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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.1

प्रश्न 1.
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष (- 4, 5), (0, 7), (5, – 5) और (- 4, – 2) हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए बिन्दुओं (- 4, 5), (0, 7), (5, -5) और (- 4, – 2) क्रमशः A, B, C, D द्वारा दर्शाया गया है। चतुर्भुज ABCD को दो भागों में बाँटा गया है। जो ∆ABD तथा ∆BDC के रूप में हैं।

∆ABD के शीर्ष A(- 4, 5), B(0, 7), D(- 4, – 2) हैं।
∴ ∆ABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)|[ – 4(7 + 2) +0(- 2 – 5)+ (- 4)(5 – 7)]|
= \(\frac{1}{2}\)|[-36+8]|= \(\frac{1}{2}\) x 28
= 14 वर्ग इकाई
∆BDC के शीर्ष B(0, 7), D(-4, – 2), C ( 5, – 5) हैं।
∆BDC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[0(- 2 + 5) – 4( – 5 – 7) + 5(7 + 2)]
= \(\frac{1}{2}\) [48 +45] = = \(\frac{1}{2}\) × 93
= 46.5 वर्ग इकाई
∴ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ∆ABD का क्षेत्रफल + ∆BDC का क्षेत्रफल
= 14+ 46.5
= 60.5 वर्ग इकाई।

प्रश्न 2.
2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y-अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मूल बिन्दु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ABC की भुजा BC, y- अक्ष के अनुदिश है जिसका मध्य बिन्दु मूल बिन्दु O है।
⇒ B और C के शीर्ष बिन्दु (0, a) और (0, – a) हैं।
बिन्दु A, x- अक्ष पर है, AB = 2a, OB = a

समकोण त्रिभुज OAB में,
OA² = AB² – OB² = (2a)² – a²
= 4a² – a² = 3a²
∴ OA = \(\sqrt{3}\)a
∴ A के निर्देशांक (\(\sqrt{3}\)a,0) हैं।
अतः AABC के निर्देशांक (\(\sqrt{3}\)a,0), (0, a), (0 – a) हैं।

प्रश्न 3.
P(x₁,y₁) और Q(x₂, Y₂) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब :
(i) PQ,y- अक्ष के समांतर है,
(ii) PQ, x- अक्ष के समांतर है।
हल:
(i) जब कोई रेखा y-अक्ष के समांतर होती है तो उस पर जितने भी बिन्दु होंगे उनके x- निर्देशांक बराबर होते हैं अर्थात् X₁ = X₂.

(ii) जब कोई रेखा x-अक्ष के समांतर होती है तो उसके प्रत्येक बिन्दु का y- निर्देशांक बराबर होता है।
अर्थात् y₁ = Y₂

प्रश्न 4.
x- अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) बिन्दुओं से समान दूरी पर है।
हल:
मान लीजिए x- अक्ष पर बिन्दु A(a, 0), बिन्दु B(7, 6) और C(3, 4) से समान दूरी पर है।

अर्थात् AB = AC
या AB₂ = AC₂
या (a – 7)₂ + (0 – 6)₂ = (a – 3)₂ + (0 – 4)₂
∴ a₂ – 14a + 49 + 36 = a₂ – 6a + 9+ 16
– 14a + 6a = 25 – 85
= – 60
या – 8a = – 60
या a = \(\frac{60}{8}=\frac{15}{2}\)
अतः बिन्दु 4 के निर्देशांक \(\left(\frac{15}{2}, 0\right)\) है।

प्रश्न 5.
रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु और P(0, -4) तथा B(8, 0) बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिन्दु से जाती है।
हल:
बिन्दु P(0, – 4) और B(8, 0) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिन्दु

⇒ PB का मध्य बिन्दु M के निर्देशांक (4, -2) है।
मूल बिन्दु 0 के निर्देशांक (0, 0) हैं।
∴ OM की ढाल = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-2-0}{4-0}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\).

प्रश्न 6.
पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिन्दु (4, 4), (3, 5) और (- 1, – 1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना दिए गए बिन्दु A(4, 4), B(3, 5) और C(- 1, – 1) हैं, तब

प्रश्न 7.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y- अक्ष की धन दिशा से वामावर्त्त मापा गया 30° का कोण बनाती है।
हल:
माना रेखा OP, y- अक्ष से वामावर्त्त 30° का कोण बनाती है।
∴ x- अक्ष की धन दिशा से 90° + 30° = 120° का कोण बनाती है।
⇒ रेखा OP की ढाल = tan 120 = – \(\sqrt{3}\)

यह रेखा मूल बिन्दु (0, 0) से होकर जाती है। रेखा का बिन्दु ढाल रूप है
y – y₁ = m(x – x₁)
∴ OP का समीकरण y – 0 = – \(\sqrt{3}\) (x – 0)
या y = – \(\sqrt{3}\)x.

प्रश्न 8.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु (x,- 1), (2, 1) और (4, 5) सरेख हैं।
हल:
मान लीजिए बिन्दु A (x, – 1), B(2, 1), C(4, 5) संरेख हैं यदि
AB की ढाल = \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1+1}{2-x}=\frac{2}{2-x}\) …(1)
BC की ढाल = \(\frac{5-1}{4-2}=\frac{4}{2}\) = 2 …(2)
∴ समीकरण (1) और (2) से,
\(\frac{2}{2-x}\) = 2
या 1 = 2 – x .
x = 1.

