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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)⁹ के प्रसार में x² और x³ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ में x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\((1+2 x)^{6}=1+6 C_{1}(2 x)+6 C_{2}(2 x)^{2}+6 C_{3}(2 x)^{3}\) + \(^{6} C_{4}(2 x)^{4}+^{6} C_{5}(2 x)^{5}+\ldots\)

इन दोनों के गुणनफल में से x⁵ के गुणांक का चयन करते हुए
x⁵ का गुणांक = 192 – 7 – 240 + 21 x 160 – 35 x 60 + 35 x 12 – 21 x 1
= 192 – 1680 + 3360 – 2100 + 420 – 21
= 171.

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
हल:
a = b + (a – b)
aⁿ = [b + (a – b)]ⁿ

अतः स्पष्ट है कि aⁿ – bⁿ का a – b एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
\(\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
(0.99)⁵ प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(0.99)⁵ = \((1-0.01)^{5}=1-^{5} C_{1}(0.01)+^{5} C_{2} \times(0.01)^{2}+\ldots\)
= 1 – 5 x 0.01 + 10 x 0.0001
= 1 – 0.05 + 0.001
= 1.001 – 0.05
= 0.951.

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात \(\sqrt{6}\) : 1 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) के प्रसार में आरंभ से 5 वां पद

दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद
= \(^{n} C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n-4}\)

या \(\frac{n}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 10.

प्रश्न 9.
\(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}\), x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
\(\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}\) का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
(x + 3)⁸ में x⁵ का।
हल:

प्रश्न 2.
(a – 2b)¹² में a⁵ b⁷ का।
हल:
(a – 2b)¹² का व्यापक पद = \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-2 b)^{r}\)
= \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-1)^{r} \cdot 2^{r} b^{r}\)
∵ b^r= b⁷ (दिया है)
∴ r = 7
अब r = 7 रखने पर,

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।
प्रश्न 3.
(x² – y)⁶.
हल:
(x² – y)⁶ का व्यापक पद

प्रश्न 4.
(x² + yx)¹², x ≠ 0.
हल:
(x² – yx)¹² का व्यापक पद

प्रश्न 5.
(x – 2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हल:
(x – 2y)¹² का चौथा पद

प्रश्न 6.
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद

प्रश्न 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\)
हल:
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\) में 7 + 1 = 8 पद हैं

प्रश्न 8.
\(\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}\)
हल:
इसमें 10 + 1 = 11 पद हैं जो विषम संख्या है।
मध्य पद = \(\frac{11+1}{2}\) = 6 वाँ पद

प्रश्न 9.
(1 + a)^m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा aⁿ के गुणांक बराबर हैं।
हल:

प्रश्न 10.
(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) वाँ, 7 वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
हल:
(x + 1)ⁿ का व्यापक पद \(\mathrm{T}_{r+1}=^{n} C_{r} x^{n-r}\)
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r}\)
∴ (r – 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-2}\)
r वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-1}\)

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1+x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।
हल:

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)^m के प्रसार में 2 का गुणांक 6 हो।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
(1 – 2x)⁵
हल:

प्रश्न 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}\)
हल:

प्रश्न 3.
\((2 x-3)^{6}\).
हल:

प्रश्न 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}\).
हल:

प्रश्न 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}\).
हल:

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)
प्रश्न 6.
(96)³.
हल:
(96)³ = \((100-4)^{3}=(100)^{3}+3 C_{1}(100)^{2} \cdot(-4)+^{3} C_{2}(100)^{1}(-4)^{2}+(-4)^{3}\)
= 1000000 + 3 x 10000 (- 4) + 3 x 100 x 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64 = 884736.

प्रश्न 7.
(102)⁵.
हल:
(102)⁵ = (100 + 2)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1}(100)^{4} \times 2+^{5} C_{2}(100)^{3} 2^{2}\) + \(^5 \mathrm{C}_{3}(100)^{2} \times 2^{3}+^{5} \mathrm{C}_{4}(100) \times 2^{4}+2^{5}\)
= 10000000000 + 5 x 100000000 x 2 + 10 x 1000000 x 4 + 10 x 10000 x 8+5 x 100 x 16 + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032.

प्रश्न : 8.
(101)⁴.
हल:
(101)⁴ = (100 + 1)⁴ = \((100)^{4}+^{4} C_{1} \times(100)^{3} \times 1+^{4} C_{2} \times(100)^{2} \times 1^{2}\) + \(^{4} C_{3} \times(100) \times 1^{3}+1^{4}\)
= 100000000 + 4 x 1000000 + 6 x 10000 + 400 + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401.

प्रश्न 9.
(99)⁵.
हल:
(99)⁵ = (100 – 1)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1} \times(100)^{4} \times(-1)\) + \(^{5} C_{2} \times(100)^{3} \times(-1)^{2}+^{5} C_{3} \times(100)^{2} \times(-1)^{3}\) + \(^{5} C_{4} \times(100) \times(-1)^{4}+(-1)^{5}\)
= 10000000000 – 5 x 100000000 + 10 x 1000000 – 10 x 10000 + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499.

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000
हल:
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰
= \(1^{10000}+10000 C_{1} \times 1^{9999}(0.1)^{1}\)
= 1 + 10000 x (0.1) + …. = 1001 +…
स्पष्ट है कि (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ संख्या 1000 से बड़ी है।

प्रश्न 11.
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
(x + 1)⁶ + (x – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \((\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9ⁿ⁺¹ – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
(1 + x)^{n + 1} का प्रसार करने पर,

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\sum_{r=0}^{n} 3^{r} \cdot^{n} C_{r}\) = 4.
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
हल:
DAUGHTER शब्द में 8 अक्षर हैं जिसमें 3 स्वर और 5 व्यंजन हैं
3 स्वर में से 2 स्वर चुनने के तरीके = \(^{3} C_{2}\) = 3
5 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\) = \(^{5} C_{2}\)
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2}\) = 10
2 स्वर और 3 व्यंजन चुनने के तरीके = 3 x 10 = 30
प्रत्येक संचय में 5 अक्षर हैं।
उनके क्रमसंचयों की संख्या = 5! = 120
DAUGHTER शब्द के 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर शब्दों की संख्या = 30 x 120 = 3600.

