Bhagya

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.2

प्रश्न 1.
1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
श्रेणी 1 + 3 + 5 + 7 +….+ 2001
मान लीजिए n वाँ पद 2001 तब
2001 = a + (n – 1)d
= 1+ (n – 1). 2
= 1001

प्रश्न 2.
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
हल:
100 और 1000 के बीच की संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं उनका योगफल
= 105 + 110 + 115 + ….+ 995
मान लीजिए 995, n वाँ पद है।
n वाँ पद = a + (n – 1) d
⇒ 995 = 105 + (n – 1)5
5. (n – 1) = 995 – 105
= 890
n – 1 = \(\frac{890}{5}\) = 178
या n = 179
अतः योगफल, S₁₇₉ = \(\frac{179}{2}\) [2 × 105 + (179 – 1). 5]
= \(\frac{179}{2}[2 \times 105+178 \times 5]\)
= 179 [105 + 89 × 5]
= 98450.

प्रश्न 3.
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पांच पदों का भागफल, अगले पांच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20 वाँ पद – 112 है।
हल:
मान लीजिए, d सार्वअंतर है जबकि a = 2 .
प्रथम पाँच पदों का योगफल = \(\frac{5}{2}\)[2 × 2 + 4 × d]
= 5 [2 + 2d] = 10 (1 + d)
तथा 6 वाँ पद = 2 + (6 – 1). d = 2 + 5d

प्रश्न 4.
समांतर श्रेढ़ी – 6, –\(\frac{11}{2}\),- 5… के कितने पदों का योगफल – 25 है?
हल:
दिया है: a = – 6, d = –\(\frac{11}{2}\) + 6 = \(\frac{1}{2}\)
मान लीजिए n पदों का योगफल – 25 है।
– 25 = \(\frac{n}{2}\left[2 \times(-6)+(n-1) \times \frac{1}{2}\right]\)
– 50 = n [- 12 + \(\frac{1}{2}\)(n – 1)]
= – 12n + \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
– 2 से गुणा करने पर, 100 = 24n – n (n- 1)
= 24n – n² + n .
n² – 25n + 100 = 0 या (n – 5) (n – 20) = 0
n = 5, 20
अतः अभीष्ट पदों की संख्या = 5 या 20.

प्रश्न 5.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद \(\frac{1}{q}\) तथा q वाँ पद \(\frac{1}{p}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग \(\frac{1}{2}\)(pq + 1) होगा, जहाँ p ≠ q.
हल:
मान लीजिए प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
∴ p वाँ पद = a + (p – 1) d = \(\frac{1}{q}\) …..(1)
q वाँ पद = a + (q – 1)d = \(\frac{1}{p}\) …..(2)
समी (2) को (1) में से घटाने पर,

प्रश्न 6.
यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19,…. के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
a = 25, d = 22 – 25 = – 3
मान लीजिए इस श्रेणी में n पद हैं।

अतः 8वाँ पद = a + (n – 1)d
= 25 + (8 – 1) (- 3)
= 25 – 21
= 4

प्रश्न 7.
उस समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल ज ज्ञात कीजिए जिसका वॉ पद 5k +1 है।
हल :
दिया है, k वाँ पद = T_k = 5k+1
k = 1, 2 रखने पर
T₁ = 5 × 1 +1
= 5 + 1 = 6
T₂ = 5 × 2 +1
= 10 + 1 = 11
d = T₂ – T₁
= 11 – 6 = 5
∴ n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 6 + (n – 1). 5]
= \(\frac{n}{2}\)[12 + 5n -5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 7].

प्रश्न 8.
यदि किसी समांतर श्रेणी के पदों का योगफल pn+ar है, जहाँ p तथा अचर हों तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
n पदों का योगफल = \(S_{n}=p n+q n^{2}\)
n = 1, 2 रखने पर

प्रश्न 9.
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो।
हल:
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद a₁, a₂, तथा सार्वअंतर d₁ और d₂ हैं। यदि S_n S_n‘ उनके संगत योगफल हैं। T₁₈ और T₁₈ उनके संगत 18 वें पद हैं।

प्रश्न 10.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो, तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a प्रथम पद व d सार्व अंतर है।
∴ p पदों का योगफल = \(\frac{p}{2}\)[2a + (p – 1)d] …. (1)
q पदों का योगफल = \(\frac{q}{2}\)[2a + (q – 1)d] ….(2)

प्रश्न 11.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)\) = 0
हल:

प्रश्न 12.
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m² : n² है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।
∴ m पदों का योगफल = \(\frac{m}{2}\)[2a + (m – 1)d]
n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]

प्रश्न 13.
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल 3n² + 5n है तथा इसका m वाँ पद 164 है तो m का मान ज्ञात करो।
हल:

प्रश्न 14.
8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।
हल:
माना A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, संख्या 8 और 26 के बीच डाली गई हैं। जिससे 8, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, 26 समांतर श्रेणी का रूप है।
इस अनुक्रम के कुल पद = 7
पहला पद = 8,
अंतिम पद = 26, यदि सार्व अंतर d हो, तो
26 = a + (n – 1)d = 8 + (7 – 1)d
6d = 26 – 8 = 18,
d = \(\frac{18}{6}\) = 3
दूसरा पद = A₁ = 8 + 3 = 11
A₂ = 11 + 3 = 14
A₃ = 14 +3 = 17
A₄ = 17 + 3 = 20
A₅ = 20 + 3 = 23
अतः A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, के मान क्रमशः 11, 14, 17, 20, 23 हैं।

प्रश्न 15.
यदि \(\frac{a^{n}+b^{m}}{a^{n-1}+b^{n-1}}\), a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\)

प्रश्न 16.
m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है। और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए 1, A₁, A₂,…., A_m, 31, समांतर श्रेणी है।
कुल पद = m + 2
अंतिम पद = 31
31 = a + (m + 2 – 1)d = 1 + (m + 1)d

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपए की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपए प्रति माह बढ़ाता है, तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
हल:
पहली किश्त a = 100 रु.
हर माह किश्त में बढ़ोत्तरी = सार्व अंतर = 5 रु.
30वीं किश्त = समांतर श्रेणी का 30वाँ पद
= a + (n – 1)d = 100 + (30 – 1) 5
= 100 + 29 × 5 = 100 + 145 = 245 रु.।

प्रश्न 18.
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
एक n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग
= 180n – 360 …(1)
दिया है कि एक अंतः कोण = समांतर श्रेणी का पहला पद = 120°
क्रमिक अंतः कोणों का अंतर = समांतर श्रेणी का सार्व अंतर = d = 5
∴ n अंतः कोणों का योग = समांतर श्रेणी के n पदों का योग ।
= \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 120 + (n – 1) x 5]
= \(\frac{n}{2}\)[240 + 5n – 5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] …(2)
समी (1) और (2) से, \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] = 180n – 360
या 5n² + 235 n = 360n – 720
या 5n² – 125n + 720 = 0
या n² – 25n + 144 = 0
∴ (n – 16) (n – 9) = 0
∴ n = 16, 9
n ≠ 16 इसलिए n = 9.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका गवाँ पद दिया गया है :
प्रश्न 1.
a_n = n(n+ 2).
हल:
a_n = n(n + 2)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a₁ = 1 x 3 = 3, a₂ = 2 x 4 = 8, a₃ = 3 x 5 = 15, a₄ = 4 x 6 = 24, a₅ = 5 x 7 = 35
अतः दिए गए अनुक्रम के पाँच पद 3, 8, 15, 24, 35 हैं।

प्रश्न 2.
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
हल:
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर

प्रश्न 3.
a_n = 2ⁿ.
हल:
a_n = 2ⁿ में n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_{1}=2^{1}=2, a_{2}=2^{2}=4, a_{3}=2^{3}=8, a_{4}=2^{4}=16, a_{5}=2^{5}=32\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं।

प्रश्न 4.
a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\)
हल:

प्रश्न 5.
a_n = \((-1)^{n-1} 5^{n+1}\).
हल:

प्रश्न 6.
a_n = \(n \frac{n^{2}+5}{4}\)
हल:

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:
प्रश्न 7.
a_n = 4n – 3, 4₁₇, a₂₄.
हल:
a_n = 4n – 3
n = 17 लेने पर,
a₁₇ = 4 x 17 – 3 = 68 – 3 = 65
n = 24 लेने पर,
a₂₄ = 4 x 24 – 3 = 96 – 3 = 93.

प्रश्न 8.
\(a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}\) : a₇
हल:
\(a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}\)
n= 7 रखने पर,
\(a_{7}=\frac{7^{2}}{2^{7}}=\frac{49}{128}\)

प्रश्न 9.
a_n = \((-1)^{n-1} n^{3}\); a_n.
हल:
a_n = \((-1)^{n-1} n^{3}\),
n = 9 रखने पर,
a₉ = \((-1)^{9-1} 9^{3}\) = 729.

प्रश्न 10.
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\) : a₂₀.
हल:
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\),
n = 20 लेने पर,
\(a_{20}=\frac{20 \times 18}{23}=\frac{360}{23}\)

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 11.
\(a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2\) सभी n > 1 के लिए।
हल:

प्रश्न 12.
\(a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}\), जहाँ n ≥ 2.
हल:

प्रश्न 13.
a₁ = a₂ = 2, \(a_{n}=a_{n-1}-1\), जहाँ n > 2.
हल:

प्रश्न 14.
Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है :
\(1=a_{1}=a_{2}\), तथा \(a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n>2\) तो, \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) ज्ञात कीजिए जबकि n = 1, 2, 3, 4, 5.
हल :

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)⁹ के प्रसार में x² और x³ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ में x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\((1+2 x)^{6}=1+6 C_{1}(2 x)+6 C_{2}(2 x)^{2}+6 C_{3}(2 x)^{3}\) + \(^{6} C_{4}(2 x)^{4}+^{6} C_{5}(2 x)^{5}+\ldots\)

इन दोनों के गुणनफल में से x⁵ के गुणांक का चयन करते हुए
x⁵ का गुणांक = 192 – 7 – 240 + 21 x 160 – 35 x 60 + 35 x 12 – 21 x 1
= 192 – 1680 + 3360 – 2100 + 420 – 21
= 171.

