MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2

प्रश्न 1.
x = 10 पर x2 – 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-1

प्रश्न 2.
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-2

MP Board Solutions

प्रश्न 3.
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-3

प्रश्न 4.
प्रथम सिद्धांत से निम्नलिखित फलनों का अवकलज ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 27.
हल:
दिया है, f(x) = x3 – 27
f(x + h) = (x + h)3 – 27
= x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 27
f(x + h) – f(x) = (x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 – 27) – (x3 – 27)
= 3x2h + 3xh2 + h3
= h(3x2 + 3xh + h2)
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-4

(ii) (x – 1)(x – 2).
हल:
f(x) = (x – 1) (x – 2) = x2 – 3x + 2 .
f(x + h) = (x + h)2 – 3(x + h) + 2
∴ f(x + h) – f(x) = (x2 + 2xh + h2) – (3x + 3h) + 2 – (x2 – 3x + 2)
= 2xh + h2 – 3h
= h(2x + h – 3)
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-5

(iii) \(\frac{1}{x^{2}}\).
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-6

(iv) \(\frac{x+1}{x-1}\)
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-7

प्रश्न 5.
फलन f (x) = \(\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots . .+\frac{x^{2}}{2}\) + x + 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि \(f^{\prime}\)(1) = 100\(f^{\prime}\)(0).
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-8
x = 1 पर, \(f^{\prime}\)(1)= 1 + 1 +…+ x + 1
x = 0 पर, \(f^{\prime}\)(0)= 1
बायाँ पक्ष \(f^{\prime}\)(1)= 100,
दायाँ पक्ष = 100 \(f^{\prime}\)(0) = 100 x 1 = 100
अत: बायाँ पक्ष= दायाँ पक्ष।

MP Board Solutions

प्रश्न 6.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xn + axn – 1 + a2xn – 2 +….+ an – 1 + an का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-9

प्रश्न 7.
किन्हीं अचरों a और b के लिए
(i) (x – a)(x – b) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
f(x) = (x – a) (x – b)
= x2 – (a + b)x + ab
इसका अवकलन करने पर
\(f^{\prime}\)(x) = 2x2 – 1 – (a + b) .1 + 0
= 2x – (a + b).

(ii) (ax2 + b)2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = (ax2 + b)2 = a2x4 + 2abx2 + b2
∴ f'(x) = a2 . 4x3 + 2ab . 2x + 0
= 4a2x3 + 4abx
= 4ax(ax2 + b)

(iii) \(\frac{x-a}{x-b}\) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-10

प्रश्न 8.
किसी अचर a के लिए \(\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}\) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-11

प्रश्न 9.
निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए :
(1) 2x – \(\frac{3}{4}\).
हल:
(i) मान लीजिए f(x) = 2x – \(\frac{3}{4}\)
∴ \(f^{\prime}(x)=2 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}\left(-\frac{3}{4}\right)\)
= 2.1 + 0 = 2.

(ii) (5x3 + 3x – 1) (x – 1).
हल:
माना
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-12

(iii) x – 3(5 + 3x).
हल:
माना f(x) = x – 3(5 + 3x)
= 5x – 3 + 3x.x – 3 = 5x – 3 + 3x – 3
अवकलन करने पर
f'(x) = 5 (- 3)x– 3 – 1 + 3 (- 2). x– 2 – 1
= – 15 x – 4 – 6x – 3
= – \(\frac{15}{x^{4}}-\frac{6}{x^{3}}-\frac{3}{x^{4}}\)(5 + 2x).

(iv) x5 (3 – 6x– 9).
हल:
माना f(x) = x5 (3 – 6x– 9)
= 3x5 – 6.x5 – 9 = 3x5 – 6x– 4
∴ f'(x) = 3 . 5x5 – 1 – 6(- 4)x– 4 – 1.
= 15x4 + 24x– 5 = 15x4 + \(\frac{24}{x^{5}}\).

(v) x– 4 (3 – 4x– 5).
हल:
माना f(x) = x– 4 (3 – 4x– 5).
= 3. x– 4 – 4. x– 4 . x– 5 = 3x– 4 – 4x– 9
अवकलज करने पर
\(f^{\prime}(x)\) = 3. (- 4)x– 4 – 1 – 4 × (- 9)x– 9 – 1
= – 12x– 5 + 36x– 10
= – \(\frac{12}{x^{5}}+\frac{36}{x^{10}}\).

(vi) f(x) = \(\frac{2}{x+1}-\frac{x^{2}}{3 x-1}\).
हल:
माना
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-13

MP Board Solutions

प्रश्न 10.
प्रथम सिद्धांत से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए ।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-14
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-15

प्रश्न 11.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) sin x cos x.
हल:
माना
f(x) = sin x cos x
∵ (uv)’ = u’v + uv’
∴ \(\frac{d}{d x}\)(sin x cos x) = \(\left(\frac{d}{d x} \sin x\right)\)cos x + sin x \(\frac{d}{d x}\) (cos x)
= cosx . cos x + sin x (- sin x)
= cos2x – sin2x = cos 2x.

(ii) sec x.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-16
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-17

(iii) 5 sec x + 4 cos x.
हल:
माना f(x)= 5sec x + 4 cos x
∵ \(\frac{d}{d x}\)(sec x)= sec x tan x (भाग (ii) देखिरा)
\(\frac{d}{d x}\)cos x = – sin x
∴ f'(x)=5 \(\frac{d}{d x}\)(sec x) + 4 \(\frac{d}{d x}\)(cos x)
= 5 sec x tan x + 4(- sin x)
= 5 sec x tan x – 4 sin x.

(iv) cosec x.
हल:
माना
f(x)= cosec x
और f(x + h)= cosec (x + h)
f(x + h) – f(x) = cosec (x + h) – cosec x
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-18

(v) 3 cot x + 5 cosec x.
हल:
f(x) = cot x
f(x + h) = cot (x + h)
f(x + h) – f(x) = cot (x + h) – cot x
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-19
अब f'(x)= 3 \(\frac{d}{d x}\)cotx +5 \(\frac{d}{d x}\)cosec x
= 3(- cosec2 x) + 5 (- cosec x.cot x)
= – 3 cosec2x – 5 cosec x cot x.

(vi) 5 sin x – 6 cos x + 7.
हल:
माना
f(x) = 5 cos x – 6 – sin x) + 7
∴ \(f^{\prime}(x)=5 \frac{d}{d x} \sin x-6 \frac{d}{d x} \cos x+\frac{d}{d x}(7)\)
= 5 cos x + 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6sinx.

(vii) 2 tan x – 7 sec x.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 img-20

MP Board Class 11th Maths Solutions

Leave a Reply