प्रश्न 9.
दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु (-2,-1), (4,0), (3, 3) और (-3, 2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
मान लीजिए एक चतुर्भुज के शीर्ष A(- 2, – 1), B(4, 0), C(3, 3), तथा D(- 3, 2) हैं।

अर्थात् BC || AD
अतः AB || DC, BC || AD
अतः ABCD एक मांस चतुर्भुज है।

प्रश्न 10.
x- अक्ष और (3, – 1) और (4, – 2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 4(3, – 1), B(4, – 2) को मिलाने वाली रेखा AB की ढाल = \(\frac{-2+1}{4-3}=\frac{-1}{1}\) = – 1
यदि x- अक्ष और AB के बीच θ कोण हो, तो
tan θ = – 1 = tan 135°
θ = 135°.

प्रश्न 11.
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) \(\frac{1}{3}\) है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेखाओं की ढाल m₁, m₂ हों, तब
∴ m₁ = 2m₂ यदि दोनों रेखाओं के बीच कोण हो, तो
tan θ = \(\frac{1}{3}\)

– ve चिन्ह लेने पर, \(1+2 m_{2}^{2}=-3 m_{2}\) या \(2 m_{2}^{2}+3 m_{2}\) +1 = 0
या (m₂ + 1) (2m₂ + 1) = 0 अर्थात् m₂ = – 1, – \(\frac{1}{2}\)
∴ रेखा की ढाल – 2, – 1, तथा – 1, – \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 12.
एक रेखा (x₁, y₁) और (h, k) से जाती है। यदि रेखा की ढाल m है तो दिखाइए
k – y₁ = m(h – x₁).
हल:
माना रेखा AB बिन्दु A(x₁, y₁) और B(h, k) से गुजरती हो, तब
∴ AB की ढाल = \(\frac{k-y_{1}}{h-x_{1}}\) = m
अर्थात् k – y₁ = m(h – x₁)

प्रश्न 13.
यदि तीन बिन्दु (h, 0), (a, b) और (0, k) एक रेखा पर हैं तो दिखाइए कि \(\frac{a}{h}+\frac{b}{k}\) = 1
हल:
मान लीजिए बिन्दु A (h, 0), B(a, b), तथा C(0, k) एक रेखा पर हों, तब

या (a – h) (k – b) = – ab
या ak – ab – hk + hb = – ab
∴ ak + hb = hk
hk से भाग देने पर, \(\frac{a}{h}+\frac{b}{k}\) = 1

प्रश्न 14.
जनसंख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए। (देखिए आकृति में) रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या कितनी होगी ?
हल:
दी गयी आकृति में रेखा AB बिन्दु A(1985, 92) और B(1995,97) से होकर जाती है।
∴ AB की ढाल = \(\frac{97-92}{1995-1985}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
मान लीजिए सन् 2010 में जनसंख्या y₁ करोड़ होगी जो बिन्दु P(2010, y₁), AB पर पड़ता है।

∴ ABP सरेखीय हैं।
या AB की ढाल = BP की ढाल
\(\frac{1}{2}=\frac{y_{1}-97}{2010-1995}=\frac{y_{1}-97}{15}\)
∴ 2(y₁ – 97) = 15
2y₁ = 15 + 2 × 97
= 15 + 194 = 209
∴ y₁ = \(\frac{209}{2}\) = 104.5
सन् 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेढ़ी के (m + n) वें तथा (m – n) पदों का योग m वें पद का दुगुना है।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।

प्रश्न 2.
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याओं का योग 24 है तथा उनका गुणनफल 440 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a – d, a और a + d हैं।
तीनों संख्याओं का योग = (a – d) + a + (a + d) = 24
∴ 3a = 24 या a = 8
तीन संख्याओं का गुणनफल = (a – d). a .(a + a)
= a (a² – d²)
= 8(64 – d²) [∵ a = 8]
या 8(64 – d²) = 440
या 64 – d² = 55
d² = 64 – 55 = 9 या d = 3
अतः अभीष्ट संख्याएँ 5, 8, 11.

प्रश्न 3.
माना कि किसी समांतर श्रेढ़ी के n, 2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः S₁, S₂ तथा S₃ हैं, तो दिखाइए कि S₃ = 3(S₂ – S₁).
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।

प्रश्न 4.
200 और 400 के मध्य आने वाली उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 7 से विभाजित हों।
हल:
200 से 400 के मध्य आने वाली संख्याएँ 203, 210, 217,…….., 399
मान लीजिए 399, n वाँ पद है।
∴ 399 = a + (n – 1).7
= 203 + 7 (n – 1)
या 399 – 203 = 196 = 7(n – 1)
∴ n – 1 = \(\frac{196}{7}\) = 28 या n = 29
∴ 203 + 210 + 217 +……+ 399
= \(\frac{29}{2}\)[203 + 399] [∵ S = \(\frac{n}{2}\)(a + l)]
= \(\frac{29}{2}\)(602) = 29 × 301
= 8729.