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
हल:
a = b + (a – b)
aⁿ = [b + (a – b)]ⁿ

अतः स्पष्ट है कि aⁿ – bⁿ का a – b एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
\(\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
(0.99)⁵ प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(0.99)⁵ = \((1-0.01)^{5}=1-^{5} C_{1}(0.01)+^{5} C_{2} \times(0.01)^{2}+\ldots\)
= 1 – 5 x 0.01 + 10 x 0.0001
= 1 – 0.05 + 0.001
= 1.001 – 0.05
= 0.951.

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात \(\sqrt{6}\) : 1 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) के प्रसार में आरंभ से 5 वां पद

दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद
= \(^{n} C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n-4}\)

या \(\frac{n}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 10.

प्रश्न 9.
\(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}\), x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
\(\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}\) का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
(x + 3)⁸ में x⁵ का।
हल:

प्रश्न 2.
(a – 2b)¹² में a⁵ b⁷ का।
हल:
(a – 2b)¹² का व्यापक पद = \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-2 b)^{r}\)
= \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-1)^{r} \cdot 2^{r} b^{r}\)
∵ b^r= b⁷ (दिया है)
∴ r = 7
अब r = 7 रखने पर,

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।
प्रश्न 3.
(x² – y)⁶.
हल:
(x² – y)⁶ का व्यापक पद

प्रश्न 4.
(x² + yx)¹², x ≠ 0.
हल:
(x² – yx)¹² का व्यापक पद

प्रश्न 5.
(x – 2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हल:
(x – 2y)¹² का चौथा पद

प्रश्न 6.
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद

प्रश्न 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\)
हल:
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\) में 7 + 1 = 8 पद हैं

प्रश्न 8.
\(\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}\)
हल:
इसमें 10 + 1 = 11 पद हैं जो विषम संख्या है।
मध्य पद = \(\frac{11+1}{2}\) = 6 वाँ पद

प्रश्न 9.
(1 + a)^m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा aⁿ के गुणांक बराबर हैं।
हल:

प्रश्न 10.
(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) वाँ, 7 वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
हल:
(x + 1)ⁿ का व्यापक पद \(\mathrm{T}_{r+1}=^{n} C_{r} x^{n-r}\)
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r}\)
∴ (r – 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-2}\)
r वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-1}\)

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1+x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।
हल:

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)^m के प्रसार में 2 का गुणांक 6 हो।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
(1 – 2x)⁵
हल:

प्रश्न 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}\)
हल:

प्रश्न 3.
\((2 x-3)^{6}\).
हल:

प्रश्न 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}\).
हल:

प्रश्न 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}\).
हल:

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)
प्रश्न 6.
(96)³.
हल:
(96)³ = \((100-4)^{3}=(100)^{3}+3 C_{1}(100)^{2} \cdot(-4)+^{3} C_{2}(100)^{1}(-4)^{2}+(-4)^{3}\)
= 1000000 + 3 x 10000 (- 4) + 3 x 100 x 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64 = 884736.

प्रश्न 7.
(102)⁵.
हल:
(102)⁵ = (100 + 2)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1}(100)^{4} \times 2+^{5} C_{2}(100)^{3} 2^{2}\) + \(^5 \mathrm{C}_{3}(100)^{2} \times 2^{3}+^{5} \mathrm{C}_{4}(100) \times 2^{4}+2^{5}\)
= 10000000000 + 5 x 100000000 x 2 + 10 x 1000000 x 4 + 10 x 10000 x 8+5 x 100 x 16 + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032.

प्रश्न : 8.
(101)⁴.
हल:
(101)⁴ = (100 + 1)⁴ = \((100)^{4}+^{4} C_{1} \times(100)^{3} \times 1+^{4} C_{2} \times(100)^{2} \times 1^{2}\) + \(^{4} C_{3} \times(100) \times 1^{3}+1^{4}\)
= 100000000 + 4 x 1000000 + 6 x 10000 + 400 + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401.

प्रश्न 9.
(99)⁵.
हल:
(99)⁵ = (100 – 1)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1} \times(100)^{4} \times(-1)\) + \(^{5} C_{2} \times(100)^{3} \times(-1)^{2}+^{5} C_{3} \times(100)^{2} \times(-1)^{3}\) + \(^{5} C_{4} \times(100) \times(-1)^{4}+(-1)^{5}\)
= 10000000000 – 5 x 100000000 + 10 x 1000000 – 10 x 10000 + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499.

