Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) x – 3y – 3= 0; 3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5; 3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20; 6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7= 0; 3x – 3y – 15 = 0
हल:
(i) चूंकि x – 3y – 3 = 0 ….(1)
एवं 3x – 9y – 2 = 0 ….(2)

अतः रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) चूँकि 2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 ….(2)

अतः उक्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब 2x + y – 5 = 0 ….(1)
3x + 2y – 8 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:

अतः रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

(iii) चूंकि 3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 ….(1)
6x – 10y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म के अनन्तशः (अपरिमित) रूप से अनेक हल है।

(iv) चूंकि x – 3y – 7 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y – 15 = 0 ….(2)

अतः दत्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब x – 3y – 7 = 0 ….(1)
3x – 3y – 15 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:


अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = -1 है।

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल:
(i) 2x + 3y = 7 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2 ….(2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए
\(\frac{2}{(a-b)}=\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
⇒ 7(a – b) = 2(3a + b – 2)
⇒ 7a – 7b = 6a + 2b – 4 ….(3)
⇒ a – 9h +4 = 0
एवं 7(a + b)3 (3a + b – 2)
⇒ 7a + 7b = 9a + 3b – 6
⇒ 2a – 4b – 6 = 0 ….(4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) से वज्रगुणन विधि द्वारा

अतः a और b के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 1 हैं।

(ii) 3x + y = 1 ….(1)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1 ….(2)
चूँकि रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई भी हल न होने की स्थिति में

अतः k का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए :
8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4.
हल:
प्रतिस्थापन विधि:
8x + 5y = 9 ….(1)
3x + 2y = 4 ….(2)
चूँकि समीकरण (2) से y = \(\frac { 4-3x }{ 2 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
8x + 5 (\(\frac { 4-3x }{ 2 } \)) = 9
⇒ 16x + 20 – 15x = 18
⇒ 16x – 15x = 18 – 20
⇒ x = -2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
8 (-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac { 25 }{ 5 } \) = 5
अतः उक्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = -2 और y = 5 है।
अब वज्रगुणन विधि :
8x + 5y – 9 = 0 ….(1)
3x + 2y – 4 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = – 2 एवं y = 5 है।
ज्ञातव्य : यहाँ पर दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं वैसे यह व्यक्तिपरक और प्रश्नपरक होता है कि कहाँ कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका आस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को जो 26 दिन भोजन करता है, छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न हो जाती है, जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है और वह न हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एकटेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते तो यश 50 अंक अर्जित करता है। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। यदि ये एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो 1 घण्टे में मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है, और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए कि छात्रावास का नियत व्यय ₹x तथा प्रतिदिन के भोजन का व्यय ₹y है, तो
प्रश्नानुसार,
x + 20y = 1000 ….(1)
x + 26y = 1180 ….(2)
⇒ 6y = 180 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ y = \(\frac { 180 }{ 6 } \) = 30
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x + 20 × 30 = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः अभीष्ट नियत व्यय = ₹ 400 एवं प्रतिदिन के भोजन का व्यय = ₹ 30 है।

(ii) मान लीजिए कि भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का मान \(\frac { x }{ y } \) होगा।
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { x-1 }{ y } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) ⇒ 3x – 3 = y
⇒ 3x – y = 3 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ y+8 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ 4x = y + 8
⇒ 4x – y = 8 ….(2)
⇒ x = 5 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 5 – y = 3 ⇒ 15 – y = 3
⇒ y = 15 – 3 = 12
अतः भिन्न का अभीष्ट मान \(\frac { 5 }{ 12 } \) है।

(iii) मान लीजिए कि यश ने x प्रश्नों के सही उत्तर दिए तथा y प्रश्नों के अशुद्ध उत्तर दिए। इस प्रकार टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y
अब प्रश्नानुसार,
3x – y = 40 ….(1)
एवं 4x – 2y = 50 ….(2)
⇒ 6x – 2y = 80 ….(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर, [समीकरण (1) × 2 से]
2x = 30 ⇒ x = \(\frac { 30 }{ 2 } \) = 15
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 15 – y = 40 ⇒ 45 – y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
अब टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20
अतः टेस्ट में कुल प्रश्नों की अभीष्ट संख्या 20 है।

(iv) मान लीजिए, पहली कार की चाल x किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल किमी/घण्टा है। जब दोनों कारें एक ही दिशा में गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x – y) किमी/घण्टा
तथा जब दोनों कारें एक-दूसरे की ओर गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x + y) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार \(\frac { 100 }{ x-y } \) = 5 तथा \(\frac { 100 }{ x+y } \) = 1
⇒ x – y = 20 ….(1)
तो x + y = 100 ….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 60 व y = 40
अतः, पहली कार की चाल = 60 किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल = 40 किमी/घण्टा है।

(v) मान लीजिए आयत की विमाएँ क्रमशः लम्बाई = x इकाई एवं चौड़ाई = y इकाई, तो उसका क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई होगा।
अब प्रश्नानुसार,
(x – 5) × (y + 3) = xy – 9
⇒ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
⇒ 3x – 5y = 15 – 9 = 6 ….(1)
एवं (x + 3) (y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 67 – 6 = 61 ….(2)
समीकरण (1) से x = \(\frac { 5y+6 }{ 3 } \) समीकरण (2) में रखने पर,
2(\(\frac { 5y+6 }{ 3 } \)) + 3y = 61
⇒ 10y + 12 + 9y = 183
⇒ 19y = 171 ⇒ y = \(\frac { 171 }{ 19 } \) = 9
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3x – 5 × 9 = 6 ⇒ 3x = 6 + 45 = 51
⇒ x = \(\frac { 51 }{ 3 } \) = 17
अतः आयत की अभीष्ट विमाएँ क्रमशः 17 इकाई एवं 9 इकाई हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
4 पैन एवं 4 पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹ 100 है। एक पैन का तीन गुना मूल्य एक पेंसिल बॉक्स . के मूल्य से ₹ 15 अधिक है। रैखिक युगपत समीकरण युग्म बनाइए तथा एक पैन एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए एक पैन का मूल्य ₹x एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹y हैं तो प्रश्नानुसार,
4x +4y = 100 ⇒ x + y = 25 ….(1)
एवं 3x = y + 15 ⇒ 3x – y = 15 ….(2)
⇒ 4x = 40 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 40 }{ 4 } \) = 10
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
10 + y = 25 ⇒ y = 25 – 10 = 15
अतः एक पैन का अभीष्ट मूल्य ₹ 10 एवं एक पेंसिल बॉक्स का अभीष्ट मूल्य ₹ 15 है।

प्रश्न 2.
5 संतरे और 3 सेबों का मूल्य ₹ 35 है तथा 2 संतरे और 4 सेबों का मूल्य ₹ 28 है तब एक संतरा तथा 1 सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
(निर्देश : उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर: एक संतरे का अभीष्ट मूल्य = ₹4 एवं एक सेब का मूल्य = ₹ 5]

प्रश्न 3.
अंकित अपने घर के लिए 14 किलोमीटर की दूरी आंशिक रूप से रिक्शे के द्वारा एवं आंशिक रूप से बस के द्वारा तय करती है। वह 2 km रिक्शा के द्वारा तथा शेष दूरी बस के द्वारा तय ‘ करने में आधा घण्टा लेता है। दूसरी ओर यदि उसने 4 km दूरी रिक्शा से तथा शेष दूरी बस से तय की होती तो उसे 9 मिनट अधिक लगते। रिक्शा एवं बस की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रिक्शा की चाल x km/hr एवं बस की चाल y km/hr हो तो प्रश्नानुसार,

समीकरण (2) एवं (3) में \(\frac { 1 }{ x } \) = p एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = q रखने पर,
4p + 10q = \(\frac { 13 }{ 20 } \) ….(4)
4p + 24q = 1 ….(5)
⇒ 14q = 1 – \(\frac { 13 }{ 20 } \) = \(\frac { 7 }{ 20 } \) [समीकरण (5)- समीकरण (4) से]
\(\Rightarrow \quad \quad q=\frac{7}{14 \times 20}=\frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{y}=q=\frac{1}{40} \Rightarrow y=40 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
\(4 p+10 \times \frac{1}{40}=\frac{13}{20} \Rightarrow 4 p=\frac{13}{20}-\frac{1}{4}=\frac{8}{20}\)
\(p=\frac{8}{4 \times 20}=\frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{x}=p=\frac{1}{10} \Rightarrow x=10 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
अतः रिक्शा एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 10 km/hr एवं 40 km/hr है।

