MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णांक 6q + r, जहाँ q एक पूर्णांक है और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 के रूप का घन भी 6m + r के रूप का होगा।
हल:
(6q)3 = 216q3 = 6 (36q3) = 6m, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q+ 1)3 = 216q3 + 108q2 + 18q + 1
= 6 (36q3 + 18q2 +3q) + 1 = 6m + 1, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 2)3 = 216q3 + 216q2 + 72q + 8
= 6 (36q3 + 36q2 + 12q + 1)+ 2 = 6m + 2, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 3)3 = 216q3 + 324q2 + 162 q + 27
= 6 (36q3 + 54q2 + 27q + 4)+ 3 = 6m + 3
(6q + 4)3 = 216q3 + 432q2 + 288q + 64
= 6 (36q3 + 72q2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4
एवं (6q + 5)3 = 216q3 + 540q2 + 450q + 125
= 6 (36q3 + 90q2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5
अतः, पूर्णांक 6q+r का घन 6m +r के रूप का होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2,3,4,5. इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ एक पूर्णांक है।
हल:
हम जानते हैं कि कोई भी धन पूर्णांक 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4 एवं 6m +5 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई धन पूर्णांक है लेकिन इन धन पूर्णांकों में विषम धन पूर्णांक केवल 6m + 1,6m + 3 एवं 6m + 5 के रूप के हो सकते हैं।
अब (6m + 1)2 = 36m2 + 12m + 1 = 6 (6m2 + 2m) + 1
= 6q + 1, जहाँ q= 6m2 + 2m एक पूर्णांक है।
(6m + 3)2 = 36m2 + 36m + 9 = 6 (6m2 + 6m + 1) + 3
= 6q + 3, जहाँ q = 6m2 + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
एवं (6m + 5)2 = 36m2 + 60m + 25 = 6(6m2 + 10m + 4) + 1
= 6q + 1, जहाँ q = 6m2 + 10m + 4 एक पूर्णांक है।
अतः, हम देखते हैं कि विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 3.
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1,2,3 शेषफल बचते हैं।
हल:
चूंकि 1251 – 1 = 1250
9377 – 2 = 9375
15628 – 3 = 15625
अब H. C. F. (1250, 9375) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
9375 = 1250 × 7 + 625
1250 = 625 × 2 + 0 =
⇒ H. C. F (1250, 9375) = 625
अब HCF (625, 15625) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
15625 = 625 × 25 + 0
⇒ HCF (625, 15625) = 625
⇒ HCF (1250, 9375, 15625) = 625
अतः, 625 वह अभीष्ट बड़ी से बड़ी संख्या होगी जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1, 2, एवं 3 शेषफल बचते हैं।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m +1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है।
हल:
∵ कोई धनात्मक पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ व एक धनात्मक पूर्णांक है।
(4q)3 = 64q3 = 4 (16q3)= 4m एक धनात्मक पूर्णांक है।
∴ (4q + 1)3 = 64q3 + 48q2 + 12q + 1
⇒ (4q + 1)3 = 4 (16q3 + 12q2 + 3q) + 1 = 4m + 1
जहाँ m = 16q3 + 12q2 + 3q एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 2)3 = 64q3 + 96q2 + 48q + 8
⇒ (4q+ 2) = 4(16q3 + 24q2 + 12q + 2) = 4m
जहाँ m = 16q3 + 24q2 + 12q + 2 एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 3)3 = 64q3 + 144q2 + 108q + 27
⇒ (4q + 3)3 = 4 (16q3 + 36q2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3
जहाँ m = 16q3 + 36q2 + 27q + 6 एक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दशाईए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q + 2 अथवा 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ q एक पूर्णांक है।
हल:
कोई धनात्मक पूर्णांक 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m +3 अथवा 5m + 4 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।
चूँकि (5m)2 = 25m2 = 5 (5m2) = 5q
जहाँ q = 5m2 एक धन पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 1)2 = 25m2 + 10m + 1 = 5(5m2 + 2m) + 1 = 5q + 1
जहाँ q = 5m2 + 2m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 2)2 = 25m2 + 20m + 4 = 5 (5m2 + 4m) + 4 = 5q + 4
जहाँ q = 5m + 4m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 3)2 = 25m2 + 30m + 9 = 5 (5m2 + 6m + 1) + 4
= 5q + 4, जहाँ q = 5m2 + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 4)2 = 25m2 + 40m + 16 = 5(5m2 + 8m + 3) + 1
= 5q + 1, जहाँ q = 5m2 + 8m + 3 एक पूर्णांक है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1, 5q + 4 के रूप का हो सकता है। लेकिन 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता। अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग कभी 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ व एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Chapter 1 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल:
चूँकि विषम पूर्णांक (2m + 1) के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
⇒ (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4(m2 + m) + 1 = 4q + 1
जहाँ q = m2 + m एक पूर्णांक है क्योंकि m पूर्णांक है।
अतः, विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n2 – 1,8 से विभाज्य है।
हल:
चूँकि n कोई विषम पूर्णांक है, तो n = (2m + 1) के रूप का होगा।
अब, n2 – 1 = (2m + 1)2 – 1
= 4m2 + 4m + 1 – 1 = 4m2 + 4m
= 4m(m + 1)
लेकिन m(m + 1) एक सम पूर्णांक है, क्योंकि m एवं (m + 1) में से एक विषम तथा दूसरा सम होगा। इस प्रकार गुणन सम होगा।
अब मान लीजिए m(m + 1) = 2q
⇒ n2 – 1 = 4m(m + 1)= 4 × 2q = 8q, जो कि 8 से विभाज्य है।
अतः, यदिn एक विषम पूर्णांक है, तो (n2 – 1), 8 से विभाज्य है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हों, तो दर्शाइए कि x2 + y2 एक समपूर्णांक है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
हल:
चूँकि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हैं, तो मान लीजिए कि x = (2p + 1) एवं y = (2q + 1), जहाँ p एवं कोई पूर्णांक हैं।
अब x2 + y2 = (2p + 1)2 + (2q + 1)2
= 4p2 + 4p + 1 + 4q2 + 4q + 1
= 4p(p + 1)+ 4q(q + 1) + 2
लेकिन p(p + 1) एवं q(q + 1) दोनों समपूर्णांक हैं। मान लीजिए इनके क्रमशः मान 2m एवं 2n हैं
x2 + y2 = 4p(p + 1) + 4q(q + 1) + 2
= 4(2m) + 4(2n) + 2
= 8m + 8n + 2 = 2(4m + 4n + 1)
जो एक समपूर्णांक संख्या है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
अतः, यदि एवं दोनों विषम पूर्णांक हों, तो x2 + y2 समपूर्णांक होंगे, लेकिन 4 से विभाज्य नहीं। इति सिद्धम् ‘

प्रश्न 4.
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF (441,567,693) ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म प्रयोग द्वारा HCF (441,567) ज्ञात करने पर,
567 = 441 × 1 + 126
441 = 126 × 3 + 63
126 = 63 × 2 + 0
⇒ HCF (441,567) = 63
अब यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म की सहायता से HCF (63, 693) ज्ञात करने पर,
693 = 63 × 11 + 0
⇒ HCF (63, 693) = 63
अतः, HCF (441,567,693) का अभीष्ट मान 63 है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
मान लीजिए \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) = a जहाँ a, एक परिमेय संख्या है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions 1
जो एक विरोधाभास है क्योंकि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या तथा \(\frac{a^{2}+2}{2 a}\) एक परिमेय संख्या है।
अतः, \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि 12 का किसी संख्या के लिए अन्तिम अंक 0 अथवा 5 नहीं होगा।
हल:
∵ (12)n = (2 × 2 × 3)n = 22n × 3n
चूँकि इसमें 5 की कोई घात नहीं है तथा किसी संख्या में अन्तिम अंक 0 अथवा 5 होने के लिए उसके गुणनखण्डों में 5 की घात होना आवश्यक है।
अतः, (12)n के मान में n के किसी मान के लिए अन्तिम अंक 0 या 5 पर समाप्त नहीं होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
प्रातः भ्रमण (Morning Walk) पर तीन व्यक्ति एक साथ कदम बढ़ाते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः 40 cm, 42 cm एवं 45 cm है। वह लघुतम दूरी क्या होगी जिससे प्रत्येक व्यक्ति समान दूरी पूर्ण कदमों में तय कर सकें।
हल:
इसके लिए हमको 40, 42, एवं 45 का LCM ज्ञात करना होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions 2
अतः, वह अभीष्ट लघुतम दूरी होगी, 2520 cm अर्थात् 25.20 m.

प्रश्न 8.
परिमेय संख्या \(\frac { 257 }{ 5000 } \) के हर को 2m × 5n के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ m एवं n ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इस प्रकार बिना भाग की क्रिया किए इसका दशमलव प्रसार लिखिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions 3
अतः, परिमेय संख्या का अभीष्ट रूपः = \(\frac{257}{2^{3} \times 5^{4}}\) होगा। तथा इसका दशमलव प्रसार 0.0514 होगा।

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MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या प्रत्येक धन पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
नहीं, क्योंकि यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के अनुसार a = 4q + 7; जहाँ 0 < r < 4 तथा r एक पूर्णांक है तथा का मान 0, 1, 2 और 3 हो सकता है। अर्थात् कोई भी धन पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है।

प्रश्न 2.
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य होता है।” यह कथन सत्य है या असत्य। कारण दीजिए।
उत्तर:
कथन सत्य है।
क्योंकि दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल n(n + 1) होगा, जहाँ n एक पूर्णांक है और यदि n विषम है तो n + 1 सम और यदि n + 1 विषम है तोn सम होगा। इस प्रकार n(n + 1) एक सम पूर्णांक होगा, जो 2 से विभाज्य है।

प्रश्न 3.
“तीन क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।” क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
उक्त कथन सत्य है क्योंकि तीन क्रमागत धन पूर्णांकों में कम-से-कम एक पूर्णांक तीन से विभाज्य होगा तथा एक पद दो से विभाज्य होगा। अतः तीनों का गुणनफल 6 से विभाज्य होगा।

प्रश्न 4.
क्या किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का होगा, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का नहीं होगा। क्योंकि उसका रूप तो 3m या 3m + 1 हो सकता है।

प्रश्न 5.
एक धन पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ एक प्राकृत संख्या है। क्या आप इसका वर्ग 3m + 1 के अतिरिक्त किसी अन्य रूप अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
नहीं। क्योंकि
(3q + 1)2 = 9q2 + 6q + 1 = 3(3q2 + 2q) + 1 = 3m + 1
जहाँ m = 3q2 + 2q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 6.
संख्याएँ 525 और 3000 दोनों केवल 3, 5, 15, 25 एवं 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या होगा? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
HCF (525, 3000) का अभीष्ट मान 75 है, क्योंकि 75 ही महत्तम समापवर्तक (महत्तम सम गुणनखण्ड) है।

प्रश्न 7.
समझाइए कि 3 × 5 × 7 + 7 एक भाज्य संख्या है।
उत्तर:
चूँकि 3 × 5 × 7 + 7= 7 (3 × 5 + 1) = 7 × 16
जो कि एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 8.
क्या कोई दो संख्याओं का HCF = 18 एवं LCM = 380 हो सकता है? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
कभी नहीं हो सकता क्योंकि दो संख्याओं का LCM उनके HCF से विभाज्य होता है जबकि संख्या 380 संख्या 18 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 9.
बिना लम्बी भाग प्रक्रिया किए ज्ञात कीजिए कि \(\frac { 987 }{ 10500 } \) का दशमलव प्रसार सांत होगा अथवा असान्त आवर्ती होगा? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
हाँ, उक्त संख्या का दशमलव प्रसार सांत होगा, क्योंकि
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions 4

प्रश्न 10.
एक परिमेय संख्या अपने दशमलव प्रसार में 327.7081 है। आपके अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में क्या कहना चाहेंगे यदि इस परिमेय संख्या को p/g के रूप में व्यक्त किया जाता है ? कारण दीजिए।
उत्तर:
q के अभाज्य गुणनखण्ड 2m × 5n के रूप का होगा क्योंकि दशमलव प्रसार सांत है।