प्रश्न 2.
EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते हैं?
हल:
EQUATION शब्द में कुल 8 अक्षर हैं जिनमें 5 स्वर और 3 व्यंजन हैं।
स्वर अक्षरों का क्रमसंचय = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
व्यंजन अक्षरों का क्रमसंचय = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
स्वरों और अक्षरों, को 2 तरीकों से लिखा जा सकता है, पहले स्वर ले या व्यंजन लें। EQUATION शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर तथा व्यंजन एक साथ आएँ
= 120 x 6 x 2 = 1440.

प्रश्न 3.
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है, यह कितने प्रकार से किया सकता है, जबकि समिति में
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
हल:
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है।
(i) जब उस समिति में 3 लड़कियाँ हों तो उस समिति में 4 लड़के होंगे। 3 लड़कियाँ और 4 लड़के चुनने के तरीके

(ii) समिति में कम से कम 3 लड़कियाँ है तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेंगी :
(a) 3 लड़कियाँ 4 लड़के
(b) 4 लड़कियाँ 3 लड़के

(iii) यदि समिति में अधिकतम 3 लड़कियाँ लेनी हैं तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेगी :
(a) कोई लड़की नहीं और 7 लड़के
(b) 1 लड़की और 6 लड़के
(c) 2 लड़की और 5 लड़के
(d) 3 लड़की और 4 लड़के

= 36 + 336 + 126 x (6+ 4)
= 372 + 1260
= 1632.

प्रश्न 4.
यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्द कोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?
हल:
A से प्रारंभ होने वाले शब्दों में 21, 2N और शेष भिन्न अक्षर हैं
ऐसे कुल शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 ! 2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4}\)
= 907200
शब्द कोष के अक्षरों की तरह दिए हुए अक्षरों को क्रमबद्ध करते हुए अगला अक्षर E होगा।
∴ E से पहले बने शब्दों की संख्या = 907200.

प्रश्न 5.
0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से, 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? .
हल:
10 से विभाजित होने वाली वे संख्याएँ हैं जिनमें इकाई के स्थान पर 0 को रखा गया है।
अब हमें 6 अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए शेष 5 स्थान और भरने हैं।
5 स्थानों को भरने का क्रमसंचय = 5! = 120
∴ 6 अंकीय संख्याएं जो 10 से विभाजित हो जाएँ उनकी संख्या = 120.

प्रश्न 6.
अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं। इस वर्णमाला में 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?
हल:
5 स्वरों में से 2 स्वर लेकर संचयों की संख्या = \(^{5} C_{2}\)
21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन लेकर संचयों की संख्या = \(^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजन को चयन करने के तरीके = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजनों का क्रमसंचय = 4!
∴ 2 स्वर और 2 व्यंजन से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\) x 4!
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2} \times \frac{21 \times 20}{1 \times 2}\) × 24
= 10 x 210 x 24
= 50400.

प्रश्न 7.
किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खण्ड II. एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम उप्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?
हल:
एक विद्यार्थी को कुल 8 प्रश्न हल करने हैं।
प्रत्येक खण्ड से कम से कम 3 प्रश्न करने हैं।
भाग I और II से प्रश्नों को इस प्रकार चुनाव करने हैं।
भाग I से चुने जाने वाले प्रश्न 3 4 5 प्रश्नों की कुल संख्या 5
भाग II से चुने जाने वाले प्रश्न 5 4 3 प्रश्नों की कुल संख्या 7

प्रश्न 8.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।
हल:
बादशाह वाले पत्तों की कुल संख्या = 4
इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके = \(^{4} C_{1}\) = 4
अंब शेष 48 पत्तों में से 4 पत्ते चयन करने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
= \(\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{1 \times 2 \times 3 \times 4}\)
= 194580
इस प्रकार 52 पत्तों में से 5 पत्ते लेकर (जिनमें से 1 बादशाह है) संचयों की संख्या
= \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{4}\) = 4 x 194580 = 778320.

प्रश्न 9.
5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार कितने विन्यास संभव हैं ?
हल:
4 महिलाओं का 4 सम स्थानों पर बैठाने के विन्यास = 4! = 24
5 पुरुषों को 5 विषम स्थानों पर बैठाना के तरीके = 5! = 120
4 महिलाओं को सम स्थानों पर और 5 पुरुषों को विषम स्थानों पर बैठाने के विन्यास
= 4! x 5!
= 24 x 120
= 2880.

प्रश्न 10.
25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से 10 का चयन एक भ्रमण दल के लिए किया जाता है। तीन विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?
हल:
25 विद्यार्थियों में से 10 विद्यार्थियों को भ्रमण दल में शामिल करना है। परन्तु 10 विद्यार्थियों में से 3 ऐसे हैं
(i) जब तीनों भ्रमण दल में शामिल होते हैं या
(ii) तीनों नहीं होते है।
(i) जब तीनों विद्यार्थी टीम में शामिल होते हैं तो भ्रमण दल का चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{7}\)
(ii) जब तीनों विद्यार्थी भ्रमण दल में शामिल नहीं होते हैं तो चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{10}\)
दोनो दशाओं में भ्रमण दल का चयन करने के तरीके = \(^{22} C_{7}\) + \(^{22} C_{10}\)

प्रश्न 11.
ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं जबकि सभी एक साथ रहें?
हल:
ASSASSINATION में कुल 13 अक्षर हैं जिसमें A तीन बार, S चार बार, I दो बार तथा N दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
4 – S को एक साथ रहना है। अतः उसे एक अक्षर मान लिया। इस प्रकार इसमें 10 अक्षर रह गए जिसमें 3 – A, 2 – 1 और 2 – N समान हैं।
∴ इस शब्द के अक्षरों का विन्यास जब S एक साथ रहते हो

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.4

प्रश्न 1.
यदि \(^{n} C_{8}=^{n} C_{2}\), तो ⁿC₂ ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
n का मान निकालिए, यदि
(i) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 12 : 1
(ii) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 11 : 1
हल :

प्रश्न 3.
किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
हल:
21 बिन्दुओं में कोई 2 बिन्दु मिलाने से एक जीवा प्राप्त होती है।
जीवाओं की संख्या = \(^{21} C_{2}=\frac{21 \times 20}{1 \times 2}=210\).

