Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिसकी त्रिज्याएँ 1 cm है तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबार है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है: r = 1 cm त्रिज्या वाले अर्द्ध गोले पर उसी आधार त्रिज्या का एक शंकु जिसकी ऊँचाई h = r = 1 cm है।
चूँकि संयुक्त ठोस का आयतन = अर्द्ध गोले का आयतन + शंकु का आयतन

अतः, ठोस का अभीष्ट आयतन = π cm³ है

प्रश्न 2.
एक इन्जीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली ऐलुमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया, जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक तथा बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।
हल :

ज्ञात है : 12 cm लम्बा एक बेलनाकार मॉडल जिसके दोनों सिरों पर h’ = 2 cm ऊँचाई के शंकु। शंकु एवं बेलन के व्यास d = 3 cm
अर्थात् उनकी त्रिज्याएँ r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm हैं।
बेलन की ऊँचाई h = 12 – 2 x 2
= 12 – 4
= 8 cm
मॉडल का आयतन (धारिता) = बेलन का आयतन + 2 x शंकु का आयतन
= πr²h + 2 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h’
= हवा का आयतन
मॉडल का धारिता

अतः, मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का अभीष्ट आयतन = 66 cm³ है।

प्रश्न 3.
एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चासनी है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चासनी होगी यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्ध गोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm एवं व्यास 2.8 cm है (देखिए सलंग्न आकृति)।
हल :

5 cm लम्बे तथा d= 2.8 cm व्यास वाले 45 ऐसे बेलनाकार गुलाबजामुन जिसके सिरे उसी व्यास के अर्द्ध गोलाकार हैं। गुलाबजामुनों में उनके आयतन का 30% चीनी की चासनी है। बेलनाकार भाग का व्यास = अर्द्धगोलाकार भाग का व्यास
d = 2.8 cm
बेलन एवं अर्द्ध गोले की त्रिज्याएँ r = \(\frac { 2.8 }{ 2 }\) = 1.4 cm
बेलनाकार भाग की लम्बाई h = 5 cm – 2 x 1.4 cm
= 2.2 cm
एक गुलाबजामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2 x अर्द्ध गोले का आयतन

अतः, चासनी का अभीष्ट आयतन = 338 cm³ (लगभग) है।

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है, जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान की लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए संलग्न आकृति)।
हल :

दिया है : घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm जिसमें 4 शंक्वाकार गड्ढे प्रत्येक h = 1.4 cm गहरे तथा त्रिज्या r = 0.5 cm के हैं।
घनाभ का कुल आयतन = 15 cm x 10 cm x 3.5 cm
V1 = 525 cm³
4 शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h
V2 = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.5)² x 1.4 cm³
= \(\frac { 4.4 }{ 3 }\) cm³
= 1.47 cm³
लकड़ी का आयतन = V = V1 – V2
= 525 – 1.47
= 523.53 cm³
अतः, लकड़ी का अभीष्ट आयतन = 523.53 cm³ है।

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिसमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें भरे हुए पानी का \(\frac { 1 }{ 4 }\) भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गयी सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
शंक्वाकार बर्तन के ऊपरी तल की त्रिज्या r = 5 cm तथा इसकी ऊँचाई h = 8 cm दी है। मान लीजिए, सीसे की n गोलियाँ जिनमें प्रत्येक त्रिज्या r’ = 0.5 cm की गोलाकार गोली है डालने पर पूरे भरे बर्तन के पानी का \(\frac { 1 }{ 4 }\) आयतन बाहर निकल जाता है। प्रश्नानुसार,
n गोलियों का आयतन = \(\frac { 1 }{ 4 }\) शंक्वाकार बर्तन का आयतन (धारिता)

अतः, सीसे की गोलियों की अभीष्ट संख्या = 100 है।

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान 8g होता है (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

एक लोहे का स्तम्भ दो बेलनों के संयोग से बना है जिसमें r₁ = \(\frac { 24 }{ 2 }\) = 12 cm,
h₁ = 220 cm, r₂ = 8 cm एवं h₂ = 60 cm दिए हैं।
∵ V₁ = πr₁²h₁
= π(12)² x 220
= 31680 π
∵ V₂ = πr₂²h₂
= π(8)² x 60
= 3840 π
कुल आयतन = 31680 π + 3840 π
= 35520 π
V = 35520 x 3.14
= 111532.8 cm³.
लोहे का द्रव्यमान = आयतन (cm³ में) x द्रव्यमान (g/cm³ में)
M = (111532.8 x 8)g = 892262.4 g
= 892.2624 kg
= 892.26 kg (लगभग)
अतः, लोहे का अभीष्ट द्रव्यमान = 892.26 kg (लगभग) है।

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंक सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्बवृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है, तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। हल :

मान लीजिए h = 180 cm ऊँचे तथा r = 60 cm त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में जल भरा है, जिसमें एक ठोस जो r = 60 cm त्रिज्या वाले अर्द्धगोले पर r = 60 cm त्रिज्या तथा h’ = 120 cm ऊँचाई का एक शंकु से मिलकर बना है, डाला जाता है जिसमें उसके आयतन के बराबर जल बाहर निकल जाता है।
∵ बेलन का आयतन = πr²h
= π(60)² x 180
V1 = 648000 π cm³
= 0.648 π m³
शंकु का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h’
= π(60)² x 120
V2 = 144000 π cm³
= 0.144 π m³
अर्द्धगोलीय ठोस का आयतन = \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
= \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (60)³
V3 = 144000 π cm³
= 0.144 π m³.
ठोस का आयतन = V2 + V3
= 0.144 π m³ + 0.144 π m³
(V2 + V3) = 0.288π m³.
शेष जल का आयतन = बेलन का आयतन – ठोस का आयतन
= V1 – (V2+V3)
= 0.648π – 0.2881
= 0.360π m³
= 0.360 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) m³
= 1.131 m³.
अतः, बेलनाकार बर्तन में अवशेष जल का आयतन = 1.131 m³ (लगभग) है।

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलनाकार गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी का मात्रा मापकर एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं। यह मानते हए कि उपरोक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14 है।
हल :
गोलाकार भाग का व्यास 2R = 8.5 cm
R = \(\frac { 8.5 }{ 2 }\)
एवं बेलनाकार भाग का व्यास 2r = 2 cm
r = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm
गोलाकार भाग का आयतन

बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h = 3.14 x (1)² x 8
V2 = 25.12 cm³
कुल आयतन V = V1+V2
= 321.39 + 25.12 .
= 346.51 cm³
अतः, बच्चे का उत्तर सही नहीं है क्योंकि सही आयतन 346.51 cm³ है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी वर्षा जल संग्रहण तन्त्र में, 22 m x 20 m की छत से वर्षा-जल बहकर 2 m आधार के व्यास तथा 3.5 m ऊँचाई के एक बेलनाकार टैंक में आता है। यदि टैंक भर गया हो, तो ज्ञात कीजिए कि सेमी में कितनी वर्षा हुई? जल संरक्षण पर अपने विचार व्यक्त कीजिए।
हल :
मान लीजिए वर्षा x cm हुई। छत की विमाएँ 22 m x 20 m दी हैं तथा दिए हुए बेलनाकार टैंक का व्यास d = 2r = 2 m ⇒ r = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 m तथा ऊँचाई h = 3.5 m दी है।
∵ वर्षा जल का आयतन = बेलनाकार टैंक का आयतन
⇒ छत की विमाएँ x वर्षा जल की ऊँचाई = πr²h.
= 22 m x 20 m x \(\frac { x }{ 100 }\) m
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)² x 3.5
= \(x=\frac{22}{7} \times \frac{1 \times 3 \cdot 5 \times 100}{22 \times 20}\)
= 2.5
अतः अभीष्ट वर्षा कुल 2.5 cm हुई।
जल संरक्षण : विज्ञान में हमारे संसाधनों का प्रबन्धन’ अध्याय देखिए।

प्रश्न 2.
एकठोस लोहे के घनाभ की विमाएँ 4.4 m x 2.6 m x 1.0 m हैं। इसे पिघलाकार 30 cm आन्तरिक त्रिज्या और 5 cm मोटाई का एक खोखला बेलनाकार पाइप बनाया गया है। पाइप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए खोखले बेलनाकार पाइप की लम्बाई = h cm है।
पाइप की मोटाई x = 5 cm तथा आन्तरिक त्रिज्या r_i = 30 cm
⇒ पाइप की बाह्य त्रिज्या r₀ = r_i + x = 30 + 5 = 35 cm
तथा ठोस लोहे के घनाभ की विमाएँ दी हैं।
4.4 m x 2.6 m x 1.0 m
⇒ 440 cm x 260 cm x 100 cm
ठोस घनाभ का आयतन V = 440 x 260 x 100 cm³ ….(1)
बेलनाकार पाइप का आयतन


अतः, बेलनाकार पाइप की अभीष्ट लम्बाई = 112.00 m है।

प्रश्न 3.
5.4m चौड़ी और 18 m गहरी एक नहर में पानी 25 km/h की गति से बह रहा है। इसमें 40 मिनट में कितने क्षेत्रफल की सिंचाई हो सकती है, यदि सिंचाई के लिए 10 cm गहरे पानी की आवश्यकता है?
हल :
दिया है : नहर की चौड़ाई b = 5.4 m, गहराई h = 1.8 m एवं जल की गति 25 km/h तथा धारा प्रवाह का समय 40 मिनट = \(\frac { 40 }{ 60 }\) घण्टे = \(\frac { 2 }{ 3 }\) घण्टे।
\(\frac { 2 }{ 3 }\) घण्टे में जल प्रवाह की लम्बाई l = 25 km/h x \(\frac { 2 }{ 3 }\) h
\(=\frac{50}{3} \mathrm{km}=\frac{50,000}{3} \mathrm{m}\)
∴ नहर में प्रवाहित कुल जल का आयतन

मान लीजिए सिंचाई हेतु क्षेत्र का क्षेत्रफल = A m²
तो क्षेत्र को सिंचाई के लिए आवश्यक जल का आयतन
⇒ V₂ = A × x (जहाँ x = 10 cm = 0.10 m दिया है)
⇒ V₂ = A × 0.10 = 0.10 A m² …(2)
∵ क्षेत्र की सिंचाई के लिए आवश्यक जल का आयतन = नहर द्वारा उस समय में उपलब्ध जल का आयतन
⇒ 0.10 A = 162000 [समी. (1) एवं (2) से]
⇒ \(A=\frac{162000}{0 \cdot 10}=1620000 \mathrm{m}^{2}\)
= 162
हेक्टेयर अतः, सिंचाई किए जा सकने वाले अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल = 1620000 m² अथवा 162 हेक्टेअर है।

प्रश्न 4.
एक ठोस धातु के बेलन के दोनों किनारों से उसी व्यास के अर्द्धगोले के रूप में धातु निकाली गयी। बेलन की ऊँचाई 10 cm तथा आधार की त्रिज्या 4.2 cm है। शेष बचे बेलन को पिघलाकर 1.4 cm मोटी बेलनाकार तार बनायी गयी। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac { 22 }{ 7 }\) लीजिए।)
हल :

दिया है: एक बेलनाकार धातु का ठोस जिसकी ऊँचाई h = 10 cm तथा आधार की त्रिज्या r = 4.2 cm है तथा इसके दोनों सिरों से एक अर्द्धगोला त्रिज्या 4.2 cm का काटकर निकाल दिया गया है। शेष भाग को पिघलाकर एक 1.4 cm मोटी अर्थात् व्यास d = 2r’ = 1.4 cm
⇒ r’ = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm त्रिज्या का तार बनाया गया है। मान लीजिए तार की लम्बाई l cm है, तो
तार का आयतन = πr’²l = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.7)² l
⇒ V = 1.54 l cm³ ..(1)
बेलन का आयतन V₁ = πr²h = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (4.2)² x 10
⇒ V₁ = 22 x 2.52 x 10
= 554.4 cm³.
दो अर्द्धगोलों का आयतन V₂ = 2 x \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
⇒ \(V_{2}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(4 \cdot 2)^{3}=\frac{6519 \cdot 744}{21}\)
⇒ V₂ = 310.464 cm³
शेष बेलन का आयतन V = V₁ – V₂
⇒ V = 554.4 – 310.464
= 243.936 cm³ …(2)
⇒ 1.54 l = 243.936 [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ l = \(\frac { 243.963 }{ 1.54 }\)
= 158.4 cm
= 1.584 m
अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 158.4 cm अर्थात् 1.584 m है।

प्रश्न 5.
एक अर्द्धगोलीय बर्तन का आन्तरिक व्यास 36 cm है। वह तरल पदार्थ से भरा है। इस तरल को 72 बेलनाकार बोतलों में डाला गया है। यदि एक बेलनाकार बोतल का व्यास 6 cm हो, तो प्रत्येक बोतल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जबकि इस क्रिया में 10% तरल गिर जाता है।
हल :
दिया है : एक अर्द्ध गोलीय बर्तन का व्यास d = 2r = 36 cm
r = \(\frac { 36 }{ 2 }\) = 18 cm.
इस बर्तन में भरे तरल के आयतन का 10% भाग बोतल भरने में गिर जाता है। एक बोतल का व्यास d = 2r’ = 6 cm
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm तथा बोतलों की संख्या n = 72 है।
मान लीजिए कि प्रत्येक बोतलों में तरल h ऊँचाई तक भरा जाता है।
∴अर्द्ध गोलाकार बर्तन में भरे तरल का आयतन V₁ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
⇒ V₁ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (18)³
= 3888 π
गिरने वाले तरल का आयतन = 10% V₁
⇒ V₂ = \(\frac { 10 }{ 100 }\) x 3888 π
= 388.8 π
शेष तरल का आयतन V = V₁ – V₂
= 3888 π – 388.8 π
⇒ V = 3499.2 π …..(1)
n बोतलों के तरल का आयतन = n x πr’² h
⇒ V = 72 x π x (3)²h
= 648 πh …(2)
⇒ 648 πh = 3499.2 π [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ h = \(\frac { 3499.2 }{ 648 }\)
= 5.4 cm
अतः, बोतलों में तरल की अभीष्ट ऊँचाई = 5.4 cm है।

प्रश्न 6.
10 cm भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्ध गोला रखा हुआ है। अद्ध गोल का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र को पेंट करवाने का Rs 5 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

दिया है: a = 10 cm भुजा वाला एक घनाकार ब्लॉक जिसके ऊपरी तल पर एक अधिकतम व्यास का अर्द्ध गोला रखा है।
⇒ अर्द्ध गोले का अधिकतम व्यास d = घन की भुजा a = 10 cm
⇒ अर्द्ध गोले की त्रिज्या = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm
घन के ऊपरी तल पर r = 5 cm त्रिज्या का एक वृत्ताकार भाग अर्द्ध गोले से ढका है।
चूँकि घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल S_w = 6a²
S_w = 6(10)²
= 600 cm²
वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल A = πr² = π(5)² = 25π cm²
अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_C = 2πr²
= 2π(5)²
S_C = 50 π cm²

दिए संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ
S = घन का सम्पूर्ण पृष्ठ + अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= S_w + S_C – A
= 600 + 50π – 25π
= 600 + 25π
= 600 + 25 x 3.14
= (600 + 78.50) cm²
S = 678.5 cm²
रंग करवाने का व्यय = क्षेत्रफल x दर
व्यय = 678.5 x \(\frac { 5 }{ 100 }\)
= Rs 33.93
अतः, अर्द्धवृत्त का अधिकतम व्यास = 10 cm
एवं ठोस पर रंग करवाने का कुल व्यय = Rs 33.93 है।

प्रश्न 7.
धातु के 3.5 cm व्यास तथा 3 cm ऊँचे 504 शंकुओं को पिघलाकर एक धात्विक गोला बनाया गया है। गोले का व्यास ज्ञात कीजिए। अतः इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : 504 ठोस शंकु जिनमें प्रत्येक का व्यास d = 2r = 3.5 = \(\frac { 7 }{ 2 }\) = cm
r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm तथा ऊँचाई h = 3 cm. इनको पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया गया है। मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R cm है, तो
गोले का आयतन V = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πR³ ….(1)
एवं , 504 शंकुओं का आयतन

गोले का आयतन = 504 शंकुओं का आयतन

अतः, गोले का अभीष्ट व्यास = 21 cm एवं उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 8.
अचानक बाढ़ आने पर कुछ कल्याणकारी संस्थाओं ने मिलकर सरकार को उसी समय 100 टैंट लगवाने के लिए कहा तथा इस पर आने वाले खर्च का 50% देने की पेशकश की। यदि प्रत्येक टेंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसका व्यास 4.2 m है तथा ऊँचाई 4 m है तथा ऊपरी भाग उसी व्यास का शंकु है जिसकी ऊँचाई 2.8m है, और इस पर लगने वाले कैनवास की लागत Rs 100 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए कि इन संस्थाओं को कितनी राशि देनी होगी? इन संस्थाओं द्वारा किन मूल्यों का प्रदर्शन किया गया?
हल :

ज्ञात है टैंट का निचला भाग, व्यास d = 2r = 4.2 m
r = \(\frac { 4.2 }{ 2 }\) = 2.1
अर्थात् त्रिज्या r = 2.1 m का एक बेलन जिसकी ऊँचाई h₁ = 4 m
एवं ऊपरी भाग r = 2.1 m की त्रिज्या तथा ऊँचाई h₂ = 28 m का
एक शंकु l मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l m है।

बेलनाकार भाग का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C1 = 2πrh
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.1 x 4
= 52.8 m²
एवं शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C2 = πrl
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.1 x 3.5
= 23.1 cm²
टेंट के कैनवास का कुल क्षेत्रफल = S_C = S_C1 + S_C2
S_C = 52.8 + 23.1 = 75.9 m²
100 टैंटों के लिए आवश्यक कैनवास का कुल क्षेत्रफल
= 100 x 75.9
= 7590 m²
कुल व्यय = कैनवास का क्षेत्रफल – दर
= 7590 x 100
= Rs 759000
संस्थाओं की हिस्सेदारी = 50% x Rs 759000
= Rs \(\frac { 50 }{ 100 }\) x 759000
= Rs 379500
अतः, संस्थाओं को Rs 379500 की धनराशि देनी होगी तथा ये संस्थाएँ मानवीय मूल्यों का प्रदर्शन कर रही हैं।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में एक टैंट बेलन के ऊपर लगे उसी व्यास वाले शंकु के आकार का है। बेलनाकार भाग की ऊँचाई तथा व्यास क्रमश: 2.1 m तथा 3 m हैं तथा शंक्वाकार भाग की तिरछी ऊँचाई 2.8 m है। टैंट को बनाने में लगे कैनवास का मूल्य ज्ञात कीजिए, यदि कैनवास का भाव Rs 500 प्रति वर्ग मीटर है।
हल :

मान लीजिए टैंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसकी ऊँचाई h = 2.1 m तथा व्यास d = 2r = 3 m है। अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) m है एवं ऊपरी शंक्वाकार भाग का व्यास बेलनाकार भाग के व्यास के बराबर अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) m है तथा त्रिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m है।
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
\(S_{C_{1}}=2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times 2 \cdot 1=19 \cdot 8 \mathrm{m}^{2}\)
एवं शंक्वाकार भाग का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
\(S_{C_{2}}=\pi r l=\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times 2 \cdot 8=13 \cdot 2 \mathrm{m}^{2}\)
टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_C = S_C1 + S_C2
⇒ S_C = 19.8 + 13.2
= 33 m²
कैनवास का क्षेत्रफल = टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 33 m²
कैनवास का कुल मूल्य = कैनवास का क्षेत्रफल x दर (भाव)
= 33 x 500
= Rs 16,500
अतः, कैनवास का अभीष्ट मूल्य = Rs 16,500 है।

प्रश्न 10.
एक शंक्वाकार बर्तन, जिसके आधार की त्रिज्या 5 cm तथा ऊँचाई 24 cm है, पानी से पूरा भरा है। उस पानी को एक बेलनाकार बर्तन, जिसकी त्रिज्या 10 cm है, में डाल दिया जाता है। बेलनाकार बर्तन में कितनी ऊँचाई तक पानी भर जायेगा?
हल :
मान लीजिए कि शंक्वाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या r1 = 5 cm तथा ऊँचाई h1 = 24 cm है यह पूरा पानी से भरा है तथा इसका पानी एक बेलनाकार बर्तन जिसकी त्रिज्या r2 = 10 cm है में डाल . दिया जाता है। पुनः मान लीजिए कि बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर की अभीष्ट ऊँचाई h2 cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलनाकार बर्तन में पानी का आयतन = शंक्वाकार बर्तन की धारिता

अतः, बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर की अभीष्ट ऊँचाई = 2 cm है।

प्रश्न 11.
12 cm व्यास वाला एक गोला, एक लम्ब वृत्तीय बेलनाकार बर्तन में डाल दिया जाता है, जिसमें कुछ पानी भरा है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूब जाता है, तो बेलनाकार बर्तन में पानी का स्तर \(3\frac { 5 }{ 9 }\) सेमी ऊँचा उठ जाता है। बेलनाकार बर्तन का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए D = 12 cm व्यास अर्थात् R = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm त्रिज्या वाला एक गोला एक बेलनाकार बर्तन जिसका व्यास d cm है में डाला जाता है, जिसमें कुछ पानी भरा है। पानी का स्तर h = \(3\frac { 5 }{ 9 }\) cm = \(\frac { 32 }{ 9 }\) cm बढ़ जाता है। बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या r = \(\frac { d }{ 2 }\), है।
चूँकि बेलनाकार बर्तन में बढ़े हुए जल स्तर का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलनाकार बर्तन का अभीष्ट व्यास = 18 cm है।

प्रश्न 12.
किसी राज्य में भारी बाढ़ के कारण हजारों लोग बेघर हो गए। 50 विद्यालयों ने मिलकर राज्य सरकार को 1500 टैंट लगाने के लिए स्थान तथा कैनवास देने का प्रस्ताव किया जिसमें प्रत्येक विद्यालय बराबर का अंशदान देगा। प्रत्येक टैंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसके आधार की त्रिज्या 2.8 m तथा ऊँचाई 3.5m है। प्रत्येक टैंट का ऊपरी भाग शंकु के आकार का है। जिसके आधार की त्रिज्या 2.8m तथा ऊँचाई 2.1m है। यदि टैंट बनाने वाले कैनवास का मूल्य Rs 120 प्रति वर्ग मीटर है, तो प्रत्येक विद्यालय द्वारा कुल व्यय में अंशदान ज्ञात कीजिए। इस प्रश्न का कौन-सा मूल्य जनित होता है?
हल :

मान लीजिए टैंट का निचला भाग त्रिज्या r1 = 2.8 m एवं ऊँचाई h1 = 3.5 m का बेलन है तथा ऊपरी भाग त्रिज्या r2 = 2:8 m एवं ऊँचाई h2 = 2.1 m का शंकु है और मान लीजिए शंकु की त्रिर्यक ऊँचाई l m है, तो

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c1 = 2πr₁h₁
= 2π x 2.8 x 3.5
S_c1 = 19.6 π m²
एवं शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c2 = πrl
= π x 2.8 x 3.5 .
S_c1 = 9.8 π m²
टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c = S_c1 + S_c2
= 19.6 π + 9.8 π
= 29.47 π
= 29.4 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) m²
S_c = 92.4 m² = कैनवास का क्षेत्रफल
1500 टैंटों के लिए आवश्यक कैनवास का कुल क्षेत्रफल
= 1500 x 92.4 m²
= 138600.0 m²
कुल व्यय = कैनवास का क्षेत्रफल – दर
= 138600 x 120
= Rs 16632000
प्रत्येक विद्यालय का व्यय में अंशदान

= Rs 3,32,640
अतः, प्रत्येक विद्यालय द्वारा कुल व्यय में अभीष्ट अंशदान = Rs 3,32,640 है।

प्रश्न 13.
तीन ठोस गोले जिनके व्यास क्रमशः 2 cm. 12 cm और 16 cm हैं. पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया गया। इस प्रकार बने ठोस गोले का अर्द्धव्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ,
2R₁ = 2 cm
⇒ R₁ = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm
2R₂ = 12 cm
⇒ R₂ = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6cm
2R₃ = 16 cm
⇒ R₃ = \(\frac { 16 }{ 2 }\) = 8 cm
माना गोले का अर्द्धव्यास = R cm हो, तो
प्रश्नानुसार,

= (1)³ + (6)³ + (8)³
= 1 + 216 + 512
R³ = 729 = (9)³
R = 9 cm
अतः, गोले की अभीष्ट त्रिज्या (अर्द्धव्यास) = 9 cm है।

प्रश्न 14.
एक 8 cm व्यास वाले धातु के बेलन को पिघलाकर 12 cm व्यास वाले कितने गोले बनाए जा सकते हैं? बेलन की ऊँचाई 90 cm है।
हल :
ज्ञात है : बेलन का व्यास d = 8 cm
r = 8/2 = 4 cm, ऊँचाई h= 90 cm, गोले का व्यास D = 12 cm
⇒ गोले की त्रिज्या R = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
मान लीजिए बनाए गए गोले की संख्या = n प्रश्नानुसार,
∵ n गोलों का आयतन = बेलन का आयतन
⇒ n x \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³ = π(r)² x h
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\)nR³ = r²h
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\)n x (6)³ = (4)² x 90
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) x 216 n = 16 x 90
⇒ \(n=\frac{16 \times 90 \times 3}{4 \times 216}=5\) गोले
अतः, अभीष्ट गोलों की संख्या = 5 है।

प्रश्न 15.
6 cm व्यास के एक लोहे के गोले को पिघलाकार उससे एक बेलनाकार तार खींचा गया है। यदि तार का व्यास 0.2 cm हो, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : गोले का व्यास D = 2R = 6 cm ⇒ R = \(\frac { 6 }{ 2 }\) cm = 3 cm
बेलनाकार तार का व्यास d = 2r = 0.2 cm
⇒ r = \(\frac { 0.2 }{ 2 }\) cm = 0.1 cm मान लीजिए कि बेलनाकार तार की लम्बाई = l cm
तो प्रश्नानुसार,
तार का आयतन = गोले का आयतन
⇒ πr²l = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πR³
⇒ (0.1)²l = \(\frac { 4 }{ 3 }\)(3)³
⇒ 0.01 l = 4 x 9 = 36
⇒ l = \(\frac { 36 }{ 0.01 }\)
= 3600 cm
= 36.00 m
अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 36 m है।

प्रश्न 16.
एक रॉकेट लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का है जिसका निचला सिरा बन्द है तथा ऊपरी सिरे पर एक शंकु है जिसकी त्रिज्या बेलन की त्रिज्या के बराबर है। बेलन का व्यास एवं उसकी ऊँचाई क्रमशः 6 cm एवं 12 cm है। यदि शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई 5 cm हो, तो रॉकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है: एक बेलनाकार रॉकेट जिसका व्यास d = 2r = 6
⇒ r = \(\frac { 6 }{ 2 }\) cm
= 3 cm एवं ऊँचाई h1 = 12 cm जिसका निचला सिरा बन्द है तथा ऊपरी सिरे पर शंकु त्रिज्या r = 3 cm तथा तिर्यक ऊँचाई l = 5 cm है, जुड़ा है। मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h2 cm है, तो

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = π x 3 x 5 = 15π cm²
बेलनाकार वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh₁
= 2 x π x 3 x 12
= 72π cm²
आधार का क्षेत्रफल = πr² = π x (3)² = 9π cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 15π + 72π + 9π = 96 π cm²
= 96 x 3.14
= 301.44 cm²
शंक्वाकार भाग का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{2}=\frac{1}{3}(3)^{2} \times 4 \times \pi\)
= 12π cm³
बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h₁ = π x (3)² x 12
= 108π cm³
रॉकेट का कुल आयतन = 12π + 108π
= 120π cm³
= 120 x 3.14
= 376.8 cm³
अतः रॉकेट का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 301.44 cm²
एवं अभीष्ट आयतन = 376.8 cm³ है।

प्रश्न 17.
8 cm त्रिज्या वाला एक ठोस अर्द्ध गोला पिघलाकर उसे एक लम्ब वृत्तीय शंक में ढाला गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या 6 cm हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
ठोस अर्द्ध गोले की त्रिज्या R = 8 cm, दी है, इसको पिघलाकर एक आधार त्रिज्या r = 6 cm वाले
शंकु में ढाला गया है। मान लीजिए कि शंकु की ऊँचाई h cm है,
तो प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन = अर्द्ध गोले का आयतन

अतः, शंकु की अभीष्ट ऊँचाई = 28.44 cm (लगभग) है।

प्रश्न 18.
एक आयताकार पानी की टंकी का आधार 11 m x 6m है तथा इसमें 5m की ऊँचाई तक पानी भरा हुआ है। यदि इस टंकी के पानी को 3.5m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में उडेल दिया जाए, तो इस टंकी में जल स्तर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार टंकी का आधार 11 m x 6 m तथा जल की ऊँचाई 5 m दी है तथा इस जल को r = 3.5 m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में उडेल दिया गया है।
मान लीजिए कि बेलनाकार टंकी में जल स्तर भी ऊँचाई h m हो, तो
प्रश्नानुसार, आयताकार टंकी के जल का आयतन = बेलनाकार टंकी के जल का आयतन
⇒ 11 m x 6 m x 5 m = πr²h = \(\frac { 22 }{ 7 }\) (3.5 m)² x h m
⇒ \(h=\frac{11 \times 6 \times 5 \times 7}{22 \times 3 \cdot 5 \times 3 \cdot 5}=\frac{60}{7}=8 \cdot 6 \mathrm{m}\)
अतः,बेलनाकार टंकी में जल स्तर की अभीष्ट ऊँचाई = 8.6 cm है।

प्रश्न 19.
1.5 cm मोटी लोहे की चद्दर के बने एक आयताकार ऊपर से खुले बॉक्स को बनाने में कितना cm लोहा लगेगा यदि उसकी बाहरी विमाएँ 36 cm x 25 cm x 16.5 cm है। यदि 1 cm³ लोहे का भार 7.5g हो, तो बक्से का भार ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बक्से की बाहरी विमाएँ 36 cm x 25 cm x 16.5 cm दी हैं तथा इसकी मोटाई 1.5 cm है, अत: बक्से की आन्तरिक विमाएँ
⇒ (36 – 3)cm x (25 – 3) cm x (16.5 – 1.5) cm अर्थात् 33 cm x 22 cm x 15 cm होंगी। लोहे का घनत्व d = 7:5 g/cm³
बक्से का बाह्य आयतन = 36 x 25 x 16.5 = 14850 cm³
बक्से का आन्तरिक आयतन = 33 x 22 x 15 = 10890 cm³
बक्से में लगे लोहे का आयतन = (14850 – 10890) cm³
आयतन V = 3960 cm³
एवं बक्से का भार = आयतन V x घनत्व d
= 3960 x 7.5 g
= 29700 g
= 29.7 kg
अतः लोहे का अभीष्ट आयतन = 3960 cm³ एवं
लोहे का अभीष्ट भार = 29700 g अर्थात् 29.7 kg होगा।

प्रश्न 20.
5 mm व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से जल का प्रवाह 10 m/minute है। आधार व्यास 40 cm एवं गहराई 24 cm वाले शंक्वाकार बर्तन को भरने में कितना समय लगेगा?
हल :
दिया है : बेलनाकार पाइप का व्यास d₁ = 2r₁ = 5 mm = 0.5 cm ⇒ r₁ = \(\frac { 0.5 }{ 2 }\) = 0.25 cm.
पाइप में जल प्रवाह v = 10 m/minute = \(\frac { 1000 }{ 60 }\) cm/s है। इससे शंक्वाकार बर्तन को भरना है जिसकी आधार व्यास d₂ = 2r₂ = 40 cm ⇒ r₂ = \(\frac { 40 }{ 2 }\) = 20 cm, गहराई h₂ = 24 cm दी है। मान लीजिए जल पाइप इस बर्तन को भरने में t minute का समय लेता है।
t minute में पाइप द्वारा निकली जल धारा की लम्बाई h₁ = 1000 t cm
प्रश्नानुसार, पाइप द्वारा t minute में दिया गया पानी = शंक्वाकार बर्तन का आयतन