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MP Board Class 10th Maths Chapter 1 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
किसी पूर्णांक m के लिए प्रत्येक सम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) m
(b) m + 1
(c) 2m
(d) 2m + 1
उत्तर:
(c) 2m

प्रश्न 2.
किसी पूर्णांक q के लिए प्रत्येक विषम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) q
(b) q + 1
(c) 2q
(d) 2q + 1
उत्तर:
(d) 2q + 1

प्रश्न 3.
n2 – 1, 8 से विभाज्य होगा यदि n है :
(a) एक पूर्णांक
(b) एक प्राकृत संख्या
(c) एक विषम पूर्णांक
(d) एक सम पूर्णांक।
उत्तर:
(c) एक विषम पूर्णांक

प्रश्न 4.
यदि HCF (65, 117), 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तब m का मान होगा :
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 3
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 5.
वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः 5 एवं 8 शेषफल बचते हैं, निम्न है:
(a) 13
(b) 65
(c) 875
(d) 1750
उत्तर:
(a) 13

प्रश्न 6.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक a एवं b निम्न रूप में लिखे हों : a = x3y2 एवं b = xy3, जहाँ x एवं y अभाज्य संख्या हैं, तब HCF (a, b) होगा:
(a) xy
(b) xy2
(c) x3y3
(d) x3y2
उत्तर:
(b) xy2

प्रश्न 7.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक p एवं निम्न की तरह व्यक्त किए जाएँ : p = ab(b) xy2 एवं q = a(b) xy3b, जहाँ a एवं b अभाज्य संख्याएँ हैं, तब LCM (p,q) होगा:
(a) ab
(b) a2b2
(c) a3b2
(d) d3b3
उत्तर:
(c) a3b2

प्रश्न 8.
एक अशून्य परिमेय संख्या एवं एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होगा :
(a) सदैव अपरिमेय संख्या
(b) सदैव परिमेय संख्या
(c) परिमेय अथवा अपरिमेय
(d) एक।
उत्तर:
(a) सदैव अपरिमेय संख्या

प्रश्न 9.
वह छोटी-से-छोटी संख्या जो 1 से 10 की सभी संख्याओं (दोनों को सम्मिलित करते हुए) से विभाज्य है/हैं:
(a) 10
(b) 100
(c) 507
(d) 2520.
उत्तर:
(d) 2520.

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या \(\frac { 14587 }{ 1250 } \) ……….. के बाद सांत होगी :
(a) एक दशमलव स्थान
(b) दो दशमलव स्थान
(c) तीन दशमलव स्थान
(d) चार दशमलव स्थान
उत्तर:
(d) चार दशमलव स्थान

प्रश्न 11.
96 और 404 का HCF होगा : (2019)
(a) 120
(b) 4
(c) 10
(d) 3
उत्तर:
(b) 4

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रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक सिद्ध किया हुआ कथन जिसे अन्य कथन को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है ………… कहलाता है।
उत्तर:
प्रमेयिका

प्रश्न 2.
\(\sqrt { P }\), जहाँ p एक अभाज्य संख्या होती है, एक ……………….. संख्या कहलाती है।
उत्तर:
अपरिमेय

प्रश्न 3.
संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की सबसे छोटी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
महत्तम समापवर्तक (HCF)

प्रश्न 4.
संख्याओं में सम्बद्ध प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
लघुतम समापवर्त्य (LCM)

प्रश्न 5.
कोई संख्या p/q, जहाँ p एवं q परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0, ……………….. कहलाती है।
उत्तर:
परिमेय संख्या

जोड़ी मिलाइए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions 5
उत्तर:

  1. → (c)
  2. → (d)
  3. → (e)
  4. → (a)
  5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

  1. प्रत्येक प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या होती है।
  2. प्रत्येक पूर्णांक प्राकृत संख्या होती है।
  3. प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है।
  4. प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय संख्या होती है।
  5. प्रत्येक पूर्णांक को p/a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p एवं q कोई पूर्णांक हैं लेकिन q ≠ 0.

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. सत्य
  4. असत्य
  5. सत्य

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एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
4 एवं 5 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा ?
उत्तर:
(एक)

प्रश्न 2.
3 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा ?
उत्तर:
12

प्रश्न 3.
दो संख्याओं a एवं b के LCM(a, b) एवं HCF(a, b) क्रमशः x एवं y हैं। a,b,x और y में क्या सम्बन्ध होगा?
उत्तर:
a × b = x × y

प्रश्न 4.
यदि a = bq तो a और b में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
b, a का एक गुणनखण्ड है

प्रश्न 5.
यदि x = \(\frac { p }{ q } \) एक ऐसी संख्या है कि q के अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m प्रकार के नहीं हैं, जहाँ n एवं m ऋणेत्तर पूर्णांक है, तो x का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
उत्तर:
असांत आवर्ती।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3,g (x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5,g (x) = x2 + 1 – x
(iii) P (x) = x4 – 5x + 6, g (x) = 2 – x2
हल:
(i) p (x) = x3 – 3x2 + 5x – 3 एवं g (x) = x2 – 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह 3x2 + 7x – 3 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 1
चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x2 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।

चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक x2 – 2 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।

(ii) p (x) = x4 – 3x2 + 4x + 5,g (x) = x2 + 1 – x यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = x2 + 1 – x मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = x2 – x + 1 प्राप्त होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद x4 को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए यह x2 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह x3 – 4x2 + 4x + 5 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह – 3x2 + 3x + 5 है।

चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x2 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।

चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक x2 – x + 1 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x2 + x – 3 एवं शेषफल = 8 है।

(iii) p (x) = x4 – 5x + 6, g (x) = 2 – x2
यहाँ भाज्य तो मानक रूप में है लेकिन भाजक g (x)= 2 – x2 मानक रूप में नहीं है, इसलिए भाजक को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर g (x) = – x2 +2 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x4 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x2 से भाग दीजिए, यह – x2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह 2x2 -5x + 6
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 3

चरण 2 : अब भागफल का द्वितीय पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद 2x2 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x2 से भाग दीजिए। यह – 2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह – 5x + 10 है।

चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक – x2 + 2 से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = -x2 – 2 एवं शेषफल = -5x + 10 है।

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प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1
हल:
(i) यहाँ भाजक t2 – 3 एवं भाज्य 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 4
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) यहाँ भाजक x2 + 3x + 1 तथा भाज्य 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 5
चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(iii) यहाँ भाजक x3 – 3x + 1 एवं भाज्य x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 6
यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

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प्रश्न 3.
3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
और – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल:
चूँकि \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) एवं –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))(x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) अर्धात (x2 – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं (x2 – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) के लिए करते हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 7
इसलिए 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 = (x2 – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) (3x2 + 6x + 3)
अब 3x2 + 6x + 3 के गुणनखण्ड 3 (x + 1)2 प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।

प्रश्न 4.
यदि x3 – 3x2 + x + 2 को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = x3 – 3x2 + x + 2
⇒ g (x).(x – 2) x3 – 3x2 + x + 2 + 2x – 4
x3 – 3x2 + 3x – 2
⇒ g(x) = \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\)
इसलिए g (x) का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद x3 – 3x2 + 3x – 2 को व्यंजक x – 2 से विभाजित करेंगे
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 8
अतः,g (x) का अभीष्ट मान x2 – x + 1 है।

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = 2x2 – 2x + 14, g (x) = 2,
q(x) = x2 – x + 7 एवं r (x) = 0
(ii) p (x) = x3 + x2 + x + 1, g (x) = x2 – 1,
q(x) = x + 1 एवं r (x) = 2x +2
(iii) p (x) = x3 + 2x2 – x + 2, g (x) = x2 – 1,
q(x) = x + 2 एवं r (x) = 4
ज्ञातव्य : उपर्युक्त तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2r (x2 – 1)
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल:
(i) (x + 1)2 = 2 (x – 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x2 + 0x + 7 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x2 – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x2 – 2x = -6 + 2x
⇒ x2 – 4x + 6 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a ≠ 0 तथा a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x2 – 2x + x – 2 = x2 – x + 3x – 3
⇒ x2 – 2 = x2 + 2x – 3
⇒ 3x – 1 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का नहीं हैं क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह रैखिक समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
⇒ x2 – 10x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0. अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
⇒ x2 – 11x + 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 अतः उक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4
⇒ 7x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का नहीं है, क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह एक रैखिक समीकरण है। अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)3 = 2x (x2 – 1)
⇒ x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 – 2x
⇒ x3 – 6x2 – 14x – 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण त्रिघात समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण द्विघात समीकरण नहीं हैं।

(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 6x2 + 12x – 8
⇒ 2x2 – 13x + 9 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax2 + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

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प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विधात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भू-खण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भू-खण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करना है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 साल बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/hr कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) मान लीजिए आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई है x m है, तो प्रश्नानुसार,
लम्बाई = 2 × चौड़ाई + 1 = 2x + 1
तथा क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
⇒ (2x + 1) (x) = 528
⇒ 2x2 + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण 2x2 + x – 528 = 0 है, जहाँ x आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई (मीटरों में) है।

(ii) मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमशः x और x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
x (x + 1) = 306
⇒ x2 + x = 306
⇒ x2 + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण x2 + x – 306 = 0 है, जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है।

(iii) मान लीजिए कि रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है, तो प्रश्नानुसार,
उसकी माँ की वर्तमान आयु = x + 26 वर्ष
एवं (x + 3) (x + 26 + 3) = 360
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x2 + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x2 + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x2 + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x2 + 32x – 273 = 0 है, जहाँ x = रोहन की वर्तमान आयु (वर्षों में)

(iv) मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr है, तो प्रश्नानुसार,
480 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 480 }{ x } \) hrs
एवं \(\frac { 480 }{ x-8 } \) = \(\frac { 480 }{ x } \) + 3
⇒ \(\frac { 160 }{ x-8 } \) – \(\frac { 160 }{ x } \) = 1
⇒ 160x – 160x + 1280 = x (x – 8)
⇒ x2 – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x2 – 8x – 1280 = 0 है, जहाँ x रेलगाड़ी की चाल km/hr में है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ……………….. होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग………………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …………… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्याओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ………………. हों, तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ ……………….. हों। (बराबर, समानुपाती)
हल :
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर, (b) समानुपाती।

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प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ,
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल :
(i) (a) सभी वृत्त,
(b) सभी वर्ग।

(ii) (a) सभी चतुर्भुज,
(b) सभी त्रिभुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 1
हल :
नहीं हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन क्रिया किर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं :
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \)
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \)
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \)
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \)
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \)
(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)
(viii) \(\frac { 6 }{ 15 } \)
(ix) \(\frac { 35 }{ 50 } \)
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \)
हल:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \) = \(\frac{13}{5^{5}}\)
चूँकि हर में केवल 5 की धात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \) = \(\frac{17}{2^{3}}\)
चूँकि हर में केवल 2 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \) = \(\frac{64}{5^{1} \times 7^{1} \times 13^{1}}\)
चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की धात हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \) = \(\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}\) = \(\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \) = \(\frac{29}{7^{3}}\)
चूँकि हर में 7 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में चूँकि केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(vii) \(\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}\)
के हर में चूँकि 2 एवं 5 के अतिरिक्त 7 की घातें भी हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) चूँकि \(\frac { 6 }{ 15 } \) = \(\frac { 2 }{ 5 } \) के हर में केवल 5 की घात है
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(ix) चूँकि \(\frac { 35 }{ 50 } \) = \(\frac { 7 }{ 10 } \) = \(\frac{7}{2 \times 5}\) के हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \) = \(\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
चूँकि इसके हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 की भी घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

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प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हल:
ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के प्रसार सांत हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 1

