Prasanna

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 300

प्रश्न 1.
कोई रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) खींचिए। बिना मापे हुए \(\overline { PQ } \) के बराबर एक रेखाखण्ड की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पदः
(i) एक रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) खींचा जिसकी लम्बाई ज्ञात नहीं है

(2) l एक रेखा खींची और इस पर एक बिन्दु R लिया।
(3) परकार को \(\overline { PQ } \) के बराबर खोलते हैं।
(4) अब परकार के फैलाव में बिना कोई परिवर्तन किए हुए उसके नुकीले सिरे को R पर रखते हैं।
(5) अब एक चाप लगाते हैं जो l को S पर काटता है। अतः \(\overline { RS } \) ही \(\overline { PQ } \) के बराबर अभीष्ट रेखाखण्ड है।

प्रश्न 2.
एक रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) दिया हुआ है, जिसकी लम्बाई ज्ञात नहीं है। एक रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) की रचना कीजिए जिसकी लम्बाई \(\overline { AB } \) की लम्बाई की दो गुनी है।
हल :
रचना के पद:
(1) रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) दिया हुआ है, जिसकी लम्बाई ज्ञात नहीं है।
(2) परकार के नुकीले सिरे को A पर रखकर परकार को B तक फैलाकर पेंसिल को B पर रखते हैं। परकार का यह फैलाव \(\overline { AB } \) की लम्बाई दर्शाता है।

(3) अब कोई रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु P लेते हैं।
(4) परकार के फैलाव में बिना कोई परिवर्तन किए हुए, उसके नुकीले सिरे को P पर रखते हैं, और पेंसिल वाले सिरे से l पर एक चाप लगाते हैं जो रेखा l को Q पर काटता है।
(5) अब परकार के नुकीले सिरे को Q पर रखकर परकार के उसी फैलाव का एक दूसरा चाप लगाते हैं जो रेखा l को R पर काटता है।

अत: \(\overline { PR } \) अभीष्ट रेखाखण्ड है, जिसकी लम्बाई \(\overline { AB } \) की लम्बाई की दो गुनी है।
अर्थात् \(\overline { PR } \) = 2 \(\overline { AB } \)

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 299

प्रश्न 1.
रूलर का प्रयोग करके 7.3 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए।
हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर एक बिन्दु A लेते हैं।
(2) अब पैमाने को सीधा रखकर उसका शून्य A पर रखते हैं।

(3) पेंसिल की सहायता से A से 7.3 सेमी की दूरी पर बिन्दु B पर निशान लगाते हैं।
(4) A को B से मिलाते हैं। इस प्रकार प्राप्त रेखाखण्ड AB वांछित रेखाखण्ड है।

प्रश्न 2.
रूलर और परकार का प्रयोग करते हुए 5.6 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखा l खींचते हैं और इस पर एक बिन्दु P लेते हैं।

(2) परकार की नोंक को पैमाने के शून्य पर रखते हैं और परकार को इस प्रकार खोलते हैं कि पेंसिल पैमाने के 5.6 सेमी तक पहुँचे।
(3) परकार की नोंक को बिन्दु P पर रखते हैं।
(4) अब परकार में भरी दूरी से रेखा l पर एक चाप लगाते हैं, जो l को बिन्दु Q पर काटता है।
इस प्रकार रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) अभीष्ट रेखाखण्ड है।

प्रश्न 3.
7.8 सेमी लम्बाई का रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) खींचिए। इसमें से \(\overline { AC } \) काटिए जिसकी लम्बाई 4.7 सेमी हो। BC को मापिए।
हल :
रचना के पदः

(1) 7.8 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचा।
(2) यहाँ, \(\overline { AB } \) = 7.8 सेमी और \(\overline { AC } \) = 4.7 सेमी
अब परकार की सहायता से इस रेखाखण्ड पर बिन्दु C इस प्रकार काटते हैं कि AC = 4.7 सेमी।
(3) \(\overline { BC } \) को मापने पर, \(\overline { BC } \) = 3.1 सेमी।

प्रश्न 4.
3.9 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) दिया हुआ है। एक रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) खींचिए जो रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) का दो गुना हो। मापन से अपनी रचना की जाँच कीजिए।

(संकेत: \(\overline { PX } \) खींचिए ताकि \(\overline { PX } \) लम्बाई \(\overline { AB } \) की लम्बाई के बराबर हो। फिर \(\overline { XQ } \) काटिए ताकि \(\overline { XQ } \) की लम्बाई भी \(\overline { AB } \) की लम्बाई के बराबर हो। इस प्रकार \(\overline { PX } \) और \(\overline { XQ } \) की लम्बाई मिलकर \(\overline { AB } \) की लम्बाई का दो गुना हो जाएगी।)
हल :
रचना के पद :
(i) एक रेखा l खींचते हैं।
(ii) AB = 3.9 सेमी खींची।

(iii) रेखा l में से \(\overline { PX } \) = \(\overline { AB } \) = 3.9 सेमी काटा।
(iv) अब \(\overline { XQ } \) = \(\overline { AB } \) = 3.9 सेमी काटा।
अत: \(\overline { AB } \) की दो गुनी लम्बाई के लिए \(\overline { PX } \) और \(\overline { XQ } \) लम्बाई जोड़ते हैं।
जाँच : \(\overline { AB } \) + \(\overline { AB } \) = 3.9 सेमी + 3.9 सेमी
2 \(\overline { AB } \) = 7.8 सेमी = \(\overline { PQ } \)
अत: \(\overline { AB } \) का दो गुना = \(\overline { PQ } \)