प्रश्न 4.
5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?
हल:
5 लड़कों में से 3 लड़कों के चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\)
4 लड़कियों में से 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके = \(^{4} C_{3}\)
∴ 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमों की संख्या

प्रश्न 5.
6 लाल रंग की, 5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।
हल:
6 लाल रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 सफेद रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
5 नीले रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
इस प्रकार 6 लाल, 5 सफेद तथा 5 नीले रंग की गेंदों में से प्रत्येक रंग की 3 गेंदों के चुनने के तरीके.

= \(\frac{6.5 .4}{1.2 .3} \times \frac{5.4}{1.2} \times \frac{5.4}{1.2}\)
= 20 x 10 x 10
= 2000.

प्रश्न 6.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का हो।
हल:
ताश का गड्डी में 4 इक्के होते हैं।
∴ 4 में से 1 इक्का चुनने के तरीके = \(^{4} C_{1}\)
इक्का छोड़कर शेष पत्ते = 52 – 4 = 48
48 पत्तों में से कोई 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
∴ ताश की गड्डी में 1 इक्का और 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके

प्रश्न 7.
17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?
हल:
5 गेंदबाज में 4 गेंदबाज चुनने के तरीके = \(^{5} C_{4}\)
शेष खिलाड़ी = 17 – 5 = 12
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी = 11 – 4 = 7
∴ 12 खिलाड़ियों में से 7 खिलाड़ी चुनने के तरीके = \(^{12} C_{7}\)

प्रश्न 8.
एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंदें हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।
हल:
5 काली गेंदों में से 2 गेंदें चुनने के तरीके = \(^{5} C_{2}\)
6 लाल गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 काली व 6 लाल गेंदों में से 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके

प्रश्न 9.
9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?
हल:
दो पाठ्यक्रम अनिवार्य हों, तब शेष पाठ्यक्रम = 9 – 2 = 7 .
7 पाठ्यक्रमों में से 3 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} \mathrm{C}_{3}\)
अत: 9 में से 5 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} C_{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3}\) = 35

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3

प्रश्न 1.
1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
हल:
3 अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा। इकाई के स्थान को 9 तरीकों से, दहाई के स्थान को 8 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 7 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 9 x 8 x 7 = 504.

प्रश्न 2.
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
हल:
0 से 9 तक कुल 10 अंक हैं।
10 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(10 p_{4}\)
= 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
इनमें वे संख्याएं सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर 0 है।
0 को हजार के स्थान पर रखने पर और शेष स्थानों पर कोई तीन अंक रखने पर कुल संख्याओं की संख्या = \(^{9} P_{3}\)
= 9 x 8 x 7 = 504
चार अंकीय संख्याओं की संख्या = 5040 – 504 = 4536.

प्रश्न 3.
अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
हल:
2, 4, 6 में से किसी एक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है।
∴ इकाई का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई के स्थान को 5 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 4 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 3 x 5 x 4 = 60.

प्रश्न 4.
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी ?
हल:
(i) 5 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(^{5} P_{4}\)
= 5 x 4 x 3 x 2 = 120
(ii) इकाई के स्थान पर 2 या 4 रखने से संख्या सम बनती है।
इस प्रकार इकाई का स्थान 2 तरीकों से, दहाई का स्थान 4 तरीकों से, सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से और हजार का स्थान 2 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 4 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 2 x 4 x 3 x 2 = 48.

प्रश्न 5.
8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
हल:
8 व्यक्तियों में से एक को अध्यक्ष चुनने के तरीके = 8
अध्यक्ष चुनने के बाद 7 व्यक्तियों में से एक उपाध्यक्ष चुना जाना है।
उपाध्यक्ष चुनने के तरीके = 7
∴ एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को 8 x 7 = 56 तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रश्न 6.
यदि \(^{n-1} P_{3}:^{n} P_{4}\) = 1 : 9 तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 7.
ज्ञात कीजिए यदि
(i) \(^{5} P_{r}=2^{6} P_{r-1}\)
(ii) \(^{5} P_{r}=^{6} P_{r-1}\)
हल:

r संख्या 5 से अधिक नहीं हो सकती

∴ r² – 13r + 36 = 0 या (r – 9)(r – 4) = 0
∴ r = 9, 4
r ≠ 9 क्योंकि यह 5 से बड़ा है
अतः r = 4.

प्रश्न 8.
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
हल:
शब्द EQUATION में कुल 8 अक्षर हैं।
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों ( जो अर्थपूर्ण या अर्थहीन हैं) की संख्या = \(\frac{8 !}{(8-8) !}\) = 8!
= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 40320.

प्रश्न 9.
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है,
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
हल:
(i) MONDAY शब्द में कुल 6 अक्षर हैं।
6 अक्षरों में से 4 अक्षर एक समय पर लेकर कुल शब्दों की संख्या
= \(^6 P_{4}\) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
जबकि शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।
(ii) सभी अक्षरों को एक साथ लेकर शब्दों की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
(iii) पहले स्थान पर A या O रखना है। यह दो तरीकों से हो सकता है।
शेष 5 स्थान 5! = 120 तरीकों से भरे जा सकते हैं।
उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं = 2 x 120 = 240.

