MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन Important Questions

संबंध एवं फलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f (x) = 8x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R फलन है –
(a) f एकैकी आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी आच्छादक है

प्रश्न 2.
फलन f(x) = \(\frac { e^{ x^{ 2 } }-e^{ -x^{ 2 } } }{ e^{ x^{ 2 } }+e^{ -x^{ 2 } } } \) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है –
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(b) f एकैकी आच्छादक है
(c) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
(d) f बहुएक आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है

प्रश्न 3.
यदि f : R → R, f(x) = (3 – x³)^1/3 द्वारा प्रदत्त है तो fof(x) बराबर हैं –
(a) x^1/3
(b) x³
(c) x
(d) (3 – x³)
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 4.
a * b = a³ + b³ प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए –
(a) * साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है
(c) * साहचर्य है, किन्तु क्रमविनिमेय नहीं है
(d) * न तो क्रमविनिमेय है और न साहचर्य है।
उत्तर:
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है

प्रश्न 5.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है –
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या ……………………………….. होगी।
2. यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x – 7, ∀x ∈ R तो f^-1(7) का मान ………………………….. होगा।
3. यदि f : R → R तथा f(x) = x² – 3x + 2 से परिभाषित है, तो f(f(x)) का मान …………………………….. होगा।
4. यदि f : R → R; f (x) = 2x + 5 द्वारा परिभाषित है तब f^-1(y) का मान …………………………….. होता है।
5. f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R …………………………. है।

उत्तर:

1. 2
2. 0
3. x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x
4. \(\frac{1}{2}\) (y-5)
5. एकैकी है।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. माना कि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक सम्बन्ध R= {(1, 3), (3, 1), (3, 3)} है। तब R सममित, संक्रामक है, किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
2. यदि f : A → B एकैकी आच्छादक फलन हो, तो f का प्रतिलोम f^-1 अद्वितीय होता है।
3. फलनों का संजोयन क्रमविनिमेयी होता है।
4. प्रत्येक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
5. माना कि समुच्चय Q⁺ पर एक द्विआधारी संक्रिया ^*, a * b = \(\frac{ab}{3}\), ∀a, b ∈ Q⁺ से परिभाषित है, तब 4 * 6 का प्रतिलोम \(\frac{9}{8}\) है।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समुच्चय A = {a, b, c} पर तत्समक संबंध लिखिए।
2. फलन f(x) = \(\frac { \left| x-1 \right| }{ x-1 } \) का परिसर क्या है?
3. फलन f(x) = \(\sqrt { 25-x^{ 2 } } \) से परिभाषित वास्तविक फलन का प्रान्त लिखिए।
4. माना कि एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = 3a + 4b – 2 से परिभाषित है तब 4 * 5 ज्ञात कीजिए।
5. माना कि f.g: R → R क्रमशः f(x) = 2x +1 और g(x) = x² – 2, ∀x ∈ R से परिभाषित है। तब gof (x) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. {(a, a), (b, b), (c, c)}
2. {-1, 1}
3. [-5, 5]
4. 30
5. 4x² + 4x – 1.

संबंध एवं फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय z में R = { (a, b ) : संख्या 2, (a – b) को विभाजित करती है } द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है। (NCERT)
हल: समस्त a ∈ Z के लिए 2,(a – a) को विभाजित करेगा अर्थात् (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ 2, (a – b) को विभाजित करता है
⇒ 2,- (b – a) को विभाजित करता है
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
अत: R, सममित है।
माना (a,b) ∈ R = 2,(a – b) को विभाजित करता है।
(b, c) ∈ R → 2,(b – c) को विभाजित करता है।
a – b तथा b – C, 2 से भाज्य है
a – b + b – c, भी 2 से भाज्य है
अर्थात् a – c भी 2 से भाज्य है
इसलिए (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है। अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अतः यह एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} में R = {(a, b): a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है } द्वारा परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय {2, 4, 6} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं। परंतु उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव उपसमुच्चय {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है। (NCERT)
हल: A का दिया गया कोई अवयव a या तो विषम है या सम है अतः (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है।
⇒ b तथा a दोनों ही या तो विषम है या सम है।
(a,b) ∈ D (b, a) ∈ R
अत: R सममित है।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ अवयव a, b, c सभी या तो विषम हैं या सम हैं।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R = (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है।
यहाँ R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।
पुनः {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव विषम हैं।
इसी प्रकार {2, 4, 6} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि ये सभी सम हैं साथ ही उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हो सकता क्योंकि {1, 3, 5, 7} के अवयव विषम हैं जबकि {2, 4, 6} के अवयव सम हैं।