अतः, अभीष्ट समय = 51.2 minute अर्थात 51 minute एवं 12 s है।

प्रश्न 21.
14 cm व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से होकर 15 km/h की दर से जल एक घनाभाकार गड्ढे में जिसकी लम्बाई 50 m एवं चौड़ाई 44 m है, गिरता है। कितने समय में गड्ढे में जलस्तर 21 cm चढ़ जायेगा?
हल :
मान लीजिए बेलनाकार पाइप का व्यास d = 2r = 14 cm = 0.14 m ⇒ r = \(\frac { 0.14 }{ 2 }\) = 0.07 m
दिया है जिसमें होकर जल की धारा 15 km/h की दर से अर्थात् 15,000 m/h की दर से प्रवाहित हो रही है, जो एक गड्ढे में गिरती है। गड्ढे की लम्बाई l = 50 m. चौड़ाई b = 44 cm एवं जलस्तर की ऊँचाई h = 21 cm = 0.21 m है। मान लीजिए इसको भरने में t घण्टे लगते हैं, तो प्रश्नानुसार, पाइप से निकला जल का आयतन = गड्ढे में जल का आयतन
lbh = πr² x दर x समय
50 x 44 x 0.21 = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.07)² x 15000 x 1
\(t=\frac{50 \times 44 \times 0.21 \times 7}{22 \times 0.07 \times 0.07 \times 15000}=\frac{50 \times 44 \times 21 \times 7}{22 \times 7 \times 7 \times 150}\)
= 2 घण्टे
अतः, अभीष्ट समय = 2 घण्टे है।

प्रश्न 22.
16 cm ऊँचाई वाला एक दूध का बर्तन किसी शंकु के छिन्नक के आकार का धातु की चद्दर से बना है जिसकी नीचे एवं ऊपर के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm एवं 20 cm हैं। इसमें भरे दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए जबकि दूध की दर Rs 22 प्रति लीटर है।
हल :

बर्तन (छिन्नक) के दोनों सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 8 cm एवं r2 = 20 cm तथा ऊँचाई h = 16 cm है। दूध की दर Rs 22 प्रति लीटर, दिया है।
दूध का आयतन = छिन्नक का आयतन

अतः, दूध का अभीष्ट मूल्य = Rs 230 (लगभग) है।

प्रश्न 23.
32 cm ऊँची तथा 18 cm आधार त्रिज्या वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से पूरी भरी है। इसके रेत को जमीन पर उडेलकर एक शंकु के आकार में एकत्रित ! किया गया है। यदि इस शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm हो, तो इस ढेरी की त्रिज्या एवं तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : एक बेलनाकार बाल्टी जिसकी आधार त्रिज्या r1 = 18 cm एवं ऊँचाई h1 = 32 cm जो रेत से भरी हुई है। इस रेत को जमीन पर उडेलकर एक शंक्वाकार ढेरी बनाई गई है जिसकी ऊँचाई h2 = 24 cm है। मान लीजिए ढेरी की आधार त्रिज्या r2 cm एवं तिर्यक ऊँचाई l cm है, तो प्रश्नानुसार शंक्वाकार ढेरी (रेत) का आयतन = बेलन के रेत का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm
एवं ढेरी की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 43.27 cm (लगभग) है।

प्रश्न 24.
एक इमारत बेलनाकार है जिसके ऊपर एक अर्द्धगोलाकार गुम्बद है तथा इसमें \(41\frac { 19 }{ 21 }\) m³ वायु (हवा) है। यदि गुम्बद का आन्तरिक व्यास इस इमारत की कुल ऊँचाई के बराबर है, तो इस इमारत की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि दी हुई इमारत की कुल ऊँचाई = h है जो कि गुम्बद के व्यास के बराबर है, जो आधार के व्यास के बराबर है।
हवा का आयतन \(41\frac { 19 }{ 21 }\) m³ है। अतः बेलन की त्रिज्या = गुम्बद की त्रिज्या = R = \(\frac { h }{ 2 }\) m
तथा बेलनाकार भाग की ऊँचाई = h’ = h – h/2 = h/2 m
हवा का कुल आयतन V = बेलन का आयतन + गुम्बद का आयतन

अतः, इमारत की अभीष्ट कुल ऊँचाई = 4 m है।

प्रश्न 25.
लकड़ी से बना एक कलमदान घनाभ के आकार का है जिसकी विमाएँ 10 cm x 5 cm x 4 cm हैं। इसमें चार शंक्वाकार गड्ढे पैन (कलम) रखने के लिए तथा एक घनाकार गड्ढा पिन रखने के लिए बने हैं। प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm एवं गहराई 2.1 cm है तथा घनाकार गड्ढे की कोर 3 cm है तो सम्पूर्ण कलमदान में लगने वाली लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है: एक 10 cm x 5 cm x 4 cm विमाओं वाला लकड़ी का बना एक घनाभ के आकार का कलमदान जिसमें 4 शंक्वाकार गड्ढे प्रत्येक की त्रिज्या r = 0.5 cm एवं गहराई h = 2.1 cm तथा एक घनाकार गड्ढा जिसकी भुजा a = 3 cm है दिए हैं। कलमदान की कुल लकड़ी का आयतन
V = 10 x 5 x 4 = 200 cm³
4 शंक्वाकार गड्ढ़ों का आयतन = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h
V₁ = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.5)² x 2.1 cm³
= 2.2 cm³
एवं घनाकार गड्ढे का आयतन V₂ = a³ = (3)³ = 27 cm
प्रयुक्त लकड़ी का आयतन = V – V₁ – V₂ = 200 – 2.2 – 27
= 200 – 29.2
= 170.8 cm³
अतः, कलमदान में प्रयुक्त अभीष्ट लकड़ी का आयतन = 170.8 cm³ है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
8 cm त्रिज्या के लोहे के एक गोले को गलाकार 1 cm त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते है?
हल :
ज्ञात है: बड़े गोले की त्रिज्या R = 8 cm
एवं छोटे प्रत्येक गोले की त्रिज्या r = 1 cm
मान लीजिए छोटे गोलों की संख्या n है तो
n छोटे गोलों का आयतन = 1 बड़े गोले का आयतन
\(n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{4}{3} \pi R^{3}\)
nr³ = R³
n (1)³ = (8)³ = 512
n = 512
अतः, अभीष्ट गोलों की संख्या = 512 है।

प्रश्न 2.
तीन धातु के घन जिनकी कोरों की लम्बाई क्रमश: 5 cm, 4 cm और 3 cm है, को पिघलाकर एक नए घन में बदल दिया गया है। इस प्रकार बने नए घन की कोर क्या होगी?
हल :
माना तीन घनों की कोरें क्रमशः a₁ = 5 cm, a₂ = 4 cm एवं a₃ = 3 cm हैं, इनको गलाकर नया घन बनाया गया है और मान लीजिए इस नए घन की कोर a cm हो तो बड़े घन का आयतन
V = V₁ + V₂ + V₃
a³ = a₁³ + a₂³ + a₃³
= (5)³ + (4)³ + (3)³
= 125 + 64 + 27
= 216 cm³
a³ = (6)³
a = 6 cm
अतः, नए घन की अभीष्ट कोर की लम्बाई = 6 cm है।

प्रश्न 3.
सीसे के बने एक 9 cm x 11 cm x 12 cm विमाओं वाले ठोस घनाभ से 3 cm व्यास वाली कितनी गोलियाँ बनेंगी?
हल :
सीसे के ठोस घनाभ की विमाएँ 9 cm x 11 cm x 12 cm हैं जिसे पिघलाकर व्यास
d = 2r = 3 cm
r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या वाली मान लीजिए n गोलियाँ बनेंगी।
प्रश्नानुसार, n गोलियाँ का आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, गोलियों की अभीष्ट संख्या = 84 है।

प्रश्न 4.
एक बाल्टी एक शंकु छिन्नक के आकार की है जिसके दोनों सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 28 cm एवं 21 cm हैं। इसमें 28.490 लीटर पानी भरा है। बल्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
छिन्नक के आकार की बाल्टी के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 28 cm एवं r₂ = 21 cm हैं तथा इसकी धारिता (आयतन) V = 28.490 लीटर = 28490 cm³ । मान लीजिए कि बाल्टी की ऊँचाई = h cm है तो प्रश्नानुसार,
V = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) [(28)² + (21)² + (28) (21)] h = 28490
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) (784 + 441 + 588) h = 28490
\(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1813 h\) = 28490
\(h=\frac{28490 \times 3 \times 7}{22 \times 1813}\)
h = 15 cm
अतः, छिन्नक (बाल्टी) की अभीष्ट ऊँचाई = 15 cm है।

प्रश्न 5.
7 cm भुजा वाले एक घन में एक शंक्वाकार गुहा (cavity)7 cm गहरी तथा 3 cm त्रिज्या वाली बनायी गयी है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक घन की भुजा a = 7 cm दिया है जिसमें गहराई h = 7 cm एवं त्रिज्या r = 3 cm वाली एक शंक्वाकार गुहा बनायी गयी है।
घन का आयतन V = a³ = (7)³ = 343 cm³
शंक्वाकार गुहा का आयतन \(V_{1}=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(V_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(3)^{2} \times 7\)
= 66 cm³
शेष ठोस का आयतन = 343 – 66 = 277 cm³
अतः, शेष ठोस का अभीष्ट आयतन = 277 cm³ है।

प्रश्न 6.
दो सर्वांगसम शंकु जिनकी आधार त्रिज्या r = 8 cm एवं ऊँचाई h = 15 cm है। आपस में आधार के साथ जोड़ दिए गए हैं। बने संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल :

दो सर्वांगसम शंकु संलग्न आकृति के अनुसार आपस में जोड़े गए हैं। प्रत्येक शंकु की त्रिज्या r= 8 cm एवं ऊँचाई h = 15 cm है।
एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
\(l=\sqrt{(15)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{225+64}\)
= √289
= 17 cm
प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2 x एक शंकु का वक्रपृष्ठ
S_w = 2 x πrl
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 8 x 17
\(S_{w}=\frac{44 \times 8 \times 17}{7}=\frac{5984}{7}\)
= 854.86 cm² लगभग।
अतः, अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठ = 854.86 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
7 cm व्यास वाले एक बीकर में कुछ पानी भरा है। इसमें 1.4cm व्यास वाले कुछ कंचे डाले जाते हैं। बीकर में डाले गए कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए जिससे बीकर में पानी का स्तर 5.6cm चढ़ जाता है।
हल :
दिया है, व्यास d = 2r = 7 cm
r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) = cm त्रिज्या वाले बेलनाकार बीकर में कुछ पानी है जिसमें मान लीजिए कि व्यास d₁ = 2r₁ = 1.4 cm
r = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm त्रिज्या वाले n गोलाकार कंचे डाले जाते हैं जिससे बीकर में जल स्तर h = 5.6 cm चढ़ जाता है, तो प्रश्नानुसार,
n कंचों का आयतन = बीकर में विस्थापित जल का आयतन

अतः, अभीष्ट कंचों की संख्या = 150 है।

प्रश्न 8.
एक 66 cm x 42 cm x 21 cm विमाओं वाले ठोस सीसे के घनाभ को पिघालकर 4.2 cm व्यास वाली कितनी सीसे की ठोस गोलियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?
हल :
दिया है, 66 cm x 42 cm x 21 cm विमाओं वाले ठोस सीसे के घनाभ को पिघलाकार मान लीजिए n गोलियाँ बनाई जाती हैं जिनमें प्रत्येक का व्यास d = 2r = 4.2 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 4.2 }{ 2 }\) = 2.1 cm है तो प्रश्नानुसार,
n गोलियाँ का आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, अभीष्ट गोलियों की संख्या = 1500 है।

प्रश्न 9.
सीसे के बने एवं 44 cm भुजा वाले एक ठोस धन से 4 cm व्यास वाली कितनी गोलियाँ बन सकती हैं?
हल:
दिया है, एक a = 44 cm भुजा वाला सीसे का ठोस घन जिसको पिघलाकर माना n गोलियाँ बनायी जाती हैं जिनमें प्रत्येक गोली का व्यास d = 2r = 4cm
⇒ r = \(\frac { 4 }{ 2 }\) = 2 cm अर्थात् त्रिज्या r = 2 cm दी है, तो प्रश्नानुसार,
n x गोलियाँ का आयतन = घन का आयतन


अतः, गोलियों की अभीष्ट संख्या = 2541 है।

प्रश्न 10.
एक दीवार 24 m लम्बी, 0.4 m मोटी एवं 6 m ऊँची बनानी है। इसको बनाने में 25 cm x 16 cm x 10 cm विमाओं वाली कितनी ईंटें लगेंगी जबकि दीवार के आयतन का \(\frac { 1 }{ 10 }\) भाग गारे द्वारा घेरा जायेगा?
हल :
दीवार की विमाएँ l = 24 m, b = 0.4m एवं h = 6 m तथा प्रत्येक ईंट की विमाएँ 25 cm x 16 cm x 10 cm दी हैं तथा दीवार के आयतन का \(\frac { 1 }{ 10 }\) भाग गारे द्वारा घेरा जाएगा। मान लीजिए ईंटों की संख्या n है तो
दीवार का आयतन V = lbh = 24 x 0.4 x 6 m³
V = 57.6 m³ = 57.6 x 10⁶ cm³
गारे द्वारा घेरा गया आयतन = \(\frac { 1 }{ 10 }\) V = 5.76 x 10⁶ cm³
दीवार का शेष आयतन = 57.6 x 10⁶ – 5.76 x 10⁶ cm³
= 51.84 x 10⁶ cm³
प्रश्नानुसार, n ईंटों का आयतन = शेष दीवार का आयतन
n x 25 x 16 x 10 = 51.84 x 10⁶ cm³
4 x 103 n = 51.84 x 10⁶ cm³
\(n=\frac{51 \cdot 84 \times 10^{6}}{4 \times 10^{3}}\)
n = 12.96 x 10³
= 12960 ईंटें
अतः, ईंटों की अभीष्ट संख्या = 12960 है।

प्रश्न 11.
आधार व्यास 1.5 cm एवं मोटाई (ऊँचाई) 0.2 cm वाली वृत्ताकार तस्तरियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनको पिघलाकर एक लम्ब वृत्तीय बेलन 4.5 cm व्यास एवं 10 cm ऊँचाई वाला बन सके।
हल :
वृत्ताकार तस्तरी का व्यास d₁ = 2r₁ = 1.5 cm = \(\frac { 3 }{ 2 }\)cm
त्रिज्या r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm एवं ऊँचाई (मोटाई) h₁ = 0.2 cm की संख्या n (मान लीजिए) को पिघलाकर h₂ = 10 cm ऊँचा एवं व्यास
d₂ = 2r₂ = 4.5 cm = \(\frac { 9 }{ 2 }\)
r₂ = \(\frac { 9 }{ 4 }\) cm वाला लम्ब वृत्तीय बनाया गया है, तो प्रश्नानुसार
n तस्तरियों का आयतन = बेलन का आयतन

अतः, तस्तरियों की अभीष्ट संख्या = 450 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्न कथनों में सत्य/असत्य लिखिए एवं अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
दो सर्वांगसम एवं समान आधार त्रिज्या वाले ठोस अर्द्धगोले आधार से आधार जोड़ दिए गए हैं। उनका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 6πr² होगा।
हल :
असत्य कथन, क्योंकि उनका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² होगा वे एक गोला बनाएँगे।

प्रश्न 2.
r त्रिज्या एवं h ऊँचाई वाले एक ठोस बेलन को समान ऊँचाई एवं त्रिज्या वाले बेलन पर रखा जाता है तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πrh + 4πr² होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्राप्त ठोस एक 2h ऊँचाई एवं r त्रिज्या का बेलन होगा और उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πrh + 2πr² होगा।

प्रश्न 3.
h ऊँचाई एवं r त्रिज्या वाला एक ठोस शंकु एकसमान आधार त्रिज्या एवं समान ऊँचाई वाले बेलन पर रखा है। संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \(\pi r[\sqrt{r^{2}+h^{2}}+3 r+2 h]\).
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi r[\sqrt{r^{2}+h^{2}}+r+2 h]\) होगा।

प्रश्न 4.
एक ठोस बॉल ठीक प्रकार एक a भुजा वाले घन के अन्दर रखी है तो बॉल का आयतन \(\frac{4}{3} \pi a^{3}\) होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बॉल का आयतन = \(\frac{1}{6} \pi a^{3}\) होगा।

प्रश्न 5.
एक शंकु के छिन्नक का आयतन \(\frac{1}{3} \pi h\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1} r_{2}\right]\) है, जहाँ h छिन्नक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तथा r1, r2 उसके सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि छिन्नक का आयतन =\(\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)\) होता है।

