MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
यदि (a + b)n के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)9 के प्रसार में x2 और x3 के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)6 (1 – x)7 में x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\((1+2 x)^{6}=1+6 C_{1}(2 x)+6 C_{2}(2 x)^{2}+6 C_{3}(2 x)^{3}\) + \(^{6} C_{4}(2 x)^{4}+^{6} C_{5}(2 x)^{5}+\ldots\)
इन दोनों के गुणनफल में से x5 के गुणांक का चयन करते हुए
x5 का गुणांक = 192 – 7 – 240 + 21 x 160 – 35 x 60 + 35 x 12 – 21 x 1
= 192 – 1680 + 3360 – 2100 + 420 – 21
= 171.
प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि an – bn का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
हल:
a = b + (a – b)
an = [b + (a – b)]n
अतः स्पष्ट है कि an – bn का a – b एक गुणनखण्ड है।
प्रश्न 5.
\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 6.
\(\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 7.
(0.99)5 प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(0.99)5 = \((1-0.01)^{5}=1-^{5} C_{1}(0.01)+^{5} C_{2} \times(0.01)^{2}+\ldots\)
= 1 – 5 x 0.01 + 10 x 0.0001
= 1 – 0.05 + 0.001
= 1.001 – 0.05
= 0.951.
प्रश्न 8.
यदि \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात \(\sqrt{6}\) : 1 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) के प्रसार में आरंभ से 5 वां पद
दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद
= \(^{n} C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n-4}\)
या \(\frac{n}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 10.
प्रश्न 9.
\(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}\), x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 10.
\(\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}\) का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:
