Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिये ‘लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः x एवं y है तो प्रश्नानुसार,
x + y = 10 ….(1)
⇒ y = 10 – x

एवं y = x + 4 ….(2)

दोनों ग्राफ परस्पर बिन्दु P (3,7) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: लड़के एवं लड़कियों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 3 एवं 7 है।

(ii) मान लीजिए पेंसिल एवं कलम का मूल्य क्रमशः ₹ x प्रति नग एवं ₹ y प्रति नग है। तो प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50 …(1)
⇒ y = \(\frac { 50-5x }{ 7 } \)

एवं 7x + 5y = 46 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 46-7x }{ 5 } \)

आकृति : 3.5
चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P (3,5) पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः पेंसिल एवं कलम के मूल्य क्रमश ₹ 3 प्रति नग एवं ₹ 5 प्रति नग है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समानान्तर हैं अथवा सम्पाती हैं।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) चूंकि 5x – 4y + 8 = 0 ….(1)
एवं 7x + 6y – 9 = 0 ….(2)
इसलिए \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}=\frac{-8}{9}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) चूँकि 9x + 3y + 12 = 0 ….(1)
18x + 6y + 24 = 0 ….(2)

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) चूँकि 6x – 3y + 10 = 0 …. (1)
एवं 2x – y + 9 = 0 ….(2)

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म
संगत हैं या असंगत:
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac { 3 }{ 2 } \) x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + by = – 22
(v) \(\frac { 4 }{ 3 } \) x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
हल:
(i) चूँकि 3x + 2y = 5 ⇒ 3x + 2y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x – 3y = 7 ⇒ 2x – 3y – 7 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(ii) चूँकि 2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0 ….(i)
एवं 4x – 6y = 9 ⇒ 4x – 6y – 9 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म अंसगत हैं।

(iii) चूँकि \(\frac { 3 }{ 2 } \)x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7 ⇒ 9x + 10y – 42 = 0 ….(1)
एवं 9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(iv) चूँकि 5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ….(1)
एवं – 10x + 6y = – 22 ⇒ – 10x + 6y + 22 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(v) चूँकि \(\frac { 4 }{ 3 } \)x + 2y = 8 ⇒ 4x + 6y – 24 = 0 ….(1)
एवं 2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म संपाती हैं)
अत: उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं। यदि संगत हैं, तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0; 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0; 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) चूँकि x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x +2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।


चूँकि रेखा युग्म सम्पाती हैं, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिन्दु इसका हल होगा।
अतः उक्त रैखिक समीकरण के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

(ii) चूंकि x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समानान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
उत्तर रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
⇒ y = 6 – 2x

एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)
⇒ y = 2x – 2

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल (2, 2) है अर्थात् x = 2 एवं y = 2.

(iv) चूँकि 2x – 2y – 2 = 0 ….(1)
एवं 4x – 4y – 5 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि बाग की लम्बाई x m एवं चौड़ाई y m है।
तो प्रश्नानुसार, x = y + 4 …(1)
⇒ y = x – 4

एवं x + y = 36 ….(2)
⇒ y = 36 -x

चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः आयताकार बाग की अभीष्ट विमाएँ 20 m एवं 16 m हैं।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समानान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
सम्भावित उत्तर:
(i) 3x + 2y – 7 = 0
(ii) 4x + 6y – 12 = 0
(iii) 4x + 6y – 16 = 0
ज्ञातव्य : इस प्रश्न के अनेक उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
चूँकि x – y + 1 = 0 …(1)
⇒ y = x + 1

एवं 3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 12-3x }{ 2 } \)

आकृति : 3.9
अतः दिए हुए रैखिक समीकरण रैखिक निरूपित रेखाओं एवं : अक्ष से बने अभीष्ट त्रिभुज PQR के शीर्षों के अभीष्ट निर्देशांक P (2, 3), Q(-1, 0) और R (4,0) हैं तथा प्राप्त त्रिभुजाकार पटल को उपर्युक्त आकृति में छायांकित किया गया है।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions Surbhi Chapter 18 दीपावलिः

MP Board Class 6th Sanskrit Chapter 18 अभ्यासः

Class 6 Sanskrit Chapter 18 MP Board प्रश्न 1.
एकपदेन उत्तरं लिखत (एक शब्द में उत्तर लिखो)
(क) दीपावल्याः उत्सवे कति दिवसाः सन्ति? (दीपावली के उत्सव कितने दिन होते हैं?)
उत्तर:
पञ्च दिवसाः (पाँच दिन)

(ख) धन्वन्तरिपूजनं कस्मिन् दिने भवति? (धन्वन्तरि पूजन किस दिन होता है?)
उत्तर:
त्रयोदश्यां, (त्रयोदशी को)

(ग) व्यापारिणां नूतनः संवत्सरः कदा प्रारभते? (व्यापारियों का नया वर्ष कब प्रारम्भ होता है?)
उत्तर:
कार्तिक प्रतिपदायां शुक्ल पक्षे (कार्तिक महीने की प्रतिपदा शुक्लपक्ष को)।

दीपावली कदा भवति MP Board प्रश्न 2.
एकवाक्येन उत्तरं लिखत (एक वाक्य में उत्तर लिखो)
(क) दीपावल्यां लक्ष्मीः कदा पूज्यते? (दीपावली पर लक्ष्मी की पूजा कब होती है?)
उत्तर:
दीपावल्यां लक्ष्मीः अमावस्यायां पूज्यते। (दीपावली पर लक्ष्मी की पूजा अमावस्या को होती है।)

(ख) कः दीपावलिसन्देशः? (दीपावली का क्या सन्देश है?)
उत्तर:
“तमसो मा ज्योतिर्गमय” इति दीपावलि सन्देशः। (“तमसो मा ज्योतिर्गमय” ही दीपावली का सन्देश है।)

(ग) भ्रातृभगिन्यौ किं कामयतः? (भाई-बहन क्या कामना करते हैं?)
उत्तर:
भ्रातृभगिन्यौ दीर्घजीवनं सुखसमृद्धि च कामयतः।। (भाई-बहन दीर्घायु और सुख-समृद्धि की कामना करते है।)

(घ) अल्पनारेखनं कुत्र दृश्यते? (अल्पना रेखन कहाँ दिखाई पड़ता है?)
उत्तर:
गृहाणां पुरतः अल्पनारेखनं दृश्यते। (अल्पना रेखन घर के आँगन में दिखाई देती है।)

Sanskrit Class 6 Chapter 18 MP Board प्रश्न 3.
उचितं चित्वा पूरयत (उचित को चुनकर पूरा करो)
(क) बालकः …………. वस्त्रं धारयति। (नूतनं/नूतनानि)
(ख) …………. प्राक् अभ्यङ्गस्नानं क्रियते।। (सूर्योदयस्य/सूर्योदयात्)
(ग) भ्रातृभगिन्यौ परस्परं ………….। (मिलति/मिलतः)
(घ) आपणा ………….परिपूर्णाः भवन्तिः। (ग्राहकाणां/ग्राहकैः)
उत्तर:
(क) नूतनं
(ख) सूर्योदयात्
(ग) मिलतः
(घ) ग्राहकैः।

18 In Sanskrit MP Board  प्रश्न 4.
योजयत (जोडिए)

उत्तर:
(क) → 3
(ख) → 4
(ग) → 2
(घ) → 5
(ङ) → 1

18 Sanskrit MP Board प्रश्न 5.
‘दीपावलिः’ इति विषयम् आधृत्य पञ्च वाक्यानि लिखत (‘दीपावली’ इस विषय पर आधारित पाँच वाक्य लिखो)
उत्तर:

1. ‘दीपावलिः’ हिन्दूनाम् प्रमुखः उत्सवः वर्तते। (दीपावली हिन्दुओं का प्रमुख उत्सव है।)
2. अयम् उत्सवः कार्तिक मासस्य अमावस्यायाम् आयोज्यते। धनस्य देवी लक्ष्मी च पूज्यते। (यह उत्सव कार्तिक महीने की अमावस्या को मनाया जाता है और धन की देवी लक्ष्मी की पूजा की जाती है।)
3. अस्य उत्सवस्य आयोजनम् पञ्चदिनानि पर्यन्तं प्रचलति। (इस उत्सव का आयोजन पाँच दिन तक चलता है।)
4. सर्वत्र उल्लासम् प्रतीतम् भवति। (सभी जगह उल्लास प्रतीत होता है।)
5. सर्वे बालकाः बालिकाः च नूतनानि वस्त्राणि धारयन्ति। (सभी बालक और बालिकाएँ नये वस्त्र धारण करते हैं।)
6. ते मिष्ठान्नानि खादन्ति प्रसन्नाः च भवन्ति। (वे मिठाइयाँ खाते हैं और प्रसन्न होते हैं।)

Deepavali In Sanskrit MP Board योग्यताविस्तारः

1. दीपावलितः आरभ्य निम्नलिखितानाम् उत्सवानां कालक्रमं स्थापयत (दीपावली से लेकर निम्नलिखित उत्सवों का कालक्रम स्थापित करो)
गणेशोत्सवः, होलिकोत्सवः, रक्षाबन्धनम्, नवरात्रम्।
उत्तर:

• गणेशोत्सव: :
  गणेशोत्सवः भाद्रपदमासे शुक्लपक्षे चतुर्थी तिथौ आयोजितः भवति। (गणेशोत्सव भादों महीने की शुक्लपक्ष की चतुर्थी तिथि को आयोजित होता है।)
• होलिकोत्सवः :
  होलिकोत्सव: फाल्गुनमासस्य पूर्णिमायाम् तिथौ सम्पाद्यते। (होलिकोत्सव फाल्गुन महीने की पूर्णिमा तिथि को मनाया जाता है।)
• रक्षाबन्धनम् :
  रक्षाबन्धनम् श्रावणमासे पूर्णिमायाम् तिथौ भवति। (रक्षाबन्धन श्रावण महीने की पूर्णिमा की तिथि को मनाया जाता है।)
• नवरात्रम् :
  नवरात्रम् उत्सवः आश्विन मासस्य शुक्लपक्षस्य प्रतिपदायाः आरभ्यः नवम्यां तिथि पर्यन्तौ सम्पाद्यते। (नवरात्रि का उत्सव आश्विन महीने की शुक्लपक्ष की प्रतिपदा से आरम्भ होकर नवमी तिथि तक मनाया जाता है।)

2. निम्नलिखितान् शब्दान् उचितरिक्तस्थानेषु योजयित्वा होलिकोत्सववर्णनं लिखत (निम्नलिखित शब्दों का उचित रिक्त स्थानों पर जोड़कर होलिकोत्सव का वर्णन लिखो)

षड्दिवसीयः षष्ठदिवसे होलिकादहनं
होलिकादहनात् धूलिवन्दनं रङ्गपञ्चमी।

होलिकोत्सवः……… उत्सवः। सः ……… आरभ्य ………. पर्यन्तं भवति। प्रथमदिवसे ……….. भवति। द्वितीयदिने ………… क्रियते। ……….. रङ्गपञ्चमीपर्व भवति।
उत्तर:
होलिकोत्सवः, षड् दिवसीयः उत्सवः। सः हो. लिकादहनात् आरभ्य धूलिवन्दनं पर्यन्तं भवति। प्रथमे दिवसे होलिकादहनं भवति। द्वितीयदिने धूलिवन्दनं क्रियते। षष्ठदिवसे रङ्गपञ्चमी पर्व भवति।

दीपावलिः हिन्दी अनुवाद

भारतवर्षे बहवः उत्सवाः भवन्ति। यथा-नवरात्रं, होलिका, रक्षाबन्धनं च। एतेषु दीपावलिः इति प्रधानः उत्सवः कार्तिकामासे कृष्णपक्षे अमावस्यायां तिथौ भवति। भगवतः रामस्य अयोध्यागमने अयोध्यायां प्रथमं दीपावलिः आयोजिता इति जनश्रतिः। एष दीपोत्सवः प्रकाशोत्सवः च। एषः पञ्चदिवसीयः उत्सवः। अस्य पञ्चसु अपि दिवसेषु सर्वत्र दीपानाम् आवलिः दृश्यते।

अनुवाद :
भारतवर्ष में बहुत से उत्सव (त्यौहार) होते हैं। जैसे- नवरातें, होली और रक्षाबन्धन। इनमें ‘दीपावली’ प्रधान उत्सव कार्तिक महीने में कृष्ण पक्ष में अमावस्या की तिथि को होता है। भगवान राम के अयोध्या आने पर अयोध्या में सबसे पहली दीपावली आयोजित की गई-ऐसी जनश्रुति है। यह दीपकोत्सव और प्रकाशोत्सव है। यह पाँच दिवसीय उत्सव है। इसके पाँच दिनों पर ही सर्वत्र दीपकों की पंक्तियाँ दिखाई पड़ती हैं।

प्रथमदिवसे त्रयोदश्यां जनाः आभूषणानि गृहपात्राणि स्वर्ण रजतं वा क्रीणन्ति। धन्वन्तरीति वैद्यराजः अद्य एव पूज्यते। द्वितीयदिवसस्य चतुर्दश्याः विशेषता अस्ति सूर्योदयात् प्राक् अभ्यङ्गस्नानम्। तृतीयदिवसे अमावास्यायां जनाः धनदेवी लक्ष्मी पूजयन्ति। व्यापारिण: व्यापारपुस्तकानामपि पूजनं कुर्वन्ति।

Diwali In Sanskrit MP Board अनुवाद :
पहले दिन त्रयोदशी को लोग आभूषण, घर के बर्तन, स्वर्ण अथवा चाँदी खरीदते हैं। ‘धन्वन्तरि’ नामक वैद्यराज आज भी पूजे जाते हैं। दूसरे दिन चतुर्दशी की विशेषता है सूर्य उदय होने से पहले पूरे शरीर से मंगल स्नान करने की। तीसरे दिन अमावस्या को लोग धन देवी लक्ष्मी की पूजा करते हैं। व्यापारी लोग व्यापार पुस्तकों का भी पूजन करते हैं।

चतुर्थे दिवसे कार्तिकप्रतिपदि शुक्लपक्षे व्यापारिणां नूतनः संवत्सरः प्रारभते। कृषकाः पशुपालकाः च गोवर्धनं पूजयन्ति गोधनं च अलङ्कर्वन्ति। अन्तिमदिवसे द्वितीयायां भ्रातृभगिन्यौ मिलतः, परस्परं सत्कारयतः दीर्घजीवनं सुखसमृद्धिं च कामयतः।

Sanskrit Piyusham Class 6 MP Board अनुवाद :
चौथे दिन कार्तिक महीने की शक्लपक्ष की प्रतिपदा को व्यापारियों का नया संवत्सर प्रारम्भ होता है। किसान और पशुपालक (ग्वाले) गोवर्धन की पूजा करते हैं और गोधन को सजाते हैं। अन्तिम दिन पर द्वितीया को (दौज पर) भाई और बहन मिलते हैं, परस्पर (एक-दूसरे का) सत्कार करते हैं, दीर्घ जीवन (लम्बी उम्र) तथा सुख-समृद्धि की कामना करते हैं।

अस्मिन् समये सर्वत्र आनन्दः प्रवर्तते। कृषकाणां गृहेषु नूतनान्नं नवधान्यम् समागच्छति। नदीजलं स्वच्छम् आकाश: निरभ्रः दृश्यते। आपणा: द्रव्यैः ग्राहकैः च परिपूर्णाः भवन्ति। बालकाः अग्निक्रीड्नकानि ज्वालयन्ति। गृहेषु मिष्ठान्नस्य सेवनं भवति। लाजाः देवेभ्यः अतिथिभ्यः च समर्पिता: भव, न्ति। गृहाणां पुरतः अल्पनारेखनं दृश्यते।

तमसो मा ज्योतिर्गमय” इति दीपावलिसन्देशः। सर्वे जनाः परस्परं मिलन्ति अभिनन्दन्ति च। अभिनन्दनपत्राणि प्रेषयन्ति ते प्रार्थयन्ति च।।

“शुभं करोतु कल्याणं, आरोग्यं सुखसम्पदम्।
शत्रुबुद्धिविनाशाय दीपज्योतिर्नमोऽस्तुते॥”

अनुवाद :
इस अवसर पर सब जगह आनन्द ही आनन्द होता है। किसानों के घरों में नया अन्न तथा नया धान्य आ जाता है। नदी जल स्वच्छ और आकाश बादलों से रहित दिखाई पड़ता है। दुकानें द्रव्य और ग्राहकों से परिपूर्ण होती हैं। बालक आतिशबाजी जलाते हैं। घरों में मिठाई का सेवन होता है। खीलें देवताओं और अतिथियों को समर्पित की जाती हैं। घरों के सामने अल्पना बनायी हुई दिखाई देती हैं।

‘अन्धकार से ज्योति (उजाले) की ओर मुझे ले चलो’, यह ही दीपावली का सन्देश है। सभी लोग आपस में मिलते हैं और (एक-दूसरे का) अभिनन्दन करते हैं। वे अभिनन्दनपत्र भेजते हैं और प्रार्थना करते हैं- “हे दीपक की ज्योति तुम्हें नमस्कार है, तुम शुभ और कल्याण करो, आरोग्य और सम्पदा (देती हो) तथा दुष्ट (शत्रु) बुद्धि का विनाश करती हो।”

दीपावलिः शब्दार्थाः

जनश्रुतिः = लोगों की मान्यता। आवलिः = कतार, पंक्ति।। स्वर्णं = सुवर्ण को। रजतं = चाँदी को। क्रीणन्ति = खरीदते हैं। धन्वन्तरिः = यह भारतीय परम्परा में प्रथम वैद्य हैं। प्राक् = पूर्व। अभ्यङ्गस्नानम् = मङ्गलस्नान। (यह शरीर पर तेल लगाकर गर्म जल से किया जाता है।) संवत्सरः = वर्ष कामयतः = कामना करते हैं। अग्निक्रीडनकम् = आतिशबाजी। लाज़ाः = धान की लाई। अल्पना = रंगोली। तमसः = अन्धेरे से। ज्योतिर्गमय = उजाले की ओर ले चलो। आलङ्कर्वन्ति = सजाते हैं। निरभ्रः = बादल रहित।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 6th Sanskrit परिशिष्टम्

१. मम माता देवता
(मेरी माता देवता है)

मम माता देवता।
मम माता देवता॥
अति सरला, अति मृदुला,
गृहकुशला, सा अतुला॥
मम माता॥

पाययति दुग्धं, भोजयति भक्तं
लालयति नित्यं, तोषयति चित्तम्॥
मम माता॥

अनुवाद :
मेरी माँ देवी है। वह अत्यन्त सरल, अत्यन्त कोमल, गृहकार्यों में अति कुशल है अत: वह मेरी माँ अतुलनीय है। वह दूध पिलाती है, माँ के प्रति भक्त बने हुए मुझको भोजन कराती है। प्रतिदिन लालन करती है तथा मेरे मन को प्रसन्न बनाती है। मेरी माँ ऐसी ही है।

सायङ्काले नीराजयति
पाठयति च मां शुभकरोति
शुभं करोतु कल्याणम्

आरोग्यं धनसम्पदम्।
शत्रुबुद्धिविनाशाय
दीपज्योतिर्नमोऽस्तुयते॥

पाठयति च मां शुभङ्करोति॥
मम माता॥

रात्रौ अङ्के मां स्वापयति
मधु मधु मधुरं गीतं गायति
आ आ आ आ आऽऽ
मम माता॥

अनुवाद :
सायंकाल के समय थकान से रहित करके प्रसन्न बनाती है। पढ़ाती है और मेरा कल्याण करती है। हे माँ, तुम मेरा कल्याण करो, मुझे स्वस्थ बनाओ तथा धन सम्पत्ति से युक्त करो। मेरी दुष्ट बुद्धि का विनाश करने के लिए तुम दीप की ज्योति के समान हो। (अतः) मैं तुम्हें नमस्कार करता, हूँ। हे माँ, तुम मुझे पढ़ाती हो, और मेरा शुभ (कल्याण) करती हो।
रात्रि को मुझे अपनी गोद में सुलाती हो। मीठे-मीठे मधुर गीत गाती हो, हे मेरी माँ।

