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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) द्वारा परिभाषित फलन f : R* → R* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R. ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
हल:
दिया है फलन f(x) = \(\frac{1}{x}\)
यदि f(x1) = f(x2)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2 img 1
इसलिए f आच्छादक है।
अतः f : R* →R*, एकैकी व आच्छादक है।
यदि R* को N से बदल दिया जाए तथा सहप्रांत (co – domain) पूर्वत: R* है तब,
f : N →R*
माना f(n1) = f(n2)
⇒ \(\frac{1}{n_{1}} = \frac{1}{n_{2}} \Rightarrow n_{1} = n_{2}\) (जहाँ n1, n2 % N)
∴ f एकैक है
परन्तु R* में प्रत्येक वास्तविक संख्या का पूर्वत प्रतिबिम्ब (Preimage) प्रांत N में नहीं होगा
जैसे- \(\frac{1}{5 / 7} = \frac{7}{5} \notin N\)
∴ f आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः परिणाम सत्य नहीं होगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) f (x) = x2 द्वारा प्रदत्त f: N →N फलन है।
(ii) f (x) = x2 द्वारा प्रदत्त f: Z → Z फलन है।
(iii) f (x) = x2 द्वारा प्रदत्त f: R → R फलन है।
(iv) f (x) = x3 द्वारा प्रदत्त f: N →N फलन है।
(v) f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त f: Z → Z फलन है।
हल
(i) यहाँ f (x) = x2 और f : N → N
(a) f(x1) = f(x2) ⇒ x21 = x22 ⇒ x1 = x2, x2 % N
∴ f एकैकी है।
(b) परन्तु सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। जैसे, माना 3 सहप्रान्त में है तो 3 प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है। अतः । एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

(ii) f: Z → Z, जबकि f(x) = x2
(a) f(-1) = f(1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब भिन्न नहीं है।
∴ f एकैकी नहीं है।
(b) सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव में प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे-3 सहप्रान्त के, 3 प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः एकैकी नहीं है और न ही आच्छादक है।

(iii) f: R →R, यदि f(x) = x2
(a) (-1)2 = 1 ⇒ f(-1) = f(1)
अतः -1 और -1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ एकैकी नहीं है।
(b) -2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतः f आच्छादक नहीं है।
∴ f तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(iv) f: N → N, यदि f(x) = x3
(a) f(x1) = f(x2) ⇒ x13 = x23 ⇒ x1 = x2
प्रत्येक x % N का एक प्रतिबिम्ब है।
∴ f एकैकी है।

(b) सहप्रान्त के बहुत से ऐसे अवयव हैं जिनमें प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे-2, 3, 4, …… ये प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी है, परन्तु आच्छादक नहीं है।

(v) f: Z → Z, यदि f(x) = x3
(a) f(x1) = f(x2) ⇒ x13 = x23 ⇒ x1 = x2
∴ f एकैकी है।

(b) f के सहप्रान्त में बहुत से अवयव हैं जो प्रान्त में किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे–2, 3,
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

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प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R* , न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
हल
फलन f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = [x]
यदि x = 1.1 तो f(1.1) = 1 (∵ 1, 1.1 कम पूर्णांक है)
तथा f(1.3) = 1
∵ 1.1 व 1.3 के प्रतिबिम्ब बराबर हैं।
∴ f एकैकी नहीं है।
x % R के लिए प्रान्त (domain) की प्रत्येक अवयव का सहडोमेन (Co-domain) में प्रतिबिम्ब होगा परन्तु सह प्रान्त के प्रत्येक अवयव का पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image), प्रान्त में नहीं होगा।
इसलिए । आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि धन या शून्य है तथा| |x| बराबर -x, यदि x ऋण है।
हल
दिया है
f : R → R तथा f(x) = |x|
यदि x = 1 तथा f(1) = 1
यदि x = -1 तब f(-1) = 1
∵ 1 और -1 दोनों का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ f एकैकी नहीं है।
∵ सहडोमेन (Co-domain) के ऋणात्मक अवयव का कोई भी पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image) डोमेन (domain) में नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2 img 2
द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2 img 3
∴ f(1) = 1 तथा f(2) = 1
∵ 1 व 2 का प्रतिबिम्ब समान (1) है।
पुनः x > 0 के लिए
f(x1) = f(x2) = 1 जहाँ x1 ≠ x2
इसी प्रकार x < 0 के लिए
f(x1) = f(x2) = -1 जहाँ x1 ≠ x2
∴ f एकैकी नहीं है।
सहप्रान्त (Co-domain) के अवयव -1, 0, 1 का पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image) डोमेन (domain) में नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4),(2, 5),(3, 6)}A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
हल
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}
तथा f = {(1, 4),(2, 5), (3, 6)}
चित्र के अनुसार A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिम्ब B में है।
इसलिए f एकैकी है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2 img 4