प्रश्न 10.
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
हल:
शब्द MISSISSIPPI में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें M, एक बार; I चार बार; S चार बार, तथा P दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2}\)
मान लीजिए के 4 – I एक साथ हों, तब
कुल अक्षर = 8
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(\frac{8 !}{4 ! 2 !}\)
उन शब्दों का संख्या जब 4, I एक साथ नहीं है

प्रश्न 11.
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
हल:
PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं जिनमें T – 2 है, शेष सब भिन्न हैं।
(i) P और S के स्थान स्थिर कर दिए गए हैं।
शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 !}\)
= 1814400.
(ii) सभी स्वरों को एक साथ कर दिया गया है (EUAIO)PRMTTNS जिनमें 2T हैं।
उन शब्दों की संख्या जब स्वर एक साथ है
= \(\frac{8 !}{2 !} \times 5 !=\frac{40320 \times 120}{2}\)
= 2419200.
(iii) P तथा S के बीच चार अक्षर होने चाहिए।
मान लीजिए 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1, 2, 3….. 12 रख दिया है।
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
इस प्रकार P को स्थान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पर रखा जा सकता है तो S को स्थान 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 पर रखा जा सकता है।
⇒ P और S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
P और S या S और P को 7 + 7 = 14 तरीकों से रखा जा सकता
शेष 10 अक्षरों को \(\frac{10 !}{2 !}\) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
∴ उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच में 4 अक्षर हों
= \(\frac{10 !}{2 !}\) x 14 = 10! x 7
= 25401600.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.2

प्रश्न 1.
मान निकालिए :
(i) 8!
(ii) 4! – 3!
हल:
(i) 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320.
(ii) 4! – 3! = 4 x 3 x 2 x 1 – 3 x 2 x 1
= 24 – 6 = 18.

प्रश्न 2.
क्या 3! + 4! = 7!?
हल:
बायाँ पक्ष = 3! + 4!
= 3 x 2 x 1 + 4 x 3 x 2 x 1
= 6 + 24 = 30
दायाँ पक्ष = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5040
अतः 3! + 4! ≠ 7!.

प्रश्न 3.
\(\frac{8 !}{6 ! \times 2 !}\) का परिकलन कीजिए ।
हल:

प्रश्न 4.
यदि \(\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}=\frac{x}{8 !}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
\(\frac{x}{8 !}=\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}\)

प्रश्न 5.
\(\frac{n !}{(n-r) !}\) का मान निकालिए जबकि
(i) n = 6, r = 2
(ii) n = 9, r = 5
हल:

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MP Board Class 9th Special Hindi कविता का स्वरूप एवं पद्य साहित्य का विकास

प्रश्न 1.
कविता के बाह्य स्वरूप के तत्वों को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
कविता के बाह्य स्वरूप में निम्नलिखित तत्व सम्मिलित हैं

1. लय-भाषा के प्रवाह में उतार-चढ़ाव (आरोह-अवरोह) तथा विराम के योग से लय की उत्पत्ति होती है।
2. तुक-कविता की पंक्ति का अन्तिम वर्ण एवं ध्वनि में समानता का पाया जाना ही तुक कहा जाता है। इससे कविता में गेयता और संगीतात्मकता की सरसता और सहजता भर जाती है।
3. छन्द-छन्द ही कविता में लय, तुक तथा गति देता है। प्रत्येक छन्द में मात्राओं और वर्णों का क्रम निश्चित होता है।
4. शब्द-योजना-काव्य सौन्दर्य के लिए शब्द-योजना की जाती है जिससे काव्य में विशेष अर्थ की अभिव्यंजना सम्भव होती है।
5. भाषा की चित्रात्मकता-भाषा की चित्रात्मकता से भाव की अभिव्यक्ति होती है।
6. अलंकार-कवि के कथन में सौन्दर्य और अर्थ-गौरव के लिए अलंकार प्रयुक्त होते हैं। अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को बाधित करता है।

प्रश्न 2.
कविता के आन्तरिक स्वरूप के तत्वों पर टिप्पणी कीजिए।
उत्तर-
कविता के आन्तरिक स्वरूप के तत्व अग्रलिखित

• रसात्मकता,
• अनुभूति की तीव्रता,
• मर्मस्पर्शिता।

रसपूर्ण वाक्य ही काव्य कहा जाता है। शब्द और अर्थ काव्य का शरीर होता है तथा ‘रस’ ही उस शरीर का प्राण होता है। गद्य का सम्बन्ध बुद्धि से और कविता का सम्बन्ध हृदय से होता है। ‘वियोगी जन के हृदय’ से उत्पन्न कविता श्रोताओं या पाठकों के हृदय को स्पर्श करती है।

प्रश्न 3.
हिन्दी पद्य साहित्य को कितने कालों में विभाजित किया गया है ? इस काल-विभाजन की समय-सीमा भी निर्धारित कीजिए।
उत्तर-
आचार्य रामचन्द्र शुक्ल ने हिन्दी साहित्य के विकास क्रम को संवत् 1050 वि. से शुरू हुआ माना है। आचार्य शुक्ल का यह मत ही प्रामाणिक माना गया है। इस साहित्यिक विकास-क्रम को निम्नलिखित चार कालों में विभाजित हुआ माना गया है-
काल-विभाजन – समय सीमा

1. आदिकाल या वीरगाथाकाल – सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक।
2. भक्तिकाल (पूर्व मध्यकाल) – सन् 1318 ई. से सन् 1643 ई. तक।
3. रीतिकाल (उत्तर मध्यकाल) – सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक।
4. आधुनिक काल सन् 1843 – ई. से निरन्तर।

प्रश्न 4.
भक्तिकाल की प्रमुख विशेषताओं का उल्लेख कीजिए।
उत्तर-
भक्तिकाल की प्रमुख विशेषताएँ निम्न प्रकार हैं

• भक्ति भावना की प्रधानता।
• किसी भी राजा के दरबार में आश्रय प्राप्त न करना।
• काव्य सृजन का उद्देश्य केवल स्वान्तः सुखाया ही था।
• धर्म, जाति साहित्यिक विधाओं एवं काव्य स्वरूप में समन्वय की भावना।
• काव्य सौन्दर्य के कला एवं भाव पक्ष दोनों का सफलतापूर्वक निर्वाह।
• जीवन को आदर्श प्रधान यथार्थता से जोड़ा गया।
• कवि द्वारा अपने इष्ट के प्रति पूर्ण समर्पण के भाव की अभिव्यक्ति।

प्रश्न 5.
सगुण भक्तिधारा के दो प्रमुख कवियों के नाम उनकी एक-एक रचना सहित लिखिए।
उत्तर-

1. तुलसीदास-रामचरितमानस,
2. सूरदास-सूरसागर।

प्रश्न 6.
कृष्णभक्ति काव्य की प्रमुख विशेषताओं का उल्लेख कीजिए।
उत्तर-

• कृष्ण को ईश्वर का अवतार माना गया।
• उनकी विशेष पूजा पर बल दिया।
• कृष्ण के लोकरंजक स्वरूप का चिन्तन व वर्णन किया जाना।
• सखाभाव की भक्ति की अवतारणा।
• ज्ञान से बढ़कर प्रेम को अधिक महत्त्व दिया जाना।
• मुक्तक शैली के गेय पदों की रचना।
• प्रायः कृष्णभक्ति काव्य की रचना ब्रजभाषा में की गई है जिनमें कृष्ण की बाल-लीलाओं का वर्णन किया गया है।

महत्त्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न
रिक्त स्थानों की पूर्ति
1. भाषा के प्रवाह में उतार-चढ़ाव तथा विराम के योग से ………………………….. उत्पत्ति होती है। (लय/ताल)
2. अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को ………………………….. करता है। (वृद्धि/बाधित)
3. भाषा की चित्रात्मकता से ………………………….. अभिव्यक्ति होती है। (भाव की/आलंकारिकता की)
4. काव्य में विशेष अर्थ की अभिव्यंजना ………………………….. सम्भव है। (शब्द-योजना से/अलंकार प्रयोग से)
5. शब्द और अर्थ ………………………….. होता है। (काव्य का शरीर/काव्य की आत्मा)
उत्तर-
1. लय,
2. बाधित,
3. भाव की,
4. शब्द योजना से,
5. काव्य का शरीर।

सही विकल्प चुनिए-

1. आचार्य रामचन्द्र शुक्ल ने हिन्दी साहित्य के विकास-क्रम ‘ को शुरू हुआ माना है
(क) संवत् 1050 वि. से
(ख) संवत् 1150 वि. से
(ग) संवत् 940 वि. से
(घ) संवत् 1260 वि. से।
उत्तर-
(क) संवत् 1050 वि. से

2. वीरगाथा काल की समय-सीमा निर्धारित की है
(क) सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक
(ख) सन् 1050 ई. से सन् 1210 ई. तक
(ग) सन् 715 ई. से सन् 1310 ई. तक
(घ) सन् 810 ई. से सन् 1250 ई. तक।
उत्तर-
(क) सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक

3. रीतिकाल की समय-सीमा निर्धारित की गई है
(क) सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक
(ख) सन् 1540 ई. से सन् 1750 ई. तक
(ग) सन् 1610 ई. से सन् 1840 ई. तक
(घ) सन् 1460 ई. से सन् 1560 ई. तक।
उत्तर-
(क) सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक

4. कविता का सम्बन्ध होता है-
(क) हृदय से
(ख) बुद्धि से
(ग) मौन से
(घ) पाठक से।
उत्तर-
(क) हृदय से

सही जोड़ी मिलाइए-

उत्तर-
(i) → (ङ),
(ii) → (ग),
(iii) → (घ),
(iv) → (ख),
(v) → (क)।

सत्य/असत्य-

1. लय की उत्पत्ति होती है भाषा के प्रभाव में उतार-चढ़ाव से।
2. शब्द योजना से काव्य सौन्दर्य असम्भव है।
3. अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को बाधित करता है।
4. रसपूर्ण वाक्य काव्य नहीं हो सकता।
5. प्रत्येक छन्द में मात्राओं और वर्णों का क्रम निश्चित होता है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर-

1. मात्राओं और वर्णों का क्रम किसमें निश्चित होता है ?
उत्तर-
छन्द में।

MP Board Class 9th Hindi Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.1

प्रश्न 1.
अंक 1, 2, 3, 4 और 5 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि
(i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो।
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो।
हल:
3 अंकीय संख्या में 3 स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा।
(i) इकाई का स्थान 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी एक अंक लिया जा सकता है। दहाई का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है। 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई भी अंक लिया जा सकता है।
इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 5 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 5 x 5 x 5 = 125.
(ii) इकाई का स्थान 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई-से एक अंक को लेकर 5 तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई का स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि एक अंक पहले ही चयनित कर लिया गया। पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। .
सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है क्योंकि 2 अंक पहले ही चयनित कर लिए गए हैं। .
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 5 x 4 x 3 = 60.

प्रश्न 2.
अंक 1, 2, 3, 4, 5, 6 से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की जा सकती है?
हल:
इकाई का स्थान 2, 4, 6 में से एक को लेकर 3 तरीकों से भरा जा सकता है।
क्योंकि पुनरावृत्ति की जा सकती है, दहाई का स्थान 6 तरीकों से भरा जा सकता है।
इसी प्रकार सैकड़े का स्थान भी 6 तरीकों से ही भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 6 x 6 x 3 = 108.

प्रश्न 3.
अंग्रेजी वर्णमाला के प्रथम 10 अक्षरों से कितने 4 अक्षरों के कोड बनाए जा सकते हैं, यदि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती?
हल:
4 अक्षरों वाले कोड में 4 स्थान हैं। प्रत्येक अक्षर के लिए एक स्थान चाहिए।
पहले स्थान को 10 तरीकों से, दूसरे स्थान को 9 तरीकों से, तीसरे स्थान को 8 तरीकों से और चौथे स्थान को 7 तरीकों से भर सकते हैं क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। एक अक्षर दुबारा नहीं लिखा जा सकता।
∴ चार अक्षर वाले कोडों की संख्या = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040.