२. नैव क्लिष्टा न च कठिना
(न तो क्लिष्ट है और न कठिन)

सुरससुबोधा विश्वमनोज्ञा
ललिता हृद्या रमणीया।
अमृतवाणी संस्कृतभाषा
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ नैव क्लिष्टा॥

अनुवाद :
यह संस्कृत भाषा देवताओं की वाणी (अमृत वाणी) है। सुरस है, सुबोध है। विश्व के लोगों के मन को जानने वाली है। ललित है। हृदय को अपने आप में रमाने वाली यह संस्कृत भाषा न तो क्लिष्ट है और न कठिन।

कविकोकिल-वाल्मीकि-विरचिता
रामायणरमणीयकथा।
अतीव-सरला मधुरमञ्जला
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ सुरस…….॥

अनुवाद :
कवियों में कोयल के समान वाल्मीकि द्वारा रचित रामायण की कथा अति रमणीय है। वह अत्यन्त सरल, मधुर और मञ्जुल (कोमल) संस्कृत भाषा में रचित है। वह कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कठिन है। (वह संस्कृत भाषा) सुरस, सुबोध और विश्व मनोज्ञा है।

व्यासविरचिता गणेशलिखिता
महाभारते पुण्यकथा।
कौरव-पाण्डव-सङ्गरमथिता
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥सुरस……..॥

अनुवाद :
व्यास द्वारा विरचित और गणेश जी द्वारा लिखी गई महाभारत की कथा अत्यन्त पुण्यशाली है। इसमें कौरव और पाण्डवों के युद्ध का वर्णन किया गया है। उसकी संस्कृत कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कभी भी कठिन है। वह तो सुरस, सुबोध और विश्व मन को मोहित करने वाली है।

कुरुक्षेत्र-समराङ्गण-गीता
विश्ववन्दिता भगवद्गीता।
अमृतमधुरा कर्मदीपिका
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥सुरस…….॥

अनुवाद :
कुरुक्षेत्र के युद्ध में (भगवान श्री कृष्ण ने) विश्व बन्दनीया भगवद्गीता का गायन किया था। वह गीता मधुर अमृत है तथा कर्म की दीपिका है (कर्म को निर्दिष्ट करने वाली है) जिसकी रचना संस्कृत भाषा में हुई है। जो कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कभी कठिन ही है। वह भाषा तो सुरस, सुबोध तथा विश्वमन को मुग्ध करने वाली है।

कविकुलगुरु-नव-रसोन्मेषजा
ऋतु-रघु-कुमार-कविता
विक्रम-शाकुन्तल-मालविका
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ सुरस ……..॥

अनुवाद :
कविकुल गुरु कालिदास ने नव-रसों के उन्मेष से संयुक्त संस्कृत भाषा में ऋतुसंहार, रघुवंशम्, कुमारसम्भवम् काव्य की तथा अभिज्ञानशाकुन्तलम् तथा मालविकाग्निमित्रम् नाटकों की रचना की है जो कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कठिन है। वह भाषा तो सुरस, सुबोध तथा विश्वमन को मुग्ध करने वाली है।

३. सुन्दरसुरभाषा
(सुन्दर देव-भाषा)

मुनिवरविकसित-कविवरविलसित
मञ्जलमञ्जूषा, सुन्दरसुरभाषा।
अयि मातस्तव पोषणक्षमता
मम वचनातीता, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर……॥

अनुवाद :
श्रेष्ठ मुनियों द्वारा विकसित तथा श्रेष्ठ कवियों द्वारा विलसित अत्यन्त मञ्जुल पिटारी सदृश सुन्दर देववाणी-हे माता संस्कृत-तुम्हारी पोषण क्षमता (अन्य भाषाओं को पुष्ट करने की क्षमता) मेरे वचने से अतीत है (परे है)। तुम सुन्दर देव भाषा (वाणी) हो जिसे श्रेष्ठ मुनियों ने विकसित किया है।

वेदव्यास-वाल्मीकि-मुनीनाम्
कालिदास-बाणादिकवीनाम्।
पौराणिक-सामान्य-जनानाम्
जीवनस्य आशा, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर….॥

अनुवाद :
हे सुन्दर सुरवाणी (संस्कृत)। वेदव्यास, वाल्मीकि, मुनियों, कालिदास, बाण आदि कवियों तथा पौराणि क और सामान्य लोगों के जीवन की तुम आशा हो। तुम्हें श्रेष्ठ मुनियों ने विकसित किया है।

श्रुतिसुखननदे सकलप्रमोदे
स्मृतिहितवरदे सरसविनोदे।
गति-मति-प्रेरक-काव्यविशारदे
तव संस्कृततिरेषा, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर”॥

अनुवाद :
हे सुन्दर देववाणी। वेद में आनन्द पूर्वक ध्वनित होती हो, सम्पूर्ण प्रसन्नताओं को देने वाली हो। स्मृतियों में कल्याण का वरदान देती हो। सरस हो एवं विनोद से परिपूर्ण हो। हे संस्कृत भाषा-तुम गति और मति की प्रेरक हो, काव्य रचना में कौशल प्रदान करती हो क्योंकि तुम्हारी यहीं संस्कृति है। हे संस्कृत भाषातुम्हें श्रेष्ठ मुनियों द्वारा विकसित किया गया है।

नवरस-रुचिरालङ्कृति धारा
वेदविषय-वेदान्त-विचारा।
वैद्य-व्योम-शास्त्रादि-विहारा
विजयते धरायां, सुन्दरसुरभाषा॥
॥मुनिवर…..॥

अनुवाद :
हे सुन्दर सुरभाषा संस्कृत ! तुम नवरसों से अत्यन्त सुन्दर सुसज्जित अलंकृत धारा के समान हो, जिसका विषय वेद और वेदान्त के विचार हैं। संस्कृत भाषा में वैद्यक, व्योम और शास्त्रीय ज्ञान संकलित है। ऐसी यह सुन्दर सुरभाषा इस पृथ्वी पर विजय प्राप्त कर रही है।

४. दिव्यामेनां दैवीवाणीम्
(दिव्य देववाणी)

दिव्यामेनां दैवीवाणी, वयं वदामः। क्षणे-क्षणे।
भाषाजननी जनकल्याणी, वयं वदामः। क्षणे-क्षणे।
एकीभूयाऽखिले समाजे, बन्धुत्वं रचयामः,
भेदं-द्वन्द्वं तथा विहाय, आनन्दं जनयामः,
आदि-हर्षे, चाभ्युत्कर्षे, वयं हसामः।क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
प्रत्येक क्षण हम इस दिव्य देववाणी में ही बोलते हैं। यह संस्कृत अन्य भाषाओं की जननी है, मनुष्यों का कल्याण करने वाली है। हम इसे प्रत्येक क्षण बोलते हैं।

सभी समाज में एकत्व स्थापित हो जाय और बन्धुत्व की हम रचना करें तथा भेदभाव के झगड़ों को दूर करके आनन्द की उत्पत्ति करें। विपत्ति में, हर्ष में तथा उत्कर्ष में हम सदा ही हँसते रहें-प्रत्येक क्षण प्रसन्न बने रहें।

वीराधीराः स्वयंसैनिकाः, संस्कृति-सेवालग्नाः,
निजसौख्ये नहि राष्ट्रसेवने, सिद्धाः सदानिमग्नाः,
हानि, लाभ, जयाजयं वा! अभिनन्दामः क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
हे माता संस्कृत भाषा! हम तुम्हारा प्रतिक्षण अभिनन्दन करते हैं। हम वीर और धीर हैं, हम सभी स्वयं सैनिक हैं जो संस्कृति की सेवा में लगे हुए हैं। अपने सुख के लिए नहीं, वरन् राष्ट्र की सेवा करने में सफल हैं तथा सदा ही सेवा में संलग्न हैं। हम सबको हानि, लाभ तथा जय पराजय समान प्रतीत होती है।

गता तमिस्त्रा गतं दुर्दिनमुत्तिष्ठत जाग्रतरे,
पाषाणेऽपि नवमितिहास, निश्चयेन लिखतरे,
जने-जनेऽपि मैत्री भावं, तत्पश्यामः क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
अज्ञान के अन्धकार की रात्रि समाप्त हो गयी है। दुर्दिन बीत गया है। इसलिए हे भारतीय जन! उठो और जागो। पत्थरों पर भी निश्चय के साथ नया इतिहास लिखो। हम सभी प्रत्येक क्षण मनुष्य में मैत्रीभाव को देखें।

नजातिनकुलं नो वर्णः, नचगोत्रं नच गौरः कृष्णः,
नधनिकश्चाथवानिर्धनो,नवासुखी नासक्त विवर्णः,
केवलमेकं मानवधर्म, चानुभवामः, क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
जाति, कुल, वर्ण, गोत्र, काले और गोरे, धनवान और निर्धन, सुखी-दुखी, असक्त, विवर्ण के आधार पर कोई भेद न करें। हमारा केवल एक ही मानव धर्म का प्रत्येक क्षण अनुभव करते रहें।

५. मृदापि चन्दनम्
(मिट्टी भी चन्दन)

मृदापि च चन्दनमस्मिन् देशे ग्रामो ग्रामः सिद्धवनम्।
यत्र च बाला देवीस्वरूपा बालां सर्वे श्रीरामाः॥
हरिमन्दिरमिदमखिलशरीरम्
धनशक्ती जनसेवायै
यत्र च क्रीडायै वनराजः
धेनुर्माता परमशिवा॥
नित्यं प्रात: शिवगुणमानं
दीपनुतिः खलु शत्रुपरा॥           ॥ मृदपि ॥

अनुवाद :
इस देश में मिट्टी भी चन्दन है तथा प्रत्येक गाँव सिद्धवन है और जहाँ की बालाएँ देवी के समान हैं तथा सभी बालक श्रीराम जैसे हैं। यह सारा शरीर हरि मन्दिर है। यहाँ का धन और शक्ति जन सेवा के लिए है तथा यहाँ सिंह खेलने के लिए खिलौने हैं। परम कल्याणी गौ माता सदृश है। नित्य प्रति प्रात:काल में शिव का गुणगान होता है तथा शत्रुओं को भगाने के लिए ज्ञान रूपी दीपक की ज्योति विद्यमान है।

भाग्यविधायि निजार्जितकर्म
यत्र श्रमः श्रियमर्जयति।
त्यागधनानां तपोनिधीनां
गाथां गायति कविवाणी
गङ्गाजलमिव नित्यनिर्मलं
ज्ञानं शंसति यतिवाणी॥             ॥ मृदपि ॥

अनुवाद :
भाग्य का विधान करने वाले अपने कर्म से तथा अपने परिश्रम से जहाँ लक्ष्मी को प्राप्त करते हैं, ऐसे यहाँ के लोग धन का त्याग करने वाले और तपोनिधि हैं जिनके (यश की) गाथा को कवियों की वाणी गाती रहती है। गंगा के जल के समान नित्य निर्मल यतियों की वाणी यहाँ के ज्ञान की प्रशंसा करती रहती है। यहाँ की (भारतवर्ष की) मिट्टी भी चन्दन है।

यत्र हि नैव स्वदेहविमोहः
युद्धरतानां वीराणाम्।
यत्र हि कृषकः कार्यरतः सन्
पश्यति जीवनसाफल्यम्
जीवनलक्ष्यं न हि धनपदवी
यत्र च परशिवपदसेवा॥           ॥मृदपि ॥

अनुवाद :
युद्ध में संलग्न वीरों को यहाँ अपने शरीर के प्रति कभी भी विद्रोह नहीं रहा है। यहाँ का किसान अपने कार्य में संलग्न होकर ही अपने जीवन की सफलता का दर्शन करता है। धन और पद की प्राप्ति उसके जीवन का लक्ष्य नहीं है। यहाँ तो दूसरों के कल्याण के लिए पद प्राप्त कर सेवा ही लक्ष्य है। यहाँ की मिट्टी भी चन्दन है।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रायिकता Important Questions

प्रायिकता वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक थैले में 5 भूरे तथा 4 सफेद मोजे रखे हैं। एक पुरुष थैले में से दो मोजे निकालता है। दोनों का एक ही रंग होने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{108}\)
(b) \(\frac{18}{108}\)
(c) \(\frac{30}{108}\)
(d) \(\frac{48}{108}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को तीन बार फेंका गया। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{72}\)
(b) \(\frac{5}{34}\)
(c) \(\frac{13}{216}\)
(d) \(\frac{1}{18}\)

प्रश्न 3.
यह दिया है कि घटनाएँ A तथा B ऐसी हैं कि P(A) = \(\frac{1}{4}\), P( \(\frac{A}{B}\) )  \(\frac{1}{2}\) तथा P( \(\frac{B}{A}\) ) =
\(\frac{2}{3}\) तो P(B) का मान है –
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 4.
एक सिक्का 4 बार उछाला गया है। कम से कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{1}{16}\)
(b) \(\frac{2}{16}\)
(c) \(\frac{14}{16}\)
(d) \(\frac{15}{16}\)

प्रश्न 5.
A के सत्य बोलने की प्रायिकता है \(\frac{4}{5}\) तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है। एक ही तथ्य के पूछने पर उनके एक-दूसरे के विरोधी उत्तर देने की प्रायिकता है –
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{7}{20}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{C}\right)\)  + ………………………
2. P(A∩B) = …………….. था ………………………..
3. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P(A∩B) = ……………………..
4. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P\(\left(\frac{A}{C}\right)\) = …………………………….
5. यदि यादृच्छिक चर x के संगत प्रायिकता P(X) हो, तो घटना E का X का माध्य E(X) = ……………………….. होगा।
6. यदि यादृच्छिक चर X के संगत P(X) हो, तो X का प्रसरण Var (X) = ……………………….. होगा।

उत्तर:

1. P \(\left(\frac{B}{C}\right)\) – P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)
2. P(B).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  या P(A).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\) = या P(A).P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)
3. P(A).P(B)
4. P(A), P(B) ≠ 0
5. ΣX.P(X)
6. ΣX².P(X)- [ΣX.P(X)]².

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A – B) = P(A) – P (A∩B)
2. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A∪B) – P(A∩B) = P(A) + P(B).
3. P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  =  \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
4. यदि A और B प्रतिदर्श समष्टि S की कोई दो घटनाएँ हैं और F एक अन्य घटना इस प्रकार है कि P(F) ≠ 0, तब P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{F}\right)\)  + P \(\left(\frac{B}{F}\right)\)  – P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)
5. किन्ही दो घटनाओं A और B के लिए P(A∪B) = P(A∩B) + P( \(\bar { A } \)∩B) + P(A∩\(\bar { B } \))

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2. एक सिक्का 4 बार उछाला गया है कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3. A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ, P(A) = \(\frac{1}{4}\), P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  = \(\frac{1}{2}\) तथा P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)  = \(\frac{2}{3}\), तो P(B) का मान ज्ञात कीजिए।
4. 5 पत्र तथा 5 पते लिखे लिफाफे हैं। यदि यादृच्छया पत्रों को लिफाफे में रखा जाए, तो 3 पत्रों को सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
5. गणित की एक समस्या को तीन विद्यार्थियों द्वारा हल करने की संभावनाएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) हैं। समस्या हल हो जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर:

1. \(\frac{2}{7}\)
2. \(\frac{15}{16}\)
3. \(\frac{1}{3}\)
4. \(\frac{1}{12}\)
5. \(\frac{3}{4}\)

प्रायिकता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(A) दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं। योगफल 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं
∴ n(S) = 6² = 36
योगफल 8 आने की घटना
A = {(2,6); (6,2); (5,3); (3,5); (4,4)}
∴ n(A) = 5
∴ योगफल 8 आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{5}{36}\)

(B) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

(C) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 2.
एक घटना का प्रतिकूल संयोगानुपात 3 : 4 है, तो उसके न घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात = 3 : 4
∵ घटना के न घटने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{b}{a+b}\)
⇒ P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\)

प्रश्न 3.
52 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है, तो उसके चेहरे वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 52
∵ चेहरे वाले पत्ते = 4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह
∴ n(A) = 4 + 4 + 4 = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

प्रश्न 4.
यदि किसी लीप वर्ष को यदृच्छया चुन लिया जाये तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन। अब शेष दो दिन बचे जिनकी सम्भावना इस प्रकार है:
(रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार); (बुधवार, गुरुवार), (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार)
प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 7
यदि रविवार की घटना E है, तो n(E) = 2
अतः 53 रविवार होने की प्रायिकता = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{2}{7}\).

प्रश्न 5.
घोड़े A के किसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) तथा घोड़े B के उसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{8}\) है, तो इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता क्या है?
हल:
घोड़े A के जीतने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{4}\)
घोड़े B के जीतने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{8}\)
∵ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, अत: P(A∩B) = 0
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{2+1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 6.
(A) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से यदृच्छया एक पत्ता खींचने पर उसके बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बादशाह खींचने की घटना A तथा हुकुम का पत्ता खींचने की घटना B है, तो
n(S) = 52, n(A)= 4, n(B) = 13, n(A∩B) =1
[क्योंकि ताश की गड्डी में चार बादशाह होते हैं; 13 हुकुम के पत्ते होते हैं तथा एक हुकुम का बादशाह होता है।]
∴P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{52}\), P(B) = \(\frac { n(B) }{ n(S) } \) = \(\frac{13}{52}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\) = \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\).

(B) ताश की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि यह न तो इक्की है न ही बादशाह।
हल:
कुल बादशाह = 4, कुल इक्का = 4
8 पत्तों में से कोई एक पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁸C₁
52 पत्तों में से कोई एक पत्ता खींचने की प्रायिकता = ⁵²C₁
∴ P(A) = \(\frac { ^{ 8 }C_{ 1 } }{ ^{ 52 }C_{ 1 } } \) = \(\frac{8}{52}\) = \(\frac{2}{13}\)
इनमें से कोई पत्ता न होने की प्रायिकता = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{2}{13}\) = \(\frac{11}{13}\).

प्रश्न 7.
(A) एक पासे को एक बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम अंक या 5 से कम अंक प्राप्त हो।
हल:
एक पासे को एक बार उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E₁ = {2, 4, 6} ∴ n(E₁) = 3
E₂ = {1, 2, 3, 4} ∴ n(E₂) = 4
E₁∩E₂ = {2, 4} ∴ n(E₁∩E₂) = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता
P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) – \(\frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } \)
= \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{4}{6}\) – \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{7-2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

(B) पासे के एक युग्म को फेंकने पर योग 9 या 11 न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
एक पासे के युग्म को एक साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
अतः n(S) = 36
माना कि E योग 9 या 11 न आने की घटना है।
∴ E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (5,1), (5, 2), (5,3), (5,5), (6,1), (6,2), (6,4), (6,6)}
∴ n(E) = 30
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{30}{36}\) = \(\frac{5}{6}\)

प्रश्न 8.
यदि तीन सिक्के एक साथ उछाले जायें, तो घटना में कम-से-कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाने पर प्रतिदर्श समष्टि की संख्या n(S) = 2³ = 8
माना एक की शीर्ष न होने की घटना \(\bar { A } \) हो, तो
\(\bar { A } \) = {(T, T, T)}
∴ n( \(\bar { A } \) ) = 1
अतः एक की शीर्ष न होने की प्रायिकता
P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) = \(\frac{1}{8}\)
∴ कम – से – कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता P(A) = 1 – P( \(\bar { A } \) )
= 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 9.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E₁ तथा दूसरी बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E₂ है।
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
ये दोनों घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
∴ P(E₁∩E₂) = P(E₁) × P(E₂)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\).

प्रश्न 10.
किसी दौड़ में A, B तथा C घोड़े के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमश: 1 : 2, 1 : 3 तथा 1 : 4 हैं, तो किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
P (E₁) = प्रथम घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+2}\) = \(\frac{1}{3}\)
P (E₂) = द्वितीय घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+3}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(E₃) = \(\frac{1}{1+4}\) = \(\frac{1}{5}\)
अतः किसी एक घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{20+15+12}{60}\) = \(\frac{47}{60}\).

प्रश्न 11.
गणित का एक प्रश्न तीन छात्रों A, B और C को हल करने के लिए दिया जाता है, जिसके हल करने की प्रायिकताएँ क्रमश: 1/2, 1/3 और 1/4 हैं। प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि तीन छात्रों A, B और C द्वारा प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्रमश: P(A), P(B) व P(C) हो, तो
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
और P( \(\bar { C } \) ) = 1 – P(C) = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता = P( \(\bar { A } \) ) P( \(\bar { B } \) ) P( \(\bar { C } \) )
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

प्रायिकता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
रायपुर में 20% व्यक्ति अंग्रेजी का अखबार पढ़ते हैं, 40% व्यक्ति हिन्दी तथा 5% व्यक्ति दोनों प्रकार के अखबार पढ़ते हैं। कितने प्रतिशत व्यक्ति कोई भी अखबार नहीं पढ़ते हैं?
हल:
P(A) = अंग्रेजी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(B) = हिन्दी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A∩B) = दोनों भाषाओं के अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
दोनों भाषाओं के अखबार नहीं पढ़ने वाले व्यक्ति = P( \(\bar { A } \)∩\(\bar { B } \) )
= 1 – P(A∪B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [ \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{2}{5}\) – \(\frac{1}{20}\) ] = 1 – \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{1}{20}\)
= \(\frac{20-12+1}{20}\) = \(\frac{9}{20}\).

प्रश्न 2.
A, प्रकरणों में 75% सत्य बोलता है और B, 80% सत्य बोलता है। यदि दोनों में एक ही प्रकरण पर विरोधाभास हो, तो इसका क्या प्रतिशत होगा? अथवा मोहन 75% प्रकरणों में तथा सोहन 80% प्रकरणों में सच बोलता है। इस घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिये जबकि मोहन सच तथा सोहन झूठ बोलता है।
हल:
A के सत्य बोलने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
B के सत्य बोलने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
A के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
B के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(A और B में विरोधाभास है) = P (A सत्य बोलता है और B असत्य बोलता है) या P(A असत्य बोलता है और B सत्य बोलता है)
= P(A)P( \(\bar { B } \) ) + P( \(\bar { A } \) )P(B)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{7}{20}\)
अतः विरोधाभास का प्रतिशत = \(\frac{7}{20}\) × 100 = 35%

प्रश्न 3.
सिद्ध क्रीजिए कि
P(A) + P(not A) = I.
हल:
माना प्रतिदर्श समुच्चय S है तथा घटना A, S का उपसमुच्चय है। तब,
S के सापेक्ष (A’) = A का पूरक
= not A
स्पष्ट है कि A और A’ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि
A∩A’ = ϕ
समुच्चय सिद्धान्त से किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिये,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
अब B के स्थान पर A’ लिखने पर,
n(A∪A’) = n(A) + n(A’) – n(A∩A’)
⇒ n(S) = n(A) + n(A’) – n(ϕ),
∴ n(S) = n(A) + n(A’) – 0
∴ 1 = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(\bar { A’ } ) }{ n(S) } \)
था 1 = P(A) + P(A’)
अतः P(A) + P(not A) = 1. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए –
हल:
दिया है:
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\)

प्रश्न 5.
10 बच्चों के एक समूह में जिसमें 6 लड़के और 4 लड़कियाँ हैं, 3 बच्चे यदृच्छया चुने जाते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो।
(ii) कम – से – कम 1 लड़की रखता हो।
हल: 10 बच्चों में से 3 बच्चे चुनने के तरीके ¹⁰C₃ = \(\frac { 10! }{ 7!3! } \) = \(\frac{10×9×8×7!}{7!×3×2}\) = 120
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो –
6 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके ⁶C₃ = 20
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{20}{120}\) = \(\frac{1}{6}\)
(ii) कम – से – कम एक लड़की रखता हो –
2 लड़का + 1 लड़की चुनने के तरीके = ⁶C₂, × ⁴C₁ = 15 × 4 = 60
1 लड़का + 2 लड़की चुनने के तरीके = ⁶C₁ × ⁴C₂
= 6 × 6 = 36
3 लड़की चुनने के तरीके = ⁴C₃ = 4
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{60+36+4}{120}\) = \(\frac{100}{120}\) = \(\frac{5}{6}\).

प्रश्न 6.
ताश की गड्डी फेंटते समय एक-एक करके 4 ताश गिर पड़ते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक ताश पान का, दूसरा ईंट का, तीसरा हुकुम का तथा चौथा चिड़ी का होगा।
हल:
ताश के कुल पत्तों की संख्या = 52
पहला पत्ता 52 प्रकार से गिर सकता है।
पहले पत्ते के पान का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 51
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के ईंट का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{51}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 50
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के हुकुम का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴प्रायिकता = \(\frac{13}{50}\)
शेष पत्ते = 50 – 1 = 49
इनमें से एक पत्ता 49 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के चिड़ी का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{49}\)
अतः मिश्र प्रायिकता के सिद्धान्त से अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{13}{51}\) × \(\frac{13}{50}\) × \(\frac{13}{49}\).

प्रश्न 7.
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों को हल करने के लिए दिया गया। उसके हल करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{4}\) हैं। यदि वे सभी हल करने का प्रयत्न करें तो किसी एक के प्रश्न हल किये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
गणित का प्रश्न तीन विद्यार्थियों द्वारा हल किये जाने की प्रायिकता माना क्रमशः P₁, P₂, और P₃, हैं।
अतः P₁ = \(\frac{1}{2}\), P₂ = \(\frac{1}{3}\), P₃ = \(\frac{1}{4}\)
प्रश्न को उन तीनों के द्वारा हल न किये जाने की प्रायिकता क्रमशः
q₁ = 1 – P₁ = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
q₂ = 1 – P₂ = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
q₃ = 1 – P₃ = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः तीनों के द्वारा साथ-साथ प्रश्न हल न किये जाने की प्रायिकता = q₁ .q₂.q₃
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
अतः प्रश्न के हल किये जाने की प्रायिकता = कम-से-कम एक विद्यार्थी के प्रश्न को हल कर सकने की
प्रायिकता = 1 – q₁.q₂.q₃ = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

प्रश्न 8.
एक थैले में 6 काली गेंदें, 5 सफेद गेंदें और 2 नीली गेंदें हैं। उनमें से दो गेंदें यदृच्छया बाहर निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों गेंदें सफेद हों।
हल:
दिया है:
काली गेंद = 6, सफेद गेंद = 5, नीली गेंद = 2
∴ कुल गेंद = (6 + 5 + 2) = 13
अतः n(S) = ¹³C₂
माना सफेद गेंद निकलने की घटना A है, तब
n(A) = ⁵C₂
∴ सूत्र, P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac { ^{ 5 }C_{ 2 } }{ ^{ 13 }C_{ 2 } } \)
P(A) = \(\frac { 5!/3!.2! }{ 13!/11!.2! } \) = \(\frac { \frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } }{ \frac { 13\times 12 }{ 2\times 1 } } \) = \(\frac { 5\times 4 }{ 13\times 12 } \) = \(\frac{5}{39}\).

प्रश्न 9.
एक थैले में 6 लाल, 4 सफेद और 5 नीली गेंदें हैं। यदि थैले में से एक-एक करके गेंद निकाली जाये तथा उन्हें वापस न रखा जाये तो पहले के लाल, दूसरे के सफेद और तीसरे के नीले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
एक थैले में 6 लाल (R), 4 सफेद (W) और 5 नीली (B) गेंदें हैं।
इस प्रकार कुल गेंदों की संख्या = 6 + 4 + 5 = 15
∴ पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{6}{15}\)
अब थैले में कुल 15 – 1 = 14 गेंदें हैं
∴ दूसरे गेंद के सफेद होने की प्रायिकता P(W) = 4.
इसके बाद थैले में कुल 14 – 1 = 13 गेंदें हैं।
∴ तीसरे गेंद के नीली होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{5}{13}\)
अत: अभीष्ट (मिश्र) प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\) × \(\frac{4}{14}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{2}{5}\) × \(\frac{2}{7}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{4×1}{91}\) = \(\frac{4}{91}\).

प्रश्न 10.
दो घनाकार पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर सम संख्या अथवा दोनों का योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो घनाकार पासों को साथ-साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
∴ n(S) = 36
मानलो E₁ = पहले पासे पर सम संख्या आने की घटना
तथा E₂ = योग 9 प्राप्त करने की घटना
∴ E₁ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}
∴ n(E₁) = 18
E₂ = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(E₂) = 4
(E₁∩E₂) = {(4, 5), (6, 3)}
∴ n(E₁∩E₂) = 2
अत: P(E₁) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{18}{36}\)
P(E₂) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{36}\)
तथा
P(E₁∩E₂) = \frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } = \(\frac{2}{36}\)
∴ P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac{18}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) – \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{20}{36}\)
⇒ P(E₁∪E₂) = \(\frac{5}{9}\).

प्रश्न 11.
दो थैलों में से एक में 3 काली और 4लाल गेंदें हैं और दूसरे में 8 काली और 10 लाल गेंदें हैं। यदि किसी एक थैले को चुनकर उसमें से एक गेंद निकाली जाये तो उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल: I थैला
3B + 4R = 7 कुल गेंद
दो थैले में से 1 थैला चुनने की प्रायिकता है = \(\frac{1}{2}\)
1 थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{4}{7}\)
अतः I थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P₁ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{2}{7}\)
पुनः यदि II थैला चुना गया तो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
II थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{10}{18}\) = \(\frac{5}{9}\)
अतः II थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P₂ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{5}{18}\)
उपर्युक्त दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। इनमें से एक ही घटना घटेगी।
अतः अभीष्ट प्रायिकता P = P₁ + P₂ = \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{36+35}{126}\) = \(\frac{71}{126}\)

प्रश्न 12.
दो थैलों में एक में 5 लाल और 7 सफेद गेंदें हैं और दूसरे में 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। दोनों थैलों में से किसी एक से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह गेंद लाल है।
हलः
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर:
\(\frac{37}{120}\)

प्रश्न 13.
एक थैले में 50 बोल्ट तथा 150 नट हैं। आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं। यदि यदृच्छया एक नट थैले से निकाला जाये तो इसके जंग लगे हुये या बोल्ट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रतिदर्श समष्टि S हैं। तब,
n (S) = 200, (∵ 50 बोल्ट + 150 नट = 200)
प्रश्नानुसार,
आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं
इनकी संख्या = 25 + 75 = 100
∴ E₁: जंग लगी वस्तु निकलने की घटना
तब P(E₁) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{100}{200}\)
E₂: बोल्ट निकलने की घटना
तब P(E₂) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{50}{200}\)
उक्त दोनों घटनाओं E₁ और E₂ में 25 जंग लगे बोल्ट उभयनिष्ठ है।
∴ n(E₁∩E₂) = 25
∴ P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac{100}{200}\) + \(\frac{50}{200}\) – \(\frac{25}{200}\) = \(\frac{125}{200}\) = \(\frac{5}{8}\).

प्रश्न 14.
A किसी लक्ष्य को 5 बार में से 4 बार भेद सकता है। B, 4 में से 3 बार और C, 3 बार में से 2 बार। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
A द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)
B द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)
C द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने के निम्न प्रकार होंगे –
(i) जब A, B, C तीनों निशाना लगा लें जिसकी प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{24}{60}\)
(ii) जब B, C के निशाने लग जाये पर A का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= (1 – \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{6}{60}\)
(iii) जब C, A के निशाने लग जाये पर B का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × (1 – \(\frac{3}{4}\) ) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{60}\)
(iv) A, B के निशाने लग जाये पर C का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × (1 – \(\frac{2}{3}\) ) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{12}{60}\)
सभी घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
= \(\frac{24}{60}\) + \(\frac{6}{60}\) + \(\frac{8}{60}\) + \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{50}{60}\) = \(\frac{5}{6}\)

प्रश्न 15.
एक कक्षा में 30% विद्यार्थी भौतिकी में, 25% गणित तथा 10% दोनों में फेल होते हैं। एक छात्र यदृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह
(i) गणित में फेल होता है यदि भौतिकी में फेल है
(ii) भौतिकी में फेल होता है जबकि वह गणित में फेल है
हलः
भौतिकी में फेल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{30}{100}\)
गणित में फेल होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{25}{100}\)
भौतिकी और गणित दोनों में फेल होने की प्रायिकता P(A∩B) = \(\frac{10}{100}\)
(i) P( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac { P(B∩A) }{ P(A) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 30 }{ 100 } } \) = \(\frac{1}{3}\)
(ii) P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac { P(A∩B) }{ P(B) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 25 }{ 100 } } \) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\).

प्रश्न 16.
दो थैले A और B में क्रमशः 8 हरी और 9 सफेद और 5 हरी और 4 सफेद गेंदें रखी हैं। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जो कि हरे रंग की है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद थैले B से निकाली गई है। (NCERT)
हल:
माना E₁: थैले A के चयन होने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (1)
E₂: थैले B के चयन होने की घटना
P(E₂) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (2)
पुनः माना C : थैले से एक हरे रंग की गेंद निकालने की घटना
∴ सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से,
P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले A से निकालना)
P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले B से निकालना)
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{8}{8+9}\) = \(\frac{8}{17}\) [∴ थैले A में 8 हरी और 9 सफेद]
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{5}{5+4}\) = \(\frac{5}{9}\)
अब अभीष्ट प्रायिकता अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 17.
एक कंपनी दो फैक्टरी में साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी 60% और दूसरी फैक्टरी 40% साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी से 80% साईकिल उच्च स्तर की और 90% साईकिल दूसरी फैक्टरी उच्च स्तर की बनायी जाती है। एक साईकिल यादृच्छया उच्च स्तर की चुनी जाती है उसके दूसरी फैक्टरी से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [CBSE 2003]
हल:
माना E₁: एक साईकिल पहली फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{60}{100}\)
माना E₂: एक साईकिल दूसरी फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E₂) = \(\frac{40}{100}\)
पुनः माना E उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की घटना है, तब
P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{80}{100}\), [दिया है 80%]
P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ p( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{90}{100}\), [दिया है 90%]
∴ अब अभीष्ट प्रायिकता (अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 18.
एक टी. वी. (T. V.) बनाने के कारखाने में मशीनें ( यंत्र) A, B और C कुल उत्पादन का क्रमश: 30%, 20% और 50% टी. वी. (T. V.) बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 7%, 5% और 2% टी. वी. खराब (त्रुटिपूर्ण ) पायी जाती हैं। टी. वी. के कुल उत्पादन में से एक टी. वी. यादृच्छया जाँच के लिए निकाला गया है और वह खराब (त्रुटिपूर्ण) पाया गया। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है। (CBSE)
हल:
माना कि घटनाएँ T₁, T₂, और T₃, निम्नानुसार हैं –
घटना T₁ : टी. वी. मशीन A द्वारा बनाया गया है।
घटना T₂ : टी. वी. मशीन B द्वारा बनाया गया है।
घटना T₃ : टी. वी. मशीन C द्वारा बनाया गया है।
यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
पुनः माना E : टी. वी. (T. V.) खराब होने की घटना है।
दिया है: P(T₁) = 30% = \(\frac{30}{100}\)
P(T₂) = 20% = \(\frac{20}{100}\)
और P(T₃) = 50% = \(\frac{50}{100}\)
पुनः P( \(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = 7% = \(\frac{7}{100}\)
P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता जबकि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है।
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = 5% = \(\frac{5}{100}\)
इसी प्रकार
P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 2% = \(\frac{2}{100}\)
अब बेज़ प्रमेय (Baye’s Theorem) से,
P( \(\frac { T_{ 1 } }{ E } \) ) = मशीन A द्वारा बनाये गये टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता

प्रश्न 19.
मोहन द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता = है। एक सिक्का उछालने पर मोहन द्वारा चित (Head) बताया जाता है; इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिक्का उछालने पर वास्तव में चित आता (NCERT)
हल:
माना A: एक सिक्का उछालने पर चित आने की घटना
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
B: एक सिक्का चित नहीं आने की घटना है
∴ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना E: मोहन द्वारा एक सिक्का के एक फेंक में यह बताने कि एक सिक्का के एक फेंक में चित आने की घटना है।
अब P( \(\frac{E}{A}\) ) = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
अब बेज़ प्रमेय (Bayes’ theorem) से
P( \(\frac{A}{E}\) ) = मोहन द्वारा यह बताने पर कि सिक्का के एक फेंक में चित आया है।

प्रश्न 20.
बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें और बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं। इन थैलों से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और वह लाल पायी गयी। बैग B से इस गेंद के निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E₁ = बैग A के चुनाव की घटना
E₂ = बैग B के चुनाव की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\); P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना एक एक एक गंद लाल होने की घटना
अब प्रश्नानुसार,
P ( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\) चूँकि बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं।]
P ( \(\frac { R }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{6}{5+6}\) = \(\frac{6}{11}\) [चूँकि बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं।]
अब बेज़-प्रमेय (Bayes’ theorem) से,
P ( \(\frac { E_{ 2 } }{ R } \) ) = एक गेंद बैग B से चुने जाने की प्रायिकता जबकि वह लाल हो

प्रश्न 21.
तीन अभिन्न थैले A, B और C दिए गए हैं, प्रत्येक में दो-दो पुस्तकें हैं। थैले A में दोनों गणित की पुस्तकें हैं, थैले B में दोनों रसायन की पुस्तकें हैं और थैले C में एक गणित और एक रसायन की पुस्तक है। एक विद्यार्थी यादृच्छया एक थैला चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक पुस्तक निकालता है। यदि पुस्तक गणित की है, तो दूसरी पुस्तक भी थैले A से गणित की निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना कि E₁, E₂ और E₃ क्रमशः थैले A, B और C के चयन को दर्शाता है तो उनके चयन की प्रायिकता
P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) ……… (1)
D: गणित की पुस्तक निकलने की घटना तब सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से
P( \(\frac { D }{ E_{ 1 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले A से निकलना)
= \(\frac{2}{2}\) = 1 ……….. (2)
P( \(\frac { D }{ E_{ 2 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले B से निकलना)
= \(\frac{0}{2}\) = 0 ………. (3) [∵ प्रश्नानुसार थैले B में दोनों रसायन की पुस्तक हैं।]
P( \(\frac { D }{ E_{ 3 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले C से निकलना)
= \(\frac{1}{2}\) ………. (4)
अब अभीष्ट प्रायिकता (थैले A से गणित की पुस्तक निकलने की प्रायिकता)
P ( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )
अब बेज़-प्रमेय से,

प्रश्न 22.
एक विद्यार्थी के बारे में जाँच किया जाता है कि वह 5 में से 2 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को फेंकता है और रिपोर्ट करता है कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर सही में संख्या 6 आयी है।
हल:
माना E: उस विद्यार्थी द्वारा पासे के फेंक में यह बताने की घटना कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है।
A: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आने की घटना
B: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 नहीं आने की घटना …………. (1)
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\)
P(B) = P(नहीं A) = P( \(\bar { A } \) )
⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}\) ………… (2)
⇒ P(B) = \(\frac{5}{6}\)
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने पर कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 है जबकि पासे पर वास्तव में संख्या 6 नहीं आयी है।
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता = \(\frac{2}{5}\) ………… (3)
अब
P ( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है।
P( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य नहीं (झूठ) बोलने की प्रायिकता
P( \(\frac{E}{B}\) ) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
अब बेज़-प्रमेय से,
P( \(\frac{A}{E}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 16 Probability

Probability Important Questions

Probability Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
A leap year is selected at random. Then the probability that this year will contain 53 Sunday is :
(a) \(\frac { 1 }{ 7 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 7 }\)
(d) \(\frac { 4 }{ 7 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)

Question 2.
A and B are two events such that P(A) = 0.4, P(A + B) = 0.7, P(AB) = 0.2, then
P(B) =
(a) 0.1
(b) 0.3
(c) 0.5
(d) 0.2
Answer:
(c) 0.5

Question 3.
Three letters are to be sent to different persons and address on the three envelope are also written. Without looking at the address, the probability that the letters go into right envelope is equal to :
(a) \(\frac { 1 }{ 27 }\)
(b) \(\frac { 1 }{ 9 }\)
(c) \(\frac { 4 }{ 27 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)

Question 4.
If A and B are two events such that P(A ∪B) = \(\frac { 3 }{ 4 }\), P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(A ∩ B) is:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)

Question 5.
The probability that A speaks truth is \(\frac { 4 }{ 5 }\) while that this probability for B is \(\frac { 3 }{ 4 }\). The probability that they contradict each other when asked to speak on a fact:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)

Question 6.
A player drawn one card from a pack of 52 cards, then the probability that it is not a diamond card :
(a) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 4 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 13 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 7.
Probability of getting number greater than 3 when a dice is thrown :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 8.
A bag contain 6 white, 5 black and 4 yellow balls. The probability of drawing a white or a black ball is :
(a) \(\frac { 6 }{ 11 }\)
(b) \(\frac { 6 }{ 15 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 15 }\)
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)

Question 9.
Probability of getting an even number on throwing a dice is :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 10.
If P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(B) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 8 }\) then P(A’ ∩ B’)=
(a) \(\frac { 1 }{ 8 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 7 }{ 8 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)

(B) Fill in the blanks :

1. a : b is odds in favour of an event A, then probability that it happen ………………..
2. The probability of getting odd number when a cubical dice is thrown ………………..
3. Total number of sample points when three coins are thrown are ………………..
4. It is given that the event A and B such that P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\frac { A }{ B }\)) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(\(\frac { B }{ A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(B) = ………………..
5. If P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A ∩ B) = 0-16, then P(A’ ∩ B’) = ………………..
6. If two events A and B related to a random experiment are not mutually exclusive, then P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = ………………..
7. Probability of happening of an event and not happening are P (A) and P(A) respectively P(A) + P(\(\bar { A }\)) = ………………..
8. The number of sample space when two cubical dice are thrown is ………………..
9. If A and B are two mutually exclusive events and P(B) = 2 P(A) then the value of P(A) will be ………………..
10. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting sum is 7 will be ………………..