प्रश्न 3.
माना कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। यदि समुच्चय N × N में परिभाषित एक संबंध R ऐसा हो कि (a, b) R (c, d) यदि ad (b + c) = bc (a + d) तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। (CBSE 2015)
हल: स्वतुल्यता: प्रत्येक (a, b) ∈ N × N के लिए
ab (b + a) = ba (a + b)
⇒ (a, b) R (a, b)
अत: R स्वतुल्य होगा।
सममितता: माना (a, b)(c, d) ∈ N × N
(a, b) R (c, d) ⇒ ab(b + c) = bc(a + d)
⇒ bc (a + d) = ab (b + c)
(a,b) R (c,d) ⇒ (c, d) R (a, b)
अत: R सममित होगा।
उत्तर संक्रमकता: माना (a, b) R (c, d ) तथा (c, d) R (e, f)
⇒ ad ( b + c) = bc (a + d)
तथा cf (d + e) = de (c + f)

⇒ af (b + e) = bc (a + f)
(a, b) R (c, d) तथा (c, d) R (e, f) ⇒ (a, b) R (e, f)
अत: R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
माना A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = {(a,b): |a – b| 2 से विभाजित है} तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता वर्ग भी बनाइए।
हल: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R = { (a, b) : |a – b| 2 से विभाजित है }
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1) (5, 1), (4, 2),(5, 3)}
∀ a ∈ A (a,a) ∈ R
इसलिए R स्वतुल्य होगा।
क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 3) ∈ R
इसलिए R सममित है।
∀ (a, b) ∈ R,(b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
क्योंकि (1, 3)(3, 1) ∈ R = (1, 1) ∈ R
R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है।
यही सिद्ध करना था।
तुल्यता वर्ग
[1] = { a : a तथा 2 |a – 1| से विभाजित है}
[1] = {a : a ∈ A तथा a – 1 = 2 k}
[1] = {1, 3, 5}
[2] = { a : a तथा 2, |a – 2| से विभाजित है}
[2] = {a : a तथा a – 2 = 2k}
[2] = {2, 4}.

प्रश्न 5.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए।

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बताइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादक है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल: f : N → N में,

यहाँ f (1) = f (2) ⇒ 1 ≠ 2
डोमेन के दो अवयव 1 और 2 का सह – डोमेन में एक ही प्रतिबिम्ब 1 है।
अत: f एकैकी फलन नहीं है।

स्थिति I.
जब n विषम हो
n = 2r + 1, r ∈ N
तब 4r + 1 ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f (4r + 1) = \(\frac { 4r+1+1 }{ 2 } \) = \(\frac { 4r+2 }{ 2 } \) = 2r + 1
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए / आच्छादक फलन है।

स्थिति II.
माना n = 2r (सम संख्या)
तब 4r ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f(4r) = \(\frac{4r}{2}\) = 2r
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है। f(x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल:
f : A → B, f (x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \), A = R – {3} तथा B = R – {1}
मान लीजिए x, y∈A इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = \(\frac { y-2 }{ y-3 } \)
⇒ (x – 2) (y – 3) = (y – 2) (x – 3)
⇒ xy – 3x – 2y + 6 = xy – 3y – 2x + 6
⇒ -3x – 2y = -3y – 2x
⇒ 3x – 2x = 3y – 2y
⇒ x = y
यहाँ f (x) = f (y) ⇒ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
f आच्छादक फलन होगा यदि x∈A इस प्रकार विद्यमान है कि f(x) = y
\(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = y
⇒ x – 2 = y (x – 3)
⇒ x – 2 = xy – 3y
⇒ xy – x = 3y – 2
⇒ x = \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \)∈A
प्रत्येक y ∈ B के लिए x ∈ A
f (x) = f ( \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \) )