प्रश्न 6.
एक बेलनाकार बर्तन में नीचे अन्दर की ओर एकसमान त्रिज्या का अर्द्ध गोलीय उभार है। इस बर्तन की ऊँचाई h एवं त्रिज्या r है उसकी धारिता है \(\frac{\pi r^{2}}{3}(3 h-2 r)\) है। हल :
कथन सत्य है, क्योंकि बर्तन की धारिता = बेलन का आयतन – अर्द्धगोले का आयतन
= \(\pi r^{2} h-\frac{2}{3} \pi r^{3}=\frac{\pi r^{2}}{3}(3 h-2 r)\) होगा।

प्रश्न 7.
एक शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi l\left(r_{1}+r_{2}\right)\) है, जहाँ \(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}\) एवं r1 तथा r2 क्रमशः दोनों सिरों की त्रिज्याएँ।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तो \(\pi l\left(r_{1}+r_{2}\right)\) होगा लेकिन \(l=\sqrt{(h)^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\) होगा, जहाँ r1, r2 क्रमशः सिरों की त्रिज्याएँ हैं।

प्रश्न 8.
एक धातु की खुली बाल्टी जो एक शंकु के छिन्नक के आकार की है, एक खोखले बेलनाकार आधार पर टिकी है जो उसी धातु का बना है। धातु की प्रयुक्त चद्दर का क्षेत्रफल बराबर है छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि बाल्टी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल इन क्षेत्रफलों से मिलकर बना है।

प्रश्न 9.
एक ठोस शंकु अपने समान ऊँचाई h एवं त्रिज्या r वाले बेलन पर रखा है तो संयुक्त ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}+2 \pi r h\) है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि संयुक्त ठोस का बक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh एवं शंकु के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल πrl अर्थात \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\) के योग के बराबर होगा।

प्रश्न 10.
एक स्टील की गोलाकार बॉल पिघलाकार 8 नए सर्वांगसम बॉलों में ढाली गयी है तो प्रत्येक बॉल की त्रिज्या मूल बॉल की त्रिज्या का \(\frac { 1 }{ 8 }\) भाग होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उसकी त्रिज्या मूल त्रिज्या की \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी।

प्रश्न 11.
दो सर्वांगसम घन जिनमें प्रत्येक की भुजा a हो आपस में जोड़े गए हैं, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 12a² है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 10a² होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति एक फनल की है जो एक संयुक्त आकृति है :

(a) एक शंकु एवं एक बेलन की
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(c) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(d) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की

प्रश्न 2.
एक शंकु छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 cm एवं r2 cm तथा ऊँचाई h cm है तो आयतन cm³ में होगा :

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)\)

प्रश्न 3.
एक सिरे पर छीली गई एक बेलनाकार पेन्सिल एक संयुक्त आकृति है:

(a) एक बेलन एवं एक शंकु की
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(c) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(d) दो बेलनों की।
उत्तर:
(a) एक बेलन एवं एक शंकु की

प्रश्न 4.
एक सुराही संयुक्त आकृति है :

(a) एक गोले एवं एक बेलन की
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(c) दो अर्द्ध गोलों की
(d) एक बेलन एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(a) एक गोले एवं एक बेलन की

प्रश्न 5.
एक साहुल सूत्र (प्लम्ब लाइन) (देखिए संलग्न आकृति) एक संयुक्त आकृति है:

(a) एक शंकु एवं एक बेलन की
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की
(c) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(d) एक गोला एवं एक बेलन की।
उत्तर:
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की

प्रश्न 6.
एक गिलास प्रायः निम्न आकृति का होता है :

(a) एक शंकु की
(b) एक शंकु छिन्नक की
(c) एक बेलन की
(d) एक गोले की।
उत्तर:
(b) एक शंकु छिन्नक की

प्रश्न 7.
गिल्ली-डंडा खेल की गिल्ली संयुक्त आकृति होती है निम्न की :

(a) दो बेलनों की
(b) एक शंकु एवं एक बेलन की
(c) दो शंकु एवं एक बेलन की
(d) दो बेलन एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(c) दो शंकु एवं एक बेलन की

प्रश्न 8.
बैडमिण्टन खेल में प्रयुक्त एक शटल कॉक एक संयुक्त आकृति

(a) एक बेलन एवं एक गोला की
(b) एक बेलन एवं एक अर्द्ध गोला की
(c) एक गोला एवं एक शंकु की
(d) एक शंकु-छिन्नक एवं एक अर्द्ध गोला की।
उत्तर:
(d) एक शंकु-छिन्नक एवं एक अर्द्ध गोला की।

प्रश्न 9.
एक शंक को उसके आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटने पर एक सिरे पर प्राप्त छोटे शंकु को पृथक् कर दिया जाता है। इस प्रकार शेष बचा ठोस कहलाता है:
(a) एक शंकु का एक छिन्नक
(b) शंकु
(c) बेलन
(d) गोला।
उत्तर:
(a) एक शंकु का एक छिन्नक

प्रश्न 10.
एक ठोस 2 cm व्यास एवं 16 cm ऊँचाई वाले बेलन को पिघलाकर 12 सर्वांगसम गोले बनाए जाते हैं तो प्रत्येक गोले का व्यास होगा :
(a) 4 cm
(b) 3 cm
(c) 2 cm
(d) 6 cm.
उत्तर:
(c) 2 cm

प्रश्न 11.
यदि दो ठोस समान आधार त्रिज्या के r अर्द्ध गोले आपस में आधार से आधार सटाकर जोड़ दिए जाते हैं तो इस प्रकार प्राप्त नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(a) 4πr²
(b) 6πr²
(c) 3πr²
(d) 8πr²
उत्तर:
(a) 4πr²

प्रश्न 12.
r cm त्रिज्या एवं h cm (h > 2r) ऊँचाई का एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले को ठीक-ठीक ढक लेता है तो इस गोले का व्यास होगा :
(a) r cm
(b) 2r cm
(c) h cm
(d) 2h cm.
उत्तर:
(b) 2r cm

प्रश्न 13.
एक ठोस को दूसरे ठोस में परिवर्तित करने पर नए ठोस का आयतन :
(a) बढ़ जायेगा
(b) घट जायेगा
(c) अपरिवर्तित रहेगा
(d) दूना होगा।
उत्तर:
(c) अपरिवर्तित रहेगा

प्रश्न 14.
एक लम्बवृत्तीय शंकु को आधार के समान्तर तल द्वारा काटने पर प्राप्त परिच्छेद होगा :
(a) वृत्त
(b) शंकु छिन्नक
(c) गोला
(d) अर्द्ध गोला।
उत्तर:
(a) वृत्त

प्रश्न 15.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 3:4
(b) 4:3
(c) 9:16
(d) 16:9.
उत्तर:
(d) 16:9.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी शंकु को उसके आधार के समान्तर तल द्वारा काटकर छोटे शंकु को हटाने पर शेष बचा ठोस …………. कहलाता है।
2. शंकु छिन्नक के दोनों सिरे …………. होते हैं।
3. बाल्टी का आकार प्रायः एक …………. का होता है।
4. शंकु छिन्नक का आयतन दोनों शंकुओं के आयतनों के …………. के बराबर होता है।
5. शंकु छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र प्रष्ठीय क्षेत्रफलों के …………. के बराबर होता है।
उत्तर-
1.शंकु छिन्नक,
2. वृत्ताकार,
3. शंकु छिन्नक,
4. अन्तर,
5. अन्तर।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(b),
2.→(c),
3.→(a).

सत्य/असत्य कथन

1. शंकु छिन्नक का आयतन संगत शंकुओं के आयतनों के योग के बराबर होता है।
2. यदि किसी बेलन के एक सिरे पर उसी त्रिज्या का एक अर्द्ध गोलाकार गड्ढा कर दिया जाए तो प्राप्त ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। 3. शंकु छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल संगत शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक शंकु छिन्नक जिसके सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ एवं r₂ तथा तिर्यक ऊँचाई l तो उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
2. शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र लिखिए। (2019)
उत्तर-
1. S_w = πl (r₁ + r₂) + πr₁² + πr₂²
2. V = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂).

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 590.
हल :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
= 1.
अतः अभीष्ट मान = 1 (एक) है।

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
= 1
अतः अभीष्ट मान 1 (एक) है।

(iii) cos 48° sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0
अतः अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0
अत: अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 2.
दिखाइए कि:
(i) tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38°. cos 52° – sin 38°. sin 52° = 0.
हल :
(i) L.H.S. = tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67°
= tan (90° – 42°). tan 23°. tan 42°. tan (90° – 23°)
= cot 42°. tan 23°. tan 42°. cot 23°
= \(\frac{\cos 42^{\circ}}{\sin 42^{\circ}} \cdot \frac{\sin 23^{\circ}}{\cos 23^{\circ}} \cdot \frac{\sin 42^{\circ}}{\cos 42^{\circ}} \cdot \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}\)
= 1
= R.H.S.
इति सिद्धम्

(ii) L.H.S. = cos 38°.cos 52° – sin 38°. sin 52°
= cos 38°. cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos 38°.sin 38° – sin 38°. cos 38°
= cos 38°.sin 38° – cos 38°.sin 38°
= 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि tan 2A = cot (A – 18°) (दिया हुआ है)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A – 18°
3A = 90° + 18° = 108°
A = \(\frac { 108 }{ 3 }\)
= 36°
अतः A का अभीष्ट मान = 36° है।

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+ B = 90°.
हल :
चूँकि
⇒ tan A = cot B (दिया है)
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°) जहाँ 4A एक न्यनूकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि sec 4A = cosec (A – 20°) (दिया है)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 4A + A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = \(\frac { 110 }{ 5 }\) = 22°
अतः A का अभीष्ट मान = 22° है।

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हों, तो दिखाइए कि
\(\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}\)
हल :
चूंकि
A + B + C = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोण हैं)

= cos \(\frac { A }{ 2 }\)
= RHS
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात के पद cos 23° + sin 15°.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ∆ABC ~ ∆DEF और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64 cm और 121 cm हैं। यदि EF = 15.4 cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि ∆ABC ~ ∆DEF [दिया है]

अतः BC का अभीष्ट मान = 11.2 cm.

प्रश्न 2.
एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || DC है के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

∆AOB और ∆COD में,
∵LOAB = ZOCD (एकान्तर कोण हैं)
[यहाँ AB || DC, AC तिर्यक रेखा]
∵ LOBA = ZODC (एकान्तर कोण हैं)
[यहाँ AB || DC, DB तिर्यक रेखा]
∆AOB ~ ∆COD [AA समरूपता]

अतः क्षेत्र. (∆AOB) : क्षेत्र. (∆COD) = 4 : 1.

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.29 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO } \) हैं।
हल :

दिया है : एक ही आधार BC पर दो ∆ABC एवं ∆DBC और AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
रचना : AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC खींचिए।
अब ∆AEO और ∆DFO में,
चूँकि ∠AEO = ∠DFO = 90° [∵ AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC]
∠AOE = ∠DOF [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
∆AEO ~ ∆DFO [AA समरूपता]
\(\frac{A E}{D F}=\frac{A O}{D O}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]

[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x आधार x शीर्षलम्ब]
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO } \) [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
हल :
मान लीजिए
∆ABC ~ ∆PQR

लेकिन
ar(ABC) = ar(PQR) = x वर्ग मात्रक।

(AB)² = (PQ)², (BC)² = (QR)² एवं (CA)² = (RP)²
AB = PQ, BC = QR एवं CA = RP …(1)
अब ∆ABC और ∆PQR में,
∵ AB = PQ, BC = QR एवं CA = RP [समीकरण (1) से]
∆ABC ≅ ∆PQR. [SSS सर्वांगसमता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E एवं F हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ∆ABC की भुजाओं AB, BC एवं CA के क्रमशः मध्य-बिन्दुओं D, E एवं F को मिलाने से ∆DEF बना है (देखिए संलग्न आकृति 6.30 में)
चूँकि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के आधा होता है।

ar(DEF) : ar(ABC) = 1 : 4.
अत: ∆DEF एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल :

मान लीजिए कि दो समरूप ∆ABC ~ ∆PQR हैं, जिनकी संगत माध्यिकाएँ AD एवं PM हैं। (देखिए आकृति 6.31)
चूँकि ∆ABC ~ ∆PQR दिया है।
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q
एवं ∠C = ∠R …(1)
एवं \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C A}{R P}\) …(2)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(3)
[D, BC का एवं M, QR का मध्य-बिन्दु है]
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]

अतः दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक वर्ग है। जिसका एक विकर्ण AC है। वर्ग की भुजा AD पर समबाहु ∆EAD एवं उसके विकर्ण AC पर समबाहु ∆FAC बने हैं।
चूँकि दो समबाहु त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
∆EAD ~ ∆FAC

अतः किसी वर्ग की भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(a) 2:1
(b) 1:2
(c) 4:1
(d) 1:4.
सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
सही विकल्प (c) 4 : 1 है, क्योंकि ∆ABC ~ ∆BDE क्योंकि समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं एवं

यहाँ AB = 2BD क्योंकि D, AB का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(a) 2:3
(b) 4:9
(c) 81:16
(d) 16:81
सही विकल्प चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
सही विकल्प (d) 16 : 81 है, क्योंकि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। अत: 4 : 9 का वर्ग अनुपात 16 : 81 है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

प्रश्न 1.
दो घनों जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : दो सर्वांगसम घन जिनमें से प्रत्येक का आयतन V = a³ = 64 cm³ है, जहाँ a = वर्ग की भुजा है। दोनों के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है जिसकी लम्बाई l = 2a cm चौड़ाई b = a cm एवं ऊँचाई h = a cm है।
∵ V = a³ = 64 = (4)³
⇒ a = 4 cm
⇒ l = 2a = 2 x 4 = 8cm,
b = 4 cm एवं h = 4 cm
∵ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2(lb + bh + hl) .
⇒ S_w = 2(8 x 4 + 4 x 4 + 4 x 8)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2 x 80
= 160 cm²
अतः, घनाभ का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm² है।

प्रश्न 2.
कोई बर्तन खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्द्ध गोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इसका आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक 14 cm व्यास वाला एक खोखला अर्द्धवृत्ताकार पात्र एवं उसके ऊपर अध्यारोपित समान व्यास के एक खोखले बेलन के अध्यारोपण के फलस्वरूप बना एक संयुक्त पात्र जिसकी कुल ऊँचाई 13 cm है (देखिए संलग्न आकृति 13.3)। चूँकि बेलन के आधार पर व्यास = अर्द्ध गोलाकार बर्तन का व्यास d= 14 cm
⇒ बेलन की त्रिज्या = अर्द्ध गोले की त्रिज्या r = 14/2 =7 cm
∵ पात्र की कुल ऊँचाई = 13 cm
⇒ बेलन की ऊँचाई h = 13 cm – 7 cm = 6 cm
∵ पात्र की आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
⇒ पात्र का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2π²
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 6 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 264 + 308
= 572 cm²
अतः, पात्र का अभीष्ट आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm² है।

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्ध गोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : संलग्न आकृति के अनुसार एक खिलौना जिसकी सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm तथा अर्द्ध गोले
एवं शंकु के आधार की त्रिज्या = 3.5 cm दी गयी है, अतः r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm.
⇒ शंकु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12 cm.
∵ शंकु की तिर्यक ऊँचाई

चूँकि खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः, खिलौने का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm² है।

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि घनाकार ब्लॉक की भुजा a = 7 cm दी है। इसके ऊपर एक अर्द्धगोला रखा है, अतः अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास d= घन की भुजा = a = 7 cm
⇒ अर्द्धवृत्त की त्रिज्या r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm
चूँकि ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्द्धगोले के आधार द्वारा घेरे गए वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
S_w = 6a² + 2πr² – πr²
= 6a² + πr²
\(S_{w}=6 \times(7)^{2}+\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)
= 294 + 38.5
= 332.5 cm²
अतः, अर्द्धवृत्त का अधिकतम अभीष्ट व्यास = 7 cm
एवं ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm² है।

