MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 1.
1 + 3 + 32 + …. + 3n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\).
हल:
माना दिया हुआ कथन P(n) है।
∴ 1 + 3 + 32 + …. + 3n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
n = 1 रखने पर, ∴ बायाँ पक्ष P(n) = 1
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∴ 1 + 3 + 32 + …. + 3n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
यह कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
⇒ जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।

प्रश्न 2.
13 + 23 + 33 + …………….. + n3 = \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\).
हल:
माना
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इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.

प्रश्न 3.
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हल:
माना
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इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
1.2.3 + 2.3.4 +…..+ n(n + 1)(n + 2) = \(\frac{\left.n(n+1\right)(n+2)(n+3)}{4}\).
हल:
मान लीजिए
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इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n= k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
1.3 + 2.32 + 3.33 + ……. + n. 3n = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\).
हल:
माना
P(n) : 1.3 + 2.32 + 3.33 + ……. + n. 3n = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\)
यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3
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इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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प्रश्न 6.
1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\).
हल:
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{1.2 .3}{3}\) = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
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∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 7.
1.3 + 3.5 + 5.7 + …….. + (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
हल:
मान लीजिए
P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 +….+ (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.3 = 3
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 8.
1.2 + 2.22 + 3.23 + ………. + n.2n = (n – 1). 2n+1 + 2.
हल:
माना
P(n) : 1.2 + 2.22 + 3.23 + ………. + n.2n = (n – 1). 2n+1 + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2 .
दायाँ पक्ष = (n – 1). 2n+1 + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.22 + 3.23 + ……… + k.2k = (k – 1).2k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.22 + 3.23 + ……….. + k.2k + (k + 1).2k+1 = (k – 1).2k+1 + 2 + (k + 1).2k+1
= (k – 1 + k + 1).2k+1 + 2
= 2k.2k+1 + 2 = k.2k+2 + 2
= \((\overline{k+1}-1), 2^{\overline{k+1}}+1+2\)
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 9.
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हल:
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 10.
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हल:
माना
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⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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पश्न 11.
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हल:
माना
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⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 12.
a + ar + ar2 + …….. + arn-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\).
हल:
मान लीजिए P(n) = a + ar + ar2 + …….. + arn-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = a
दायाँ पक्ष = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\) = a
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
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⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 13.
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हल:
माना
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 14.
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हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-30
इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 15.
12 + 32 + 52 + ……..+ (2n – 1)2 = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\).
हल:
माना
P(n) : 12 + 32 + 52 + ……..+ (2n – 1)2 = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 12 = 1
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}=\frac{1.1 .3}{3}\) = 1
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
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⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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प्रश्न 16.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-32
हल:
माना
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-33
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-34
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 17.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-35
हल:
माना
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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1 img-37
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 18.
1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)2.
हल:
माना P(n) 1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)2
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1
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⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 19.
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k2 + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)3 + 6(k + 1)2 + 5(k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 6(k2 + 2k + 1) + 5k + 5
= k3 + 9k2 + 20k + 12
= (k3 + 6k2 + 5k) + (3k2 + 15k + 12)
= 3m + 3(k2 + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
102n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल:
माना P(n) : 102n-1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 102n-1 + 1 = 102 – 1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 102k-1 + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।
या 102k-1 + 11m (माना)
k को k + 1 से बदलने पर
102(k+1)-1 + 1 = 102k+1 + 1
= 102.102k-1 + 1
= 102(102k-1 + 1) – 100 + 1.
= 100.11m – 99
= 11 (100m – 9)
इससे सिद्ध हुआ कि 102k+1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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प्रश्न 21.
x2n – y2n, (x + y) से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : x2n – y2n, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x2 – y2 = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x2k – y2k, x + y से विभक्त होता है।
या x26 – y2k = m(x + y)
या x2k = m(x + y) + y2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x2(k+1) – y2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x2(k+1) – y2(k+1) = x2. x2k – y2k+2
= x2[m(x + y) + y2k] – y2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x2 + x2y2k – y2k+2
= m(x + y)x2 + y2k(x2 – y2)
= (x + y) [mx2 + y2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x2(k+1) – y2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 22.
32n+2 – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 32n+2 – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3n+2 – 8n – 9 = 32+2 – 8.1 – 9
= 34 – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
32k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 32k+2 – 8k – 9 = 8m.
32k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
32(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 32.32k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 23.
41n – 14n, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 41n – 14n, संख्या 27 का गुणज है।
n = 1 के लिए, 41n – 14n = 41 – 14 = 27
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना, P(n), n =k के लिए सत्य है।
⇒ 41k – 14k = 27m
⇒ 41k = 27m + 14k
k के स्थान पर k + 1 रखने पर
41k+1 – 14k+1 = 41. 41k – 14k+1 [41k = 27m + 14k रखने से]
= 41[27m + 14k] – 14k+1
= 27. 41m + 41. 14k – 14k+1
= 27. 41m + 14k.27
= 27[41m +14k]
जो कि 27 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n+ 3)2.
हल:
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)2
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)2
= (1 + 3)2 = 42 = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)2
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)2 + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k2 + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)2
या 2k + 9 < (k + 4)2
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k2 + 6k + 11 + 2k + 5
< k2 + 8k + 16
< (k + 4)2
या 2k + 9 < (k + 4)2
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

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