In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 1
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1
यह बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) एक की प्रायिकता – 0.1 ऋणात्मक है।
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) प्रायिकताओं का योग
= 0.6 + 0.1+ 0.2 = 0.9 ≠ 1 है।
∴ दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iv) प्रायिकताओं का योग
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 >1
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।

प्रश्न 2.
एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद यादृच्छया निकाली गईं। मान लीजिए x काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के संभावित मान क्या हैं? क्या x यादृच्छिक चर है?
हल:
एक कलश से, दो गेंदें निकाली गईं RR, RB, BR, BB जहाँ लाल गेंद को R से तथा काली गेंद को B से व्यक्त करते है।
X चर के मान 0, 1, 2
यहाँ कोई काली गेंद नहीं, एक काली गेंद या दोनों गेंदें काली है।
∴ हाँ, X यादृच्छिक है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए x चितों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या हैं?
हल:
जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, हम चित और पटों की संख्या निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 2

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए-
(i) एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
हल :
(i) जब एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या
S = {IT, TH, HT, HH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मानते हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 3
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 4
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक-बार उछालने पर पटों की संख्या
S = {TIT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1, 2 3 मानते हैं। अब, P(X = 0) = P (पट नहीं) = सभी चित [HHH]
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 5
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 6
(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछाला जायX एक यादृच्छिक चर है, जो 0, 1, 2, 3, 4 मानते हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 7
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 8

प्रश्न 5.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
(i) ‘4’ से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है
(ii) ‘पासे पर संख्या 6 का प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
हल:
(i) यदि प्रत्येक पासे पर 1, 2, 3, 4 संख्या है
∴ सम्भव परिणाम = {(1,1), (1,2)…(2,1), (2, 2) …(4,4)} = 16 परिणाम
तथा प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की कुल संख्या
= 6 x 6 =36
P(X = 0) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 1) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 2) = दोनों पासे 5 या 6
= (5, 6),(6,5), (5,5), (6,6)
= \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 9
(ii) पासे पर 6 अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा पासे पर 6 अंक न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
0
तथा दो पासों पर 6 न आने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)
इसलिए दो पासों पर कम-से-कम एक 6 आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\)
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 10

प्रश्न 6.
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
अच्छे बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
माना 4 बल्बों के नमूने में खराब बल्बों का बंटन x से व्यक्त करते हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 11
∴ खराब बल्बों की प्रायिकता बंटन निम्नवत् है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 12

प्रश्न 7.
एक सिक्का समसर्वय सन्तुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब सिक्का उछाला जाता है, जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है।
माना पट x बार आए।
∴ चित 3x बार आएगा।
परिणामों की कुल संख्या = x + 3x = 4x
∴ चित प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{3 x}{4 x}=\frac{3}{4}\)
∴ पट प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{4 x}=\frac{1}{4}\)
जब पट की सम्भावना नहीं है तब प्रायिकता होगी
{HH} = \(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)
∴ P(X = 0) = \(\frac{9}{16}\)
जब एक पट और 1 चित की संभावना हो–
p (X =1) = P (H) P (T) + P (T) P (H)
= \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}\)
दोनों पटों की प्रायिकता
P(X = 2) = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 13

प्रश्न 8.
एक यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 14
ज्ञात कीजिए–
(i) k
(ii) P (X <3) (iii) P(X >6)
(iv) P(0 < X <3)
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग =1
0 + k + 2k + 2k + 3k + k2 + 2x2 + 7k2 + k =1
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 15
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 16
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 17

प्रश्न 9.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन (x) निम्न प्रकार से है जहाँ k कोई संख्या है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 18
(b) (i) P(X < 2) = P(0) + P(1)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 19

प्रश्न 10.
एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
= [TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH]
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 20
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 21
= \(\frac{3}{2}=1 \frac{1}{2}\)

प्रश्न 11.
दो पासों को युग्मत उछाला गया है। यदि x छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
छक्कों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। एक पासा उछालने से प्रतिदर्श समष्टि = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
एक पासे पर छक्का प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक पासे पर 1, 2, 3, 4, 5 प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
जब दो पासे उछाले जाते हैं n(s) =36.
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 22
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 23

प्रश्न 12.
प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गईं। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ छ: धन पूर्णांक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं।
एक अंक 6 तरीकों से चुना जा सकता है।
जब 1 संख्या को चुना जाता है तब 5 संख्याएँ छोड़ते हैं।
प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया या (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई संख्या = 6 x 5 = 30
अब, P(X = 2)
= P {(1, 2), (2, 1}} = \(\frac{2}{30}\)
P(X = 3)
= P {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} = \(\frac{4}{30}\)
P(X = 4)
=P {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} = \(\frac{6}{30}\)
= P(X = 5)
=P {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1, (5, 2), (5, 3), (5, 4)} = \(\frac{8}{30}\)
P(X = 6)
= P {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}= \(\frac{10}{30}\)
x का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 24

प्रश्न 13.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। x का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6 = 36
P(X = 2) = P {(1,1)} = \(\frac{1}{36}\)
P(X = 3) = P {(1, 2), (2,1)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P {(1, 5), (2, 4), (3, 3),(4, 2), (5, 1) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P {{1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)} = \(\frac{6}{36}\)
P(X =8). = P {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = \(\frac{5}{36}\)
P(X =9) = P {(3, 6) (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X =10) = P {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X =11) = P {(5, 6), (6, 5)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X =12) = P(6, 6) = \(\frac{1}{36}\)
अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 25
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 26
X का मानक विचलन = \(\sqrt{5.83}\) = 2.4 (लगभग)

प्रश्न 14.
एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एक कक्षा में 15 छात्र हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है।
प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता = \(\frac{1}{15}\)
प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 27
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 28
मालक विचलन = \(\sqrt{4.78}\) = 2.19

प्रश्न 15.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और, यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो x = 0लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो x = 1 लिया गया। E(X) और var (X)ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ चर मान 1 और 0 है।
किसी प्रस्ताव का अनुमोदन करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=70% = 0.70
किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=30% = 0.30
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 29

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।
प्रश्न 16.
ऐसे पासे, जिनके तीन फलकों पर 1 अन्य तीन पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है-
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) \(\frac{8}{3}\)
हल:
चर राशि 2 और 5 है।
3 फलक पर 1 लिखा गया है।
∴ 1 प्राप्त करने की प्रायिकता P(1) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
दो फलक पर 2 लिखा गया है।
∴ 2 प्राप्त करने की प्रायिकता P(2) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1 फलक पर 5 लिखा गया है।
∴ 5 प्राप्त करने की प्रायिकता P(5) = \(\frac{1}{6}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 30
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए ताश की एक गड्डी से यादृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए X इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X) का मान है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 31
हल :
(i) जब दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दो पत्ते इक्के नहीं खींचे जा सकते हैं।
= \(^{48} C_{2}=\frac{48 \times 47}{2}\) =1128
दो पत्ते खींचे जा सकते हैं 52 पत्तों में से = 52C2
= \(\frac{52 \times 51}{2}\) = 26 x 51 =1326
∴ इक्का न खींचने की प्रायिकता = \(\frac{1128}{1326}\)
(ii) \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{1}\) में एक इक्का और एक इक्का न खींचे जा सकते हैं
= 4 x 48 = 192
एक इक्का और एक इक्का न होने की प्रायिकता = \(\frac{192}{1326}\)
(iii) दो इक्कों को खींचने की संख्या = 6
2 इक्कों की संख्या प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{1326}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 32
अतः विकल्प (D) सही है।

Leave a Reply