒ d = –\(\frac { 10 }{ 2 } \) = -5
[समी. (2) – समी. (1) से]
d = -5 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a – 5 = 13 ⇒ a = 13 + 5 = 18
एवं a₃ = a + (3 – 1) (-5) = 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8
अतः अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 18 एवं 8 होंगे।

(iii) प्रश्नानुसार, a = 5 एवं a₄ = 9 \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ 9\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + (4 – 1) (d) ⇒ 9\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + 3d
⇒ 3d = 9 \(\frac { 1 }{ 2 } \) – 5 = 4 \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 1 }{ 3 } \) × 4\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 1\(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ a2 = 5 + 1 \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 6\(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं a3 = 5 + 2 × 1 \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + 3 = 8
अत: अभीष्ट रिक्त स्थानों के अभीष्ट पद क्रमशः 6\(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं 8 हैं।

(iv) प्रश्नानुसार, a = – 4 एवं a₆ = 6
⇒ 6 = -4 + (6 – 1)d = 6 = -4 + 5d
⇒ 5d = 6 + 4 = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
अब a₂ = -4 + 2 = -2
a₃ = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
a₄ = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
a₅ = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अतः अभीष्ट पद क्रमशः – 2,0,2 एवं 4 हैं।

(v) प्रश्नानुसार, a₂ = 38 एवं a₆ = -22
⇒ 38 = a + d ⇒ a + d = 38 ….(i)
एवं -22 = a + 5d ⇒ a + 5d = – 22 ….(ii)
⇒ 4d = -60 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = – \(\frac { 60 }{ 4 } \) = -15
d =-15 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + (-15) = 38 ⇒ a = 38 + 15 = 53
अब a₃ = 53 + 2 × (-15) = 53 – 30 = 23
a₄ = 53 + 3 × (-15) = 53 – 45 = 8
a₅ = 53 + 4 × (-15) = 53 – 60 = -7
a₆ = 53 + 5 × (- 15) = 53 – 75 = – 22
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 होंगे।

प्रश्न 4.
AP : 3, 8, 13, 18, ……….. का कौन-सा पद 78 है?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3,d = 8 – 3 = 5, a_n = 78
एवं a_n = a + (n – 1) × d
⇒ 78 = 3 + (n – 1) × 5 = 3 + 5n – 5
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = \(\frac { 80 }{ 5 } \) = 16
अत: अभीष्ट 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ………. 205
(ii) 18, 15\(\frac { 1 }{ 2 } \),13, …..(-47)
हल:
(i) चूँकि A.P : 7, 13, 19, ……. 205 (दी गयी है।)
प्रश्नानुसार, a = 7,d = 13 – 7 = 6 एवं a_n = 205
चँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ 205 = 7 + (n – 1) (6)
⇒ 205 = 7 + 6n – 6
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = \(\frac { 204 }{ 6 } \) = 34
अतः श्रेणी में अभीष्ट 34 पद हैं।

(ii) चूँकि AP : 18, 15\(\frac { 1 }{ 2 } \), 13, ….., (-47) (दी गयी है)
प्रश्नानुसार, a = 18, d = 15, – 18 = -2\(\frac { 1 }{ 2 } \), एवं a_n = -47
चूँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ -47 = 18 + (n – 1) (-2\(\frac { 1 }{ 2 } \))
⇒ – 47 = 18 – 2\(\frac { 1 }{ 2 } \)n + 2\(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 5 }{ 2 } \)n = 47 + 18 + 2\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 67\(\frac { 1 }{ 2 } \) = \(\frac { 135 }{ 2 } \)
⇒ n = \(\frac { 135 }{ 2 } \) × \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 27
अतः श्रेणी में अभीष्ट 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या AP. 11,8, 5, 2 ……… का एक पद — 150 है? क्यों?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 11, d = 8 – 11 = -3, a_n = – 150.
चूँकि a_n = a + (n – 1) (d)
⇒ – 150 = 11 + (n – 1) (- 3) = 11 – 3n + 3
⇒ 3n = 150 + 11 + 3 = 164
⇒ n = \(\frac { 164 }{ 3 } \) = 54 \(\frac { 2 }{ 3 } \) जो एक पूर्णांक नहीं है।
अत: दत्त AP का कोई भी पद -150 नहीं होगा।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है। (2019)
हल:
प्रश्नानुसार, n₁₁ = 38 एवं n₁₆ = 73.
⇒ 38 = a + 10d ⇒ a + 10d = 38 …..(1)
एवं 73 = a + 15d ⇒ a + 15d = 73 …..(2)
⇒ 5d = 35 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = \(\frac { 35 }{ 5 } \) = 7
अब d = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 10 × 7 = 38 ⇒ a = 38 – 70 = – 32
अब a₃₁ = a + 30d = – 32 + 30 × 7
⇒ a₃₁ = -32 + 210 = 178
अंतः अभीष्ट 31वाँ पद = 178 है।