प्रश्न 5.
7.3 सेमी लम्बाई का रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) और 3.4 सेमी लम्बाई का रेखाखण्ड \(\overline { CD } \) दिया हुआ है। एक रेखाखण्ड \(\overline { XY } \) खींचिए ताकि \(\overline { XY } \) की लम्बाई \(\overline { AB } \) और \(\overline { CD } \) की लम्बाइयों के अन्तर के बराबर हो।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) = 7.3 और \(\overline { CD } \) = 3.4 सेमी खींचते हैं।

(2) एक रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु X लेते हैं।

(3) अब \(\overline { XR } \) इस प्रकार लेते हैं कि \(\overline { XR } \) की लम्बाई = \(\overline { AB } \) की लम्बाई = 7.3 सेमी

(4) अब \(\overline { RY } \) = \(\overline { CD } \) की लम्बाई (3.4 सेमी) इस प्रकार काटते हैं कि
\(\overline { XY } \) की लम्बाई = \(\overline { AB } \) की लम्बाई – \(\overline { CD } \) की लम्बाई
जाँच : मापने पर, हम प्राप्त करते हैं
\(\overline { XY } \) = 3.9 सेमी = 7.3 सेमी – 3.4 सेमी
= \(\overline { AB } \) – \(\overline { CD } \)
अतः \(\overline { XY } \) = \(\overline { AB } \) – \(\overline { CD } \)

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.1

प्रश्न 1.
3.2 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर एक बिन्दु O लेते हैं।
(2) परकार को वांछित त्रिज्या 3.2 सेण्टीमीटर तक खोलते हैं।
(3) परकार की नोंक को स्थिर बिन्दु O पर रखते हैं तथा दूसरे पेंसिल वाले सिरे को घुमाते हैं। पेंसिल वाले सिर को घुमाने पर वांछित वृत्त प्राप्त होता है।

प्रश्न 2.
एक ही केन्द्र O लेकर 4 सेमी और 2.5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर एक बिन्दु O लेते हैं।
(2) परकार को 2.5 सेमी तक खोलते हैं।
(3) परकार की नोंक को बिन्दु O पर रखकर पेंसिल वाले सिरे को घुमाकर वृत बनाते हैं। इस प्रकार प्राप्त वृत्त 2.5 सेमी त्रिज्या का वृत्त होगा।

(4) अब परकार को 4 सेमी के लिए खोलते हैं।
(5) परकार की नोंक को बिन्दु O पर रखकर पेंसिल वाले सिरे को घुमाते हैं। इस प्रकार प्राप्त वृत्त 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त होगा।

प्रश्न 3.
एक वृत्त और उसके कोई दो व्यास खींचिए। यदि आप इन व्यासों के सिरों को जोड़े दें तो कौन-सी आकृति प्राप्त होती है ? यदि व्यास परस्पर लम्ब हों, तो कौन-सी आकृति प्राप्त होगी?
आप अपने उत्तर की जाँच किस प्रकार करेंगे ?
हल :
रचना के पदः
(1) O केन्द्र लेकर किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(2) दो व्यास AC और BD खींचे।
(3) AC और BD को मिलाकर चतुर्भुज ABCD बनाते हैं।
मापने पर, AB = CD और AD = BC
और ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
अत: ABCD एक आयत है।

पुनः यदि व्यास AC और BD लम्बवत् हैं, तब
(1) AC और BD के सिरों को मिलाते हैं।
हम एक चतुर्भुज प्राप्त करते हैं।

मापने पर, हम प्राप्त करते हैं :
AB = BC = CD = DA
और ∠A = ∠B और ∠C = ∠D
अत: ABCD एक वर्ग है।

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और बिन्दु A, B और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि
(a) A वृत्त पर स्थित हो।
(b) B वृत्त के अभ्यंतर में स्थित हो।
(c) C वृत्त के बहिर्भाग में स्थित हो।
हल :

प्रश्न 5.
मान लीजिए A और B समान त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के केन्द्र हैं। इन्हें इस प्रकार खींचिए ताकि एक वृत्त दूसरे के केन्द्र से होकर जाए। इन्हें C और D पर प्रतिच्छेद करने दीजिए। जाँच कीजिए कि \(\overline { AB } \) और \(\overline { CD } \) परस्पर समकोण पर हैं।

उत्तर-
हाँ, रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) और \(\overline { CD } \) परस्पर समकोण पर हैं।

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Intext Questions

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 297-298

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

प्रश्न 1.
आप केन्द्र O लेकर, एक बिन्दु मान लीजिए P से कितने वृत्त खींचे सकते हैं?
उत्तर-
एक।

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 आलेखों से परिचय Intext Questions

MP Board Class 8th Maths Chapter 15 पाठान्तर्गत प्रश्नोत्तर

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 253

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

प्रश्न 1.
एक कार की पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गई राशि खरीदे गए पेट्रोल की मात्रा (लीटर में) द्वारा निश्चित होती है। यहाँ पर कौन-सा चर स्वतन्त्र है? चर्चा कीजिए?
उत्तर:
क्योंकि पेट्रोल टंकी को भरने के लिए दी गई राशि पेट्रोल की मात्रा पर निर्भर करती है। अत: पेट्रोल की मात्रा स्वतन्त्र चर है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 254

