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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद an है :
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 1
हल:
(i) ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ an = 7 + (8 – 1) × 3
⇒ an = 7 + 7 × 3
⇒ an = 7 + 21 = 28

(ii) ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + (10 – 1) × d
⇒ 0 = – 18 + 9d
⇒ 9d = 18
⇒ d = \(\frac { 18 }{ 9 } \) = 2.

(iii) ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ -5 = a + (18 – 1) (-3)
⇒ -5 = a+ 17(-3)
⇒ -5 = a – 51
⇒ a = 51 – 5 = 46.

(iv) ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 3.6 = 18.9 + (n – 1) × 25
⇒ 3.6 = – 18.9 + 2.5n – 2.5
⇒ 2.5n = 18.9 + 3.6 + 2.5
⇒ 2.5 n = 25.0
⇒ n = \(\frac { 25 }{ 2.5 } \) = 10

(v) ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ an = 35 + (105 – 1) × 0
⇒ an = 35 + 104 × 0
⇒ an = 3.5
अतः अत: an = 3.5

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प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) AP: 19,7, 4 ….. 30 वाँ पद है :
(a) 97
(b) 77
(c) -77
(d) -87

(ii) AP -3, –\(\frac { 1 }{ 2 } \), 2, …….. का 11 वाँ पद है:
(a) 28
(b) 22
(c) -38
(d) -48 \(\frac { 1 }{ 2 } \)
हल:
(i) सही उत्तर (C) -77 है, क्योंकि a = 10, d = -3, n = 30
एवं an = a + (n – 1)d ⇒ a30 = 10 + (30 – 1) (-3)
⇒ a30 = 10 – 29 × 3 ⇒ 10 – 87 = -77

(ii) सही उत्तर (B) 22 है, क्योंकि a = -3, d = 2\(\frac { 1 }{ 2 } \), n = 11
एवं an = a + (n – 1)d ⇒ an = -3 + (11 – 1) (2.5)
⇒ a11 = -3 + 10 × 2.5 = -3 + 25 = 22

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प्रश्न 3.
निम्नलिखित सामान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त स्थानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए।
(i) 2, [], 26
(ii) [], 13, [], 3
(iii) 5, [], [], 9\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(iv) -4, [], [], [], [], 6
(v) [], 38, [], [], [],-22
हल:
(i) प्रश्नानुसार, a = 2, a3 = 26 एवं n = 3.
चूंकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ 26 = 2 + (3 – 1)d
⇒ 26 = 2 + 2d ⇒ 2d = 26 – 2 = 24 ⇒ d = \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12
अतः रिक्त स्थान a2 = a + d = 2 + 12 = 14
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान (box) में पद 14 होगा।

(ii) प्रश्नानुसार, a2 = 13 एवं a4 = 3
⇒ 13 = a + (2 – 1)d ⇒ a + d = 13 ….(1)
एवं 3 = a+ (4 – 1)d ⇒ a + 3d = 3 …..(2)
⇒ 2d = 3 – 13 = – 10 ⇒ d = –\(\frac { 10 }{ 2 } \) = -5
[समी. (2) – समी. (1) से]
d = -5 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a – 5 = 13 ⇒ a = 13 + 5 = 18
एवं a3 = a + (3 – 1) (-5) = 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8
अतः अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 18 एवं 8 होंगे।

(iii) प्रश्नानुसार, a = 5 एवं a4 = 9 \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ 9\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + (4 – 1) (d) ⇒ 9\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + 3d
⇒ 3d = 9 \(\frac { 1 }{ 2 } \) – 5 = 4 \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 1 }{ 3 } \) × 4\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 1\(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ a2 = 5 + 1 \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 6\(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं a3 = 5 + 2 × 1 \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5 + 3 = 8
अत: अभीष्ट रिक्त स्थानों के अभीष्ट पद क्रमशः 6\(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं 8 हैं।