प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद है, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, n = 50, a₃ = 12 एवं a₅₀ = 106.
चूँकि a_n = a + (n – 1)d
⇒ 106 = a + 49d ⇒ a + 49d = 106 …..(1)
एवं 12 = a + 2d ⇒ a + 2d = 12 …..(2)
⇒ 47d = 94 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से
⇒ d = \(\frac { 94 }{ 47 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 2 × 2 = 12 ⇒ a = 12 – 4 = 8
अब n₂₉ = 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अतः अभीष्ट 29वाँ पद = 64 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a₃ = 4 एवं a₉ = – 8 है।
⇒ a₃ = a + 2d = 4 …..(1)
एवं a₉ = a + 8d = – 8 …..(2)
⇒ 6d = -12 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = –\(\frac { 12 }{ 6 } \) = -2
d = – 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर
चूँकि a + 2(-2) = 4 ⇒ a = 4 + 4 = 8.
अब a_n = a + (n – 1)d
⇒ 0 = 8 + (n – 1)(-2) ⇒ 0 = 8 – 2n + 2
⇒ 2n = 8 + 2 = 10 ⇒ n = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
अतः अभीष्ट पाँचवाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 16d – 9d = 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
अतः d का अभीष्ट मान = 1 है।

प्रश्न 11.
AP3 , 15, 27, 39, …………. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3, d = 15 – 3 = 12 एवं a_n – a₅₄ = 132
⇒ [3 + (n – 1) (12)] – [3 + (54 – 1) (12)] = 132
⇒ (3 + 12n – 12) – (3 + 53 × 12) = 132
⇒ 12n – 12 – 636 = 132
⇒ 12n = 132 + 12 + 636 = 780
⇒ n = \(\frac { 780 }{ 12 } \) = 65
अतः अभीष्ट 65वाँ पद होगा।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, दो समान्तर श्रेढ़ियाँ क्रमशः a, a + d, a + 2d, …………., a + (n – 1)d
एवं b, b + d, b + 2d, …………, b + (n – 1)d
एवं [a+ (100 – 1)d] – [b + (100 – 1)d] = 100
⇒ (a + 99d) – (b + 99a) = 100
⇒ a – b = 100 ….(1)
अब [a + (1000 – 1)d] – [b+ (1000 – 1)d]
= (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 [समीकरण (1) से]
अतः हजारवें पदों का अभीष्ट अन्तर = 100 होगा।

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।
हल:
7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याओं की सूची है।
105, 112, 119, ……………., 994
जहाँ, a = 105, d = 112 – 105 = 7 एवं a_n = 994
चूँकि an = a + (n – 1)d
⇒ 994 = 105+ (n – 1) × 7
⇒ 994 = 105 + 7n – 7
⇒ 7n = 994 + 7 – 105
⇒ 7n = 1001 – 105 = 896
⇒ n = \(\frac { 896 }{ 7 } \) = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकों वाली कुल अभीष्ट संख्याएँ 128 हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल:
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची है :
12, 16, 20, 24, …………, 248
जहाँ, a = 12,d = 16 – 12 = 4 एवं a_n = 248
चूँकि a_n = a + (n – 1)d
⇒ 248 = 12 + (n – 1) (4)
⇒ 248 = 12 + 4n – 4 = 4n + 8
⇒ 4n = 248 – 8 = 240
⇒ n = \(\frac { 240 }{ 4 } \) = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की अभीष्ट संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65,67,………….. और 3, 10, 17,……… के nवें पद बराबर होंगे?
हल:
चूँकि प्रथम AP का a = 63 एवं d = 65 – 63 = 2, एवं द्वितीय A.P. का a’ = 3 एवं d’ = 10 – 3 = 7 है, तो प्रश्नानुसार,
63 + (n – 1) (2) = 3 + (n – 1) (7)
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
⇒ 61 + 2n = 7n -4
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65 ⇒ n= \(\frac { 65 }{ 5 } \) = 13
अतः n के अभीष्ट मान 13 के लिए दोनों श्रेढ़ियों के nवें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसकी तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
मान लीजिए कि AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो
प्रश्नानुसार, a₃ = 16 ⇒ a + 2d = 16 ….(i)
एवं a₇ – a₅ = 12 ⇒ (a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ 2d = 12 ⇒ d = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 …..(2)
d का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16 ⇒ a + 12 = 16 ⇒ a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……… है।