प्रयास कीजिए (क्रमांक 15.1)

प्रश्न 1.
ऊपर के उदाहरण (उदाहरण 6) में, आलेख से ज्ञात कीजिए कि ₹ 800 में कितना पेट्रोल खरीदा जा सकता है?
उत्तर:
₹ 800 में 16 लीटर पेट्रोल खरीदा जा सकता है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 255

प्रयास कीजिए (क्रमांक 15.2)

प्रश्न 1.
क्या उदाहरण 7 एक समानुपात का उदाहरण है?
उत्तर:
हाँ, यह एक समानुपात का उदाहरण है।

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MP Board Class 6th Sanskrit Solutions Surbhi Chapter 20 श्रमस्य महत्वम्

MP Board Class 6th Sanskrit Chapter 20 अभ्यासः

प्रश्न 1.
एकपदेन उत्तरं लिखत (एक शब्द में उत्तर लिखो)
(क) सिक्खधर्मस्य प्रवर्तकः कः? (सिक्ख धर्म के प्रवर्तक कौन थे?)
उत्तर:
गुरुनानकदेवः

(ख) गुरुनानकदेवः कस्मिन् प्रान्ते अभवत्? (गुरुनानक देव किस प्रान्त में हुए?)
उत्तर:
पञ्जाब प्रान्ते

(ग) श्रमिकः काः समर्पितवान्? (श्रमिक ने क्या समर्पित किया?)
उत्तर:
रोटिकाः

(घ) धनिकः किम् अयच्छत्? (धनवान ने क्या प्रदान किया?)
उत्तर:
मिष्टान्नम्

(ङ) गुरुनानकः कस्य भोजनं स्वीकृतवान्? (गुरुनानक ने किसका भोजन स्वीकार किया?)
उत्तर:
श्रमिकस्य।।

प्रश्न 2.
एकवाक्येन उत्तरं लिखत (एक वाक्य में उत्तर लिखो)
(क) गुरुनानकः किमर्थं ग्रामम् अगच्छत्। (गुरुनानक किसलिए ग्राम को गये थे?)
उत्तर:
गुरुनानक: धर्मप्रचारार्थम् ग्रामम् अगच्छत्। (गुरुनानक धर्म के प्रचार के लिए ग्राम को गये।)

(ख) धनिकः किमर्थम् उत्तेजितः अभवत्? (धनिक किसलिए उत्तेजित हो गया?)
उत्तर:
धनिकस्य मिष्टान्नम् गुरुणा नानकेन अस्वीकृतः तेन सः धनिकः उत्तेजितः अभवत्। (धनिक का मिष्ठान्न गुरुनानक ने अस्वीकृत कर दिया। उससे वह धनवान उत्तेजित हो गया।)

(ग) गुरु धनिकं किम् उक्तवान्? (गुरू ने धनिक से क्या कहा?)
उत्तर:
गुरुः धनिकम् उक्तवान् यत् संसारे जात्या, धनेन च न कः अपि जन: उच्च: निम्नो वा। सर्वेजनाः समानाः। चरित्रेण एव श्रेष्ठता भवति। (गुरु ने धनवान से कहा कि संसार में जाति से और धन से कोई भी मनुष्य ऊँचा या नीचा नहीं होता है। सभी लोग समान होते हैं। चरित्र से श्रेष्ठता होती है।)

(घ) लक्ष्मी: शुद्धा कथं भवति? (लक्ष्मी शुद्ध किस तरह होती है?)
उत्तर:
श्रमेण अर्जिता लक्ष्मी: शुद्धा भवति। (परिश्रम से कमाई लक्ष्मी शुद्ध होती है।)

(ङ) मनुष्यस्य श्रेष्ठता केन भवति? (मनुष्य की श्रेष्ठता किससे होती है?)
उत्तर:
मनुष्यस्य श्रेष्ठता चरित्रेण भवति। (मनुष्य की श्रेष्ठता चरित्र से होती है।)

प्रश्न 3.
उचितशब्देन रिक्तस्थानं पूरयत (उचित शब्द से रिक्त स्थान को पूरा करो)
(क) “श्रम एव जयति” इति ध्येय …………. अस्ति। (वाक्यम्/वाक्यानि)
(ख) श्रमेण ……….. उन्नतिः भवति। (राष्ट्रस्य/राष्ट्रात्)
(ग) मम ………… सरसभोजनम् आनीतम्। (गृह/गृहात्)
(घ) एतत् …………. धनिकः सक्रोधम् अवदत्। (दृष्ट्वा /दृष्टम्)
(ङ) धनिकस्य भोजनं ……………… शुष्करोटिकाः स्वीकृतवान्। (त्यक्त्वा/त्यक्तुम्)
उत्तर:
(क) वाक्यम्
(ख) राष्ट्रस्य
(ग) गृहात्
(घ) दृष्ट्वा
(ङ) त्यक्त्वा।

प्रश्न 4.
उचितं मेलयत (उचित को मिलाओ)