(iv) प्रश्नानुसार, a = – 4 एवं a6 = 6
⇒ 6 = -4 + (6 – 1)d = 6 = -4 + 5d
⇒ 5d = 6 + 4 = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
अब a2 = -4 + 2 = -2
a3 = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
a4 = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
a5 = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अतः अभीष्ट पद क्रमशः – 2,0,2 एवं 4 हैं।

(v) प्रश्नानुसार, a2 = 38 एवं a6 = -22
⇒ 38 = a + d ⇒ a + d = 38 ….(i)
एवं -22 = a + 5d ⇒ a + 5d = – 22 ….(ii)
⇒ 4d = -60 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = – \(\frac { 60 }{ 4 } \) = -15
d =-15 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + (-15) = 38 ⇒ a = 38 + 15 = 53
अब a3 = 53 + 2 × (-15) = 53 – 30 = 23
a4 = 53 + 3 × (-15) = 53 – 45 = 8
a5 = 53 + 4 × (-15) = 53 – 60 = -7
a6 = 53 + 5 × (- 15) = 53 – 75 = – 22
अत: अभीष्ट रिक्त स्थान में पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 होंगे।

प्रश्न 4.
AP : 3, 8, 13, 18, ……….. का कौन-सा पद 78 है?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3,d = 8 – 3 = 5, an = 78
एवं an = a + (n – 1) × d
⇒ 78 = 3 + (n – 1) × 5 = 3 + 5n – 5
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = \(\frac { 80 }{ 5 } \) = 16
अत: अभीष्ट 16वाँ पद 78 है।

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प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ………. 205
(ii) 18, 15\(\frac { 1 }{ 2 } \),13, …..(-47)
हल:
(i) चूँकि A.P : 7, 13, 19, ……. 205 (दी गयी है।)
प्रश्नानुसार, a = 7,d = 13 – 7 = 6 एवं an = 205
चँकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ 205 = 7 + (n – 1) (6)
⇒ 205 = 7 + 6n – 6
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = \(\frac { 204 }{ 6 } \) = 34
अतः श्रेणी में अभीष्ट 34 पद हैं।

(ii) चूँकि AP : 18, 15\(\frac { 1 }{ 2 } \), 13, ….., (-47) (दी गयी है)
प्रश्नानुसार, a = 18, d = 15, – 18 = -2\(\frac { 1 }{ 2 } \), एवं an = -47
चूँकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ -47 = 18 + (n – 1) (-2\(\frac { 1 }{ 2 } \))
⇒ – 47 = 18 – 2\(\frac { 1 }{ 2 } \)n + 2\(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 5 }{ 2 } \)n = 47 + 18 + 2\(\frac { 1 }{ 2 } \) = 67\(\frac { 1 }{ 2 } \) = \(\frac { 135 }{ 2 } \)
⇒ n = \(\frac { 135 }{ 2 } \) × \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 27
अतः श्रेणी में अभीष्ट 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या AP. 11,8, 5, 2 ……… का एक पद — 150 है? क्यों?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 11, d = 8 – 11 = -3, an = – 150.
चूँकि an = a + (n – 1) (d)
⇒ – 150 = 11 + (n – 1) (- 3) = 11 – 3n + 3
⇒ 3n = 150 + 11 + 3 = 164
⇒ n = \(\frac { 164 }{ 3 } \) = 54 \(\frac { 2 }{ 3 } \) जो एक पूर्णांक नहीं है।
अत: दत्त AP का कोई भी पद -150 नहीं होगा।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है। (2019)
हल:
प्रश्नानुसार, n11 = 38 एवं n16 = 73.
⇒ 38 = a + 10d ⇒ a + 10d = 38 …..(1)
एवं 73 = a + 15d ⇒ a + 15d = 73 …..(2)
⇒ 5d = 35 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = \(\frac { 35 }{ 5 } \) = 7
अब d = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 10 × 7 = 38 ⇒ a = 38 – 70 = – 32
अब a31 = a + 30d = – 32 + 30 × 7
⇒ a31 = -32 + 210 = 178
अंतः अभीष्ट 31वाँ पद = 178 है।

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प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद है, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, n = 50, a3 = 12 एवं a50 = 106.
चूँकि an = a + (n – 1)d
⇒ 106 = a + 49d ⇒ a + 49d = 106 …..(1)
एवं 12 = a + 2d ⇒ a + 2d = 12 …..(2)
⇒ 47d = 94 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से
⇒ d = \(\frac { 94 }{ 47 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 2 × 2 = 12 ⇒ a = 12 – 4 = 8
अब n29 = 8 + 28 × 2 = 8 + 56 = 64
अतः अभीष्ट 29वाँ पद = 64 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a3 = 4 एवं a9 = – 8 है।
⇒ a3 = a + 2d = 4 …..(1)
एवं a9 = a + 8d = – 8 …..(2)
⇒ 6d = -12 [समीकरण (2)- समीकरण (1) से]
⇒ d = –\(\frac { 12 }{ 6 } \) = -2
d = – 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर
चूँकि a + 2(-2) = 4 ⇒ a = 4 + 4 = 8.
अब an = a + (n – 1)d
⇒ 0 = 8 + (n – 1)(-2) ⇒ 0 = 8 – 2n + 2
⇒ 2n = 8 + 2 = 10 ⇒ n = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
अतः अभीष्ट पाँचवाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार, (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 16d – 9d = 7 ⇒ 7d = 7 ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
अतः d का अभीष्ट मान = 1 है।

प्रश्न 11.
AP3 , 15, 27, 39, …………. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, a = 3, d = 15 – 3 = 12 एवं an – a54 = 132
⇒ [3 + (n – 1) (12)] – [3 + (54 – 1) (12)] = 132
⇒ (3 + 12n – 12) – (3 + 53 × 12) = 132
⇒ 12n – 12 – 636 = 132
⇒ 12n = 132 + 12 + 636 = 780
⇒ n = \(\frac { 780 }{ 12 } \) = 65
अतः अभीष्ट 65वाँ पद होगा।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल:
प्रश्नानुसार, दो समान्तर श्रेढ़ियाँ क्रमशः a, a + d, a + 2d, …………., a + (n – 1)d
एवं b, b + d, b + 2d, …………, b + (n – 1)d
एवं [a+ (100 – 1)d] – [b + (100 – 1)d] = 100
⇒ (a + 99d) – (b + 99a) = 100
⇒ a – b = 100 ….(1)
अब [a + (1000 – 1)d] – [b+ (1000 – 1)d]
= (a + 999d) – (b + 999d)
= a – b = 100 [समीकरण (1) से]
अतः हजारवें पदों का अभीष्ट अन्तर = 100 होगा।

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प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।
हल:
7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याओं की सूची है।
105, 112, 119, ……………., 994
जहाँ, a = 105, d = 112 – 105 = 7 एवं an = 994
चूँकि an = a + (n – 1)d
⇒ 994 = 105+ (n – 1) × 7
⇒ 994 = 105 + 7n – 7
⇒ 7n = 994 + 7 – 105
⇒ 7n = 1001 – 105 = 896
⇒ n = \(\frac { 896 }{ 7 } \) = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकों वाली कुल अभीष्ट संख्याएँ 128 हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल:
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची है :
12, 16, 20, 24, …………, 248
जहाँ, a = 12,d = 16 – 12 = 4 एवं an = 248
चूँकि an = a + (n – 1)d
⇒ 248 = 12 + (n – 1) (4)
⇒ 248 = 12 + 4n – 4 = 4n + 8
⇒ 4n = 248 – 8 = 240
⇒ n = \(\frac { 240 }{ 4 } \) = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की अभीष्ट संख्या 60 है।

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65,67,………….. और 3, 10, 17,……… के nवें पद बराबर होंगे?
हल:
चूँकि प्रथम AP का a = 63 एवं d = 65 – 63 = 2, एवं द्वितीय A.P. का a’ = 3 एवं d’ = 10 – 3 = 7 है, तो प्रश्नानुसार,
63 + (n – 1) (2) = 3 + (n – 1) (7)
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
⇒ 61 + 2n = 7n -4
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65 ⇒ n= \(\frac { 65 }{ 5 } \) = 13
अतः n के अभीष्ट मान 13 के लिए दोनों श्रेढ़ियों के nवें पद बराबर होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसकी तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल:
मान लीजिए कि AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो
प्रश्नानुसार, a3 = 16 ⇒ a + 2d = 16 ….(i)
एवं a7 – a5 = 12 ⇒ (a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ 2d = 12 ⇒ d = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 …..(2)
d का मान समीकरण (2) से समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16 ⇒ a + 12 = 16 ⇒ a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……… है।

प्रश्न 17.
AP 3,8, 13, ……………, 253 में अन्तिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
AP को घटते क्रम में लिखने पर,
253, 248, 243, ………… 13, 8, 3.
जहाँ a = 253 एवं d = (248 – 253) = -5
⇒ a20 = 253 + (20 – 1) (-5)
= 253 + 19 (-5) = 253 – 95
= 158
अतः दत्त AP के अन्तिम पद से अभीष्ट 20वाँ पद = 158 है।

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा 6वें और 10वें पदों का योग 44 है। इस AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a, a + d, a + 2d, a + 3d, ……., समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तब प्रश्नानुसार,
∵ a4 + a8 = 24
⇒ (a + 3d) + (a + 7a) = 24
⇒ 2a + 10d = 24 ⇒ a + 5d = 12 ……(1)
एवं a6 + a10 = 44
⇒ (a + 5a) + (a + 9d) = 44
⇒ 2a + 14d = 44 ⇒ a + 7d = 22 …..(2)
⇒ 2d = 10 [समीकरण (2) – (1) से]
⇒ d = \(\frac { 10 }{ 2 } \) = 5
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12 ⇒ a + 25 = 12 ⇒ a = 12 – 25 = – 13
⇒ a2 = a + d = -13 + 5 = -8
एवं a = a + 2d = – 13 + 5 × 2 = – 13 + 10 = -3
अतः दी हुई समान्तर श्रेढ़ी के अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमश: -13, -8 एवं -3 हैं।

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प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5,000 के मासिक वेतन पर कार्य प्रारम्भ किया ओर प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल:
सुब्बाराव के प्रतिवर्ष के वेतन की सूची एक AP का निर्माण करेगी, जिसमें a = ₹ 5,000, d = ₹ 200 एवं an = ₹ 7,000 होगा।
इसलिए प्रश्नानुसार,
an = a + (n – 1)d
⇒ 7000 = 5000 + (n – 1) × 200
⇒ 7000 = 5000 + 200n – 200
⇒ 7000 = 4800 + 200n
⇒ 200n = 7000 – 4800 = 2200
⇒ n = \(\frac { 2200 }{ 200 } \) = 11
अत: सुब्बाराव का अभीष्ट वेतन 11वें वर्ष में होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत में ₹ 1.75 बढ़ाती गयी। यदि वें सप्ताह में उसकी बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात
कीजिए।
हल:
रामकली के साप्ताहिक बचत की सूची एक AP का निर्माण करती है जिसमें a = ₹5 एवं d = ₹ 1.75 तथा an = ₹ 20.75, तो प्रश्नानुसार,
an = a + (n – 1)d
⇒ 20.75 = 5 + (n – 1) (1.75)
⇒ 20.75 = 5 + 1.75n – 1.75
⇒ 1.75n = 20.75 + 1.75 – 5
⇒ 1.75n = 22.50 – 5 = 17.50
⇒ n = \(\frac { 17.50 }{ 1.75 } \) = 10
अतः n का अभीष्ट मान = 10 है।

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