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000…..
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\)
हल:
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{10^{9}}\) 43123456789 में दशमलव प्रसार सांत है। अत: यह परिमेय संख्या है, जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही हैं।
(ii) 0.120120012000120000 …………. का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\) में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 5 के अतिरिक्त एक अन्य गुणखण्ड है।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए:
(i) x2 – 2x – 8
(ii) 4s2 – 4s + 1
(iii) 6x2 – 3 – 7x
(iv) 4u2 + 8u
(v) t2 – 15
(vi) 3x2 – x – 4
हल:
(i) x2 – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2) [गुणनखण्ड करने पर]
चूँकि x2 – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x2 – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं – 2 होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 1
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii) 4s2 – 4s + 1 = (2s – 1)2
चूँकि 4s2 – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
25 – 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, 4s2 – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 2
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii) 6x2 – 3 – 7x = 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x2 – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1 ⇒ x = –\(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः, 6x2 – 3 – 7x के शून्यक \(\frac { 3 }{ 2 } \) और –\(\frac { 1 }{ 3 } \) होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 3
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv) 4u2 + 8u = 4u (u + 2)
चूँकि 4u2 + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अतः, 4u2 + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 4
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v) t2 – 15 = (t)2 – (\(\sqrt { 15 }\))2 = (t + \(\sqrt { 15 }\)) (t – \(\sqrt { 15 }\))
चूँकि t2 – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + \(\sqrt { 15 }\) = 0 ⇒ t = – \(\sqrt { 15 }\)
अथवा t – \(\sqrt { 15 }\) = 0
⇒ t = \(\sqrt { 15 }\)
अतः, t2 – 15 के शून्यक – \(\sqrt { 15 }\) और \(\sqrt { 15 }\) होंगे।
अब शून्यकों का योग = – \(\sqrt { 15 }\) + \(\sqrt { 15 }\) = 0 = \(\frac { -0 }{ 1 } \)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 5
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi) 3x2 – x – 4 = (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x2 – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
अथवा x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
अतः, 3x2 – x – 4 के शून्यक \(\frac { 4 }{ 3 } \) और -1 होंगे।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 6
अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

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प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं:
(i) \(\frac { 1 }{ 4 } \), -1
(ii) \(\sqrt { 2 }\), \(\frac { 1 }{ 3 } \)
(iii) 0, \(\sqrt { 5 }\)
(iv) 1,1
(v) –\(\frac { 1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
(vi) 4,1
हल:
(i) मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = \(\frac { 1 }{ 4 } \) = – \(\frac { b }{ a } \) = \(\frac { -(-1) }{ 4 } \)
और α.β = -1 = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { (-4) }{ 4 } \) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x2 – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x2 – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\sqrt{2}=-\frac{(-3 \sqrt{2})}{3}\)
और \(\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a= 3 तब b = – 3 \(\sqrt { 2 }\) एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x2 – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x2 – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=0=-\frac{0}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\sqrt { 5 }\) = \(=\frac{\sqrt{5}}{1}\)
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = \(\sqrt { 5 }\) होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x2 + 0.x + \(\sqrt { 5 }\) अर्थात् x2 + \(\sqrt { 5 }\) है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x2 + \(\sqrt { 5 }\)) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=1=-\frac{(-1)}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x2 + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x2 + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x2 + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x2 + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = 4 = – \(\frac { (-4) }{ 1 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,: x2 + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x2 – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP के प्रथम पाँच पदों का योग और उसी श्रेणी के प्रथम सात पदों का योग का कुल योग 167 है। यदि उस श्रेणी के प्रथम 10 पदों का योग 235 हो, तो उस श्रेणी के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
माना AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
S5 + S7 = \(\frac { 5 }{ 2 }\)[2a + 4d] + \(\frac { 7 }{ 2 }\)[2a + 6d] = 167
\(\frac{10 a+20 d}{2}+\frac{14 a+42 d}{2}=167\)
\(\frac{24 a+62 d}{2}\) = 167 ⇒ 12a + 31d = 167 …(1)
S10 = \(\frac { 10 }{ 2 }\)[2a + 9d] = 235
2a + 9d = 47 …(2)
12a + 54d = 282 ….(3) [समीकरण (2) x 6 से]
23d = 115 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
d = \(\frac { 115 }{ 23 }\) = 5
d का मान समीकरण (2) में रखने पर,
2a + 9 x 5 = 47
2a = 47 – 45 = 2
a = \(\frac { 2 }{ 2 }=1\)
Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n – 1) d]
S20 = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 x 1+ (20 – 1) x 5]
= 10[2 + 95]
= 10 x 97
= 970
अतः प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = 970 है।

प्रश्न 2.
निम्न को ज्ञात कीजिए:
(i) 1 से 500 के मध्य उन पूर्णाकों का योग जो 2 और 5 से विभाज्य हैं।
(ii) 1 से 500 तक उन पूर्णाकों का योग जो 2 एवं 5 से विभाज्य हैं।
हल :
(i) 1 और 500 के मध्य 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य पूर्णांक होंगे क्रमशः
10, 20, 30, 40, ……………., 480, 490.
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं an = 490
an = a + (n – 1) x d
10 + (n – 1) x 10 = 490
10 + 10n – 10 = 490
n = \(\frac { 490 }{ 10 }=49\) पद
Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S49 = \(\frac { 49 }{ 2 }\)[2 x 10 + (49-1) – 10]
= \(\frac { 49 }{ 2 }\)[20 + 480]
= \(\frac { 49 }{ 2 }\) x 500
= 12250
अतः अभीष्ट योग = 12250 है।

(ii) 1 से 500 तक की 2 एवं 5 से विभाज्य अर्थात् 10 से विभाज्य संख्याएँ क्रमश: 10, 20, 30, ……………, 490, 500 होंगी, जो एक AP का निर्माण करती हैं,
जहाँ a = 10, d = 20 – 10 = 10 एवं an = 500.
an = a + (n-1) x d
10 + (n-1) x 10 = 500
10 + 10n – 10 = 500
n = \(\frac { 500 }{ 10 }\) = 50
Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S50 = \(\frac { 50 }{ 2 }\)[2 x 10 + (50 – 1) x 10]
S50 = 25[20 + 490]
= 25 x 510
= 12750
अंत: अभीष्ट योग = 12750 है।

प्रश्न 3.
किसी AP का 8वाँ पद इसके दूसरे पद का आधा है एवं 11वाँ पद इसके 4वें पद के एक-तिहाई से एक अधिक है। इसके 15वें पद को ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
a8 = \(\frac { 1 }{ 2 }\)a2
⇒ a + 7d = \(\frac { 1 }{ 2 }\)(a + d)
2a + 14d = a + d
⇒ a + 13d= 0 ….(1)
a11 = \(\frac { 1 }{ 3 }\)a4 + 1
a + 10d = \(\frac { 1 }{ 3 }\)(a + 3d) + 1
3a + 30d = a + 3d + 3
2a + 27d = 3
2a + 26d = 0 …(3) [समीकरण (1) x 2 से]
d = 3 [समीकरण (2) – समीकरण (3) से]
अब d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 13 x 3 = 0
an = – 13 x 3 = – 39
a = a + (n – 1) x d
a15 = – 39 + (15 – 1) x 3
a15 = – 39 + 42 = 3
अत: अभीष्ट 15वाँ पद = 3 है।

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प्रश्न 4.
100 और 200 के मध्य उन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो
(i) 9 से विभाज्य है,
(i)9 से विभाज्य नहीं है।
हल :
(i) 100 एवं 200 के मध्य 9 से विभाज्य पूर्णांक हैं : 108, 117, 126, ……., 189, 198. जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 108,d = 117 – 108 = 9 एवं an = 198
an = a+ (n-1) x d
198 = 108 + (n-1) x 9 = 108 + 9n – 9
9n = 198 + 9 – 108 = 207 – 108 = 99
n = \(\frac { 99 }{ 9 }\) = 11
अब चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S11 = \(\frac { 11 }{ 2 }\)[2 x 108 + (11-1) x 9]
= \(\frac { 11 }{ 2 }\)[216 + 90]
= \(\frac { 11 }{ 2 }\) x 306
S11 = 11 x 153
= 1683
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का अभीष्ट योग = 1683 है।

(ii) 100 और 200 के मध्य पूर्णांक क्रमशः 101, 102, 103, …………, 199 होंगे, जो एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 101 एवं d = 102 – 101 = 1 तथा an = 199.
an = a + (n-1) x d
199 = 101 + (n – 1) x 1 = 101 + n-1 = n + 100
n = 199 – 100 = 99
Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1) x d]
S99 = \(\frac { 99 }{ 2 }\)[2 x 101+ (99 -1) x 1]
= \(\frac { 99 }{ 2 }\)[202 + 98]
= \(\frac { 99 }{ 2 }\) x 300
= 99 x 150
= 14850
चूँकि 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग
= 100 और 200 के मध्य सभी संख्याओं का योग – 100 और 200 के मध्य 9 से विभाज्य संख्याओं का योग।
अभीष्ट योग = 14850 – 1683 = 13167
अतः 100 और 200 के मध्य 9 से अविभाज्य संख्याओं का योग = 13167 है।

प्रश्न 5.
एक AP के 11वें पद का 18वें पद से अनुपात 2 : 3 है। 5वें पद का 21वें पद से अनुपात ज्ञात कीजिए और साथ ही प्रथम पाँच पदों के योग का प्रथम 21 पदों के योग से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 1
अतः a5 : a21 का अभीष्ट अनुपात 1 : 3 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 2
अत: S5 : S21 का अभीष्ट अनुपात 5 : 49 है।

प्रश्न 6.
एक समान्तर श्रेढ़ी का 14वाँ पद उसके 8वें पद का दुगना है। यदि उसका छटा पद – 8 है, तो उसके प्रथम 20 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए AP का प्रथम पद a एवं सार्वान्तर d है, तो प्रश्नानुसार
a + 13d = 2(a + 7d)
= 2a + 14d
⇒ a + d = 0 …(1)
⇒ a + 5d = -8 …(2)
⇒ 4d = – 8 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ d = \(-\frac { 8 }{ 4 }\) = -2
⇒ a + (-2) = 0 [d का मान समीकरण (1) में रखने पर]
⇒ a = 2
⇒ Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n-1)d]
⇒ S20 = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 x 2 + (20 – 1) (-2)]
= 10 (4 – 38)
= 10 (-34)
= – 340
अतः AP के प्रथम 20 पदों का अभीष्ट योग = – 340 है।

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प्रश्न 7.
समान्तर श्रेढ़ी 8, 10, 12, ……………. का 60वाँ पद ज्ञात कीजिए। यदि उसमें कुल 60 पद हैं, तो इस श्रेढ़ी के अन्तिम दस पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई AP 8, 10, 12, ………….. Tn में ज्ञात है,
प्रथम पद a = 8 एवं सार्वान्तर d = 10 – 8 = 2 तथा n = 60 है।
∴ Tn = a + (n – 1)d
T60 = 8 + (60 – 1) x 2
= 8 + 59 x 2
= 8 + 118
= 126
अत: अभीष्ट 60वाँ पद = 126 है।
अब श्रेढ़ी को उल्टे क्रम में लिखने पर,
AP = 126, 124, 122, ……… होगी।।
जिसका प्रथम पद a’ = 126 एवं सार्वान्तर d’ = 124 – 126 = – 2 एवं n’ = 10 है।
Sn’ = \(\frac { n’ }{ 2 }\)[2a’ + (n’ – 1) x d’]
S10 = \(\frac { 10 }{ 2 }\)[2 x 126 + (10 – 1) – (-2)]
S10 = 5[252 + 9(-2)]
= 5[252 – 18]
= 5 x 234
= 1170
अतः श्रेणी के अन्तिम दस पदों का अभीष्ट योग = 1170 है।