उत्तर:
(क) → 3
(ख) → 4
(ग) → 1
(घ) → 2

प्रश्न 5.
क्त्वा प्रत्ययं योजयित्वा वाक्यनिर्माणं कुरुत (क्त्वा प्रत्यय जोड़कर वाक्य निर्माण करो)
(क) श्रमिकः गुरुं नमति, भोजनं यच्छति।
(ख) धनिकः गुरुं पश्यति, मिष्टान्नं यच्छति।
(ग) धनिकः गुरुवाक्यं शृणोति, सन्तुष्टः भवति।
(घ) धनिकः अभिमानं त्यजति, विनम्रः भवति।
उत्तर:
(क) श्रमिकः गुरुम नंत्वा भोजनं यच्छति।
(ख) धनिकः गुरुम् दृष्ट्वा मिष्टान्नं यच्छति।
(ग) धनिकः गुरुवाक्यं श्रुत्वा सन्तुष्टः भवति।
(घ) धनिकः अभिमानम् त्यक्त्वा विनम्रः भवति।

योग्यताविस्तारः

1. “श्रमस्य महत्वम्” विषयोपरि पञ्च वाक्यानि लिखत। (“श्रम के महत्व” विषय पर पाँच वाक्य लिखो)
उत्तर:
श्रमस्य महत्वम् :

• अपारे खलु संसारे सर्वे एव जनाः सुखमयं जीवनं कामयन्ते। इस अपार संसार में सभी लोग सुखमय जीवन की कामना करते हैं।
• जीवन सुखमयं विधातुं सुखं शान्तिश्च अपेक्षेते। जीवन को सुखमय बनाने के लिए सुख और शान्ति की अपेक्षा होती है।
• जीवनं पुरुषार्थेन एव चलति, अत: मानव पुरुषार्थी, उद्यमी श्रमशीलः च भवेत्। जीवन पुरुषार्थ से ही चलता है। अतः मनुष्य को पुरुषार्थी, उद्यमी और श्रमशील होना चाहिए।
• अकर्मणि कदापि प्रवृत्तिः न विधेया। अकर्म (निकम्मेपन में) प्रवृत्ति नहीं होनी चाहिए।
• उद्योगशीलः एव जनः सर्व दुःखानि विहाय सुखानि समृद्धिं च अनुभवति। उद्योगशील मनुष्य ही सभी दुःखों का त्याग करके सुख और समृद्धि का अनुभव करता है।
• संसारे परिश्रमस्य उद्योगस्य वा महत्वं सर्वैः स्वीकृतमस्ति। संसार में परिश्रम का अथवा उद्योग का महत्व सभी के द्वारा स्वीकारा गया है।

2. श्लोकं स्मरत (श्लोक को कण्ठाग्र करो)उद्यमः, साहस, धैर्य, बुद्धिः, शक्तिः, पराक्रमः। षडेते यत्र वर्तन्ते, तत्र देवः सहायकः॥

श्रमस्य महत्वम् हिन्दी अनुवाद

“श्रम एव जयति” इति अस्माकं ध्येयवाक्यम् अस्ति। श्रमेण राष्ट्रस्य उन्नतिः भवति। श्रमेण अर्जितं धनं श्रेष्ठं भवति। सिक्खधर्मस्यप्रवर्तकः गुरुनानकदेवः पञ्जाबप्रान्ते अभवत्। एकदा सः धर्मप्रचारार्थं एकं ग्रामम् अगच्छत्। तत्र एकः श्रमिकः गुरुं दृष्ट्वा स्वागतम् अकरोत् एवं च भोजनार्थं रोटिकाः समर्पयत्। एकः उच्चवर्गीयः धनिकः अपि गुरवे मिष्टान्नंअयच्छत्। नानकः किश्चित् विचार्य श्रमिकस्यरोटिकाः स्वीकृतवान्। एतत् दृष्ट्वा धनिकः सक्रोधम् अवदत्”महाराज! किमेतत् ? मम गृहात् आनीतं सरसभोजनं त्यक्त्वा भवान् श्रमिकस्य शुष्करोटिकाः स्वीकरोति। एतत् समीचीनं नास्ति। अहं प्रतिष्ठितः अस्मि। भवान् मम अपमानम् अकरोत्। किं मयि गुरुकृपा नास्ति? माम् अपि गौरवान्वितं करोतु।”

अनुवाद :
“परिश्रम ही विजय प्राप्त करता है।” यह हमारा ध्येय वाक्य है। परिश्रम से राष्ट्र की उन्नति होती है। श्रम से कमाया धन श्रेष्ठ होता है। सिक्ख पन्थ के प्रवर्तक गुरुनानक देव पंजाब प्रान्त में हुए थे। एक बार वे धर्म के प्रचार के लिए एक गाँव को गये। वहाँ एक श्रमिक (मजदूर) ने गुरु को देखकर स्वागत किया और भोजन के लिए रोटियाँ समर्पित कर दीं। एक उच्च वर्ग के धनवान ने भी गुरुजी को मिष्ठान (मीठे पकवान या मिठाइयाँ) दी। नानक ने कुछ विचार करके श्रमिक की रोटियों को स्वीकार कर लिया। इसे देखकर धनवान व्यक्ति क्रोधपूर्वक बोला-“महाराज! यह क्या है? मेरे घर से लाये गये सरस भोजन (स्वादिष्ट भोजन) को त्यागकर आपने श्रमिक की सूखी रोटियाँ स्वीकार की हैं। यह उचित नहीं है। मैं प्रतिष्ठावान् हूँ। आपने मेरा अपमान किया। क्या मुझ पर गुरु की कृपा नहीं है? मुझे भी गौरवान्वित कीजिए।”

