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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.1

ग्राफीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिए।
प्रश्न 1.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x + 4y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
अधिकतम
Z = 3x +4y
x + y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

पहले सभी समस्याओं को समीकरण के रूप में लिखने पर
x + y = 4
x = 0   ….(ii)
y = 0   …(iii)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAB प्राप्त होता है।
Z के मान की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर

अतः Z का अधिकतम मान 16 बिन्दु (0, 4) पर है।

प्रश्न 2.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = – 3x + 4y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम सभी असमीकरणों को समीकरण के रूप में लिखने पर
x + 2y =  8 ……(i)
3x + 2y = 12 ……(ii)
x = 0, y = 0 ……(iii)
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
समी०
(i) व
(ii) को हल करने पर
x = 2, y = 3 प्राप्त होता है।
∵ रेखा
(i) व
(ii) बिन्दु (2, 3) पर मिलती हैं।

अतः बिन्दु (4,0) पर Z का मान न्यूनतम है।

प्रश्न 3:
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए
3x + 5y ≤ 15, 5x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर,
3x + 5y =15 ….(i)
5x + 2y=10 …(ii)
x = 0 …(iii)
y = 0 …(iv)
अब समीकरणों का ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।

अब Z का मान प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर ज्ञात करने पर

अतः बिन्दु Z का अधिकतम मान \(\frac{245}{19}\) है।
\(\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)\)

प्रश्न 4.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत z = 3x + 5y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
x + 3y ≥ 3, x + y ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम सभी असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर,
x + 3y =3 …(i)
x + y=2 …(ii)
x = 0 …(iii)
y = 0 …(iv)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र X ABCY प्राप्त होता हो।

सारणी से Z का न्यूनतम मान बिन्दु B\(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) पर 7 है।

प्रश्न 5.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 3x +2y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
x + 2y = 10 …(i)
3x + y = 15 …(ii)
x = 0, y = 0 …(iii)
अब ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
x =4, y=3
ये रेखाएँ बिन्दु B(4,3) पर प्रतिच्छेदित करती हैं।

सारणी से बिन्दु (4,3) पर Z का अधिकतम मान 18 है।

प्रश्न 6.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x+2y का न्यूनतमीकरण कीजिए-
2x+y ≥ 3, x+2y ≥ 6, x,y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
2x + y =3 ….(i)
x + 2y =6 …(ii)
x = 0, y = 0 …(iii)

ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र XABY प्राप्त होता है।
z का मान प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर ज्ञात करने पर

यहाँ z का प्रत्येक मान 6 है।।
अतः बिन्दुओं (6,0) और (0,3) को मिलाने वाली रेखा खण्ड पर स्थित सभी बिन्दुओं पर Z का न्यूनतम मान 6 है।

दिखाइए कि z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओं से अधिक बिन्दुओं पर घटित होता है।

प्रश्न 7.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≤ 120; x + y ≥ 60, x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0
हल:
दिया है : उद्देश्य फलन : Z = 5x + 10y
अवरोध : x + 2y ≤ 120, x + y ≥ 60
x – 2y ≥ 0, x, y ≥ 0

(1) x +2y ≤ 120 का आरेख,
रेखा x + 2y =120, बिन्दु A(120, 0) और बिन्दु B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + 2y =120 का आरेख रेखा AB है।
x + 2y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 120, जो सत्य है।
∴ x +2y ≤ 120 के क्षेत्र में बिन्दु रेखा AB पर और उसके नीचे मूल बिन्दु की ओर स्थित है।
(2) x + y ≥ 60 का आरेख
रेखा x + y = 60, बिन्दु P(60, 0), B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + y = 60 का आरेख रेखा PB है।
x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
⇒ x +y ≥ 60 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PB पर और उसके ऊपर होते हैं।
(3) x – 2y ≥ 0 का आरेख
रेखा x – 2y = 0 मूल बिन्दु 0 और Q(120, 60) से होकर जाती है।
∴ x – 2y ≥ 0 का आरेख रेखा OQ है।
x – 2y ≥ 0 में x =1, y = 0 रखने पर 1 ≥ 0 जो सत्य है।
⇒ (1, 0) इस क्षेत्र में स्थित है। x – 2y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा OQ पर और इसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।
(4) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और y- अक्ष के दायीं ओर है।
(5) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और इसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र PSRA है।
जबकि बिन्दु S(40, 20) PB: x + y = 60 और OQ: x – 2y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
और R(60, 30), AB: x + 2y =120 और x – 2y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
उद्देश्य फलन : Z = 5x + 10y
बिन्दु A(120, 0) पर,
Z = 5 x 120 + 10 x 0 = 600
बिन्दु R(60, 30) पर,
Z = 5 x 60 + 10 x 30
= 300 + 300 = 600
बिन्दु S(40, 20) पर,
Z = 5 x 40 + 10x 20
= 200 + 200 = 400
बिन्दु P(60, 0) पर,
Z = 5 x 60 + 10 x 0
= 300 + 0 = 300
⇒ Z का न्यूनतम मान P(60, 0) पर 300 है।
और Z का अधिकतम मान RA के सभी बिन्दुओं पर 600 है।

