MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.2

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.2

प्रश्न 1.
1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
श्रेणी 1 + 3 + 5 + 7 +….+ 2001
मान लीजिए n वाँ पद 2001 तब
2001 = a + (n – 1)d
= 1+ (n – 1). 2
= 1001

प्रश्न 2.
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
हल:
100 और 1000 के बीच की संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं उनका योगफल
= 105 + 110 + 115 + ….+ 995
मान लीजिए 995, n वाँ पद है।
n वाँ पद = a + (n – 1) d
⇒ 995 = 105 + (n – 1)5
5. (n – 1) = 995 – 105
= 890
n – 1 = \(\frac{890}{5}\) = 178
या n = 179
अतः योगफल, S₁₇₉ = \(\frac{179}{2}\) [2 × 105 + (179 – 1). 5]
= \(\frac{179}{2}[2 \times 105+178 \times 5]\)
= 179 [105 + 89 × 5]
= 98450.

प्रश्न 3.
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पांच पदों का भागफल, अगले पांच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20 वाँ पद – 112 है।
हल:
मान लीजिए, d सार्वअंतर है जबकि a = 2 .
प्रथम पाँच पदों का योगफल = \(\frac{5}{2}\)[2 × 2 + 4 × d]
= 5 [2 + 2d] = 10 (1 + d)
तथा 6 वाँ पद = 2 + (6 – 1). d = 2 + 5d

प्रश्न 4.
समांतर श्रेढ़ी – 6, –\(\frac{11}{2}\),- 5… के कितने पदों का योगफल – 25 है?
हल:
दिया है: a = – 6, d = –\(\frac{11}{2}\) + 6 = \(\frac{1}{2}\)
मान लीजिए n पदों का योगफल – 25 है।
– 25 = \(\frac{n}{2}\left[2 \times(-6)+(n-1) \times \frac{1}{2}\right]\)
– 50 = n [- 12 + \(\frac{1}{2}\)(n – 1)]
= – 12n + \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
– 2 से गुणा करने पर, 100 = 24n – n (n- 1)
= 24n – n² + n .
n² – 25n + 100 = 0 या (n – 5) (n – 20) = 0
n = 5, 20
अतः अभीष्ट पदों की संख्या = 5 या 20.

प्रश्न 5.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद \(\frac{1}{q}\) तथा q वाँ पद \(\frac{1}{p}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग \(\frac{1}{2}\)(pq + 1) होगा, जहाँ p ≠ q.
हल:
मान लीजिए प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
∴ p वाँ पद = a + (p – 1) d = \(\frac{1}{q}\) …..(1)
q वाँ पद = a + (q – 1)d = \(\frac{1}{p}\) …..(2)
समी (2) को (1) में से घटाने पर,

प्रश्न 6.
यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19,…. के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
a = 25, d = 22 – 25 = – 3
मान लीजिए इस श्रेणी में n पद हैं।

अतः 8वाँ पद = a + (n – 1)d
= 25 + (8 – 1) (- 3)
= 25 – 21
= 4

प्रश्न 7.
उस समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल ज ज्ञात कीजिए जिसका वॉ पद 5k +1 है।
हल :
दिया है, k वाँ पद = T_k = 5k+1
k = 1, 2 रखने पर
T₁ = 5 × 1 +1
= 5 + 1 = 6
T₂ = 5 × 2 +1
= 10 + 1 = 11
d = T₂ – T₁
= 11 – 6 = 5
∴ n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 6 + (n – 1). 5]
= \(\frac{n}{2}\)[12 + 5n -5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 7].

प्रश्न 8.
यदि किसी समांतर श्रेणी के पदों का योगफल pn+ar है, जहाँ p तथा अचर हों तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
n पदों का योगफल = \(S_{n}=p n+q n^{2}\)
n = 1, 2 रखने पर

प्रश्न 9.
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो।
हल:
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद a₁, a₂, तथा सार्वअंतर d₁ और d₂ हैं। यदि S_n S_n‘ उनके संगत योगफल हैं। T₁₈ और T₁₈ उनके संगत 18 वें पद हैं।

प्रश्न 10.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो, तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a प्रथम पद व d सार्व अंतर है।
∴ p पदों का योगफल = \(\frac{p}{2}\)[2a + (p – 1)d] …. (1)
q पदों का योगफल = \(\frac{q}{2}\)[2a + (q – 1)d] ….(2)

प्रश्न 11.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)\) = 0
हल:

प्रश्न 12.
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m² : n² है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।
∴ m पदों का योगफल = \(\frac{m}{2}\)[2a + (m – 1)d]
n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]

प्रश्न 13.
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल 3n² + 5n है तथा इसका m वाँ पद 164 है तो m का मान ज्ञात करो।
हल:

प्रश्न 14.
8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।
हल:
माना A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, संख्या 8 और 26 के बीच डाली गई हैं। जिससे 8, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, 26 समांतर श्रेणी का रूप है।
इस अनुक्रम के कुल पद = 7
पहला पद = 8,
अंतिम पद = 26, यदि सार्व अंतर d हो, तो
26 = a + (n – 1)d = 8 + (7 – 1)d
6d = 26 – 8 = 18,
d = \(\frac{18}{6}\) = 3
दूसरा पद = A₁ = 8 + 3 = 11
A₂ = 11 + 3 = 14
A₃ = 14 +3 = 17
A₄ = 17 + 3 = 20
A₅ = 20 + 3 = 23
अतः A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, के मान क्रमशः 11, 14, 17, 20, 23 हैं।

प्रश्न 15.
यदि \(\frac{a^{n}+b^{m}}{a^{n-1}+b^{n-1}}\), a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\)

प्रश्न 16.
m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है। और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए 1, A₁, A₂,…., A_m, 31, समांतर श्रेणी है।
कुल पद = m + 2
अंतिम पद = 31
31 = a + (m + 2 – 1)d = 1 + (m + 1)d

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपए की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपए प्रति माह बढ़ाता है, तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
हल:
पहली किश्त a = 100 रु.
हर माह किश्त में बढ़ोत्तरी = सार्व अंतर = 5 रु.
30वीं किश्त = समांतर श्रेणी का 30वाँ पद
= a + (n – 1)d = 100 + (30 – 1) 5
= 100 + 29 × 5 = 100 + 145 = 245 रु.।

प्रश्न 18.
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
एक n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग
= 180n – 360 …(1)
दिया है कि एक अंतः कोण = समांतर श्रेणी का पहला पद = 120°
क्रमिक अंतः कोणों का अंतर = समांतर श्रेणी का सार्व अंतर = d = 5
∴ n अंतः कोणों का योग = समांतर श्रेणी के n पदों का योग ।
= \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 120 + (n – 1) x 5]
= \(\frac{n}{2}\)[240 + 5n – 5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] …(2)
समी (1) और (2) से, \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] = 180n – 360
या 5n² + 235 n = 360n – 720
या 5n² – 125n + 720 = 0
या n² – 25n + 144 = 0
∴ (n – 16) (n – 9) = 0
∴ n = 16, 9
n ≠ 16 इसलिए n = 9.

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