Answer:

1. \(\frac { a }{ a + b }\)
2. \(\frac { 1 }{ 2 }\)
3. 8
4. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
5. 0.26
6. P(A) + P(B)
7. 1
8. 36
9. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
10. \(\frac { 1 }{ 6 }\)

(C) Write true / false :

1. If two coins are tossed together, then the probability of getting atleast one head is \(\frac { 3 }{ 4 }\).
2. From a pack of cards one card is drawn at random then the chance of getting knave \(\frac { 1 }{ 52 }\)
3. If tossing a coin once, then the probability of getting tail on the upper face is \(\frac { 1 }{ 2 }\)
4. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting product 6 is \(\frac { 1 }{ 9 }\)
5. The odds favour in event is \(\frac { 3 }{ 4 }\), then the probability of happening is \(\frac { 4 }{ 7 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. True
4. True
5. False

(D) Write answer in one word / sentence :

1. If two coins are tossed together, then the sample space will be?
2. From a well shuffled pack of 52 cards one card is drawn at random; find the probability it is a king.
3. Two dice are thrown simultaneously, find the probability getting sum is multiple of 3.
4. The odds in favour of an event is 3 : 5, then find the probability of not happening.
5. If A, B and C are three mutually exclusive even, then P(A ∪ B ∪ C) =

Answer:

1. {HT, HH, TH, TT}
2. \(\frac { 1 }{ 13 }\)
3. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
4. \(\frac { 5 }{ 8 }\)
5. P(A) + P(B) + P(C )

Probability Short Answer Type Questions

Question 1.
A coin is tossed twice, what is the probability that at least one tail occurs? (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
n(S) = 4
Let E be the event of getting at least one tail, then
E = {(H, T), (T, H), (T, T)}
∴ n(E) = 3
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 2.
There are four men and six women on the city council. If one council member is selected for a committee at random, then how likly is it that it is a woman?
Solution:
Let S is the sample space, then
n (S) = 10
Let E be the event that woman is selected, then
n(E) = 6
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\)
P(E) = \(\frac { 6 }{ 10 }\) = \(\frac { 3 }{ 5 }\)

Question 3.
If \(\frac { 2 }{ 11 }\) is the probability of an event A, then find what is the probability of the event is ‘not A’.
Solution:
Given that :
P(A) = \(\frac { 2 }{ 11 }\)
We know that,
P(A) + P(\(\bar { A }\)) = 1
\(\frac { 2 }{ 11 }\) + P(\(\bar { A }\)) = 1
P(\(\bar { A }\)) = 1 – \(\frac { 2 }{ 11 }\) = \(\frac { 11 – 2 }{ 11 }\)
P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 9 }{ 11 }\).

Question 4.
A box contain 10 red marbles, 20 blue marbles and 30 green marbles. 5 marbles are drawn from the box. What is the probability that: (NCERT)

1. All marbles will be blue.
2. At least one marble will be green.

Solution:
In the box, there are 10 red, 20 blue and 30 green marbles.
The No. of marbles = 10 + 20 + 30 = 60
1. Total ways of choosing 5 marbles out of 60 marbles,
n(S) = ⁶⁰C₅
Let E is the event of choosing blue marbles, then
n(E) = ²⁰C₅
Probability = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{20} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

2. P(At least one green marble)
= 1 – P(No green)
= 1 – \(\frac{^{30} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

Question 5.
4 cards are drawn from a well shuffled deck of 52 cards. What is the probability of obtaining in card of 3 diamond and one spade?
Solution:
Let S is the sample space.
Total number of selecting 4 cards out of 52 cards, n(S) = ⁵²C₄
If E is the event obtaining card of 3 diamond and 2 spade, then
n(E) = ¹³C₃ x ¹³C₁
Probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{13} C_{3} \times^{13} C_{1}}{^{52} C_{4}}\)

Question 6.
Given : P(A) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) and P(B) = \(\frac { 1 }{ 5 }\). If A and B are mutually exclusive events, then find P(A or B). (NCERT)
Solution:
A and B are mutually exclusive events.
∴ P (A or B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 7.
In a lottery, a person choose six different natural numbers at random from 1 to 20 and if there six numbers match with the six numbers already fixed by lottery committee, he wins the prize, what is the probability of winning the prize in the game? (Hint: Order of the numbers is not important) (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
n(S) = ²⁰C₆
= \(\frac { 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 }{ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 }\) = 38760
Only one prize can be win.
∴ n(E) = 1
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 38760 }\)

Question 8.
Two dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum 9 in a single throw.
Solution:
Total number of ways in which two dice may be thrown
= 6 x 6 = 36
∴ n(S) = 36
Event of getting sum 9 is A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(A) = 4
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 9 }\)

Question 9.
A bag contains 8 black, 6 white and 5 red balls. Find the probability of drawing a black or a white ball from it
Solution:
Total number of balls = 8 + 6 + 5 = 19
∴ n(S) = 19
Event A of drawing 1 black or 1 white ball
n(A) = 8 + 6 = 14
∴ n(A) = 14
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 14 }{ 19 }\)

Question 10.
From a pack of well shuffled cards two cards drawn simultaneously. Find the probability that both the cards are ace.
Solution:
Total number of ways of drawing two cards out of 52
= ⁵²C₂
Number of ways drawing two ace out of 4 ace
= ⁴C₂
∴ Required Probability

Question 11.
A pair of dice are thrown. Find the probability that the sum is 9 or 11.
Solution:
Let the sample space be S, then
∴ n(S) = 36
Let E be the event that sum is 9 or 11, then
E = {(5, 4), (4, 5), (6, 3), (3, 6), (6, 5), (5, 6)}
∴ n (E) = 6
The probability of getting sum 9 or 11 is
P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 6 }{ 36 }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Hence, probability that the sum is not 9 or 11 is
P(\(\bar { E }\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac { 1 }{ 6 }\) = \(\frac { 5 }{ 6 }\)

Question 12.
In a city 20% persons read English newspaper, 40% persons read Hindi newspaper and 5% persons read both, then find the probability that the newspapers are not read.
Solution:
P(E) = The probability that persons read English newspapers = \(\frac { 20 }{ 100 }\)
p(H) = The probability that persons read Hindi newspapers = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
P(E ∩ H) = The probability that persons read both the papers = \(\frac { 5 }{ 100 }\)
The probability that the newspapers are not read

Question 13.
In class XI of a school, 40% of the students study Mathematics and 30% study Biology. 10% of the class study both Mathematics and Biology. If a student is selected at random from the class, find the probability that he will be studying Mathematics or Biology. (NCERT)
Solution:
Let M and B denote the students of Mathematics and Biology respectively. Then, as given:
P(M) = 40% = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
= P(B) = 30% = \(\frac { 30 }{ 100 }\)
P(M ∩ 5) = 10% = \(\frac { 10 }{ 100 }\)
∴ P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
\(\frac { 40 }{ 100 }\) + \(\frac { 30 }{ 100 }\) – \(\frac { 10 }{ 100 }\)
= \(\frac { 60 }{ 100 }\) = 60% = 0.6.

Question 14.
In an entrance test that is graded on the basis of two examinations, the probability of a randomly chosen student passing the first examination is 0.8 and the probability of passing the second examination is 0.7. The probability of passing at least one of them is 0.95. What is the probability of passing both? (NCERT)
Solution:
Let probability of passing in first examination is A and passing in the second examination is B.
P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(A ∪ B) = 0.95, P(A ∩ B) = ?
We know that,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.95 = 0.8 + 0.7 – P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = 1.5 – 0.95
∴ P(A ∩ B) = 0.55.

Probability Long Answer Type Questions

Question 1.
A letter is selected at random from the word ‘ASSASSINATION’. Find the probability that letter is

1. a vowel
2. a consonant

Solution:
Number of letters is 13 in which there are 6 vowels and 7 consonants.
1. Let sample space is S, then
∴ n(S) = 13
E₁ is the event of choosing a vowel, then
n(E₁) = 6
Hence, required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\)
P(E₁) = \(\frac { 6 }{ 13 }\)

2. E₂ is the event of choosing a consonant, then
n(E₁) = 7
Hence, required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\)

Question 2.
Check whether the following probabilities P{A) and P(B) are consistently defined: (NCERT)

1. P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
2. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8.

Solution:
1. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
If P(A ∩ B) ≤ P(A) and P(A ∩ B) ≤ P(B)
Then, P(A) and P(B) are consistent.
Here

P(A) and P(B) are not consistent.

2. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0 4, P(A ∪ B) = 0.8

∴ P(A) and P(B) are consistent.

Question 3.
In a class of 60 students, 30 opted for NCC, 32 opted for NSS and 24 opted for both NCC and NSS. If one of these students is selected at random, find the probability that:

1. The student opted for NCC or NSS.
2. The student has opted for neither NCC nor NSS.
3. The student has opted NSS but not NCC.

Solution:
Let A and B denote the students in NCC and NSS respectively.
Given : n(A) = 30, n(B) = 32, n(S) = 60, n(A ∩ S) = 24

1. P (Student opted for NCC or NSS)

2. P (Student has opted neither NCC nor NSS)

3. P (The student has opted NSS but not NCC)

Question 4.
From the employees of a company, 5 persons are selected to represent them in managing committee of the company. Particulars of five persons are as follows :

A person is selected at random from this group to act as a spokesperson. What is the probability that the spokesperson will be either male or over 35 years? (NCERT)
Solution:
Let A is the event that selected person is male and B be the event that selected person is over 35 years.

Hence, required probability
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 2 }{ 5 }\) – \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 2 – 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 5.
A fair coin with 1 marked on one face and 6 on the other and a fair dice are both tossed. Find the probability that the sum of the numbers that turn up is: (NCERT)

1. 3
2. 12.

Solution:
The number of possible cases in coin = 2 Number of possible cases in dice = 6 Let S is the sample space, then
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 12
1. Let E is the event of coming sum of the numbers as 3, then
E = { 1, 2 }
∴ n(E) = 1
Required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

2. Let E’ is the event of coming sum of the numbers as 12, then E’ = (6, 6)
∴ n(E’) = 1
Required probability P(E’) = \(\frac { n(E’) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

Question 6.
In a certain lottery 10,000 tickets are sold and ten equal prizes are awarded. What is the probability of not getting a prize if you buy?

1. One ticket
2. Two tickets
3. 10 tickets.

Solution:
1. Buying one ticket:
Total tickets = 10,000
The tickets getting not prize = 10,000 – 10 = 9,990
Let S is the sample space, then
n(S) = ^10,000C₁ = 10,000
Let E₁ is the event of not getting prize on buying one ticket, then
n(E₁) = ^9,990C₁ = 9,990
∴ Required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\) = \(\frac { 999 }{ 1, 000 }\)

2. On buying two tickets, then
n(S) = ^10,000C₂
Let E₂ is the event of not getting prize on buying two tickets, then
n(E₂) = ^9,990C₂
∴ Required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\)

3. On buying 10 tickets, then
n(S) = ^10,000C₁₀
Let E₃ is the event of not getting prize on buying ten tickets, then
n(E₃) = ^9,990C₁₀
∴ Required probability P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}\)

Question 7.
A bag contains 50 bolts and 150 nuts. Half of the bolts and nuts are rusted. If one item is taken out at random. Find out the probability that it is rusted or is a bolt.
Solution:
Let S be the sample space, then
∴ n (S) = 200, [∵ 50 bolt + 150 nuts = 200]
According to the question half of the bolts and nuts are rusted.
∴ Total rusted article = 25 + 75 = 100
Let E₁ is the event of drawing a rusted article.
Then, P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 100 }{ 200 }\)
Let E₂ is the event of drawing nuts.
Then, P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 50 }{ 200 }\)
In both the events E₁, and E₂, 25 rusted bolts are common.

Hence, required probability

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

रैखिक Important Questions

रैखिक प्रोग्रामन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दु जिस पर 3x + 2y का प्रतिबंधों x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत अधिकतम मान प्राप्त होता है –
(a) (0, 0)
(b) (1.5, 1.5)
(c) (2,0)
(d) (0, 2).
उत्तर:
(c) (2,0)

प्रश्न 2.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देश्य फलन में चर होते हैं –
(a) ऋणात्मक
(b) शून्य या ऋणात्मक
(c) शून्य
(d) शून्य या धनात्मक।
उत्तर:
(d) शून्य या धनात्मक।

प्रश्न 3.
असमिकाओं x₁ + x₂ ≤ 3, 2x₁ + 5x₂ ≥ 10, x₂ ≥ 0, के व्यापक हल में स्थित बिन्दु होगा –
(a) (2,1)
(b) (4, 2)
(c) (2, 2)
(d) (1, 2).
उत्तर:
(d) (1, 2).

प्रश्न 4.
रेखीय व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का अधिकतम मान होता है –
(a) सुसंगत क्षेत्र के केन्द्र पर
(b) (0,0) पर
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर
(d) (0,0) से अधिकतम दूरी पर स्थित शीर्ष पर।
उत्तर:
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर।

प्रश्न 5.
प्रतिबन्धों x – 2y ≥ 6, x + 2y ≥ 0, x ≤ 6 के अंतर्गत फलन P = 3x + 4y का महत्तम मान है –
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 19
उत्तर:
(c) 18.

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना हो वह …………………………. कहलाता है।
2. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को ……………………….. कहते हैं।
3. x ≥ 0 का ग्राफ …………………………. चतुर्थांश में स्थित है।
4. एक निश्चित क्रम में विशिष्ट चरणों में सम्पादित प्रक्रिया ………………………….. कहलाती है।
5. सभी व्यवरोधों और ऋणेत्तर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र, एक रेखीय प्रोगामन समस्या का …………………………… कहलाता है।

उत्तर:

1. उद्देश्य फलन
2. इष्टमान फलन
3. प्रथम एवं चतुर्थ
4. प्रोग्रामिंग
5. सुसंगत क्षेत्र।

प्रश्न 3.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (b)
2. (a)
3. (d)
4. (c)
5. (f)
6. (e)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि x का मान किन्ही दो निश्चित संख्याओं a और b के बीच होता है, तब {x : a < x < b}, संवृत्त अंतराल कहलाता है।
2. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहते हैं।
3. दी हुई समस्या के सभी प्रतिबंधों का पालन करने वाले चर राशियों के मान ग्राफीय निरुपण के जिस क्षेत्र से संबंधित होता है उस क्षेत्र को सम्भाव्य क्षेत्र कहते हैं।
4. यदि सम्भाव्य क्षेत्र रिक्त समुच्चय हो, तो समस्या का सीमाबद्ध हल होता है।
5. दो या दो से अधिक समीकरणों के निकाय को रेखीय असमीकरण निकाय कहते हैं।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. y ≤ -2 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2. 2x – 4 ≤ 0 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
3. x ≥ 0 तथा y ≥ 0 का हल किस चतुर्थांश में है।
4. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को क्या कहते हैं?
5. P = 5x + 3y एक उद्देश्य फलन है। सम्भाव्य क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक (3, 0), (12, 0), (0, 6) हैं। उद्देश्य फलन का निम्नतम मान बताइए।

उत्तर:

1. 
2. 
3. प्रथम
4. इष्टतम मान
5. 15.

रैखिक प्रोग्रामन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
फलन P = 2x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिबन्ध निम्न हैं –
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 2x + y ≤ 14.
हल:
प्रतिबन्धों x ≥ 0 तथा y ≥ 0 के कारण अन्य रेखीय असमीकरणों के ग्राफ केवल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करना है।

x + 2y = 10 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) के लिए x + 2y ≤ 10 सत्य है क्योंकि 0 + 2 × 0 ≤ 10. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
2x + y = 14 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

मूलबिन्दु (0, 0) के लिए 2x + y ≤ 14 सत्य है क्योंकि 2(0) + 0 ≤ 14. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु को शामिल करता है।
लेखाचित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र रेखांकित है जिसके शीर्षों OABD पर उद्देश्य फलन P = 2x + 3y के मान निम्न सारणी में दर्शाये गये हैं –

∴ P का अधिकतम मान 18 है जो बिन्दु B(6, 2) पर है, जिसके लिए x = 6, y = 2.

प्रश्न 2.
फलन P = x + y का रेखीय व्यवरोधों 3x + 2y ≥ 12, x + 3y ≥ 11, x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण अन्य व्यवरोधों के ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करते हैं। वे हैं:
3x + 2y ≥ 12
x + 3y ≥ 11

(i) 3x + 2y = 12 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

(ii) x + 3y = 11 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) से दोनों असमीकरण सन्तुष्ट नहीं होते क्योंकि
3(0) + 2(0) ≥ 12 असत्य है।
0 + 3(0) ≥ 11 असत्य है।
अतएव संभाव्य क्षेत्र खुला क्षेत्र है, जिसके शीर्ष A, B,D हैं। उद्देश्य फलन की गणना मूल बाह्यतम बिन्दु प्रमेय के अनुसार निम्नांकित हैं –

अतः P का न्यूनतम मान 5 है जब x = 2, y = 3.