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अन्दर की ओर काटकर एक अर्द्ध गोलाकार गड्डा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास l घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए दिए हुए घनाकार ब्लॉक की भुजा (l किनारा) a = l मात्रक।
इसके एक फलक को काटकर अर्द्ध गोलीय गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्ध गोले का व्यास d = l मात्रक।
⇒ अर्द्धगोले की त्रिज्या r = \(\frac { l }{ 2 }\) मात्रक।
चूंकि ठास का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोलीय गड्ढे का पृष्ठीय क्षेत्रफल – काटे हुए वृत्त का क्षेत्रफल
S_w = 6l² + 2π² – πr²
= 6l² + πr²
= \(6 l^{2}+\pi\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=6 l^{2}+\frac{1}{4} \pi l^{2}\)
S_w = \(\frac { 1 }{ 4 }\)l² (24 + π) वर्ग मात्रक।
अतः ठोस का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\)l² (24 + π) वर्ग मात्रक।

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (Capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्ध गोला लगा हुआ है (देखिए संलग्न आकृति)। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दवा का एक कैप्सूल कुल 14 mm लम्बा तथा d = 5 mm व्यास वाला एक इस प्रकार का बेलनाकार है जिसके दोनों सिरों पर उसी व्यास के एक-एक अर्द्ध गोले लगे हुए हैं। चूँकि बेलनाकार भाग एवं अर्द्धगोलीय भाग का व्यास d = 5 mm
⇒ बेलनाकार भाग एवं अर्द्ध गोलीय भाग की त्रिज्या r = \(\frac { 5 }{ 2 }\) mm
चूँकि कैप्सूल की कुल लम्बाई = बेलनाकार भाग की लम्बाई l + दो अर्द्धगोलीय त्रिज्या अर्थात् व्यास
⇒ l + 5 = 14 mm
⇒ l = 14 – 5 = 9 mm
∵ कैप्सूल का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वृक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x अर्द्धगोलीय भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः कैप्सूल का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है, तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (Canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही Rs 500 प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि
तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)
हल :

ज्ञात है : तम्बू के बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 2.1 m तथा बेलनाकार भाग एवं शंक्वाकर भाग के व्यास d = 4 m
बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या
r = \(\frac { 4 }{ 2 }\)m = 2 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m.
चूँकि तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh x πrl
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) 2 x 2.1 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2 x 2.8
= 26.4 + 17.6
= 44.0 m²
∵ व्यय = क्षेत्रफल x दर
= 44 x Rs 500
= Rs 22,000.
अतः, प्रयुक्त कैनवास का अभीष्ट क्षेत्रफल = 44 m²
एवं उसको लगाने में अभीष्ट व्यय = Rs 22,000 है।

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (Cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेण्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : h= 2.4 cm ऊँचाई एवं d = 1.4 cm व्यास वाले एक बेलन में से उसी ऊँचाई एवं उसी व्यास का शंक्वाकार खोल काट दिया जाता है। मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l cm है।
चूँकि व्यास = 1.4 cm
त्रिज्या = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm
चूँकि तिर्यक ऊँचाई

चूँकि प्राप्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + ऊपर के आधार का वृत्तीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh + πrl + πr²
= πr(2h + l + r)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 0.7(2 x 2.4 + 2.5 + 0.7)
= 2.2(4.8 + 2.5 + 0.7)
= 2.2 x 8.0
= 17.6 cm²
S_w = 18 cm² (निकटतम cm² में)
अतः, शेष बचे ठोस का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 18 cm² (निकटतम cm² में) है।

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्ध गोला खोदकर निकालते हुए एक वस्तु बनाई गई है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है, तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : h = 10 cm ऊँचाई एवं r = 3.5 cm त्रिज्या वाला लकड़ी का एक बेलन जिसके दोनों सिरों से उसी त्रिज्या का एक-एक अर्द्ध गोलाकार भाग काटकर निकाल दिया गया है तो
∵ प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh + 2 x 2πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 3.5(10 + 2 x 3.5)
= 22 x 17
= 374 cm²
अतः, शेष प्राप्त ठोस का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 cm² है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60° (2019)
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° (2019)
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60°
\(=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1\)
अतः अभीष्ट मान = 1 है।

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
\(=2(1)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
\(=2+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\)
अतः अभीष्ट मान = 2 है।

(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\) है।

(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac{43-24 \sqrt{3}}{11}\) है।

(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac { 67 }{ 12 }\) है।

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\) = …………
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (A) sin 60°.
क्योंकि

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\) = ……….
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (D) 0.
क्योंकि

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.
हल :
सही विकल्प है (A) 0°.
क्योंकि sin 2A = 2 sin A ⇒ sin 2 x 0° = 2 sin 0
⇒ sin 0° = 2 sin 0° ⇒ 0 = 2 x 0 = 0.

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (C) tan 60°.
क्योंकि

प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), 0° < A + B ≤ 90° ; A > B तो A और B के मान ज्ञात कीजिए।
हल : ∵ tan (A + B) = √3 = tan 60°
⇒ A + B = 60° ….(1)
∵ tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
⇒ 2A = 90°
⇒ A = \(\frac { 90 }{ 2 }\) = 45° [समीकरण (1) + (2) से]
A = 45° का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ A + 45° = 60°
⇒ A = 60° – 45° = 15°
अतः A एवं B के अभीष्ट मान हैं क्रमशः 45° एवं 150°.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य है या असत्य है? कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sinθ = cosθ.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल :
(i) कथन असत्य है, sin (60° + 30°) = sin 90° = 1
एवं sin 60° + sin 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\) जो बराबर नहीं है।

(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sin 0° = 0, sin 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\), sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), एवं sin 90° = 1.

(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos 0° = 1, cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), Cos 60° = \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं cos 90° = 0.

(iv) कथन असत्य है, क्योंकि sin 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) जबकि cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(v) कथन सत्य है, क्योंकि cot A° = cot 0° = \(\frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) जो कि अपरिश भाषित है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिये ‘लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः x एवं y है तो प्रश्नानुसार,
x + y = 10 ….(1)
⇒ y = 10 – x

एवं y = x + 4 ….(2)

दोनों ग्राफ परस्पर बिन्दु P (3,7) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: लड़के एवं लड़कियों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 3 एवं 7 है।

(ii) मान लीजिए पेंसिल एवं कलम का मूल्य क्रमशः ₹ x प्रति नग एवं ₹ y प्रति नग है। तो प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50 …(1)
⇒ y = \(\frac { 50-5x }{ 7 } \)

एवं 7x + 5y = 46 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 46-7x }{ 5 } \)

आकृति : 3.5
चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P (3,5) पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः पेंसिल एवं कलम के मूल्य क्रमश ₹ 3 प्रति नग एवं ₹ 5 प्रति नग है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समानान्तर हैं अथवा सम्पाती हैं।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) चूंकि 5x – 4y + 8 = 0 ….(1)
एवं 7x + 6y – 9 = 0 ….(2)
इसलिए \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}=\frac{-8}{9}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) चूँकि 9x + 3y + 12 = 0 ….(1)
18x + 6y + 24 = 0 ….(2)

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) चूँकि 6x – 3y + 10 = 0 …. (1)
एवं 2x – y + 9 = 0 ….(2)

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म
संगत हैं या असंगत:
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac { 3 }{ 2 } \) x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + by = – 22
(v) \(\frac { 4 }{ 3 } \) x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
हल:
(i) चूँकि 3x + 2y = 5 ⇒ 3x + 2y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x – 3y = 7 ⇒ 2x – 3y – 7 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(ii) चूँकि 2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0 ….(i)
एवं 4x – 6y = 9 ⇒ 4x – 6y – 9 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म अंसगत हैं।

(iii) चूँकि \(\frac { 3 }{ 2 } \)x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7 ⇒ 9x + 10y – 42 = 0 ….(1)
एवं 9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(iv) चूँकि 5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ….(1)
एवं – 10x + 6y = – 22 ⇒ – 10x + 6y + 22 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(v) चूँकि \(\frac { 4 }{ 3 } \)x + 2y = 8 ⇒ 4x + 6y – 24 = 0 ….(1)
एवं 2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म संपाती हैं)
अत: उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं। यदि संगत हैं, तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0; 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0; 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) चूँकि x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x +2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।


चूँकि रेखा युग्म सम्पाती हैं, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिन्दु इसका हल होगा।
अतः उक्त रैखिक समीकरण के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

(ii) चूंकि x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समानान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
उत्तर रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
⇒ y = 6 – 2x

एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)
⇒ y = 2x – 2

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल (2, 2) है अर्थात् x = 2 एवं y = 2.

(iv) चूँकि 2x – 2y – 2 = 0 ….(1)
एवं 4x – 4y – 5 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि बाग की लम्बाई x m एवं चौड़ाई y m है।
तो प्रश्नानुसार, x = y + 4 …(1)
⇒ y = x – 4

एवं x + y = 36 ….(2)
⇒ y = 36 -x

चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः आयताकार बाग की अभीष्ट विमाएँ 20 m एवं 16 m हैं।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समानान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
सम्भावित उत्तर:
(i) 3x + 2y – 7 = 0
(ii) 4x + 6y – 12 = 0
(iii) 4x + 6y – 16 = 0
ज्ञातव्य : इस प्रश्न के अनेक उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
चूँकि x – y + 1 = 0 …(1)
⇒ y = x + 1

एवं 3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 12-3x }{ 2 } \)

आकृति : 3.9
अतः दिए हुए रैखिक समीकरण रैखिक निरूपित रेखाओं एवं : अक्ष से बने अभीष्ट त्रिभुज PQR के शीर्षों के अभीष्ट निर्देशांक P (2, 3), Q(-1, 0) और R (4,0) हैं तथा प्राप्त त्रिभुजाकार पटल को उपर्युक्त आकृति में छायांकित किया गया है।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions Surbhi Chapter 18 दीपावलिः

MP Board Class 6th Sanskrit Chapter 18 अभ्यासः

Class 6 Sanskrit Chapter 18 MP Board प्रश्न 1.
एकपदेन उत्तरं लिखत (एक शब्द में उत्तर लिखो)
(क) दीपावल्याः उत्सवे कति दिवसाः सन्ति? (दीपावली के उत्सव कितने दिन होते हैं?)
उत्तर:
पञ्च दिवसाः (पाँच दिन)

(ख) धन्वन्तरिपूजनं कस्मिन् दिने भवति? (धन्वन्तरि पूजन किस दिन होता है?)
उत्तर:
त्रयोदश्यां, (त्रयोदशी को)

(ग) व्यापारिणां नूतनः संवत्सरः कदा प्रारभते? (व्यापारियों का नया वर्ष कब प्रारम्भ होता है?)
उत्तर:
कार्तिक प्रतिपदायां शुक्ल पक्षे (कार्तिक महीने की प्रतिपदा शुक्लपक्ष को)।

दीपावली कदा भवति MP Board प्रश्न 2.
एकवाक्येन उत्तरं लिखत (एक वाक्य में उत्तर लिखो)
(क) दीपावल्यां लक्ष्मीः कदा पूज्यते? (दीपावली पर लक्ष्मी की पूजा कब होती है?)
उत्तर:
दीपावल्यां लक्ष्मीः अमावस्यायां पूज्यते। (दीपावली पर लक्ष्मी की पूजा अमावस्या को होती है।)

(ख) कः दीपावलिसन्देशः? (दीपावली का क्या सन्देश है?)
उत्तर:
“तमसो मा ज्योतिर्गमय” इति दीपावलि सन्देशः। (“तमसो मा ज्योतिर्गमय” ही दीपावली का सन्देश है।)

(ग) भ्रातृभगिन्यौ किं कामयतः? (भाई-बहन क्या कामना करते हैं?)
उत्तर:
भ्रातृभगिन्यौ दीर्घजीवनं सुखसमृद्धि च कामयतः।। (भाई-बहन दीर्घायु और सुख-समृद्धि की कामना करते है।)

(घ) अल्पनारेखनं कुत्र दृश्यते? (अल्पना रेखन कहाँ दिखाई पड़ता है?)
उत्तर:
गृहाणां पुरतः अल्पनारेखनं दृश्यते। (अल्पना रेखन घर के आँगन में दिखाई देती है।)

Sanskrit Class 6 Chapter 18 MP Board प्रश्न 3.
उचितं चित्वा पूरयत (उचित को चुनकर पूरा करो)
(क) बालकः …………. वस्त्रं धारयति। (नूतनं/नूतनानि)
(ख) …………. प्राक् अभ्यङ्गस्नानं क्रियते।। (सूर्योदयस्य/सूर्योदयात्)
(ग) भ्रातृभगिन्यौ परस्परं ………….। (मिलति/मिलतः)
(घ) आपणा ………….परिपूर्णाः भवन्तिः। (ग्राहकाणां/ग्राहकैः)
उत्तर:
(क) नूतनं
(ख) सूर्योदयात्
(ग) मिलतः
(घ) ग्राहकैः।

18 In Sanskrit MP Board  प्रश्न 4.
योजयत (जोडिए)

उत्तर:
(क) → 3
(ख) → 4
(ग) → 2
(घ) → 5
(ङ) → 1

18 Sanskrit MP Board प्रश्न 5.
‘दीपावलिः’ इति विषयम् आधृत्य पञ्च वाक्यानि लिखत (‘दीपावली’ इस विषय पर आधारित पाँच वाक्य लिखो)
उत्तर:

1. ‘दीपावलिः’ हिन्दूनाम् प्रमुखः उत्सवः वर्तते। (दीपावली हिन्दुओं का प्रमुख उत्सव है।)
2. अयम् उत्सवः कार्तिक मासस्य अमावस्यायाम् आयोज्यते। धनस्य देवी लक्ष्मी च पूज्यते। (यह उत्सव कार्तिक महीने की अमावस्या को मनाया जाता है और धन की देवी लक्ष्मी की पूजा की जाती है।)
3. अस्य उत्सवस्य आयोजनम् पञ्चदिनानि पर्यन्तं प्रचलति। (इस उत्सव का आयोजन पाँच दिन तक चलता है।)
4. सर्वत्र उल्लासम् प्रतीतम् भवति। (सभी जगह उल्लास प्रतीत होता है।)
5. सर्वे बालकाः बालिकाः च नूतनानि वस्त्राणि धारयन्ति। (सभी बालक और बालिकाएँ नये वस्त्र धारण करते हैं।)
6. ते मिष्ठान्नानि खादन्ति प्रसन्नाः च भवन्ति। (वे मिठाइयाँ खाते हैं और प्रसन्न होते हैं।)

Deepavali In Sanskrit MP Board योग्यताविस्तारः

1. दीपावलितः आरभ्य निम्नलिखितानाम् उत्सवानां कालक्रमं स्थापयत (दीपावली से लेकर निम्नलिखित उत्सवों का कालक्रम स्थापित करो)
गणेशोत्सवः, होलिकोत्सवः, रक्षाबन्धनम्, नवरात्रम्।
उत्तर:

• गणेशोत्सव: :
  गणेशोत्सवः भाद्रपदमासे शुक्लपक्षे चतुर्थी तिथौ आयोजितः भवति। (गणेशोत्सव भादों महीने की शुक्लपक्ष की चतुर्थी तिथि को आयोजित होता है।)
• होलिकोत्सवः :
  होलिकोत्सव: फाल्गुनमासस्य पूर्णिमायाम् तिथौ सम्पाद्यते। (होलिकोत्सव फाल्गुन महीने की पूर्णिमा तिथि को मनाया जाता है।)
• रक्षाबन्धनम् :
  रक्षाबन्धनम् श्रावणमासे पूर्णिमायाम् तिथौ भवति। (रक्षाबन्धन श्रावण महीने की पूर्णिमा की तिथि को मनाया जाता है।)
• नवरात्रम् :
  नवरात्रम् उत्सवः आश्विन मासस्य शुक्लपक्षस्य प्रतिपदायाः आरभ्यः नवम्यां तिथि पर्यन्तौ सम्पाद्यते। (नवरात्रि का उत्सव आश्विन महीने की शुक्लपक्ष की प्रतिपदा से आरम्भ होकर नवमी तिथि तक मनाया जाता है।)

2. निम्नलिखितान् शब्दान् उचितरिक्तस्थानेषु योजयित्वा होलिकोत्सववर्णनं लिखत (निम्नलिखित शब्दों का उचित रिक्त स्थानों पर जोड़कर होलिकोत्सव का वर्णन लिखो)

