MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि x + 4x = 0, तो x = 0
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
हल:
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
x3 + 4x = 0 या x(x2 + 4)= 0
∴ x = 0 या x2 + 4= 0
परन्तु x2 + 4 ≠ 0, x ϵ R
अतः x = 0.

(ii) विरोधोक्ति द्वारा : माना x ≠ 0 ∴ x = p
यदि समीकरण x3 + 4x = 0 का एक मूल p हो, तब
⇒ p3 + 4p = 0 या p(p2 + 4) = 0
p = 0 या p2 + 4 = 0
p2 + 4 ≠ 0,
p= 0 विरोधात्मक है x ≠ p के जो पूर्व निर्धारित है।
अर्थात् p = 0 या x = 0.

(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा :
माना x = 0 सत्य नहीं है।
x ϵ R, x2 + 4 ≠ 0, और x ≠ 0 (माना गया है)
∴ x(x2 + 4) ≠ 0
यह सिद्ध करता है कि x2 + 4x = 0 का x = 0 मूल है।

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प्रश्न 2.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन “किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, जहाँ a = का तात्पर्य है कि a=b” सत्य नहीं है।
हल:
माना जब a = 1, b = – 1 तो a2 = b2
परन्तु a ≠ b. अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न 3.
प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है।
p : यदि x एक पूर्णांक है और x2 सम है तो x भी सम है।
हल:
माना x एक सम संख्या नहीं हैं
x = 2n + 1
x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1
= 2 (2n2 + 2n) + 1
यह एक विषम संख्या है।
इस प्रकार यदि q सत्य नहीं है तो p भी सत्य नहीं है।
अर्थात दिया हुआ कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं हैं।
(i) p : यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं, तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
हल:
माना एक कोण = 90 + θ
तीनों कोण समान हों, तब
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 3 (90 + θ) = 270 + 3θ
यह 180° के बराबर नहीं है।
∴ त्रिभुज का कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता अर्थात वह त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं हो सकता है।

(ii) q : समीकरण x2 – 1 = 0 के मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है।
हल:
0 और 2 के बीच की संख्या 1 लीजिए
x2 – 1 = 0 में x = 1 रखने पर
1 – 1 = 0,
अतः x = 1, दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करता है।
इसलिए x = 1, समीकरण x2 – 1 = 0 का मूल है और 0 और 2 के बीच स्थित हैं।
अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।

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प्रश्न 5.
निम्नलिखित कथनों मे से कौन से सत्य हैं और कौन से असत्य हैं। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइए:
(i) p : किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
हल:
असत्य : त्रिज्या का एक सिरा केंद्र पर ओर दूसरा सिरा वृत्त पर होता हो तो वह जीवा नहीं होती है।
अतः यह वृत्त की जीवा नहीं है।

(ii) q : किसी वृत्त का केंद्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है। .
हल:
असत्य : वृत्त का केंद्र केवल व्यास को समद्विभाजित करता है। प्रत्येक जीवा केंद्र से होकर नहीं जाती है। अतः वृत्त का केंद्र प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित नहीं करता है।

(iii) r : एक वृत्त किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
हल:
सत्य : दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
जब a = b तब \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 या x2 + y2 = a2
अतः यह वृत्त का समीकरण है।

(iv) s : यदि x और y ऐसे पूर्णांक हैं कि x > y, तो – x < – y हैं।
हल: सत्य : यदि x और y पूर्णांक हैं और x > y तो – x < – y (असमिकाओं के नियम से)

(v) t : \(\sqrt{11}\) एक परिमेय संख्या है।
हल:
असत्य : \(\sqrt{11}\) एक अपरिमेय संख्या है।

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