प्रश्न 8.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए-
x + 2y ≥ 100, 2x – y ≤ 0, 2x +y ≤ 200, x, y ≥ 0
हल:
सर्वप्रथम असमीकरणों को समीकरणों के रूप में लिखने पर
x + 2y = 100
2x – y = 0
2x + y = 200
x = 0 y=0
ग्राफ बनाने पर सुसंगत क्षेत्र BEDC प्राप्त होता है।
समी० 2x + y = 200 तथा 2x – y = 0 को हल करने पर x = 50, y = 100 प्राप्त होता है।
⇒ D(50,100)
पुनः समी० x + 2y = 100 तथा 2x – y = 0 को हल करने पर, x = 20, y = 40 प्राप्त होता है।

अतः Z का न्यूनतम मान 100 है तथा अधिकतम मान बिन्दु (0, 200) पर 400 है।

प्रश्न 9.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = – x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2y ≥ 6, y ≥ 0
हल:
दिया है : उद्देश्य फलन :
Z = – x + 2y
(1) x + y ≥ 5 का आरेख
रेखा x + y =5, बिन्दु A(5, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है।
∴ x + y =5 का आरेख रेखा AB है।
x + y ≥ 5 में x =0, y=0 रखने पर,
0 ≥ 5 जो सत्य नहीं है।
∴ x + y ≥ 5 क्षेत्र के बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर है।

(2) x + 2y ≥ 6 का आरेख
रेखा x + 2y = 6, बिन्दु C (6, 0) और D (0, 3) से होकर जाती है।
∴ x + 2y = 6 रेखा का आरेख रेखा CD है।
⇒ x + 2y ≥ 6 में x =0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 6 जो सत्य नहीं है।
∴ x + 2y ≥ 6 का क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।
(3) x ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा PQ: x =3 पर या उसके दायीं ओर है।
(4) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQRCX है।
बिन्दु रेखा PQ =3 और AB: x + y =5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु Q के निर्देशांक (3, 2) है।
बिन्दु R रेखा CD: x + 2y = 6 और AB: x + y =5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (4, 1) है।
उद्देश्य फलन : Z = – x + 2y
अब, बिन्दु Q (3, 2) पर,
Z = – 3 + 2 x 2 = – 3 + 4 =1
बिन्दु R(4, 1) पर,
Z = – 4 + 2 x 1 = – 4 + 2 = – 2
बिन्दु C(6, 0) पर,
Z = – 6 + 0 = – 6
⇒ z का अधिकतम मान 1 है परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है तो – x + 2y > 1 क्षेत्र पर विचार करें। .
– x + 2y > 1 तथा सुसंगत क्षेत्र में अनेकों बिन्दु उभयनिष्ठ है।
अतः Zका कोई अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 10.
निम्न अवरोधों के अन्तर्गत Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए-
x – y ≤ – 1, – x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
हल:
(i) x – y ≤ -1 का क्षेत्र
रेखा x – y = – 1 बिन्दु A(-1,0), B(0, 1) से होकर जाती है, जो AB आरेख है।
x – y ≤ – 1 में x =0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ -1 जो सत्य नहीं है।
⇒ x – y ≤ – 1 के क्षेत्र बिन्दु रेखा AB पर और उसके ऊपर है।
(ii) – x + y ≤ का क्षेत्र
रेखा – x + y = 0, मूल बिन्दु O और C(1, 1) से होकर जाती है।
– x + y ≤ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर, -1 ≤ 0 जो सत्य है।
⇒ – x + y ≤ 0 के क्षेत्र बिन्दु OC पर या उसके नीचे (1,0) ओर हैं।

(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और -अक्ष के दायीं ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और x- अक्ष के ऊपर स्थित हैं।
इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
अतः Z का अधिकतम मान नहीं है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
(iv) g (x) = x² + 1
हल:
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(2x – 1)² का कम – से – कम मान = 0
∴ f(x) का निम्नतम मान = 3

(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2 = 9x² + 12x + 4 – 2
= (3x + 2)² – 2
(3x + 2)² का निम्नतम मान = 0
∴ f (x) का निम्नतम मान = – 2

(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
– (x – 1)² का अधिकतम मान = 0
∴ f का उच्चतम मान = 10

(iv) g (x) = x³ + 1
g'(x) = 3x² जो x ϵ R के लिए धनात्मक है।
∴ g एक वर्धमान फलन है; अतः इसका कोई न्यूनतम तथा अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) |x + 2| – 1
(ii) g (x) = – |x + 1| + 3
(iii) h (x) = sin (2x) + 5
(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x ϵ ( – 1, 1)
हल:
(i) f(x) = |x + 2| – 1
|x + 2| का न्यूनतम मान 0 है।
∴ f का निम्नतम मान = – 1
अतः उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(ii) g (x) = -|x + 1| + 3
– |x + 1| का अधिकतम मान = 0
∴ g (x) = – |x + 1| + 3 का उच्चतम मान 0 + 3 = 3
निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(iii) h (x) = sin (2x) + 5
sin 2x का अधिकतम मान = 1
∴ h(x) = sin 2x + 5 का उच्चतम मान, 1 + 5 = 6
sin 2x का न्यूनतम मान = – 1
∴ h (x) = sin 2x + 5 का निम्नतम मान = – 1 + 5 = 4