षड्दिवसीयः षष्ठदिवसे होलिकादहनं
होलिकादहनात् धूलिवन्दनं रङ्गपञ्चमी।

होलिकोत्सवः……… उत्सवः। सः ……… आरभ्य ………. पर्यन्तं भवति। प्रथमदिवसे ……….. भवति। द्वितीयदिने ………… क्रियते। ……….. रङ्गपञ्चमीपर्व भवति।
उत्तर:
होलिकोत्सवः, षड् दिवसीयः उत्सवः। सः हो. लिकादहनात् आरभ्य धूलिवन्दनं पर्यन्तं भवति। प्रथमे दिवसे होलिकादहनं भवति। द्वितीयदिने धूलिवन्दनं क्रियते। षष्ठदिवसे रङ्गपञ्चमी पर्व भवति।

दीपावलिः हिन्दी अनुवाद

भारतवर्षे बहवः उत्सवाः भवन्ति। यथा-नवरात्रं, होलिका, रक्षाबन्धनं च। एतेषु दीपावलिः इति प्रधानः उत्सवः कार्तिकामासे कृष्णपक्षे अमावस्यायां तिथौ भवति। भगवतः रामस्य अयोध्यागमने अयोध्यायां प्रथमं दीपावलिः आयोजिता इति जनश्रतिः। एष दीपोत्सवः प्रकाशोत्सवः च। एषः पञ्चदिवसीयः उत्सवः। अस्य पञ्चसु अपि दिवसेषु सर्वत्र दीपानाम् आवलिः दृश्यते।

अनुवाद :
भारतवर्ष में बहुत से उत्सव (त्यौहार) होते हैं। जैसे- नवरातें, होली और रक्षाबन्धन। इनमें ‘दीपावली’ प्रधान उत्सव कार्तिक महीने में कृष्ण पक्ष में अमावस्या की तिथि को होता है। भगवान राम के अयोध्या आने पर अयोध्या में सबसे पहली दीपावली आयोजित की गई-ऐसी जनश्रुति है। यह दीपकोत्सव और प्रकाशोत्सव है। यह पाँच दिवसीय उत्सव है। इसके पाँच दिनों पर ही सर्वत्र दीपकों की पंक्तियाँ दिखाई पड़ती हैं।

प्रथमदिवसे त्रयोदश्यां जनाः आभूषणानि गृहपात्राणि स्वर्ण रजतं वा क्रीणन्ति। धन्वन्तरीति वैद्यराजः अद्य एव पूज्यते। द्वितीयदिवसस्य चतुर्दश्याः विशेषता अस्ति सूर्योदयात् प्राक् अभ्यङ्गस्नानम्। तृतीयदिवसे अमावास्यायां जनाः धनदेवी लक्ष्मी पूजयन्ति। व्यापारिण: व्यापारपुस्तकानामपि पूजनं कुर्वन्ति।

Diwali In Sanskrit MP Board अनुवाद :
पहले दिन त्रयोदशी को लोग आभूषण, घर के बर्तन, स्वर्ण अथवा चाँदी खरीदते हैं। ‘धन्वन्तरि’ नामक वैद्यराज आज भी पूजे जाते हैं। दूसरे दिन चतुर्दशी की विशेषता है सूर्य उदय होने से पहले पूरे शरीर से मंगल स्नान करने की। तीसरे दिन अमावस्या को लोग धन देवी लक्ष्मी की पूजा करते हैं। व्यापारी लोग व्यापार पुस्तकों का भी पूजन करते हैं।

चतुर्थे दिवसे कार्तिकप्रतिपदि शुक्लपक्षे व्यापारिणां नूतनः संवत्सरः प्रारभते। कृषकाः पशुपालकाः च गोवर्धनं पूजयन्ति गोधनं च अलङ्कर्वन्ति। अन्तिमदिवसे द्वितीयायां भ्रातृभगिन्यौ मिलतः, परस्परं सत्कारयतः दीर्घजीवनं सुखसमृद्धिं च कामयतः।

Sanskrit Piyusham Class 6 MP Board अनुवाद :
चौथे दिन कार्तिक महीने की शक्लपक्ष की प्रतिपदा को व्यापारियों का नया संवत्सर प्रारम्भ होता है। किसान और पशुपालक (ग्वाले) गोवर्धन की पूजा करते हैं और गोधन को सजाते हैं। अन्तिम दिन पर द्वितीया को (दौज पर) भाई और बहन मिलते हैं, परस्पर (एक-दूसरे का) सत्कार करते हैं, दीर्घ जीवन (लम्बी उम्र) तथा सुख-समृद्धि की कामना करते हैं।

अस्मिन् समये सर्वत्र आनन्दः प्रवर्तते। कृषकाणां गृहेषु नूतनान्नं नवधान्यम् समागच्छति। नदीजलं स्वच्छम् आकाश: निरभ्रः दृश्यते। आपणा: द्रव्यैः ग्राहकैः च परिपूर्णाः भवन्ति। बालकाः अग्निक्रीड्नकानि ज्वालयन्ति। गृहेषु मिष्ठान्नस्य सेवनं भवति। लाजाः देवेभ्यः अतिथिभ्यः च समर्पिता: भव, न्ति। गृहाणां पुरतः अल्पनारेखनं दृश्यते।

तमसो मा ज्योतिर्गमय” इति दीपावलिसन्देशः। सर्वे जनाः परस्परं मिलन्ति अभिनन्दन्ति च। अभिनन्दनपत्राणि प्रेषयन्ति ते प्रार्थयन्ति च।।

“शुभं करोतु कल्याणं, आरोग्यं सुखसम्पदम्।
शत्रुबुद्धिविनाशाय दीपज्योतिर्नमोऽस्तुते॥”

अनुवाद :
इस अवसर पर सब जगह आनन्द ही आनन्द होता है। किसानों के घरों में नया अन्न तथा नया धान्य आ जाता है। नदी जल स्वच्छ और आकाश बादलों से रहित दिखाई पड़ता है। दुकानें द्रव्य और ग्राहकों से परिपूर्ण होती हैं। बालक आतिशबाजी जलाते हैं। घरों में मिठाई का सेवन होता है। खीलें देवताओं और अतिथियों को समर्पित की जाती हैं। घरों के सामने अल्पना बनायी हुई दिखाई देती हैं।

‘अन्धकार से ज्योति (उजाले) की ओर मुझे ले चलो’, यह ही दीपावली का सन्देश है। सभी लोग आपस में मिलते हैं और (एक-दूसरे का) अभिनन्दन करते हैं। वे अभिनन्दनपत्र भेजते हैं और प्रार्थना करते हैं- “हे दीपक की ज्योति तुम्हें नमस्कार है, तुम शुभ और कल्याण करो, आरोग्य और सम्पदा (देती हो) तथा दुष्ट (शत्रु) बुद्धि का विनाश करती हो।”

दीपावलिः शब्दार्थाः

जनश्रुतिः = लोगों की मान्यता। आवलिः = कतार, पंक्ति।। स्वर्णं = सुवर्ण को। रजतं = चाँदी को। क्रीणन्ति = खरीदते हैं। धन्वन्तरिः = यह भारतीय परम्परा में प्रथम वैद्य हैं। प्राक् = पूर्व। अभ्यङ्गस्नानम् = मङ्गलस्नान। (यह शरीर पर तेल लगाकर गर्म जल से किया जाता है।) संवत्सरः = वर्ष कामयतः = कामना करते हैं। अग्निक्रीडनकम् = आतिशबाजी। लाज़ाः = धान की लाई। अल्पना = रंगोली। तमसः = अन्धेरे से। ज्योतिर्गमय = उजाले की ओर ले चलो। आलङ्कर्वन्ति = सजाते हैं। निरभ्रः = बादल रहित।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 6th Sanskrit परिशिष्टम्

१. मम माता देवता
(मेरी माता देवता है)

मम माता देवता।
मम माता देवता॥
अति सरला, अति मृदुला,
गृहकुशला, सा अतुला॥
मम माता॥

पाययति दुग्धं, भोजयति भक्तं
लालयति नित्यं, तोषयति चित्तम्॥
मम माता॥

अनुवाद :
मेरी माँ देवी है। वह अत्यन्त सरल, अत्यन्त कोमल, गृहकार्यों में अति कुशल है अत: वह मेरी माँ अतुलनीय है। वह दूध पिलाती है, माँ के प्रति भक्त बने हुए मुझको भोजन कराती है। प्रतिदिन लालन करती है तथा मेरे मन को प्रसन्न बनाती है। मेरी माँ ऐसी ही है।

सायङ्काले नीराजयति
पाठयति च मां शुभकरोति
शुभं करोतु कल्याणम्

आरोग्यं धनसम्पदम्।
शत्रुबुद्धिविनाशाय
दीपज्योतिर्नमोऽस्तुयते॥

पाठयति च मां शुभङ्करोति॥
मम माता॥

रात्रौ अङ्के मां स्वापयति
मधु मधु मधुरं गीतं गायति
आ आ आ आ आऽऽ
मम माता॥

अनुवाद :
सायंकाल के समय थकान से रहित करके प्रसन्न बनाती है। पढ़ाती है और मेरा कल्याण करती है। हे माँ, तुम मेरा कल्याण करो, मुझे स्वस्थ बनाओ तथा धन सम्पत्ति से युक्त करो। मेरी दुष्ट बुद्धि का विनाश करने के लिए तुम दीप की ज्योति के समान हो। (अतः) मैं तुम्हें नमस्कार करता, हूँ। हे माँ, तुम मुझे पढ़ाती हो, और मेरा शुभ (कल्याण) करती हो।
रात्रि को मुझे अपनी गोद में सुलाती हो। मीठे-मीठे मधुर गीत गाती हो, हे मेरी माँ।

२. नैव क्लिष्टा न च कठिना
(न तो क्लिष्ट है और न कठिन)

सुरससुबोधा विश्वमनोज्ञा
ललिता हृद्या रमणीया।
अमृतवाणी संस्कृतभाषा
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ नैव क्लिष्टा॥

अनुवाद :
यह संस्कृत भाषा देवताओं की वाणी (अमृत वाणी) है। सुरस है, सुबोध है। विश्व के लोगों के मन को जानने वाली है। ललित है। हृदय को अपने आप में रमाने वाली यह संस्कृत भाषा न तो क्लिष्ट है और न कठिन।

कविकोकिल-वाल्मीकि-विरचिता
रामायणरमणीयकथा।
अतीव-सरला मधुरमञ्जला
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ सुरस…….॥

अनुवाद :
कवियों में कोयल के समान वाल्मीकि द्वारा रचित रामायण की कथा अति रमणीय है। वह अत्यन्त सरल, मधुर और मञ्जुल (कोमल) संस्कृत भाषा में रचित है। वह कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कठिन है। (वह संस्कृत भाषा) सुरस, सुबोध और विश्व मनोज्ञा है।

व्यासविरचिता गणेशलिखिता
महाभारते पुण्यकथा।
कौरव-पाण्डव-सङ्गरमथिता
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥सुरस……..॥

अनुवाद :
व्यास द्वारा विरचित और गणेश जी द्वारा लिखी गई महाभारत की कथा अत्यन्त पुण्यशाली है। इसमें कौरव और पाण्डवों के युद्ध का वर्णन किया गया है। उसकी संस्कृत कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कभी भी कठिन है। वह तो सुरस, सुबोध और विश्व मन को मोहित करने वाली है।

कुरुक्षेत्र-समराङ्गण-गीता
विश्ववन्दिता भगवद्गीता।
अमृतमधुरा कर्मदीपिका
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥सुरस…….॥

अनुवाद :
कुरुक्षेत्र के युद्ध में (भगवान श्री कृष्ण ने) विश्व बन्दनीया भगवद्गीता का गायन किया था। वह गीता मधुर अमृत है तथा कर्म की दीपिका है (कर्म को निर्दिष्ट करने वाली है) जिसकी रचना संस्कृत भाषा में हुई है। जो कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कभी कठिन ही है। वह भाषा तो सुरस, सुबोध तथा विश्वमन को मुग्ध करने वाली है।

कविकुलगुरु-नव-रसोन्मेषजा
ऋतु-रघु-कुमार-कविता
विक्रम-शाकुन्तल-मालविका
नैव क्लिष्टा न च कठिना॥
॥ सुरस ……..॥

अनुवाद :
कविकुल गुरु कालिदास ने नव-रसों के उन्मेष से संयुक्त संस्कृत भाषा में ऋतुसंहार, रघुवंशम्, कुमारसम्भवम् काव्य की तथा अभिज्ञानशाकुन्तलम् तथा मालविकाग्निमित्रम् नाटकों की रचना की है जो कभी भी क्लिष्ट नहीं है और न कठिन है। वह भाषा तो सुरस, सुबोध तथा विश्वमन को मुग्ध करने वाली है।

३. सुन्दरसुरभाषा
(सुन्दर देव-भाषा)

मुनिवरविकसित-कविवरविलसित
मञ्जलमञ्जूषा, सुन्दरसुरभाषा।
अयि मातस्तव पोषणक्षमता
मम वचनातीता, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर……॥

अनुवाद :
श्रेष्ठ मुनियों द्वारा विकसित तथा श्रेष्ठ कवियों द्वारा विलसित अत्यन्त मञ्जुल पिटारी सदृश सुन्दर देववाणी-हे माता संस्कृत-तुम्हारी पोषण क्षमता (अन्य भाषाओं को पुष्ट करने की क्षमता) मेरे वचने से अतीत है (परे है)। तुम सुन्दर देव भाषा (वाणी) हो जिसे श्रेष्ठ मुनियों ने विकसित किया है।

वेदव्यास-वाल्मीकि-मुनीनाम्
कालिदास-बाणादिकवीनाम्।
पौराणिक-सामान्य-जनानाम्
जीवनस्य आशा, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर….॥

अनुवाद :
हे सुन्दर सुरवाणी (संस्कृत)। वेदव्यास, वाल्मीकि, मुनियों, कालिदास, बाण आदि कवियों तथा पौराणि क और सामान्य लोगों के जीवन की तुम आशा हो। तुम्हें श्रेष्ठ मुनियों ने विकसित किया है।

श्रुतिसुखननदे सकलप्रमोदे
स्मृतिहितवरदे सरसविनोदे।
गति-मति-प्रेरक-काव्यविशारदे
तव संस्कृततिरेषा, सुन्दरसुरभाषा॥
॥ मुनिवर”॥

अनुवाद :
हे सुन्दर देववाणी। वेद में आनन्द पूर्वक ध्वनित होती हो, सम्पूर्ण प्रसन्नताओं को देने वाली हो। स्मृतियों में कल्याण का वरदान देती हो। सरस हो एवं विनोद से परिपूर्ण हो। हे संस्कृत भाषा-तुम गति और मति की प्रेरक हो, काव्य रचना में कौशल प्रदान करती हो क्योंकि तुम्हारी यहीं संस्कृति है। हे संस्कृत भाषातुम्हें श्रेष्ठ मुनियों द्वारा विकसित किया गया है।

नवरस-रुचिरालङ्कृति धारा
वेदविषय-वेदान्त-विचारा।
वैद्य-व्योम-शास्त्रादि-विहारा
विजयते धरायां, सुन्दरसुरभाषा॥
॥मुनिवर…..॥

अनुवाद :
हे सुन्दर सुरभाषा संस्कृत ! तुम नवरसों से अत्यन्त सुन्दर सुसज्जित अलंकृत धारा के समान हो, जिसका विषय वेद और वेदान्त के विचार हैं। संस्कृत भाषा में वैद्यक, व्योम और शास्त्रीय ज्ञान संकलित है। ऐसी यह सुन्दर सुरभाषा इस पृथ्वी पर विजय प्राप्त कर रही है।

४. दिव्यामेनां दैवीवाणीम्
(दिव्य देववाणी)

दिव्यामेनां दैवीवाणी, वयं वदामः। क्षणे-क्षणे।
भाषाजननी जनकल्याणी, वयं वदामः। क्षणे-क्षणे।
एकीभूयाऽखिले समाजे, बन्धुत्वं रचयामः,
भेदं-द्वन्द्वं तथा विहाय, आनन्दं जनयामः,
आदि-हर्षे, चाभ्युत्कर्षे, वयं हसामः।क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
प्रत्येक क्षण हम इस दिव्य देववाणी में ही बोलते हैं। यह संस्कृत अन्य भाषाओं की जननी है, मनुष्यों का कल्याण करने वाली है। हम इसे प्रत्येक क्षण बोलते हैं।

सभी समाज में एकत्व स्थापित हो जाय और बन्धुत्व की हम रचना करें तथा भेदभाव के झगड़ों को दूर करके आनन्द की उत्पत्ति करें। विपत्ति में, हर्ष में तथा उत्कर्ष में हम सदा ही हँसते रहें-प्रत्येक क्षण प्रसन्न बने रहें।