प्रश्न 4.
एक मोटर वोट 30 km की दूरी जल धारा के विरुद्ध एवं 28 km की दूरी धारा की दिशा में तय करने में 7 घण्टे का समय लेती है। यह 21 km की दूरी धारा के विपरीत जाने एवं धारा की दिशा में वापस आने में कुल समय 5 घटे में तय कर सकती है। स्थिर जल में नाव की चाल एवं जल धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लीजिए स्थिर जल में नाव की चाल x km/hr एवं जल धारा की चाल y km/hr है, तो प्रश्नानुसार,

30p + 28q = 7 ….(3) × 3
एवं 21p + 21q = 5 …(4) × 4
⇒ 90p + 84q = 21 …(5)
एवं 84p + 84q = 20 ….(6)
⇒ 6p = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (6) से]

x का मान समीकरण (8) में रखने पर,
10 + y = 14 ⇒ y = 14 – 10 = 4
अतः स्थिर जल में नाव की अभीष्ट चाल 10 km/hr एवं जल धारा की अभीष्ट चाल 4 km/hr है।

प्रश्न 5.
दो वर्ष पूर्व सलीम की उम्र उसकी पुत्री की उम्र की तीन गुनी थी और 6 वर्ष पश्चात् उसकी उम्र उसकी पुत्री की उम्र के दूने से 4 वर्ष अधिक हो जाएगी। दोनों की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सलीम की वर्तमान उम्र x वर्ष एवं उसकी पुत्री की वर्तमान उम्र y वर्ष है। तो प्रश्नानुसार,
x – 2 = 3 (y – 2)
⇒ x – 3 y = -4 ….(1)
एवं (x + 6) = 2 (y + 6) + 4
⇒ x – 2y = 12 + 4 – 6 = 10
⇒ y = 14 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x – 2 × 14 = 10
⇒ x – 28 = 10
⇒ x = 28 + 10 = 38
अतः सलीम की अभीष्ट वर्तमान उम्र 38 वर्ष एवं उसकी पुत्री की अभीष्ट वर्तमान उम्र 14 वर्ष है।

प्रश्न 6.
एक पिता की उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग की दो गुनी है। 20 वर्ष बाद उसकी उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग के बराबर हो जाएगी। पिता की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके दोनों पुत्रों की उम्र का योग y वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
चूँकि 20 वर्ष बाद पिता की उम्र में तो 20 वर्ष की वृद्धि होगी जबकि दोनों पुत्रों की उम्र के योग में 20 + 20 = 40 वर्ष की वृद्धि होगी अतः
x + 20 = y + 40
⇒ x – y = 40 – 20 = 20 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 2 × 20 = 0 ⇒ x – 40 = 0
⇒ x = 40
अतः पिता की अभीष्ट उम्र 40 वर्ष है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं का अनुपात 5 : 6 है यदि प्रत्येक में से 8 घटा दिया जाए तो उनका अनुपात 4 : 5 हो जाएगा। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि वे संख्याएँ x एवं y है, तो प्रश्नानुसार

समीकरण (1) को 4 से एवं समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर,
24x – 20y = 0 ….(3)
एवं 25x – 20y = 40 ….(4)
⇒ x = 40 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
6 × 40 – 5y = 0
⇒ 240 – 5y = 0
⇒ 5y = 240
⇒ y = \(\frac { 240 }{ 5 } \) = 48
अत: अभीष्ट संख्याएँ 40 एवं 48 हैं।

प्रश्न 8.
दो परीक्षा कक्षों A एवं B में कुछ छात्र हैं यदि कक्ष A से 10 छात्र कक्ष B में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो दोनों कक्षों में छात्र संख्या बराबर हो जायेगी। लेकिन यदि 20 छात्र कक्ष B से कक्ष A में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो कक्षA की छात्र संख्या कक्ष B की छात्र संख्या की दूनी हो जाएगी। दोनों कक्षों में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कक्ष A में छात्र संख्या x एवं कक्ष B में छात्र संख्या y है। तो प्रश्नानुसार,
(x – 10) = (y + 10)
⇒ x – y = 20 ….(1)
एवं (x + 20) = 2 (y – 20)
⇒ x + 20 = 2y – 40
⇒ x – 2y = – 40 – 20 = – 60 ….(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
y = 20 + 60 = 80
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 80 = 20 ⇒ x = 80 + 20 = 100
अतः परीक्षा कक्ष A में अभीष्ट छात्र संख्या 100 एवं परीक्षा कक्ष B में अभीष्ट छात्र संख्या 80 है।

प्रश्न 9.
एक दुकानदार किराए पर पुस्तक पढ़ने को देती है। वह प्रथम दो दिन के लिए एक निश्चित किराया तथा अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन के हिसाब से अतिरिक्त किराया वसूल करती है। लतिका ने 6 दिन के लिए पुस्तक ली जिसके लिए उसे ₹ 22 देने पड़े तथा आनन्द ने पुस्तक को 4 दिन तक रखा और उसने ₹16 का भुगतान किया। नियत (निश्चित) किराया एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
माम लीजिए प्रथम दो दिन का नियत किराया ₹x एवं अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदिन किराया ₹y है, तो प्रश्नानुसार,
x + 4y = 22 …(1) [अतिरिक्त 6 – 2 = 4 दिन]
एवं x + 2y = 16 ….(2) [अतिरिक्त 4 – 2 = 2 दिन]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 × 3 = 22
⇒ x + 12 = 22
⇒ x = 22 – 12 = 10
अतः पुस्तकों का नियत अभीष्ट किराया ₹ 10 एवं अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन अभीष्ट किराया ₹3 है।

प्रश्न 10.
एक प्रतियोगी परीक्षा में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक मिलता है लेकिन प्रत्येक गलत उत्तर के लिए \(\frac { 1 }{ 2 } \) अंक काट लिया जाता है। जयन्ती ने 120 प्रश्नों के उत्तर दिए और कुल 90 अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए ?
हल:
मान लीजिए कि जयन्ती ने x प्रश्नों के सही उत्तर तथा y प्रश्नों के गलत उत्तर दिए।
तो प्रश्नानुसार,
x + y = 120 ….(1)
एवं x – \(\frac { 1 }{ 2 } \) y = 90
⇒2x – y = 180 ….(2)
समीकरण (2) में समीकरण (1) को जोड़ने पर,
3x = 300 ⇒ x = \(\frac { 300 }{ 3 } \) = 100
अतः जयन्ती ने अभीष्ट 100 प्रश्नों के सही उत्तर दिए।

प्रश्न 11.
ग्राफीय (ज्यामितीय) विधि से ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं या अंसगत/अगर संगत है तो उनको हल कीजिए:
(i) 3x + y + 4 = 0;6x – 2y + 4 = 0
(ii) x – 2y = 6; 3x – 6y = 0
(iii) x + y = 3; 3x + 3y = 9
हल:
(i) 3x + y + 4 = 0
⇒ y = – 3x – 4
जब x = 0 ⇒ y = -4
और जब x = – 2
⇒ y = -3(-2)-4
= 6 – 4 = 2

एवं 6x – 2y + 4 = 0 ….(2)
⇒ 3x – y + 2 = 0
⇒ y = 3x + 2
जब x = 0 ⇒ y = 2
और जब x = -1 ⇒ y = 3 (-1)+ 2 = – 3 + 2 = – 1

आकृति : 3.12

चूँकि ग्राफ परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं तथा अभीष्ट हल x = -1 एवं y = -1 है।

(ii) x – 2y = 6
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 2 } \)
जब x = 0 ⇒ y = -3
और जब x = 2
⇒ y = \(\frac { 2-6 }{ 2 } \) = \(\frac { -4 }{ 2 } \) = -2

एवं 3x – 6y = 0
⇒ 6y = 3x
⇒ y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x
जब x = 0 ⇒ y = 0
और जब x = 4 ⇒ y = 2

आकृति : 3.13
चूँकि ग्राफ परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करते अर्थात् समानान्तर हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म असंगत है।
(iii) x + y = 3 …(1)
⇒ y = 3 – x
जब x = 0 तब y = 3 – 0 = 3

और जब x = 3 तब y = 3 – 3 = 0
एवं 3x +3y = 9 …(2)
x+ y = 3 .
y = 3 – x
जब x = 0 ⇒ y = 3 – 0 = 3
और जब x = 3 ⇒y = 3 = 0

