MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास 20 सेमी और गहराई 5 सेमी है, तो नाभि ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलयाकार परावर्तक AOB का व्यास,
AB = 20 सेमी
तथा AM = 10 सेमी
परावर्तक की गहराई, OM= 5 सेमी
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यदि OX, OY निर्देशांक अक्ष हो तो बिन्दु परवलय पर स्थित है।
माना परवलय का समीकरण, y2 = 4ax
∴ 102 = 4a.5 या 100 = 20a
∴ a = 5
परवलय की नाभि (a, 0) या (5, 0) है।

प्रश्न 2.
एक मेहराब परवलय के आकार का है और इसका अक्ष ऊर्ध्वाधर है। मेहराब 10 मीटर ऊँचा है और आधार में 5 मीटर चौड़ा है। यह परवलय के दो मीटर की दूरी पर शीर्ष से कितना चौड़ा होगा?
हल:
इसका आकार परवलय की आकृति का है।
माना OX, OY इसके निर्देशांक अक्ष है, और समीकरण y2 = 4ax है।
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मेहराब की ऊँचाई, OL = 10 मीटर
चौड़ाई EF = 5 मीटर
LF = \(\frac{1}{2}\) EF = \(\frac{1}{2}\) × 5 = \(\frac{5}{2}\)
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= 2.24 मीटर (लगभग)।

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प्रश्न 3.
एक सर्वसम भारी झूलते पुल की केबिल (cable) परवलय के रूप में लटकी हुई है। सड़क पथ जो क्षैतिज है 100 मीटर लम्बा है तथा केबिल से जुड़े अर्ध्वाधर तारों पर टिका हुआ है, जिसमें सबसे लम्बा तार 30 मीटर और सबसे छोटा तार 6 मीटर है। मध्य से 18 मीटर दूर सड़क पथ से जुड़े समर्थक (supporting) तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना OX, OY निर्देशांक अक्ष हैं। AOB परवलय के रूप में केबिल है। इसका समीकरण x2 = 4ay के रूप में होगा।
सबसे छोटे तार की लम्बाई OL = 6 मीटर
सबसे बड़े तार की लम्बाई BM = 30 मीटर
शीर्ष O से रेखा LM की दूरी OL
= 6 मीसा है
सड़क की लंबाई AB = 100 मीटर, यदि C मध्य बिन्दु हो तो
CB = \(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\) × 100 = 50 मीटर
OC = CL – OL = 30 – 6 = 24 मीटर
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OY से 18 मीटर दूरी पर एक बिन्दु R लिया गया है। OX से R की दूरी b हो, तब
R के निर्देशांक (18, b)
यह परवलय x2 = \(\frac{625}{6}\)y पर स्थित है
∴ 18 x 18 = \(\frac{625}{6}\)b
∴ RP = b = \(\frac{18 \times 18 \times 6}{625}\)
= \(\frac{1944}{625}\)
= 3.11 मीटर
आधार LM से R की दूरी = RS = RP + PS
= 3.11 + 6
= 9.11 मीटर
∴ तार की लंबाई = 9.11 मीटर।

प्रश्न 4.
एक मेहराब अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह 8 मीटर चौड़ा है और केंद्र से 2 मीटर ऊँचा है। एक सिरे से 1.5 मीटर दूर बिन्दु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
% आकृति में ELF एक मेहराब है जिसकी चौड़ाई EF = 8 मीटर और ऊंचाई = 2 मीटर है।
माना OX, OY निर्देशांक अक्ष है। ELF एक दीर्घवृत्त है जिसमें a = 4, b = 2
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एक बिन्दु Q सिरे F से 1.5 मीटर की दूरी पर है।
∴ Q की 0 से दूरी = 4 – 1.5 = 2.5 मीटर
मान लीजिए बिन्दु Q पर मेहराब की ऊंचाई p है।
∴ P(2.5, p) दीर्घवृत्त पर स्थित है।
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अत: Q बिन्दु पर मेहराब की ऊंचाई = 1.56 मीटर (लगभग) है।

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प्रश्न 5.
एक 12 सेमी छड़ इस प्रकार चलती है कि इसके सिरे निर्देशांक्षों को स्पर्श करते हैं। छड़ के बिन्दु P का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के संपर्क वाले सिरे से 3 सेमी दूर है।
हल:
माना OX, OY निर्देशांक्ष हैं। इन अक्षों पर रेखा PQ = 12 सेमी चलती है।
∆ POQ में, PQ2 = OP2 + OQ2
122 = a2 + b2
या a2 + b2 = 144 …(1)
जहाँ OA = a, OB = b अक्षों पर अंत:खण्ड हैं।
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अतः L का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त है। जिसका समीकरण \(\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}\) = 1 है।

प्रश्न 6.
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय x2 = 12y के शीर्ष को इसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
हल:
परवलय का समीकरण,
x2 = 12y
नाभि के निर्देशांक (a, 0) या (3, 0) हैं।
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प्रश्न 7.
एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुए अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव 10 मीटर रहता है। और झंडा चौकियों के बीच की दूरी 8 मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
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स्पष्ट है कि P का बिन्दुपथ एक दीर्घवृत्त है। .
PF1 + PF2 = 10 = 2a
∴ a = 5
F1F2 = 8 = 2c
∴ c = 4
c2 = a2 – b2
या 16 = 25 – b2
∴ b2 = 9
दीर्घवृत्त का समीकरण,
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
अर्थात् \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}\) = 1.

प्रश्न 8.
परवलय y2 = 4ax के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y2 = 4ax, एक समबाहु त्रिभुज बनाई गई है।
मान लीजिए इसकी भुजा की लंबाई p है।
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यह परवलय y2 = 4ax पर स्थित है।
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