MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 12 हीरोन का सूत्र Ex 12.1

प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर “आगे स्कूल है” लिखा है और यह भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm हो तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
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अब संकेत बोर्ड की परिमाप = 180 cm
⇒ बोर्ड की एक भुजा a = \(\frac { 180 }{ 3 }\) cm = 60 cm
संकेत बोर्ड का क्षेत्रफल ∆ = \(\frac{a^{2}}{4} \sqrt{3}=\frac{(60)^{2}}{4} \sqrt{3}=900 \sqrt{3}\) cm².
अतः संकेत बोर्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 900√3 cm².

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में किसी फ्लाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष ₹ 5,000 प्रति m² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराये
पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?
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चित्र 12.5
हल:
दिया है : त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ क्रमशः a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{122+22+120}{2}=\frac{264}{2}=132 \mathrm{m}\)
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
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⇒ दीवार का क्षेत्रफल = 1320 m²
दीवार का कुल किराया = क्षेत्रफल – किराए की दर x समय
⇒ दीवार का कुल किराया = 1320 x 5000 x \(\frac { 3 }{ 12 }\) = ₹ 16,50,000
अतः कम्पनी द्वारा दिया गया अभीष्ट किराया₹ 16,50,000 है।

प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसलपट्टी (Slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (Side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए पार्क को हरा भरा संलग्न चित्र)। यदि इस दीवार और साफ रखिए की विमाएँ 15 m, 11 m, और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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चित्र 12.6
हल:
मान लीजिए फिसलपट्टी की पार्वीय दीवारों की विमाएँ क्रमशः a = 15 m, b = 11 m एवं c = 6 m दी गई हैं।
तो s = \(\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+11+6}{2}=\frac{32}{2}=16 \mathrm{m}\)
हीरोन के सूत्र से दीवार का क्षेत्रफल
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अतः दीवार के पेंट किए हुए भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20√2 m².

प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल:
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः a, b और c हैं
a = 18 cm, b = 10 cm, a + b + c = 42 cm (दिया है)
⇒ 18 + 10 + c = 42 ⇒ c = 42 – 28 = 14 cm
अब \(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{42}{2}=21 \mathrm{cm}\)
तथा हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
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अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 21√11 cm².

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि त्रिभुज की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं तो मान लीजिए ये भुजाएँ 12 x, 17x और 25x हैं।
12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm = x = 540/54 = 10
⇒ ∆ की भुजाएँ क्रमशः 120 cm, 170 cm और 250 cm
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अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9000 cm².

प्रश्न 6.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm की लम्बाई की हैं। उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि त्रिभुज की बराबर भुजाएँ = a = b = 12 cm एवं परिमाप a + b + c = 30 cm.
तब c = 30 – 12 – 12 = 30 – 24 = 6 cm
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अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9√15 cm².