प्रश्न 8.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों के योगों में (7n + 1) : (4n + 27) का अनुपात है, तो उनके mवे पदों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए कि दी गई समान्तर श्रेढ़ियाँ हैं :
a1, a1 + d1, a1 + 2d1, + ……….
एवं a2, a2 + d2, a2 + 2d2 + ……….
तो प्रश्नानुसार,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 3
2a1 + nd1 – d1 = 7k n + k
d1 n + 2a1 – d1 = 7k n + k
d1 = 7k एवं 2a1 – d1 = k
[स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a1 – 7k = k ⇒ 2a1 = 8k ⇒ a1 = \(\frac { 8k }{ 2 }\) = 4k
2a2 + nd2 – d2 = 4k n + 27k
d2n + 2a2 – d2 = 4kn + 27k
d2 = 4k एवं 2a2 – d2 = 27k
स्थिरांक एवं n के गुणांकों की तुलना करने पर]
2a2 – 4k = 27k
⇒ 2a2 = 31k
⇒ a2 = \(\frac { 31 }{ 2 }\) k
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 4
अतः उनके mवें पदों का अभीष्ट अनुपात = \(\frac { 14m-6 }{ 8m+23 }\) है।

प्रश्न 9.
यदि दो समान्तर श्रेढ़ियों के n पदों के योगफलों का अनुपात (7n + 1) : (4n + 27) है, तो उनके 9वें पदों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
(m = 9 लेकर उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर – अभीष्ट अनुपात = \(\frac { 24 }{ 19 }\)]

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प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम पदों के योगफल को Sn द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। इस श्रेढ़ी में यदि S5 + S7 = 167 तथा S10 = 235 है, तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
हल :
[निर्देश : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न 1 का हल देखिए जिसमें हम a = 1 एवं d= 5 प्राप्त करते हैं।
चूँकि a = 1 एवं d = 5 तो
a1 = a = 1
a2 = a + d = 1 + 5 = 6
a3 = a + 2d = 1 + 5 x 2 = 1 + 10 = 11
a4 = a + 3d = 1 + 3 + 5 = 1 + 15 = 16
…………………………
………………………..
an = a+ (n – 1)d = 1 + (n – 1) x 5
= 1 + 5n – 5 = 5n – 4
अत: अभीष्ट समान्तर श्रेढी 1, 6, 11, 16, …. 5n – 4 हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पुष्टि कीजिए कि निम्न में प्रत्येक AP है तब अगले तीन-तीन पद लिखिए :
(i) \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)……..
(ii) \(5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4\)…………
(iii) √3, 2√3, 3√3……
(iv) a + b, (a + 1) + b, (a +1) + (b + 1), ………
(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3,………
हल :
(i) \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\)……..
चूँकि यहाँ
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 5
सार्वान्तर समान है अतः AP है।
अब अगले तीन पद
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 6
अत: अभीष्ट अगले तीन \(1, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}\) हैं।

(ii) \(5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4\)…………
चूँकि यहाँ
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 7
सार्वान्तर समान हैं अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 8
अतः अभीष्ट अगले तीन पद \(\frac{11}{3}, \frac{10}{3}\) एवं 3 हैं।

(iii) √3, 2√3, 3√3, ……
चूँकि यहाँ a2 – a1 = 2 √3 – √3 = √3
एवं a3 – a2 = 3 √3 – 2 √3 = 3
सार्वान्तर समान हैं अतः AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः हैं
(3√3 + √3 = 4√3), (4√3 + √3 = 5√3) एवं (5√3 + √3 = 6√3)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद 4√3, 5√3, एवं 6√3 हैं।

(iv) a+ b, (a + 1)+ b, (a + 1) + (b + 1), ……
चूँकि यहाँ
a2 – a1 = [(a + 1) + b] – (a + b) = 1
a3 – a2 = [(a + 1) + (b + 1)] – [(a + 1) + (b)] = 1
………….
………….
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(a + 1) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 1)
(a + 2) + (b + 1) + 1 = (a + 2) + (b + 2)
(a + 2) + (b + 2)+ 1 = (a + 3) + (b + 2)
………
………
अतः अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (a + 2) + (b + 1), (a + 2) + (b + 2) एवं (a + 3)+ (b + 2) हैं।

(v) a, 2a + 1, 3a + 2, 4a + 3, …..
चूँकि यहाँ
a2 – a1 = (2a + 1) – a = a+ 1
a3 – a2 = (3a + 2) – (2a + 1) = a + 1
एवं a4 – a3 = (4a + 3) – (3a + 2) = a + 1
……………
……………
सार्वान्तर समान है अत: AP है।
अब अगले तीन पद क्रमशः
(4a + 3) + (a + 1) = (5a + 4)
(5a + 4) + (a + 1) = (6a + 5)
(6a + 5) + (a + 1) = (7a + 6)
अत: अभीष्ट अगले तीन पद क्रमशः (5a + 4), (6a + 5) एवं (7a + 6) हैं।

प्रश्न 2.
उन AP के प्रथम तीन पद लिखिए जिनके a एवं d नीचे दिए गए हैं :
(i) a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), d = \(-\frac { 1 }{ 6 }\)
(ii) a = -5, d = -3
(iii) a = √2, d = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
हल :
(i) यहाँ a = \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं d = \(-\frac { 1 }{ 6 }\) (दिया है)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 9
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 10
अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\) एवं \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।

(ii) चूँकि यहाँ a = – 5 एवं d= – 3 (दिया है)
a1 = a = -5
a2 = a + d = (-5) + (-3) = – 5 – 3 = -8
a3 = a + 2d = (-5) + 2 (-3) = – 5 – 6 = – 11
अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः – 5, -8 एवं -11 हैं।

(iii) चूँकि यहाँ a = √2 एवं d = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (दिया है)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 11
अतः अभीष्ट प्रथम तीन पद क्रमशः \(\sqrt{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}\) एवं \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) हैं।

प्रश्न 3.
a, b एवं c के मान ज्ञात कीजिए जिसमें कि a, 7, b, 13 एवं c एक AP में हों।
हल :
चूँकि a, 7, b, 23 एवं c एक AP में हैं और मान लीजिए प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो, तो
a1 = a = a …(1)
a2 = a + d = 7 …..(2)
a3 = a + 2d = b ….(3)
a4 = a + 3d = 23 …(4)
a5 = a + 4d = c …….(5)
(a + 3d) – (a + d) = 23 – 7 [समी. (4) – समी. (2) से]
⇒ 2d = 16
⇒ d = \(\frac { 16 }{ 2 }\) = 8
d = 8 का मान समीकरण (2) में रखने पर,
a + 8 = 7 ⇒ a = 7 – 8 = -1
अब b = a + 2d = – 1 + 2 x 8 = – 1 + 16 = 15
एवं c = a + 4d = – 1 + 4 x 8 = – 1 + 32 = 31
अतः a, b एवं c के अभीष्ट मान क्रमशः – 1, 15 एवं 31 हैं।

प्रश्न 4.
ज्ञात कीजिए कि 55 दी हुई AP 7, 10, 13,……. का कोई पद है या नहीं। अगर है तो ज्ञात कीजिए यह कौन-सा पद है?
हल :
AP : 7, 10, 13, …….. (दी है)
यहाँ a = 7 एवं d = 10 – 7 = 3
मान लीजिए 55 इस AP का nवाँ पद है
an = a + (n – 1)d
55 = 7 + (n – 1) x 3 = 7 + 3n – 3
3n = 55 + 3 – 7 = 58 – 7 = 51
n = \(\frac { 51 }{ 3 }\) = 17
अतः 55 दी हुई AP का 17वाँ पद है।

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प्रश्न 5.
निम्न AP का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……….. + (-236)
(ii) \(\left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\) …. n पदों तक
(iii) \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{3 a-2 b}{a+b}+\frac{5 a-3 b}{a+b}+\)………11 पदों तक
हल :
(i) 1 + (-2) + (-5) + (-8) + ……. + (-236).
यहाँ a = 1 एवं d = (-2) – (1) = – 3 एवं an = – 236
an = a + (n – 1) x d
– 236 = 1 + (n – 1) (-3)
– 236 = 1 – 3n + 3
3n = 236 + 1 + 3 = 240
n = \(\frac { 240 }{ 3 }\) = 80
Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[a + a]
S80 = \(\frac { 80 }{ 2 }\) [1+ (-236)]
= 40 (-235)
= – 9400
अतः अभीष्ट योग = – 9400 है।

(ii) \(\left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\) …. n पदों तक
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 12
अत: अभीष्ट योग = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (7n – 1) है।

(iii) \(\frac{a-b}{a+b}+\frac{3 a-2 b}{a+b}+\frac{5 a-3 b}{a+b}+\)………11 पदों तक
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 13
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 14
अत: अभीष्ट योग = \(\frac { 11(11a-6b) }{ a+b }\) है।

प्रश्न 6.
AP: -2, -7, -12, ……. का कौन-सा पद – 77 है। इस AP का पद – 77 तक योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ a = – 2, d = (-7) – (-2) = -7 + 2 = – 5 एवं an = – 77
an = a + (n – 1) x d
– 77 = – 2 + (n – 1)(-5)= – 2 – 5n + 5
5n = 77 + 5 – 2 = 82 – 2 = 80
n = \(\frac { 80 }{ 2 }\) = 16
अतः – 77 दी हुई AP का 16वाँ पद है।
अब ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[a + an]
S16 = \(\frac { 16 }{ 2 }\)[-2 – 77]
= 8 (-79)
= – 632
अतः अभीष्ट योग = -632 है।

प्रश्न 7.
यदि an = 3 – 4n तो दर्शाइए कि a1, a2, a3, ………. एक AP का निर्माण करते हैं। S20 का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि an = 3 – 4n
a1 = 3 – 4 x 1 = 3 – 4 = – 1
a2 = 3 – 4 x 2 = 3 – 8 = – 5
a3 = 3 – 4 x 3 = 3 – 12 = – 9
…………….
…………….
a1, a2, a3, ……… =- 1, -5,-9, ……….
एवं a2 – a1 = (-5) – (-1) = – 5 + 1 = – 4
a3 – a2 = (-9) – (-5) = -9 + 5 = – 4
चूँकि यहाँ सार्वान्तर d = -4 समान है
अत: a1, a2, a3, ……. एक AP का निर्माण करते हैं।
अब ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 }\)[2a + (n – 1) x d]
S20 = \(\frac { 20 }{ 2 }\)[2 (-1) + (20 – 1) – (-4)]
= 10 [-2 – 76]
= 10 (-78)
= – 780
अतः S20 का अभीष्ट मान = – 780 है।

प्रश्न 8.
एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 तथा इसके सभी पदों का योगफल 400 है। इस समान्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या तथा सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 5 तथा अन्तिम पद Tn = 45, योगफल Sn = 400 दिए हैं। मान लीजिए सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 }\) [a + Tn]
400 = \(\frac { n }{ 2 }\) [5 + 45]
⇒ 25n = 400
n = \(\frac { 400 }{ 25 }\) = 16
Tn = a + (n – 1) x d
45 = 5 + (16 – 1) x d
15d = 40
d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः पदों की अभीष्ट संख्या = 16 एवं सार्वान्तर = \(\frac { 8 }{ 3 }\) है।

MP Board Solutions

प्रश्न 9.
श्रेढ़ी \(20,19 \frac{1}{4}, 18 \frac{1}{2}, 17 \frac{3}{4}\)….. का कौन-सा पद प्रथम ऋणात्मक पद हैं?
हल :
दी हुई समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 20
तथा सार्वान्तर d = \(19\frac { 1 }{ 4 }\) – 20 = \(-\frac { 3 }{ 4 }\) है।
मान लीजिए nवाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद है।
Tn = a + (n – 1)d
\(20+(n-1) \times\left(-\frac{3}{4}\right)<0\)
80 + 3 – 3n < 0
3n > 83
n > \(\frac { 83 }{ 3 }\)
n > \(27\frac { 2 }{ 3 }\)
n = 28
अतः अभीष्ट प्रथम ऋणात्मक पद = 28वाँ पद है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर श्रेढ़ी का चौथा पद शून्य है। सिद्ध कीजिए कि इसका 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
हल :
मान लीजिए किसी समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है तो प्रश्नानुसार,
T4 = a + 3d = 0
⇒ a = -3d ……(1)
अब
⇒ \(\frac{T_{25}}{T_{11}}=\frac{a+24 d}{a+10 d}\) …….(2)
समीकरण (1) से a = – 3d मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{T_{25}}{T_{11}}=\frac{-3 d+24 d}{-3 d+10 d}=\frac{21 d}{7 d}=3\)
T25 = 3 x T11
अतः दी हुई श्रेढ़ी का 25वाँ पद उसके 11वें पद का तीन गुना है।
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न में से कौन-कौन AP बनाते हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i)-1,-1,-1,-1, …………..
(ii) 0, 2, 0, 2, ………….
(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, ……….
(iv) 11, 22, 33, …….
(v) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\)…..
(vi) 2,22,23,24,………..
(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
हल :
(i)- 1, – 1, – 1, – 1, ……..
चूँकि a2 – a1 = (-1) – (-1) = 0
एवं a3 – a2 = (-1) – (-1) = 0
a4 – a3 = (-1) – (-1) = 0
a2 – a1 = a3 – a2 = 0
अतः उक्त श्रेढ़ी एक AP है।