प्रश्न 4.
0 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितने 5 अंकीय टेलीफोन नम्बर बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक नम्बर 67 से आरम्भ होता है और कोई अंक एक बार से अधिक नहीं आता है?
हल:
पांच अंकीय नम्बर में 5 स्थान हैं जिसमें पहले और दूसरे को I और II से निरूपित किया गया है। I और II स्थान पर 6 और 7 को रखा गया है।
शेष 8 अंकों में से एक-एक अंक लेकर III, IV और V स्थान को भरना है। स्थान III को 8 तरीकों से, स्थान IV को 7 तरीकों से तथा स्थान V को 6 तरीकों से भर सकते है।
∴ 5 अंकीय टेलीफोन नम्बरों की संख्या = 8 x 7 x 6 = 336

प्रश्न 5.
एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है और परिणाम अंकित कर लिए जाते हैं। परिणामों की संभव संख्या क्या है?
हल:
एक बार सिक्का उछालने से दो में से एक भाग ऊपर आता है अर्थात T या H जबकि H चित्त और T पट को निरूपित करते हैं।
∴ एक बार सिक्का उछालने से दो परिणाम होते हैं। तीन बार सिक्का उछालने से 2 x 2 x 2 = 8 परिणाम होंगे। ये परिणाम इस प्रकार है :
TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH

प्रश्न 6.
भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडे दिए हुए हैं। इससे कितने विभिन्न संकेत बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक संकेत में 2 झंडों, एक के नीचे दूसरे के प्रयोग की आवश्यक पड़ती है?
हल:
झंडे के ऊपर का स्थान भरने के 5 तरीके हैं। एक झंडा प्रयोग होने के बाद 4 झंडे रह जाते हैं। नीचे का दूसरा स्थान 4 तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संकेतों की संख्या = 5 x 4 = 20.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 9th Special Hindi गद्य साहित्य का स्वरूप एवं विधाएँ

प्रश्न 1.
गद्य किसे कहते हैं?
अथवा
गद्य के स्वरूप को स्पष्ट करते हुए इसके महत्व को बताइए।
उत्तर-
गद्य हमारी स्वाभाविक अभिव्यक्ति है। गद्य के माध्यम से ही हम अपने दैनिक जीवन में सभी कार्यों को सम्पन्न करते हैं। निजी जीवन में पत्र, डायरी आदि साहित्य में कहानी, उपन्यास, निबन्ध, नाटक, जीवनी आदि लेखन का माध्यम गद्य ही होता है। गद्य का क्रमिक विकास हिन्दी के आधुनिक काल के आरम्भ से हुआ। गद्य का प्रयोग व्याख्या, तर्क, वर्णन एवं कथा के लिए होता है। गद्य में किसी कथ्य को सहजता से, सरलता से एवं स्पष्टता से व्याख्या करने की क्षमता है। व्याकरण के नियमों का प्रयोग भी आसानी से ग्रहण किया जा सकता है।

गद्य प्रयोग और प्रयोजन की दृष्टि से तीन प्रकार की होती है-

• दैनिक कार्यकलाप की भाषा,
• शास्त्र या तर्क भाषा,
• साहित्यिक भाषा।

प्रश्न 2.
हिन्दी गद्य कितने रूपों में उपलब्ध है?
अथवा
हिन्दी गद्य की विधाओं का उल्लेखं कीजिए।
उत्तर-
हिन्दी गद्य की अनेक विधाएँ (रूप) हैं।

जो निम्नलिखित हैं-

• निबन्ध,
• नाटक,
• एकांकी,
• उपन्यास,
• कहानी,
• जीवनी,
• आत्मकथा,
• संस्मरण,
• रेखाचित्र,
• रिपोर्ताज,
• गद्यकाव्य,
• आलोचना,
• यात्रावृत्त,
• डायरी,
• पत्र,
• भेंटवार्ता आदि।

प्रश्न 3.
निबन्ध किसे कहते हैं? इसके कितने प्रकार होते हैं?
उत्तर-
निबन्ध उस गद्य रचना को कहते हैं जिसमें सीमित आकार के भीतर किसी विषय का वर्णन या प्रतिपादन एक विशेष निजीपन, स्वच्छन्दता, सौष्ठव और सजीवता तथा आवश्यक संगति और सम्बद्धता के साथ किया गया हो।

निबन्ध के निम्न प्रकार हैं-

• कथात्मक,
• वर्णनात्मक,
• विचारात्मक,
• भावात्मक।

कथात्मक निबन्धों में काल्पनिक वृत्त, आत्मचरित्रात्मक एवं पौराणिक आख्यानों का प्रयोग किया जाता है। वर्णनात्मक निबन्धों में प्रकृति या मनुष्य जीवन की घटनाओं का वर्णन होता है। विचारात्मक निबन्धों में अपने विचारों को सुसम्बद्धता से व्यक्त किया जाता है। भावात्मक निबन्धों में लेखक के हृदय से निकले भावों को एक वैचारिक सूत्र में नियन्त्रित करके लिखा जाता है।

प्रश्न 4.
नाटक किसे कहते हैं? नाटक के तत्व भी बताइए।
उत्तर-
रंगमंच पर प्रस्तुत करने के लिए किसी कथा को जब केवल पात्रों के संवादों के माध्यम से प्रस्तुत किया जाता है, तो वह रचना नाटक कहलाती है।

नाटक के छः तत्व माने जाते हैं-

• कथावस्तु,
• पात्र,
• कथोपकथन (संवाद),
• देशकाल,
• उद्देश्य,
• शैली।

प्रश्न 5.
हिन्दी के प्रसिद्ध नाटककारों के नाम बताइए।
उत्तर-
भारतेन्दु हरिश्चन्द्र, जयशंकर प्रसाद, हरिकृष्ण, ‘प्रेमी’, उदयशंकर भट्ट, सेठ गोविन्ददास, रामकुमार वर्मा, लक्ष्मीनारायण मिश्र, लक्ष्मीनारायण लाल, उपेन्द्रनाथ ‘अश्क’, विष्णु प्रभाकर, जगदीशचन्द्र माथुर, धर्मवीर ‘भारती’ आदि ने इस नाटक विधा को आगे बढ़ाया।

