MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC है। (2018)
(ii) PQ = RS है।
(iii) PORS एक समान्तर चतुर्भुज है।
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चित्र 8.12
हल:
(i) ∆DAC में S और R क्रमशः DA और DC के मध्य-बिन्दु हैं।
अतः SR || AC और SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC.
(ii) ∆BCA में, P और Q क्रमश: AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQ || AC और PO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC .
लेकिन SR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC अथवा RS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC (सिद्ध कर चुके हैं)
अतः PQ = RS. इति सिद्धम्

(iii) PQ || AC एवं PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AC (सिद्ध कर चुके हैं)
RS || AC एवं RS = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC (सिद्ध कर चुके हैं)
PQ || RS एवं PQ = RS (एक ही वस्तु के बराबर और समान्तर आपस में बराबर और समान्तर होते हैं)
अतः PORS एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज है और P Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
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चित्र 8.13
हल:
दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है तथा P, O, R एवं S
क्रमशः AB, BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु हैं।
PR एवं SQ को मिलाइए।
चूँकि AS || BQ एवं AS = BQ
(बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ ABQS एक समान्तर चतुर्भुज है ⇒ AB = SQ
चूँकि AP || DR एवं AP = DR (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ APRD एक समान्तर चतुर्भुज है ⇒ AD = PR
लेकिन AB = AD ⇒ SQ = PR (समचतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं)
अतः चतुर्भुज PORS एक आयत है। (विकर्ण SQ = PR) इति सिद्धम्

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प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए चतुर्भुज PORS एक समचतुर्भुज है।
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चित्र 8.14
हल:
ABCD एक आयत है जिसकी भुजाओं AB,BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और S हैं।
PQ और QS को मिलाइए। चूँकि P, Q, R, S आयत ABCD की संलग्न भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं।
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
चूँकि DR || AP एवं DR = AP (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ DA ||RP|| CB
चूँकि AS || BQ एवं AS = BQ (बराबर एवं समान्तर भुजाओं की आधी है)
⇒ AB || SQ || DC
⇒ RP ⊥ SQ (∵ DA ⊥ AB)
अतः PQRS एक सम चतुर्भुज है। (विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC है। साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिन्दु है। E से होकर एक रेखा AB के समान्तर खींची जाती है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
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चित्र 8.15
हल:
ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, DA के मध्य-बिन्दु E से AB के समान्तर रेखा खींची गई है जो BC को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है। BD समलम्ब चतुर्भुज का एक विकर्ण है। मान लीजिए रेखा EF, DB को बिन्दु G पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि ∆DAB में DA के मध्य-बिन्दु E से EF || AB खींची गई है।
⇒ G भुजा DB का मध्य-बिन्दु होगा।
चूँकि AB || DC एवं AB | | EF (दिया है)
⇒ EF || DC तथा सिद्ध कर चुके है कि G भुजा DB का मध्य-बिन्दु है।
अतः F, भुजा BC का मध्य-बिन्दु होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक समान्तर चतुर्भुज ARCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि रेखाखण्ड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
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चित्र 8.16
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसमें E और F
क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। विकर्ण BD, AF एवं EC क्रमशः P और Q बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
रेखा l || AF एवं रेखा m || EC खींचिए।
चूँकि AB = CD एवं AB || CD के मध्य-बिन्दु क्रमशः E एवं F हैं।
⇒ AE = CF एवं AE || CF (बराबर एवं समान्तर रेखाओं के आधे है)
⇒ □AECF एक समान्तर चतुर्भुज है (समान्तर एवं बराबर रेखायुग्म AE एवं CF है)
⇒ AF || EC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ l || AF || EC [चूँकि AF || EC एवं l || AF (रचना से)]
चूँकि l || AF || EC तिर्यक रेखाखण्ड DC से DF = FC अन्त:खण्ड काटते हैं।
⇒ l || AF || EC तिर्यक रेखाखण्ड DQ से DP = PQ अन्त:खण्ड काटेंगे,
अब AF || EC || m चूँकि AF || EC एवं EC || m (रचना से)]
चूँकि AF || EC || m रेखाखण्ड AB से AE = EB अन्त:खण्ड काटते हैं।
⇒ AF || EC || m रेखाखण्ड PB से PQ = QB रेखाखण्ड काटते हैं,
चूँकि DP = PQ एवं PQ = QB ⇒ DP = PQ = QB.
अतः रेखाखण्ड AF एवं EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं। इति सिद्धम्

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प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर । समद्विभाजित करते हैं।
हल:
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चित्र 8.17
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज जिसकी भुजाओं AB, BC, CD एवं DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और 5 हैं। PR और QS एक-दूसरे को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
PQ, QR, RS, SP एवं BD को मिलाइए।
अब ∆ABD में PS || BD एवं PS = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD (P और S क्रमशः AB और AD के मध्य-बिन्दु हैं)
एवं A CBD में QR || BD एवं QR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)BD (Q और R क्रमशः BC और CD के मध्य-बिन्दु हैं)
⇒ PS || QR एवं PS = QR (PS एवं QR दोनों एक ही रेखाखण्ड BD के समान्तर और आधे हैं)
⇒ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है और PR एवं QS इसके विकर्ण हैं।
⇒ PQ = QR एवं QO = OS (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)
अतः किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से होकर BC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि-
(i) D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(ii) CM = MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB है।
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चित्र 8.18
हल:
ABC एक त्रिभुज दिया गया है जिसमें ∠C समकोण है तथा कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से MD || BC खींची गई है जो AC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है।
(i) चूँकि ∆ABC में AB के मध्य-बिन्दु M से MD || BC खींची गई है।
⇒ MD रेखाखण्ड AC को बिन्दु D पर समद्विभाजित करेगी।
अत: D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है। इति सिद्धम्

(ii) चूँकि MD || BC और BC ⊥AC (∠ACB समकोण दिया है)
अतः MD ⊥ AC. इति सिद्धम्

(iii) CM को मिलाइए।
चूँकि MD ⊥ AC एवं AD = DC
⇒ ∆AMC समद्विबाहु त्रिभुज है
⇒ CM = MA एवं MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB.
अतः CM = MA = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AB. इति सिद्धम्

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