MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.5
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 307-308
प्रश्न 1.
7.3 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) खींचिए और उसकी सममित अक्ष ज्ञात कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) = 7.3 सेमी खींचा।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर एक-एक चाप लगाते हैं।
(3) अब B को केन्द्र मानकर और AB के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर दो चाप और लगाते हैं जो पहले वाले चापों को C और D पर काटते हैं।
(4) C को D से मिलाया। रेखा CD रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) को M पर काटती है।
(5) बिन्दु M रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) को समद्विभाजित करता है। इस प्रकार प्राप्त रेखाखण्ड सममित अक्ष है।
प्रश्न 2.
9.5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और उसका लम्ब समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखाखण्ड AB = 9.5 सेमी खींचा।
(2) A को केन्द्र मानकर AB के आधे से अधिक दूरी की. त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाते हैं।
(3) अब B को केन्द्र मानकर इतनी ही त्रिज्या लेकर AB के दोनों ओर चाप लगाते हैं, जो पहले चापों को क्रमशः C और D पर काटते हैं।
(4) C को D से मिलाया।
रेखाखण्ड CD अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक है।
प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड \(\overline { XY } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जिसकी लम्बाई 10.3 सेमी है।
(a) इस लम्ब समद्विभाजक पर कोई बिन्दु P लीजिए। जाँच कीजिए कि PX = PY है।
(b) यदि M रेखाखण्ड XY का मध्य-बिन्दु है, तो MX और XY के विषय में आप क्या कह सकते हैं ?
हल :
रचना के पद :
(1) रेखाखण्ड \(\overline { XY } \) = 10.3 सेमी खींचते हैं।
(2) X और Y को केन्द्र मानकर और XY के आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाते हैं, जो एक-दूसरे को A और B पर काटते हैं।
(3) A को B से मिलाया।
इस प्रकार AB ⊥ \(\overline { XY } \)
(4) \(\overline { AB } \) पर कोई बिन्दु P लेते हैं और PX तथा PY को जोड़ते हैं।
(a) मापने पर, \(\overline { PX } \) = \(\overline { PY } \)
(b) \(\overline { XY } \) का मध्य-बिन्दु M है। मापने पर,
\(\overline{X M}=\overline{M Y}=\frac{1}{2} \overline{X Y}\)
प्रश्न 4.
लम्बाई 12.8 सेमी वाला एक रेखाखण्ड खींचिए। रूलर और परकार की सहायता से इसके चार बराबर भाग कीजिए। मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए।
हल :
(1) रेखाखण्ड AB = 12.8 सेमी खींचा।
(2) AB का लम्ब समद्विभाजक ज्ञात किया जो AB को O पर काटता है।
(3) \(\overline { AO } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचते हैं जो \(\overline { AB } \) को P पर काटता है।
(4) अब \(\overline { BO } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचते हैं जो \(\overline { AB } \) को Q पर काटता है। (Q, \(\overline { OB } \) का मध्य-बिन्दु है।)
(5) रेखाखण्ड \(\overline { AB } \) बिन्दुओं P, O, Q द्वारा चार भागों में विभाजित हो जाता है।
मापने पर, \(\overline{A P}=\overline{P O}=\overline{O Q}=\overline{Q B}=3 \cdot 2\) सेमी
प्रश्न 5.
6.1 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) खींचिए फिर \(\overline { PQ } \) को व्यास मानकर एक वृत्त खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) एक रेखाखण्ड \(\overline { PQ } \) = 6.1 सेमी खींचा।
(2) \(\overline { PQ } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो कि \(\overline { PQ } \) को O पर काटता है। (अर्थात् O, \(\overline { PQ } \) का मध्य-बिन्दु है।)
(3) O को केन्द्र मानकर और OP या OQ त्रिज्या लेकर P और Q से जाता हुआ एक वृत्त खींचा।।
वृत्त जिसका कि \(\overline { PQ } \) व्यास है, अभीष्ट वृत्त है।
प्रश्न 6.
केन्द्र C और त्रिज्या 3.4 सेमी लेकर एक वृत्त खींचिए। इसकी कोई जीवा \(\overline { AB } \) खींचिए। इस जीवा \(\overline { AB } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए। जाँच कीजिए कि क्या यह वृत्त के केन्द्र C से होकर जाता है ?
हल :
रचना के पद:
(1) कागज पर कोई बिन्दु C लेते हैं।
(2) C को केन्द्र मानकर तथा 3.4 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचते हैं।
(3) वृत्त की एक जीवा \(\overline { AB } \) खींचते हैं।
(4) वृत्त की जीवा का लम्ब समद्विभाजक PQ खींचते हैं।
हाँ, हम देखते हैं कि यह लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
प्रश्न 7.
प्रश्न 6.
की उस स्थिति के लिए दोबारा कीजिए जब \(\overline { AB } \) एक व्यास है।
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और 3.4 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचते हैं।
(3) वृत्त का व्यास \(\overline { AB } \) खींचते हैं।
(4) \(\overline { AB } \) का लम्ब समद्विभाजक खींचते हैं। हम देखते हैं कि PQ, केन्द्र C से होकर जाता है और O व्यास \(\overline { AB } \) का मध्य-बिन्दु है।
प्रश्न 8.