(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान = 1
f(x) = |sin 4x + 3| का उच्चतम मान = |1 + 3| = 4
तथा sin 4x का निम्नतम मान = – 1
f (x) = |sin 4x + 3| का निम्नतम मान = |- 1 + 3| = 2

(v) h (x) = x + 1 .
h'(x) = 1 = धनात्मक
h वर्धमान फलन है।
इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान,जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x²
(ii) g (x) = x³ – 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, o < x < \(\frac{\pi}{2}\)
(iv) f (x) = sin x – cos x, 0 < x < 2π
(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
(vi) g (x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), x > 0
(vii) g (x) = \(\frac{1}{x^{2}+2}\)
(viii) f (x) = \(x \sqrt{1-x}\), x > 0
हल:
(i) f (x) = x²
f'(x) = 2x
यदि f'(x) = 0 तब 2x = 0 या x = 0
f'(x) जैसे ही x = 0 से होकर आगे बढ़ता है तो इसका चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है।
∴ x = 0 पर f स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = f (0) = 0

(ii) g(x) = x³ – 3x
∴ g'(x) = 3x² – 3 = 3 (x² – 1) = 3 (x – 1) (x + 1)
यदि g’ (x) = 0 तब 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
x = – 1 पर g'(x) का चित – – = +
– + = –
जैसे ही x, x = – 1 से होकर आगे बढ़ता है, g’ का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
∴ x = – 1 पर g उच्चतम है।
उच्चतम मान = g (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = – 1 + 3 = 2
x = 1 पर g'(x) के चिह्न जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है,
– + = –
+ + = +
g’ (x), ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।
x = 1 पर g निम्नतम है।
निम्नतम मान = g(1) = 1³ – 3 = – 2

(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
h'(x) = cos x – sin x = cos x(1 – tan x)
यदि h'(x) = 0 तब 1 – tan x = 0 या tan x = 1 या x = \(\frac{\pi}{4}\)
x = \(\frac{\pi}{4}\) पर x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा कम करने से tan x, 1 से कम होगा और x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा अधिक रखने पर tan x, 1 से अधिक होगा।
इस प्रकार 1 – tan x का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है। cos x में चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता।
∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान

(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
∴ f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3 (x² – 4x + 3)
= 3(x – 1)(x – 3)
यदि f'(x) = 0 ⇒ x – 1 = 0 या x – 3 = 0
∴ x = 1 .या x = 3

x का मान 1 से थोड़ा कम रखने पर
x का मान 1 से थोड़ा अधिक रखने पर
इस प्रकार f'(x) का चिह्न, जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है, + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
⇒ x = 1, पर स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
स्थानीय उच्चतम मान = f (1) = 1 – 6 + 9 + 15 = 19

x का मान 3 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 3 से थोड़ा अधिक रखने पर,
∴ f'(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है, जब x, x = 3 बिन्दु से होकर जाता है।
∴ x = 3 पर स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
∴ स्थानीय निम्नतम मान = f (3) = 27 – 54 + 27 + 15
= 69 – 54 = 15

x का मान 2 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 2 से थोड़ा अधिक रखने पर,
g'(x) का चिह्न – – ve से + ve में परिवर्तित होता है, जब x,x = 2 से होकर आगे बढ़ता है।
∴ f, x = 2 पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = g (2) = \(\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=2\)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम यो निम्नतम मान नहीं है
(i) f (x) = e^x
(ii) g (x) = log x
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
हल:
(i) f(x) = e^x

अतः दिया गया फलन न तो उच्चतम है और न ही न्यूनतम
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
= h'(x) = 3x² + 2x + 1
यदि h'(x) = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
⇒ \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{6}=\frac{-1 \pm \sqrt{-2}}{3}\)
जो कि काल्पनिक संख्या है
अत: ∀ x ϵ R, h'(x) ≠0
अतः h का कोई भी मान उच्चतम या निम्नतम नहीं है।

प्रश्न 5.
प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x³, x ϵ [- 2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x x ϵ [0, 1]
(iii) f (x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x², x ϵ [-2, \(\frac{9}{2}\)]
(iv) f (x) = (x – 1)² + 3, x ϵ [- 3, 1]
हल:
(i) f (x) = x³, अन्तराल [ – 2, 2]
∴ (x) = 3x²
यदि f’ (x) = 0, तब 3x² = 0 ∴ x = 0
f(- 2) = (- 2)³ = – 8
f (0) = (0)³ = 0
तथा f (2) = (2)³ = 8
निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 8

(ii) f(x) = sinx + cosx, x ϵ [0, π]
⇒ f'(x) = cosx – sin x
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए
f'(x) = 0
⇒ cosx – sin x = 0
⇒ tan x = 1
⇒ x = π/4
अब x = \(\frac{\pi}{4}\), 0, π पर f(x) का मान ज्ञात करना है।

f(0) = sin 0° + cos0° = 0 + 1 = 1
f(π) = sin π + cos π = 0 – 1 = – 1
अत: फलन f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान x = \(\frac{\pi}{4}\) पर \( \sqrt{{2}} \) है।
तथा x = π पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान – 1 है।

अंत: x = 4 पर f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
तथा x = – 2 पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान = – 10

(iv) यहाँ f (x) = (x – 1)² + 3, [- 3, 1]
∴ f'(x) = 2(x – 1)
यदि f'(x) = 0, 2(x – 1) = 0, x = 1
f(1) = (1 – 1)² + 3 = 0 + 3 = 3
f(- 3) = (- 3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 19
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 3

प्रश्न 6.
यदि लाभ फलन P(x) = 41 – 72x – 18x² से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है लाभ फलन
P(x) = 41 – 72x – 18x²

⇒ 36x = – 72
x = – 2
∴ x = – 2 पर
\(\frac{d^{2} P}{d x^{2}}\) = – 36 < 0
अतः x = – 2 पर लाभ फलन का मान उच्चतम है।
अतः उच्चतम लाभ = P( – 2)
= 41 – 72(- 2) – 18(- 2)²
= 41 + 144 – 72
= 113

प्रश्न 7.
अन्तराल [0, 3] पर 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = 3x⁴ – 8x² + 12x² – 48x + 25
∴ f'(x) = 12x³ – 24x² + 24x – 48
= 12[x³ – 2x² + 2x – 4] = 12[x² (x – 2) + 2(x – 2)]
= 12(x – 2)(x² + 2)
यदि f'(x) = 0, तब
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अन्तराल (0, 3) पर,
f (0) = 25
f(2) = 3(2)⁴ – 8(2)³ + 12(2)² – 48(2) + 25
= 3 × 16 – 8 × 8 + 12 × 4 – 48 × 2 + 25
= 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = – 39
तथा f(3) = 3(3)⁴ – 8(3)³ + 12(3)² – 48(3) + 25
= 3 × 81 – 8 × 27 + 12 × 9 – 48 × 3 + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
∴ निरपेक्ष उच्चतम मान = 25
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 39

प्रश्न 8.
अन्तराल [0, 2 π] के किन बिन्दुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
हल:
यहाँ f (x) = sin 2x,[0, π] पर
∴ (x) = 2cos 2x
यदि f'(x) = 0 ⇒ 2cos 2x = 0

प्रश्न 9.
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
हल:
यहाँ f(x) = sin x + cos x, [0, 2π] पर,
∴ f(x) = cos x – sin x
f'(x) = 0 = cos x – sin x = 0 ⇒ tan x = 1

प्रश्न 10.
अन्तराल [1,3] में 2x³ – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।इसी फलन का अन्तराल [- 3, – 1]में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = 2x³ – 24x + 107, [1, 3]
∴ f(x) = 6x² – 24
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए,
f'(x) = 0
⇒ 6x² – 24 = 0 ⇒ 6x² = 24 ⇒ x² = 4 ∴ x = ± 2
अन्तराल [1, 3] के लिए,
f(1) = 2(1)³ – 24 (1) + 107 = 2 – 24 + 107 = 85
f(2) = 2(2)³ – 24 (2) + 107 = 16 – 48 + 107 = 75
f(3) = 2(3)³ – 24 (3) + 107 = 54 – 72 + 107 = 89
इस प्रकार अधिकतम f (x) = 89, x = 3 पर, अन्तराल [- 3, – 1] के लिए हम x = – 3, – 2, – 1 पर f (x) का मान ज्ञात करते हैं।
f(- 3) = 2(- 3)³ – 24(- 3) + 107
= – 54 + 72 + 107 = – 54 + 179 = 125
f(- 2) = 2(- 2)³ – 24 (- 2) + 107
= – 16 + 48 + 107 = 139
f(- 1) = 2(- 1)³ – 24(- 1) + 107 = – 2 + 24 + 107 = 129
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 139, x = – 2 पर

प्रश्न 11.
यदि दिया है कि अन्तराल [0, 2] में x = 1 पर फलन x⁴ – 62x³ + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = x⁴ – 62x³ + ax + 9
∴ f'(x) = 4x³ – 124x + a
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, f'(x) = 0
⇒ 4x³ – 124x + a = 0
x = 1, पर f उच्चतम है ⇒ f (1) = 0
∴ 4 × – 124 × 1 + a = 0 ⇒ 4 – 124 + a = 0
⇒ – 120 + a = 0
∴ a = 120
f(x) = 4x³ = 124x + a
f(x) = 12x² – 124
f(1) = 12 – 124 = – 112 < 0
अतः x = 1, उच्चतम है जब a = 120

प्रश्न 12.
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x + sin 2x
∴ f(x) = 1 + 2cos 2x
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए, f'(x) = 0
⇒ 1 + cos 2x = 0 ⇒ cos 2x = – 1


f(x) का उच्चतम मान = 2π
f (x) का उच्चतम मान = 0

प्रश्न 13.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
हल:
माना अभीष्ट संख्याएँ x तथा 24 – x हैं।
माना उनका गुणनफल P है।
∴ P = x(24 – x)
P = 24x – x²

अतः x = 12 के लिए P (संख्याओं का गुणनफल) उच्चतम है।

प्रश्न 14.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
हल:
∵ x + y = 60
माना P = xy³
⇒ P = (60 – y) y³
(∵ x + y = 60
⇒ x = 60 – y)
⇒ P = 60y³ – y⁴


अत: x = 15, y = 45 के लिए P = xy³ उच्चतम है।

प्रश्न 15.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y² उच्चतम हो।
हल:
दो धन संख्याएँ x, y हैं।
x + y – 35
∴ y = 35 – x
गुणनफल P = x²y⁵
y का मान समी० (2) में रखने पर
P = x² (35 – x)⁵
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

केवल 10 स्वीकृत मान है जैसे कि x = 0, 35 अस्वीकृत कर दिए जाते हैं।
x = 10 पर,
जब x, 10 के निकट और 10 की बाईं ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (1)(+ 1)(+ 1) = + ve
जब x, 10 के निकट और 10 की दाई ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (+)(+)(-) = – ve
इस प्रकार x, 10 से होता हुआ आगे बढ़ता है
\(\frac{d P}{d x}\) + ve से – ve को परिवर्तित होता है।
x = 10 पर P उच्चतम है।
∴ y = 35 – 10 = 25
अतः अभीष्ट संख्याएँ 10 और 25 हैं।

प्रश्न 16.
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
हल:
माना x और 16 – x दो धन संख्याएँ हैं।
प्रश्नानुसार, घनों का योग S = x³ + (16 – x)³
अवकलन करने पर,
\(\frac{d S}{d x}\) = 3x² + 3(16 – x)² ( – 1)
= 3x² – 3(16 – x)²
= 3x² – 3(256 + x² – 32x)
= 3x² – 3 × 256 – 3x² + 3 × 32x
= 3(32x – 256)
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए,

अतः अभीष्ट संख्याएँ 8 और (16 – 8)अर्थात् 8 और 8 हैं।

प्रश्न 17.
18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ सन्दूक के लिए,
लम्बाई = 18 – 2x
चौड़ाई = 18 – 2x
ऊँचाई = x
∴ आयतन V = ल० × चौ० × ॐ
= x (18 – 2x)(18 – 2x) = x (18 – 2x)².1


∴ x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा। अर्थात् वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 18.
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना प्रत्येक कोने से x सेमी भुजा काटी गई है।
∴ आयताकार सन्दूक की भुजाएँ
l = 45 – 2x
b = 24 – 2x
h = x सेमी


अतः x = 5 के लिए आयतन उच्चतम है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
हल:
माना a त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत आयतन की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है।

∴ x² + y² = (2a)²
⇒ x² + y² = 4a² …(1)
∴ आयतन का क्षेत्रफल = xy

जब x बिन्दु x = \( \sqrt{{2}} \) a से होकर जाता है तो A’ (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है। अतः आयत का क्षेत्रफल उच्चतम होगा, जब x = \( \sqrt{{2}} \)a और y = \( \sqrt{{2}} \)a होगा। अर्थात् आयत वर्ग होगा।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
हल:
माना बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
त्रिज्या = r
ऊँचाई = h
आयतन = V
पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2πr² + 2πrh


अतः जब बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर है तो आयतन अधिकतम होता है।

प्रश्न 21.
100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमश: r और h है।
आयतन = πr²h = 100 cm³


⇒ S न्यूनतम होगा।
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।

प्रश्न 22.
एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृस का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
हल:
माना तार के एक भाग की लम्बाई x सेमी है तब दूसरा भाग = (28 – x) सेमी होगा।
माना x लम्बाई वाला भाग । त्रिज्या वाले वृत्त में बदला गया है।

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल:
माना V AB गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन है।
स्पष्टतयाः अधिकतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले . की ऊँचाई के साथ होना चाहिए।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की 72 गुनी होती है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h


∴ S न्यूनतम है जब h = \( \sqrt{{2}} \)r
अतः न्यूनतम वक्र पृष्ठ वाला लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या की \( \sqrt{{2}} \) गुनी है।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan^-1\( \sqrt{{2}} \) होता है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
ऊँचाई = l
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = AM = lcosθ
शंकु की त्रिज्या = MC = lsinθ

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण sin^-1\(\left(\frac{1}{3}\right)\) होता है।
हल:
माना शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल S तथा आयतन V है। शंकु की त्रिज्या , ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई l है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²

नोट – प्रश्न संख्या 27 से 29 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 27.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है
(A) (2\( \sqrt{{2}} \), 4)
(B) (2\( \sqrt{{2}} \), 0)
(C) (0, 0)
(D) (2, 2)
हल:
माना वक्र x² = 2y पर कोई बिन्दु P (x, y) है।
दिया हुआ बिन्दु A (0, 5) है।
PA² = (x – 0) + (y – 5)² = Z (माना)
∴ Z = x² + (y – 5) …(1)
तथा वक्र x² = 2y …(2)
x² का मान समी० (1) में रखने पर,
Z = 2y + (y – 5)² = 2y + y² + 25 – 10y
= y² + 25 – 8y
अवकलन करने पर,

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 28.
x के सभी वास्तविक मानों के लिए \(\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}\) का न्यूनतम मान है
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \(\frac{1}{3}\)
हल:

प्रश्न 29.
[x(x – 1) + 1]^1/3, 0 ≤ x ≤ 1का उच्चतम मान है-
(A) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) 1
(D) 0
हल:
यहाँ y = [x(x – 1) + 1]^1/3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

उच्चतम मान = 1
अतः विकल्प (C) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.11

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{3 / 2} x d x}{\sin ^{3 / 2} x+\cos ^{3 / 2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)
हल:
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)

प्रश्न 6.
\(\int_{2}^{8}|x-5| d x\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} d x\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\int_{0}^{\pi / 2}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\sin x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
हल:
माना \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
क्योंकि sin⁷ x एक विषम फलन है।
अतः I = 0.

प्रश्न 14.
\(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
माना f (x) = cos⁵ x तब
f(2π – x) = [cos (2π – x)]⁵ = cos⁵ x = f (x)

प्रश्न 15.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x\)
हल:

प्रश्न 16.
\(\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)
हल:
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)

प्रश्न 19.
\(\int_{0}^{a} f(x) g(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
यदि f और g को f(x) = f(a – x) एवं g(x) + g(x – a) = 4 के रूप में परिभाषित किया गया है।
हल:

प्रश्न 20 एवं 21 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 20.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x^{3}+x \cos x+\tan ^{5} x+1\right) d x\) का मान है-
(A) 0
(B) 2
(C) π
(D) 1
हल:


अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 21.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)\) का मान है
(A) 2
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 0
(D) -2
हल:

अतः l = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4

प्रश्न 1. यदि \(\vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}\) हो तो \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\) है।
हल:

प्रश्न 3.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}, \hat{i}\) के साथ π/3, \(\hat{j}\) के साथ π/4 और \(\hat{k}\) के साथ एक न्यून कोण 8 बनाता है तो 0 का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से \(\hat{a}\) के घटक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि
\((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)
हल:
L.H.S. \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})\)

प्रश्न 5.
λ और μ ज्ञात कीजिए यदि
\((2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}\)
हल:
दिया है

प्रश्न 6.
दिया हुआ है कि \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) और \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं|
हल:
दिया है \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

प्रश्न 7.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) क्रमशः \(a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}, b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}, c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}\) के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि
\(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\)
हल:
सिद्ध करना है-

प्रश्न 8.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A (1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C (1, 5, 5) हैं।
हल:
दिया है A (1, 1, 2), B (2, 3, 5) और C (1, 5, 5)

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}\) द्वारा निर्धारित हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संगत भुजाएँ सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) हैं = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)

प्रश्न 11.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि \(|\vec{a}|=3\) और| \(|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है। तब \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है-

हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
एक आयत के शीर्ष A, B, C और D जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \quad \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) \(\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) और \(-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) हैं, का क्षेत्रफल है

हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10

1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_{0}^{2} \frac{d x}{x+4-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x\)
हल:

प्रश्न 9 एवं 10 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 9.
समाकलन \(\int_{1 / 3}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{1 / 3}}{x^{4}} d x\) का मान है-
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4
हल:
x = sin θ रखने पर
dx = cos θ dθ

पुनः cot θ = t प्रतिस्थापित करने पर
-cosec²θ dθ = dt


अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 10.
यदि f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\) है, तब f'(x) है-
(A) cos x + x sin x
(B) x sin x
(C) x cos x
(D) sin x + x cos x
हल:
f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\)

अतः f'(x) = -[cos x – x sin x] + cos x
= – cos x + x sin x + cos x
= x sin x
अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल:
माना y = x² + 3x + 2

प्रश्न 2.
x²⁰
हल:
माना y = x²⁰
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
xcosx
हल:
माना y = x cosx

प्रश्न 4.
log x
हल:
y = logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x³ log x
हल:
माना y = x³ logx

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल:
माना y = e^xsin 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल:
माना y = e^6x cos 3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= e^6x [-6sin 3x. 3 – 3cos 3x. 3] + [6cos 3x – 3sin 3x] × e^6x . 6
= e^6x[-18sin 3x – 9cos 3x] + e^6x[36cos 3x – 18sin 3x]
= e^6x[-18sin 3x – 9cos 3x + 36cos 3x – 18sin 3x]
= e^6x[-36sin 3x + 27cos 3x]
= 9e^6x[3 cos 3x – 4sin 3x]

प्रश्न 8.
tan^-1x
हल:
माना y = tan^-1 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (log x)
हल:
माना y = log (log x)

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल:
माना y = sin (log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cosx – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) + y = 0
हल:
∵ y = 5cosx – 3sin x

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1x है तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) पदों में ज्ञात कीजिए-
हल:
∵ y = cos^-1x

प्रश्न 13.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ + y = 0
हल:
∵ y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x)


इसलिए
x²y₂ + xy₁ + y = – 7cos (log x) – sin log x – 3sin (log x) + 4cos (cosx) + 3cos (log x) + 4 sin (log x)
= -7cos (log x) – sin (logx) + sin (log x) + 7cos (log x)
= 0
अत: x²y₂ + xy₁ + y = 0

प्रश्न 14.
यदि y = Ae^mx + Be^nx है तो दर्शाइए कि

हल:
∵ y = Ae^mx + Be^nx

प्रश्न 15.
यदि y = 500e^7x + 600^-7x है तो दर्शाइए कि
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 49 y है।
हल:
y = 500e^7x + 600^-7x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

= 3500e^7x – 4200e^-7x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=3500 \frac{d}{d x} e^{7 x}-4200 \frac{d}{d x} e^{-7 x}\)
=3500 × e^7x × 7 – 4200 × e^-7x x (-7)
= 500 × 49e^7x + 600 × 49e^-7x
= 49(500e^7x + 600e^-7x)
= 49y

प्रश्न 16.
यदि e^y (x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) है|
हल:
e^y (x + 1) = 1

प्रश्न 17.
यदि y = (tan^-1x)² है तो दर्शाइए कि (x² + 1²)y₂ + 2x (x² + 1) y₂ = 2 है।
हल:
y = (tan^-1x)²
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात ( यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
\(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) + sin (y”’) = 0
हल:
इस अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज कोटि \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\) है इसलिए समीकरण की कोटि 4 है। इस समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल:
कोटि → 1
घात → 1

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{d s}{d t}\right)^{4}+3 s \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0\)
हल:
ये कोटि 2 है तथा घात 1 है।

प्रश्न 4.

हल:
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0\) की कोटि 2 है तथा इसके बायें पद में कोई फलन नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = cos 3x + sin 3x
हल:
∵ उच्चतम अवकलज \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) है।
∴ इसकी कोटि 2 है तथा दायें पद में बहुपद की उच्चतम घात 1 है।
इसलिए समीकरण की घात 1 है।

प्रश्न 6. (y”’)² (y”)³ + (y’)⁴ + y⁵ = 0
हल:
⇒ \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}\) + y⁵ = 0
उपरोक्त समीकरण में उच्चतम अवकलज \(\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}\) है।
∴ समी० की कोटि 3 है।
तथा घात 5 है।

प्रश्न 7.
y” + 2y” + y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि-3 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 8.
y + y = e^x
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 1 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 10.
y’ + 2y’ + sin y = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 2 परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
\(\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0\) की घात है-
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
यह समीकरण अवकलज़ में बहुपदीय नहीं है; अतः यह परिभाषित नहीं है।
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि है
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
अवकल समीकरण \(2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \cdot 3 \frac{d y}{d x}+y=0\) की कोटि 2 है।
अतः विकल्प (A) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.2

प्रश्न 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{2 x}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{(\log x)^{2}}{x}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{1}{x+x \log x}\)
हल:

प्रश्न 4.
sin x sin (cosx)
हल:

प्रश्न 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
हल:

प्रश्न 6.
\(\sqrt{a x+b}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(x \sqrt{x+2}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(x \sqrt{1+2 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 9.
(4x + 2) \(\sqrt{x^{2}+x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{x}{\sqrt{x+4}}\), x > 0
हल:

प्रश्न 12.
(x³ – 1)^1/3 . x⁵
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{x^{2}}{\left(2+3 x^{3}\right)^{3}}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{x(\log x)^{m}}\), x > 0, m ≠ 1
हल:

प्रश्न 15.
\(\frac{x}{9-4 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 16.
e^2x+3
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{x}{e^{x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}\)
हल:

प्रश्न 21.
tan²(2x – 3)
हल:

प्रश्न 22.
sec² (7 – 4x)
हल:

प्रश्न 23.
\(\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 24.

हल:

प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.
\(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 27.
\(\sqrt{\sin 2 x} \cdot \cos 2 x\)
हल:

प्रश्न 28.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\)
हल:

प्रश्न 29.
cot x log sin x
हल:

प्रश्न 30.
\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 31.
\(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 32.
\(\frac{1}{1+\cot x}\)
हल:

प्रश्न 33.
\(\frac{1}{1-\tan x}\)
हल:

प्रश्न 34.
\(\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x}\)
हल:

प्रश्न 35.
\(\frac{(1+\log x)^{2}}{x}\)
हल:

प्रश्न 36.

हल:

प्रश्न 37.

हल:

प्रश्न 38 व 39 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 38.


हल:

प्रश्न 39.
\(\int \frac{d x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\) बराबर है-
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x – cotx + C
(C) tan x cot x + C
(D) tan x – cot 2x + C
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। –
प्रश्न 1.
sin²(2x + 5)
हल:

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x
हल:

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
हल:

प्रश्न 4.
sin² (2x + 1)
हल:

प्रश्न 5.
sin³ x cos³ x
हल:

प्रश्न 6.
sin x sin 2x sin 3x
हल:

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 10.
sin⁴ x
हल:

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\)
हल:

प्रश्न 15.
tan³2x sec 2x
हल:

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{1}{\sin x \cos ^{3} x}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 21.
sin^-1(cos x)
हल:
\(\int \sin ^{-1}(\cos x) d x\)

प्रश्न 22.
\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)
हल:

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 23.
\(\int \frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\) बराबर है-
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x + cosecx + C
(C) – tan x + cot x + C
(D) tan x + sec x + C
हल:

प्रश्न 24.
\(\int \frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} d x\)
(A) – cot (ex^x ) + C
(B) tan (xe^x) + C
(C) tan (e^x) + C
(D) cot (e^x) + C
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\)
(b) (33)^-1/5
हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = \(\frac{\log x}{x}\) द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:

अतः f, x = e पर उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
हल:
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)


त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास \( \sqrt{{3}} \)b cm²/sec की दर से हो रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x² = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण = x² = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = acosθ + aθ sinθ, y = a sinθ – aθ cosθ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।
हल:
वक्र x = acosθ + aθsinθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर :

से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ

प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f (x) = x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\), x ≠ 0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान
(ii) ह्रासमान है।
हल:

⇒ x⁶ – 1 > 0 ⇒ (x³ – 1)(x + 1) > 0
जब x < -1 है तो (x³ – 1)(x³ + 1) दोनों ही ऋण हैं।
⇒ (x³ – 1)(x³ + 1) धन होगा।
⇒ (x³ – 1) (x³ + 1) > 0
इस प्रकार, जब x > 1 है तो x³ – 1 और (x + 1) दोनों धन
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) भी धन है।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) > 0
⇒ x < -1 और x > 1 में फलन f वर्धमान हैं।
जब -1 < x < 1, x³ – 1 ऋण और x³ + 14 धन होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) का चिह्न ऋण होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) < 0 ह्रासमान है।
अतः f वर्धमान है जब x < -1 और x > 1 है।
ह्रासमान है जब -1 < x < 1है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
दीर्घवृत्त, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (acos θ, b sin θ) है। APP’ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP’ दीर्घवृत्त के अक्ष AA’ को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP’ का क्षेत्रफल A = \(\frac{1}{2}\)PP’ × AM

प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 m³ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m² और दीवारों पर Rs. 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल =ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m²
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु०

प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योगk है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा x तथा वृत्त की त्रिज्या r है।
वर्ग का परिमाप = 4x, वृत्त की परिधि = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 2πr + 4x = k … (1)
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
वर्ग का क्षेत्रफल = x²
∴ दोनों का योग A = πr² + x² …(2)
समी० (1) से, 4x = k – 2πr

प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCPD एक खिड़की है जिसमें CPD अधिवृत्त
∴ AB = 2r, BC = AD = x
तो CPD = \(\frac{1}{2}\) . 2πr = πr

प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^2/3 + b^2/3)^3/2 है।
हल:
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लम्ब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = asecθ, PC = bcosec θ
माना कर्ण की लम्बाई l है, तब
l = AP + PC
= asecθ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴ द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
(ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
(iii) नत परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
यहाँ f (x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴
∴ f'(x) = (x – 2)⁴ . 3(x + 1)² + (x + 1)³ . 4(x – 2)³
= (x – 2)³ (x + 1)² [3(x – 2) + 4(x + 1)]
= (x – 2)³ (x + 1)² [3x – 6 + 4x + 4]
= (x – 2)³ (x + 1)² (7x – 2)
= 7(x – 2)³ (x + 1)² (x – \(\frac{2}{7}\))
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x – 2)³ + (x + 1)²(x – \(\frac{2}{7}\)) = 0
∴ = 2, -1,\(\frac{2}{7}\)
(i) जब x=2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।

(ii) x = -1 पर
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।

(iii) x = \(\frac{2}{7}\) = 0.28 पर
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट \(\frac{2}{7}\) से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट और \(\frac{2}{7}\) से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x = \(\frac{2}{7}\) पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जैसे ही x, x = \(\frac{2}{7}\) से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नति परिवर्तन और x = \(\frac{2}{7}\) पर उच्चतम होता है।

प्रश्न 14.
f (x) = cos² x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) =cos² x + sin x, x ϵ (0, π)
en f'(x)= 2cos x(–sin x) + cos x
= cos x(-2sin x + 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, f (x)= 0
⇒ cos x (-2sin x + 1) = 0

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई \(\frac{4 r}{3}\) है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + rcosθ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠ BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ

प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ϵ (a, b) के लिए f (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x₁, x₂, ϵ (a, b) इस प्रकार है कि x₁ < x₂ ϵ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x₁, x₂] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x₁, x₂] पर संतत है और (x₁, x₂) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ c ϵ (x₁, x₂) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = Rsin θ
बेलन की ऊँचाई = 2Rcosθ
∴ बेलन का आयतन = πr²h
V = π (Rsin θ)² × 2Rcosθ

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \(\frac{4}{27}\) = πh³ tan² α है।
हल:
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A’B’DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।

नोट-प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 19.
एक 10m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m³/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है-
(A) 1 m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/n
हल:
माना बेलनाकार टंकी की लम्बाई h और त्रिज्या r है।
टंकी का आयतन = πr²h
= π × 10 × 10 × h [∵ r = 10m]
V = 100πh

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 20.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-

हल:
वक्र x = t² + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t² + 3t – 8 ⇒ t² + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t² – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t² – 2t – 5 ⇒ 2t² – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t² – 2t – 4 = 0
⇒ t² – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।

अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 21.
रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
वक्र y² = 4x

प्रश्न 22.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y + 1 = 0
(D) x – y = 1
हल:
वक्र 2y + x² = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.
वक्र x² = 4y का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है-
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y =1
(D) x – y = 1
हल:
वक्र x² = 4y
अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
वक्र 9y² = x³ पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-

हल:
वक्र 9y² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,