आकृति : 3.14
चूँकि ग्राफ संपाती हैं तथा y = 3 -x से y का मान x के मान पर आश्रित है।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म आश्रित संगत है तथा इसके अनन्तशः अनेक हल होंगे।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
λ के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म λx + y = λ² एवं x + λy = 1
(i) का कोई भी हल नहीं है?
(ii) अनन्तशः अनेक हल हैं?
(iii) एक अद्वितीय हल है?
हल:
(i) कोई हल नहीं होने के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान-1 है।

(ii) अनन्तशः अनेक हल के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान 1 है।

(iii) एक अद्वितीय हल होने के लिए:

अतः ± 1 को छोड़कर का मान प्रत्येक वास्तविक संख्या होगी।

प्रश्न 2.
k के किस मान के लिए समीकरण युग्म kx + 3y = k – 3 एवं 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा?
हल:
kx + 3y = k – 3 ….(1)
12x + ky = k …..(2)
अतः k का अभीष्ट मान -6 है।

प्रश्न 3.
a एवं b के किस मान के लिए निम्न समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे :
x + 2y = 1 एवं (a – b) x + (a + b)y = a + b – 2
हल:
x + 2y = 1 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2 ….(2)
अनन्तशः अनेक हल होने के लिए,
\(\frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b-2}\)
⇒ a + b = 2a – 2b ⇒ a – 3b = 0 ….(3)
एवं 2a + 2b – 4 = a + b → a + b = 4 ….(4)
⇒ 4b = 4 ⇒ b = \(\frac { 4 }{ 4 } \) = 1 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
b का मान समीकरण (4) में रखने पर,
a + 1 = 4 ⇒ a = 4 – 1 = 3
अत: a एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 1 हैं।

प्रश्न 4.
निम्न प्रश्न क्रमांक (i) से (iv) में p का मान तथा (v) में p एवं के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 3x – y – 5 = 0 एवं 6x – 2y – p = 0. यदि इन समीकरणों से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर समानान्तर हों।
(ii) -x + py = 1 एवं px – y = 1, यदि समीकरण युग्म का कोई हल न हो।
(iii) – 3x + 5y = 7 एवं 2px -3y = 1, यदि इस समीकरण युग्म से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर एक अद्वितीय बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हों।
(iv) 2x + 3y – 5 = 0 एवं px – 6y – 8 = 0 यदि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल हो।
(v) 2x + 3y = 7 एवं 2px + py = 28 – qy, यदि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल हों।
हल:
(i) 3x – y – 5 = 0 ….(1)
6x – 2y – p = 0 …..(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ समानान्तर होंगी,
यदि \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ≠ \(\frac { 5 }{ p } \)
⇒ p ≠ 10
अतः p का अभीष्ट मान कोई भी वास्तविक संख्या होगी केवल 10 को छोड़कर।

(ii) -x + py = 1 ….(1)
px – y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा यदि
\(\frac{-1}{p}=\frac{p}{-1} \neq \frac{1}{1}\)
⇒ p² = 1 ⇒ p = ± 1 लेकिन p ≠ -1
अतः p का अभीष्ट मान 1 होगा।

(iii) -3x + 5y = 7 ….(1)
2px – 3y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ एक अद्वितीय बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करेंगी यदि
\(\frac{-3}{2 p} \neq \frac{5}{-3} \Rightarrow 10 p \neq 9 \Rightarrow p \neq \frac{9}{10}\)
अतः \(\frac { 9 }{ 10 } \) को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।s

(iv) 2x + 3y – 5 = 0 ….(1)
px – 6y – 8 = 0 ….(2)
समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा यदि
\(\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6} \Rightarrow 3 p \neq-12 \Rightarrow p \neq-4\)
अतः -4 को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।

(v) 2x + 3y = 7 …(1)
2px + py = 28 – qy
⇒ 2px + (p + q) y = 28 …(2)
समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे

अतः p एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 8 है।

प्रश्न 5.
दो सीधे रास्ते समीकरण युग्म x-3y = 2 एवं- 2x + 6y = 5 के द्वारा प्रदर्शित किए हैं। जाँच कीजिए कि ये रास्ते एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं।
हल:
चूँकि x – 3y = 2 ….(1)
एवं -2x + 6y = 5 ….(2)

अतः दोनों रास्ते परस्पर समान्तर होंगे और परस्पर किसी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

प्रश्न 6.
निम्न आयत में x एवं के मान ज्ञात कीजिए :

हल:
चूँकि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए
x + 3y = 13 ….(1)
3x + y = 7 ….(2)
समीकरण (2) को (3) से गुणा करने पर,
9x + 3y = 21 ….(3)
⇒ 8x = 8 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
⇒ x = \(\frac { 8 }{ 8 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1 + 3y = 13 ⇒ 3y = 13 – 1 = 12
⇒ y = \(\frac { 12 }{ 3 } \) = 4
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1 एवं 4 हैं।

प्रश्न 7.
निम्न समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
(i) x + y = 3.3; \(\frac { 0.6 }{ 3x-2y } \) = -1; जहाँ 3x – 2y ≠ 0
(ii) \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4; \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4
(iii) 4x + \(\frac { 6 }{ y } \) = 15; 6x – \(\frac { 8 }{ y } \) = 14, जहाँ y ≠ 0
(iv) \(\frac { 1 }{ 2x } \) – \(\frac { 1 }{ y } \) = -1; \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = 8, जहाँ x,y ≠ 0
(v) \(\frac { 2xy }{ x+y } \) = \(\frac { 3 }{ 2 } \); \(\frac { xy }{ 2x-y } \) = \(\frac { -3 }{ 10 } \) जहाँ x + y ≠ 0, 2x – y ≠ 0
हल:
(i) चूंकि x + y = 3.3 …..(1)
एवं \(\frac{0 \cdot 6}{3 x-2 y}=-1 \Rightarrow 3 x-2 y=-0 \cdot 6\) …..(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 6.6 …..(3)
⇒ 5x = 6 [समीकरण (3) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 6 }{ 5 } \) = 1.2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1.2 + y = 3.3 ⇒ y = 3.3 – 1.2 = 2.1
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1.2 एवं 2.1 हैं।

(ii) चूंकि \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4 ⇒ 4x + 3y = 48 ….(1)
एवं \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4 ⇒ 20x – 3y = 96 ….(2)
⇒ 24x = 144 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 144 }{ 24 } \) = 6
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
4 × 6 + 3y = 48 ⇒ 24 + 3y = 48
⇒ 3y = 48 – 24 = 24 ⇒ y = \(\frac { 24 }{ 3 } \) = 8
अतः x एवं y के अभीष्ट मान = 6 एवं 8 हैं।

समीकरण (3) को 4 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर,
16x + 24z = 60 …..(5)
18x – 24z = 42 …..(6)
⇒ 34x = 102
⇒ x = \(\frac { 102 }{ 34 } \) = 3
x का मान समीकरण (3) में रखने पर,
4 × 3 + 6z = 15 ⇒ 12 + 3z = 15
⇒ 6z = 15 – 12 = 3 ⇒ z \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
z = \(\frac { 1 }{ y } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अतः x एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 2 हैं।

समीकरण (3) को 2 से गुणा करने पर,
2p – 4q = -4 …(5)
⇒ 5q = 20 [समीकरण (4)- समीकरण (5) से]

अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 6 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
3p – 6(-\(\frac { 2 }{ 3 } \)) = 10 ⇒ 3p + 4 = 10
⇒ 3p = 10 – 4 = 6 ⇒ p = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 3 }{ 2 } \) हैं।

प्रश्न 8.
समीकरण युग्म \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) -1 = 0 एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 को हल कीजिए और यदि y = λx + 5 तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूंकि \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) – 1 = 0 ⇒ x + 2y = 10 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 ⇒ 3x + 4y = 360 ….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 4y = 20 …(3)
⇒ x = 340 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
340 + 2y = 10 ⇒ 2y = 10 – 340 = -330
⇒ y = \(\frac { -330 }{ 2 } \) = -165
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः 340 और – 165 हैं।
अब y = λx + 5 में x और y के मान रखने पर,
– 165 = λ × 340 + 5
⇒ 340λ = – 165 – 5 = – 170
⇒ λ = \(\frac { -170 }{ 340 } \) = – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः λ का अभीष्ट मान –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या निम्न रैखिक समीकरण युग्मों का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 2x + 4y = 3; 12y + 6x = 6
(ii) x = 2y; y = 2x
(iii) 3x + y – 3 = 0; 2x + \(\frac { 2 }{ 3 } \) y = 2
हल:
(i) चूंकि 2x + 4y = 3 ….(1)
एवं 12y + 6x = 6
⇒ 6x + 12y = 6