∵ f(x) = y
अतः f अचधक पालन है।
अतः f एकोकी अचधक पालन है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन f : N → N एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही।

हल: माना f (x₁) = f (x₂)
यदि x, विषम तथा x, सम है, तब
x₁ + 1 = x₂ – 1
X₁ – x₂ = -2
जो कि असंभव है।
इस प्रकार x₁ के सम तथा x₂ के विषम होने की संभावना नहीं है।
इसलिए x₁ तथा x₂, दोनों ही या तो सम होंगे या विषम होंगे।
माना x₁, x₂ दोनों विषम हैं।
f (x₁) = f (x₂)
⇒ x₁ – 1 = x₂ – 1
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
सहप्रांत N की कोई भी विषम संख्या 2r + 1 प्रांत N की संख्या 2r + 2 का प्रतिबिंब है और सहप्रांत N की कोई भी सम संख्या 27, N की संख्या 2r – 1 का प्रतिबिंब है।
अतः f आच्छादक है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
f (x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए? (NCERT)
हल: f : R → R, f (x) = 4x + 3
फलन का डोमेन तथा सह – डोमेन R है।
माना x, y ∈ R इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
4x + 3 = 4y + 3
⇒ 4x = 4y
⇒ x = y
इस प्रकार f (x) = f (y)
⇒ x = y
अतः f एकैकी है।
माना कि सह – डोमेन R का कोई अवयव y है
y = f (x)
y = 4x + 3
⇒ 4x = y – 3
⇒ x = \(\frac { y-3 }{ 4 } \)
∴ f^-1(y) = \(\frac { y-3 }{ 4 } \) तथा f^-1(x) = \(\frac { x-3 }{ 4 } \)

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि y = {n² : n ∈ N}⊂N है। फलन f : N → y, जहाँ f (n) = n² पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
y = f(n) = n²
n = \(\sqrt{y}\)
इससे g (y) = \(\sqrt{x}\) द्वारा परिभाषित फलन g : y → N प्राप्त होता है।
gof (n) = g [f (n)]
= g [n²]
= \(\sqrt { n^{ 2 } } \) [g(n) = \(\sqrt{n}\), g(n²) = \(\sqrt { n^{ 2 } } \) = n]
(gof) n = n
तथा
(fog)y = f [g(y)]
= f[ \(\sqrt{y}\) ], [f(n) = n², f( \(\sqrt{y}\) ) = ( \(\sqrt{y}\) )² = y]
= y
स्पष्ट है कि gof = I_n तथा fog = I_y
अतः f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1 = g.
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
यदि f : R → R तथा g : R → R फलन क्रमशः f (x) = cosx तथा g(x) = 3x² द्वारा परिभाषित है, तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि gof ≠ fog? (NCERT)
हल: दिया है: f(x) = cosx
g (x) = 3x²
(gof) x = g [f (x)]
(gof) x = g [cost]
दिया है:
f (x) = cosx ……………………….. (1)
g (x) = 3x²
g (cosx) = 3 cos²x ……………………………. (2)
समी. (1) और (2) से,
(gof )x = 3cos²x
(fog) x = f [g(x)]
= f [3x²] ………………………………… (3)
दिया है:
g (x) = 3x²
f (x) = cosx
f [3x²] = cos3x²
समी. (3) और (4) से,
(fog) x = cos3x²
x = 0 के लिए
3cos²x ≠ cos3x²
अतः gof ≠ fog. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 11.
f: {1,2,3} → {a,b,c}, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए-ज्ञात कीजिए ओर सिद्ध कीजिए कि (f^-1)^-1 = f है। (NCERT)
हल: दिया गया है:
f: {1, 2,3} → { a, b, c}
f(1) = a, f (2) = b, f (3) = c
माना g : { a, b, c } → {1, 2, 3} में
g (a) = 1, g (b) = 2, g (c) = 3
(fog) a = f [g (a)]
= f [1] = a
(fog) b = f [g (b)]
= f (2) = b
(fog) c = f [g (c)]
= f (3) = c
तथा (gof) (1) = g [f (1)]
= g (a) = 1
(gof) (2) = g [f(2)]
= g (b) = 2
(gof) (3) = g [f (3)]
= g (c) = 3
अत: gof = I_x, तथा fog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
f का प्रतिलोम विद्यमान है तथा।
तथा f^-1 = g
∴ f^-1 {a, b, c} → {1, 2, 3} में,
f^-1 (a) = 1, f^-1(b) = 2, f^-1(c) = 3
अतः f^-1 का प्रतिलोम अथरिथ का प्रतिलोम जात करेंगे
माना h: {1, 2, 3} → {a, b, c}
h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c
(goh) 1 = g[h(1)] = g(a) = 1
(goh) 2 = g[h(2)] = g(b) = 2
(goh) 3 = g[h(3)] = g(c) = 3
तथा (hog) a = h[g(a)] = h(1) = a
(hog) b = h [ g(b)] = h(2) = b
(hog) c = h[g(c)] = h(3) = c
अत: goh = I_x तथा hog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
g का प्रतिलोम विद्यमान है तथा g^-1 = h = (f^-1)^-1 = f
अत: h = f
∴ (f^-1)^-1 = f यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में R = { (P₁, P₂ ) : P₁ तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: दिया है:
A = समस्त बहुभुजों का समुच्चय
R = {(P₁, P₂) : P₁, तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।
प्रत्येक बहुभुज P में भुजाओं की संख्या, बहुभुज P की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
∴ (P, P) ∈ R, ∀P∈A
माना (P₁,P₂)∈R ⇒ बहुभुज P₁ तथा P₂ मे भुजाओं की संख्या समान हैं।
⇒ बहुभुज P₂ तथा बहुभुज P₁ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
अत: R संक्रमक संबंध है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। इसलिए भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज त्रिभुज है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
यदि f(x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \), x ≠ \(\frac{2}{3}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ \(\frac{2}{3}\) के लिए fof(x) = xहै। f का प्रतिलोम फलन क्या है? (NCERT)
हल:
f (x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \)
fof (x) = f {f (x)}
f{ \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \) }