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000
हल:
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰
= \(1^{10000}+10000 C_{1} \times 1^{9999}(0.1)^{1}\)
= 1 + 10000 x (0.1) + …. = 1001 +…
स्पष्ट है कि (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ संख्या 1000 से बड़ी है।

प्रश्न 11.
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
(x + 1)⁶ + (x – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \((\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9ⁿ⁺¹ – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
(1 + x)^{n + 1} का प्रसार करने पर,

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\sum_{r=0}^{n} 3^{r} \cdot^{n} C_{r}\) = 4.
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
हल:
DAUGHTER शब्द में 8 अक्षर हैं जिसमें 3 स्वर और 5 व्यंजन हैं
3 स्वर में से 2 स्वर चुनने के तरीके = \(^{3} C_{2}\) = 3
5 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\) = \(^{5} C_{2}\)
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2}\) = 10
2 स्वर और 3 व्यंजन चुनने के तरीके = 3 x 10 = 30
प्रत्येक संचय में 5 अक्षर हैं।
उनके क्रमसंचयों की संख्या = 5! = 120
DAUGHTER शब्द के 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर शब्दों की संख्या = 30 x 120 = 3600.

प्रश्न 2.
EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते हैं?
हल:
EQUATION शब्द में कुल 8 अक्षर हैं जिनमें 5 स्वर और 3 व्यंजन हैं।
स्वर अक्षरों का क्रमसंचय = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
व्यंजन अक्षरों का क्रमसंचय = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
स्वरों और अक्षरों, को 2 तरीकों से लिखा जा सकता है, पहले स्वर ले या व्यंजन लें। EQUATION शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर तथा व्यंजन एक साथ आएँ
= 120 x 6 x 2 = 1440.

प्रश्न 3.
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है, यह कितने प्रकार से किया सकता है, जबकि समिति में
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
हल:
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है।
(i) जब उस समिति में 3 लड़कियाँ हों तो उस समिति में 4 लड़के होंगे। 3 लड़कियाँ और 4 लड़के चुनने के तरीके

(ii) समिति में कम से कम 3 लड़कियाँ है तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेंगी :
(a) 3 लड़कियाँ 4 लड़के
(b) 4 लड़कियाँ 3 लड़के

(iii) यदि समिति में अधिकतम 3 लड़कियाँ लेनी हैं तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेगी :
(a) कोई लड़की नहीं और 7 लड़के
(b) 1 लड़की और 6 लड़के
(c) 2 लड़की और 5 लड़के
(d) 3 लड़की और 4 लड़के

= 36 + 336 + 126 x (6+ 4)
= 372 + 1260
= 1632.

प्रश्न 4.
यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्द कोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?
हल:
A से प्रारंभ होने वाले शब्दों में 21, 2N और शेष भिन्न अक्षर हैं
ऐसे कुल शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 ! 2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4}\)
= 907200
शब्द कोष के अक्षरों की तरह दिए हुए अक्षरों को क्रमबद्ध करते हुए अगला अक्षर E होगा।
∴ E से पहले बने शब्दों की संख्या = 907200.

प्रश्न 5.
0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से, 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? .
हल:
10 से विभाजित होने वाली वे संख्याएँ हैं जिनमें इकाई के स्थान पर 0 को रखा गया है।
अब हमें 6 अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए शेष 5 स्थान और भरने हैं।
5 स्थानों को भरने का क्रमसंचय = 5! = 120
∴ 6 अंकीय संख्याएं जो 10 से विभाजित हो जाएँ उनकी संख्या = 120.

प्रश्न 6.
अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं। इस वर्णमाला में 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?
हल:
5 स्वरों में से 2 स्वर लेकर संचयों की संख्या = \(^{5} C_{2}\)
21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन लेकर संचयों की संख्या = \(^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजन को चयन करने के तरीके = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजनों का क्रमसंचय = 4!
∴ 2 स्वर और 2 व्यंजन से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\) x 4!
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2} \times \frac{21 \times 20}{1 \times 2}\) × 24
= 10 x 210 x 24
= 50400.

प्रश्न 7.
किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खण्ड II. एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम उप्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?
हल:
एक विद्यार्थी को कुल 8 प्रश्न हल करने हैं।
प्रत्येक खण्ड से कम से कम 3 प्रश्न करने हैं।
भाग I और II से प्रश्नों को इस प्रकार चुनाव करने हैं।
भाग I से चुने जाने वाले प्रश्न 3 4 5 प्रश्नों की कुल संख्या 5
भाग II से चुने जाने वाले प्रश्न 5 4 3 प्रश्नों की कुल संख्या 7

प्रश्न 8.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।
हल:
बादशाह वाले पत्तों की कुल संख्या = 4
इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके = \(^{4} C_{1}\) = 4
अंब शेष 48 पत्तों में से 4 पत्ते चयन करने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
= \(\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{1 \times 2 \times 3 \times 4}\)
= 194580
इस प्रकार 52 पत्तों में से 5 पत्ते लेकर (जिनमें से 1 बादशाह है) संचयों की संख्या
= \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{4}\) = 4 x 194580 = 778320.

