MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 66-67

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में कौन-से कथन सत्य हैं ?
(a) यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है, तो वह 9 से भी विभाज्य होती है।
(b) यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से भी अवश्य विभाज्य होगी।
(c) एक संख्या 18 से भी विभाज्य होती है, यदि वह 3 और 6 दोनों से विभाज्य हो।
(d) यदि एक संख्या 9 और 10 दोनों से विभाज्य हो, तो वह 90 से भी विभाज्य होगी।
(e) यदि दो संख्याएँ सह-अभाज्य हों, तो इनमें से कम-से-कम एक अवश्य ही अभाज्य संख्या होगी।
(f) 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ 8 से भी अवश्य विभाज्य होनी चाहिए।
(g) 8 से विभाज्य सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य होनी चाहिए।
(h) यदि कोई संख्या दो संख्याओं को अलग-अलग पूरा-पूरा विभाजित करती है, तो वह उनके योग को भी पूरा-पूरा विभाजित करेगी।
(i) यदि कोई संख्या दो संख्याओं के योग को पूरी तरह विभाजित करती है, तो वह उन दोनों संख्याओं को अलग-अलग भी विभाजित करेगी।
उत्तर-
(a) असत्य,
(b) सत्य,
(c) असत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) असत्य,
(g) सत्य,
(h) सत्य,
(i) असत्य

प्रश्न 2.
यहाँ 60 के लिए दो भिन्न-भिन्न गुणनखण्ड वृक्ष दिए हैं। इनमें अज्ञात संख्याएँ लिखिए।
हल :
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प्रश्न 3.
एक भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में किन गुणनखण्डों को सम्मिलित नहीं किया जाता है?
उत्तर-
1 और स्वयं संख्या को भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखण्डन में सम्मिलित नहीं किया जाता है।

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प्रश्न 4.
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999
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∴ 9999 = 3 x 3 x 11 x 101

प्रश्न 5.
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या लिखिए और उसे अभाज्य गुणनखण्डन के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
पाँच अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000
MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5 image 3
∴ 10000 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5

प्रश्न 6.
1729 के सभी अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए। अब दो क्रमागत अभाज्य गुणनखण्डों में यदि कोई सम्बन्ध है तो लिखिए।
हल :
MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5 image 4
∴1729 = 7 x 13 x 19
स्पष्ट है कि दो क्रमागत गुणनखण्डों में 6 का अन्तर है।

प्रश्न 7.
तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है। इस कथन को कुछ उदाहरणों की सहायता से स्पष्ट कीजिए।
हल :
तीन क्रमागत संख्याओं के गुणनफल
(i) 11 x 12 x 13 = 1716
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 1 + 6 = 15

(ii) 15 x 16 x 17 = 4080
गुणनफल के अंकों का योग = 4 + 0 + 8 + 0 = 12

(iii) 25 x 26 x 27 = 17550
गुणनफल के अंकों का योग = 1 + 7 + 5 + 5 + 0 = 18
(a) प्रत्येक गुणनफल में इकाई का अंक 6, 4 और 0 है अतः गुणनफल 2 से विभाज्य है।
(b) प्रत्येक गुणनफल के अंकों का योग 3 से विभाज्य है
∴2 और 3 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं इसलिए 2 x 3 = 6
प्रत्येक गुणनफल को विभाजित करेगा।
∴अतः तीन क्रमागत संख्याओं का गुणनफल सदैव 6 से विभाज्य होता है।

प्रश्न 8.
दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है। कुछ उदाहरण लेकर इस कथन का सत्यापन कीजिए।
हल :
माना कि विषम संख्याओं का योग निम्न है
(i) 211 + 213 = 424
(ii) 405 + 407 = 812
(iii) 541 + 543 = 1084
(iv) 101 + 103 = 204
योगों के दायें से इकाई और दहाई के दो अंक क्रमश: 24, 12, 48 और 04 हैं जो कि 4 से विभाज्य हैं।
अत: दो क्रमागत विषम संख्याओं का योग 4 से विभाज्य होता है।

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प्रश्न 9.
निम्न में से किन व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किए गए हैं :
(a) 24 = 2 x 3 x 4
(b) 56 = 1 x 7 x 2 x 2 x 2
(c) 70 = 2 x 5 x 7
(d) 54 = 2 x 3 x 9
हल :
(a) और (d) में क्रमशः 4 और 9 के अभाज्य गुणनखण्डन नहीं हैं।
∴(b) और (c) व्यंजकों में अभाज्य गुणनखण्डन किये गये हैं।

प्रश्न 10.
बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि क्या 25110 संख्या 45 से विभाज्य है।
[संकेत : 5 और 9 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। दी हुई संख्या की 5 और 9 से विभाज्यता की जाँच कीजिए।]
हल :
∵संख्या 25110 में इकाई के स्थान पर 0 है। अतः संख्या 25110, 5 से विभाज्य है।
पुनः संख्या के अंकों का योग = 2 + 5 + 1 + 1 + 0 = 9, जो कि 9 से विभाज्य है।
इसलिए संख्या 25110, 9 से विभाज्य है।
अतः संख्या 25110, 45 से विभाज्य है।

प्रश्न 11.
संख्या 18, 2 और 3 से विभाज्य है। यह 2 x 3 = 6 से भी विभाज्य है। इसी प्रकार एक संख्या 4 और 6 दोनों से विभाज्य है। क्या हम कह सकते हैं कि वह संख्या 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी। यदि नहीं, तो अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।
हल :
यह आवश्यक नहीं है कि जो संख्या 4 और 6 से विभाज्य होगी वह उनके गुणनफल 4 x 6 = 24 से भी विभाज्य होगी।
क्योंकि 4 और 6 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।
संख्या 36, 4 और 6 दोनों से विभाज्य है, परन्तु संख्या 36 संख्या 24 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 12.
मैं चार भिन्न-भिन्न अभाज्य गुणनखण्डों वाली सबसे छोटी संख्या हूँ। क्या आप मुझे ज्ञात कर सकते
हल :
चार भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं।
∴अभीष्ट संख्या = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

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पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 68

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न का म. स. ज्ञात कीजिए :
(i) 24 और 36
(ii) 15, 25 और 30
(iii) 8 और 12
(iv) 12, 16 और 28
हल :
(i)
MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 3 संख्याओं के साथ खेलना Ex 3.5 image 5
इस प्रकार 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
36 = 2 x 2 x 3 x 3
24 और 36 के सार्व गुणनखण्ड 2, 2 और 3 हैं।
अतः 24 और 36 का म. स. = 2 x 2 x 3 = 12

(ii) ∵15 = 3 x 5
25 = 5 x 5
30 = 2 x 3 x 5
∴ म. स. = 5

(iii) ∵8 = 2 x 2 x 2
12 = 2 x 2 x 3
∴म. स. = 2 x 2 =4

(iv) ∵12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
28 = 2 x 2 x 7
∴म. स. = 2 x 2 = 4

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