MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8
प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:
(i) 7 cm (2019)
(ii) 0.63 m.
हल :
(i) गोले की त्रिज्या R = 7 cm (दिया है।)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(7)^{3} \mathrm{cm}^{3}\)
\(=\frac{88 \times 49}{3}=\frac{4312}{3}\)
= 1437.33 cm³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1437.33 cm³. (लगभग)
(ii) गोले की त्रिज्या R = 0.63 m (दिया है)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.63)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 88 x 0.63 x 0.63 x 0.03
= 105 m³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1.05 m³.(लगभग)
प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका व्यास निम्न है
(i) 28 cm
(ii) 0.21 m.
हल :
ठोस गेंद द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गेंद का आयतन
(i) गोलाकार गेंद का दिया गया व्यास d = 28 cm ⇒ त्रिज्या R = 14 cm
गोलाकार गेंद का आयतन \(\frac { 1 }{ 2 }\)
\(V=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(14)^{3}\)
\(=\frac{88}{3} \times 14 \times 14 \times 2\)
V = \(\frac { 34496 }{ 3 }\)
= 11498.67 cm³ (लगभग)
अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 11498.67 cm³. (लगभग)
(ii) गोलाकार गेंद का व्यास d = 0.21 m ⇒ त्रिज्या r = 0.105 m
गोलाकार गेंद का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0 \cdot 105)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 88 x 0.105 x 0.105 x 0.005
= 0.004851 m³
अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 0.004851 m³.
प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : गेंद का व्यास d = 2R = 4.2 cm = R = 2.1 cm एवं धातु का घनत्व D = 8.9g/cm³
गोलाकार गेंद का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(2 \cdot 1)^{3} \mathrm{cm}^{2}\)
= 8.8 x 2.1 x 2.1
= 38.808 cm³
धातु का द्रव्यमान = घनत्व – आयतन
= 8.9 x 38.808 g
= 345.39 g (लगभग)
अतः धातु का अभीष्ट द्रव्यमान = 345.39 g. (लगभग)
प्रश्न 4.
चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ? (2019)
हल :
मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = d मात्रक है ⇒ चन्द्रमा का व्यास = \(\frac { d }{ 4 }\) मात्रक
पृथ्वी की त्रिज्या \(R_{e}=\frac{d}{2}\) मात्रक एवं चन्द्रमा की त्रिज्या \(R_{m}=\frac{d}{8}\) मात्रक
पृथ्वी का आयतन, \(V_{e}=\frac{4}{3} \pi\left(\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{1}{6} \pi d^{3}\) …(1)
चन्द्रमा का आयतन, \(V_{m}=\frac{4}{3} \pi\left(R_{m}\right)^{3}=\frac{4}{3} \pi\left(\frac{d}{8}\right)^{3}=\frac{\pi d^{3}}{384}\) मात्रको
अतः चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की अभीष्ट भिन्न = \(\frac { 1 }{ 64 }\).
प्रश्न 5.
व्यास 10.5 cm वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
अर्द्धगोलाकार कटोरे का व्यास, d = 10.5 cm (दिया गया है।)
त्रिज्या R = \(\frac { 10.5 }{ 2 }\) cm = 5.25 cm
कटोरे की धारिता \(V=\frac{2}{3} \pi R^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(5 \cdot 25)^{3}\)
= 44 x 5.25 x 5.25 x 0.25
= 303.1875 cm³
= 0.3032 लीटर (लगभग)
अत: कटोरे में अभीष्ट 0.3032 लीटर (लगभग) दूध आ सकता है।
प्रश्न 6.
एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 m है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : टंकी की आन्तरिक त्रिज्या R2 = 1 m एवं लोहे की शीट की मोटाई = 1 cm = 0.01 m
⇒ बाह्य त्रिज्या R1 = 1.01 m
लोहे का आयतन V = टंकी का बाह्य आयतन – टंकी का आन्तरिक आयतन
अत: लोहे का अभीष्ट आयतन = 0.06286 m³ (लगभग)।
प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल :
चूँकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²
\(4 \times \frac{22}{7} R^{2}=154 \Rightarrow R^{2}=\frac{154 \times 7}{4 \times 22}=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)
\(R=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
गोले का आयतन \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{3}\)
\(=\frac{11}{3} \times 49=\frac{539}{3}=179 \cdot 67 \mathrm{cm}^{3}\)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 179.67 cm³.
प्रश्न 8.
किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले का आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में Rs 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर Rs 2 प्रति वर्ग मीटर है तो ज्ञात कीजिए
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।
हल :
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
अतः गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 m².
(ii) अर्द्धगोले का वक्रीय पृष्ठ = 2πR²
चूँकि हवा का आयतन V = गुम्बद की धारिता
\(=\frac{2}{3} \pi(R)^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}(6 \cdot 3)^{3} \mathrm{m}^{3}\)
= 44 x 6.3 x 6.3 x 0.3
= 523.9 m³
अतः हवा का अभीष्ट आयतन = 523.9 m³.
प्रश्न 9.
लोहे के सत्ताईस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है। एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:
(i) नये गोले की त्रिज्या r’,
(ii) S और S’ का अनुपात।
हल :
(i) नये गोले का आयतन = 27 पुराने गोलों का आयतन
\(\frac{4}{3} \pi\left(r^{\prime}\right)^{3}=27 \times \frac{4}{3} \pi(r)^{3}\)
(r’)³ = (3r)³ ⇒ r’ = 3r मात्रक
अतः नये गोले की त्रिज्या r’ = 3r मात्रक।।
(ii) S : S’ = 4πr² : 4πr’² = r² : r’²
S : S’ = r² : (3r)² = r² : 9r² = 1 : 9
अतः S : S’ का अभीष्ट अनुपात = 1 : 9.
प्रश्न 10.
दवाई का एक कैप्सूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी (mm³) दवाई की आवश्यकता होगी ?
हल :
दवा का आयतन = गोली का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi(R)^{3}\)
\(V=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{3 \cdot 5}{2}\right)^{3}\) (चूँकि व्यास 2R = 3.5 दिया है)
\(V=\frac{11}{3} \times 3 \cdot 5 \times 3 \cdot 5 \times 0 \cdot 5=\frac{67 \cdot 375}{3}=22 \cdot 46 \mathrm{mm}^{3}\) (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए आवश्यक दवा = 22.46 mm³. (लगभग)