MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm हो, तो AD ज्ञात कीजिए। (2019)
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चित्र 9.2
हल:
चूँकि समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार x शीर्षलम्ब
⇒ AD x CF = DC x AE (क्रमशः AD और DC को आधार लेकर)
⇒ AD x CF = AB x AE (∵AB = DC समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ AD x 10 = 16 x 8 = 128
⇒ AD = \(\frac { 128 }{ 10 }\) = 12.8 cm
अत: AD का अभीष्ट मान = 12.8 cm.

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि-
ar (EFGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD).
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चित्र 9.3
हल:
□ EFGH, समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दुओं E, F, G और H को क्रमशः मिलाने से बना है।
EG को मिलाइए।
अब आधार EG पर EG || AD के मध्य समान्तर चतुर्भुज DAEG और ∆HEG स्थित हैं
⇒ ar (HEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (DAEG) …..(1)
एवं आधार EG पर EG || BC के मध्य समान्तर चतुर्भुज CBEG एवं ∆FEG स्थित हैं
⇒ ar (FEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (CBEG) …(2)
⇒ ar (HEG) + ar (FEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (DAEG) + \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (CBEG)
अतः ar (EFGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD). (fearger) इति सिद्धम्

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प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि-
ar (APB) = ar (BQC). (2019)
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चित्र 9.4
हल:
चूँकि एक ही आधार AB पर AB || DC के मध्य ∆APB और समान्तर चतुर्भुज ABCD स्थित है।
⇒ ar (APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD) …(1) ,
चूँकि एक ही आधार BC और BC || AD के बीच ∆BOC और समान्तर चतुर्भुज ABCD स्थित हैं।
⇒ ar (BQC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD)
अतः ar (APB) = ar (BQC). [समीकरण (1) और (2) से] इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि-
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD).
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD).
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चित्र 9.5
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसके अभ्यन्तर P कोई दिया हुआ बिन्दु है। PA, PB, PC एवं PD को मिलाया।
बिन्दु P से होकर EPF || AB रेखा खींचिए।
यहाँ EF || AB || DC (AB || DC समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)

(i) चूँकि उभयनिष्ठ आधार EF पर EF || AB के मध्य समान्तर चतुर्भुज AEFB और ∆APB स्थित हैं।
⇒ ar (APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (AEFB) …(1)
एवं उभयनिष्ठ आधार DC पर DC || EF के मध्य समान्तर चतुर्भुज EDCF एवं ∆PCD स्थित है।
⇒ ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EDCF) …(2)
⇒ ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (AEFB) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EDCF) [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD). (AEFB + EDCF = ABCD) इति सिद्धम्

(ii) चूँकि ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) [भाग (i) से सिद्ध कर चुके हैं] …(3)
और ar (APB) + ar (PCD) + ar (APD) + ar (PBC) = ar (ABCD) (चित्रानुसार) …(4)
⇒ ar (APD) + ar (PBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD) [समीकरण (3) और (4) से] …(5)
अतः ar (APB) + ar (PCD) = ar (APD) + ar (PBC). समी. (4) और (5) में] इति सिद्धम्

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प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में PORS और ABRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा x भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि-
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS).
(ii) ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS).
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चित्र 9.6
हल:
(i) चूँकि उभयनिष्ठ आधार SR पर SR || PB के मध्य समान्तर चतुर्भुज ABRS एवं PQRS स्थित हैं।
अतः ar (PQRS) = ar (ABRS). इति सिद्धम्

(ii) चूँकि उभयनिष्ठ आधार AS पर AS | | BR के मध्य एक समान्तर चतुर्भुज ABRS एवं एक ∆AXS स्थित हैं
⇒ ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABRS)
अतः ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS). [∵ ar (PQRS) = ar (ABRS)] इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है ? इन भागों के आकार क्या हैं ? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे ?
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चित्र 9.6
उत्तर:
किसान का खेत PQRS समान्तर चतुर्भुज के आकार का है जिसकी भुजा RS पर स्थित बिन्दु A को P और Q से मिला दिया गया है।

  1. खेत तीन भागों में विभक्त हो गया है।
  2. तीनों भाग त्रिभुजाकार हैं।
  3. वह किसान गेहूँ APQ भाग में तथा शेष APS एवं AQR में दालें बोए अथवा APQ में दालें तथा APS एवं AOR में गेहूँ बोए।

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