वीराधीराः स्वयंसैनिकाः, संस्कृति-सेवालग्नाः,
निजसौख्ये नहि राष्ट्रसेवने, सिद्धाः सदानिमग्नाः,
हानि, लाभ, जयाजयं वा! अभिनन्दामः क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
हे माता संस्कृत भाषा! हम तुम्हारा प्रतिक्षण अभिनन्दन करते हैं। हम वीर और धीर हैं, हम सभी स्वयं सैनिक हैं जो संस्कृति की सेवा में लगे हुए हैं। अपने सुख के लिए नहीं, वरन् राष्ट्र की सेवा करने में सफल हैं तथा सदा ही सेवा में संलग्न हैं। हम सबको हानि, लाभ तथा जय पराजय समान प्रतीत होती है।

गता तमिस्त्रा गतं दुर्दिनमुत्तिष्ठत जाग्रतरे,
पाषाणेऽपि नवमितिहास, निश्चयेन लिखतरे,
जने-जनेऽपि मैत्री भावं, तत्पश्यामः क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
अज्ञान के अन्धकार की रात्रि समाप्त हो गयी है। दुर्दिन बीत गया है। इसलिए हे भारतीय जन! उठो और जागो। पत्थरों पर भी निश्चय के साथ नया इतिहास लिखो। हम सभी प्रत्येक क्षण मनुष्य में मैत्रीभाव को देखें।

नजातिनकुलं नो वर्णः, नचगोत्रं नच गौरः कृष्णः,
नधनिकश्चाथवानिर्धनो,नवासुखी नासक्त विवर्णः,
केवलमेकं मानवधर्म, चानुभवामः, क्षणे-क्षणे।

अनुवाद :
जाति, कुल, वर्ण, गोत्र, काले और गोरे, धनवान और निर्धन, सुखी-दुखी, असक्त, विवर्ण के आधार पर कोई भेद न करें। हमारा केवल एक ही मानव धर्म का प्रत्येक क्षण अनुभव करते रहें।

५. मृदापि चन्दनम्
(मिट्टी भी चन्दन)

मृदापि च चन्दनमस्मिन् देशे ग्रामो ग्रामः सिद्धवनम्।
यत्र च बाला देवीस्वरूपा बालां सर्वे श्रीरामाः॥
हरिमन्दिरमिदमखिलशरीरम्
धनशक्ती जनसेवायै
यत्र च क्रीडायै वनराजः
धेनुर्माता परमशिवा॥
नित्यं प्रात: शिवगुणमानं
दीपनुतिः खलु शत्रुपरा॥           ॥ मृदपि ॥

अनुवाद :
इस देश में मिट्टी भी चन्दन है तथा प्रत्येक गाँव सिद्धवन है और जहाँ की बालाएँ देवी के समान हैं तथा सभी बालक श्रीराम जैसे हैं। यह सारा शरीर हरि मन्दिर है। यहाँ का धन और शक्ति जन सेवा के लिए है तथा यहाँ सिंह खेलने के लिए खिलौने हैं। परम कल्याणी गौ माता सदृश है। नित्य प्रति प्रात:काल में शिव का गुणगान होता है तथा शत्रुओं को भगाने के लिए ज्ञान रूपी दीपक की ज्योति विद्यमान है।

भाग्यविधायि निजार्जितकर्म
यत्र श्रमः श्रियमर्जयति।
त्यागधनानां तपोनिधीनां
गाथां गायति कविवाणी
गङ्गाजलमिव नित्यनिर्मलं
ज्ञानं शंसति यतिवाणी॥             ॥ मृदपि ॥

अनुवाद :
भाग्य का विधान करने वाले अपने कर्म से तथा अपने परिश्रम से जहाँ लक्ष्मी को प्राप्त करते हैं, ऐसे यहाँ के लोग धन का त्याग करने वाले और तपोनिधि हैं जिनके (यश की) गाथा को कवियों की वाणी गाती रहती है। गंगा के जल के समान नित्य निर्मल यतियों की वाणी यहाँ के ज्ञान की प्रशंसा करती रहती है। यहाँ की (भारतवर्ष की) मिट्टी भी चन्दन है।

यत्र हि नैव स्वदेहविमोहः
युद्धरतानां वीराणाम्।
यत्र हि कृषकः कार्यरतः सन्
पश्यति जीवनसाफल्यम्
जीवनलक्ष्यं न हि धनपदवी
यत्र च परशिवपदसेवा॥           ॥मृदपि ॥

अनुवाद :
युद्ध में संलग्न वीरों को यहाँ अपने शरीर के प्रति कभी भी विद्रोह नहीं रहा है। यहाँ का किसान अपने कार्य में संलग्न होकर ही अपने जीवन की सफलता का दर्शन करता है। धन और पद की प्राप्ति उसके जीवन का लक्ष्य नहीं है। यहाँ तो दूसरों के कल्याण के लिए पद प्राप्त कर सेवा ही लक्ष्य है। यहाँ की मिट्टी भी चन्दन है।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रायिकता Important Questions

प्रायिकता वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक थैले में 5 भूरे तथा 4 सफेद मोजे रखे हैं। एक पुरुष थैले में से दो मोजे निकालता है। दोनों का एक ही रंग होने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{108}\)
(b) \(\frac{18}{108}\)
(c) \(\frac{30}{108}\)
(d) \(\frac{48}{108}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को तीन बार फेंका गया। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{72}\)
(b) \(\frac{5}{34}\)
(c) \(\frac{13}{216}\)
(d) \(\frac{1}{18}\)

प्रश्न 3.
यह दिया है कि घटनाएँ A तथा B ऐसी हैं कि P(A) = \(\frac{1}{4}\), P( \(\frac{A}{B}\) )  \(\frac{1}{2}\) तथा P( \(\frac{B}{A}\) ) =
\(\frac{2}{3}\) तो P(B) का मान है –
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 4.
एक सिक्का 4 बार उछाला गया है। कम से कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{1}{16}\)
(b) \(\frac{2}{16}\)
(c) \(\frac{14}{16}\)
(d) \(\frac{15}{16}\)

प्रश्न 5.
A के सत्य बोलने की प्रायिकता है \(\frac{4}{5}\) तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है। एक ही तथ्य के पूछने पर उनके एक-दूसरे के विरोधी उत्तर देने की प्रायिकता है –
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{7}{20}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{C}\right)\)  + ………………………
2. P(A∩B) = …………….. था ………………………..
3. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P(A∩B) = ……………………..
4. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P\(\left(\frac{A}{C}\right)\) = …………………………….
5. यदि यादृच्छिक चर x के संगत प्रायिकता P(X) हो, तो घटना E का X का माध्य E(X) = ……………………….. होगा।
6. यदि यादृच्छिक चर X के संगत P(X) हो, तो X का प्रसरण Var (X) = ……………………….. होगा।

उत्तर:

1. P \(\left(\frac{B}{C}\right)\) – P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)
2. P(B).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  या P(A).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\) = या P(A).P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)
3. P(A).P(B)
4. P(A), P(B) ≠ 0
5. ΣX.P(X)
6. ΣX².P(X)- [ΣX.P(X)]².

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A – B) = P(A) – P (A∩B)
2. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A∪B) – P(A∩B) = P(A) + P(B).
3. P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  =  \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
4. यदि A और B प्रतिदर्श समष्टि S की कोई दो घटनाएँ हैं और F एक अन्य घटना इस प्रकार है कि P(F) ≠ 0, तब P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{F}\right)\)  + P \(\left(\frac{B}{F}\right)\)  – P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)
5. किन्ही दो घटनाओं A और B के लिए P(A∪B) = P(A∩B) + P( \(\bar { A } \)∩B) + P(A∩\(\bar { B } \))

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2. एक सिक्का 4 बार उछाला गया है कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3. A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ, P(A) = \(\frac{1}{4}\), P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  = \(\frac{1}{2}\) तथा P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)  = \(\frac{2}{3}\), तो P(B) का मान ज्ञात कीजिए।
4. 5 पत्र तथा 5 पते लिखे लिफाफे हैं। यदि यादृच्छया पत्रों को लिफाफे में रखा जाए, तो 3 पत्रों को सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
5. गणित की एक समस्या को तीन विद्यार्थियों द्वारा हल करने की संभावनाएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) हैं। समस्या हल हो जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर:

1. \(\frac{2}{7}\)
2. \(\frac{15}{16}\)
3. \(\frac{1}{3}\)
4. \(\frac{1}{12}\)
5. \(\frac{3}{4}\)

प्रायिकता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(A) दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं। योगफल 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं
∴ n(S) = 6² = 36
योगफल 8 आने की घटना
A = {(2,6); (6,2); (5,3); (3,5); (4,4)}
∴ n(A) = 5
∴ योगफल 8 आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{5}{36}\)

(B) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

(C) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 2.
एक घटना का प्रतिकूल संयोगानुपात 3 : 4 है, तो उसके न घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात = 3 : 4
∵ घटना के न घटने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{b}{a+b}\)
⇒ P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\)

प्रश्न 3.
52 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है, तो उसके चेहरे वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 52
∵ चेहरे वाले पत्ते = 4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह
∴ n(A) = 4 + 4 + 4 = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

प्रश्न 4.
यदि किसी लीप वर्ष को यदृच्छया चुन लिया जाये तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन। अब शेष दो दिन बचे जिनकी सम्भावना इस प्रकार है:
(रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार); (बुधवार, गुरुवार), (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार)
प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 7
यदि रविवार की घटना E है, तो n(E) = 2
अतः 53 रविवार होने की प्रायिकता = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{2}{7}\).

प्रश्न 5.
घोड़े A के किसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) तथा घोड़े B के उसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{8}\) है, तो इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता क्या है?
हल:
घोड़े A के जीतने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{4}\)
घोड़े B के जीतने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{8}\)
∵ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, अत: P(A∩B) = 0
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{2+1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 6.
(A) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से यदृच्छया एक पत्ता खींचने पर उसके बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बादशाह खींचने की घटना A तथा हुकुम का पत्ता खींचने की घटना B है, तो
n(S) = 52, n(A)= 4, n(B) = 13, n(A∩B) =1
[क्योंकि ताश की गड्डी में चार बादशाह होते हैं; 13 हुकुम के पत्ते होते हैं तथा एक हुकुम का बादशाह होता है।]
∴P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{52}\), P(B) = \(\frac { n(B) }{ n(S) } \) = \(\frac{13}{52}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\) = \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\).

(B) ताश की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि यह न तो इक्की है न ही बादशाह।
हल:
कुल बादशाह = 4, कुल इक्का = 4
8 पत्तों में से कोई एक पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁸C₁
52 पत्तों में से कोई एक पत्ता खींचने की प्रायिकता = ⁵²C₁
∴ P(A) = \(\frac { ^{ 8 }C_{ 1 } }{ ^{ 52 }C_{ 1 } } \) = \(\frac{8}{52}\) = \(\frac{2}{13}\)
इनमें से कोई पत्ता न होने की प्रायिकता = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{2}{13}\) = \(\frac{11}{13}\).

प्रश्न 7.
(A) एक पासे को एक बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम अंक या 5 से कम अंक प्राप्त हो।
हल:
एक पासे को एक बार उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E₁ = {2, 4, 6} ∴ n(E₁) = 3
E₂ = {1, 2, 3, 4} ∴ n(E₂) = 4
E₁∩E₂ = {2, 4} ∴ n(E₁∩E₂) = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता
P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) – \(\frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } \)
= \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{4}{6}\) – \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{7-2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

(B) पासे के एक युग्म को फेंकने पर योग 9 या 11 न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
एक पासे के युग्म को एक साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
अतः n(S) = 36
माना कि E योग 9 या 11 न आने की घटना है।
∴ E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (5,1), (5, 2), (5,3), (5,5), (6,1), (6,2), (6,4), (6,6)}
∴ n(E) = 30
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{30}{36}\) = \(\frac{5}{6}\)

प्रश्न 8.
यदि तीन सिक्के एक साथ उछाले जायें, तो घटना में कम-से-कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाने पर प्रतिदर्श समष्टि की संख्या n(S) = 2³ = 8
माना एक की शीर्ष न होने की घटना \(\bar { A } \) हो, तो
\(\bar { A } \) = {(T, T, T)}
∴ n( \(\bar { A } \) ) = 1
अतः एक की शीर्ष न होने की प्रायिकता
P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) = \(\frac{1}{8}\)
∴ कम – से – कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता P(A) = 1 – P( \(\bar { A } \) )
= 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 9.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E₁ तथा दूसरी बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E₂ है।
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
ये दोनों घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
∴ P(E₁∩E₂) = P(E₁) × P(E₂)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\).

प्रश्न 10.
किसी दौड़ में A, B तथा C घोड़े के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमश: 1 : 2, 1 : 3 तथा 1 : 4 हैं, तो किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
P (E₁) = प्रथम घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+2}\) = \(\frac{1}{3}\)
P (E₂) = द्वितीय घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+3}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(E₃) = \(\frac{1}{1+4}\) = \(\frac{1}{5}\)
अतः किसी एक घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{20+15+12}{60}\) = \(\frac{47}{60}\).

प्रश्न 11.
गणित का एक प्रश्न तीन छात्रों A, B और C को हल करने के लिए दिया जाता है, जिसके हल करने की प्रायिकताएँ क्रमश: 1/2, 1/3 और 1/4 हैं। प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि तीन छात्रों A, B और C द्वारा प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्रमश: P(A), P(B) व P(C) हो, तो
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
और P( \(\bar { C } \) ) = 1 – P(C) = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता = P( \(\bar { A } \) ) P( \(\bar { B } \) ) P( \(\bar { C } \) )
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

प्रायिकता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
रायपुर में 20% व्यक्ति अंग्रेजी का अखबार पढ़ते हैं, 40% व्यक्ति हिन्दी तथा 5% व्यक्ति दोनों प्रकार के अखबार पढ़ते हैं। कितने प्रतिशत व्यक्ति कोई भी अखबार नहीं पढ़ते हैं?
हल:
P(A) = अंग्रेजी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(B) = हिन्दी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A∩B) = दोनों भाषाओं के अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
दोनों भाषाओं के अखबार नहीं पढ़ने वाले व्यक्ति = P( \(\bar { A } \)∩\(\bar { B } \) )
= 1 – P(A∪B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [ \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{2}{5}\) – \(\frac{1}{20}\) ] = 1 – \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{1}{20}\)
= \(\frac{20-12+1}{20}\) = \(\frac{9}{20}\).

प्रश्न 2.
A, प्रकरणों में 75% सत्य बोलता है और B, 80% सत्य बोलता है। यदि दोनों में एक ही प्रकरण पर विरोधाभास हो, तो इसका क्या प्रतिशत होगा? अथवा मोहन 75% प्रकरणों में तथा सोहन 80% प्रकरणों में सच बोलता है। इस घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिये जबकि मोहन सच तथा सोहन झूठ बोलता है।
हल:
A के सत्य बोलने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
B के सत्य बोलने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
A के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
B के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(A और B में विरोधाभास है) = P (A सत्य बोलता है और B असत्य बोलता है) या P(A असत्य बोलता है और B सत्य बोलता है)
= P(A)P( \(\bar { B } \) ) + P( \(\bar { A } \) )P(B)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{7}{20}\)
अतः विरोधाभास का प्रतिशत = \(\frac{7}{20}\) × 100 = 35%

प्रश्न 3.
सिद्ध क्रीजिए कि
P(A) + P(not A) = I.
हल:
माना प्रतिदर्श समुच्चय S है तथा घटना A, S का उपसमुच्चय है। तब,
S के सापेक्ष (A’) = A का पूरक
= not A
स्पष्ट है कि A और A’ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि
A∩A’ = ϕ
समुच्चय सिद्धान्त से किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिये,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
अब B के स्थान पर A’ लिखने पर,
n(A∪A’) = n(A) + n(A’) – n(A∩A’)
⇒ n(S) = n(A) + n(A’) – n(ϕ),
∴ n(S) = n(A) + n(A’) – 0
∴ 1 = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(\bar { A’ } ) }{ n(S) } \)
था 1 = P(A) + P(A’)
अतः P(A) + P(not A) = 1. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए –
हल:
दिया है:
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\)

प्रश्न 5.
10 बच्चों के एक समूह में जिसमें 6 लड़के और 4 लड़कियाँ हैं, 3 बच्चे यदृच्छया चुने जाते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो।
(ii) कम – से – कम 1 लड़की रखता हो।
हल: 10 बच्चों में से 3 बच्चे चुनने के तरीके ¹⁰C₃ = \(\frac { 10! }{ 7!3! } \) = \(\frac{10×9×8×7!}{7!×3×2}\) = 120
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो –
6 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके ⁶C₃ = 20
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{20}{120}\) = \(\frac{1}{6}\)
(ii) कम – से – कम एक लड़की रखता हो –
2 लड़का + 1 लड़की चुनने के तरीके = ⁶C₂, × ⁴C₁ = 15 × 4 = 60
1 लड़का + 2 लड़की चुनने के तरीके = ⁶C₁ × ⁴C₂
= 6 × 6 = 36
3 लड़की चुनने के तरीके = ⁴C₃ = 4
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{60+36+4}{120}\) = \(\frac{100}{120}\) = \(\frac{5}{6}\).