प्रश्न 5.
1 से 100 तक आने वाले उन सभी पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाजित हों।
हल:
2 से विभाजित होने वाले पूर्णांक 2, 4, 6,…., 100
इनकी कुल संख्या = 50
5 से विभाजित होने वाले पूर्णांक 5, 10, 15, 20,……100
इनकी कुल संख्या = 20
2 और 5 दोनों से विभाजित होने वाले पूर्णांक 10, 20, 30,…., 100
इनकी कुल संख्या = 10
1 से 100 तक आने वाले पूर्णांक जो 2 या 5 से विभाजित हों, तब
= (2 + 4 + 6 + ……50 पदों तक) + (5 + 10 + 15 +…… 20 पदों तक) – (10 + 20 + 30 +……10 पदों तक)
= \(\frac{50}{2}\)[4 + (50 – 1). 2] + \(\frac{20}{2}\)[10 + (20 – 1).5] – \(\frac{10}{2}\)[20 + (10 – 1). 10]
= \(\frac{50 \times 102}{2}\) + 10 x 105 – 5 x 110
= 2250 + 1050 – 550
= 3050.

प्रश्न 6.
दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए, जिनको 4 से विभाजित करने पर शेषफल 1 हो।
हल:
दो अंको की वे संख्याएँ जो 4 से विभाजित करने पर 1 शेष रहता है 13, 17, 21,….., 97
मान लीजिए n पद हों, तब n वाँ पद,
97 = 13 + (n – 1). 4
∴ 84 = (n – 1) × 4
∴ n = 22
∴ 13 + 17 + 21 +…..+ 97 = \(\frac{22}{2}\)[26 + (22 – 1).4]
= 11 × (26 + 84)
= 11 × 110
= 1210.

प्रश्न 7.
सभी x, y ϵ N के लिए f(x + y) = f(x).f(y) को संतुष्ट करता हुआ f एक ऐसा फलन है कि f(1) = 3 एवं \(\sum_{x=1}^{n}\)f(x) = 120 तो n का मान ज्ञात करो।
हल:
f(1) = 3, f(2) = f(1 + 1) = f(1) .f(1) = 3.3 = 9
f(3) = f(1 + 2) = f(1). f(2) = 3.9 = 27
f(4) = f(1 + 3) = f(1). (3) = 3 . 27 = 81
इस प्रकार f(1) + f(2) + f(3) +……, n पदों तक
= 3 + 9 + 27 + 81 + ……., n पदों तक = 120
⇒ \(\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{3-1}\) = 120
या 3(3ⁿ – 1) = 120 × 2 = 240
3ⁿ – 1 = \(\frac{240}{3}\) = 80
या 3ⁿ = 81 = 3⁴
अतः n = 4.

प्रश्न 8.
गुणोत्तर श्रेढ़ी के कुछ पदों का योग 315 है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः 5 और 2 हैं।
अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात करो।
हल:
दी हुई गुणोत्तर श्रेणी
5 + 10 + 20 + 40 +…….
n पदों का योग = \(\frac{5\left(2^{n}-1\right)}{2-1}\) = 315
∴ 2ⁿ – 1 = 63
या 2ⁿ = 64 = 2⁶
n = 6
6 वाँ पद = 5 × 2⁶ – 1
= 5.2⁵
= 5 × 32 = 160.

प्रश्न 9.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 1 है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग 90 हो, तो गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात r है।
तीसरा पद = ar² = 1.r² = r²
पाँचवाँ पद = ar⁴ = r⁴
तीसरे और पाँचवें पद का योग = r² + r⁴ = 90
r⁴ + r² – 90 = 0
या (r² + 10)(r² – 9) = 0
∴ r² = – 10 मान्य नहीं है।
∴ r² – 9 = 0, r² = 9
∴ r = ± 3.

प्रश्न 10.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के तीन पदों का योग 56 है। यदि हम क्रम से इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाएँ तो हमें एक समांतर श्रेढ़ी प्राप्त होती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी की तीन संख्याएँ a, ar, ar² हैं।
तीनों पदों का योग = a + ar + ar² = 56 …..(1)
इन संख्याओं में से 1, 7, 21 घटाने पर संख्याएँ
ar – 1, ar – 7, ar² – 21 समांतर श्रेढ़ी में हैं।
∴ 2(ar – 7) = (a – 1) + (ar² – 21)
या 2ar – 14 = ar² + a – 22
ar² – 2ar + a = 22 – 14 = 8 ….(2)
समी. (1) को (2) से भाग देने पर
= \(\frac{a\left(1+r+r^{2}\right)}{a\left(1-2 r+r^{2}\right)}\) = \(\frac{56}{8}\) = 7
या 7(1 – 2r + r²) = 1 + r + r²
6r² – 15r + 6 = 0
2r² – 5r + 2 = 0
या (r – 2) (2r – 1) = 0 या r = 2, \(\frac{1}{2}\)
समी (1) में r = 2 रखने पर,
a(1 + 2 + 4) = 56 या a = \(\frac{56}{7}\) = 8
इस प्रकार तीन संख्याएँ हैं: 8, 16, 32.
पुन: समी (1) में r = \(\frac{1}{2}\) रखने से,
a\(\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\) = 56
a = \(\frac{56 \times 4}{7}\) = 32
∴ तीन संख्याएँ 32, 16, 8.
अतः अभीष्ट संख्याएं 8, 16, 32 हैं।

प्रश्न 11.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का 5 गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी का पहला पद = a सार्व अनुपात = r और पदों की संख्या = 2n
सभी पदों का योगफल = \(\frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r-1}\)
विषम स्थानों पर रखे पद a, ar², ar⁴, …. n पदों तक
इनका योग = a + ar² + ar² +……n पदों तक
= \(\frac{a\left[\left(r^{2}\right)^{n}-1\right]}{r^{2}-1}=\frac{a\left(r^{2 n}-1\right)}{r^{2}-1}\)
दिया है :
गुणोत्तर श्रेढ़ी के 2n पदों का योगफल = 5 × [विषम स्थानों पर स्थित पदों का योगफल]

