MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
(x + 3)8 में x5 का।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-1

प्रश्न 2.
(a – 2b)12 में a5 b7 का।
हल:
(a – 2b)12 का व्यापक पद = \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-2 b)^{r}\)
= \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-1)^{r} \cdot 2^{r} b^{r}\)
∵ br= b7 (दिया है)
∴ r = 7
अब r = 7 रखने पर,
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प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।
प्रश्न 3.
(x2 – y)6.
हल:
(x2 – y)6 का व्यापक पद
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-3

प्रश्न 4.
(x2 + yx)12, x ≠ 0.
हल:
(x2 – yx)12 का व्यापक पद
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-4

प्रश्न 5.
(x – 2y)12 के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हल:
(x – 2y)12 का चौथा पद
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-5

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प्रश्न 6.
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-6

प्रश्न 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\)
हल:
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\) में 7 + 1 = 8 पद हैं
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-7

प्रश्न 8.
\(\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}\)
हल:
इसमें 10 + 1 = 11 पद हैं जो विषम संख्या है।
मध्य पद = \(\frac{11+1}{2}\) = 6 वाँ पद
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-8
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-9

प्रश्न 9.
(1 + a)m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि am तथा an के गुणांक बराबर हैं।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-10

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प्रश्न 10.
(x + 1)n के प्रसार में (r – 1) वाँ, 7 वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
हल:
(x + 1)n का व्यापक पद \(\mathrm{T}_{r+1}=^{n} C_{r} x^{n-r}\)
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r}\)
∴ (r – 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-2}\)
r वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-1}\)
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प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1+x)2n के प्रसार में xn का गुणांक, (1 + x)2n-1 के प्रसार में xn के गुणांक का दुगुना होता है।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-13

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)m के प्रसार में 2 का गुणांक 6 हो।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2 img-15

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