(ii) 0, 2, 0, 2, ….
चूँकि a2 – a1 = 2 – 0 = 2
एवं a3 – a2 = 0 – 2 = – 2
a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, …………
चूँकि a2 – a1 = 1 – 1 = 0
एवं a3 – a2 = 2 – 1 = 1
a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(iv) 11, 22, 33, ….
चूँकि a2 – a1 = 22 – 11 = 11
एवं a3 – a2 = 33 – 22 = 11
a2 – a1 = a3 – a2 = 11
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

(v) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\)…..
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 15
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vi) 2, 22, 23, 24,…….
चूँकि a2 – a1 = 22 – 2 = 4 – 2 = 2
एवं a3 – a2 = 23 – 22 = 8 – 4 = 4
a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः उक्त श्रृंखला एक AP नहीं है।

(vii) √3, √12, √27, √48,…………..
अर्थात् √3, 2√3, 3√3, 4√3,……..
चूँकि a2 – a1 = 2√3 – √3 = √3
एवं a3 – a2 = 3√3 – 2√3 = √3
a2 – a1 = a3 – a2 = √3
अतः उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 2.
पुष्टि कीजिए कि यह कहना सत्य है कि \(-1, \frac{-3}{2},-2, \frac{5}{2}\) …… एक AP बनाती है। क्योंकि a2 – a1 = a3 – a2.
हल :
शृंखला \(-1, \frac{-3}{2},-2, \frac{5}{2}\) ……
चूँकि
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 16
चूँकि (a3 – a2) ≠ (a4 – a3)
अतः यह कहना गलत है कि उक्त श्रृंखला एक AP है।

प्रश्न 3.
एक AP -3,-7,-11,………. है। क्या हम बिना a20 एवं a30 ज्ञात किए हुए a30 – a20 का मान ज्ञात कर सकते हैं। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
∵ a30 = a + 29d
एवं a20 = a + 19d
a30 – a20 = (a + 29d) – (a + 19d) = 10d
चूँकि यहाँ d = (-7) – (-3)
= -7 + 3
= -4
a30 – a20 = 10d = 10 (-4)
= -40
हाँ हम बिना a20 एवं a30 ज्ञात किए a30 – a20 ज्ञात कर सकते हैं जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

MP Board Solutions

प्रश्न 4.
क्या AP: 31, 28, 25, …….. का कोई पद है 0 ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल :
AP : 31, 28, 25, ……….
जहाँ a = 31 एवं d = 28 – 31 = -3
मान लीजिए 0 इस AP का nवाँ पद है।
an = a + (n-1) x d
0 = 31 + (n – 1) x (-3)
0 = 31 – 3n + 3
3n = 31 + 3 = 34
n = \(\frac { 34 }{ 3 }\) जो एक पूर्णांक नहीं है
अतः 0 दी गई AP का कोई पद नहीं है।

प्रश्न 5.
इस बात की पुष्टि कीजिए कि “क्या यह कहना सत्य है कि निम्नांकित पद किसी AP के nवें पद हैं।”
(i) 2n – 3
(ii) 3n² + 5
(iii) 1 + n + n²
हल :
(i) यदि
an = 2n – 3
a1 = 2 x 1 – 3 = 2 – 3 = -1
a2 = 2 x 2 – 3 = 4 – 3 = 1
a3 = 2 x 3 – 3 = 6 – 3 = 3
a2 – a1 = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2
a3 – a2 = 3 – 1 = 2
a2 – a1 = a3 – a2 = 2
अतः उक्त पद एक AP का nवाँ पद है।

(ii) यदि
an = 3n² + 5
a1 = 3 (1)² + 5 = 3 + 5 = 8
a2 = 3 (2)² + 5 = 12 + 5 = 17
a3 = 3 (3)² + 5 = 27 + 5 = 32
a2 – a1 = 17 – 8 = 9 एवं a3 – a2 = 32 – 17 = 15
a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

(iii) यदि
an = 1 + n + n²
a1 = 1+ 1 + (1)² = 1 + 1 + 1 = 3
a2 = 1 + 2 + (2)² = 1 + 2 + 4 = 7
a3 = 1 + 3 + (3)² = 1 + 3 + 9 = 13
a2 – a1 = 7 – 3 = 4 एवं a3 – a2 = 13 – 7 = 6
a2 – a1 ≠ a3 – a2
अतः उक्त पद किसी AP का nवाँ पद नहीं है।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं?
हल :
चूँकि k + 9, 2k – 1 तथा 2k + 7 एक समान्तर श्रेढ़ी के क्रमागत पद हैं।
⇒ (2k – 1) – (k + 9) = (2k + 7) – (2k – 1)
⇒ 2k – 1 – k – 9 = 2k + 7 – 2k + 1
⇒ k = 10 + 8 = 18
अतःk का अभीष्ट मान = 18 है।

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प्रश्न 7.
एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें a21 – a7 = 84 है का सार्वान्तर क्या है?
हल :
मान लीजिए श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d है
a21 – a7 = 84 (दिया है)
⇒ (a + 20a) – (a + 6d) = 84
⇒ 20d – 6d = 84
⇒ 14d = 84
⇒ d = \(\frac { 84 }{ 14 }\) = 6
अतः अभीष्ट सार्वान्तर = 6 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 5 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी AP में यदि d = -4,n = 7 एवं an = 4 तो a है :
(a) 6
(b) 8
(c) 20
(d) 28.
उत्तर:
(d) 28.

प्रश्न 2.
किसी AP में यदि a = 3.5, d = 0,n = 101, तब an का मान होगा :
(a) 0
(b) 3.5
(c) 103.5
(d) 104.5.
उत्तर:
(b) 3.5

प्रश्न 3.
संख्याओं की सूची -10, -6, – 2, 2, ……….. है :
(a) एक AP, जहाँ d = – 16
(b) एक AP, जहाँ d = 4
(c) एक AP, जहाँ d = – 4
(d) एक AP नहीं।
उत्तर:
(b) एक AP, जहाँ d = 4

प्रश्न 4.
एक AP: \(-5, \frac{-5}{2}, 0, \frac{5}{2}\) ,………. का 11वाँ पद होगा :
(a) – 20
(b) 20
(c) – 30
(d) 30.
उत्तर:
(b) 20

प्रश्न 5.
एक AP का प्रथम पद -2 और सार्वान्तर – 2 है के प्रथम चार पद होंगे :
(a) – 2, 0, 2, 4
(b) – 2, 4, – 8, 16
(c) – 2, – 4, – 6, – 8
(d) – 2, – 4, – 8, – 16.
उत्तर:
(c) – 2, – 4, – 6, – 8

MP Board Solutions

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम दो पद – 3 एवं 4 हैं, इसका 21वाँ पद होगा :
(a) 17
(b) 137
(c) 143
(d) – 143.
उत्तर:
(b) 137

प्रश्न 7.
एक AP का दूसरा पद 13 है तथा इसका पाँचवाँ पद 25 है तो इसका 7वाँ पद क्या होगा?
(a) 30
(b) 33
(c) 37
(d) 38.
उत्तर:
(b) 33

प्रश्न 8.
किसी AP: 21, 42, 63 84,………. का कौन-सा पद 210 होगा?
(a) 9वाँ
(b) 10वाँ
(c) 11वाँ
(d) 12वाँ।
उत्तर:
(b) 10वाँ

प्रश्न 9.
यदि एक AP का सार्वान्तर 5 है तब a18 – a13 का क्या मान होगा?
(a) 5
(b) 20
(c) 25
(d) 30.
उत्तर:
(c) 25

प्रश्न 10.
उस AP का सार्वान्तर क्या होगा जिसमें a18 – a14 = 32 ?
(a) 8
(b) -8
(c) -4
(d) 4.
उत्तर:
(a) 8

MP Board Solutions

प्रश्न 11.
दो AP का सार्वान्तर समान है। एक AP का प्रथम पद 1 एवं दूसरी का प्रथम पद 8 तब उनके चौथे पदों में अन्तर होगा:
(a) -1
(b) -8
(c) 7
(d) -9.
उत्तर:
(c) 7

प्रश्न 12.
एक AP के 7वें पद का 7 गुना उसके 11वें पद के 11 गुने के बराबर है तब इसका 18वाँ पद है:
(a) 7
(b) 11
(c) 18
(d) 0.
उत्तर:
(d) 0.

प्रश्न 13.
किसी AP :- 11,-8,-5,……….49 के अन्त से चौथा पद है :
(a) 37
(b) 40
(c) 43
(d) 58.
उत्तर:
(b) 40

प्रश्न 14.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करने वाले प्रसिद्ध गणितज्ञ थे :
(a) पाइथगोरस
(b) न्यूटन
(c) गॉउस
(d) यूक्लिड।
उत्तर:
(c) गॉउस

प्रश्न 15.
एक AP का प्रथम पद – 5 है तथा सार्वान्तर 2 है तब प्रथम 6 पदों का योग है :
(a) 0
(b) 5
(c) 6
(d) 15.
उत्तर:
(a) 0

MP Board Solutions

प्रश्न 16.
एक AP : 10, 6, 2, ……….. के प्रथम 16 पदों का योग है :
(a) – 320
(b) 320
(c) – 352
(d)- 400.
उत्तर:
(a) – 320

प्रश्न 17.
एक AP में a = 1, an = 20 एवं Sn = 399 तब n का मान है :
(a) 19
(b) 21
(c) 38
(d) 42.
उत्तर:
(c) 38

प्रश्न 18.
3 के प्रथम पाँच गुणकों का योग है :
(a) 45
(b) 55
(c) 65
(d) 75.
उत्तर:
(a) 45

प्रश्न 19.
AP: 5, 8, 11, 14,……… का 10वाँ पद है:
(a) 32
(b) 35
(c) 38
(d) 185.
उत्तर:
(a) 32

प्रश्न 20.
किसी AP में यदि a = 7.2, d = 3.6 एवं an = -7.2 तब n का मान है :
(a) 1
(b) 3
(c) 4
(d) 5.
उत्तर:
(d) 5.

MP Board Solutions

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. जब किसी अनुक्रम के पदों को किसी नियम द्वारा लिखा जाता है, तो इसे ………. कहते हैं।
2. वह अनुक्रम जिसका प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक निश्चित अन्तर रखता है ………. कहलाता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किसी पद का उसके पूर्ववर्ती पद में अन्तर ………… कहलाता है।
4. कोई तीन राशियाँ समान्तर श्रेढ़ी में हों तो मध्य वाली राशि शेष दो राशियों का ……….. कहलाती है।
5. एक समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वान्तर d हो तो उसका nवाँ पद ………… होगा।
6. सार्वान्तर श्रेढ़ी \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}, \ldots\) सार्वान्तर d = ………. है। (2019)
उत्तर-
1. श्रेढ़ी,
2. समान्तर श्रेढ़ी,
3. सार्वान्तर,
4. समान्तर माध्य,
5. a + (n – 1)d,
6. – 1.