प्रश्न 3.
निम्न असमीकरणों द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ग्राफ द्वारा दर्शाइए:
x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 16, 2x + y ≤ 8
तथा P = 5x + 4y के अधिकतम मान हेतु x, y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
असमीकरणों 2x + 5y ≤ 16 ……… (1)
एवं 2x + y ≤ 8 ……….. (2)
को निम्नानुसार लिखने पर,
\(\frac{2x}{16}\) + \(\frac{5y}{16}\) ≤ 1 [असमिका (1) से]

इसी प्रकार,
\(\frac{2x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 [असमिका (2) से]
⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 ………. (4)
क्षेत्र x ≥ 0 एवं y ≥ 0 के लिए असमीकरणों (3) एवं (4) का ग्राफीय निरूपण करने पर:

रेखाएँ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1
एवं \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{(16/5)}\) = 1
एक – दूसरे को बिन्दु B(4, 2) पर प्रतिच्छेदित करती है। अत: OABC रेखाओं द्वारा प्रतिबन्धित क्षेत्र है, जहाँ बिन्दु O, A, B, C के निर्देशांक क्रमशः O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, \(\frac{16}{5}\) ) है।
इन शीर्षों पर P = 5x + 4y का मान निम्नानुसार प्राप्त होगा:

उपर्युक्त सारणी से P का अधिकतम मान बिन्दु B(3, 2) पर 23 प्राप्त होता है। अतः x = 3 एवं y = 2 पर मान अधिकतम है।

प्रश्न 4.
यदि एक नवयुवक अपनी मोटर साइकिल को 25 किमी प्रति घण्टा की गति से दौड़ाता है, तो उसे पेट्रोल पर 2 रु. प्रति किमी व्यय करना पड़ता है। यदि वह और अधिक तेज गति 40 किमी प्रति घण्टा पर मोटर साइकिल को दौड़ाता है, तो पेट्रोल का खर्च बढ़कर 5 रु. प्रति किमी हो जाता है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए 100 रु. है। वह यह ज्ञात करना चाहता है कि 1 घण्टे में वह कितनी अधिकतम दूरी तय कर सकता है। इसे एक रेखीय कार्य-योजना समस्या के रूप में व्यक्त करो तथा फिर इसे हल करो।
हल:
माना कि x किलोमीटर तक 25 किमी/घण्टा की गति से तथा y किलोमीटर तक 40 किमी प्रति घण्टा की गति से मोटर साइकिल दौड़ाता है। तब, x20
तथा x ≥ 0 ……. (1)
y ≥ 0 …….. (2)

पहली स्थिति में पेट्रोल खर्च = 2x रु.
तथा दूसरी स्थिति में पेट्रोल खर्च = 5y रु.
पेट्रोल पर खर्च करने के लिए राशि = 100 रु.
∴ 2x + 5y ≤ 100
पहली स्थिति में दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{x}{25}\) घण्टे,

दूसरी स्थिति में y दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{y}{40}\) घण्टे।
∴ कुल समय 1 घण्टा है,
∴ \(\frac{x}{25}\) + \(\frac{y}{40}\) ≤ 1
था 8x + 5y ≤ 200
दूरी P = x + y
दूरी के मान को अधिकतम करने के लिए प्रतिबंधों (1), (2), (3) और (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 100 तथा 8x + 5y ≤ 200 का आलेखन करते हैं, जिससे सम्भाव्य क्षेत्र ODEC प्राप्त होता है।
क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (25, 0), ( \(\frac{50}{3}\), \(\frac{40}{3}\) ) तथा (0, 20) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अतः अधिकतम दूरी 30 किमी होगी।

प्रश्न 5.
एक उद्योगपति अपनी फैक्टरी में नई मशीन लगाना चाहता है। A प्रकार की मशीन की कीमत 800 रु. है और वह 3 वर्ग मीटर स्थान घेरती है। B प्रकार की मशीन की कीमत 1600 रु. है और वह 1 \(\frac{1}{2}\) वर्ग मीटर स्थान घेरती है। वह 20,000 रु. खर्च कर सकता है और उसके पास उपलब्ध स्थान 30 वर्ग मीटर है। मशीन A का उत्पादन प्रति घण्टा 10 वस्तु और मशीन B का उत्पादन प्रति घण्टा 15 वस्तु है। व्यापार प्रतिबन्ध के अनुसार वह तीन मशीन A प्रकार और चार मशीन B प्रकार की ले सकता है। व्यापारी अधिकतम मशीन किस प्रकार लगा सकता है और कौन-सी व्यवस्था उसे अधिकतम लाभ दे सकती है?
हल:
माना कि व्यापारी A प्रकार की x मशीन तथा B प्रकार की y मशीन खरीदता है।
तब, A प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 800 x रु.
तथा B प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 1600 y रु.
उद्योगपति कुल 20,000 रु. खर्च कर सकता है।
∴ 800x + 1600y ≤ 20000
∴ x + 2y ≤ 25 ………. (1)
अब A प्रकार की x मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= 3x वर्ग मीटर
B प्रकार की y मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= \(\frac{3}{2}\) y वर्ग मीटर
कुल उपलब्ध स्थान = 30 वर्ग मी.
∴ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≤ 30
था 2x + y ≤ 20

पुनः वह तीन मशीन A प्रकार की तथा चार मशीन B प्रकार की ले सकता है।
∴ x ≥ 3 ……… (3)
तथा y ≥ 4 …….. (4)
कुल मशीनों की संख्या या उद्देश्य फलन
P = x + y ……….. (5)
अतः प्रतिबंधों (1), (2), (3) व (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x + 2y ≤ 25, 2x + y ≤ 20, x ≥ 3, y ≥ 4 का आलेखन करते हैं।
रेखांकित भाग संभाव्य क्षेत्र है जिसके शीर्ष (3, 4), (7, 4), (5, 10) तथा (3, 11) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अत: व्यापारी अधिकतम 15 मशीन खरीद सकता है जिसमें 5 मशीनें A प्रकार तथा 10 मशीनें B प्रकार की होंगी।

प्रश्न 6.
एक मधुर पेय फर्म के बोतल बनाने के दो संयन्त्र हैं। एक P पर व दूसरा Q पर स्थित है। प्रत्येक संयन्त्र तीन मधुर पेय A, B व C का उत्पादन करता है। दोनों संयन्त्रों की प्रतिदिन बोतल बनाने की संख्या के अनुसार क्षमताएँ निम्नानुसार हैं –

एक बाजार सर्वेक्षण से ज्ञात होता है कि अप्रैल के महीने में, A की 24,000 बोतलों की, B की 16,000 बोतलों की तथा C की 48,000 बोतलों की माँग होगी। कार्यकर P और 0 की प्रतिदिन की कार्यकर लागत क्रमशः 6,000 रु. व 4,000 रु. है। ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए कि फर्म को अप्रैल में प्रत्येक संयन्त्र को कितने दिन कार्य करना चाहिए जिससे कि उत्पादन लागत न्यूनतम आवे जबकि बाजार की मांग पूरी हो जावे?
हल:
मानलो फर्म अप्रैल माह में संयन्त्र P को x दिन तथा संयन्त्र Q को y दिन चलाता है।
संयन्त्र P में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
तथा संयन्त्र ए में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
पेय A के कुल बोतलों की माँग 24000 है।
∴ 3000x + 1000y ≥ 24000
था 3x + y ≥ 24 ……… (1)
इसी तरह, 1000x + 1000y ≥ 16000
था x + y ≥ 16 …….. (2)
तथा 2000x + 6000y ≥ 48000
था x + 3y ≥ 24
पुनः x और y ऋणात्मक नहीं हैं।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अप्रैल माह में P का उत्पादन लागत = 6000 x रु.
तथा इसी माह में Q का उत्पादन लागत = 4000 x रु. .
∴ उद्देश्य फलन या कुल उत्पादन लागत
P = 6000x + 4000y ….. (5)
अतः प्रतिबन्धों (1), (2), (3) और (4) के अन्तर्गत P के मान को न्यूनतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≥ 24, x + y ≥ 16, x + 3y ≥ 24 को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
सम्भाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके निर्देशांक A (24, 0), B (12, 4), C (4, 12), D (0, 24) हैं। इन शीर्षों में से किसी एक पर P का मान न्यूनतम होगा।

अतः x = 4 तथा y = 12 पर P न्यूनतम है। अत: न्यूनतम उत्पादन लागत के लिए संयन्त्र P को 4 दिनों तक तथा संयन्त्र Q को 12 दिनों तक चलाना चाहिए।
न्यूनतम लागत 72,000 रु. होगी।

प्रश्न 7.
A और B दो दर्जी प्रतिदिन 150 रु. और 200 रु. कमाते हैं। A प्रतिदिन 6 कमीजें और 4 पैन्टों तथा B प्रतिदिन 10 कमीजों तथा 4 पैन्टों को सील लेता है। कम-से-कम 60 कमीजों तथा 32 पैन्टों में आयी लागत का न्यूनतमीकरण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सूत्रबद्ध कीजिए। (CBSE 2005)
हल:
माना दर्जी A, x दिन और दर्जी B, y दिन कार्य करता है।
अतः लागत फलन है:
Z = 150x + 200y
प्रश्नानुसार दर्जी A, 6 कमीजें और B, 10 कमीजें प्रतिदिन सील कर कम – से – कम 60 कमीजें सील सकता है।
∴ 6x + 10y ≤ 60
और दर्जी A, 4 पैन्टों और B, 4 पैन्टों को सीलकर कम-से-कम 32 पैन्ट सील सकता है।
∴ 4x + 4y ≤ 32 और x ≥ 0, y ≥ 0
इस प्रकार, लागत फलन Z = 150x + 200y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत न्यूनतम होगा –
6x + 10y ≤ 60
4x + 4y ≤ 32.
टीप – व्यवरोधों का ग्राफ 6x + 10y ≤ 60 के लिए 6x + 10y = 60 का ग्राफ खींचेंगे।
\(\frac{6x}{60}\) + \(\frac{10y}{60}\) = 1
\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{y}{6}\) = 1 ………. (1)
रेखा (1) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 10 और 6 का अन्त:खण्ड काटती है।
अर्थात् 6x + 10y = 60 सरल रेखा का ग्राफ बिन्दुओं P(10, 0) और Q(0, 6) को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
इसी प्रकार सरल रेखा 4x + 4y = 32 का ग्राफ खींचेंगे।
∴ 4x + 4y = 32
⇒ \(\frac{4x}{32}\) + \(\frac{4y}{32}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1 ………. (2)

रेखा (2) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 8, 8 का अन्त:खण्ड काटता है। अर्थात् 4x + 4y = 32 सरल रेखा का ग्राफ A (8, 0) और B (0, 8) बिन्दुओं को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
(i) x ≥ 0, X – अक्ष और उसके ऊपर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(ii) y ≥ 0, Y – अक्ष और उसके दायीं ओर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(iii) 6x + 10y ≤ 60 के हल समुच्चय हेतु परीक्षण बिन्दु O(0, 0) लेने पर,
6 × 0 + 10 × 0 < 60 ⇒ 0 < 60 सत्य है।
अन्तः रेखा 6x + 10y = 60 पर के प्रत्येक बिन्दु और मूलबिन्दु O के ओर के क्षेत्र 6x + 10y ≤ 60 का हल समुच्चय होगा।
(iv) इसी प्रकार 4x + 4y ≤ 32 के हल समुच्चय मूलबिन्दु की ओर का क्षेत्र और रेखा 4x + 4y = 32 पर के प्रत्येक बिन्दु होंगे।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 10y ≤ 60 और 4x + 4y ≤ 32 के उभयनिष्ठ क्षेत्र उक्त ग्राफ में छायांकित भाग से दिखाया है।
अर्थात् छायांकित क्षेत्र OACQ अभीष्ट क्षेत्र है जिसके किनारे के बिन्दु 0(0, 0), A (8, 0), C (5, 3) और Q (0, 6) हैं।

लागत Z = 150x + 200y का न्यूनतम मान 0 और अधिकतम लागत मूल्य 1,350 रु. बिन्दु (5,3) के संगत है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 15 Statistics

Statistics Important Questions

Statistics Long Answer Type Questions

Question 1.
Find the mean deviation about the mean for the data in following table: (NCERT)

Solution:

Mean \(\bar { x }\) = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\) = \(\frac { 4000 }{ 80 }\) = 50
Mean deviation about mean = \(\frac{\sum f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum f_{i}}\)
= \(\frac { 1280 }{ 80 }\) = 16.

Question 2.
Find the mean deviation about the median for the data in following table: (NCERT)

Solution:

\(\frac { N }{ 2 }\) = \(\frac { 26 }{ 2 }\) = 13
Which lies on cumulative frequency (C.F.) 14.
∴ Median = M_d = 7.
Mean deviation about mean = \(\frac{\sum f_{i}\left|x_{i}-M_{d}\right|}{\sum f_{i}}\)
= \(\frac { 1128.8 }{ 100 }\)

Question 3.
Find the mean deviation about the mean for the data in following table: (NCERT)

Solution:
Let A = 130

Mean \(\bar { x }\) = A + \(\frac { Σfd }{ Σf }\) × i = 130 + \(\frac { (- 47) }{ 10 }\) = 10
\(\bar { x }\) = 130 – 4.7 = 125.3
Mean deviation about mean = \(\frac{\sum f_{i}\left|x_{i}-\bar{x}\right|}{\sum f_{i}}\)
= \(\frac { 1128.8 }{ 100 }\) = 11.228.

Question 4.
Find the mean deviation about the median for the data in following table: (NCERT)

Solution:

\(\frac { N }{ 2 }\) = \(\frac { 50 }{ 2 }\) = 25
20 – 30 is median class.
Here F = 14, f = 14, l = 20, i = 10

Question 5.
Calculate the mean deviation about median for the age distribution of 100 persons given below :

Solution:
First make the class interval uniform:

\(\frac { N }{ 2 }\) = \(\frac { 100 }{ 2 }\) = 50
Median class = 35.5 – 40.5
where l = 35.5, F = 37, f = 26, i = 5

Question 6.
Find the mean and variance for the following frequency distribution in following table:
(A)

Solution:

Let assumed mean A = 105

(B)

Solution:

Let assumed mean A = 25

Question 7.
Find the mean and variance and standard deviation using short cut method:

Solution:

Let assumed mean A = 92.5

Standard deviation σ = \(\sqrt {variance}\)
= \(\sqrt {105.58}\) = 10.27

Question 8.
The diameter of circle (in mm) drawn in design are given below :

Calculate the standard deviation and mean diameter of the circles. (NCERT)
Solution:
First make the class interval uniform :

Let assume mean A = 42.5

Question 9.
From the prices of shares X and Y below, find out which is more stable in value:

Solution:
For first share X : Let assumed mean A = 58, n = 10

Foe second share Y : Let assumed mean A = 107, n = 10

Coefficient of variation for X :
Mean M = A + \(\frac { Σd }{ n }\)
= 58 + \(\frac { ( – 70) }{ 10 }\) = 58 – 7
= 51
∴ Coefficient of variance = \(\frac { σ }{ M }\) x 100
= \(\frac { 6 }{ 51 }\) x 100 = 11.8
Coefficient of variance of Y :
Mean M = A + \(\frac { Σd }{ n }\)
= 107 + \(\frac { – 20 }{ 10 }\) = 107 – 2
= 105
∴ Coefficient of variation = \(\frac { σ }{ M }\) x 100
= \(\frac { 2 }{ 105 }\) x 100 = 1.9
Coefficient of variance of Y is less than the coefficient of variance of X.
Share Y is more stable than share X.

Question 10.
An analysis of monthly wages paid to the workers in two firms A and B belonging to the same industry. Give the following results: (NCERT)

1. Which firm A or B pays out larger amount as monthly wages.
2. Which firm A or B shows greater variability in individual wages.

Solution:
For firm A :
Number of wages earners = 586
Mean of monthly wages x = Rs. 5,253
Amount paid by firm A = 586 x 5,253 = Rs. 30, 78, 258
Variance of distribution of wages = 100
Standard deviation σ = \(\sqrt {100}\) = 10
Coefficient of variation = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) x 100 = \(\frac { 10 }{ 5253 }\) = 0.19

For firm B :
Number of wages earners = 648
Mean \(\bar { x }\) = Rs. 5253
Amount paid by firm B = 648 x 5253 = Rs. 34, 03, 944
Coefficient of variation = 121
Standard deviation σ = \(\sqrt {121}\) = 11
Coefficient of variation = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) x 100 = \(\frac { 11 }{ 5253 }\) x 100 = 0.21
Thus, firm B pays out larger amount as monthly wages.
∵ C.V. of firm B > C.V. of firm A.
∴ Firm B shows greater variability in individual wages.

Question 11.
The following is the record of goals scored by team A in a football session:

For the team B, mean number of goals scored per match was 2 with a standard deviation 1.25 goals. Find which team may be considered more consistent? (NCERT)
Solution:

For team B :

C.V of team A < C.V of team B. Hence team A is more consistent.

Question 12.
The mean and standard deviation of marks obtained by 50 students of three subjects Mathematics, Physics and Chemistry are given below :

Which of these three subjects shows the highest variability in marks and which shows lowest? (NCERT)
Solution:
C.V. of Mathematics (C.V.) = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) x 100
Where σ = 12, \(\bar { x }\) = 42
∴ C.V. of Mathematics = \(\frac { 12 }{ 42 }\) x 100 = 28.57
C.V. of Physics = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) x 100
Where σ = 15, \(\bar { x }\) = 32
∴ C.V. of Physics = \(\frac { 15 }{ 32 }\) x 100 = 46.87
C.V. of Chemistry = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) x 100
Where σ = 20, \(\bar { x }\) = 40.9
∴ C.V. of Chemistry = \(\frac { 20 }{ 40.9 }\) x 100
= 48.89
∵ C.V. of Chemistry > C.V. of Physics > C.V. of Mathematics.
∴ Chemistry shows the highest variability and Mathematics shows the least variability.

Question 13.
The mean and standard deviation of a group of 100 observations were found to be 20 and 3 respectively. Later on it was found that three observations were incorrect Which are recorded by 21,21, and 18. Find the mean and standard deviation, if the incorrect observations are omitted. (NCERT)
Solution:
Given: n = 100, \(\bar { x }\) = 20, σ = 3
\(\bar { x }\) = \(\frac{\sum x}{n}\) ⇒ 20 = \(\frac{\sum x}{n}\)
Σx = 20 x 100 = 2000
If incorrect observations 21,21 and 18 are omitted, then correct sum
Σx = 2000 – 21 – 21 – 18 = 2000 – 60 = 1940
Now correct mean of remaining 97 observations are
\(\bar { x }\) = \(\frac{\sum x}{n}\) = \(\frac { 1940 }{ 97 }\) = 20
Given : σ = 3

correct Σx² = 40900 – (21)² – (21)² – (18)²
= 40900 – 441 – 441 – 324 = 39694
Now correct S.D. of remaining 97 observations are

Question 14.
The mean and variance of eight observations are 9 and 9.25 respectively. If six of the observations are 6, 7, 10, 12, 12 and 13, then And the remaining two observations. (NCERT)
Solution:
Let the two remaining observations are x₁ and x₂
Mean M = \(\frac{6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x_{1} + x_{2}}{8}\)
9 = \(\frac{60 + x_{1} + x_{2}}{8}\)
⇒ x₁ + x₂ + 60 = 72
⇒ x₁ + x₂ = 12 …. (1)

⇒ x²₁ + x²₂ = 722 – 642
⇒ x²₁ + x²₂ = 80 …. (2)
From eqn. (1),
x₂ = 12 – x₁
Put the value of x₂ in equation (2),
x²₁ + (12 – x₁)² = 80
⇒ x² + 144 + x²₁ – 24x₁ = 80
⇒ 2x²₁ – 24x₁ + 64 = 0
⇒ x²₁ – 12x₁ + 32 = 0
⇒ x²₁ – 4x₁ – 8x₁ + 32 = 0
⇒ x₁(x¹ – 4) – 8(x₁ – 4) = 0
⇒ (x₁ – 8)(x₁ – 4) = 0
⇒ x₁ = 4, 8
When x₁ = 4, then x₂ = 12 – 4 = 8
When x₁ = 8, then x₂ = 12 – 8 = 4
Hence remaining observations are 4 and 8.