गुरुनानकः क्षणं विचार्य मधुरवाण्या अवदत्-“संसारे जात्या, धनेन च न कोऽपि जन: उच्चः निम्नो वा। सर्वेजनाः समानाः। चरित्रेण एव श्रेष्ठता भवति। श्रमिकेण तु बहुश्रमेण धनं अर्जितम्। अतः तस्य भोजनं पवित्रम् अस्ति। अहं तस्य भोजनं स्वीकृतवान्। गुरुवाणीं श्रुत्वा प्रभावितः धनिकः अभिमानं त्यक्त्वा विनम्रः भूत्वा गुरुचरणयोः भूमौ अपतत्। उक्तं च “श्रमेण उपार्जिता लक्ष्मी: शुद्धा भवति।”

अनुवाद :
गुरुनानक क्षण भर विचार करके मधुर वाणी में बोले-“संसार में जाति से और धन से कोई भी व्यक्ति ऊँचा अथवा नीचा नहीं होता है। सभी लोग समान ही होते हैं। चरित्र से श्रेष्ठता होती है। श्रमिक ने बहुत परिश्रम से धन कमाया है। इसलिए उसका भोजन पवित्र है। मैंने उसका भोजन स्वीकार कर लिया। गुरु की वाणी को सुनकर प्रभावित हुआ धनवान अभिमान का त्याग करके विनम्र होकर गुरु के चरणों में जमीन पर गिर गया और कहा “परिश्रम से उपार्जित लक्ष्मी शुद्ध होती है।”

श्रमस्य महत्वम् शब्दार्थाः।

प्रवर्तक = चलाने वाले। विचार्य = विचार करके। श्रमिकः = मेहनत करने वाला, मजदूर। अयच्छत् = दिया। गौरवान्वितम् = धन्य।

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 आलेखों से परिचय Ex 15.2

प्रश्न 1.
निम्न बिन्दुओं को एक वर्गांकित कागज (Graph sheet) or sifona ariffiny zit Hilferu fata QRIT वे सभी एक सरल रेखा पर स्थित हैं?

1. A (4, 0), B (4, 2), C (4, 6), D (4, 2.5)
2. P(1, 1), Q (2, 2), R (3, 3), S (4, 4)
3. K (2, 3), L (5, 3), M (5, 5), N (2, 5)

हल:
1.

यहाँ सभी बिन्दु एक सरल रेखा पर स्थित हैं।

हल:
2.

यहाँ सभी बिन्दु एक सरल रेखा पर स्थित हैं।

हल:
3.

यहाँ सभी बिन्दु एक सरल रेखा पर स्थित नहीं हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (2, 3) तथा (3, 2) में से गुजरती हुई एक सरल रेखा खींचिए। उन बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए जिन पर यह रेखा X – अक्ष तथा Y – अक्ष को प्रतिच्छेद करती हैं।
हल:

यहाँ, सरल रेखा X – अक्ष को R (5, 0) और Y – अक्ष को S (0, 5) पर प्रतिच्छेद करती है।

प्रश्न 3.
आलेख में बनाई गई आकृतियों में प्रत्येक के शीर्षों के निर्देशांक लिखिए –

हल:
बिन्दुओं के निर्देशांक:

1. O (0,0), A (2,0), B (2, 3),C (0, 3)
2. P (4, 3), Q (6, 1), R (6, 5), S (4, 7)
3. K (10,5), L (7, 7), M (10,8)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में कौन-सा सत्य है तथा कौन-सा असत्य? असत्य को ठीक कीजिए।

1. कोई बिन्दु जिसका X – निर्देशांक शून्य है तथा Y – निर्देशांक शून्येतर है, Y – अक्ष पर स्थित होगा।
2. कोई बिन्दु जिसका Y – निर्देशांक शून्य है तथा X – निर्देशांक 5 है, Y – अक्ष पर स्थित होगा।
3. मूलबिन्दु के निर्देशांक (0, 0) हैं।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य, X-अक्ष पर स्थित होगा।
3. सत्य।

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MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 292-293

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों में सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। आप अपने उत्तर की जाँच कैसे करोगे?
हल :
(a)

चार सममित रेखाएँ

(b)

एक सममित रेखा

(c)

दो सममित रेखाएँ

(d)

दो सममित रेखाएँ

(e)

एक सममित रेखा

(f)

दो सममित रेखाएँ .

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दिए गए आरेखण को वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक को पूरा कीजिए जिससे -प्राप्त आकृति में दो बिन्दुकित रेखाएँ दो सममित रेखाओं के रूप में हों।
हल :
आकृतियों को पूरा करने पर,

प्रश्न 3.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई प्रत्येक आकृति में, अंग्रेजी वर्णमाला के एक अक्षर को ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ दिखाया गया है। इस अक्षर का दी हुई दर्पण रेखा में प्रतिबिम्ब लीजिए। बताइए कौन-सा अक्षर परावर्तन के बाद समान रहता है (जैसे कौन-सा अक्षर प्रतिबिम्ब में समान दिखाई देता है) और कौन-सा नहीं ? क्या आप कल्पना कर सकते हैं, क्यों ?
O E M N P H L T S V X के लिए प्रयास कीजिए।
हल :
स्पष्ट है कि A प्रतिबिम्ब के बाद भी समान दिखता है, जबकि B समान नहीं दिखता है।

