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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) \(\sqrt { 2 }\) x2 + 7x + 5\(\sqrt { 2 }\) = 0
(iv) 2x2 – x + \(\frac { 1 }{ 8 } \) = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल:
(i) x2 – 3x – 10 = 0
⇒ x – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 5 एवं -2 हैं।

(ii) 2x2 + x – 6 = 0
⇒ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x (x + 2)- 3 (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
या तो x + 2 = 0 ⇒ x = -2
अथवा 2x – 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल – 2 एवं \(\frac { 3 }{ 2 } \) हैं।

(iii) \(\sqrt { 2 }\) x2 + 2x + 5 \(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ \(\sqrt { 2 }\) x2 + 5x + 2x + 5\(\sqrt { 2 }\) = 0
⇒ x(\(\sqrt { 2 }\)x + 5) + \(\sqrt { 2 }\) (\(\sqrt { 2 }\)x + 5) = 0
⇒ (\(\sqrt { 2 }\) x + 5) (x + \(\sqrt { 2 }\)) = 0
या तो \(\sqrt { 2 }\) x + 5 = 0 ⇒ x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
अथवा x + \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ x = – \(\sqrt { 2 }\)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) एवं –\(\sqrt { 2 }\)

(iv) 2×2 – x + \(\frac { 1 }{ 8 } \) = 0
⇒ 16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 16x2 – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) -1 (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)2 = 0
⇒ 4x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अत: दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 4 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
⇒ 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x (10x – 1)- 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)2 = 0
⇒ 10x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac { 1 }{ 10 } \)
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 10 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 10 } \) हैं।

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प्रश्न 2.
(i) जॉन और जीवन्ती दोनों के पास कुल 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। बताइए आरम्भ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन कुल निर्माण लागत ₹ 750 थी। उस दिन निर्माण किए गए खिलौने की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए जॉन के पास प्रारम्भ में x कंचे थे तो जीवन्ती के पास प्रारम्भिक कंचों की संख्या = 45 – x
पाँच-पाँच कंचे खोने के बाद दोनों के पास शेष बचे कंचों की संख्या क्रमशः (x – 5) एवं (40 – X) हुई।
अब प्रश्नानुसार, (x – 5) (40 – x) = 124
⇒ 40x – x2 – 200 + 5x = 124
⇒ x2 – 45x + 324 = 0
⇒ x2 – 9x – 36x + 324 = 0
⇒ x (x – 9) – 36 (x – 9) = 0
⇒ (x – 9) (x – 36) = 0
या तो x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अथवा x – 36 = 0 ⇒x = 36
चूँकि 9 और 36 का योग 45 और गुणनफल 324 है।
अतः उनके पास अभीष्ट 9 और 36 कंचे थे।

(ii) मान लीजिए किसी दिन निर्मित खिलौनों की संख्या : है। इसलिए प्रश्नानुसार प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
खिलौनों का कुल मूल्य x (55 – x) = 750
⇒ 55x – x2 = 750
⇒ x2 – 55x + 750 = 0
⇒ x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
या तो x – 25 = 0 ⇒ x = 25
अथवा x – 30 = 0 ⇒ x = 30
अतः उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या या तो 25 अथवा 30 है।

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 27 और गुणनफल 182 हो।
हल:
मान लीजिए एक संख्या x है, तो दूसरी संख्या 27 – x होगी [चूँकि योग 27 दिया है]
अब प्रश्नानुसार, x (27 – x) = 182
⇒ 27x – x2 = 182
⇒ x2 – 27x + 182 = 0
⇒ x2 – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x (x – 13) – 14 (x – 13) = 0
⇒ (x – 13) (x – 14) = 0
या तो x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अथवा x – 14 = 0 ⇒ x = 14
चूँकि 13 और 14 का योग 27 और गुणनफल 182 है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ 13 एवं 14 हैं।

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प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।
हल:
मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x एवं x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
(x + 1)2 + (x)2 = 365
⇒ x2 + 2x + 1 + x2 = 365
⇒ 2x2 + 2x – 364 = 0
⇒ x2 + x – 182 = 0
⇒ x2 + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
या तो x + 14 = 0 ⇒ x = – 14 (जो धनात्मक नहीं हैं)
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
अतः अभीष्ट धनात्मक पूर्णांक 13 एवं 14 हैं।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार x cm है, तो त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7) cm (प्रश्नानुसार)
चूँकि (आधार)2 + (ऊँचाई)2 = (कर्ण)2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ (x)2 + (x – 7)2 = (13)2 (∵ कर्ण = 17 cm दिया है)
⇒ x2 + x2 – 14x + 49 = 169
⇒ 2x2 – 14x – 120 = 0
⇒ x2 – 7x – 60 = 0
⇒ x2 – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
या तो x + 5 = 0 ⇒ x = -5 (जो असम्भव है)
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 cm
⇒ ऊँचाई = x = 12 – 7 = 5 cm
अतः समकोण त्रिभुज का आधार = 12 cm तथा ऊँचाई = 5 cm है।

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प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन निर्मित बर्तनों की संख्या x है, तो प्रत्येक बर्तन की लागत = (2x + 3) प्रश्नानुसार
अब कुल लागत = लागत दर × बर्तनों की संख्या
⇒ (2x + 3) × x = 90
⇒ 2x2 + 3x = 90
⇒ 2x2 + 3x – 90 = 0
⇒ 2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x (2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15) (x – 6) = 0
या तो 2x + 15 = 0 ⇒ x = \(\frac { -15 }{ 2 } \) (जो असम्भव है)
अथवा x – 6 = 0 ⇒ x = 6
प्रति बर्तन लागत = 2x + 3 = 2 × 6 + 3
= 12 + 3 = 15
अत: निर्मित बर्तनों की अभीष्ट संख्या = 6 तथा प्रत्येक बर्तन की लागत = ₹ 15 है।