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 14 Mathematical Reasoning

Mathematical Reasoning Important Questions

Mathematical Reasoning Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
If p and H are statements then determine of equivalance statement is :
(a) p ⇔ q
(b) p ∨ q
(c) p ∧ q
(d) None of these.
Answer:
(a) p ⇔ q

Question 2.
Examine of the following sentence is not statement:
(a) The sum of interior angles of a quadrilateral is 360°
(b) There are only three sides in a triangle
(c) You have long live
(d) The sum of three and three is 6.
Answer:
(c) You have long live

Question 3.
Examine that which of the following is correct part of a negative statement:
(a) 3 + 5 > 9
(b) Each square is a rectangle
(c) Equilateral triangle is an isosceles triangle
(d) None of these.
Answer:
(a) 3 + 5 > 9

Question 4.
Which of the following is a statement:
(a) n is a real numbers
(b) Let us go
(c) Switch of the fan
(d) 3 is a natural number.
Answer:
(d) 3 is a natural number.

Question 5.
The connective in the statement “3 + 5 > 9 or 3 + 5 < 9” is :
(a) >
(b) <
(c) or
(d) and.
Answer:
(c) or

Question 6.
Examine which of the following sentence statement:
(a) Each square is a rectangle
(b) Door closed
(c) God bless you
(d) Oh ! I passed.
Answer:
(a) Each square is a rectangle

Question 7.
The opposite statement of the statement p => q is :
(a) ~ q ⇔ p
(b) q ⇒ P
(c) ~ p ⇒ q
(d) None of these.
Answer:
(b) q ⇒ P

Question 8.
The negative of the statement “51 is not a multiple of 3” is :
(a) 51 is an odd number
(b) 51 is not an odd number
(c) 51 is a multiple of 2
(d) 51 is a multiple of 3.
Answer:
(d) 51 is a multiple of 3.

Question 9.
The contrapositive of the statement “ If p, then q ” is :
(a) If q, then ~ P
(b) If ~ p, then ~ q
(c) If p, then ~ q
(d) If ~ q, then ~ p
Answer:
(d) If ~ q, then ~ p

(B) Write answer in one word / sentence :

1. Write the component statements of the compound statement:
“13 is an odd number and a prime number.”
Answer:
p : Number 13 is prime; q: Number 13 is odd.

2. Write the negation of the statement:
“Everyone who lives in India is an Indian.”
Answer:
Every one who live in India is an Indian

3. Identify the connective in the following compound statement:
“It is raining or the Sun is shining.”
Answer:
or.

4. From the biconditional statement p ⇔ q, where :
p ≡ A triangle is an equilateral.
q ≡ All three sides of a triangle are equal.
Answer:
A triangle is an equilateral triangle if and only if all three sides of the triangle are equal.

5. If p ≡ Mathematics is hard, q ≡ 4 is even number, then write the formula p ∨ q in logical sentences.
Answer:
Mathematics is hard or 4 is even number.

6. If p ≡ the question paper is hard, q ≡ I will fail in the examination, then write the statement in symbolically, “The question paper is hard if and only if I will fail in the examination.”
Answer:
p ⇔ q.

7. State whether the statement is exclusive or inclusive :
“All integers are positive or negative.”
Answer:
Exclusive.

Mathematical Reasoning Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Which of the following sentences are statements? Give reasons for your answer: (NCERT)

1. There are 35 days in a month.
2. Mathematics is difficult.
3. The sum of 5 and 7 is greater than 10.
4. The square of a number is an even number.
5. The sides of a quadrilateral have equal lengths.
6. Answer this question.
7. The product of (- 1) and 8 is 8.
8. The sum of all interior angles of a triangle is 180°.
9. Today is a windy day.
10. All real numbers are complex numbers.

Answer:

1. A month has 30 or 31 days. It is false to say that a month has 35 days, hence it is a statement.
2. Mathematics may be difficult for one but may be easy for the others. Hence it is not a statement.
3. It is true that sum of 5 and 7 is greater than 10. Hence it is a statement.
4. The square of a number may be even or it may be odd. Squaring of an odd number is always odd and square of even number is always even. Hence it is not a statement.
5. A quadrilateral may have equal lengths as it may be a rhombus or a square or the quadrilateral may have unequal sides
6. like parallelogram, hence it is not a statement.
7. It is an order, hence it is not a statement.
8. It is false because the product of (- 1) and 8 is – 8, hence it is a statement. It is true because sum of three angles of a triangles is 180°. Hence it is a statement.
9. It is a windy day. It is not clear that about which day it is said. Thus it can’t be concluded whether it is true or false. Hence it is not a statement.
10. It is true that all real numbers are complex numbers. All real numbers can be expressed as a + ib, hence it is a statement.

Question 2.
State whether the ‘or’ used in the following statements is exclusive or inclusive. Give reasons for your answer: (NCERT)

1. Sun rises or Moon sets.
2. To apply for driving licence, you should have a ration card or a passport.
3. All integers are positive or negative.

Answer:

1. When Sun rises, the Moon sets. One of happening will take place, hence ‘or’ is exclusive.
2. To apply for a driving licence either a ration card or a passport or both can be used, hence ‘or’ is inclusive.
3. All integers are positive or negative. An integers cannot be both positive or negative, hence ‘or’ is exclusive.

Question 3.
Rewrite the following statement ‘if then’ in five different ways conveying the same meaning:
If a natural number is odd than its square is odd. (NCERT)
Answer:

1. A natural number is odd implies that its square is odd.
2. A natural number is odd only if its square is odd.
3. If the square of a natural number is not odd, then the natural number is also not odd.
4. For a natural number to be odd, its necessary that its square is odd.
5. For a square of a natural number to be odd, if it is sufficient that the number is odd.

Question 4.
Give statement in (a) and (b) identify the statements given below as contra – positive or converse of each other: (NCERT)
(a) If you live in Delhi, then you have winter clothes.
(i) If you do not have winter clothes, then you do not live in Delhi.
(ii) If you have winter clothes, then you live in Delhi.

(b) If a quadrilateral is parallelogram, then its diagonal bisect each other.
(i) If the diagonals of a quadrilateral do not bisect each other, then the quadrilateral is not a parallelogram.
(ii) If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, then it is a parallelogram
Answer:
(a) (i) Contrapositive statement, (ii) Converse statement.
(b) (i) Contrapositive statement, (ii) Converse statement.

Question 5.
Which of the following sentence is a statement:

1. New Delhi is a capital of India.
2. How are you?

Answer:

1. Its a statement.
2. Its not a statement.

Question 6.
Find the component statement of the following statements :
1. The sky is blue and grass is green.
2. All the rational numbers are real number and all the real numbers are complex number.
Solution:
1. The components are:
p : The sky is blue.
q : The grass is green.

2. The component statement are as follows:
p : All the rational numbers are real number.
q : All the real numbers are complex number.

Question 7.
If p = It is 7 o’clock
q = The train is late,
then write the following symbols in the form of statement:

1. q ∨ ~ p
2. p ∧ q
3. ~ (p ∧ q)
4. p ∧ ~ q

Answer:

1. Either the train is late or it is not 7 o’clock.
2. It is 7 o’clock, but train is late.
3. It is not true that it is 7 o’clock and the train is late.
4. It is 7 o’clock, but train is not late.

Question 8.
If p ≡ He is intelligent and q ≡ He is strong, then write the following statement symbolically with the help of logical connectives:

1. He is intelligent and strong.
2. He is intelligent but not strong.
3. He is neither intelligent nor strong.

Answer:

1. p ∧ q
2. p ∧ ~ q
3. ~ q ∧ ~ q

Mathematical Reasoning Short Answer Type Questions

Question 1.
Show that the statement p : If x is a real number such that x3 + 4x = 0, then x is ‘0’ is true by :

1. Direct method
2. Method of contradiction
3. Method of contrapositive

Solution:
1. Direct method :
Given :
x³ + 4x = 0 ⇒ x(x² + 4) = 0
x = 0 or x³ + 4 = 0
x is real number.
∴ x² + 4 ≠ 0
∴ x = 0.

2. Method of contradiction :
Let x ≠ 0
Let x = p, (where p is a real number)
p is one the root of equation x³ + 4x = 0.
∴ p³ + 4p = 0
⇒ P(P² + 4) = 0
⇒ P = o
and p² + 4 ≠ 0, (It is a real number)
∴ p = 0.

3. Method of contrapositive :
Let x = 0 is not true and x = p ≠ 0
∴p being the root of x³ + 4x = 0
∴ p³ + 4 p = 0
⇒ P(p² + 4) = 0
p = 0 and p² + 4 = 0
⇒ P(p² + 4) ≠ 0, if p is not true
∴ x = 0 is one root of equation x³ + 4x = 0.

Question 2.
Show that the statement ‘for any real number a and b, a² = b² implies that a = b’ is not true by giving a counter example.
Solution:
Let a = 3 and b = -3 then a, b are real numbers.
Here a² = b² but a b
Hence a, b ∈ R and a² = b²
⇒ a = b, statement is not true.

Question 3.
Find the components of the following compound statement and check whether they are true or false.
(i) The number 3 is prime or odd.
(ii) All the integers are positive or negative.
(iii) Number 100 is divisible by the numbers 3, 11 and 5.
Answer:
(i) p : Number 3 is prime.
q : Number 3 is odd.
Here p and q both are true.

(ii) p : All the integers are positive. q : All the integers are negative.
Clearly p and q both are false.

(iii) p : The number 100 is divisible by 3.
q : The number 100 is divisible by 11.
r : The number 100 is divisible by 5.
p is false, q is false and r is true. p, q and r are false statement.

Question 4.
Show that the following statement is true by the method of contrapositive :
p : If x is an integer and x² is even, then x is also even.
Solution:
P – If x is an integer and x² is even, then x is also even.
Let q : x is an integer and x2 is even.
r : x is even.
To prove that P is true by contrapositive method, we assume that r is false and prove that q is also false.
Let x is not even.
To prove that q is false, it has to be proved that
x is not an integer or x² is not even.
x is not even implies that x² is also not even.
Therefore, statement q is false.
Thus, the given statement p is true.

Question 5.
For each of the following compound statements first identify the connecting words and then break it into compound statements: (NCERT)
(i) All rational numbers are real and all real numbers are not complex.
(ii) x = 2 and x = 3 are the roots of the equation 3x² – x – 10 = 0.
Solution:
(i) The connecting word in the compound statement is ‘and’.
p : All the rational numbers are real number.
q: AH the real numbers are not complex number.

(ii) The connecting word in the compound statement is ‘and’.
p : x = 2 is the root of equation 3x² – x – 10 = 0.
q : x = 3 is the root of equation 3x² – x – 10 = 0.

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

त्रि-विमीय ज्यामिति Important Questions

त्रि-विमीय ज्यामिति वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (- 2, 4, 7) तथा Q (3,- 5, 8) को मिलाने वाले रेखा खण्ड को YZ समतल किस अनुपात में विभाजित करता है –
(a) 2 : 3
(b) 1 : 2
(c) 2 : 5
(d) 3 : 4.
उत्तर:
(a) 2 : 3

प्रश्न 2.
यदि कोई रेखा X अक्ष व Y अक्ष दोनों की धनात्मक दिशाओं से \(\frac { \pi }{ 4 } \) का कोण बनाये तो वह कोण जो रेखा Z – अक्ष की धनात्मक दिशा से बनाती है। होगी –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
उत्तर:
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)

प्रश्न 3.
बिंदुओं (2, 3, 4) तथा (1, -2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा –
(a) \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(c) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(d) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{1}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)

प्रश्न 4.
समतल x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण है –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 3\pi }{ 2 } \)
(d) π
उत्तर:
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 5.
अक्षों से 2, 3, – 4 के अन्तःखण्ड काटने वाले समतल का समीकरण है –
(a) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 0
(b) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = -1
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

• \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) ( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) एकांक सदिश की दिक् – कोज्याएँ …………………… हैं।
• X – अक्ष की दिक् – कोज्याएँ …………………………. हैं।
• घन के विकर्णों के बीच का कोण …………………………. होता है।
• सरल रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = 0 \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{-1}\) तथा \(\frac{x}{3}\) = \(\frac{y}{4}\) = \(\frac{z}{5}\) के बीच का कोण ……………………… है।
• यदि रेखाएँ \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) समतलीय है, तो k …………………………..
• यदि एक रेखा अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है, तो cos²α + cos²β + cos²γ = ……………………………….. होगा।
• समतल 2x + y – z = 5 द्वारा X – अक्ष पर काटा गया अंत: खण्ड ………………………… है।

उत्तर:

1. \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
2. 1, 0, 0
3. cos^-1 ( \(\frac{1}{3}\) )
4. cos^-1 ( \(\frac{-1}{5}\) )
5. 5
6. 1
7. \(\frac{5}{2}\) )

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. बिन्दु A (1, 2, 3), B (4, 0, 4) तथा C (-2, 4, 2) संरेख हैं।
2. रेखाएँ जिनके दिक् – अनुपात (3, 4, 5) और (4, -3, 5) हैं, के बीच का कोण 30° है।
3. रेखाओं 2x = 3y = -z तथा 6x = -y = -4z के बीच कोण 90° है।
4. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी सदैव 0 होती है।
5. सरल रेखा \(\frac{x+1}{3}\) = \(\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z+2}{4}\) तब समताल के बीच का कोण cos^-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 406 } } \) ) है।
6. सरल रेखा \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y+1}{-2}\) = \(\frac{z-4}{1}\) तथा समतल x + 3y + 5z = 4 के समान्तर है।
7. X – अक्ष के समान्तर समतल का समीकरण ax + by + d = 0

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (c)
2. (d)
3. (a)
4. (b)
5. (e).

II.

उत्तर:
(a) (v)
(b) (iii)
(c) (ii)
(d) (vi)
(e) (iv).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समतल x + 2y + 3z +4 = 0 के अभिलम्ब के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए।
2. समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से इकाई अंत:खण्ड काटता हो।
3. समतल YOZ पर लम्बवत् समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
4. समतलों x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
5. समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 और 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
6. रेखाओं x = 2 = 2 और = 2 = – के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
7. यदि कोई रेखा अक्षों की धनात्मक दिशाओं से α, β, γ कोण बनाए तो sin²α + sin²β + sin²γ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 1, 2, 3
2. x + y + z = 1
3. by + cz + d = 0
4. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
5. \(\frac{1}{6}\)
6. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
7. 2

त्रि-विमीय ज्यामिति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो बिन्दुओं (-2, 4, -5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये बिन्दु A (-2, 4, -5) तथा B (1, 2, 3) हैं
AB दिक् अनुपात = 1 + 2, 2 – 4, 3 + 5
= 3, -2, 8

AB की दिक् कोज्यायें

प्रश्न 2.
एक रेखा X, Y और Z – अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135° और 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिया है:
α = 90°, β = 135°, λ = 45°
cos α = cos 90° = 0
cos β = cos 135° = cos (90° + 45°)
= – sin 45° = – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
cos γ = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
रेखा की दिक् कोसाइन cos α, cos β, cos γ
अर्थात् 0, – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \).

प्रश्न 3.
एक रेखा OP, X – अक्ष से 120° और Y – अक्ष से 60° का कोण बनाती है। रेखा द्वारा Z – अक्ष से बना कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ α = 120° और β = 60°. माना रेखा Z – अक्ष से कोण γ बनाती है। तब,
cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² 120° + cos² 60° + cos² γ = 1
⇒ ( \(\frac{1}{2}\) )² + ( \(\frac{1}{2}\) )² + cos² γ = 1
⇒ \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + cos² γ = 1
⇒ cos² γ = 1 – \(\frac{1}{2}\) ⇒ cos² γ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos γ = ± \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
⇒ γ = 45°, 135°
अत: अभीष्ट कोण 45° अथवा 1350 है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1) और (5, 8, 7) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना दिये गये बिन्दु A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1) तथा C (5, 8, 7) हैं।
AB के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् -1 – 2, -2 – 3, 1 – 4
अर्थात् -3, -5, -3 = – (3, 5, 3)
BC के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, Y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1
अर्थात्
6, 10, 6 = 2 (3, 5, 3)
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं। अत: AB और BC समान्तर हैं। परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ है।
अत: A, B, C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
यदि किसी सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ cos α, cos β, cos γ हों, तो सिद्ध कीजिए कि
cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1. (म.प्र. 2008)
हल:
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
= 2 cos² α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1
= 2(cos² α + cos² β + cos²γ) – 3
= 2 × 1 – 3, [∵ cos² α + cos² β + cos²γ = 1]
= – 1 = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के लम्बवत् है। (NCERT)
हल:
बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2
= 2, 5, -4 = a₁, b₁, C₁, (माना)
बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2
= 3, 2, 4
= a₂, b₂, c₂ (माना) यदि रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं तो
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2.3 + 5.2 – 4.4 = 0
⇒ 16 – 16 = 0
⇒ 0 = 0. यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि बिन्दुओं A (1, 2, 3) और B (2, 3, 5) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं C (-1, 2, -3) और D (1, 4, 1) से होकर जाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात
= 2 – 1, 3 – 2, 5 – 3
= 1, 1, 2
= a₁, b₂, c₁
रेखा CD के दिक् अनुपात
= 1 + 1, 4 – 2, 1 + 3
= 2, 2, 4
= a₂, b₂, c₂
यहाँ
\(\frac { a_{ 1 } }{ a_{ 2 } } \) = \(\frac { b_{ 1 } }{ b_{ 2 } } \) = \(\frac { c_{ 1 } }{ c_{ 2 } } \)
= \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) था \(\frac{1}{2}\)
अत: रेखा AB, CD के समान्तर है।

प्रश्न 8.
रेखाओं \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण है –
\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\)
तथा
\(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\)
a₁ = 2, b₁ = 2, c₁ = 1
a₂ = 4, b₂ = 1, c₂ = 8
माना रेखाओं के बीच का कोण θ है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) परस्पर लंब हैं। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण हैं –
\(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) ……………….. (1)
तथा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) ……………………… (2)
यहाँ
a₁ = 7, b₁ = -5, c₁ = 1
a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 7(1) + (-5)(2) + 1 × 3
= 10 – 10 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत होंगी। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) के समान्तर है। (NCERT)
हल:
रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) ………………………. (1)
रेखा (1) के दिक् अनुपात 3, 5, 8 हैं।
बिन्दु (-2, 4, -5) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x+2}{a}\) = \(\frac{y-4}{b}\) = \(\frac{z+5}{c}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात a, b, c
रेखा (1) और (2) समान्तर है,
∴ \(\frac{a}{3}\) = \(\frac{b}{5}\) = \(\frac{c}{8}\) = k
a = 3k, b = 5k, c = 8k
a, b, c के मान समी. (2) में रखने पर रेखा का अभीष्ट समीकरण होगा –
\(\frac{x+2}{3k}\) = \(\frac{y-4}{5k}\) = \(\frac{z+5}{8k}\)
\(\frac{x+2}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+5}{8}\)

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाती है तथा रेखा \(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\) के समान्तर है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
\(\frac { x-x_{ 1 } }{ a } \) = \(\frac { y-y_{ 1 } }{ b } \) = \(\frac { z-z_{ 1 } }{ c } \)
बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण होगा –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z-3}{c}\)
दी गई रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात हैं – 12, 4, 5
∵ रेखा (1) और (2) समान्तर हैं,
∴ \(\frac{a}{12}\) = \(\frac{b}{4}\) = \(\frac{c}{5}\) = k (माना)
⇒ a = 12k, b = 4k, c = 5k
a, b, c के मान समी. (1) में रखने पर,
\(\frac{x-1}{12k}\) = \(\frac{y-2}{4k}\) = \(\frac{z-3}{5k}\)
⇒ \(\frac{x-1}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z-3}{5}\)
यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 12.
रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाओं के समीकरण हैं:
\(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) ………………….. (1)
और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) ………………………. (2)
यहाँ a₁ = 1, b₁ = 0, c₁ = 3 तथा a₂ = 4, b₂ = 5, C₂ = 0 ……………….. (2)
माना कि रेखाओं (1) तथा (2) के बीच का कोण है, तब

अत: अभीष्ट कोण θ = cos^-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 410 } } \) )

प्रश्न 13.
प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखाएँ x = ay + b, z = cy + d और x = a’y + b’,z = c’y + d’ परस्पर लम्ब हैं।
हल:
x = ay + b तथा z = cy + d
⇒ \(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) तथा \(\frac{z-d}{c}\) = \(\frac{y}{1}\)
अतः उपर्युक्त रेखा का समीकरण है:
\(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac{z-d}{c}\)
पुनः x = a’y + b’ तथा z = c’y + d’ से प्रदर्शित रेखा है:
\(\frac { x-b’ }{ a’ } \) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac { z-d’ }{ c’ } \)
यदि रेखाएँ (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगी, तब
a × a’ + 1 × 1 + c × c’ = 0
⇒ aa’ + cc’ + 1 = 0
यही अभीष्ट प्रतिबन्ध है।

प्रश्न 14.
(A) सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + t( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + s(2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

समी. (1) में, \(\overrightarrow{b_{1}}\) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समी. (2) में, \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
यदि रेखाओं के बीच का कोण θ है,
तो

(B) दो सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 15.
दो समतलों 2x – y + z = 6 और x + y + 2z = 7 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतल के समीकरण हैं:
2x – y + z = 6 ……………………. (1)
और x + y + 2z = 7 ……………………. (2)
समतल (1) के दिक् – अनुपात = 2, – 1, 1 ⇒ A₁, B₁, C₁
समतल (2) के दिक् – अनुपात = 1, 1, 2 ⇒ A₂, B₂, C₂
माना समतलों के बीच का कोण θ है। अतः

⇒ cos θ = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 16.
(A) यदि तल 3x – 6y – 22 = 7 तथा 2x + y – kz = 5 एक – दूसरे पर लम्ब हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गए समतलों के समीकरण हैं:
3x – 6y – 2z = 7 ……………………… (1)
तथा 2x + y – kz = 5 ………………………… (2)
यहाँ a₁ = 3, b₁ = -6, c₁ = -2 और a₂ = 2, b₂ = 1, C₂ = -k.
समतल (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगे यदि
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ (3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0
⇒ 6 – 6 + 2k = 0
⇒ 2k = 0
⇒ k = 0

(B) k के किस मान के लिए समतल 2x + ky + z + 9 = 0 और 5x + 3y – 4z – 6 = 0 पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 16 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: k = -2.

(C) सिद्ध कीजिए कि समतल x + 2y + 3z = 6 और 3x – 3y + x = 1 परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 2y + 3z = 36 ……………….. (1)
तथा 3x – 3y + z = 1 ……………………….. (2)
समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 1, 2, 3 हैं।
समतल (2) के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 3, -3, 1 हैं।
∴ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = (1)(3) + 2(-3) + (3)(1)
= 3 – 6 + 3 = 0
अतः दिये गये समतल (1) और (2) परस्पर लम्बवत् हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 17.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (2,- 1, 3) है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c).
∵ OA = a, OB = b, OC = c
दिया है:
केन्द्रक (2, – 1, 3)
∴ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = 2 ⇒ a = 6
⇒ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = -1 ⇒ b = -3
तथा \(\frac { 0+0+0 }{ 3 } \) = 3 ⇒ c = 9

∴ समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{6}\) + \(\frac{y}{-3}\) + \(\frac{z}{9}\) = 1
⇒ \(\frac{27x-54y+18z}{162}\) = 1 ⇒ 3x – 6y + 2z = 18.

प्रश्न 18.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (a, b, c) है। सिद्ध कीजिए कि समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3 हैं।
हल:
चित्र से OA = α, OB = β, OC = γ
केन्द्रक \(\frac { \alpha +0+0 }{ 3 } \) = a, \(\frac { 0+\beta +0 }{ 3 } \) = b, \(\frac { 0+0+\gamma }{ 3 } \) = c
⇒ α = 3α, β = 3b, γ = 3c

समतल का समीकरण \(\frac { x }{ \alpha } \) + \(\frac { y }{ \beta } \) + \(\frac { z }{ \gamma } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{3a}\) + \(\frac{y}{3b}\) + \(\frac{z}{3c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 2x + 3y – z = 8 के समान्तर है एवं बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है।
हल:
समतल 2x +3y – z = 8 के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
2x + 3y – z + λ = 0 ………… (1)
चूँकि समतल (1) बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है। अत:
2(1) + 3(2) – 3 + λ = 0
⇒ 2 + 6 – 3 + λ = 0
⇒ λ = -5
अत: समीकरण (1) में λ का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण है:
2x + 3y – z – 5 = 0.

प्रश्न 20.
समतल 2x + 4y + 4z – 9 = 0 के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल है:
2x + 4y + 4z – 9 = 0 ……………… (1)
इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात हैं: 2, 4, 4
अतः समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ होंगी:

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{3}\).

प्रश्न 21.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 इकाई तथा इस पर अभिलम्ब की दिक् – कोज्याएँ
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), –\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) है।
हल:
अभिलम्ब रूप में समतल का समीकरण
Ix + my + nz = p ………… (1)
दिया है – l = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), m = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), n = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), p = 5
समी. (1) से,
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)x + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) y – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) z = 5
⇒ x + y – z = 5\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 22.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 4तथा जिसकी दिक्-कोज्याएँ 2, -3, 6 के समानुपाती हैं।
हल:
माना समतल का समीकरण
lx + my + nz = p
दिया है – p = 4, a = 2, b = -3, c = 6

समी. (1) से,
= \(\frac{2}{7}\)x –\(\frac{3}{7}\)y + \(\frac{6}{7}\)z = 4
⇒ 2x – 3y + 6z = 28.

प्रश्न 23.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 तथा अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 2, 3, 6 हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 22 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 3y + 6z = 35.

प्रश्न 24.
बिन्दु (1,-2, 3) से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो उस सरल रेखा पर लम्ब है जिसके दिक् – अनुपात 2, 1, -1 हैं।
हल:
चूँकि प्रश्नानुसार समतल (1, -2, 3) से होकर जाता है जिसका समीकरण होगा:
a(x – 1) + b(y + 2) + c(2 – 3) = 0 …………. (1)
यह समतल रेखा पर लम्ब है, जिसके दिक्-अनुपात 2, 1, -1 हैं।
अत: समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात a = 2k, b = k, c = -k हैं।
समी. (1) से,
k[2(x – 1) + 1.(y + 2) – 1.(z – 3) ] = 0
∵ k #0
⇒ 2x + y – z – 2 + 2 + 3 = 0
⇒ 2x + y – z + 3 = 0

प्रश्न 25.
(A) मूलबिन्दु से समतल 6x – 3y + 27 – 14 = 0 की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
6x – 3y + 27 – 14 = 0
मूलबिन्दु (0, 0, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लंबाई

= |\(\frac{14}{7}\)| = 2 इकाई।

(B) बाह्य बिन्दु (1, 2, 0) से समतल 4x + 3y + 12z + 16 = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
4x + 3y + 12z + 16 = 0 …………. (1)
बिन्दु (1, 2, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई

= |\(\frac{26}{13}\)| = 2 इकाई।

(C) बिन्दु (7, 14, 5) से समतल 2x + 4y – z = 2 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्रमांक 25 (B) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 3\(\sqrt{21}\) इकाई।

प्रश्न 26.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है और समतल 3x + 4y – 5z = 52 के समानान्तर है।
हल:
दिये गये समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 5z = 52 ………….. (1)
माना समतल (1) के समानान्तर समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 52 = λ …………. (2)
चूँकि समीकरण (2) बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है।
∴ 3(-1) + 4(2) – 5(3) = λ
⇒ -3 + 8 – 15 = λ
⇒ λ = – 10
समीकरण (2) में 2 का मान रखने पर,
3x + 4y – 5z = – 10
∴ 3x + 41 – 5z + 10 = 0.

प्रश्न 27.
(A) समतल 3x + 4y – 7z = 84 के निर्देशाक्षों पर अन्तःखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल 3x + 4y – 7z = 84
⇒ \(\frac{3x}{84}\) + \(\frac{4y}{84}\) – \(\frac{7z}{84}\) = 1
⇒ \(\frac { x }{ (\frac { 84 }{ 3 } ) } \) + \(\frac { y }{ (\frac { 84 }{ 4 } ) } \) + \(\frac { z }{ (\frac { -84 }{ 7 } ) } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{28}\) + \(\frac{y}{21}\) + \(\frac{z}{(-12)}\) = 1
स्पष्ट है कि निर्देशाक्षों पर अन्त:खण्ड 28, 21 एवं -12 है।

(B) समतल 3x + 4y – 6z = 72 द्वारा निर्देशाक्षों से काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 27 (A) की भाँति हल कीजिए।
उत्तर: 24, 18, -12.

(C) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समान्तर है तथा Y एवं z अक्षों से 5 और 7 अन्तः खण्ड काटता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है –
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ………… (1)
चूँकि समतल (1)X – अक्ष के समान्तर है अत:
a = ∞
परन्तु दिया है b = 5, c = 7
∴ \(\frac { x }{ \infty } \) + \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1
⇒ \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1 [ \(\frac { x }{ \infty } \) = 0]
⇒ 7y + 5z = 35.

प्रश्न 28.
मूलबिन्दु से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न समतलों पर लम्ब हो –
x + 2y – 7 = 1; 3x – 4y + z = -5.
हल:
मूलबिन्दु 0(0, 0, 0) से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
a(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0)
ax + by + cz = 0 ………….. (1)
समतल (1) दिये गये समतलों
x + 2y – 2 = 1 तथा 3x – 4y + 2 = -5 पर लम्ब है।
a + 2b – c = 0 ………… (2)
3a – 4b + c = 0
प्राप्त सम्बन्धों (2) और (3) को हल करने पर,
∴ \(\frac{a}{2-4}\) = \(\frac{-b}{1+3}\) = \(\frac{c}{-4-6}\)
⇒ \(\frac{a}{-2}\) = \(\frac{-b}{4}\) = \(\frac{c}{-10}\)
⇒ \(\frac{a}{1}\) = \(\frac{b}{2}\) = \(\frac{c}{5}\) = k
∴ a = k, b = 2k, c = 5k जहाँ k ≠ 0
∴ समी. (1) से,
k(x + 2y + 5z) = 0,
∴ x + 2y + 5z = 0 (∵ k ≠ 0).

प्रश्न 29.
बिन्दुओं (2, 3, -4) एवं (1, -1, 3) से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समानान्तर है।
हल:
X – अक्ष के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
By + Cz + D = 0 ………… (1)
∵ समतल (1), बिन्दु (2, 3, -4) तथा (1, – 1, 3) से होकर जाता है।
∴ 3B – 4C + D = 0 …………. (2)
और -B + 3C + D = 0 ………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
\(\frac{B}{-4-3}\) = \(\frac{C}{-1-3}\) = \(\frac{D}{9-4}\)
⇒ \(\frac{B}{-7}\) = \(\frac{C}{-4}\) = \(\frac{D}{5}\) = k (माना)
⇒ ZB = -7k, C = -4k, D = 5k
अत: B, C व D के मान समी. (1) में रखने पर, समतल का अभीष्ट समीकरण है:
– 7ky – 4kz + 5k = 0
⇒ 7y + 4z – 5 = 0.

प्रश्न 30.
सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 तथा 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के बीच की दूरी \(\frac{1}{6}\) है।
हल:
दिये गये समतल 2x – 2y + z + 3 = 0 ……….. (1)
4x – 4y + 2z + 5 = 0 ………. (2)
d₁ = (0,0,0) से समतल (1) पर डाले गये लंब की लम्बाई

d₂ से समतल (2) पर डाले गये लंब की लम्बाई

अभीष्ट दूरी = d₁ – d₂
= 1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\).

प्रश्न 31.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + y + – 6 = 0 और 2x + 3y + 4x + 5 = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाता है और बिन्दु (1, 1, 1) से होकर गुजरता है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + y + z – 6 = 0 ……….. (1)
और 2x + 3y + 4z + 5 = 0 ………… (2)
समतल (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + y + z – 6) + 2(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ………. (3)
चूँकि समतल (3) बिन्दु (1, 1, 1) से होकर जाता है, तो
(1 + 1 + 1 – 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + λ(14) = 0
⇒ λ = \(\frac{3}{14}\)
समी. (3) में λ का मान रखने पर,
(x + y + z – 6) + \(\frac{3}{14}\) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
20x + 23y + 26z – 69 = 0.

प्रश्न 32.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + 2y + 3x – 5 और 2x – 4y + z = 3 की प्रतिच्छेदी रेखा से गुजरता है तथा बिन्दु (0, 1, 0) से होकर गुजरता है।
हल:
प्रश्न क्रमांक 31 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
3x – 2y + 4z + 2 = 0.

प्रश्न 33.
(A) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) से गुजरता है तथा सदिश 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
( \(\vec { r } \) – \(\vec { a } \) ).\(\vec { n } \) = 0 ………. (1)
यहाँ,
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
\(\vec { n } \) = 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समतल (1) से, ( \(\vec { r } \) – 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) – 12 + 2 + 3 = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 7.

(B) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिन्दु से 7 इकाई की दूरी पर है तथा सदिश 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
\(\vec { r } \).\(\hat { n } \) = P ……….. (1)
दिया है:
p = 7, \(\vec { n } \) = 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)

समतल (1) से,

⇒ \(\vec { r } \).(4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) = 7\(\sqrt{29}\)

(C) बिन्दु (2, -1, 3) की समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) ) + 15 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q से करने पर,
\(\vec { n } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) तथा
q = -15
माना बिन्दु \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
हम जानते हैं, बिन्दु \(\vec { a } \) से समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q की दूरी

= \(\frac{6-2-18+15}{7}\) = \(\frac{1}{7}\) इकाई।

(D) बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19 की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19
बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से दूरी = image 21
= \(\frac{-57}{13}\) = \(\frac{57}{13}\) (संख्यात्मक मान)।

प्रश्न 34.
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 तथा \(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 …………. (1)
\(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 ………….. (2)
यहाँ
\(\vec { n_{ 1 } } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\vec { n_{ 2 } } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \)
माना समतलों (1) व (2) के बीच का कोण θ है, तब

∴ θ = cos^-1 ( \(\frac { -5 }{ \sqrt { 58 } } \) ).

त्रि-विमीय ज्यामिति दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
बिन्दु (1, 6, 3) से रेखा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\) की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-0}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\)
रेखा पर स्थित एक बिन्दु A के निर्देशांक A(0,1, 2) है।
रेखा (1) के दिक् – अनुपात 1, 2, 3
अतः दिक्-कोज्याएँ हैं
\(\frac { 1,2,3 }{ \sqrt { 1+4+9 } } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
बिन्दु P(1, 6, 3) दी गई है।
∴ AM = AP का रेखा (1) पर डाला गया प्रक्षेप
= (x₂ – x₁)l + (y₂ – y₁)m + (z₂ – z₁)n


समकोण ∆PAM में,
PM² = AP² – AM²
= 27 – 14 = 13
∴ PM = \(\sqrt{13}\) इकाई।

प्रश्न 2.
समान्तर रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) ………… (1)
तथा \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) ……… (2)
रेखा (1) पर कोई बिन्दु P(1, 2, 3) है। अब हम बिन्दु P(1, 2, 3) से रेखा (2) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई PM ज्ञात करेंगे।

रेखा (2) बिन्दु A(2, 3, 4) से होकर जाता है।

रेखा PA का रेखा (2) पर प्रक्षेप = AM
∴ AM = (x₂ – x₁)l + (y₂ – y₁)m + (z₂ – z₁)n जहाँ l, m, n रेखा (2) की दिक् – कोज्यायें हैं।
⇒ AM = (2 – 1)l + (3 – 2)m + (4 – 3)n
⇒ AM = l + m + n

चूँकि रेखा (2) का दिक्-अनुपात 4, 6, 8 है।

अब ∆APM में,
PM² = Ap² – AM²

⇒ PM² = \(\frac{87-81}{29}\) = \(\frac{6}{29}\)
∴ PM = \(\sqrt { \frac { 6 }{ 29 } } \)

प्रश्न 3.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
A(x – α) + B(y – β) + C(2 – γ) = 0
यह रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) से जाता है।
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 …………. (1)
समतल बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है:
∴A(-6 – 3) + B(3 + 2) + C(2 – 4) = 0
⇒ -9A + 5B – 2C = 0
⇒ 9A – 5B + 2C = 0 ………… (2)
रेखा के दिक् अनुपात 2, 3, -1 हैं।
समतल पर अभिलम्ब के दिक् अनुपात A, B, C हैं:
∴ 2A + 3B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
9A – 5B + 2C = 0
2A + 3B – C = 0
\(\frac{A}{5-6}\) = \(\frac{B}{4+9}\) = \(\frac{C}{27+10}\)
⇒ \(\frac{A}{-1}\) = \(\frac{B}{13}\) = \(\frac{C}{37}\)
समी. (1) में मान रखने पर,
-1.(x – 3) + 13(y + 2) + 37(z – 4) = 0
⇒ -x + 3 + 13y + 26 + 37z – 148 = 0
⇒ -x + 13y + 37z – 119 = 0
⇒ x – 13y – 37z + 119 = 0.

प्रश्न 4.
सरल रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।(कार्तीय विधि से)
हल:
दी गयी रेखायें \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच कि न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) है।

दिया है,
x₁ = 3, y₁ = 8, z₁ = 3, x₂ = -3, y₂ = -7, z₂ = 6
a₁ = 3, b₁ = -1, c₁ = 1, a₂ = -3, b₂ = 2, c₂ = 4
प्रशानुसार: दी गयी रेखाओं के बीच की नुनथम दूरी

प्रश्न 5.
रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) = r
∴ x = 2r + 1, y = 3r + 2, z = 4r + 3
माना यह प्रतिछेद बिंदु है तो यह रेखा \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) को सन्तुष्ट करेगा।
∴ \(\frac{2r+1-2}{3}\) = \(\frac{3r+2-3}{4}\) = \(\frac{4r+3-4}{5}\)
⇒ \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\) = \(\frac{4r-1}{5}\) था \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\)
⇒ 8r – 4 = 9r – 3 ⇒ -4 + 3 = 9r – 8r
⇒ r = -1
∴ x = -2 + 1, y = -3 + 2, z = -4 + 3
⇒ x = -1, y = -1, z = -1
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (-1, -1, -1).

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि रेखायें x – 3 = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) और x – 4 = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) एक –
दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) ………… (1)
\(\frac{x-4}{1}\) = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) ……….. (2)
x₁ = 3, y₁ = -4, z₁ = 5, l₁ = 1, m₁ = -3, n₁ = 3
x₂ = 4, y₂ = -6, l₂ = 1, m₂ = 3, n₂ = -4
रेखायें प्रतिच्छेद करेंगे यदि image 31
⇒ 1(12 – 9) -1 (-36 + 33) + 1(27 – 33) = 0
⇒ 3 + 3 -6 = 0
⇒ 0 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें प्रतिच्छेद करती है।
पुनः समी. (1) से,
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) = r
रेखा पर स्थित कोई बिन्दु (r + 3,- 3r – 4, 3r + 5)
समी. (2) में मान रखने पर,
\(\frac{r-1}{1}\) = \(\frac{-3r-9}{3}\) = \(\frac{3r+11}{-4}\)
हल करने पर, r = -1
∴ प्रतिच्छेद बिन्दु = (-1 + 3, 3 – 4, -3 + 5) = (2, -1, 2).