प्रश्न 9.
5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार कितने विन्यास संभव हैं ?
हल:
4 महिलाओं का 4 सम स्थानों पर बैठाने के विन्यास = 4! = 24
5 पुरुषों को 5 विषम स्थानों पर बैठाना के तरीके = 5! = 120
4 महिलाओं को सम स्थानों पर और 5 पुरुषों को विषम स्थानों पर बैठाने के विन्यास
= 4! x 5!
= 24 x 120
= 2880.

प्रश्न 10.
25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से 10 का चयन एक भ्रमण दल के लिए किया जाता है। तीन विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?
हल:
25 विद्यार्थियों में से 10 विद्यार्थियों को भ्रमण दल में शामिल करना है। परन्तु 10 विद्यार्थियों में से 3 ऐसे हैं
(i) जब तीनों भ्रमण दल में शामिल होते हैं या
(ii) तीनों नहीं होते है।
(i) जब तीनों विद्यार्थी टीम में शामिल होते हैं तो भ्रमण दल का चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{7}\)
(ii) जब तीनों विद्यार्थी भ्रमण दल में शामिल नहीं होते हैं तो चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{10}\)
दोनो दशाओं में भ्रमण दल का चयन करने के तरीके = \(^{22} C_{7}\) + \(^{22} C_{10}\)

प्रश्न 11.
ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं जबकि सभी एक साथ रहें?
हल:
ASSASSINATION में कुल 13 अक्षर हैं जिसमें A तीन बार, S चार बार, I दो बार तथा N दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
4 – S को एक साथ रहना है। अतः उसे एक अक्षर मान लिया। इस प्रकार इसमें 10 अक्षर रह गए जिसमें 3 – A, 2 – 1 और 2 – N समान हैं।
∴ इस शब्द के अक्षरों का विन्यास जब S एक साथ रहते हो

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.4

प्रश्न 1.
यदि \(^{n} C_{8}=^{n} C_{2}\), तो ⁿC₂ ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
n का मान निकालिए, यदि
(i) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 12 : 1
(ii) \(^{2 n} C_{3}:^{n} C_{2}\) = 11 : 1
हल :

प्रश्न 3.
किसी वृत्त पर स्थित 21 बिन्दुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं?
हल:
21 बिन्दुओं में कोई 2 बिन्दु मिलाने से एक जीवा प्राप्त होती है।
जीवाओं की संख्या = \(^{21} C_{2}=\frac{21 \times 20}{1 \times 2}=210\).

प्रश्न 4.
5 लड़के और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमें बनाने के कितने तरीके हैं?
हल:
5 लड़कों में से 3 लड़कों के चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\)
4 लड़कियों में से 3 लड़कियाँ चुनने के तरीके = \(^{4} C_{3}\)
∴ 5 लड़कों और 4 लड़कियों में से 3 लड़के और 3 लड़कियों की टीमों की संख्या

प्रश्न 5.
6 लाल रंग की, 5 सफेद रंग की और 5 नीले रंग की गेंदों में से 9 गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।
हल:
6 लाल रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 सफेद रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
5 नीले रंग की गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^5 C_{3}\)
इस प्रकार 6 लाल, 5 सफेद तथा 5 नीले रंग की गेंदों में से प्रत्येक रंग की 3 गेंदों के चुनने के तरीके.

= \(\frac{6.5 .4}{1.2 .3} \times \frac{5.4}{1.2} \times \frac{5.4}{1.2}\)
= 20 x 10 x 10
= 2000.

प्रश्न 6.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों को लेकर बनने वाले संचयों की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि प्रत्येक संचय में तथ्यतः एक इक्का हो।
हल:
ताश का गड्डी में 4 इक्के होते हैं।
∴ 4 में से 1 इक्का चुनने के तरीके = \(^{4} C_{1}\)
इक्का छोड़कर शेष पत्ते = 52 – 4 = 48
48 पत्तों में से कोई 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
∴ ताश की गड्डी में 1 इक्का और 4 अन्य पत्ते चुनने के तरीके

प्रश्न 7.
17 खिलाड़ियों में से, जिनमें केवल 5 गेंदबाजी कर सकते हैं, एक क्रिकेट टीम के 11 खिलाड़ियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि प्रत्येक टीम में तथ्यतः 4 गेंदबाज हैं?
हल:
5 गेंदबाज में 4 गेंदबाज चुनने के तरीके = \(^{5} C_{4}\)
शेष खिलाड़ी = 17 – 5 = 12
शेष चुने जाने वाले खिलाड़ी = 11 – 4 = 7
∴ 12 खिलाड़ियों में से 7 खिलाड़ी चुनने के तरीके = \(^{12} C_{7}\)

प्रश्न 8.
एक थैली में 5 काली तथा 6 लाल गेंदें हैं। 2 काली तथा 3 लाल गेंदों के चयन के तरीकों की संख्या निर्धारित कीजिए।
हल:
5 काली गेंदों में से 2 गेंदें चुनने के तरीके = \(^{5} C_{2}\)
6 लाल गेंदों में से 3 गेंदें चुनने के तरीके = \(^6 C_{3}\)
5 काली व 6 लाल गेंदों में से 2 काली और 3 लाल गेंदें चुनने के कुल तरीके