प्रश्न 6.
ताश की गड्डी फेंटते समय एक-एक करके 4 ताश गिर पड़ते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक ताश पान का, दूसरा ईंट का, तीसरा हुकुम का तथा चौथा चिड़ी का होगा।
हल:
ताश के कुल पत्तों की संख्या = 52
पहला पत्ता 52 प्रकार से गिर सकता है।
पहले पत्ते के पान का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 51
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के ईंट का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{51}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 50
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के हुकुम का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴प्रायिकता = \(\frac{13}{50}\)
शेष पत्ते = 50 – 1 = 49
इनमें से एक पत्ता 49 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के चिड़ी का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{49}\)
अतः मिश्र प्रायिकता के सिद्धान्त से अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{13}{51}\) × \(\frac{13}{50}\) × \(\frac{13}{49}\).

प्रश्न 7.
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों को हल करने के लिए दिया गया। उसके हल करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{4}\) हैं। यदि वे सभी हल करने का प्रयत्न करें तो किसी एक के प्रश्न हल किये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
गणित का प्रश्न तीन विद्यार्थियों द्वारा हल किये जाने की प्रायिकता माना क्रमशः P₁, P₂, और P₃, हैं।
अतः P₁ = \(\frac{1}{2}\), P₂ = \(\frac{1}{3}\), P₃ = \(\frac{1}{4}\)
प्रश्न को उन तीनों के द्वारा हल न किये जाने की प्रायिकता क्रमशः
q₁ = 1 – P₁ = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
q₂ = 1 – P₂ = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
q₃ = 1 – P₃ = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः तीनों के द्वारा साथ-साथ प्रश्न हल न किये जाने की प्रायिकता = q₁ .q₂.q₃
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
अतः प्रश्न के हल किये जाने की प्रायिकता = कम-से-कम एक विद्यार्थी के प्रश्न को हल कर सकने की
प्रायिकता = 1 – q₁.q₂.q₃ = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

प्रश्न 8.
एक थैले में 6 काली गेंदें, 5 सफेद गेंदें और 2 नीली गेंदें हैं। उनमें से दो गेंदें यदृच्छया बाहर निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों गेंदें सफेद हों।
हल:
दिया है:
काली गेंद = 6, सफेद गेंद = 5, नीली गेंद = 2
∴ कुल गेंद = (6 + 5 + 2) = 13
अतः n(S) = ¹³C₂
माना सफेद गेंद निकलने की घटना A है, तब
n(A) = ⁵C₂
∴ सूत्र, P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac { ^{ 5 }C_{ 2 } }{ ^{ 13 }C_{ 2 } } \)
P(A) = \(\frac { 5!/3!.2! }{ 13!/11!.2! } \) = \(\frac { \frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } }{ \frac { 13\times 12 }{ 2\times 1 } } \) = \(\frac { 5\times 4 }{ 13\times 12 } \) = \(\frac{5}{39}\).

प्रश्न 9.
एक थैले में 6 लाल, 4 सफेद और 5 नीली गेंदें हैं। यदि थैले में से एक-एक करके गेंद निकाली जाये तथा उन्हें वापस न रखा जाये तो पहले के लाल, दूसरे के सफेद और तीसरे के नीले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
एक थैले में 6 लाल (R), 4 सफेद (W) और 5 नीली (B) गेंदें हैं।
इस प्रकार कुल गेंदों की संख्या = 6 + 4 + 5 = 15
∴ पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{6}{15}\)
अब थैले में कुल 15 – 1 = 14 गेंदें हैं
∴ दूसरे गेंद के सफेद होने की प्रायिकता P(W) = 4.
इसके बाद थैले में कुल 14 – 1 = 13 गेंदें हैं।
∴ तीसरे गेंद के नीली होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{5}{13}\)
अत: अभीष्ट (मिश्र) प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\) × \(\frac{4}{14}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{2}{5}\) × \(\frac{2}{7}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{4×1}{91}\) = \(\frac{4}{91}\).

प्रश्न 10.
दो घनाकार पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर सम संख्या अथवा दोनों का योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो घनाकार पासों को साथ-साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
∴ n(S) = 36
मानलो E₁ = पहले पासे पर सम संख्या आने की घटना
तथा E₂ = योग 9 प्राप्त करने की घटना
∴ E₁ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}
∴ n(E₁) = 18
E₂ = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(E₂) = 4
(E₁∩E₂) = {(4, 5), (6, 3)}
∴ n(E₁∩E₂) = 2
अत: P(E₁) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{18}{36}\)
P(E₂) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{36}\)
तथा
P(E₁∩E₂) = \frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } = \(\frac{2}{36}\)
∴ P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac{18}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) – \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{20}{36}\)
⇒ P(E₁∪E₂) = \(\frac{5}{9}\).

प्रश्न 11.
दो थैलों में से एक में 3 काली और 4लाल गेंदें हैं और दूसरे में 8 काली और 10 लाल गेंदें हैं। यदि किसी एक थैले को चुनकर उसमें से एक गेंद निकाली जाये तो उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल: I थैला
3B + 4R = 7 कुल गेंद
दो थैले में से 1 थैला चुनने की प्रायिकता है = \(\frac{1}{2}\)
1 थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{4}{7}\)
अतः I थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P₁ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{2}{7}\)
पुनः यदि II थैला चुना गया तो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
II थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{10}{18}\) = \(\frac{5}{9}\)
अतः II थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P₂ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{5}{18}\)
उपर्युक्त दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। इनमें से एक ही घटना घटेगी।
अतः अभीष्ट प्रायिकता P = P₁ + P₂ = \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{36+35}{126}\) = \(\frac{71}{126}\)

प्रश्न 12.
दो थैलों में एक में 5 लाल और 7 सफेद गेंदें हैं और दूसरे में 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। दोनों थैलों में से किसी एक से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह गेंद लाल है।
हलः
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर:
\(\frac{37}{120}\)

प्रश्न 13.
एक थैले में 50 बोल्ट तथा 150 नट हैं। आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं। यदि यदृच्छया एक नट थैले से निकाला जाये तो इसके जंग लगे हुये या बोल्ट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रतिदर्श समष्टि S हैं। तब,
n (S) = 200, (∵ 50 बोल्ट + 150 नट = 200)
प्रश्नानुसार,
आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं
इनकी संख्या = 25 + 75 = 100
∴ E₁: जंग लगी वस्तु निकलने की घटना
तब P(E₁) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{100}{200}\)
E₂: बोल्ट निकलने की घटना
तब P(E₂) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{50}{200}\)
उक्त दोनों घटनाओं E₁ और E₂ में 25 जंग लगे बोल्ट उभयनिष्ठ है।
∴ n(E₁∩E₂) = 25
∴ P(E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac{100}{200}\) + \(\frac{50}{200}\) – \(\frac{25}{200}\) = \(\frac{125}{200}\) = \(\frac{5}{8}\).

प्रश्न 14.
A किसी लक्ष्य को 5 बार में से 4 बार भेद सकता है। B, 4 में से 3 बार और C, 3 बार में से 2 बार। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
A द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)
B द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)
C द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने के निम्न प्रकार होंगे –
(i) जब A, B, C तीनों निशाना लगा लें जिसकी प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{24}{60}\)
(ii) जब B, C के निशाने लग जाये पर A का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= (1 – \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{6}{60}\)
(iii) जब C, A के निशाने लग जाये पर B का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × (1 – \(\frac{3}{4}\) ) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{60}\)
(iv) A, B के निशाने लग जाये पर C का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × (1 – \(\frac{2}{3}\) ) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{12}{60}\)
सभी घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
= \(\frac{24}{60}\) + \(\frac{6}{60}\) + \(\frac{8}{60}\) + \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{50}{60}\) = \(\frac{5}{6}\)

प्रश्न 15.
एक कक्षा में 30% विद्यार्थी भौतिकी में, 25% गणित तथा 10% दोनों में फेल होते हैं। एक छात्र यदृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह
(i) गणित में फेल होता है यदि भौतिकी में फेल है
(ii) भौतिकी में फेल होता है जबकि वह गणित में फेल है
हलः
भौतिकी में फेल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{30}{100}\)
गणित में फेल होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{25}{100}\)
भौतिकी और गणित दोनों में फेल होने की प्रायिकता P(A∩B) = \(\frac{10}{100}\)
(i) P( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac { P(B∩A) }{ P(A) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 30 }{ 100 } } \) = \(\frac{1}{3}\)
(ii) P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac { P(A∩B) }{ P(B) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 25 }{ 100 } } \) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\).

प्रश्न 16.
दो थैले A और B में क्रमशः 8 हरी और 9 सफेद और 5 हरी और 4 सफेद गेंदें रखी हैं। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जो कि हरे रंग की है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद थैले B से निकाली गई है। (NCERT)
हल:
माना E₁: थैले A के चयन होने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (1)
E₂: थैले B के चयन होने की घटना
P(E₂) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (2)
पुनः माना C : थैले से एक हरे रंग की गेंद निकालने की घटना
∴ सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से,
P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले A से निकालना)
P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले B से निकालना)
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{8}{8+9}\) = \(\frac{8}{17}\) [∴ थैले A में 8 हरी और 9 सफेद]
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{5}{5+4}\) = \(\frac{5}{9}\)
अब अभीष्ट प्रायिकता अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 17.
एक कंपनी दो फैक्टरी में साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी 60% और दूसरी फैक्टरी 40% साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी से 80% साईकिल उच्च स्तर की और 90% साईकिल दूसरी फैक्टरी उच्च स्तर की बनायी जाती है। एक साईकिल यादृच्छया उच्च स्तर की चुनी जाती है उसके दूसरी फैक्टरी से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [CBSE 2003]
हल:
माना E₁: एक साईकिल पहली फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{60}{100}\)
माना E₂: एक साईकिल दूसरी फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E₂) = \(\frac{40}{100}\)
पुनः माना E उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की घटना है, तब
P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{80}{100}\), [दिया है 80%]
P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ p( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{90}{100}\), [दिया है 90%]
∴ अब अभीष्ट प्रायिकता (अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 18.
एक टी. वी. (T. V.) बनाने के कारखाने में मशीनें ( यंत्र) A, B और C कुल उत्पादन का क्रमश: 30%, 20% और 50% टी. वी. (T. V.) बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 7%, 5% और 2% टी. वी. खराब (त्रुटिपूर्ण ) पायी जाती हैं। टी. वी. के कुल उत्पादन में से एक टी. वी. यादृच्छया जाँच के लिए निकाला गया है और वह खराब (त्रुटिपूर्ण) पाया गया। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है। (CBSE)
हल:
माना कि घटनाएँ T₁, T₂, और T₃, निम्नानुसार हैं –
घटना T₁ : टी. वी. मशीन A द्वारा बनाया गया है।
घटना T₂ : टी. वी. मशीन B द्वारा बनाया गया है।
घटना T₃ : टी. वी. मशीन C द्वारा बनाया गया है।
यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
पुनः माना E : टी. वी. (T. V.) खराब होने की घटना है।
दिया है: P(T₁) = 30% = \(\frac{30}{100}\)
P(T₂) = 20% = \(\frac{20}{100}\)
और P(T₃) = 50% = \(\frac{50}{100}\)
पुनः P( \(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = 7% = \(\frac{7}{100}\)
P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता जबकि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है।
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = 5% = \(\frac{5}{100}\)
इसी प्रकार
P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 2% = \(\frac{2}{100}\)
अब बेज़ प्रमेय (Baye’s Theorem) से,
P( \(\frac { T_{ 1 } }{ E } \) ) = मशीन A द्वारा बनाये गये टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता

प्रश्न 19.
मोहन द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता = है। एक सिक्का उछालने पर मोहन द्वारा चित (Head) बताया जाता है; इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिक्का उछालने पर वास्तव में चित आता (NCERT)
हल:
माना A: एक सिक्का उछालने पर चित आने की घटना
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
B: एक सिक्का चित नहीं आने की घटना है
∴ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना E: मोहन द्वारा एक सिक्का के एक फेंक में यह बताने कि एक सिक्का के एक फेंक में चित आने की घटना है।
अब P( \(\frac{E}{A}\) ) = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
अब बेज़ प्रमेय (Bayes’ theorem) से
P( \(\frac{A}{E}\) ) = मोहन द्वारा यह बताने पर कि सिक्का के एक फेंक में चित आया है।

प्रश्न 20.
बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें और बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं। इन थैलों से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और वह लाल पायी गयी। बैग B से इस गेंद के निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E₁ = बैग A के चुनाव की घटना
E₂ = बैग B के चुनाव की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\); P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना एक एक एक गंद लाल होने की घटना
अब प्रश्नानुसार,
P ( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\) चूँकि बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं।]
P ( \(\frac { R }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{6}{5+6}\) = \(\frac{6}{11}\) [चूँकि बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं।]
अब बेज़-प्रमेय (Bayes’ theorem) से,
P ( \(\frac { E_{ 2 } }{ R } \) ) = एक गेंद बैग B से चुने जाने की प्रायिकता जबकि वह लाल हो

प्रश्न 21.
तीन अभिन्न थैले A, B और C दिए गए हैं, प्रत्येक में दो-दो पुस्तकें हैं। थैले A में दोनों गणित की पुस्तकें हैं, थैले B में दोनों रसायन की पुस्तकें हैं और थैले C में एक गणित और एक रसायन की पुस्तक है। एक विद्यार्थी यादृच्छया एक थैला चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक पुस्तक निकालता है। यदि पुस्तक गणित की है, तो दूसरी पुस्तक भी थैले A से गणित की निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना कि E₁, E₂ और E₃ क्रमशः थैले A, B और C के चयन को दर्शाता है तो उनके चयन की प्रायिकता
P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) ……… (1)
D: गणित की पुस्तक निकलने की घटना तब सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से
P( \(\frac { D }{ E_{ 1 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले A से निकलना)
= \(\frac{2}{2}\) = 1 ……….. (2)
P( \(\frac { D }{ E_{ 2 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले B से निकलना)
= \(\frac{0}{2}\) = 0 ………. (3) [∵ प्रश्नानुसार थैले B में दोनों रसायन की पुस्तक हैं।]
P( \(\frac { D }{ E_{ 3 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले C से निकलना)
= \(\frac{1}{2}\) ………. (4)
अब अभीष्ट प्रायिकता (थैले A से गणित की पुस्तक निकलने की प्रायिकता)
P ( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )
अब बेज़-प्रमेय से,

प्रश्न 22.
एक विद्यार्थी के बारे में जाँच किया जाता है कि वह 5 में से 2 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को फेंकता है और रिपोर्ट करता है कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर सही में संख्या 6 आयी है।
हल:
माना E: उस विद्यार्थी द्वारा पासे के फेंक में यह बताने की घटना कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है।
A: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आने की घटना
B: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 नहीं आने की घटना …………. (1)
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\)
P(B) = P(नहीं A) = P( \(\bar { A } \) )
⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}\) ………… (2)
⇒ P(B) = \(\frac{5}{6}\)
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने पर कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 है जबकि पासे पर वास्तव में संख्या 6 नहीं आयी है।
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता = \(\frac{2}{5}\) ………… (3)
अब
P ( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है।
P( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य नहीं (झूठ) बोलने की प्रायिकता
P( \(\frac{E}{B}\) ) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
अब बेज़-प्रमेय से,
P( \(\frac{A}{E}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है

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