प्रश्न 7.
रेखाओं \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखायें \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (2\(\hat { i } \) – \(\hat { i } \) ) + (4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { j } \) ) + (5\(\hat { k } \) – 3\(\hat { k } \) )
⇒ \(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)

= \(\hat { i } \)(15 – 16) – \(\hat { j } \)(10 – 12) + \(\hat { k } \)(8 – 9)
∴ \(\overrightarrow{b_{1}}\) × \(\overrightarrow{b_{2}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
अत: अभीष्ट न्यूनतम दूरी (S. D.)

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) + λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु को ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाएँ हैं:
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) – λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) ……… (1)
तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ, \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \); \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
तथा \(\overrightarrow{a_{2}}\) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ); \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \)
∴\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ) – ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
∴ अतः दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

⇒ 3(-3) + 9 = 0
⇒ 0 = 0
अतः दोनों रेखाएँ करती हैं।
चूँकि प्रतिच्छेदी बिन्दु पर समी. (1) व (2) से प्राप्त \(\vec { r } \) के मान समान होंगे, अतः

अतः \(\hat { i } \), \(\hat { j } \) व \(\hat { k } \) के गुणांकों की तुलना करने पर,
1 + 3λ = 4 + 2µ ……… (3)
1 – λ = 0 ……… (4)
तथा -1 = 3µ – 1
समी. (4) से 1 – λ = 0 ⇒ λ = 1 ……… (5)
समी. (5) से µ = 0
स्पष्टतः λ और µ के मान समी. (3) को सन्तुष्ट करते हैं। अतः समी. (1) में λ का (अथवा समी. (2) में µ का) मान रखने पर प्रतिच्छेद बिन्दु का स्थिति सदिश 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) या 4\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदी बिन्दु के निर्देशांक (4, 0, – 1) होंगे।

प्रश्न 9.
(A) दो रेखाएँ जिनके सदिश समीकरण –
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \) हैं।
उनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ………… (1)
⇒ \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{1}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) – (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) = -2\(\hat { i } \) – 11\(\hat { j } \) + 0\(\hat { k } \)

= \(\hat { i } \) (4 – 3) – \(\hat { j } \) (-2 – 1) + \(\hat { k } \) (-3 – 2) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 5\(\hat { k } \)

(B) निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए –
\(\vec { r } \) = (λ – 1)\(\hat { i } \) + (λ + 1)\(\hat { j } \) – (1 + λ)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 – µ)\(\hat { i } \) + (2µ – 1)\(\hat { j } \) + (µ + 2)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

(C) उन दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये जिनके सदिश समीकरण निम्न हैं –
तथा \(\vec { r } \) = (1 + 2λ)\(\hat { i } \) + (2 + 3λ)\(\hat { j } \) + (3 + 4λ)\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = (2 + 3µ)\(\hat { i } \) + (3 + 4µ)\(\hat { k } \) + (4 + 5µ)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 10.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x + 3y + 4 – 5 = 0 और 3x – 4y + 9x – 10 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाता है तथा समतल x + 2y = 0 पर लम्ब है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 3y + 4z – 5 = 0 …………. (1)
और 3x – 4y + 9z – 10 = 0 ……………. (2)
समतल (1) तथा (2) की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + 3) + 4z – 5) + λ(3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ (1 + 3λ).1 + (3 – 4λ).2 + (4 + 9λ).0 = 0
⇒ 1 + 3λ + 6 – 8λ = 0
⇒ λ = \(\frac{7}{5}\)
समी. (3) में 2 का मान रखने पर,
(x + 3y + 4z – 5) + \(\frac{7}{5}\) (3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ 26x – 13y + 83z = 95.

प्रश्न 11.
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल x – 2y + 2x = 3 के समान्तर हैं तथा उनकी बिन्दु (1, 2, 3) से लाम्बिक दूरी 1 है।
हल:
समतल x – 2y + 2z = 3 के समान्तर किसी समतल का समीकरण है:
x – 2y + 2z + λ = 0 ………. (1)
उपर्युक्त समतल पर बिन्दु (1, 2, 3) से डाले गये लम्ब की लम्बाई

प्रश्नानुसार, \(\frac { 3+\lambda }{ 3 } \) = ±1
⇒ λ + 3 = ±3
⇒ λ = 0, -6
अतः λ के मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समतलों के समीकरण हैं:
x – 2y + 2z = 0, x – 2y + 2z = 6.

प्रश्न 12.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2, 4) और (3, -4, 5) से गुजरता है तथा समतल x + y – 27 = 6 के लम्बवत् है।
हल:
बिन्दु (1, -2, 4) से जाने वाले समतल का समीकरण होगा:
A(x – 1) + B(y + 2) + C(z – 4) = 0 ………… (1)
समतल (1), बिन्दु (3, -4, 5) से होकर जाता है, अतः
A(3 – 1) + B(-4 + 2) + C(5 – 4) = 0
⇒ 2A – 2B + C = 0 …………. (2)
दिये गये समतल का समीकरण है:
x + y – 2z = 6 …………… (3)
समतल (1) और (3) लम्बवत् है, इसलिए इनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे।
A + B – 2C = 0 ………. (4)
समी. (2) और (4) से,
2A – 2B + C = 0
A + B – 2C = 0
⇒ \(\frac{A}{4-1}\) = \(\frac{B}{1+4}\) = \(\frac{C}{2+2}\) = k,
⇒ \(\frac{A}{3}\) = \(\frac{B}{5}\) = \(\frac{C}{4}\) (माना)
⇒ A = 3k, B = 5k, C = 4k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा:
3k(x – 1) + 5k(y + 2) + 4k(z – 4) = 0
⇒ 3x – 3 + 5y + 10 + 4z – 16 = 0
⇒ 3x + 5y + 42 – 9 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो कि (-1,1,1) तथा (1,-1,1) से जाता है तथा x + 2y + 2x = 9 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 12 (A) की भाँति स्वयं हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 2y – 3z + 3 = 0.

प्रश्न 13.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 1, -1) से गुजरता है तथा समतलों x + 2y + 3z = 7 तथा 2x – 3y + 4 = 0 पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण
A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0
⇒ A(x – 1) + B(y – 1) + C(z + 1) = 0 ………… (1)
दिये गये समतल
x + 2y + 3z = 7 ……….. (2)
2x-3y + 4z = 0 ………. (3)
समतल (1) समतलों (2) तथा (3) पर लम्ब है
∴ 1.A + 2.B + 3.C = 0
2.A – 3.B + 4.C = 0
\(\frac{A}{8+9}\) = \(\frac{B}{6-4}\) = \(\frac{C}{-3-4}\) = k
⇒ A = 17k, B = 2k, C = -7k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा –
17(x – 1) + 2(y – 1) – 7(z + 1) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – (17 + 2 + 7) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – 26 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 1, 4) से जाता है तथा समतलों 9x – 7y + 6z + 48 = 0 तथा x + y – z = 0 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 13 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: x + 15y + 16z = 81.

प्रश्न 14.
बिन्दुओं (2, 2, -1), (3, 4, 2) और (7, 0, 6) से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु (2, 2, -1) से होकर जाने वाले किसी समतल का समीकरण होगा –
A(x – 2) + B(y – 2) + C(z + 1) = 0 ………. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (3, 4, 2) व (7, 0, 6) से होकर जाता है अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(3 – 2) + B(4 – 2) + C(2 + 1) = 0
⇒ A + 2B + 3C = 0 ……….. (2)
तथा A(7 – 2) + B(0 – 2) + C(6 + 1) = 0
⇒ 5A – 2B + 7C = 0 …………. (3)
समी. (2) व (3) को हल करने पर,

⇒ A = 5k, B = 2k, C = -3k
A, B, C के इन मानों को समी. (1) में रखने पर,
5k(x – 2) + 2k(y – 2) + (- 3k)(z + 1) = 0
⇒ 5x + 2y – 3z – 17 = 0.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिये कि बिन्दु (0, -1, -1), (4, 5, 1), (3, 9, 4) तथा (-4, 4, 4) समतलीय हैं।
हल:
बिन्दु (0, -1, -1) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण होगा –
A(x – 0) + B(y + 1) + C(z + 1) = 0 ………….. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (4, 5, 1) व (3, 9, 4) से होकर जाता है। अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(4 – 0) + B(5 + 1) + C(1 + 1) = 0
⇒ 4A + 6B + 2C = 0
⇒ 2A + 3B + C = 0 ………….. (2)
तथा A(3 – 0) + B(9 + 1) + C(4 + 1) = 0
⇒ 3A + 10B + 5C = 0 …………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,

⇒ A = -5k, B = -7k, C = 11k
A, B, C के मानों को समी. (1) में रखने पर,
5x – 7(y + 1) + 11(z + 1) = 0
⇒ 5x – 7y + 11z + 4 = 0 ………. (4)
यदि यह समतल (-4, 4, 4) से जाता है तो समी. (4) को सन्तुष्ट करेगा
L.H.S. = 5(-4) – 7(4) + 11(4) + 4
= -20 – 28 + 44 + 4
= 0 = R.H.S.
अतः दिये गये बिन्दु समतलीय हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
एक चर समतल \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 मूलबिन्दु से इकाई दूरी पर है। यह निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर काटता है। केन्द्रक (x, y, z) समीकरण \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ y^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ z^{ 2 } } \) = k को सन्तुष्ट करता है, तो k का xy मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया समतल
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ……… (1)
OA = a, OB = b, OC = c
बिन्दुओं A, B, C के निर्देशांक क्रमशः (a, 0, 0), (0, b, 0) तथा (0, 0, c) हैं।
मूलबिन्दु से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 1 है।


दिया है –
x = \(\frac{a}{3}\), y = \(\frac{b}{3}\), z = \(\frac{c}{3}\)
⇒ a = 3x, b = 3y, c = 3z
a, b, c का मान समी. (2) में रखने पर,

स्पष्ट है कि k = 9.

प्रश्न 17.
समतलों x + 2y + 3x = 4 तथा 2x + y – x + 5 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो समतल 5x + 3y + 62 + 8 = 0 पर लम्ब हो।
हल:
दिया गये समतल
x + 2y + 3z = 4 ……….. (1)
2x + y – z + 5 = 0 ………… (2)
समतलों (1) और (2) के प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
x + 2y + 3z – 4 + λ(2x + y – z + 5) = 0
⇒ (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 – λ)z – 4 + 5λ = 0
यह समतल 5x + 3y + 6z + 8 = 0 पर लम्ब है
∴ 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) + 6(3 – λ) = 0
⇒ 10λ + 3λ – 6λ + 5 + 6 + 18 = 0
⇒ 7λ + 29 = 0
⇒ λ = \(\frac{-29}{7}\)
समी. (3) में मान रखने पर,
x + 2y + 3z – 4 – \(\frac{29}{7}\) (2x + y – z + 5) = 0
⇒ 7x + 14y + 21z – 28 – 58x – 29y + 29z – 145 = 0
⇒ -51x – 15y + 50z – 173 = 0
⇒ 51x + 15y – 50z + 173= 0.

प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा, \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{9}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
रेखा बिन्दु (3, -2, 4) से जाती है।
∴ बिन्दु (3, -2, 4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 ………. (1)
समतल (1) बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है,
-9A + 5B – 2C = 0 …………. (2)
रेखा के दिक्-अनुपात 2, 9, -1 हैं,
2A + 9B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
-9A + 5B – 2C = 10
2A + 9B – C = 0

A = k, B = -k, C = -7k
समी. (1) में मान रखने पर,अभीष्ट समतल का समीकरण,
k(x – 3) – k(y + 2) – 7k(z – 4) = 0
⇒ x – y – 7z – 3 – 2 + 28 = 0
⇒ x – y – 7z + 23 = 0.

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 और \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना रेखा का समीकरण है –
\(\vec { r } \) = \(\vec { a } \) + t\(\vec { b } \)
यहाँ \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
माना \(\vec { b } \) = b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ………. (1)
समतलों के समीकरण हैं –
\(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 ………………. (2)
तथा \(\vec { r } \) (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 …………. (3)
रेखा (1) और समतल (2) समान्तर हैं
∴ (b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
b₁ – b₂ + 2b₃ = 0 ………… (4)
रेखा (1) और समतल (3) समान्तर हैं
∴ (b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
3b₁ + b₂ + b₃ = 0 …………. (5)
समी. (4) और समी. (5) से,

\(\vec { b } \) के दिक् अनुपात –3, 5, 4 है।
अतः रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) + t(-3\(\hat { i } \) + 5\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखाओं \(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z+4}{c}\) ………. (1)
रेखाओं के समीकरण है:
\(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) ……….. (2)
\(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) ……… (3)
रेखा (1) और (2) लम्बवत् हैं
3a – 16b + 7c = 0 ……… (4)
रेखा (1) और (3) लम्बवत् हैं
3a + 8b – 5c = 0 …….. (5)
समी. (4) और (5) से,

\(\frac{a}{24}\) = \(\frac{b}{36}\) = \(\frac{c}{72}\)
\(\frac{a}{2}\) = \(\frac{b}{3}\) = \(\frac{c}{6}\) = k
a = 2k, b = 3k, c = -6k
बिन्दु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) के समान्तर रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 21.
एक सरल रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ क्रमश: कोण α, β, γ तथा δ बनाती है। सिद्ध कीजिए कि –
cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ = \(\frac{4}{3}\). (NCERT; म. प्र. 2005, 06)
हल:
a भुजा के घन की तीन संलग्न कोरों OA, OB और OC को निर्देशाक्ष लेने पर घन के शीर्षों के निर्देशांक निम्न प्रकार हैं:
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), R(0, 0, a)
D(a, a, 0), K(a, 0, a), L(0, a, a), P(a, a, a)
विकर्ण OP के दिक् अनुपात a – 0, a – 0, a – 0 अर्थात् a, a, a हैं।

OP की दिक् कोज्याएँ हैं:

अर्थात् \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
इसी प्रकार विक AL, BK तथा RD की दिक् कोज्याएँ

माना OP, BL, AK, CD के साथ क्रमशः α, β, γ, कोण बनने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ l, m, n हैं।

अतः cos² α + cos²β + cos²δ

यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 13 Limits and Derivatives

Limits and Derivatives Important Questions

Limits and Derivatives Short Answer Type Questions

Evaluate the following limits :

Question 1.

Solution:

Question 2.

Solution:

Question 3.

Solution:

Question 4.

Solution:

Question 5.

Solution:

Question 6.

Solution:

Question 7.

Solution:

Question 8.

Solution:

Question 9.
If = 405, then find the value of n.
Solution:

Question 10.
Find the value of :

Solution:

Question 11.

Solution:

Question 12.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.cos x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.cos x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)cos x + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x( – sin x) + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x[cos x – sin x].

Question 13.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.sin x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.sin x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)sin x + sin x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^xcos x + ^x.e^x
= e^x(cos x + sin x).

Question 14.
Differentiate sin(x + a) w.r.t. x.
Solution:
Let y = sin(x + a)
y = sin x cos a + cos x sin a
∴\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sin x cos a + cos x sin a)
= cos a\(\frac { d }{ dx }\) sin x + sin\(\frac { d }{ dx }\)cos x
= cos a cos x – sin a sin x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cos(x + a).

Question 15.
Differentiate cosecx.cotx w.r.t. x.
Solution:
Let y = cosec x. cot x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[cosec x. cot x]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cot x\(\frac { d }{ dx }\) cosec x + cosec x\(\frac { d }{ dx }\) cot x
= – cot xcosec x cot x – cosec x.cosec² x
\(\frac { dy }{ dx }\) = – cosec x[cot² x + cosec² x].

Question 16.
Differentiate \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\)

Question 17.
Differentiate \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\)

Question 18.
Differentiate sinⁿ x w.r.t. x.
Solution:
Let y = sinⁿ x
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sinⁿ x )
Put sin x = t,
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)tⁿ = \(\frac { d }{ dt }\)tⁿ. \(\frac { dt }{ dx }\) = n sin^{n – 1}\(\frac { d }{ dx }\)(sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = n sin^{n – 1}x cos x.

Limits and Derivatives Long Answer Type Questions

Question 1.
Let f(x) =
, then find the value of a and b.
Solution:

Question 2.
Find the value of , where

Solution:

Question 3.
f(x) is defined such that
and is exist x = 2, then find the value of k.
Solution:

Question 4.
If the function f(x) satisfies= π, then find the value of
Solution:

Question 5.
Find the differential coefficient of the following functions by using first principle method :
(i) sin(x + 1), (ii) cos(x – \(\frac { π }{ 8 }\),
Solution:
(i) Let f(x) = sin(x + 1)
∴ f(x + h) = sin[x + h + 1]
By definition of first principle,

By definition of first principle,

Find the differential coefficient of the following functions

Question 6.
(ax² + sin x)(p + q cos x). (NCERT)
Solution:
Let y = (ax² + sin x)(p + q cos x).
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(ax² + sin x)(p + q cos x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(ax² + sin x) + (ax² + sin x)\(\frac { d }{ dx }\) (p + q cos x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)(2a + cos x) + (ax² + sin x)(0 – q sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = – q sin x(ax² + sin x) + (p + q cos x)(2a + cos x)

Question 7.
(x + cos x)(x – tan x) (NCERT)
Solution:
Let y = (x + cos x)(x – tan x)
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(x + cos x)(x – tan x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)\(\frac { d }{ dx }\)(x + cos x) + (x + cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(x – tan x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(sec² x – 1)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) – tan² x(x + cos x)

Question 8.
\(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)

Question 9.
\(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)
Solution:
Let y = \(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)

Question 10.
\(\frac { x }{ 1 + tan x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { x }{ 1 + tan x}\)

Question 11.
Find the differential coefficient of \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)
Solution:
Let y = \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)

Question 12.
If y = \(\frac { x }{ x + 4 }\), then prove that:
x\(\frac { dy }{ dx}\) = y(1 – y)
Solution:
Given : y = \(\frac { x }{ x + 4 }\)

Question 13.
If y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), then prove that : 2x\(\frac { dy }{ dx}\) + y – 2 \(\sqrt {x}\) = 0
Solution:
Given : y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Question 14.
Find the differential coefficient of \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
Solution:
Let y = \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a + cos x sin a }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a }{ cos x }\) + \(\frac { cos x + sin a }{ cos x }\)
⇒ y = cos a tan x + sin a
∴ \(\frac { dy }{ dx}\) = \(\frac { d }{ dx}\)(cos a tan x + sin a)
= cos a \(\frac { d }{ dx}\) tan x + \(\frac { d }{ dx}\) sin a
= cos a x sec² x + 0
= sec²x. cos a.

Question 15.
If f(x) = \(\frac { { x }^{ 100 } }{ 100 } +\frac { { x }^{ 99 } }{ 100 }\)+……..\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }\) + x +1, then prove that:
f'(1) = 100 f'(0). (NCERT)
Solution:
Put x = 1, we get
f'(1) = 1 + 1 + ………. 1 + 1 (100 times)
f’(1) = 100 …. (1)
Put x = 0, we get
f'(0) = 0 + 0 + ……… 0 + 1
f’(0) = 1 …. (2)
From equation (1) and (2),
f'(1) = 100 f'(0).

Question 16.
Find the differential coefficient of cos x by first principle method. (NCERT)
Solution:
Let f(x) = cosx
∴ f(x + h) = cos(x + h)
By definition of first principle

Question 17.
Find the differential coefficient of f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\) by first principle method.
Solution:
Given : f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\)
f(x + h) = \(\frac { x + h + 1}{ x + h – 1 }\)
By definition of first principle,

MP Board Class 11th Maths Important Questions