प्रश्न 12.
एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम चार पदों का योगफल 56 है। अंतिम चार पदों का योगफल 112 है। यदि इसका प्रथम पद 11 है, तो पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी
a + (a + d) + (a + 2a) +……+ l जबकि l अंतिम पद n वाँ पद है।
प्रथम 4 पदों का योगफल = \(\frac{4}{2}\)[2a + (4 – 1) d]
= 2[22 + 3d] [∵ a = 11]
दिया है: 2[22 + 3d) = 56
⇒ 3d + 22 = 28 या d = 2
अंतिम पद = a + (n – 1) d = 11 + (n – 1).2
= 2n + 9
अंतिम चार पद 2n + 9, 2n + 7, 2n + 5, 2n + 3
इनका योगफल = \(\frac{4}{2}\)[2(2n + 9) + (4 – 1). (- 2)]
= 2[4n + 18 – 6]
= 2[4n + 12]
दिया है : 2(4n + 12) = 112
∴ 4n + 12 = 56
4n = 56 – 12 = 44
∴ n = 11.

प्रश्न 13.
यदि \(\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}\) (x ≠ 0) हो, तो दिखाइए कि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।
हल:

अतः a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी में S,n पदों का योग, P उनका गुणनफल तथा R उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि P²Rⁿ = Sⁿ.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेढ़ी a + ar + ar² +….. + ar^{n – 1}
इन n पदों का गुणनफल, P = a. ar . ar²….. ar^{n – 1}
= aⁿ. r^{1 + 2 +…+ (n – 1)}
= \(a^{n} r \frac{n(n-1)}{2}\)

अतः P²Rⁿ = Sⁿ.

प्रश्न 15.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ, धूवाँ, वाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए
(q – r)a + (r – p)b + (p – q) c = 0.
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी
A + (A + d) + (A + 2d) +…. है।
p वाँ पद = A + (p – 1) d = a ….(1)
q वाँ पद = A + (q – 1) d = b ….(2)
r वाँ पद = A + (r – 1) d=c …..(3)
समी (2) में से समी (3) को, समी (3) में से समी (1) को, समी (1) में से समी (2) को घटाने पर
(q – r)d = b – c ….(4)
(r – p)d = c – a …(5)
(p – q)d = a – b ….(6)
समीकरण (4), (5) तथा (6) को क्रमशः a, b तथा c से गुणा करके जोड़ने पर,
a(q – r)d + b(r – p)d + c(p – d)d
= a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= ab – ac + bc – ba + ca – bc
= 0
दोनों पक्षों में d से भाग देने पर,
(q – r)a + (r – p)b + (p – q)c = 0.

प्रश्न 16.
यदि \(a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) समांतर श्रेड़ी में हैं, तो सिद्ध करो कि a, b, c समांतर भेट्टी में हैं।
हल:

प्रश्न 17.
यदि a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \(\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)\) गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
हल:
a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
मान लीजिए सार्व अनुपात r है।

प्रश्न 18.
यदि x² – 3x + p = 0 के मूल a तथा b हैं तथा x² – 12x + q = 0 के मूल c तथा d हैं, जहाँ a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी के रूप में हैं। सिद्ध कीजिए कि
(q+ p) : (q – p) = 17 : 15.
हल:
यदि समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूल a , B हैं, तो
α + β = \(\frac{-B}{A}\), αβ = \(\frac{C}{A}\)
दिया है कि x² – 3x + p = 0 के मूल a, b हैं
∴ a+ b = 3, ab = p …..(1)
इसी प्रकार x² – 12x + q = 0 के मूल c, d हैं
∴ c + d = 12. cd = q …..(2)
अब a, b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जिसका मान लीजिए r सार्व अनुपात है।
∴ b = ar, c = ar², d= ar³
a + b = 3, a + ar = 3 …(3)
c + d = 12 या ar² + ar³ = 12 …(4)
समी (3) को (4) से भाग देने पर,

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य का अनुपात m : n है। दर्शाइए कि
a : b = \((m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}):(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}})\).
हल:
a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\)
a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{a b}\)
दोनों माध्यों का अनुपात m : n

प्रश्न 20.
यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं; b, c, d गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं तथा \(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
हल:
a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हैं ∴ \(\frac{a+c}{2}\) = b …(1)
b, c, d, गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, ∴ bd = c² …(2)
\(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) समांतर श्रेढ़ी में हैं, ∴ \(\frac{2}{d}\) = \(\frac{1}{c}+\frac{1}{e}\)
⇒ d = \(\frac{2 c e}{c+e}\) …..(3)
b और d का मान (1) और (3) से लेकर (2) में रखने पर

प्रश्न 21.
निम्नलिखित श्रेढ़ियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 5 + 55 + 555+ ……
(ii) 0.6 + 0.66 + 0.666 +…..
हल:
(i) S = 5 + 55 + 555 +…..n पदों तक

(ii) S = 0.6 + 0.66 + 0.666 +….n पदों तक

प्रश्न 22.
श्रेढ़ी का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए :
2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 +…..+ n पदों तक
हल:
2, 4, 6,….. का 20 वाँ पद = 2n = 2 × 20 = 40.
4, 6, 8….. का 20 वाँ पद = 4 + 19 × 2 = 4 + 38 = 42
∴ 2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8+…… का 20 वाँ पद
= 40 × 42 = 1680.

प्रश्न 23.
श्रेणी 3 + 7 + 13 + 21 + 31 +….. के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:

= n² + n – 2 +3
= n² + n + 1
∴ दी हुई श्रेणी का योग
= Σn² + Σn + n
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}+n\)
= \(\frac{n}{6}\)[(n + 1)(2n + 1) + 3(n + 1) + 6]
= \(\frac{n}{6}\)[2n² + 6n + 10]
= \(\frac{n}{3}\)[n² + 3n + 5].

प्रश्न 24.
यदि S₁, S₂, S₃, क्रमशः प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग, उनके वर्गों का योग तथा घनों का योग है, तो सिद्ध कीजिए कि
\(9 S_{2}^{2}=S_{3}\left(1+8 S_{1}\right)\)
हल:
S₁ = n प्राकृत संख्याओं का योग
= 1 + 2 + 3 +…..n पदों तक
= \(\frac{n(n+1)}{2}\) …..(1)
S₂ = n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग
= 1² + 2² + 3² +…..+ n²
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) …..(2)
S₃ = n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग
= 1³ + 2³ + 3³ +…..+ n³
= \(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए :
\(\frac{1^{3}}{1}+\frac{1^{3}+2^{3}}{1+3}+\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}}{1+3+5}+\ldots\)
हल:
अंश में दी हुई संख्याएँ 1³, 1³ + 2³, 1³ + 2³ + 3³, …..
n वाँ पद = 1³ + 2³ + 3³ +…..+ n³
= \(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\)
हर में दी हुई संख्याएँ 1, (1 + 3), (1 + 3 + 5), ……
n वाँ पद = 1 + 3 + 5 +……n पदों तक

प्रश्न 26.
दशाइए कि \(\frac{1 \times 2^{2}+2 \times 3^{2}+\ldots . .+n(n+1)^{2}}{1^{2} \times 2+2^{2} \times 3+\ldots .+n^{2}(n+1)}\) = \(\frac{3 n+5}{3 n+1}\).
हल:

प्रश्न 27.
कोई किसान एक पुराने ट्रैक्टर को 12000 रू. में खरीदता है। वह 6000 रु. नकद भुगतान करता है और शेष राशि को 500 रू की वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 12% वार्षिक ब्याज भी देता है। किसान को ट्रैक्टर की कुल कितनी कीमत देनी पड़ेगी?
हल:
पुराने ट्रैक्टर का मूल्य = 12000 रू
नकद भुगतान = 6000 रू
शेष = 12000 – 6000 = 6000 रू
एक किस्त का भुगतान = 500 रू
कुल किस्तें = \(\frac{6000}{12}\) = 12
P मूलधन पर 12% प्रतिवर्ष की दर से 1 वर्ष का ब्याज
= \(\frac{P \times 12 \times 1}{100}=\frac{3}{25} P\)

कुल भुगतान = (12000 + 4680) रू
= 16680 रू।

प्रश्न 28.
शमशाद अली 22000 रू में एक स्कूटर खरीदता है। वह 4000 रू नकद देता है और शेष राशि को 1000 रू वार्षिक किस्त के अतिरिक्त उस धन पर जिसका भुगतान न किया गया हो 10% वार्षिक ब्याज भी देता है। उसे स्कूटर के लिए कुल कितनी राशि चुकानी पड़ेगी?
हल:
स्कूटर की कीमत = 22000 रू
नकद भुगतान = 4000 रू
शेष = 22000 – 4000 = 18000 रू
एक किस्त की राशि = 1000 रू
∴ कुल किस्तें = \(\frac{18000}{1000}\) = 18
P मूलधन पर एक वर्ष का 10% प्रति वर्ष की दर से ब्याज
= \(\frac{P \times 10 \times 1}{100}\) = \(\frac{P}{10}\)
किस्त देने के बाद शेष राशि जिस पर एक वर्ष का ब्याज लगना है,
= 18000, 17000, 16000,….., 1000
कुल ब्याज की राशि
= \(\frac{1}{10}\)(18000 + 17000 + 16000 +…..+ 18 पदों तक)
= \(\frac{1}{10} \times \frac{18}{2}\)[2 × 18000 – (18 – 1) × 1000]
= \(\frac{9}{10}\)[36000 – 17000)
= \(\frac{9 \times 19000}{10}\) = 17100 रू
कुल किश्तों की राशि = 18000 रू
नकद = 4000 रू
कुल भुगतान = (18000 + 17000) + 4000 रू
= 39,100 रू।

प्रश्न 29.
एक व्यक्ति अपने चार मित्रों को पत्र लिखता है। वह प्रत्येक को उसकी नकल करके चार दूसरे व्यक्तियों को भेजने का निर्देश देता है, तथा जिनसे यह भी करने को कहता है कि प्रत्येक पत्र प्राप्त करने वाला व्यक्ति इस श्रृंखला को जारी रखे। यह कल्पना करके कि श्रंखला न टूटे तो 8वें पत्रों के समूह भेजे जाने तक कितना डाक खर्च होगा जबकि एक पत्र का डाक खर्च 50 पैसे है।
हल:
पहला व्यक्ति चार पत्र लिखता है। पत्र प्राप्त करने वाले 4 व्यक्ति फिर चार-चार पत्र लिखते हैं। इस प्रकार श्रृंखला बढ़ती चली जाती है।
हर अवसर पर पत्रों की संख्याएँ 4, 16, 24…… 8 पदों तक
कुल पत्रों की संख्या = 4 + 16 + 64 + ……………8 पदों तक
= \(\frac{4\left(4^{8}-1\right)}{4-1}\) = \(\frac{4}{3}\)(65536 – 1)
= \(\frac{4}{3}\) × 65535 = 87380
एक पत्र का डाक खर्च = 50 पै. = \(\frac{1}{2}\)रू
कुल डाक खर्च = 87380 x \(\frac{1}{2}\)
= 43690 रू

प्रश्न 30.
एक आदमी ने एक बैंक में 10000 रूपये 5% वार्षिक साधारण ब्याज पर जमा किया। जब से रकम बैंक में जमा की गई तब से, 15वें वर्ष में उसके खाते में कितनी रकम हो गई तथा 20 वर्षों बाद कल कितनी रकम हो गयी, ज्ञात कीजिए।
हल:
बैंक में जमा की गई राशि = 10000 रू
ब्याज की दर = 5% प्रति वर्ष
एक वर्ष बाद ब्याज = \(\frac{10000 \times 5 \times 1}{100}\) = 500रू
इस प्रकार हर वर्ष उसे 500 रू ब्याज के मिलेंगे।
1 वर्ष, 2 वर्ष, 3 वर्ष,…….बाद ब्याज की राशि
500, 1000, 1500, ….
15 वें वर्ष में ब्याज = (n – 1) × 500 = (15 – 1) x 500
= 14 × 500
= 7000 रू
मूलधन = 10000 रू
उसके खाते में 15वें वर्ष में = 10000 + 7000
= 17000 रू होंगें
20 वर्ष का ब्याज = 20 × 500
= 10000 रू
मूलधन = 10000 रू
20 वर्ष बाद बैंक में कुल जमा राशि = 10000 + 10000 = 20000 रू।

प्रश्न 31.
एक निर्माता घोषित करता है कि उस की मशीन जिसका मूल्य 15625 रूपये है, हर वर्ष 20% की दर से उसका अवमूल्यन होता है। 5 वर्ष के बाद मशीन का अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि किसी मशीन का r% की दर से अवमूल्यन हो रहा है n वर्ष बाद मशीन का मूल्य \(P\left(1-\frac{r}{100}\right)^{n}\) होगा।
प्रारभ में मशीन का मूल्य P रूपये है।
यहां पर P = 15625, r = 20% प्रति वर्ष, n = 5 वर्ष
∴ उस मशीन का 5 वर्ष बाद का मूल्य
= 15625 \(\left(1-\frac{20}{100}\right)^{5}\)
= 15625 \(\left(\frac{4}{5}\right)^{5}\)
= 15625 x (.8),sup>5 = 5120 रू।

प्रश्न 32.
किसी कार्य को कुछ दिनों में पूरा करने के लिए 150 कर्मचारी लगाए गए। दूसरे दिन 4 कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया, तीसरे दिन चार और कर्मचारियों ने काम छोड़ दिया तथा इस प्रकार अन्य। अब कार्य पूरा करने में 8 दिन अधिक लगते हैं, तो दिनों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें कार्य पूरा किया गया।
हल:
150 कर्मचारी उस कार्य को n दिनों में समाप्त करते हैं
150 कर्मचारियों का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{n}\)
1 कर्मचारी का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{150n}\)
पहले दिन 150 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{150}{150 n}\) कार्य करते हैं
दूसरे दिन 146 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{146}{150 n}\) कार्य करते हैं
तीसरे दिन 142 कर्मचारी 1 दिन में \(\frac{146}{150 n}\) कार्य करते हैं
वह काम n + 8 दिन में पूरा हुआ
∴ \(\frac{150}{150 n}+\frac{146}{150 n}+\frac{142}{150 n}\) +…….(n + 8) पदों तक = 1
या \(\frac{1}{150 n}\)[150 + 146 + 142 +…n + 8) पदों तक] = 1
या \(\frac{n+8}{2(150 n)}\)[2 x 150 +(n + 8 – 1) x (- 4)] = 1
(n + 8)[300 – 4(n + 7)] = 300n
या (n + 8)(- 4n + 272) = 300n
या (n + 8)(n – 68) = – 75n
या n² – 60n – 544 = – 75n
या n² + 15n – 544 = 0
या (n + 32)(n – 17) = 0
n ≠ – 32 या n = 17
कुल समय = n + 8 दिन
= 17 + 8 = 25 दिन।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.4

प्रश्न 1 से 7 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ….
हल:
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 +……
प्रत्येक पद के दो गुणनखण्ड हैं।
पहले गुणनखंडों से बनी श्रेढ़ी 1, 2, 3, 4……
∴ n वाँ पद = n
दूसरे गुणनखंडों से बनी श्रेढ़ी 2, 3, 4, 5……
n वाँ पद = (n + 1)
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4+…. का n वाँ पद = n(n + 1) = n² + n

प्रश्न 2.
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4+ 3 × 4 × 5 +…..
हल:
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 +……
पहले गुणनखंडों की श्रेढ़ी 1, 2, 3, 4, …..n
n वाँ पद = n
दूसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी 2, 3, 4, 5,….
n वाँ पद = (n + 1)
तीसरे गुणनखंडों की श्रेढ़ी. 3, 4, 5….
n वाँ पद = (n + 2)
∴ 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 +…… का n वाँ पद
= n(n + 1)(n + 2) = n(n² + 3n + 2)
=n³+ 3n² + 2n

प्रश्न 3.
3 × 1² + 5 × 2² + 7 × 3² +……
हल:
3 × 1² + 5 × 2² + 7 × 3² +…..
पहले गुणनखंड 3, 5, 7,….. का n वाँ पद = 3 + (n – 1). 2 = 2n + 1
दूसरे गुणनखंड 1², 2², 3²….. का nवाँ पद = n²
∴ 3 × 1² + 5 × 2² + 7 × 3² +…… का गवाँ पद
= (2n + 1) n² = 2n³ + n²

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}\) +…….
हल:
\(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}\) +…….
1, 2, 3,….. का गवाँ पद = n
2, 3, 4,……का n वाँ पद = (n + 1)

प्रश्न 5.
5² + 6² + 7² +….+ 20².
हल:
n वें पद वाली इस श्रेणी में,
(n + 4)² = n² + 8n + 16
S_n = ΣT_n = Σn² + 8 Σn + (16 + 16 +……n. पदों तक)
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) + 8 × \(\frac{n(n+1)}{2}\) + 16n

प्रश्न 6.
3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 +…..
हल:
3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 +….
3, 6, 9 का n वाँ पद = 3n
8, 11, 14,…..का n वाँ पद = 8 + (n – 1). 3 = 3n + 5
∴ 3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 +……का nवाँ पद = 3n(3n + 5)
= 3 (3n² + 5n)
दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योगफल

प्रश्न 7.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +…..
हल:

दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योगफल

प्रश्न 8 से 10 तक प्रत्येक श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है :
प्रश्न 8.
n(n + 1)(n + 4).
हल:
Tⁿ = n(n + 1)(n + 4) = n(n² + 5n + 4)
= n³ + 5n² + 4n
दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग = Σn³ + 5Σn² + 4Σn
= \(\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+\frac{5 n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{4 n(n+1)}{2}\)
= \(\frac{n(n+1)}{12}\)[3n(n + 1) + 10(2n + 1) + 24]
= \(\frac{n(n+1)}{12}\)[3n² + 3n + 20n + 10 + 24]
= \(\frac{n(n+1)}{12}\)[3n² + 23n + 34]

प्रश्न 9.
n² + 2ⁿ.
हल:
दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग
= Σn² + Σ2ⁿ

प्रश्न 10.
(2n – 1).
हल:
Tⁿ = (2n – 1)² = 4n² – 4n + 1
दी हुई श्रेढ़ी के n पदों का योग

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.3

प्रश्न 1.
गुणोत्तर श्रेणी \(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8} \dots\) का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = \(\frac{5}{2}\)
दूसरा पद = \(\frac{5}{4}\), सार्व अनुपात = \(\frac{1}{2}\)
n वाँ पद = \(a r^{n-1}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) = \(\frac{5}{2^{n}}\).
n = 20 रखने पर,
20 वाँ पद = \(\frac{5}{2^{20}}\)

प्रश्न 2.
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व अनुपात = 2

प्रश्न 3.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11 वाँ पद क्रमशः p, q तथा s हैं, तो दिखाइए कि q² = ps.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व तथा अनुपात =r
5वाँ पद = ar^{5 – 1} = ar⁴ = p
8वाँ पद = ar^{8 – 1} = ar⁷ = q
11वाँ पद = ar^{11 – 1}= ar¹⁰ = s
बायाँ पक्ष = q² = (ar⁷)² = a² . r¹⁴
दायाँ पक्ष = ps = ar⁴ ar¹⁰= a² . r¹⁴
अतः q² = ps.

प्रश्न 4.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद – 3 है, तो 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = – 3
तथा सार्व-अनुपात = r
चौथा पद = ar^{4 – 1} = ar³ = – 3r³
दूसरा पद = ar = – 3r
दिया है : चौथा पद = (दूसरे पद)²
⇒ – 3r³ = (-3r)² = 9r²
r= – 3
7वाँ पद = \(a r^{7-1}=a r^{6}=(-3)(-3)^{6}\)
= (- 3)⁷ = – 2187.

प्रश्न 5.
अनुक्रमों का कौन सा पद :
(a) 2, 2\(\sqrt{2}\), 4, … ; 128 है ?
(b) \(\sqrt{3}\), 3, 3, …. ; 729 है ?
(c) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\), ….; 19683 है?
हल:
(a) गुणोत्तर श्रेणी का पहला व दूसरा पद क्रमशः 2 और 2\(\sqrt{2}\)

∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6, n – 1 = 12 या n = 13.

प्रश्न 6.
x के किस मान के लिए संख्याएँ –\(\frac{2}{7}\), x, – \(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं ?
हल:
संख्याएँ a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में है यदि b² = ac
∴ –\(\frac{2}{7}\), x, – \(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं
\(x^{2}=\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)\) = 1
x = ± 1.

प्रश्न 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
0.15, 0.015, 0.0015,…..20 पदों तक।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी 0.15, 0.015, 0.0015
पहला पद, a = 0.15
सार्व अनुपात, r = \(\frac{0.015}{0.15}\) = 0.1

प्रश्न 8.
\(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}\),…..n पदों तक।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी \(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}\), …….
पहला पद, a = \(\sqrt{7}\) , सार्व अनुपात, r = \(\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}\)

प्रश्न 9.
1, – a, a², – a³,…. पदों तक (यदि a ≠ – 1).
हल:
गुणोत्तर श्रेणी 1, – a, a, ², – a³,…..
पहला पद, a = 1, सार्व अनुपात, r = \(\frac{-a}{1}\) = – a

प्रश्न 10.
x³, x⁵, x⁷, …..n पदों तक (यदि x ≠ ± 1).
हल:
गुणोत्तर श्रेणी x³, x⁵, x⁷, …..