अतः हाँ, समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं है।

(ii) चूंकि x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
एवं y = 2x ⇒ 2x – y = 0 ….(2)

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

प्रश्न 2.
क्या निम्नलिखित समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करती हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 3x + \(\frac { 1 }{ 7 } \)y = 3; 7x + 3y = 7
(ii) -2x – 3y = 1; 6y + 4x = -2
(iii) \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ; 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) = 0
हल:

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(ii) चूंकि -2x – 3y = 1 ⇒ 2x + 3y = – 1 ….(1)
एवं 6y + 4x = -2 = 4x + 6y = -2 ….(2)

अतः हाँ, यह समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(iii) चूंकि \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ⇒ 5x + 10y + 4 = 0 ….(1)

एवं 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) ⇒ 64x + 128y + 5 = 0 …..(2)

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म समान्तर रेखाओं को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 3.
क्या निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) – 3x – 4y = 12; 4y + 3x = 12
(ii) \(\frac { 3 }{ 5 } \) x – y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ;\(\frac { 1 }{ 5 } \) x – 3y = \(\frac { 1 }{ 6 } \)
(iii) 2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0
(iv) x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22
हल:
(i) चूंकि – 3x – 4y = 12 ⇒ 3x + 4y = – 12 ….(1)
एवं 4y + 3x = 12 = 3x + 4y = 12 ……(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं।

अतः हाँ, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।
(iii) चूंकि 2ax + by = a ….(1)
4ax + 2by – 2a = 0
⇒ 4ax + 2by = 2a ….(2)

अत: हाँ, यह रैखिक समीकरण युग्म आश्रित संगत है और इसके अनन्तशः अनेक हल हैं।
(iv) चूंकि x + 3y = 11 ….(1)
एवं 2(2x + 6y) = 22 ⇒ 2x + 6y = 11 ….(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 4.
“समीकरण युग्म λx + 3y =-7; 2x + 6y =14 के अनन्तशः अनेक हल होंगे के लिए का मान 1 होना चाहिए,” क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
हल:
चूंकि λx + 3y = -7 ….(1)
एवं 2x + 6y = 14 ….(2)


अतः कथन असत्य हैं, क्योकि λ = 1 पर रैखिक समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा।

प्रश्न 5.
c के सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरण युग्म x – 2y = 8; 5x – 10y = c का एक अद्वितीय हल होगा। प्रमाणित कीजिए कि कथन सत्य है या असत्य।
हल:
चूँकि x – 2y = 8 ….(1)
एवं 5x – 10y = c ….(2)
एवं \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{5}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{c}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः कथन असत्य है, क्योंकि के किसी भी मान के लिए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल नहीं होगा।

प्रश्न 6.
“समीकरण x = 7 के द्वारा प्रदर्शित रेखा x – अक्ष के समान्तर होगी।” पुष्टि कीजिए कि उक्त कथन सत्य है या नहीं:
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि x = 7 y – अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण है जो x – अक्ष पर लम्ब होती है। अत: इस पर समान्तर नहीं हो सकती।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
समीकरण युग्म 6x – 3y + 10 = 0 एवं 2x – y + 9 = 0 ग्राफ पर दो रेखाएँ प्रदर्शित करती हैं जो :
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(b) दो निश्चित बिन्दुओं पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(c) सम्पाती होती हैं
(d) समान्तर होती हैं।
उत्तर:
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 2y + 5 = 0 एवं -3x – 6y + 1 = 0 के होंगे:
(a) एक अद्वितीय हल
(b) दो निश्चित हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 3.
यदि एक समीकरण युग्म संगत है तो रेखाएँ होंगी :
(a) समान्तर
(b) सदैव सम्पाती
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती
(d) सदैव प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती

प्रश्न 4.
समीकरण युग्म y = 0 और y = -7 के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तश: अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 5.
समीकरण युग्म x = a एवं y = b ग्राफीय रूप से रेखाएँ प्रदर्शित करता है जो होती हैं :
(a) समान्तर
(b) (b, a) पर प्रतिच्छेदी
(c) सम्पाती
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 सम्पाती रेखाएँ प्रदर्शित करेगा?
(a) \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(b) – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(c) 2
(d) -2
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 7.
समीकरण 3x + 2ky = 2 एवं 2x + 5y + 1 = 0 रेखाएँ समान्तर हैं तो k का मान होगा :
(a) – \(\frac { 5 }{ 4 } \)
(b) \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)
(d) \(\frac { 3 }{ 2 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)

प्रश्न 8.
c का मान जिसके लिए समीकरण युग्म cx – y = 2 एवं 6x – 2y = 4 के अनन्तशः अनेक हल होंगे:
(a) 3
(b) -3
(c) -12
(d) कोई मान नहीं।
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरण युग्म में से एक समीकरण -5x + 7y = 2 है, तो दूसरा समीकरण होगा:
(a) 10x + 14y + 4 = 0
(b) – 10x – 14y + 4 = 0
(c) – 10x + 14y + 4 = 0
(d) 10x – 14y = -4.
उत्तर:
(d) 10x – 14y = -4.

प्रश्न 10.
एक रैखिक समीकरण यग्म जिसका अद्वितीय हल x = 2. y = -3 है, होगा :
(a) x + y = – 1; 2x – 3y = -5
(b) 2x + 5y = – 11; 4x + 10 y = 22
(c) 2x – y = 1; 3x + 2y = 0
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0
उत्तर:
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0

प्रश्न 11.
यदि x = a, y = b समीकरण युग्म x – y = 2 एवं x + y = 4 तब a और b के मान होंगे क्रमशः:
(a) 3 और 5
(b) 5 और 3
(c) 3 और 1
(d) -1 और -3
उत्तर:
(c) 3 और 1

प्रश्न 12.
अन्ना के पास केवल ₹1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि सिक्कों की कुल संख्या जो उसके पास हैं, 50 है जिनका कुल मूल्य ₹75 है तब ₹1 और ₹2 के सिक्कों की संख्या होगी क्रमशः:
(a) 35 और 15
(b) 35 और 20
(c) 15 और 35
(d) 25 और 25
उत्तर:
(d) 25 और 25

प्रश्न 13.
एक पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र से 6 गुनी है। चार वर्ष बाद पिता की उम्र अपने पुत्र की उम्र से चार गुनी हो जाएगी। पुत्र एवं पिता की वर्तमान उम्र (वर्षों में) क्रमशः है:
(a) 4 और 24
(b) 5 और 30
(c) 6 और 36
(d) 3 और 18
उत्तर:
(c) 6 और 36

प्रश्न 14.
समीकरण युग्म 5x – 15y = 8 और 3x – 9y = \(\frac { 24 }{ 5 } \) के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(c) अनन्तशः अनेक हल

प्रश्न 15.
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि इसमें 27 जोड़ दिया जाए तो संख्या के अंक उलट जाते हैं। यह संख्या है –
(a) 25
(b) 72
(c) 63
(d) 36
उत्तर:
(d) 36

प्रश्न 16.
जब \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) हो. तो समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0: (2019)
(a) के दो हल होंगे
(b) को कोई हल नहीं होगा
(c) के अनंत अनेक हल होंगे
(d) का अद्वितीय हल होगा।
उत्तर:
(b) को कोई हल नहीं होगा

प्रश्न 17.
x – 2y = 0 और 2x + 4y – 20 = 0 रेखाएँ:(2019)
(a) प्रतिच्छेद करती हैं
(b) संपाती हैं
(c) समान्तर हैं
(d) इनमे से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) प्रतिच्छेद करती हैं

रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक ऐसा समीकरण, जिसका आलेख एक सरल रेखा होता है ………….. समीकरण कहलाता है।
उत्तर:
रैखिक

प्रश्न 2.
रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का आलेख एक ………….. रेखा है।
उत्तर:
सरल

प्रश्न 3.
x एवं’ का मान युग्म (x, y) जो दिए हुए समीकरण ax + by + c = 0 को सन्तुष्ट करता है, उस समीकरण का ………….. कहलाता है।
उत्तर:
हल

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल होता है, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 5.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई भी हल नहीं होता, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
असंगत।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

1. समीकरण x + 2y = 5 में यदि x = 1, तो y = 2 होगा।
2. वर्ग समीकरण का आरेख एक सरल रेखा होती है।
3. रैखिक समीकरण युग्म के कोई हल नहीं हो सकते या एक अद्वितीय हल हो सकता है अथवा अनन्तशः अनेक हल भी हो सकते हैं।
4. समीकरण युग्म x = a एवं y = b दो समान्तर रेखाओं को निरूपित करते हैं।
5. ax + by + c = 0 प्रकार के समीकरण रैखिक युगपद समीकरण होते हैं।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है, जिसका कोई हल न हो?
उत्तर:
असंगत

प्रश्न 2.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है जिसका कोई हल होता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 3.
जिस समीकरण का आलेख एक सरल रेखा हो, वह क्या कहलाता है?
उत्तर:
रैखिक समीकरण

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय के अनन्तशः अनेक हल हों, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
सम्पाती रेखाएँ

प्रश्न 5.
जब किसी समकरण निकाय का कोई अद्वितीय हल हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
प्रतिच्छेदी रेखाएँ

प्रश्न 6.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल न हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
समान्तर रेखाएँ

प्रश्न 7.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अद्वितीय हल

प्रश्न 8.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
कोई हल नहीं

प्रश्न 9.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अनन्ततः अनेक हल।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

प्रश्न 1.
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिए हुए शंकु छिन्नक की ऊँचाई h = 14 cm, वृत्ताकार सिरों के व्यास क्रमशः d₁ = 2r₁ = 4 cm एवं d₂ = 2r₂ = 2 cm
r₁ = \(\frac { 4 }{ 2 }\) = 2 cm एवं r₂ = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm है।
चूँकि शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh[r₁² + r₂² + r₁r₂]
⇒ गिलास की धारिता = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) x 14[(2)² + (1)² + (2) (1)]
= \(\frac { 44 }{ 3 }\)[4+1+2]
= \(\frac { 308 }{ 3 }\)
= \(102\frac { 2 }{ 3 }\) cm³
अतः, गिलास की अभीष्ट धारिता \(102\frac { 2 }{ 3 }\) cm³

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियों) 18 cm एवं 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = 4 cm एवं वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) क्रमश: C₁ = 18 cm एवं C₂ = 6 cm दिये गये हैं।
चूँकि छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(l\left[\frac{C_{1}+C_{2}}{2}\right]\)
\(S_{c}=4\left[\frac{18+6}{2}\right]\)
= 4 x \(\frac { 24 }{ 2 }\)
= 4 x 12
= 48 cm²
अतः, शंकु के छिन्नक का अभीष्ट वक्र पृष्ठीय शेषफल = 48 cm² है।

प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि.इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm तथा ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए शंकु के छिन्नकाकार टोपी की तिर्यक ऊँचाई l = 15 cm, सिरों की त्रिज्याएँ r₁ = 10 cm एवं r₂ = 4 cm दी हैं।
चूँकि शंकु के छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C = πl(r₁ + r₂)
S_C = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 15(10 + 4)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 15 x 14
= 660 cm²
ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल

टोपी के पदार्थ का कुल क्षेत्रफल

अतः, टोपी के पदार्थ का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(710 \frac{2}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 4.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। Rs 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के – लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मल्य Rs 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

मान लीजिए कि धातु की चादर से बने एक छिन्नक के आकार के बर्तन की ऊँचाई h= 16 cm
ऊपरी एवं निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 20 cm एवं r₂ = 8 cm हैं।
छिन्नक का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh[r₁² + r₂² + r₁r₂]
V = \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 3.14 x 16 [(20)² + (8)² + 20 x 8]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 50.24 [400 + 64 + 160]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 50.24 x 624
= \(\frac{31349.76}{3} \mathrm{cm}^{3}\)
छिन्नक का आयतन = 10449.92 cm³
दूध का आयतन = 10.45 लीटर
दूध का मूल्य = दूध का आयतन x दर
= 10.45 x 20
= Rs 209
अतः, दूध का अभीष्ट मूल्य = Rs 209 है।
सविधा के लिए छिन्नक का एक भाग संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। मान लीजिए PR = l तथा OP = r₁ = 20 cm
एवं O’R = r₂ = 8 cm
तथा OO’ = h = 16 cm (दी है)
तो समकोण ∆RMP में,
MP = OP – OM
= OP – O’R
= r₁ – r₂
= 20 – 8
= 12 cm

एवं MR = OO’ = h = 16 cm
समकोण ∆RMP में पाइथागोरस प्रमेय से,

छिन्नक का वक्रपृष्ठ S. = πl(r₁ + r₂)
S_C = 3.14 x 20(20 + 8)
= 3.14 x 20 x 28
= 1758.4 cm²
वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल = πr₂² = 3.14 x (8)²
= 3.14 x 64
= 200.96 cm²
धातु-चादर का कुल क्षेत्रफल, S_w = 1758.4 + 200.96 = 1959.36
धातु-चादर का मूल्य = धातु-चादर का क्षेत्रफल x दर
= \(\frac{1959 \cdot 36 \times 8}{100}\)
= Rs 156.75
अतः, धातु-चादर का अभीष्ट मूल्य = Rs 156.75 है।

प्रश्न 5.
20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (Vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु-छिन्नक को व्यास \(\frac { 1 }{ 16 }\) cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए ऊँचाई h = PO = 20 cm और शीर्ष कोण ∠OPR = 60° वाले शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों-बीच (मध्य बिन्दु) O’ से जाने वाले आधार के समान्तर तल द्वारा दो भागों में विभक्त किया गया है, जहाँ
PO’ = OO’ = h’ = \(\frac { 20 }{ 2 }\) = 10 cm [जहाँ h’ छिन्नक की ऊँचाई]
∆PQR एक समद्विबाहु ∆ है तथा PO उसका शीर्ष लम्ब
⇒ ∠QPO = ∠SPO’ = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30°
माना OQ = r₁ तथा O’S = r₂


मान लीजिए तार की लम्बाई l cm है तथा व्यास d = 2r = \(\frac { 1 }{ 16 }\) cm
r = \(\frac { 1 }{ 32 }\) cm
तार का आयतन = छिन्नक का आयतन

अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 796444.4 cm या 7964.4 m है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 1.
संलग्न आकृत्ति 6.2
(i) और
(ii) में DE || BC है।
आकृति
(i) में EC और
(ii) में AD ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) ∵
DE || BC

1.5 EC = 1 x 3 = 3
EC = \(\frac { 3 }{ 1.5 }\)
= 2cm
⇒ अतः EC का अभीष्ट मान 2 cm है।

(ii) चूँकि DE || BC

अत: AD का अभीष्ट मान 2.4 cm है।

प्रश्न 2.
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्द E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF || QR है?
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4:5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल :

एक ∆PQR दिया है जिसकी भुजा PQ एवं PR पर क्रमश: E एवं F बिन्दु स्थित हैं। (देखिए संलग्न आकृति)
अब (i) ∵

अतः EF QR के समान्तर नहीं है।

(ii) ∵

अतः EF एवं QR समान्तर हैं।

(iii) ∵

अत: EF एवं QR समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.4 में यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।
हल :

चूँकि ∆ABC में LM || CB (दिया है)
\(\frac{A M}{A B}=\frac{A L}{A C}\) …(1)
चूँकि ∆ACD में, LN || CD (दिया है)

[समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.5 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :

चूँकि ∆BAC में, DE || AC (दिया है)
\(\frac{B E}{E C}=\frac{B D}{D A}\) ……(1)
चूँकि ∆BAE में, DF || AE (दिया है)

(समीकरण (1) एवं (2) से)
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.6 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
हल :

चूँकि ∆PQO में, ED || QO (दिया है)
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) …(1)
चूँकि ∆POR में, DF || OR (दिया है)

[समीकरण (i) एवं (ii) से]
⇒ EF, ∆PQR की भुजाओं PQ एवं PR को क्रमशः E और F पर समानुपात में विभाजित कर रही है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.7 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR.
हल :

चूँकि ∆OPQ में, AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O A}{A P}\) …(1)
चूँकि ∆OPR में AC || PR (दिया है)

[समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∆OQR की भुजाओं OQ एवं OR को BC क्रमशः B और C पर समानुपात में विभाजित कर रही है।
BC || QR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
हल :

मान लीजिए ∆POR एक दिया हुआ त्रिभुज है जिसकी भुजा PQ के मध्य-बिन्दु S से ST||QR एक रेखा खींची गई है जो PR को बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती है। (देखिए संलग्न आकृति 6.8) चूँकि S, PQ का मध्य-बिन्दु दिया है।
PS = SQ
⇒\(\frac { PS }{ SQ }\) ..(1)
चूँकि ∆PQR में, ST||QR

[समीकरण (1) एवं (2) से] .
PT = TR
⇒ ST, PR को समद्विभाजित करती है।
अतः किसी त्रिभुज में एक भुजा के मध्य-बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
हल :

मान लीजिए ∆PQR एक दिया हुआ त्रिभुज है, जिसकी भुजाओं PQ और PR के मध्य-बिन्दु क्रमशः S एवं T हैं। ST को मिलाया गया है। (देखिए संलग्न आकृति)
चूँकि PS = SQ एवं PT = TR (दिया है)
\(\frac { PS }{ SQ }=1\) …(1)
\(\frac { PT }{ TR }\) ….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
⇒ \(\frac{P S}{S Q}=\frac{P T}{T R}\) (समानुपाती हैं)
⇒ रेखा ST, ∆POR की दो भुजाओं PQ एवं PR को क्रमशः S एवं T बिन्दुओं पर 1 : 1 के समानुपात में विभाजित करती है।
⇒ ST || QR (प्रमेय : 6.2 से)
अतः एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल :

ABCD एक चतुर्भुज दिया है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर O बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
त्रिभुज OAB एवं त्रिभुज OCD में,
∠AOB = ∠COD [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
\(\) [समानुपात में हैं।
[ये बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒ ∆OAB ~ ∆OCD [SAS समरूपता]
⇒ ∠OAB = ∠OCD [संगत कोण बराबर होते हैं।]
लेकिन ये एकान्तर कोण हैं।
⇒ AB || DC
अतः ABCD एक समलम्ब है।
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :

1. 140
2. 156
3. 3825
4. 5005
5. 7429

हल :

1. 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5¹ × 7¹ उत्तर
2. 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3¹ × 13¹ उत्तर
3. 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17¹ उत्तर
4. 5005 = 5 × 7 × 11 × 13 = 5¹ × 7¹ × 11¹ × 13¹ उत्तर
5. 7429 = 17 × 19 × 23 = 17¹ × 19¹ × 23¹ उत्तर

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है :
(i) 26 और 91
(ii)510 और 92
(iii) 336 और 54
हल:
(i) 26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
HCF = 13
उत्तर LCM = 2 × 7 × 13 = 182
उत्तर अब HCF (26,91) × LCM (26,91)= 13 × 182 = 2366
एवं 26 × 91 = 2366
अत: HCF (26, 91) × LCM (26,91) = 26 × 91 सत्यापित

(ii) 510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
HCF = 2 उत्तर
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460 उत्तर
अब HCF (510, 92) × LCM (510, 92)= 2 × 23460 = 46920
एवं 510 × 92 = 46920
अत:, HCF (510, 92) × LCM (510, 92) = 510 × 92 सत्यापित

(iii) 336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
HCF = 2 × 3 = 6 उत्तर
LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024 उत्तर
अब HCF (336,54) × LCM (336,54) = 6 × 3024 = 18144
एवं 336 × 54 = 18144
अतः HCF (336,54) × LCM (336,54) = 336 × 54 सत्यापित

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8,9 और 25
हल :
(i) 12 = 2 × 2 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 420
अतः, अभीष्ट HCF = 3 एवं LCM = 420

(ii) 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
अतः अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 11339 उत्तर

(iii) 8 = 1 × 2 × 2 × 2
9 = 1 × 3 × 3
25 = 1 × 5 × 5
HCF = 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 1800
अतः, अभीष्ट HCF = 1 एवं LCM = 1800 उत्तर

प्रश्न 4.
HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :
LCM (306, 657) × HCF (306, 657) = 306 × 657
⇒ LCM (306, 657) = \(\frac{306 \times 657}{9}\)
[∵ HCF (306, 657) = 9 दिया है।
⇒ LCM (306, 657)= \(\frac { 201042 }{ 9 } \) = 22338
अतः, अभीष्ट LCM (306, 657) = 22338 उत्तर

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?
हल :
हम जानते हैं कि 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ का गुणनखण्ड 5 नहीं है, अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6n संख्या अंक 0 पर समाप्त नहीं होगी क्योंकि 0 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ 5 से विभाज्य होती हैं और यह संख्या 5 से विभाज्य नहीं है।
अतः, ऐसी कोई संख्या n नहीं है जिसके लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त होगी। उत्तर

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल :
7 × 11 × 13 + 13 = 13 (7 × 11 + 1) = 13 × 78
जो एक भाज्य संख्या है।
एवं 7 × 6 × 5 × 4 × 3× 2 × 1 + 5 = 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009
जो एक भाज्य संख्या है।
अतः, दी हुई दोनों संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं। उत्तर

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :
18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3²
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹
LCM (18, 12) = 2² × 3² = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
अतः, वे पुन: 36 मिनट बाद प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह –
अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) जहाँ b ≠ 0
⇒ b \(\sqrt { 5 }\) = a ⇒ 5b² = a² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
अत: a²,5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है।
अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक हैं।
⇒ 5b² = (5c)² = 25c² ⇒ b² = 5c²
अत: b²,5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।
लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि 3 + 2\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अतः हम ऐसी दो सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ a और b (b + 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 3 ⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \)
चूँकि a और b दो पूर्णांक हैं, जहाँ b ≠ 0
अतः \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी लेकिन यह इस तथ्य के विरोधाभासी है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः, इससे निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7 \(\sqrt { 5 }\)
(iii) 6 + \(\sqrt { 2 }\)
हल:
(i) हम इसके विपरीत यह मान लें कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य अशून्य पूर्णांक संख्याएँ a और b ज्ञात कर सकते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { b }{ a } \), जहाँ a और b पूर्णांक हैं
इसलिए \(\frac { b }{ a } \) एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

(ii) इसके विपरीत हम यह मान लें कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
7\(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 7b } \)
चूँकि 7,a एवं b पूर्णांक हैं। इसलिए \(\frac { a }{ 7b } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धरण

(iii) इसके विपरीत हम यह मान लेते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी पूर्णांक संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
6 + \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 6
यहाँ a, b एवं 6 पूर्णांक हैं इसलिए \(\frac { a }{ b } \) – 6 एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या है।
इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

हल:
(i) चूँकि \(\frac { 1 }{ 2x } \) + \(\frac { 1 }{ 3y } \) = 2 ….(1)
एवं \(\frac { 1 }{ 3x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
मान लीजिए कि \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t हो, तो
\(\frac { s }{ 2 } \) + \(\frac { t }{ 3 } \) = 2 ⇒ 3s + 2t = 12 ….(3)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ⇒ 2s + 3t = 13 ….(4)
समीकरण (3) से t = (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13 समीकरण (4) में रखने पर,
2s + 3 (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13
⇒ 4s + 36 -9s = 26 ⇒ -5s = 26 – 36 = -10
⇒ s = \(\frac { -10 }{ -5 } \) = 2
s का मान समीकरण (3) में रखने पर,
3 × 2 + 2t = 12 ⇒ 2t = 12 – 6 = 6
⇒ t = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
अब \(\frac { 1 }{ x } \) = s = 2 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t = 3 ⇒ y = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = \(\frac { 1 }{ 3 } \) है।

s का मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 9 है।

(iii) चूंकि \(\frac { 4 }{ x } \) + 3y = 14 ….(1)
मान लीजिए \(\frac { 3 }{ x } \) – 4y = 23 ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = z तब
4z + 3y = 14 ….(3)
3z – 4y = 23 ….(4)
⇒ 16z + 12y = 56 ….(5) [समीकरण (3) × 4]
एवं 9z – 12y = 69 …..(6) [समीकरण (5) + समीकरण (6) से]
⇒ z = \(\frac { 125 }{ 25 } \) = 5
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = z = 5 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{4 \times 5}{1}+3 y=14 \Rightarrow 20+3 y=14\)
⇒ 3y = 14 – 20 = -6
⇒ y = \(\frac { -6 }{ 3 } \) = -2
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 1 }{ 5 } \) एवं y = – 2 है।