प्रश्न 17.
AP 3,8, 13, ……………, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
AP को घटते क्रम में लिखने पर,
253, 248, 243, ………… 13, 8, 3.
जहाँ a = 253 एवं d = (248 – 253) = -5
⇒ a₂₀ = 253 + (20 – 1) (-5)
= 253 + 19 (-5) = 253 – 95
= 158
अतः दत्त AP के अन्तिम पद से अभीष्ट 20वाँ पद = 158 है।

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। इस AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……., समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तब प्रश्नानुसार,
∵ a₄ + a₈ = 24
⇒ (a + 3d) + (a + 7a) = 24
⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12 ……(1)
एवं a₆ + a₁₀ = 44
⇒ (a + 5a) + (a + 9d) = 44
⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22 …..(2)
⇒ 2d = 10 [समीकरण (2) – (1) से]
⇒ d = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12 ⇒ a + 25 = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
⇒ a2 = a + d = -13 + 5 = -8
एवं a = a + 2d = – 13 + 5 × 2 = – 13 + 10 = -3
अतः दी हुई समान्तर श्रेढ़ी के अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमश: -13, -8 एवं -3 हैं।

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5,000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया ओर प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल:
सुब्बाराव के प्रतिवर्ष के वेतन की सूची एक AP का निर्माण करेगी, जिसमें a = ₹ 5,000, d = ₹ 200 एवं an = ₹ 7,000 होगा।
इसलिए प्रश्नानुसार,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 7000 = 5000 + (n – 1) × 200
⇒ 7000 = 5000 + 200n – 200
⇒ 7000 = 4800 + 200n
⇒ 200n = 7000 – 4800 = 2200
⇒ n = \(\frac { 2200 }{ 200 } \) = 11
अत: सुब्बाराव का अभीष्ट वेतन 11वें वर्ष में होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत में ₹ 1.75 बढ़ाती गयी। यदि वें सप्ताह में उसकी बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात
कीजिए।
हल:
रामकली के साप्ताहिक बचत की सूची एक AP का निर्माण करती है जिसमें a = ₹5 एवं d = ₹ 1.75 तथा a_n = ₹ 20.75, तो प्रश्नानुसार,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) (1.75)
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 + 1.75 – 5
⇒ 1.75n = 22.50 – 5 = 17.50
⇒ n = \(\frac { 17.50 }{ 1.75 } \) = 10
अतः n का अभीष्ट मान = 10 है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) \(\sqrt { 2 }\) x² + 7x + 5\(\sqrt { 2 }\) = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac { 1 }{ 8 } \) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) x² – 3x – 10 = 0
⇒ x – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 5 एवं -2 हैं।

(ii) 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x (x + 2)- 3 (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
या तो x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अथवा 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल – 2 एवं \(\frac { 3 }{ 2 } \) हैं।

(iii) \(\sqrt { 2 }\) x² + 2x + 5 \(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ \(\sqrt { 2 }\) x² + 5x + 2x + 5\(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ x(\(\sqrt { 2 }\)x + 5) + \(\sqrt { 2 }\) (\(\sqrt { 2 }\)x + 5) = 0
⇒ (\(\sqrt { 2 }\) x + 5) (x + \(\sqrt { 2 }\)) = 0
या तो \(\sqrt { 2 }\) x + 5 = 0 ⇒ x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
अथवा x + \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ x = – \(\sqrt { 2 }\)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) एवं –\(\sqrt { 2 }\)

(iv) 2×2 – x + \(\frac { 1 }{ 8 } \) = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)² = 0
⇒ 4x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 4 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x (10x – 1)- 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)² = 0
⇒ 10x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac { 1 }{ 10 } \)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 10 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 10 } \) हैं।

प्रश्न 2.
(i) जॉन और जीवन्ती दोनों के पास कुल 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। बताइए आरम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। उस दिन निर्माण किए गए खिलौने की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए जॉन के पास प्रारम्भ में x कंचे थे तो जीवन्ती के पास प्रारम्भिक कंचों की संख्या = 45 – x
पाँच-पाँच कंचे खोने के बाद दोनों के पास शेष बचे कंचों की संख्या क्रमशः (x – 5) एवं (40 – X) हुई।
अब प्रश्नानुसार, (x – 5) (40 – x) = 124
⇒ 40x – x² – 200 + 5x = 124
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 9x – 36x + 324 = 0
⇒ x (x – 9) – 36 (x – 9) = 0
⇒ (x – 9) (x – 36) = 0
या तो x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अथवा x – 36 = 0 ⇒x = 36
चूँकि 9 और 36 का योग 45 और गुणनफल 324 है।
अतः उनके पास अभीष्ट 9 और 36 कंचे थे।

