प्रश्न 1.
उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या रेखा पर 3.765 को देखिए।
हल:
अत: अभीष्ट संख्या 3.765 संख्या रेखा पर चित्र 1.2 (c) में बिन्दु ‘x’ द्वारा प्रदर्शित है।
प्रश्न 2.
4 दशमलव स्थानों तक संख्या रेखा पर \(4.\overline { 26 }\) को देखिए।
हल:
अतः अभीष्ट संख्या \(4.\overline { 26 }\)…. दशमलव के चार अंकों तक संख्या रेखा चित्र 1.3 (d) में बिन्दु x द्वारा प्रदर्शित है।
प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:
उत्तर:
(i) 0.36 – सांत
(ii) 0.090909 …… = \(0.\overline { 09 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(iii) 4.125 – सांत
(iv) 0.230769230769…. = \(0.\overline { 230769 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(v) 0.181818 ….. = \(0.\overline { 18 }\) – अनवसानी पुनरावर्ती
(vi) 0.8225 – सांत
प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac { 1 }{ 7 }\) = \(0.\overline { 142857 }\) है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता
सकते हैं कि के \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) दशमलव प्रसार क्या हैं ? यदि हाँ तो कैसे ?
हल:
हाँ, हम बता सकते हैं
प्रश्न 3.
निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:
(i) \(0.\overline { 6 }\)
(ii) \(0.4\overline { 7 }\)
(ii) \(0.\overline { 001 }\).
हल:
(i) \(0.\overline { 6 }\) = 0.6666….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 6.6666…. . = 6 + 0.6666 ….. = 6 + x
⇒ 10x – x = 6 ⇒ 9x = 6 = x = \(\frac { 6 }{ 9 }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
अतः \(0.\overline { 6 }\) का अभीष्ट \(\frac { p }{ q }\) रूप = \(\frac { 2 }{ 3 }\).
(ii) \(0.4\overline { 7 }\) = 0.4777….. = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 4.7777….. = 4.3 + 0.4777 = 4.3 +x
⇒ \(10 x-x=4 \cdot 3 \Rightarrow 9 x=4 \cdot 3 \Rightarrow x=\frac{4 \cdot 3}{9}=\frac{43}{90}\)
अतः \(0.4\overline { 7 }\) का अभीष्ट p/q रूप = \(\frac { 43 }{ 90 }\).
(iii) \(0.\overline { 001 }\) = 0.001 001 001 ….. = x (मान लीजिए)
⇒ 1000x = 1.001 001 001 …. = 1 + 0.001001001 …. = 1 + x
⇒ 1000x – x = 1 ⇒ 999x = 1 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 999 }\)
अतः \(0.\overline { 001 }\) का अभीष्ट p/q रूप= \(\frac { 1 }{ 999 }\).
प्रश्न 4.
0.99999 ….. को plq के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से चकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
0.99999 …… = x (मान लीजिए)
⇒ 10x = 9.99999….. = 9 + 0.99999….. = 9 + x
⇒ 10x – x = 9 ⇒ 9x = 9 ⇒ x = 1
अतः 0.99999….. का अभीष्ट p/q रूप = 1.
प्रश्न 5.
\(\frac { 1 }{ 17 }\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावर्ती खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
उत्तर:
सोलह (16) अर्थात् \(0.\overline { 0588235294117647 }\)
[निर्देश: विभाजन क्रिया छात्र स्वयं करें।]
प्रश्न 6.
p/q(q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए; जहाँ p और q पूर्णांक हैं जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं हैं और जिसका सात दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए ?
उत्तर:
अभीष्ट उदाहरण है:
\(\frac { 3 }{ 5 }\) = 1.5, \(\frac { 5 }{ 4 }\) = 1.25, \(\frac { 4 }{ 5 }\) = 0.8, \(\frac { 3 }{ 25 }\) = 0.12, \(\frac { 7 }{ 10 }\) = 0.7, \(\frac { 11 }{ 110 }\) = 0.11 …..
हाँ, q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 की घात या 5 की घात अथवा दोनों की धातें होती हैं।
प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रकार अनवसानी अनावर्ती हों।
उत्तर:
0.01001000100001….., 0.202002000200002….., 0.003000300003….
प्रश्न 8.
परिमेय संख्याओं \(\frac { 5 }{ 9 }\) और \(\frac { 9 }{ 11 }\) के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac { 5 }{ 9 }\) = \(0.\overline { 714285 }\) एवं \(\frac { 9 }{ 11 }\) = \(0.\overline { 81 }\)
इनके मध्य अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए अनवसानी अनावर्ती संख्याओं में से कोई तीन संख्याओं का चयन करना है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ हैं
0.75075007500075….; 0.767076700767000767…. एवं 0.8080080008….
प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) \(\sqrt { 23 }\)
(ii) \(\sqrt { 225 }\)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478….
(v) 1.101001000100001….
उत्तर:
(i), (iv) एवं (v) अपरिमेय संख्याएँ हैं तथा (ii) एवं (iii) परिमेय संख्याएँ हैं।
प्रश्न 1.
नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
(i) सत्य है, क्योंकि वास्तविक संख्या के संग्रह में सभी अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
(ii) असत्य है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ किसी वास्तविक संख्या का वर्गमूल नहीं होती।
(iii) असत्य है, क्योंकि परिमेय संख्याएँ भी तो वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
उदाहरणार्थ – 2, 3 ….. आदि वास्तविक संख्याएँ हैं लेकिन अपरिमेय नहीं हैं।
प्रश्न 2.
क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं ? यदि महीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
नहीं, उदाहरण: √4 = 2 एक परिमेय संख्या है।
प्रश्न 3.
दिखाइए संख्या रेखा पर √5 को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है ?
हल:
संख्या रेखा पर √5 का निरूपण:
अत: OB = √5, संख्या रेखा पर √5 का अभीष्ट निरूपण है।
प्रश्न 4.
कक्षा के लिए क्रियाकलाप (वर्गमूल सर्पिल की रचना करना)।
उत्तर:
[निर्देश : छात्रों को स्वयं करना है।]
प्रश्न 1.
क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप \(\frac { p }{ q }\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0. (2018)
उत्तर:
हाँ, 0 = \(\frac { p }{ q }\); जहाँ p एवं q पूर्णांक हैं तथा p = 0 एवं q ≠ 0.
प्रश्न 2.
3 और 4 के बीच छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
3 और 4 को हर (6 + 1) अर्थात् 7 लेकर परिमेय संख्या के रूप में लिखने पर,
अतः अभीष्ट छः परिमेय संख्याएँ होंगी: \(\frac { 22 }{ 7 }\), \(\frac { 23 }{ 7 }\), \(\frac { 24 }{ 7 }\), \(\frac { 25 }{ 7 }\), \(\frac { 26 }{ 7 }\) एवं \(\frac { 27 }{ 7 }\).
प्रश्न 3.
\(\frac { 3 }{ 5 }\) एवं \(\frac { 4 }{ 5 }\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। (2018)
हल:
\(\frac { 3 }{ 5 }\) एवं \(\frac { 4 }{ 5 }\) को उनके हर एवं अंश को (5 + 1) अर्थात् 6 से गुणा करके लिखने पर:
\(\frac { 3 }{ 5 }\) = \(\frac { 18 }{ 30 }\) एवं \(\frac { 4 }{ 5 }\) = \(\frac { 24 }{ 30 }\)
अतः अभीष्ट पाँच परिमेय संख्याएँ होंगी : \(\frac { 19 }{ 30 }\), \(\frac { 20 }{ 30 }\), \(\frac { 21 }{ 30 }\), \(\frac { 22 }{ 30 }\) एवं \(\frac { 23 }{ 30 }\).
प्रश्न 4.
नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य ? कारण के साथ अपने उत्तर लिखिए :
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। (2018)
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
उत्तर:
(i) सत्य है, क्योंकि पूर्ण संख्या के संग्रह में सभी प्राकृत संख्याएँ समाहित हैं।
(ii) असत्य है, क्योंकि – 2 एक पूर्णांक है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं।
(iii) असत्य है, क्योंकि \(\frac { 1 }{ 2 }\) एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं।