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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\)
(b) (33)-1/5
हल:
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प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = \(\frac{\log x}{x}\) द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:
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अतः f, x = e पर उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
हल:
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)
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त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास \( \sqrt{{3}} \)b cm2/sec की दर से हो रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x2 = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण = x2 = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = acosθ + aθ sinθ, y = a sinθ – aθ cosθ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।
हल:
वक्र x = acosθ + aθsinθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर :
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से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ
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प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f (x) = x3 + \(\frac{1}{x^{3}}\), x ≠ 0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान
(ii) ह्रासमान है।
हल:
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⇒ x6 – 1 > 0 ⇒ (x3 – 1)(x + 1) > 0
जब x < -1 है तो (x3 – 1)(x3 + 1) दोनों ही ऋण हैं।
⇒ (x3 – 1)(x3 + 1) धन होगा।
⇒ (x3 – 1) (x3 + 1) > 0
इस प्रकार, जब x > 1 है तो x3 – 1 और (x + 1) दोनों धन
∴ (x3 – 1)(x3 + 1) भी धन है।
∴ (x3 – 1)(x3 + 1) > 0
⇒ x < -1 और x > 1 में फलन f वर्धमान हैं।
जब -1 < x < 1, x3 – 1 ऋण और x3 + 14 धन होगा।
∴ (x3 – 1)(x3 + 1) का चिह्न ऋण होगा।
∴ (x3 – 1)(x3 + 1) < 0 ह्रासमान है।
अतः f वर्धमान है जब x < -1 और x > 1 है।
ह्रासमान है जब -1 < x < 1है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
दीर्घवृत्त, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (acos θ, b sin θ) है। APP’ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP’ दीर्घवृत्त के अक्ष AA’ को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP’ का क्षेत्रफल A = \(\frac{1}{2}\)PP’ × AM
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प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m2 और दीवारों पर Rs. 45/m2 व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल =ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m2
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु०
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प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योगk है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा x तथा वृत्त की त्रिज्या r है।
वर्ग का परिमाप = 4x, वृत्त की परिधि = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 2πr + 4x = k … (1)
वृत्त का क्षेत्रफल = πr2
वर्ग का क्षेत्रफल = x2
∴ दोनों का योग A = πr2 + x2 …(2)
समी० (1) से, 4x = k – 2πr
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प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCPD एक खिड़की है जिसमें CPD अधिवृत्त
∴ AB = 2r, BC = AD = x
तो CPD = \(\frac{1}{2}\) . 2πr = πr
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प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a2/3 + b2/3)3/2 है।
हल:
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लम्ब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = asecθ, PC = bcosec θ
माना कर्ण की लम्बाई l है, तब
l = AP + PC
= asecθ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)4 (x + 1)4 द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
(ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
(iii) नत परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
यहाँ f (x) = (x – 2)4 (x + 1)4
∴ f'(x) = (x – 2)4 . 3(x + 1)2 + (x + 1)3 . 4(x – 2)3
= (x – 2)3 (x + 1)2 [3(x – 2) + 4(x + 1)]
= (x – 2)3 (x + 1)2 [3x – 6 + 4x + 4]
= (x – 2)3 (x + 1)2 (7x – 2)
= 7(x – 2)3 (x + 1)2 (x – \(\frac{2}{7}\))
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x – 2)3 + (x + 1)2(x – \(\frac{2}{7}\)) = 0
∴ = 2, -1,\(\frac{2}{7}\)
(i) जब x=2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।

(ii) x = -1 पर
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।

(iii) x = \(\frac{2}{7}\) = 0.28 पर
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट \(\frac{2}{7}\) से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट और \(\frac{2}{7}\) से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x = \(\frac{2}{7}\) पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जैसे ही x, x = \(\frac{2}{7}\) से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नति परिवर्तन और x = \(\frac{2}{7}\) पर उच्चतम होता है।

प्रश्न 14.
f (x) = cos2 x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) =cos2 x + sin x, x ϵ (0, π)
en f'(x)= 2cos x(–sin x) + cos x
= cos x(-2sin x + 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, f (x)= 0
⇒ cos x (-2sin x + 1) = 0
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प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई \(\frac{4 r}{3}\) है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + rcosθ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠ BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ
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प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ϵ (a, b) के लिए f (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x1, x2, ϵ (a, b) इस प्रकार है कि x1 < x2 ϵ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x1, x2] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x1, x2] पर संतत है और (x1, x2) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ c ϵ (x1, x2) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
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प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = Rsin θ
बेलन की ऊँचाई = 2Rcosθ
∴ बेलन का आयतन = πr2h
V = π (Rsin θ)2 × 2Rcosθ
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प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \(\frac{4}{27}\) = πh3 tan2 α है।
हल:
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A’B’DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।
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नोट-प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 19.
एक 10m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है-
(A) 1 m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/n
हल:
माना बेलनाकार टंकी की लम्बाई h और त्रिज्या r है।
टंकी का आयतन = πr2h
= π × 10 × 10 × h [∵ r = 10m]
V = 100πh
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अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 20.
वक्र x = t2 + 3t – 8, y = 2t2 – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-
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हल:
वक्र x = t2 + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t2 + 3t – 8 ⇒ t2 + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t2 – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t2 – 2t – 5 ⇒ 2t2 – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t2 – 2t – 4 = 0
⇒ t2 – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।
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अत: विकल्प (B) सही है।

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प्रश्न 21.
रेखा y = mx + 1, वक्र y2 = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
वक्र y2 = 4x
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प्रश्न 22.
वक्र 2y + x2 = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y + 1 = 0
(D) x – y = 1
हल:
वक्र 2y + x2 = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 23.
वक्र x2 = 4y का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है-
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y =1
(D) x – y = 1
हल:
वक्र x2 = 4y
अवकलन करने पर,
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प्रश्न 24.
वक्र 9y2 = x3 पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-
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हल:
वक्र 9y2 = x3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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