(ii) मान लीजिए किसी दिन निर्मित खिलौनों की संख्या : है। इसलिए प्रश्नानुसार प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
खिलौनों का कुल मूल्य x (55 – x) = 750
⇒ 55x – x² = 750
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
या तो x – 25 = 0 ⇒ x = 25
अथवा x – 30 = 0 ⇒ x = 30
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या या तो 25 अथवा 30 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 और गुणनफल 182 हो।
हल:
मान लीजिए एक संख्या x है, तो दूसरी संख्या 27 – x होगी [चूँकि योग 27 दिया है]
अब प्रश्नानुसार, x (27 – x) = 182
⇒ 27x – x² = 182
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13) (x – 14) = 0
या तो x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अथवा x – 14 = 0 ⇒ x = 14
चूँकि 13 और 14 का योग 27 और गुणनफल 182 है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल:
मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x एवं x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
(x + 1)² + (x)² = 365
⇒ x² + 2x + 1 + x² = 365
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 ⇒ x = – 14 (जो धनात्मक नहीं हैं)
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अतः अभीष्ट धनात्मक पूर्णांक 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार x cm है, तो त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) cm (प्रश्नानुसार)
चूँकि (आधार)² + (ऊँचाई)² = (कर्ण)² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)² (∵ कर्ण = 17 cm दिया है)
⇒ x² + x² – 14x + 49 = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x + 5 = 0 ⇒ x = -5 (जो असम्भव है)
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 cm
⇒ ऊँचाई = x = 12 – 7 = 5 cm
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm तथा ऊँचाई = 5 cm है।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन निर्मित बर्तनों की संख्या x है, तो प्रत्येक बर्तन की लागत = (2x + 3) प्रश्नानुसार
अब कुल लागत = लागत दर × बर्तनों की संख्या
⇒ (2x + 3) × x = 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x (2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
या तो 2x + 15 = 0 ⇒ x = \(\frac { -15 }{ 2 } \) (जो असम्भव है)
अथवा x – 6 = 0 ⇒ x = 6
प्रति बर्तन लागत = 2x + 3 = 2 × 6 + 3
= 12 + 3 = 15
अत: निर्मित बर्तनों की अभीष्ट संख्या = 6 तथा प्रत्येक बर्तन की लागत = ₹ 15 है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल :
(i) चरण – 1 : यहाँ 225 > 135 है, इसलिए हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
225 = 135 × 1 + 90
चरण – 2 : चूँकि शेषफल 90 + 0 है, इसलिए हम 135 और 90 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
135 = 90 × 1 + 45
चरण – 3 : चूँकि शेषफल 45 + 0 है, इसलिए हम नए भाजक 90 एवं नए शेषफल 45 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
90 = 45 × 2 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 45 है। अत: अभीष्ट HCF (135, 225) = 45
(ii) चरण – 1 : यहाँ 38220 > 196 है, इसलिए हम 38220 और 196 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
38220 = 196 × 195 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 196 है। अतः अभीष्ट HCF (196, 38220) = 196
(iii) चरण – 1 : यहाँ 867 > 255 है, इसलिए हम 867 और 255 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
867 = 255 × 3 + 102
चरण – 2 : चूँकि शेषफल 102 ≠ 0, इसलिए हम 255 और 102 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
255 = 102 × 2 + 51
चरण-3 : चूँकि शेषफल 51 ≠ 0, इसलिए हम नए भाजक 102 एवं नए शेषफल 51 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
102 = 51 × 2 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 51 है। अत: HCF (867, 255) = 51

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।
हल :
हम एक धनात्मक विषम पूर्णांक a लेकर प्रश्न को हल करना प्रारम्भ करते हैं। इसके लिए हम a और b = 6 में विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हैं।
चूँकि 0 < r < 6 है, इसलिए सम्भावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 और 5 होंगे।
अर्थात् a संख्याओं 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 और 6q + 5 के रूप का हो सकता है।
चूँकि a एक विषम संख्या है। अत: यह 6q, 6q + 2 एवं 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता क्योंकि ये संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं अर्थात् सम संख्याएँ हैं।
अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैण्ड के पीछे कार्य करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल :
इसे क्रमबद्ध रूप से हल करने के लिए हम HCF (616, 32) ज्ञात करते हैं। इसे ज्ञात करने के लिए
हम यूक्लिड एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
⇒ HCF (616,32) का मान = 8
अतः, स्तम्भों की अभीष्ट अधिकतम संख्या = 8.