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1+ x2 द्वारा परिभाषित फलन f: R →R है।
हल
(i) यहाँ f: R → R, यदि f(x) = 3 – 4x
(a) f(x1) = f(x2) ⇒ 3 – 4x1 = 3 – 4x2 = x1 ⇒ x2
अत: f एकैकी है।
(b) f(x) = y = 3 – 4x
∴ x = \(\frac{3-y}{4}\)
y के प्रत्येक मान के लिए एक ही मान है।
सहप्रान्त में प्रत्येक प्रान्त के एक अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

(ii) f : R → R, यदि f(x) = 1 + x2
(a) f(-1) = 1 + 1 = 2 f(1) = 1 + 1 = 2
f(-1) = f(1)
-1 और 1 दोनों का एक प्रतिबिम्ब है।
∴ f एकैकी नहीं है।..
(b) सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः एकैकी तथा आच्छादक नहीं है।

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प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f: A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f (a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
उत्तर
हल
यहाँ f = (A × B)→ (B × A), यदि f(a, b) = (b, a)
(a) f(a1, b1) = f(a2, b2) ⇒ (b1, a1) = (b2, a2)
∴ b1 = b2, और a1 = a2
अत: f एकैकी है।

(b) सहप्रान्त का सदस्य (p, q) प्रान्त में (g, p) का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि समस्त n % N के लिए,
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द्वारा परिभाषित एक फलन f: N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल
फलन f: N → N इस प्रकार परिभाषित है कि
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∵ प्रान्त में स्थित अवयव 1 व 2 के प्रतिबिम्ब सहप्रान्त में एक ‘1’ ही है।
∴ f एकैक नहीं है।
इसलिए f आच्छादी नहीं है।
पुनः सह प्रान्त के प्रत्येक अवयव की Pre image प्रान्त में स्थित है।
इसलिए f आच्छादक है।
अतः f एकैक नहीं है परन्तु आच्छादक है। इसलिए f एकैकी आच्छादती (bijective) नहीं है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है f(x) = \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\) द्वारा परिभाषित फलन f: A → B पर विचार कीजिए। क्या एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल
f: A → B, जहाँ A = R – {3}, B = R – {1},
f इस प्रकार परिभाषित है कि
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⇒ y के प्रत्येक मान के लिए प्रांत (domain) में Pre image x = \(\frac{3 y-2}{y-1}\) स्थित है।
इसलिए f आच्छादक है।
अतः f एकैक तथा आच्छादक है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए f: R → R; f (x) = x4 द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(A) f एकैकी आच्छादक है। (B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है, (D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल
यहाँ f: R → R, यदि f (x) = x4
(a) f(-1) = (-1)4 = 1, f(1) = 14 = 1
f(-1) = f(1)
-1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ f एकैकी नहीं है।

(b) सहप्रान्त का -1 प्रान्त के किसी भी सदस्य का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अत: f एकैकी और आच्छादक नहीं है।
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि f (x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f: R → R है। सही उत्तर चुनिए :
(A) f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
हल
यहाँ f :R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित किया गया है।
(a) f(x1) = f(x2) = 3x1 = 3x2
∴ x1 = x2
अतः f एकैकी है।

(b) माना y = 3x
∴ x = \(\frac{y}{3}\)
y के प्रत्येक मान के लिए x का मान निम्न है।
∴ आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।
अतः विकल्प (A) सही है।