प्रश्न 9.
9 उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी 5 पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए 2 विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं?
हल:
दो पाठ्यक्रम अनिवार्य हों, तब शेष पाठ्यक्रम = 9 – 2 = 7 .
7 पाठ्यक्रमों में से 3 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} \mathrm{C}_{3}\)
अत: 9 में से 5 पाठ्यक्रम चुनने के तरीके = \(^{7} C_{3}=\frac{7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3}\) = 35

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3

प्रश्न 1.
1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएं बनाई जा सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
हल:
3 अंकीय संख्या में तीन स्थान होते हैं : इकाई, दहाई और सैकड़ा। इकाई के स्थान को 9 तरीकों से, दहाई के स्थान को 8 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 7 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय संख्याओं की संख्या = 9 x 8 x 7 = 504.

प्रश्न 2.
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं?
हल:
0 से 9 तक कुल 10 अंक हैं।
10 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(10 p_{4}\)
= 10 x 9 x 8 x 7 = 5040
इनमें वे संख्याएं सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर 0 है।
0 को हजार के स्थान पर रखने पर और शेष स्थानों पर कोई तीन अंक रखने पर कुल संख्याओं की संख्या = \(^{9} P_{3}\)
= 9 x 8 x 7 = 504
चार अंकीय संख्याओं की संख्या = 5040 – 504 = 4536.

प्रश्न 3.
अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
हल:
2, 4, 6 में से किसी एक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है।
∴ इकाई का स्थान 3 तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई के स्थान को 5 तरीकों से और सैकड़े के स्थान को 4 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 3 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 3 x 5 x 4 = 60.

प्रश्न 4.
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी ?
हल:
(i) 5 में से 4 अंक लेकर संख्याओं की संख्या = \(^{5} P_{4}\)
= 5 x 4 x 3 x 2 = 120
(ii) इकाई के स्थान पर 2 या 4 रखने से संख्या सम बनती है।
इस प्रकार इकाई का स्थान 2 तरीकों से, दहाई का स्थान 4 तरीकों से, सैकड़े का स्थान 3 तरीकों से और हजार का स्थान 2 तरीकों से भरा जा सकता है।
∴ 4 अंकीय सम संख्याओं की संख्या = 2 x 4 x 3 x 2 = 48.

प्रश्न 5.
8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
हल:
8 व्यक्तियों में से एक को अध्यक्ष चुनने के तरीके = 8
अध्यक्ष चुनने के बाद 7 व्यक्तियों में से एक उपाध्यक्ष चुना जाना है।
उपाध्यक्ष चुनने के तरीके = 7
∴ एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष को 8 x 7 = 56 तरीकों से चुना जा सकता है।

प्रश्न 6.
यदि \(^{n-1} P_{3}:^{n} P_{4}\) = 1 : 9 तो n ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 7.
ज्ञात कीजिए यदि
(i) \(^{5} P_{r}=2^{6} P_{r-1}\)
(ii) \(^{5} P_{r}=^{6} P_{r-1}\)
हल:

r संख्या 5 से अधिक नहीं हो सकती

∴ r² – 13r + 36 = 0 या (r – 9)(r – 4) = 0
∴ r = 9, 4
r ≠ 9 क्योंकि यह 5 से बड़ा है
अतः r = 4.

प्रश्न 8.
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
हल:
शब्द EQUATION में कुल 8 अक्षर हैं।
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों ( जो अर्थपूर्ण या अर्थहीन हैं) की संख्या = \(\frac{8 !}{(8-8) !}\) = 8!
= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 40320.

प्रश्न 9.
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है,
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
हल:
(i) MONDAY शब्द में कुल 6 अक्षर हैं।
6 अक्षरों में से 4 अक्षर एक समय पर लेकर कुल शब्दों की संख्या
= \(^6 P_{4}\) = 6 x 5 x 4 x 3 = 360
जबकि शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।
(ii) सभी अक्षरों को एक साथ लेकर शब्दों की संख्या = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
(iii) पहले स्थान पर A या O रखना है। यह दो तरीकों से हो सकता है।
शेष 5 स्थान 5! = 120 तरीकों से भरे जा सकते हैं।
उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं = 2 x 120 = 240.