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
हल :
मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है।
अब (3q)² = 9q² = 3 (3q²) = 3m, जहाँ m = 3q² एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q+ 1)² = 9q² + 6q + 1
= 3q (3q + 2) + 1
= 3m + 1, जहाँ m =q (3q + 2) एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1
= 3 (3q² + 4q + 1) + 1 = 3 (3q + 1) (q + 1) + 1
= 3m + 1 जहाँ m = (+ 1) (3q + 1) एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल :
मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 34, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है।
अब (34)³ = 27q³ = 9 (3q³) = 9m, जहाँ m = 3q³ एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9q (3q² + 3q + 1) + 1
= 9m + 1, जहाँ m = q (3q² + 3q + 1) एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9q (3q² + 6q + 4) + 8
= 9m + 8, जहाँ m = q (3q² + 6q + 4) एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113 ………… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल:
यहाँ AP का a = 121, d = 117 – 121 = -4
a_n < 0 प्रथम ऋणात्मक पद
चूँकि a_n = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (n – 1) (-4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > \(\frac { 125 }{ 4 } \) ⇒ n > 31 \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अत: अभीष्ट 32वाँ पद प्रथम ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ a₃ + a₇ = (a + 2d) + (a + 6d) = 6 (दिया है)
⇒ 2a + 8d = 6 ⇒ a + 4d = 3 …….(1)
एवं a₃.a₇ = (a + 2d).(a + 6d) = 8 (दिया है।)
⇒ a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 ……(2)
समीकरण (1) से a = (3 – 4d) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3 – 4d)² + 8(3 – 4d) (d) + 12d² = 8
⇒ 9 – 24d + 16d² + 24d – 32d² + 12d² = 8
⇒ 28d² – 32d² + 24d – 24d = 8 – 9
⇒ -4d² = -1 ⇒ 4d² = 1
⇒ d² = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ d = ± \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) = ±\(\frac { 1 }{ 2 } \)
d = + \(\frac { 1 }{ 2 } \) समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 (\(\frac { 1 }{ 2 } \)) = 3 ⇒ a = 3 – 2 = 1
एवं d = – \(\frac { 1 }{ 2 } \) समीकरण (1) में रखने पर,

अतः प्रथम 16 पदों का अभीष्ट योग 76 अथवा 20 है।

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.4) डण्डों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac { 1 }{ 2 } \) m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई 25 cm की आवश्यकता होगी?
हल:

आकृति 5.4

चूँकि डण्डों की संख्या = \(\frac { 250 }{ 25 } \) + 1 = 10 + 1 = 11
डण्डों की लम्बाई ऊपर से नीचे क्रमशः
25 cm, (25 + d) cm, (25 + 2d) cm, ………. = 45 cm.
जो AP का निर्माण करती है?
जहाँ a = 25 cm, a_n = 45 cm एवं n = 11
∴ S_n = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + a_n]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [25 + 45] = \(\frac { 11 }{ 2 } \) × 70
= 11 × 35
= 385 cm अर्थात् 3.85 m
अतः लकड़ी की कुल अभीष्ट लम्बाई = 385 cm अर्थात् 3.85 m है।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x.का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों के क्रमांक क्रमशः 1, 2, 3, 4, ………….., 49 हैं जो एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 1 एवं d = 2 – 1 = 1 एवं n = 49.
प्रश्नानुसार, चूँकि S_x-1 = S₄₉ – S_x

अतः x का अभीष्ट मान = 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है, जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (Concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac { 1 }{ 4 } \) m की चढ़ाई है और \(\frac { 1 }{ 2 } \) m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलगन आकृति 5.5) इस चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का आयतन परिकलित कीजिए।

हल:
पहली सीढ़ी का आयतन = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 50 = \(\frac { 25 }{ 4 } \) m³
दूसरी सीढ़ी का आयतन = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 1 × 50 = \(\frac { 50 }{ 4 } \) m³
तीसरी सीढ़ी का आयतन = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × \(\frac { 3 }{ 2 } \) × 50 = \(\frac { 75 }{ 4 } \) m³
…………………………….
…………………………….
अतः सीढ़ियों के आयतन क्रमशः (ऊपर से नीचे की ओर). \(\frac { 25 }{ 4 } \) m³, \(\frac { 50 }{ 4 } \) m³, \(\frac { 75 }{ 4 } \) m³, ……………..15 पद एक AP का निर्माण करते हैं,

अतः कंक्रीट का अभीष्ट आयतन 750 m³ होगा।