जोड़ी मिलाइए

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Additional Questions 17
उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

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सत्य/असत्य कथन

1. समान्तर श्रेढ़ी के पद सदैव बढ़ते क्रम में होते हैं।
2. 5 और 7 का समान्तर माध्य 6 होता है।
3. समान्तर श्रेढ़ी के किन्हीं दो पदों का अन्तर सार्वान्तर होता है।
4. समान्तर श्रेढ़ी 10, 5, ………. का अगला पद 0 होगा।
5. 1, 2, 1, 3, ………… एक समान्तर श्रेढ़ी है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. सत्य,
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 2√2, √2 , 0, ……….. का अगला पद क्या होगा?
2. 5, 10, 15, ……… का अगला पद क्या होगा?
3 \(\frac{3}{\sqrt{5}}, \frac{4}{\sqrt{5}}, \sqrt{5}\) ……….. कौन-सी श्रेढ़ी है?
4. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\) ……….. समान्तर श्रेढ़ी है या नहीं?
5. यदि किसी श्रेढ़ी में पदों की संख्या सीमित न हो तो उसे क्या कहते हैं?
उत्तर-
1. -√2 ,
2. 20,
3. समान्तर श्रेढ़ी,
4. नहीं,
5. अनन्त श्रेढ़ी।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – \(\frac { 8 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { 21 }{ 8 } \) , \(\frac { 5 }{ 16 } \)
(iii) -2\(\sqrt { 3 }\),-9
(iv) \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}},-\frac{1}{2}\)
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –\(\frac { 8 }{ 3 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 4 }{ 3 } \) है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x2 – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x2 – (- \(\frac { 8 }{ 3 } \)) x + \(\frac { 4 }{ 3 } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x2 + 8x + 4)
अब \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x2 + 8x + 4) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x2 + 6x + 2x + 4)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x2 + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग \(\frac { 21 }{ 8 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 5 }{ 16 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x2 – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 1
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac { 1 }{ 16 } \) (16x2 – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 8 } \) हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -2\(\sqrt { 3 }\) एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x2 – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x2 – (-2\(\sqrt { 3 }\)) x + (-9)
= x2 + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9
अब x2 + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 = x2 + 3 \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 3 }\) x – 9
= x (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (x + 3 \(\sqrt { 3 }\))
= (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) (x – \(\sqrt { 3 }\))
⇒ शून्यक क्रमशः-3\(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x2 + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}}\) एवं गुणन –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x2 – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 2
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left(2 \sqrt{5} x^{2}+3 x-\sqrt{5}\right)\) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
\(-\frac{\sqrt{5}}{2}\) एवं \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) हैं।

प्रश्न 2.
\(\sqrt { 2 }\) घन (त्रिघात) बहुपद 6x3 + \(\sqrt { 2 }\) x2 – 10x – 4 \(\sqrt { 2 }\) का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \(\sqrt { 2 }\) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – \(\sqrt { 2 }\)) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 3
⇒ 6x3 + \(\sqrt { 2 }\) x2 – 10x – 4\(\sqrt { 2 }\) = (x – \(\sqrt { 2 }\)) (6x2 + 7 \(\sqrt { 2 }\)x + 4)
अब 6x2 + 7\(\sqrt { 2 }\) x + 4 = 6x2 + 4\(\sqrt { 2 }\) x + 3\(\sqrt { 2 }\) x + 4
= 2x (3x + 2\(\sqrt { 2 }\)) + \(\sqrt { 2 }\) (3x + 2\(\sqrt { 2 }\))
= (3x + 2\(\sqrt { 2 }\) ) (2x + \(\sqrt { 2 }\))
⇒ अन्य शून्यक \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = हैं।

प्रश्न 3.
(x – \(\sqrt { 5 }\)) एक त्रिघात बहुपद x3 – 3 \(\sqrt { 5 }\) x2 + 13x – 3\(\sqrt { 5 }\) का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – \(\sqrt { 5 }\)) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 4
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 4.1
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः \(\sqrt { 5 }\), (\(\sqrt { 5 }\) + \(\sqrt { 2 }\)) एवं (\(\sqrt { 5 }\)  – \(\sqrt { 2 }\)) हैं।

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MP Board Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x2 – 3x – 1
(2) 3x2 + 4x – 4
(3) 5t2 + 12t + 7
(4) t3 – 2t2 – 15t
(5) 2x2 + \(\frac { 7 }{ 2 } \) x + \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(6) 4x2 + 5 \(\sqrt { 2 }\) x – 3
(7) 2s2 – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\) ) s + \(\sqrt { 2 }\)
(8) u2 + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15
(9) y2 + \(\frac { 3 }{ 2 } \) \(\sqrt { 5 }\) y – 5,
(10) 7y2 – \(\frac { 11 }{ 3 } \) y – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(1) 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 5
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x2 + 4x – 4 = 3x2 + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं \(\frac { 2 }{ 3 } \) है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 6
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t2 + 12t + 7 = 5t2 + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –\(\frac { 7 }{ 5 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –\(\frac { 7 }{ 5 } \) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 7
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t3 – 2t2 – 15t = t [t2 – 2t – 15]
= t [t2 – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 8
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x2 + \(\frac { 7 }{ 2 } \)x + \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x2 + 14x + 3) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x2 + 12x + 2x + 3)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { -3 }{ 2 } \) और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { -1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक –\(\frac { 3 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 9
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x2 + 5\(\sqrt { 2 }\) x – 3 = 4x2 + 6\(\sqrt { 2 }\) x –\(\sqrt { 2 }\) x – 3
= 2\(\sqrt { 2 }\) x (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) – 1 (\(\sqrt { 2 }\)x + 3)
= (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) (2\(\sqrt { 2 }\) x – 1)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 10
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s2 – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\))s + \(\sqrt { 2 }\) = 2s2 – s – 2\(\sqrt { 2 }\) s + \(\sqrt { 2 }\)
= s (2 s – 1) – \(\sqrt { 2 }\) (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – \(\sqrt { 2 }\))
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं ज़ब s – \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ s = \(\sqrt { 2 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं \(\sqrt { 2 }\) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 11
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u2 + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15 = u2 + 5\(\sqrt { 3 }\) u – \(\sqrt { 3 }\) u – 15
= u(u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (u + 5 \(\sqrt { 3 }\))
= (u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) (u – \(\sqrt { 3 }\))
जब u + 5 \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं जब u – \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 12
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 13
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2\(\sqrt { 5 }\) एवं \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 14
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 15
जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – \(\frac { 1 }{ 7 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 7 } \) हैं।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 16
अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x6 + 2x3 + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x2 + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k2 – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax2 + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx2 + x + k समान शून्यक रखता हो, \(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – \(\frac { b }{ a } \) ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a } \) धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = \(\frac { -d }{ a } \)
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx2 + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)2 – 4k2 = 0 ⇒ k2 = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ k = ± \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान \(\frac { 1 }{ 2 } \) या \(\frac { -1 }{ 2 } \) हो सकता है।

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MP Board Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x2 + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(b) – \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(d) – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x2 – x + 12
(b) x2 + x + 12
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(d) 2x2 + 2x -24.
उत्तर:
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x2 + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax3 + bx2 + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –\(\frac { c }{ a } \)
(b) \(\frac { c }{ a } \)
(c) 0
(d) – \(\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x3 + ax2 + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x2 + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax2 + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x2 – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

  1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
  2. दो बहुपद का योग …………………… होता है।
  3. ar2 + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
  4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
  5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

  1. 1,2
  2. एक बहुपद
  3. द्विघात
  4. शून्यक
  5. एक।

जोडी मिलाइए
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions 17
उत्तर:

  1. → (c)
  2. → (d)
  3. → (e)
  4. → (a)
  5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
\(\sqrt { x }\) + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

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एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax2 + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– \(\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि ax2 + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
\(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……………. 10 पदों तक।
(ii)-37,-33,-29, …………….. 12 पदों तक।
(iii) 0.6,1.7,2.8, ………………. 100 पदों तक।
(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \), ……….. 11 पदों तक।
हल:
(i) 2, 7, 12, ……….. 10 पदों तक
यहाँ a = 2,d = 7 – 2 = 5 एवं n = 10 है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 2 + (10 – 1) × 5]
= 5 (4 + 45)
⇒ Sn = 5 × 49 = 245
अत: अभीष्ट योग = 245 है।

(ii) -37,-33,-29, ……… 12 पदों तक
यहाँ a = -37, d = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4 एवं n = 12
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1)व]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × (-37) + (12 – 1) (4)]
= 6 (-74 + 11 × 4)
= 6 (-74 + 44)
= 6 (-30) = -180
अतः अभीष्ट योग = -180 है।

(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …………. 100 पदों तक
यहाँ a = 0.6, d = 1.7 – 0.6 = 1.1 एवं n = 100
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) d]
⇒ S100 = \(\frac { 100 }{ 2 } \) [2 × 0.6 + (100 – 1) (1.1)]
= 50 (1.2 + 99 × 1.1)
= 50 (1.2 + 108.9)
⇒ S100 = 50 × 110.1 = 5505.0
अभीष्ट योग = 5505 है।

(iv) \(\frac { 1 }{ 15 } \),\(\frac { 1 }{ 12 } \),\(\frac { 1 }{ 10 } \) ………. 11 पदों तक
यहाँ, a = \(\frac { 1 }{ 15 } \), d = \(\frac { 1 }{ 12 } \) – \(\frac { 1 }{ 15 } \) = \(\frac { 15-12 }{ 180 } \) = \(\frac { 3 }{ 180 } \) = \(\frac { 1 }{ 60 } \) एवं n = 11
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1)d]
⇒ S11 = \(\frac { 11 }{ 2 } \) [2 × \(\frac { 1 }{ 15 } \) + (11 – 1) × \(\frac { 1 }{ 60 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [\(\frac { 2 }{ 15 } \) + \(\frac { 1 }{ 6 } \)]
= \(\frac { 11 }{ 2 } \) [latex]\frac { 4+5 }{ 30 } [/latex] = \(\frac { 11 }{ 2 } \) × \(\frac { 9 }{ 30 } \) = \(\frac { 33 }{ 20 } \)
अतः अभीष्ट योग = \(\frac { 33 }{ 20 } \) है।

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प्रश्न 2.
नीचे दिए गए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……………….. + 84
(ii) 34 + 32 + 30 + ………….+ 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ………….+ (-230)
हल:
(i) Sn = 7 + 10\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 14 + ……… + 84
चूँकि (10\(\frac { 1 }{ 2 } \) – 7) = (14 – 10\(\frac { 1 }{ 2 } \)) = 3\(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ d = \(\frac { 7 }{ 2 } \)
अतः उक्त एक AP है, जहाँ a = 7 एवं an = 84.
∵ an = a + (n – 1) d
⇒ 84 = 7 + (n – 1) (\(\frac { 7 }{ 2 } \))
⇒ 168 = 14 + 7n – 7
⇒ 7n = 168 + 7 – 14 = 175 – 14 = 161
⇒ n = \(\frac { 161 }{ 7 } \) = 23, अतः श्रेढ़ी में 23 पद हैं।
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l] = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 23 }{ 2 } \) [7+ 84] = \(\frac { 23 }{ 2 } \) × 91
= \(\frac { 2093 }{ 2 } \) = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: अभीष्ट योग = 1046\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।

(ii) Sn = 34 + 32 + 30 + …………… + 10
यहाँ a = 34,d = 32 – 34 = -2 एवं an = 10
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 10 = 34 + (n – 1) (-2)
⇒ 10 = 34 – 2n + 2
⇒ 2n = 36 – 10 = 26
⇒ n = \(\frac { 26 }{ 2 } \) = 13, अतः श्रेणी में 13 पद हैं।
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ Sn = \(\frac { 13 }{ 2 } \) (34 + 10)
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 44 = 13 × 22 = 286
अत: अभीष्ट योग = 286 है।

(iii) Sn = (-5)+ (-8) + (-11) + ………. + (-230)
यहाँ a = -5, d= (-8) – (-5) = -8 + 5 = -3 एवं an = -230
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ – 230 = – 5 + (n – 1) (-3)
⇒ -230 = -5 – 3n + 3
⇒ 3n = 230 + 3 – 5 = 233 – 5 = 228
⇒ n = \(\frac { 228 }{ 3 } \) = 76
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
= \(\frac { 76 }{ 2 } \) [-5 + (-230)]
= 38 (-235) = -8930
अतः अभीष्ट योग = -8930 है।

