MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.4

प्रश्न 1 से 6 तक प्रत्येक में, अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}\) = 1.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
a2 = 16, b2 = 9
∴ c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25
∴ a = 4, b = 3, c = 5
शीर्षों के निर्देशांक (± a, 0) या (± 4,0).
नाभियों के निर्देशांक (± c, 0) या (± 5, 0)
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प्रश्न 2.
\(\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}\) = 1
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : \(\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है
a2 = 9, b2 = 27
∴ c2 = a2 + b2 = 9 + 27 = 36
∴ a = 3, b = 3\(\sqrt{3}\), c = 6
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) या (0, ± 3)
नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) या (0, ± 6)
उत्केंद्रता e = \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\)
नाभिलंब जीवा की लंबाई = \(\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 27}{3}\) = 18.

प्रश्न 3.
9y2 – 4x2 = 36
हल:
अतिपरवलय का समीकरण 9y2 – 4x2 = 36
36 से भाग देने पर, \(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}\) = 1
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
∴ a2 = 4, b2 = 9
c2 = a2 + b2 = 4 + 9 = 13
∴ a= 2, b = 3, c = \(\sqrt{13}\)
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) या (0, ± 2)
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प्रश्न 4.
16x2 – 9y2 = 576.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 16x2 – 9y2 = 576
576 से भाग देने पर,
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प्रश्न 5.
5y2 – 9x2 = 36.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 5y2 – 9x2 = 36
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प्रश्न 6.
49y2 – 16x2 = 784.
हल:
अतिपरवलय का समीकरण : 49y2 – 16x2 = 784
784 से भाग देने पर, \(\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{49}\) = 1
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
a2 = 16, b2 = 49
∴ c2 = a2 + b2 = 16 + 49 = 65
∴ a = 4, b = 7, c = \(\sqrt{65}\)
शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) या (0, ± 4).
नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) या (0, ± \(\sqrt{65}\)).
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निम्नलिखित प्रश्न 7 से 15 तक प्रत्येक में, दिए गए प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
शीर्ष (± 2, 0), नाभियाँ (± 3, 0).
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
a = 2, c = 3, c2 = a2 + b2
या 9 = 4 + b2
∴ b2 = 5
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प्रश्न 8.
शीर्ष (0, ± 5), नाभियाँ (0, ± 8).
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
a = 5, c = 8, c2 = a2 + b2
या 64 = 25 + b2
∴ b2 = 64 – 25 = 39, a2 = 25
अतिपरवलय का समीकरण : \(\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{39}\) = 1.

प्रश्न 9.
शीर्ष (0, ± 3), नाभियाँ (0, ± 5).
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
शीर्ष (0, ± 3) ⇒ a = 3, a2 = 9
नाभियाँ (0, ± 5) ⇒ c = 5
∴ c2 = a2 + b2
या 25 = 9 + b2
∴ b2 = 16
∴ अतिपरवलय का समीकर: \(\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}\) = 1

प्रश्न 10.
नाभियाँ (± 5, 0), अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 8.
हल:
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a = 8
⇒ a = 4
∴ a2 = 16
नाभियाँ (± 5, 0)
⇒ c = 5, c2 = a2 + b2
या 25 = 16 + b2
∴ b2 = 9
∴ अतिपरवलय का समीकरण : \(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}\) = 1.

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प्रश्न 11.
नाभियाँ (0, ± 13), संयुग्मी अक्ष की लम्बाई = 24.
हल:
नाभियाँ (0, ± 13)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
और C = 13, c2 = 169
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई, 2b = 24
∴ b = 12, b2 = 144
c2 = a2 + b2
या 169 = a2 + 144
∴ a2 = 169 – 144 = 25
∴ अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{144}\) = 1.

प्रश्न 12.
नाभियाँ (± 3\(\sqrt{5}\), 0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई = 8.
हल:
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प्रश्न 13.
नाभियाँ (± 4,0), नाभिलंब जीवा की लम्बाई 12 है।
हल:
नाभियाँ (± 4,0)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
और c = 4 या c2 = 16
या c2 = a2 + b2, ∴ a2 + b2 = 16 …(1)
नाभिलंब जीवा की लम्बाई = \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = 12
∴ b2 = 6a …(2)
समी (1) और (2) से,
a2 + 6a – 16 = 0
या (a + 8)(a – 2) = 0 .
a = – 8 या a = 2
परन्तु a ≠ – 8, ∴ a = 2, a2 = 4
b2 = 6a = 6 × 2 = 12
∴ अतिपरवलय का समीकरण, \(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}\) = 1

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प्रश्न 14.
शीर्ष (± 7, 0), e = \(\frac{4}{3}\).
हल:
शीर्ष (± 7, 0)
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश है।
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∴ अतिपरवलय का समीकरण, \(\frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{\frac{343}{9}}\) = 1
या \(\frac{x^{2}}{49}-\frac{9 y^{2}}{343}\) = 1.

प्रश्न 15.
नाभियाँ (0, ± \(\sqrt{10}\)) हैं तथा (2, 3) से होकर जाता है।
हल:
नाभियाँ (0, ± \(\sqrt{10}\))
⇒ अनुप्रस्थ अक्ष, y-अक्ष के अनुदिश है।
और c= \(\sqrt{10}\) या c2 = 10 = a2 + b2
∴ a2 + b2 = 10 …(1)
मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण
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