प्रश्न 6.
एकांकी किसे कहते हैं?
उत्तर-
एकांकी नाटक का ही एक प्रकार है, इसे दृश्यकाव्य कहते हैं। एकांकी में जीवन का एक खण्ड दृश्य अंकित किया जाता है। यह स्वयं में पूर्ण होता है। एकांकी का प्रभाव मन के ऊपर बहुत ही सजीव और गम्भीर होता है। एकांकी एक ही उद्देश्य को व्यक्त करता है। इसका एक भाव या विचार होता है। इस भाव को एकांकी दर्शकों तक पहुँचाता है।

एकांकी में एक अंक होता है। यह अंक दृश्यों में विभाजित हो सकता है। कम से कम समय में अधिक-से-अधिक प्रभाव एकांकी का लक्ष्य हुआ करता है।

प्रश्न 7.
एकांकी के तत्व कितने बताये गये हैं?
उत्तर-
एकांकी के तत्व निम्नलिखित बताये गये हैं

• कथावस्तु,
• कथोपकथन या संवाद,
• पात्र या चरित्र-चित्रण,
• देशकाल-वातावरण,
• भाषा-शैली,
• रंगमंचीयता।

प्रश्न 8.
उपन्यास किसे कहते हैं? प्रसिद्ध उपन्यासकारों के नाम लिखिए।
उत्तर-
उपन्यास कथा का वह रूप है जिसमें जीवन का विशद् चित्रण होता है। पात्रों के जीवन की विविधरूपिणी झाँकी देकर उपन्यासकार एक ओर तो मानव चरित्र को व्यक्त करता है और दूसरी ओर वह युग की प्रवृत्तियों का चित्रण करते हुए हमें कुछ सोचने पर विवश कर देता है।

उपन्यास तीन प्रकार के होते हैं-

• ऐतिहासिक,
• सामाजिक,
• मनोवैज्ञानिक।

हिन्दी के उपन्यासों की परम्परा तो भारतेन्दु युग से ही आरम्भ हो गई थी। परन्तु आरम्भ के उपन्यास कपोल-कल्पित और चमत्कार प्रधान ही होते थे। जयशंकर प्रसाद और प्रेमचन्द ने उपन्यास में मानव जीवन का यथार्थ चित्रण आरम्भ किया। प्रेमचन्द तो उपन्यास-सम्राट की उपाधि से विभूषित ही हैं। उनके बाद विशम्भरनाथ शर्मा ‘कौशिक’, आचार्य चतुरसेन, जैनेन्द्र, अज्ञेय, इलाचन्द जोशी, भगवतीचरण वर्मा, वृन्दावनलाल वर्मा, यशपाल, उपेन्द्रनाथ ‘अश्क’, रांगेय राघव, फणीश्वरनाथ ‘रेणु’, धर्मवीर भारती, कमलेश्वर, राजेन्द्र यादव, मन्नू भण्डारी, शिवानी आदि ने हिन्दी उपन्यास को समृद्ध किया है।

प्रश्न 9.
कहानी किसे कहते हैं?
अथवा
कहानी की कहानी लिखो। प्रसिद्ध कहानीकारों के नाम लिखिए।
उत्तर-
कहानी एक कलात्मक छोटी रचना है। यह किसी घटना, भाव, संवेदना आदि की मार्मिक व्यंजना करती है। इसका आरम्भ और अन्त बहुत कलात्मक तथा प्रभावपूर्ण होता है। घटनाएँ परस्पर सम्बद्ध होती हैं। हर घटना लक्ष्य की ओर उन्मुख होती है। लक्ष्य पर पहुँचकर कहानी अपना विशिष्ट प्रभाव छोड़ती हुई समाप्त हो जाती है।

जयशंकर प्रसाद, प्रेमचन्द, अज्ञेय, जैनेन्द, भगवतीचरण वर्मा, कमलेश्वर, विष्णु प्रभाकर, धर्मवीर ‘भारती’, मोहन राकेश, शैलेश मटियानी, भीष्म साहनी, निर्मल वर्मा, शिवानी आदि प्रसिद्ध कहानीकार हैं।

प्रश्न 10.
कहानी के कौन-कौन से तत्व होते हैं?
उत्तर-
कहानी के निम्नलिखित तत्व होते हैं-

1. कथावस्तु-कथावस्तु के विकास की स्थितियाँ चार होती हैं-
   • आरम्भ,
   • आरोह,
   • चरम स्थिति,
   • अवरोह।
2. चरित्र-चित्रण।
3. कथोपकथन अथवा संवाद।
4. देशकाल और वातावरण।
5. उद्देश्य।
6. शैली शिल्प।

प्रश्न 11.
कहानी के कितने भेद होते हैं?
उत्तर-
कहानी के निम्न चार भेद होते हैं-

• घटना प्रधान कहानी,
• चरित्र प्रधान कहानी,
• वातावरण प्रधान कहानी,
• भाव प्रधान कहानी।

प्रश्न 12.
कहानी के विकास को कितने भागों में बाँटा जा सकता है? समय-सीमा भी बताओ।
उत्तर-
कहानी के विकास को निम्नलिखित प्रकार से विभाजित किया जा सकता है

• आरम्भ काल सन् 1900 से 1910 ई. तक।
• विकास काल सन् 1911 से सन् 1946 ई. तक।
• उत्कर्ष काल सन् 1947 ई. से अब तक।

प्रश्न 13.
जीवनी, आत्मकथा, रेखाचित्र, संस्मरण और यात्रावृत्त की परिभाषा दीजिए।
उत्तर-
जीवनी-किसी महापुरुष या प्रसिद्ध व्यक्ति के जीवन की घटनाओं, उनके कार्य-कलापों आदि का आत्मीयता के साथ वर्णन जिस गद्य विधा में किया जाता है, उसे जीवनी कहते हैं।

आत्मकथा-आत्मकथा में लेखक स्वयं अपनी जीवन-यात्रा पूरी आत्मीयता से व्यवस्थित रूप में पाठक के सम्मुख रखता है।