प्रश्न 3.
एक A.P. में
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। a और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) यहाँ a = 5, d = 3 एवं an = 50 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 50 = 5 + (n – 1) × 3
⇒ 50 = 5 + 3n – 3
⇒ 3n = 50 + 3 – 5 = 48
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
⇒ n = \(\frac { 48 }{ 3 } \) = 16
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × a]
= \(\frac { 16 }{ 2 } \)[2 × 5 + (16 – 1) × 3]
= 8 (10 + 45) = 8 × 55 = 440
अतः n एवं Sn के अभीष्ट मान क्रमशः 16 एवं 440 हैं।

(ii) यहाँ a = 7 एवं a13 = 35 (दिए हैं)
∵ an = a+ (n – 1) × d
⇒ 35 = a13 = 7 + (13 – 1) × d
⇒ 35 = 7 + 12d
⇒ 12d = 35 – 7 = 28
⇒ d = \(\frac { 28 }{ 12 } \) = \(\frac { 7 }{ 3 } \)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 7 + (13 – 1) × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 12 × \(\frac { 7 }{ 3 } \)]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [14 + 28] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [42]
= 13 × 21 = 273
अत: d एवं S13 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 3 } \) एवं 273 हैं।

(iii) यहाँ a12 = 37 और d = 3 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 37 = a12 = a + (12 – 1) × 3
⇒ 37 = a + 33
⇒ a = 37 – 33 = 4
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 4 + (12 – 1) × 3]
= 6 [8 + 33] = 6 × 41 = 246
अत: a एवं S12 के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 246 हैं।

(iv) यहाँ a3 = 15 और S10 = 125 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 15 = a3 = a + (3 – 1) × d
⇒ a + 2d = 15 …..(1)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 125 = S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2a + (10 – 1) × d]
⇒ 125 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = 25 …..(2)
एवं 2a + 4d = 30 [समीकरण (1) × (2) से]
⇒ 5d = – 5 ⇒ d = –\(\frac { 5 }{ 5 } \) = -1
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 (-1) = 15 ⇒ a = 15 + 2 = 17.
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a10 = 17 + (10 – 1) × (- 1)
= 17 + 9 (-1) = 17 – 9 = 8
अत: d एवं a10 के अभीष्ट मान क्रमशः -1 एवं 8 हैं।

(v) यहाँ d = 5 एवं S9 = 75 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 1

समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 2
अत: a एवं a9 के अभीष्ट मान क्रमशः –\(\frac { 35 }{ 3 } \) एवं \(\frac { 85 }{ 3 } \) हैं।

(vi) यहाँ, a = 2, d = 8 और Sn = 90 (दिए हैं)
∴ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ \(\frac { n }{ 2 } \) × [2 × 2 + (n – 1) × 8] = 90
⇒ 4n + 8n2 – 8n = 180
⇒ 8n2 – 4n – 180 = 0
⇒ 2n2 – n – 45 = 0
⇒ 2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5)+ 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5) (2n + 9) = 0
या तो 2n + 9 = 0 ⇒ n= –\(\frac { 9 }{ 2 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 5 = 0 ⇒ n = 5
अब ∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ an = 2 + (5 – 1) × 8
⇒ an = 2 + 32 = 34
अतः n एवं an के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 34 हैं।

(vii) यहाँ a = 8, an = 62 और Sn = 210 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ 210 = \(\frac { n }{ 2 } \) [8 + 62] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 70
⇒ 35n = 210 ⇒ n = \(\frac { 210 }{ 35 } \) = 6
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 62 = 8 + (6 – 1) × d = 8 + 5d
⇒ 5d = 62 – 8 = 54 ⇒ d = 54/5
अत: n और 4 के अभीष्ट मान क्रमशः 6 और 54/5 हैं।

(viii) यहाँ an = 4, d = 2 और Sn = – 14 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1)d
⇒ 4 = a + (n – 1) × 2
⇒ a + 2n = 4 + 2 = 6 ….(1)
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + an]
⇒ – 14 = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + 4]
⇒ – 28 = n(a + 4) …..(2)
समीकरण (1) से a = 6 – 2n का मान समीकरण (2) में रखने पर,
-28 = n[6 – 2n + 4] = n(10 – 2n)
⇒ -28 = 10n – 2n2
⇒ 2n2 – 10n – 28 = 0
⇒ n2 – 5n – 14 = 0
⇒ n2 – 7n+ 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n+ 2) = 0
या तो n + 2 = 0 तब n = -2 जो असम्भव है।
अथवा n – 7 = 0 ⇒ n = 7
n = 7 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 7 = 6 ⇒ a = 6 – 14 = – 8
अत: a एवं n के अभीष्ट मान क्रमशः -8 और 7 हैं।

(ix) यहाँ a = 3, n = 8 और S = 192 (दिए हैं)
S = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 192 = \(\frac { 8 }{ 2 } \)[2 × 3 + (8 – 1) × d]
⇒ 192 = 4 [6 + 7d]
⇒ 7d + 6 = 48
⇒ 7d = 48 – 6 = 42
⇒ d = \(\frac { 42 }{ 7 } \) = 6
अतः d का अभीष्ट मान 6 है।

(x) यहाँ l = 28, S = 144 और n = 9 (दिए हैं)
∵ S = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
⇒ 144 = \(\frac { 9 }{ 2 } \)(a + 28)
⇒ a + 28 = \(\frac{144 \times 2}{9}\) = 16 × 2 = 32
⇒ a = 32 – 28 = 4
अत: a का अभीष्ट मान 4 है।

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प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए AP: 9, 17, 25, ……… के कितने पद लेने चाहिए?
हल:
यहाँ Sn = 636 तथा AP : 9, 17, 25,………… दिए हैं; जहाँ a = 9 एवं d = 25 – 17 = 8.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 636 = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 9 + (n – 1) × 8]
⇒ 636 = 9n + 4n2 – 4n
⇒ 4n2 + 5n – 636 = 0
⇒ 4n2 +53n – 48n = 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
या तो 4n + 53 = 0 ⇒ n = –\(\frac { 53 }{ 4 } \) जो असम्भव है।
अथवा n – 12 = 0 ⇒ n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए दी गई AP के हमें 12 पद लेने चाहिए।

प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या एवं सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, l = 45 एवं Sn = 400 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [a + l]
⇒ 400 = \(\frac { n }{ 2 } \) [5 + 45] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 50 = 25n
⇒ 25n = 400 ⇒ n = \(\frac { 400 }{ 25 } \) = 16
∵ an = l = a + (n – 1) × d
⇒ 45 = 5 + (16 – 1) × d
⇒ 15d = 45 – 5 = 40
⇒ d = \(\frac { 40 }{ 15 } \) = \(\frac { 8 }{ 3 } \)
अत: अभीष्ट पदों की संख्या एवं सार्वान्तर क्रमश: 16 एवं 8/3 हैं।

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प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम एवं अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग कितना है?
हल:
यहाँ a = 17, l = an = 350 एवं d = 9(दिए हैं)
∵ l = an = a + (n – 1) × d
⇒ 350 = 17 + (n – 1) × 9
⇒ 350 = 17 + 9n – 9
⇒ 9n = 350 + 9 – 17 = 359 – 17 = 342
⇒ n = \(\frac { 342 }{ 9 } \) = 38
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)(a + l)
= \(\frac { 38 }{ 2 } \)(17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः दी गई AP में अभीष्ट पदों की संख्या 38 तथा उनका योग 6973 है।

प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल:
यहाँ, d = 7, a22 = 149 एवं n = 22 (दिए हैं)
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ a22 = a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 147 = 149 ⇒ a = 149 – 147 = 2
और ∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) (a + an)
⇒ S22 = \(\frac { 22 }{ 2 } \) [2 + 149]
= 11 × 151 = 1661
अत: AP के प्रथम 22 पदों का अभीष्ट योग = 1661 है।

प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल:
यहाँ n = 51, a2 = 14 एवं a3 = 18
∵ a2 = a + (2 – 1)d = 14, ⇒ a + d = 14 ….(1)
एवं a3 = a + (3 – 1)d = 18 ⇒ a + 2d = 18 …(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर,
d = 18 – 14 = 4
d = 4 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 = 14 ⇒ a = 14 – 4 = 10
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S51 = \(\frac { 51 }{ 2 } \) [2 × 10 + (51 – 1) × 4]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) [20 + 200]
= \(\frac { 51 }{ 2 } \) × 220
= 51 × 110 = 5610
अतः प्रथम 51 पदों का अभीष्ट योग = 5610 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो उसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ
S7 = 49 एवं S17 = 289 दिए हैं।
⇒ S7 = \(\frac { 7 }{ 2 } \)[2a + 6d] = 49
⇒ 7a + 21d = 49 ⇒ a + 3d = 7 …..(1)
एवं S17 = \(\frac { 17 }{ 2 } \) [2a +16d] = 289
⇒ a + 8d = 17 …..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
5d = 10 ⇒ d = \(\frac { 10 }{ 5 } \) = 2
d = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 3 × 2 = 7 ⇒ a = 7 – 6 = 1
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac { n }{ 2 } \) [2 + 2n – 2] = \(\frac { n }{ 2 } \) × 2n = n2
अतः प्रथम n पदों का अभीष्ट योग = n2 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a1, a2, ……… an, ….. एक AP बनाती है। यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित हैं:
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग भी ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 3
एवं an = 3 + 4n
यहाँ a1, a2, a3, ……… an, ……………
= 7, 11, 15, ……….. (3 + 4n), एक AP है।
जहाँ a = 7 एवं d = 4 (सार्वान्तर)
अतः a1, a2, a3, ………… an …………. एक AP बनाती है, यदि an = 3 + 4n. इति सिद्धम् अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 7 + (15 – 1) (4)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] [14 + 14 × 4]= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [14 + 56]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [70] = 15 × 35 = 525
अतः AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = 525 है।
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 4
एवं an = 9 – 5n
यहाँ, a1, a2, a3, ……….. an, ……..
= 4, -1, -6, …………. (9 – 5n), ………….. एक AP है। जहाँ a = 4 एवं d = -5
अतः a1, a2, a3, ………… an………… एक AP बनाती हैं, यदि an = 9 – 5n.
इति सिद्धम अब AP के प्रथम पन्द्रह पदों का योग –
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) d]
S15 = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 4 + (15 – 1) (-5)]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 + 14 (-5)] = \(\frac { 15 }{ 2 } \) [8 – 70]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) (-62) = 15 (-31) = -465
अत: AP के प्रथम 15 पदों का अभीष्ट योग = -465 है।

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प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10 वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ Sn = 4n – n2 (दिया है)
⇒ S1 = 4 × 1 – (1)2 = 4 – 1 = 3 ⇒ a = 3
⇒ S2 = 4 × 2 – (2)2 = 8 – 4 = 4
दूसरा पद a2 = S2 – S1, = 4 – 3 = 1
⇒ सार्वान्तर d = a2 – a1 = 1 – 3 = -2
अब a3 = a + 2d = 3 + 2 (-2) = 3 – 4 = -1
a10 = a + 9d = 3 + 9 × (-2)= 3 – 18 = – 15
एवं an = a + (n – 1)d = 3 + (n – 1) (-2)
= 3 – 2n + 2 = 5 -2n
अतः अभीष्ट मान S1 = a1 = 3, S2 = 4, a2 = 1, a3 = -1, a10 = -15 एवं an = 5 – 2n है।

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल:
6 से विभाज्य धन पूर्णांक हैं:
6, 12, 18, 24, …………….
यहाँ a = 6, d = 12 – 6 = 6, n = 40.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S40 = \(\frac { 40 }{ 2 } \) [2 × 6 + (40 – 1) × 6]
= 20 [12 + 240 – 6] = 20(246) = 4920
अतः अभीष्ट 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
8 के गुणज हैं : 8, 16, 24, 32, …
यहाँ a = 8,d = 16 – 8 = 8 एवं n = 15
Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [2 × 8 + (15 – 1) × 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) [16 + 120 – 8]
= \(\frac { 15 }{ 2 } \) × 128 = 15 × 64 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का अभीष्ट योग = 960 है।