अब समीकरण (3) से t = 2 – 5s समीकरण (4) में रखने पर प्राप्त होता है :

अब s का मान समीकरण (3) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 5 है।


अब s का मान समीकरण (4) में रखने पर,
8 × 1 + 7t = 15
⇒ 7t = 15 – 8 = 7
⇒ t = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) t = 1 ⇒ x = 1
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

(vi) चूंकि 6x + 3y = 6xy ⇒ \(\frac { 6 }{ y } \) + \(\frac { 3 }{ x } \) = 6 ….(1)
एवं 2x + 4y = 5xy ⇒ \(\frac { 2 }{ y } \) + \(\frac { 4 }{ x } \) = 5 ….(2) [दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर]
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x } \) = t
⇒ 6s + 3t = 6 ….(3)
2s + 4t = 5 ….(4)
⇒ 6s + 12t = 15 ….(5) [समीकरण (4) × 3 से]
⇒ 9t = 9 ⇒ t = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (3) से]
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = t = 1 ⇒ x = 1
[∵ \(\frac { 1 }{ x } \) = t माना है]
t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
6s + 3 × 1 = 6 ⇒ 6s = 6 – 3 = 3
⇒ s = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ y } \) = s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अब दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 2 है।

(vii) चूंकि
\(\frac { 10 }{ x+y } \) + \(\frac { 2 }{ x-y } \) = 4 ….(1)
एवं \(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\) ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x+y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x-y } \) = t
⇒ 10s + 2t = 4 ….(3)
एवं 15s – 5t = -2 ….(4)
⇒ 30s + 6t = 12 …..(5) [समीकरण (3) × 3 से]

t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
10s + 2 × 1 = 4
⇒ 10s = 4 – 2 = 2

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 3 एवंy = 2 है।

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकती हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा ?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल xkm/hr एवं धारा की चाल ykm/hr है,
तो प्रश्नानुसार, 2 (x + y) = 20 [∵ समय × चाल = दूरी] ….(1)
⇒ x + y = 10 ….(1)
एवं 2 (x – y) = 4 [∵ समय × चाल = दूरी]
⇒ x – y = 2 ….(2)
⇒ 2x = 12 ⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 km/hr [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
एवं 2y = 8 ⇒ y = \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 km/hr [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की अभीष्ट चाल = 6 km/hr एवं धारा की अभीष्ट चाल = 4 km/hr है।

(ii) माना एक महिला अकेले एक कसीदे के कार्य को x दिन में तथा एक पुरुष अकेले उसी कार्य को । दिन में करते हैं, तो प्रश्नानुसार,



अतः एक अकेली महिला अभीष्ट कार्य को करने में 18 दिन लेगी तथा पुरुष अकेला उसी कार्य को 36 दिन में करेगा।

(ii) माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr तथा बस की चाल y km/hr है,
जब रूही 60 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो बस द्वारा 300 – 60 = 240 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल 4 घण्टे का समय लगेगा।
अतः \(\frac { 60 }{ x } \) + \(\frac { 240 }{ y } \) = 4 ⇒ \(\frac { 15 }{ x } \) + \(\frac { 60 }{ y } \) = 1
जब रूही 100 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो
बस द्वारा 300 – 100 = 200 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल समय = 4 घण्टे 10 मिनट लगेंगे अर्थात् 4 \(\frac { 10 }{ 60 } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \) घण्टे
अतः \(\frac { 100 }{ x } \) + \(\frac { 200 }{ y } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \)
⇒ \(\frac { 24 }{ x } \) + \(\frac { 48 }{ y } \) = 1 ….(2)
माना लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t तब
15s + 60t = 1 ⇒ 15s + 60t – 1 = 0 ….(3)
एवं 24s + 48t = 1 ⇒ 24s + 48t – 1 = 0 ….(4)

अतः रेलगाड़ी एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 60 km/hr एवं 80 km/hr है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।” (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि आफताब एवं उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है, तो
प्रश्नानुसार,
(x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0 …(1)
एवं (x + 3)= 3 (y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0 …(2)
यह स्थिति मनोरंजक भी हैतथा गणितीय तथ्यपरक है। इस स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है।
x – 7y + 42 = 0 एवं x – 3y – 6 = 0
ग्राफीय निरूपण के लिए :
∵ x – 7y + 42 = 0 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 42+x }{ 7 } \)

चूँकि x – 3y – 6 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 3 } \)

उपर्युक्त आकृति अभीष्ट ग्राफीय निरूपण है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1 बल्ले एवं 1 गेंद का मूल्य क्रमशः ₹ x तथा ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 3x + 6y = 3900
⇒ x + 2y = 1300
एवं x + 3y = 1300 अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
x + 2y = 1300 …(1) एवं x + 3y = 1300 …(2)
जहाँ x एवं y क्रमशः 1 बल्ले और 1 गेंद के मूल्य (₹ में) हैं।
ज्ञातव्य – उपर्युक्त स्थितियाँ व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त हैं। ये तभी सम्भव हो सकती हैं जबकि प्रत्येक गेंद मुफ्त में मिल रही हो अथवा मूल्य में परिवर्तन हुआ हो।
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिएः
चूँकि x + 2y = 1300 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 2 } \)

एवं x + 3y = 1300 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 3 } \)

अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

प्रश्न 3.
2 kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि 1 किलो सेब एवं 1 किलो अंगूर का मूल्य क्रमश: ₹ x एवं ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 2x + y = 160 ….(1)
एवं 4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 ….(2)
अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
2x + y = 160 ..(1) 2x + y = 150 …(2)
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिए:
चूँकि 2x + y = 160 ….(1)
⇒ y = 160 – 2x

एवं 2x + y = 150 ….(2)
⇒ y = 150 – 2x

आकृति 3.3
अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3
इसलिए b² – 4ac = (-7)² – 4 (2) (3) = 49 – 24 = 25 > 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं 3 हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = -4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (-4) = 1 + 32 = 33
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4 \(\sqrt { 3 }\), c = 3
इसलिए b² – 4ac = (4\(\sqrt { 3 }\))² (4) (3) = 48 – 48 = 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब 4x² + 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
⇒ (2x)² + 2 (2x) (\(\sqrt { 3 }\)) + (\(\sqrt { 3 }\))² = 0
(2x + \(\sqrt { 3 }\))² = 0
⇒ 2x + \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (4) = 1 – 32 = -31 < 0
अत: मूलों का कोई अस्तित्त्व नहीं है।
अतः समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न (द्विघात) समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3

अतः दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल 3 एवं \(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1, एवं c = – 4

अतः द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4\(\sqrt { 3 }\) एवं c = 3

अत: दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) और \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4

चूँकि \(\sqrt { -31 }\) एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अत: वर्ग समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac { 1 }{ x+4 } \) – \(\frac { 1 }{ x-7 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \), x ≠ -4,7
हल:
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3 ⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0, यहाँ a = 1, b = -3 एवं c = -1

अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\) है।

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\)
⇒ 30 (x – 7) – 30 (x + 4) = 11 (x + 4) (x – 7)
⇒ 30x – 210 – 30x – 120 = 11 (x² – 7x + 4x – 28)
⇒ -330 = 11 (x² – 3x – 28)
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – x – 2x + 2 = 0
⇒ x (x – 1)- 2 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x – 2) = 0
या तो x – 1 = 0 ⇒ x = 1
अथवा x – 2 = 0 ⇒ x = 2
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 1 और 2 हैं।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac { 1 }{ 3 } \) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
\(\frac { 1 }{ x-3 } \) + \(\frac { 1 }{ x+5 } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
⇒ 3 (x + 5) + 3 (x – 3) = (x – 3) (x + 5)
⇒ 3x + 15 + 3x – 9 = x² + 5x – 3x – 15
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² – 4x – 21 = 0
⇒ x² – 7x + 3x – 21 = 0
⇒ x (x – 7) + 3 (x – 7) = 0
⇒ (x – 7) (x + 3) = 0
या तो x + 3 = 0 ⇒ x = -3 (जो असम्भव है)
अथवा x – 7 = 0 ⇒ x = 7
अतः रहमान की अभीष्ट आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, उनके अंकों को गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए तो उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x
चूँकि दोनों विषयों के अंकों का योग 30 दिया गया है।
अब प्रश्नानुसार, (x + 2) × (30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2)(27 – x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 -2x = 210
⇒ x² – 25x + 156 = 0
⇒ x² – 12x – 13x + 156 = 0
⇒ x (x – 12)- 13 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x – 13) = 0
या तो (x – 12) = 0 ⇒ x = 12
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
जब गणित में x = 12 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – x = 30 – 12 = 18 अंक प्राप्त होंगे और जब गणित में x = 13 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – 13 = 17 अंक प्राप्त होंगे
अत: गणित एवं अंग्रेजी में प्राप्त अभीष्ट अंक क्रमशः 12 एवं 18 अथवा 13 एवं 17 होंगे।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आयताकार खेत की छोटी भुजा x मी. है तो प्रश्नानुसार विकर्ण = (x + 60) मी. एवं
बड़ी भुजा = (x + 30) मी.
अब पाइथागोरम प्रमेय से,
(विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + (x)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + 60x + 900 + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x (x – 90) + 30 (x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
या तो x + 30 = 0 ⇒ x = – 30 जो असम्भव है।
अथवा x – 90 = 0 ⇒ x = 90 मी.
⇒ छोटी भुजा = x = 90 मी.
एवं बड़ी भुजा = x + 30 = 90 + 30 = 120 मी.
अत: आयताकार खेत की अभीष्ट भुजाएँ 120 मी. एवं 90 मी. है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बड़ी संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
(छोटी संख्या)² = 8x ⇒ छोटी संख्या = \(\sqrt { 8x }\)
एवं x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x = 180 = 0
⇒ x² – 18x + 10x – 180 = 0
⇒ x(x – 18) + 10 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 10) = 0
यातो x – 18 = 0 ⇒ x = 18 बड़ी संख्या
तो छोटी संख्या = \(\sqrt{8 x}=\sqrt{8 \times 18}=\sqrt{144}=\pm 12\)
अथवा x + 10 = 0 ⇒ x = -10 जो असम्भव है।
अत: अभीष्ट संख्याएँ या तो 18 और 12 अथवा 18 और – 12 हैं।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाडी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल x km/h है तो 360 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 360 }{ x } \) h
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { 360 }{ x+5 } \) = \(\frac { 360 }{ x } \) = 1
⇒ 1 = \(\frac { 360 }{ x } \) – \(\frac { 360 }{ x+5 } \)
⇒ x (x + 5) = 360 (x + 5) – 360 (x)
⇒ x² + 5x = 360x + 1800 – 360x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0
⇒ x(x + 45) – 40 (x + 45) = 0
⇒ (x + 45) (x – 40) = 0
या तो x + 45 = 0 ⇒ x = -45 जो असम्भव है।
अथवा x – 40 = 0 ⇒ x = 40
अतः रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 40 km/h है।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए छोटा नल हौज को भरने में x घण्टे लेता है तो बड़ा नल उस हौज को भरने में (x – 10) घण्टे लेगा। दोनों मिलकर उस हौज को भरने में 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) = \(\frac { 75 }{ 8 } \) घण्टे लेते हैं। 1 घण्टे में छोटा नल \(\frac { 1 }{ x } \) हौज तथा बड़ा नल \(\frac { 1 }{ x-10 } \) हौज भरेगा तथा 1 घण्टे में कुल \(\frac { 8 }{ 75 } \) हौज भरेगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ x-10 } \) = \(\frac { 8 }{ 75 } \)
⇒ 75 (x – 10) + 75x = 8x (x – 10)
⇒ 75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
⇒ 8x² – 150x – 80x + 750 = 0
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
⇒ 8x² – 200x – 30x + 750 = 0
⇒ 8x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (8x – 30) = 0
या तो 8x – 30 = 0 ⇒ x = \(\frac { 30 }{ 8 } \) = \(\frac { 15 }{ 4 } \) = 3.75
घण्टे तब बड़े नल द्वारा लिया समय x – 10 = 3.75 – 10 = – 6:25 घण्टे, जो असम्भव है।
अथवा x – 25 = 0 ⇒ x = 25 घण्टे
तब बड़े नल द्वारा लिया समय = x – 10 = 25 – 10 = 15 घण्टे
अत: दोनों नलों द्वारा हौज को भरने में अलग-अलग लिया गया समय 25 घण्टे एवं 15 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलौर के बीच 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घण्टा कम समय लेती है। (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सवारी गाड़ी की चाल x km/h है तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = (x + 11) km/h 132 km की दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x } \) h एवं एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x+11 } \) h, तब प्रश्नानुसार,
⇒ \(\frac { 132 }{ x } \) – \(\frac { 132 }{ x+11 } \) = 1
⇒ 132x + 132 × 11 – 132x = x (x + 11)
⇒ 132x + 33 × 44 – 132x = x² + 11x
⇒ x² + 11x – 33 × 44 = 0
⇒ x² + 44x – 33x – 33 × 44 = 0
⇒ x(x + 44)-33 (x + 44) = 0
⇒ (x + 44) (x – 33) = 0
या तो x + 44 = 0 ⇒ x = -44 जो असम्भव है।
अथवा x – 33 = 0 ⇒ x = 33 km/h सवारी गाड़ी की चाल
⇒ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = x + 11 = 33 + 11 = 44 km/h
अत: एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 44 km/h एवं सवारी रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 33 km/h.

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि वर्गों के परिमापों का अन्तर = 24 m दिया है तब उनकी भुजाओं का अन्तर = \(\frac { 24 }{ 4 } \) = 6 m
मान लीजिए कि छोटे वर्ग की भुजा x m है
तब बड़े वर्ग की भुजा = (x + 6) m होगी
⇒ क्षेत्रफलों का योग = (x + 6)² + (x)² = 468
⇒ x² + 12x + 36 + 2 = 468
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 12) = 0 या तो
⇒ x + 18 = 0 ⇒ x = -18 जो असम्भव है।
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 m छोटे वर्ग की भुजा
अब बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 m
अतः वर्गों की अभीष्ट भुजाएँ 12 m एवं 18 m हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।
उत्तर:
प्रथम वृत्त की परिधि C₁ = 2πr₁ = 2π (19) cm
द्वितीय वृत्त की परिधि C₂ = 2πr₂ = 2π (9) cm
चूंकि संयुक्त परिधि C = C₁ + C₂
⇒ 2πr = 2π (19) + 2π (9)
= 2π (19 + 9)
= 2π (28) cm
⇒ r = 28 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 28 cm है।

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
हल :
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = π (8)² = 64π
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = π (6)² = 36π
चूँकि संयुक्त क्षेत्रफल A = A₁ + A₂
⇒ πr² = 64π + 36π = 100π
⇒ r² = 100
⇒ r = √100 = 10 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है Gold वाले क्षेत्र का व्यास = 21 सेमी
⇒ त्रिज्या \(r=\frac { 21 }{ 2 }\) = 10.5 cm
तथा प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
⇒ पाँचों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 10.5 cm, r₂ = 21 cm, r₃ = 31.5 cm, r₄ = 42 cm एवं r₅ = 52.5 cm²
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 10.5 x 10.5 = 346.5 cm²
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 21 x 21 = 1386 cm²
तृतीय वृत्त का क्षेत्रफल A₃ = πr₃² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 31.5 x 31.5 = 3118.5 cm²
चतुर्थ वृत्त का क्षेत्रफल A₄ = πr₄² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 42 x 42 = 5544 cm²
पंचम वृत्त का क्षेत्रफल A₅ = πr₅² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 52.5 x 52.5 = 8662.5 cm²
Gold अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₁ = 346.5 cm²
Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₂ – A₁ = 1386 – 346.5 = 1039.5 cm²
Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₃ – A₂ = 3118.5 – 1386 = 1732.5 cm²
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₄ – A₃ = 5544 – 3118.5 = 2425.5 cm²
एवं White क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₅ – A₄ = 8662.5 – 5544 = 3118.5 cm²
अतःअभीष्ट क्षेत्रफलक्रमश: Gold = 346.5 cm², Red = 1039.5 cm², Blue = 1732.5 cm², Black = 2425.5 cm² एवं White = 3118.5 cm² है।

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल :
कार द्वारा 10 मिनट में चली गयी दूरी = \(\frac { 10 }{ 60 }\) x 66 = 11 km = 11000 m
मान लीजिए कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या n हो तो
πd x n = चली गयी दूरी

अभीष्ट चक्करों की संख्या = 4375 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
उत्तर-
(A) 2 मात्रक।
क्योंकि संख्यात्मक रूप में वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त की परिधि
⇒ πr² = 2πr
⇒ r = 2 मात्रक