प्रश्न 10.
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
हल:
शब्द MISSISSIPPI में कुल 11 अक्षर हैं जिसमें M, एक बार; I चार बार; S चार बार, तथा P दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2}\)
मान लीजिए के 4 – I एक साथ हों, तब
कुल अक्षर = 8
इन अक्षरों से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(\frac{8 !}{4 ! 2 !}\)
उन शब्दों का संख्या जब 4, I एक साथ नहीं है

प्रश्न 11.
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
हल:
PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं जिनमें T – 2 है, शेष सब भिन्न हैं।
(i) P और S के स्थान स्थिर कर दिए गए हैं।
शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 !}\)
= 1814400.
(ii) सभी स्वरों को एक साथ कर दिया गया है (EUAIO)PRMTTNS जिनमें 2T हैं।
उन शब्दों की संख्या जब स्वर एक साथ है
= \(\frac{8 !}{2 !} \times 5 !=\frac{40320 \times 120}{2}\)
= 2419200.
(iii) P तथा S के बीच चार अक्षर होने चाहिए।
मान लीजिए 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1, 2, 3….. 12 रख दिया है।
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
इस प्रकार P को स्थान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पर रखा जा सकता है तो S को स्थान 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 पर रखा जा सकता है।
⇒ P और S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।
P और S या S और P को 7 + 7 = 14 तरीकों से रखा जा सकता
शेष 10 अक्षरों को \(\frac{10 !}{2 !}\) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
∴ उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच में 4 अक्षर हों
= \(\frac{10 !}{2 !}\) x 14 = 10! x 7
= 25401600.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.2

प्रश्न 1.
मान निकालिए :
(i) 8!
(ii) 4! – 3!
हल:
(i) 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320.
(ii) 4! – 3! = 4 x 3 x 2 x 1 – 3 x 2 x 1
= 24 – 6 = 18.

प्रश्न 2.
क्या 3! + 4! = 7!?
हल:
बायाँ पक्ष = 3! + 4!
= 3 x 2 x 1 + 4 x 3 x 2 x 1
= 6 + 24 = 30
दायाँ पक्ष = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5040
अतः 3! + 4! ≠ 7!.

प्रश्न 3.
\(\frac{8 !}{6 ! \times 2 !}\) का परिकलन कीजिए ।
हल:

प्रश्न 4.
यदि \(\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}=\frac{x}{8 !}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
\(\frac{x}{8 !}=\frac{1}{6 !}+\frac{1}{7 !}\)

प्रश्न 5.
\(\frac{n !}{(n-r) !}\) का मान निकालिए जबकि
(i) n = 6, r = 2
(ii) n = 9, r = 5
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 9th Special Hindi कविता का स्वरूप एवं पद्य साहित्य का विकास

प्रश्न 1.
कविता के बाह्य स्वरूप के तत्वों को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
कविता के बाह्य स्वरूप में निम्नलिखित तत्व सम्मिलित हैं

1. लय-भाषा के प्रवाह में उतार-चढ़ाव (आरोह-अवरोह) तथा विराम के योग से लय की उत्पत्ति होती है।
2. तुक-कविता की पंक्ति का अन्तिम वर्ण एवं ध्वनि में समानता का पाया जाना ही तुक कहा जाता है। इससे कविता में गेयता और संगीतात्मकता की सरसता और सहजता भर जाती है।
3. छन्द-छन्द ही कविता में लय, तुक तथा गति देता है। प्रत्येक छन्द में मात्राओं और वर्णों का क्रम निश्चित होता है।
4. शब्द-योजना-काव्य सौन्दर्य के लिए शब्द-योजना की जाती है जिससे काव्य में विशेष अर्थ की अभिव्यंजना सम्भव होती है।
5. भाषा की चित्रात्मकता-भाषा की चित्रात्मकता से भाव की अभिव्यक्ति होती है।
6. अलंकार-कवि के कथन में सौन्दर्य और अर्थ-गौरव के लिए अलंकार प्रयुक्त होते हैं। अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को बाधित करता है।

प्रश्न 2.
कविता के आन्तरिक स्वरूप के तत्वों पर टिप्पणी कीजिए।
उत्तर-
कविता के आन्तरिक स्वरूप के तत्व अग्रलिखित

• रसात्मकता,
• अनुभूति की तीव्रता,
• मर्मस्पर्शिता।

रसपूर्ण वाक्य ही काव्य कहा जाता है। शब्द और अर्थ काव्य का शरीर होता है तथा ‘रस’ ही उस शरीर का प्राण होता है। गद्य का सम्बन्ध बुद्धि से और कविता का सम्बन्ध हृदय से होता है। ‘वियोगी जन के हृदय’ से उत्पन्न कविता श्रोताओं या पाठकों के हृदय को स्पर्श करती है।

प्रश्न 3.
हिन्दी पद्य साहित्य को कितने कालों में विभाजित किया गया है ? इस काल-विभाजन की समय-सीमा भी निर्धारित कीजिए।
उत्तर-
आचार्य रामचन्द्र शुक्ल ने हिन्दी साहित्य के विकास क्रम को संवत् 1050 वि. से शुरू हुआ माना है। आचार्य शुक्ल का यह मत ही प्रामाणिक माना गया है। इस साहित्यिक विकास-क्रम को निम्नलिखित चार कालों में विभाजित हुआ माना गया है-
काल-विभाजन – समय सीमा

1. आदिकाल या वीरगाथाकाल – सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक।
2. भक्तिकाल (पूर्व मध्यकाल) – सन् 1318 ई. से सन् 1643 ई. तक।
3. रीतिकाल (उत्तर मध्यकाल) – सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक।
4. आधुनिक काल सन् 1843 – ई. से निरन्तर।