माना f का प्रतिलोम फलान f^-1(x) = y हैं।
तब f (y) = x
∴ \(\frac { 4y+3 }{ 6y-4 } \) = x
⇒ 4y + 3 = 6xy – 4x
⇒ 6xy – 4y = 3 + 4x
⇒ y (6x – 4) = 3 + 4x
⇒ y = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \)
⇒ f^-1 (x) = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \) = f(x)
∴ f^-1 = f.

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \) द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर) का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \)
f : [-1, 1] → R
यहाँ, f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x }{ x+2 } \) = \(\frac { y }{ y+2 } \)
⇒ xy + 2x = xy + 2y
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y यही सिद्ध करना था।
∴ f एकैकी है।
माना f^-1 (x) = y
∴ f (y) = x
⇒ \(\frac { y }{ y+2 } \) = x
⇒ y = xy + 2x
⇒ y (1 – x) = 2x
∴ y = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)
⇒ f^-1(x) = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)

प्रश्न 15.
यदि f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \), ∀ x ∈ R जहाँ -1 < x < 1, तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि fog = gof?
हल: दिया है,
f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \)
g (x) = \(\frac { x }{ 1-|x| } \)
∴ fog (x) = f {g(x)}
= f ( \(\frac { x }{ 1-|x| } \) )

= x ………………….. (2)
fog = gof
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
तीन फलन f : N → N, g : N → N तथा h : N → R पर विचार कीजिए f (x) = 2x, g (y) = 3y + 4, तथा h (z) = sin z ∀ x, y तथा z ∈ N सिद्ध कीजिये की ho(gof)n = (hog)of? (NCERT)
हल:
ho(gof) x = h[gof(x)]
= h {g[f(x)}
= h (g (2x))
= h [3(2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4) ………………………… (1)
इसी प्रकार ((hog)of) x = (hog) f(x)
= (hog) 2x
= h (g (2x))
= h [3 (2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4)
समी, (1) और (2) से स्पस्ट है की
ho(gof) = (hog)of. यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12 Maths Important Questions