स्पष्ट है कि अक्षर O, M, H, T, V और X प्रतिबिम्ब में समान दिखाई देते हैं, जबकि E, N, P, L और S प्रतिबिम्ब में समान दिखाई नहीं देते हैं।

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 आलेखों से परिचय Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्न आलेख, किसी अस्पताल में एक रोगी का प्रति घण्टे लिया गया तापमान दर्शाता है –

1. रोगी का तापमान 1 बजे दोपहर क्या था?
2. रोगी का तापमान 38.5°C कब था?
3. इस पूरे अन्तराल में रोगी का तापमान दो बार एक समान ही था। ये दो समय क्या-क्या थे?
4. 1:30 बजे दोपहर रोगी का तापमान क्या था? इस निष्कर्ष पर आप कैसे पहुँचे?
5. किन अन्तरालों में तापमान ‘बढ़ने का रुझान’ दर्शाता है?

उत्तर:

1. रोगी का तापमान 1 बजे दोपहर 36.5°C था।
2. रोगी का तापमान 38.5°C दोपहर 12 बजे था।
3. ये दो समय दोपहर 1 बजे, दोपहर 2 बजे थे।
4. 130 बजे दोपहर रोगी का तापमान 36.5°C था।

दोपहर 1 बजे से दोपहर 2 बजे के बीच में X – अक्ष पर स्थित = बिन्दु दोपहर 1 बजे और दोपहर 2 बजे को दर्शाने वाले बिन्दुओं से समदरस्थ है, इसलिए, यह दोपहर 1 बजकर 30 मिनट का समय प्रदर्शित करेगा। इसी प्रकार Y-अक्ष पर 36°C और 37°C के बीच का बिन्दु 36-5°C को प्रदर्शित करेगा।

5. प्रातः 9 बजे से प्रातः 10 बजे तक, प्रातः 10 बजे से F 1 बजे तक, दोपहर 2 बजे से दोपहर 3 बजे तक तापमान बढ़ने
का रुझान दर्शाता है।

प्रश्न 2.
एक निर्माता कम्पनी की विभिन्न वर्षों में की गई बिक्री निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई है –

1. • वर्ष 2002 में
   • वर्ष 2006 में कितनी बिक्री थी?
2. • वर्ष 2003 में
   • वर्ष 2005 में कितनी बिक्री थी?
3. वर्ष 2002 तथा वर्ष 2006 की बिक्रियों में कितना अन्तर था?
4. किस अन्तराल में बिक्रियों का यह अन्तर सबसे अधिक था?

उत्तर:

1. • वर्ष 2002 में बिक्री ₹ 4 करोड़ थी।
   • वर्ष 2006 में बिक्री ₹ 8 करोड़ थी।
2. • वर्ष 2003 में बिक्री ₹7 करोड़ थी।
   • वर्ष 2005 में बिक्री ₹ 10 करोड़ थी।
3. वर्ष 2002 तथा वर्ष 2006 की बिक्रियों अन्तर ₹ 4 करोड़ था।
4. वर्ष 2005 के अन्तराल में बिक्रियों का यह अन्तर सबसे अधिक था।

प्रश्न 3.
वनस्पति विज्ञान के एक प्रयोग में समान प्रयोशाला परिस्थितियों में दो पौधे A तथा B उगाए गए। तीन सप्ताहों तक उनकी ऊँचाइयों को हर सप्ताह के अन्त में मापा गया। परिणामों को निम्न आलेख में दर्शाया गया है –

1. • 2 सप्ताह बाद
   • 3 सप्ताह बाद पौधे A की ऊँचाई कितनी थी?
2. • 2 सप्ताह बाद
   • 3 सप्ताह बाद पौधे B की ऊँचाई कितनी थी?
3. तीसरे सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई कितनी बढ़ी?
4. दूसरे सप्ताह के अन्त से तीसरे सप्ताह के अन्त तक पौधे B की ऊँचाई कितनी बढ़ी?
5. किस सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई सबसे अधिक बढ़ी?
6. किस सप्ताह में पौधे B की ऊँचाई सबसे कम बढ़ी?
7. क्या किसी सप्ताह में दोनों पौधों की ऊँचाई समान थी? पहचानिए।

उत्तर:

1. • 2 सप्ताह बाद पौधे A की ऊँचाई 7 cm बढ़ी।
   • 3 सप्ताह बाद पौधे A की ऊँचाई 9 cm बढ़ी।
2. • 2 सप्ताह बाद पौधे B की ऊँचाई 7 cm बढ़ी।
   • 3 सप्ताह बाद पौधे B की ऊँचाई 10 cm बढ़ी।
3. तीसरे सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई 2 cm बढ़ी।
4. दूसरे सप्ताह के अन्त से तीसरे सप्ताह के अन्त तक पौधे B की ऊँचाई 3 cm बढ़ी।
5. दूसरे सप्ताह में पौधे A की ऊँचाई सबसे अधिक बढ़ी।
6. तीसरे सप्ताह में पौधे B की ऊँचाई सबसे कम बढ़ी।
7. हाँ, दूसरे सप्ताह के अन्त में दोनों पौधों की ऊँचाई समान थी।

प्रश्न 4.
निम्न आलेख, किसी सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए पूर्वानुमानित तापमान तथा वास्तविक तापमान दर्शाता है –

1. किस दिन पूर्वानुमानित तापमान व वास्तविक तापमान समान था?
2. सप्ताह में पूर्वानुमानित अधिकतम तापमान क्या था?
3. सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान क्या था?
4. किस दिन वास्तविक तापमान व पूर्वानुमानित तापमान में अन्तर सर्वाधिक था?

उत्तर:

1. मंगलवार, शुक्रवार और शनिवार को पूर्वानुमा. नित व वास्तविक तापमान समान था।
2. सप्ताह में पूर्वानुमानित अधिकतम तापमान 35°C था।
3. सप्ताह में वास्तविक न्यूनतम तापमान 15°C था।
4. वृहस्पतिवार को वास्तविक तापमान व पूर्वानुमानित तापमान में अन्तर सर्वाधिक था।

प्रश्न 5.
निम्न तालिका प्रयोग कर एक रैखिक आलेख बनाइए –

(a) विभिन्न वर्षों में किसी पर्वतीय नगर में हिमपात के दिनों की संख्या –

(b) विभिन्न वर्षों के एक गाँव में, पुरुषों व स्त्रियों की संख्या (हजारों में) –

हल:
(a)

वांछित रैखिक आलेख खींचने के लिए X – अक्ष पर वर्ष तथा Y – अक्ष पर उचित पैमाना लेकर दिन अंकित किए। सर्वप्रथम बिन्दु क्रमशः (2003, 8); (2004, 10); (2005, 5); तथा (2006, 12) अंकित किए। इन बिन्दुओं को रेखाखण्डों द्वारा मिलाकर अभीष्ट रैखिक आलेख प्राप्त किया।
(b)

वांछित रैखिक आलेख खींचने के लिए X – अक्ष और Y – अक्ष निर्धारित किए। X – अक्ष पर वर्ष तथा Y – अक्ष पर पुरुषों व स्त्रियों की संख्या अंकित की। अब पुरुषों व स्त्रियों के दिए गए बिन्दु युग्म क्रमशः (2003, 12), (2004, 12.5), (2005, 13), (2006, 13-2), (2007, 13.5) तथा (2003, 113), (2004, 11.9), (2005, 13), (2006, 13.6), (2007, 12.8) अंकित किए। इन बिन्दुओं को रेखाखण्डों द्वारा मिलाकर अभीष्ट रैखिक आलेख प्राप्त किया।

प्रश्न 6.
एक डाकिया किसी नगर के पास ही स्थित एक उप नगर में एक व्यापारी को पार्सल पहुँचाने के लिए साइकिल पर जाता है। विभिन्न समयों पर नगर से उसकी दूरियाँ निम्न आलेख द्वारा दर्शाई गई हैं –

1. X – अक्ष पर समय दर्शाने के लिए क्या पैमाना प्रयोग किया गया है?
2. उसने पूरी यात्रा के लिए कितना समय लिया?
3. व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी कितनी है?
4. क्या डाकिया रास्ते में कहीं रुका? विवरण दीजिए।
5. किस अन्तराल में उसकी चाल सबसे अधिक थी?

उत्तर:

1. X – अक्ष पर समय दर्शाने के लिए पैमाना 4 इकाई = 1 घण्टा प्रयोग किया गया है।
2. उसने पूरी यात्रा के लिए 3 3 घण्टे लिए।
3. व्यापारी के स्थान की नगर से दूरी 22 km है।
4. हाँ, डाकिया प्रातः 10 बजे से प्रातः 10 : 30 तक रुका। यह आलेख के क्षैतिज भाग से दर्शित होता है।
5. प्रातः 8 बजे और प्रात: 9 बजे के बीच में उसकी चाल सबसे अधिक थी।

प्रश्न 7.
निम्न आलेखों में कौन-कौन से आलेख समय व तापमान के बीच सम्भव हैं? तर्क के साथ अपने उत्तर दीजिए।

उत्तर:

(i) यह आलेख समय व तापमान के बीच सम्भव है। क्योंकि यह समय के साथ-साथ तापमान में वृद्धि दर्शाता
(ii) यह आलेख समय व तापमान के बीच सम्भव है। क्योंकि यहाँ समय के साथ तापमान कम हो रहा है।
(iii) यह आलेख समय व तापमान के बीच सम्भव नहीं है। क्योंकि यह एक ही समय में भिन्न-भिन्न तापमान दर्शाता है।
(iv) यह आलेख समय व तापमान को दर्शाता है। यहाँ यह आलेख स्थिर तापमान दर्शाता है।

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 13 सममिति Ex 13.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 288-290

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों में प्रत्येक की सममित रेखाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। .
हल :
(a) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l1, l2, l3, l4 द्वारा दर्शाया गया है।

(b) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n, 0 द्वारा दर्शाया गया है।

(c) दी हुई आकृति में चार सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं a, b, c, d द्वारा दर्शाया गया है।

(d) दी हुई आकृति में केवल एक सममित रेखा है, जिसे बिन्दुकित रेखा P द्वारा दर्शाया गया है।

(e) दी हुई आकृति में 6 सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n, 0, p, q द्वारा दर्शाया गया है।

(f) दी हुई आकृति में 6 सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं r, s, t, u, v, w द्वारा दर्शाया गया है।