रेखाचित्र-रेखाचित्र में शब्दों की कलात्मक रेखाओं द्वारा किसी व्यक्ति, वस्तु अथवा घटना के बाह्य और आन्तरिक स्वरूप का शब्दचित्र अंकित किया जाता है।

संस्मरण-संस्मरण में लेखक अपने अनुभव की वस्तु, व्यक्ति अथवा घटना का कलात्मक विवरण अपनी स्मृति के आधार पर प्रस्तुत करता है। यात्रावृत्त-यात्रावृत्त वह विधा है जिसमें लेखक किसी विशेष स्थल की यात्रा का ऐसा सजीव वर्णन करता है कि पाठक पढ़कर ही ऐसा अनुभव करने लगे जैसे वह उसी स्थान के सारे दृश्य स्वयं देख रहा है।

प्रश्न 14.
गद्यकाव्य विधा के बारे में आप क्या जानते हैं?
उत्तर-
यह कवितापूर्ण गद्य रचना होती है। जब किसी गहन भावानुभूति की काव्यमयी भाषा शैली और अतिशय भावुकता के साथ प्रस्तुत की जाती है, तब हम उस रचना को गद्यकाव्य कहते हैं। गहन भावानुभूति, काव्यमयी सुललित भाषा, आलंकारिकता, भावात्मक शैली आदि इसकी विशेषताएँ हैं।

प्रश्न 15.
‘रिपोर्ताज’ विधा का परिचय दीजिए।
उत्तर-
‘रिपोर्ताज’ फ्रांसीसी भाषा का शब्द है। अंग्रेजी शब्द ‘रिपोर्ट’ से इसका निकट का सम्बन्ध है। रिपोर्ट समाचार-पत्र के लिए लिखी जाती है। उसमें साहित्यिक तत्व नहीं होते। रिपोर्ट के कलात्मक और साहित्यिक रूप को ही रिपोर्ताज कहते हैं।

आँखों देखी घटनाओं पर ही रिपोर्ताज लिखा जा सकता है। रिपोर्ताज का विषय कभी कल्पित नहीं होता है। परन्तु तथ्य को रोचकता देने के लिए इसमें कल्पना का सहारा लिया जा सकता है। रिपोर्ताज लेखक को पत्रकार और कलाकार दोनों की ही जिम्मेदारी निभानी पड़ती है।

प्रश्न 16.
‘आलोचना’ की परिभाषा लिखिए।
उत्तर-
‘आलोचना’ विधा के द्वारा किसी साहित्यिक रचना के गुण-दोषों की परख की जाती है जिसमें रसानुभूति की बुद्धि प्रधान व्याख्या की जाती है।

महत्त्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न

रिक्त स्थानों की पूर्ति-

1. गद्य का क्रमिक विकास हिन्दी के………………के आरम्भ से हुआ। (भक्तिकाल/आधुनिक काल)
2. गद्य में व्याकरण के नियमों का प्रयोग भी………….ग्रहण किया जा सकता है। (आसानी से/कठिनता से)
3. पात्रों के संवादों से प्रस्तुत रचना…………….कहलाती है। (नाटक/उपन्यास)
4. एकांकी में……………होता है। (एक अंक/कम-से-कम पाँच अंक)
5. गद्यकाव्य काव्यमय………..रचना होती है। (पद्य/गद्य)
उत्तर-
1. आधुनिक काल,
2. आसानी से,
3. नाटक,
4. एक अंक,
5. गद्य।

सही विकल्प चुनिए-

1. गद्य हमारी स्वाभाविक
(क) अभिव्यक्ति है
(ख) रचना है
(ग) पद्य है
(घ) व्याख्या है।
उत्तर-
(क) अभिव्यक्ति है

2. गद्य का प्रयोग होता है
(क) व्याख्या के लिए
(ख) धमकाने के लिए
(ग) भयभीत करने के लिए
(घ) भाव प्रकाशन के लिए।
उत्तर-
(क) व्याख्या के लिए

3. व्याकरण के नियमों का प्रयोग होता है गद्य में
(क) कठिनता से
(ख) आसानी से
(ग) बाधा से
(घ) अबाधित रूप से।
उत्तर-
(ख) आसानी से

4. एकांकी में अंक होता है
(क) एक ही
(ख) तीन ही
(ग) पाँच ही
(घ) एक भी नहीं।
उत्तर-
(क) एक ही

5. ‘रिपोर्ताज’ शब्द है भाषा का
(क) फ्रांसीसी
(ख) इटेलियन
(ग) रूसी
(घ) जापानी।
उत्तर-
(क) फ्रांसीसी

सही जोड़ी मिलाइए-

उत्तर-
(i) → (ख),
(ii) →(क),
(iii) → (घ),
(iv) → (ग),
(v) → (ङ)।

सत्य/असत्य-

1. कहानी में किसी घटना, भाव, संवेदना आदि की मार्मिक व्यंजना की जाती है।
2. उपन्यास में जीवन का विशद् चित्रण नहीं होता है।
3. एकांकी का एक ही अंक दृश्यों में विभाजित होता है।
4. गद्यकाव्य कवितापूर्ण गद्य रचना होती है जिसमें गहन भावानुभूति होती है।
5. आलोचना में रसानुभूति की बुद्धि प्रधान व्याख्या की जाती है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. सत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर-

1. अंग्रेजी शब्द ‘रिपोर्ट’ से किसका निकटता का सम्बन्ध होता है?
उत्तर-
रिपोर्ताज का।

2. आलोचना में किसके गुण-दोषों की परख की जाती है?
उत्तर-
साहित्यिक रचना के।

3. किसी विशेष स्थल की यात्रा का सजीव वर्णन किस विधा में किया जाता है?
उत्तर-
यात्रावृत्त।

4. रेखाचित्र में घटना के बाह्य और आन्तरिक स्वरूप को किस तरह अंकित किया जाता है?
उत्तर-
कलात्मक रेखाओं द्वारा।

5. जीवन का विशद् चित्रण किस विधा में होता है?
उत्तर-
उपन्यास।

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