4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसकी कोई दो जीवाएँ खींचिए। इन दोनों जीवाओं के लम्ब समद्विभाजक खींचिए। ये कहाँ मिलते हैं ?
हल :
रचना के पद :
(1) कागज पर कोई बिन्दु O अंकित करते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और 4 सेमी त्रिज्या लेकर एक वृत्त खीचते हैं।
(3) वृत्त की दो जीवाएँ \(\overline { AB } \) और \(\overline { CD } \) खींचते हैं।
(4) जीवा \(\overline { AB } \) का लम्ब समद्विभाजक \(\overline { PQ } \) खींचते है।
(5) जीवा \(\overline { CD } \) का लम्ब समद्विभाजक \(\overline { RS } \) खींचते हैं।
ये दोनों लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केन्द्र से होकर जाते हैं।
प्रश्न 9.
शीर्ष O वाला कोई कोण खींचिए। इसकी एक भुजा पर बिन्दु A और दूसरी भुजा पर एक अन्य बिन्दु B इस प्रकार लीजिए कि OA = OB है। \(\overline { OA } \) और \(\overline { OB } \) के लम्ब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए ये Pपर प्रतिच्छेद करते हैं। क्या PA = PB है ?
हल :
रचना के पद :
(1) कोई कोण XOY बनाते हैं। इसका शीर्ष O है।
(2) \(\overline { OX } \) पर एक बिन्दु A तथा \(\overline { OY } \) पर एक अन्य बिन्दु B लेते हैं।
(3) \(\overline { OA } \) और \(\overline { OB } \) के लम्ब समद्विभाजक CD और EF खीचते हैं। माना कि ये P पर मिलते हैं।
(4) \(\overline { PA } \) और \(\overline { PB } \) को मिलाया
मापने पर, \(\overline{P A}=\overline{P B}\)
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 311
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
पाठय-पुस्तक में दिए गए चरण 2 में, यदि हम त्रिज्या BC के आधे से कम लें, तो क्या कोण होगा?
उत्तर-
यदि हम BC के आधे से कम त्रिज्या लेंगे तो B तथा C को केन्द्र मानकर खींचे गए चाप आपस में नहीं काटेंगे। अतः कोण नहीं बनेगा।
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 312
प्रश्न 1.
ऊपर दर्शाए अनुसार 60° के कोण की रचना कीजिए। अब इस कोण को समद्विभाजित कीजिए। प्रत्येक कोण 30° का है। मापन द्वारा अपनी रचना की जाँच कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक किरण OA खींचते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर कोई भी उचित त्रिज्या लेकर एक चाप PS लगाते हैं, जो OA को P पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से एक चाप लगाते हैं जो पहले चाप को Q पर काटता है।
(4) OQ को मिलाकर आगे बढ़ाते हैं और किरण OB प्राप्त करते हैं। तब ∠AOB = 60°
(5) P को केन्द्र मानकर और त्रिज्या > \(\frac { 1 }{ 2 }\) PQ लेकर, ∠AOB के अन्तः भाग में एक चाप लगाते हैं।
(6) Q को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से (चरण 5) एक दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को R पर काटता है।
(7) OR को मिलाते हुए C तक आगे बढ़ाते हैं।
तब ∠AOC = 30°
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 312
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
15° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम 60° का ∠ABC बनाते हैं।
(2) ∠ABC को संमद्विभाजित करके 30° का कोण प्राप्त करते हैं। अर्थात् ∠ABD = 30°
(3) अब ∠ABD को इस प्रकार समद्विभाजित करते हैं कि \(\overline { BE } \) ∠ABD का समद्विभाजिक हो।
इस प्रकार ∠ABE = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 30° = 15°
पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 313
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
150° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद :
(1) सर्वप्रथम एक रेखा l खींचते हैं और इस पर कोई बिन्दु O लेते हैं।
(2) O को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप लगाते हैं, जो l को A पर काटता है।
(3) अब A को केन्द्र मानकर इसी त्रिज्या से एक चाप लगाते हैं जो पहले चाप को B पर काटता है।
(4) पुनः इसी त्रिज्या से B को केन्द्र मानकर दूसरा चाप लगाते हैं जो पहले चाप को C पर काटता है।
(5) एक बार पुनः इसी त्रिज्या से C को केन्द्र मानकर चाप लगाते हैं जो पहले चाप को D पर काटता है।
(6) अब ∠COD को समद्विभाजित करते हैं,
इस प्रकार ∠COE = ∠EOD = 30°
(7) चूँकि 150° = 120° + 30°
अतः ∠AOC + ∠COE = ∠AOE
अतः अभीष्ट ∠AOE = 150°
प्रयास कीजिए
प्रश्न 1.
45° के कोण की रचना आप किस प्रकार करेंगे?
हल :
रचना के पद:
(1) सर्वप्रथम 90° का ∠POQ बनाते हैं।
(2) ∠POQ का समद्विभाजक OR खींचते हैं।
इस प्रकार \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠POQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (90°) = 45°
अतः अभीष्ट ∠POR = 45°