(g) चूँकि दी हुई आकृति सममित रूप में नहीं है, अतः इसमें कोई सममित रेखा नहीं है।

(h) चूँकि दी हुई आकृति सममित रूप में नहीं है, अतः इसकी कोई सममित रेखा नहीं है।

(i) दी हुई आकृति में पाँच सममित रेखाएँ हैं, जिन्हें बिन्दुकित रेखाओं a, b, c, d, e द्वारा दर्शाया गया है।

प्रश्न 2.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई प्रत्येक आकृति में त्रिभुज को एक वर्गांकित पेपर पर बनाइए। प्रत्येक में सममित रेखा (रेखाओं) को, यदि है, तो उन्हें खींचिए और त्रिभुज के प्रकार को पहचानिए। (आप उनमें से कुछ आकृतियों का अनुरेख (trace) करना पसन्द कर सकते हैं। पहले पेपर को मोड़ने वाली विधि द्वारा प्रयास कीजिए।
हल :

(a) और (b) दी हुई आकृतियाँ समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इनकी सममित रेखाएँ क्रमशः l व m द्वारा प्रदर्शित की गई हैं।
(c) दी हुई आकृति समकोण त्रिभुज है, इसकी सममित रेखा n द्वारा दर्शायी गई है।
(d) आकृति की कोई सममित रेखा नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न तालिका को पूरा कीजिए :
हल :

प्रश्न 4.
क्या आप एक ऐसा त्रिभुज बना सकते हो, जिसमें,
(a) केवल एक ही सममित रेखा हो ?
(b) केवल दो ही सममित रेखाएँ हों ?
(c) केवल तीन ही सममित रेखाएँ हों ?
(d) कोई सममित रेखा न हो ? प्रत्येक में आकृति की रूपरेखा (खाका) बनाइए।
हल :
(a) हाँ, एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल एक ही सममित रेखा होती है। इस आकृति में इसे l द्वारा दर्शाया गया है।

(b) नहीं, हम ऐसा कोई त्रिभुज नहीं बना सकते जिसमें दो सममित रेखाएँ हों।
(c) हाँ, समबाहु त्रिभुज में तीन सममित रेखाएँ होती हैं। इस आकृति में इन्हें बिन्दुकित रेखाओं l, m, n द्वारा दर्शाया गया है।

(d) हाँ, विषमबाहु त्रिभुज में कोई भी सममित रेखा नहीं बना सकते हैं।

प्रश्न 5.
एक वर्गांकित पेपर पर निम्न की रूपरेखा बनाइएः
(संकेत : आपके लिए सहायक होगा यदि आप पहले सममित रेखा खींचें और उसके बाद आकृति को पूरा करें)।
(a) एक त्रिभुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो परन्तु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों ही सममित रेखाएँ हों।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा तो हो, परन्तु ऊर्ध्वाधर सममित रेखा न हो।
(d) एक षट्भुज जिसमें केवल दो ही सममित रेखाएँ हों।
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हों।
हल :
(a) एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल क्षैतिज सममित रेखा हो सकती है।

(b) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हैं।
(c) एक चतुर्भुज जिसमें क्षैतिज सममित रेखा है।
(d) एक षट्भुज जिसमें क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हैं।
(e) एक षट्भुज जिसमें 6 सममित रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति का अनुरेखण (ट्रेस) कीजिए और सममित रेखाओं को खींचिए।
हल :
आकृतियों की सममित रेखाएँ निम्न हैं
आकृति (a) की कोई सममित रेखा नहीं है।
आकृति (b) → 2,
(c) → 1,
(d) → 4,
(e) → 2,
(f) → 4.

प्रश्न 7.
अंग्रेजी वर्णमाला के A से Z तक के सभी अक्षरों पर विचार कीजिए। इनमें से उन अक्षरों की सूची बनाइए जिनमें
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाएँ हों (जैसा कि A)
(b) क्षैतिज सममित रेखाएँ हों (जैसा कि B)
(c) सममित रेखाएँ न हों (जैसा कि Q)।
उत्तर-
(a) ऊर्ध्वाधर सममित रेखाओं वाले अक्षर
A, H, I, M, O, T, U, V, W, X और Y

(b) क्षैतिज सममित रेखाओं वाले अक्षर
B, C, D, E, H, I, K, O और X

(c) बिना सममित रेखाओं वाले अक्षर
F, G, J, L, N, P, Q, R, S और Z

प्रश्न 8.
पाठ्य-पुस्तक में कुछ मुड़ी हुई शीट की आकृतियाँ दी गई हैं जिनकी तह पर आकृतियाँ बनाई गई हैं। प्रत्येक में पूर्ण आकृति की रूपरेखा खींचिए जो डिजाइन के काटने के बाद दिखाई देगी।
हल :
दी हुई आकृतियों की पूरी आकृतियाँ निम्न हैं

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 291

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
यदि आप दर्पण के सामने 100 सेमी की दूरी पर हैं। आपका प्रतिबिम्ब कहाँ होगा? यदि आप दर्पण की ओर चलते हैं, तो आपका प्रतिबिम्ब किस प्रकार चलता है?
उत्तर-
हमारा प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे 100 सेमी की दूरी पर होगा।
यदि हम दर्पण की ओर चलते हैं तो हमारा प्रतिबिम्ब भी दर्पण के पास चलता है।

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