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ हैं:
1,3,5,7, ……………, 45,47, 49
जहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, an = 49
∵ an = a + (n – 1) × d
⇒ 49 = 1 + (n – 1) × 2
⇒ 49 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1
⇒ 2n = 49 + 1 = 50 ⇒ n = \(\frac { 50 }{ 2 } \) = 25
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[a + an]
⇒ Sn = \(\frac { 25 }{ 2 } \) (1 + 49) = \(\frac { 25 }{ 2 } \) × 50 = 25 × 25 = 625
अत: 0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है।

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार हैं : पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है ?
हल:
जुर्माने की राशि प्रतिदिन क्रमशः ₹200, ₹250, ₹300 ……….. है, जो एक AP का निर्माण करती है।
जहाँ a = ₹ 200, d = ₹ 250 – ₹ 200 = ₹ 50 एवं n = 30 दिन।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S30 = \(\frac { 30 }{ 2 } \) [2 × 200 + (30 – 1) × 50]
= 15 [400 + 1500 – 50]
= 15 [1900 – 50] = 15 × 1850
= ₹27750
अतः जुर्माने के रूप में कुल ₹ 27,750 राशि अदा करनी पड़ेगी।

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प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों के उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए प्रथम पुरस्कार ₹ a है तथा d = – ₹ 20, n = 7 एवं S7 = ₹ 700 (दिए हैं)
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ 700 = \(\frac { 7 }{ 2 } \) [2 × a + (7 – 1) × (- 20)]
⇒ 1400 = 7[2a – 120]
⇒ 1400 = 14a – 840
⇒ 14a = 1400 + 840 = 2240
⇒ a = \(\frac { 2240 }{ 14 } \) = 160
a2 = 160 – 20 = 140, a3 = 140 – 20 = 120, a4 = 120 – 20 = 100, a5 = 100 – 20 = 80, a6 = 80 – 20 = 60 एवं a7 = 60 – 20 = 40
अत: अभीष्ट पुरस्कार क्रमशः ₹ 160, ₹140, ₹ 120, ₹100, ₹ 80, ₹60 एवं ₹40 है।

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ कक्षा I का एक अनुभाग पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल:
चूँकि प्रत्येक कक्षा के तीन-तीन अनुभाग हैं। इसलिए कक्षा I द्वारा 1 × 3 = 3 पेड़, कक्षा II द्वारा 2 × 3 = 6 पेड़, कक्षा III द्वारा 3 × 3 = 9 पैड़ इसी प्रकार कक्षा XII द्वारा 12 × 3 = 36 पेड़ लगाए जाएंगे। इस प्रकार 3, 6, 9, ……………, 36 एक AP का निर्माण करते हैं, जहाँ a = 3, d = 6 – 3 – 3 एवं n = 12.
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S12 = \(\frac { 12 }{ 2 } \) [2 × 3 + (12 – 1) × 3]
= 6 [6 + 33] = 6 × 39 = 234
अतः विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की अभीष्ट संख्या = 234 होगी।

प्रश्न 18.
केन्द्र A से आरम्भ करते हुए बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, …………. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है जैसा कि संलग्न आकृति 5.1 में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है? (π = \(\frac { 22 }{ 7 } \) लीजिए।)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 5
हल:
मान लीजिए l1, l2, l3, ………. क्रमशः A, B,
A, ………… केन्द्रों वाले अर्धवृत्तों की लम्बाईयाँ हैं, तो
l1 = 0.5 π cm, l2 = 1:0 π cm, l3 = 1.5 π cm
इस प्रकार l1, l2, l3, …………… अर्थात्
0.5 π, 1.0 π, 1.5 π, …………… 13 पद एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 0.5 π, d = 1.0 π – 0.5 π= 0.5 π एवं n = 13.
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ S13 = \(\frac { 13 }{ 2 } \) [2 × 0.5 π + (13 – 1) × 0.5 π]
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) [1.0 π + 6.0 π] = \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 π
= \(\frac { 13 }{ 2 } \) × 7.0 × \(\frac { 22 }{ 7 } \) = 143 cm
अतः अभीष्ट सर्पिल की कुल लम्बाई = 143 cm है।

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है कि सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्टे उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे इत्यादि (देखिए संलग्न आकृति 5.2)। ये 200 लट्टे कितनी पंक्तियों में रखे गये हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 6
हल:
पंक्तियों में लट्ठों की संख्याएँ एक AP का निर्माण करती हैं, जहाँ a = 20, d = 19 – 20 = – 1 एवं Sn = 200, दिया है।
∵ Sn = \(\frac { n }{ 2 } \)[2a + (n – 1) × d]
⇒ 200 = \(\frac { n }{ 2 } \) [2 × 20 + (n – 1) × (-1)]
⇒ 400 = n(40 – n + 1)
⇒ 400 = 41n – n2
⇒ n2 – 41n + 400 = 0
⇒ n2 – 25n – 16n + 400 = 0
⇒ n(n – 25) – 16(n – 25) = 0
⇒ (n – 25) (n – 16) = 0
या तो n – 25 = 0 तब n = 25
तब a25 = 20 + (25 – 1) (-1) = 20 – 24 = – 4
अतः सबसे ऊपरी पंक्ति में -4 लट्टे होते हैं, जो असम्भव है, इसलिए n – 16 = 0 एवं n = 16
तथा a16 = 20 + (16 – 1) (-1) = 20 – 15 = 5 लट्टे
अत: कुल पंक्तियाँ 16 हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्टे हैं।

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प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (Potato race) में प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.3)
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 7
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़ कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल:
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a1 = 2 × 5 = 10 m = a
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a2 = 2 × (5 + 3)= 2 × 8 = 16 m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी a3 = 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 m
इस प्रकार दौड़ी गई दूरियाँ क्रमशः 10 m, 16 m, 22 m, ……………… एक AP का निर्माण करती हैं।
जहाँ a = 10 m, d = (16 m – 10 m) = 6 m एवं n = 10
चूँकि Sn = \(\frac { n }{ 2 } \) [2a + (n – 1) × d]
⇒ S10 = \(\frac { 10 }{ 2 } \) [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5 [20 + 54]
= 5 × 74 = 370 m
अतः प्रत्येक प्रतियोगी को कुल 370 m दूरी दौड़नी पड़ेगी।

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4= 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac { x }{ 2 } \) + \(\frac { 2y }{ 3 } \) = -1 और x – \(\frac { y }{ 3 } \) = 3
हल:
(i) विलोपन विधि :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac { 19 }{ 5 } \) + y = 5 ⇒ y = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) है।
प्रतिस्थापान विधि:
समीकरण (1) से y = 5 – x समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
2x – 3 (5 – x) = 4 ⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 15 + 4 = 19 ⇒ x = \(\frac { 19 }{ 5 } \)
एवं y = 5 – x = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) हैं।

(ii) विलोपन विधि :
3x + 4y = 10 ….(1)
एवं 2x – 2y = 2 ….(2)
⇒ 4x – 4y = 4 (3) [समीकरण (2) × 2 से]
⇒ 7x = 14 [समीकरण (1) + समीकरण (3) से]
⇒ x = 14/7 = 2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2 × 3 + 4y = 10 ⇒ 4y = 10 – 6 = 4
y = 4/4 = 1
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = (y + 1) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं –
3 (y + 1) +4y = 10 ⇒ 3y + 3 + 4y = 10
⇒ 7y = 10 – 3 = 7 ⇒ y = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
एवं x = (y + 1) = 1 + 1 = 2
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

(iii) विलोपन विधि:
3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ….(1)
एवं 9x = 2y + 7 = 9x – 2y = 7 ….(2)
9x – 15y = 12 ….(3) [समीकरण (1) × 3 से]
⇒ 13y = -5 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
⇒ y = \(\frac { -5 }{ 13 } \)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर हम पाते हैं :
3x – 5 (\(\frac { -5 }{ 13 } \)) = 4
⇒ 39x + 25 = 52 ⇒ 39x = 52 – 25 = 27
⇒ x = \(\frac { 27 }{ 39 } \) = \(\frac { 9 }{ 13 } \)
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (1) से x = \(\frac { 5y+4 }{ 3 } \) समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 22
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।

(iv) विलोपन विधि:
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 23
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = \(\frac { y+9 }{ 3 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 24
y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
3x – (-3) = 9 ⇒ 3x = 9 – 3 = 6 ⇒ x = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = 2
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = – 3 है।
ज्ञातव्य : कभी-कभी विलोपन विधि प्रतिस्थापन विधि से उपयुक्त एवं सुविधाजनक होती है और कभी-कभी इसका विलोम भी होता है और कभी-कभी कोई भी अन्तर नहीं पड़ता।

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प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह \(\frac { 1 }{ 2 } \) हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹50 और ₹100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए? किराये पर पुस्तक देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तकरखने के लिए ₹ 27 अदा किए जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए अभीष्ट भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का स्वरूप होगा \(\frac { x }{ y } \)
प्रश्नानुसार, \(\frac { x+1 }{ y-1 } \) = 1 ⇒ x + 1 = y – 1 ⇒ x – y = – 2 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ y+1 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ 2x = y + 1 ⇒ 2x – y = 1 ….(2)
⇒ [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
x के मान को समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
3 – y = – 2 ⇒ y = 3 + 2 = 5
अत: अभीष्ट भिन्न \(\frac { 3 }{ 5 } \) होगी।

(ii) मान लीजिए नूरी की आयु x वर्ष एवं सोनू की आयु y वर्ष है।
तो प्रश्नानुसार, (x – 5) = 3 (y – 5) ⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = 5 – 15 = – 10
एवं (x + 10) = 2 (y + 10) ⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10 = 10 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
एवं y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
x – 2 (20) = 10 ⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 40 + 10 = 50
अतः नूरी एवं सोनू की अभीष्ट वर्तमान आयु क्रमशः 50 वर्ष एवं 20 वर्ष है।

(iii) मान लीजिए संख्या का दहाई का अंक x एवं इकाई का अंक y है तो संख्या का मान होगा 10x + y अब प्रश्नानुसार,
x + y = 9 ….(1)
संख्या के अंकों को पलटने पर बनी नई संख्या का मान होगा 10y + x एवं प्रश्नानुसार अब
9 (10x +y) = 2 (10y +x),
⇒ 90x + 9y = 20y + 2x
⇒ 88x – 11y = 0 ⇒ 8x – y = 0 ….(2)
समीकरण (1) एवं समीकरण (2) को जोड़ने पर हम पाते हैं :
9x = 9 ⇒ x = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
1 + y = 9 ⇒ y = 9 – 1 = 8
अतः अभीष्ट संख्या का मान = 10x + y = 10 × 1 + 8 = 10 + 8 = 18 है।

(iv) मान लीजिए मीना बैंक से ₹50 के नोट तथा ₹ 100 के नोट प्राप्त करती है, तो प्रश्नानुसार
x + y = 25 ….(1)
एवं 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 ….(2)
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर प्राप्त होता है :
y = 40 – 25 = 15
y का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
x + 15 = 25 ⇒ x = 25 – 15 = 10
अत: ₹ 50 एवं ₹ 100 के नोटों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 10 एवं 15 है।

(v) मान लीजिए पुस्तक का प्रथम तीन दिन तक का नियत किराया ₹x एवं शेष दिनों के लिए प्रतिदिन का किराया ₹y है तो प्रश्नानुसार
x + 4y = 27 ….(1)
[∵ अतिरिक्त दिन = 7 – 3 = 4]
एवं x + 2y = 21 ….(2)
[∵ अतिरिक्त दिन = 5 – 3 = 2]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 (3) = 27 ⇒ x + 12 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15
अतः पुस्तक का प्रथम तीन दिनों तक अभीष्ट नियत किराया = ₹ 15 एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3.

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