प्रश्न 4.
भक्तिकाल की प्रमुख विशेषताओं का उल्लेख कीजिए।
उत्तर-
भक्तिकाल की प्रमुख विशेषताएँ निम्न प्रकार हैं

• भक्ति भावना की प्रधानता।
• किसी भी राजा के दरबार में आश्रय प्राप्त न करना।
• काव्य सृजन का उद्देश्य केवल स्वान्तः सुखाया ही था।
• धर्म, जाति साहित्यिक विधाओं एवं काव्य स्वरूप में समन्वय की भावना।
• काव्य सौन्दर्य के कला एवं भाव पक्ष दोनों का सफलतापूर्वक निर्वाह।
• जीवन को आदर्श प्रधान यथार्थता से जोड़ा गया।
• कवि द्वारा अपने इष्ट के प्रति पूर्ण समर्पण के भाव की अभिव्यक्ति।

प्रश्न 5.
सगुण भक्तिधारा के दो प्रमुख कवियों के नाम उनकी एक-एक रचना सहित लिखिए।
उत्तर-

1. तुलसीदास-रामचरितमानस,
2. सूरदास-सूरसागर।

प्रश्न 6.
कृष्णभक्ति काव्य की प्रमुख विशेषताओं का उल्लेख कीजिए।
उत्तर-

• कृष्ण को ईश्वर का अवतार माना गया।
• उनकी विशेष पूजा पर बल दिया।
• कृष्ण के लोकरंजक स्वरूप का चिन्तन व वर्णन किया जाना।
• सखाभाव की भक्ति की अवतारणा।
• ज्ञान से बढ़कर प्रेम को अधिक महत्त्व दिया जाना।
• मुक्तक शैली के गेय पदों की रचना।
• प्रायः कृष्णभक्ति काव्य की रचना ब्रजभाषा में की गई है जिनमें कृष्ण की बाल-लीलाओं का वर्णन किया गया है।

महत्त्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न
रिक्त स्थानों की पूर्ति
1. भाषा के प्रवाह में उतार-चढ़ाव तथा विराम के योग से ………………………….. उत्पत्ति होती है। (लय/ताल)
2. अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को ………………………….. करता है। (वृद्धि/बाधित)
3. भाषा की चित्रात्मकता से ………………………….. अभिव्यक्ति होती है। (भाव की/आलंकारिकता की)
4. काव्य में विशेष अर्थ की अभिव्यंजना ………………………….. सम्भव है। (शब्द-योजना से/अलंकार प्रयोग से)
5. शब्द और अर्थ ………………………….. होता है। (काव्य का शरीर/काव्य की आत्मा)
उत्तर-
1. लय,
2. बाधित,
3. भाव की,
4. शब्द योजना से,
5. काव्य का शरीर।

सही विकल्प चुनिए-

1. आचार्य रामचन्द्र शुक्ल ने हिन्दी साहित्य के विकास-क्रम ‘ को शुरू हुआ माना है
(क) संवत् 1050 वि. से
(ख) संवत् 1150 वि. से
(ग) संवत् 940 वि. से
(घ) संवत् 1260 वि. से।
उत्तर-
(क) संवत् 1050 वि. से

2. वीरगाथा काल की समय-सीमा निर्धारित की है
(क) सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक
(ख) सन् 1050 ई. से सन् 1210 ई. तक
(ग) सन् 715 ई. से सन् 1310 ई. तक
(घ) सन् 810 ई. से सन् 1250 ई. तक।
उत्तर-
(क) सन् 993 ई. से सन् 1318 ई. तक

3. रीतिकाल की समय-सीमा निर्धारित की गई है
(क) सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक
(ख) सन् 1540 ई. से सन् 1750 ई. तक
(ग) सन् 1610 ई. से सन् 1840 ई. तक
(घ) सन् 1460 ई. से सन् 1560 ई. तक।
उत्तर-
(क) सन् 1643 ई. से सन् 1843 ई. तक

4. कविता का सम्बन्ध होता है-
(क) हृदय से
(ख) बुद्धि से
(ग) मौन से
(घ) पाठक से।
उत्तर-
(क) हृदय से

सही जोड़ी मिलाइए-

उत्तर-
(i) → (ङ),
(ii) → (ग),
(iii) → (घ),
(iv) → (ख),
(v) → (क)।

सत्य/असत्य-

1. लय की उत्पत्ति होती है भाषा के प्रभाव में उतार-चढ़ाव से।
2. शब्द योजना से काव्य सौन्दर्य असम्भव है।
3. अलंकारों का अनावश्यक प्रयोग कविता के सौन्दर्य को बाधित करता है।
4. रसपूर्ण वाक्य काव्य नहीं हो सकता।
5. प्रत्येक छन्द में मात्राओं और वर्णों का क्रम निश्चित होता है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर-

1. मात्राओं और वर्णों का क्रम किसमें निश्चित होता है ?
उत्तर-
छन्द में।

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