प्रश्न 11.
मान ज्ञात कीजिए \(\sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)\).
हल:

प्रश्न 12.
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल \(\frac{39}{10}\) है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद \(\frac{a}{r}\), a तथा ar हैं।

प्रश्न 13.
गुणोत्तर श्रेणी 3,3², 3³,… के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
हल:
मान लो गुणोत्तर श्रेणी के कुल पद = n

या 3(3ⁿ – 1) = 120 × 2 = 240
3 से भाग देने पर
3ⁿ – 1 = \(\frac{240}{3}\) = 80
या 3ⁿ = 80 + 1 = 81 = 3⁴
अत:
n = 4.

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले 3 पदों का योग 128 है तो गुणोत्तरं श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar²,…. है।
पहला पद = a, सार्व अनुपात = r
तीन पदों का योगफल = \(\frac{a\left(1-r^{3}\right)}{1-r}\) = 16 …(1)
चौथा पद = a × r^{n – 1} = ar^{4 – 1} = ar³
अगले तीन पदों का योगफल = \(\frac{a r^{3}\left(1-r^{3}\right)}{1-r}\) = 128

प्रश्न 15.
एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है, तो S⁷ ज्ञात कीजिए।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = 729
मान लीजिए सार्व अनुपात = r

प्रश्न 16.
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल – 4 है तथा 5 वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व अनुपात = r
पहले दो पदों का योग = a + ar = – 4 ……(1)
5 वाँ पद = ar⁴, तीसरा पद = ar²
5 वाँ पद = 4 × तीसरा पद
ar⁴ = 4 × ar²
∴ r² = 4 या r = ± 2
समी (1) में r = 2 रखने पर
a (1 + 2) = – 4
∴ a = – latex]\frac{4}{3}[/latex]
∴ गुणोत्तर श्रेणी – 5, 3…. है
और जब r = – 2, ∴ a (1 – 2) = – 4, या a = 4
गुणोत्तर श्रेणी है: 4, – 8, 16, – 32,….

प्रश्न 17.
यदि किसी गुणोत्तर का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a,
सार्व अनुपात =r

प्रश्न 18.
अनुक्रम 8, 88, 888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए S = 8 + 88 + 888 + … पदों तक
= 8 [1 + 11 + 111 + … n पदों तक]
= \(\frac{8}{9}\)[9 + 99 + 999 +…. पदों तक]

प्रश्न 19.
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, \(\frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 तथा 128, 32, 8, 2,\(\frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल 2 × 128, 4 × 32, 8 × 8, 16 × 2, 32 × \(\frac{1}{2}\) या 256, 128, 64, 32, 16.
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = 256

प्रश्न 20.
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar²,… ar^{n – 1} तथा A, AR, Ar²,…. AR^{n – 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। .
हल:
%अनुक्रम a, ar, ar²,….ar^{n – 1} तथा A, AR, AR²,… AR^{n – 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम
या aA, arAR, ar². AR², ….
या aA, aArR, aAr² R², ….
स्पष्ट है कि यह पद गुणोत्तर श्रेणी में है।
इसका पहला पद = aA
सार्व अनुपात = \(\frac{a A r R}{a A}\) = rR.

प्रश्न 21.
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो, तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar², ar³,… है
तीसरा पद = ar², प्रथम पद = a
∴ ar² – a = 9 …(1)
दूसरा पद = ar, चौथा पद = ar³
ar – ar³ = 18 …(2)
समी (1) को (2) से भाग देने पर,

प्रश्न 22.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का p वाँ, q वाँ तथा वा पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(a^{q-r} \cdot b^{r-p}-c^{p-q}\) = 1.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A और सार्व अनुपात R है
p वाँ पद = AR^{p – 1} = a ….(1)
q वाँ पद = AR^{q – 1} = b ….(2)
r वाँ पद = AR^{r – 1} = c …..(3)
समी. (1) की q – 7, समी (2) की r – p, समी (3) की p – q घात का प्रयोग करने पर,

प्रश्न 23.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P² = (ab)ⁿ.
हल:
मान लो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है।
पहला पद = a, n वाँ पद = ar ^{n – 1} = b
P = n पदों का गुणनफल
= a. ar. ar². ar³ ….ar^{n – 1}
= a ⁿ. r ^{1 + 2 + 3 +…+ (n – 1)} = \(a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

प्रश्न 24.
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात में है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = \(\frac{1}{r^{n}}\) हों, तब

प्रश्न 25.
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि \(\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=(a b+b c+c d)^{2}\).
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात 7 है।

प्रश्न 26.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 और 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
हल:
मान लीजिए G₁, G₂ ऐसी दो संख्याएँ हैं जिससे 3, G₁, G₂, 81 गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।
यह कुल चार पद हैं। यदि r सार्व अनुपात हो तो
∴ 81 = 3.r^{4 – 1} = 3 . r³
⇒ r=3
G₁ = 3r = 3 . 3 = 9
G₂ = 3r² = 3.3² = 27
अतः संख्याएँ 9 और 27 हैं।

प्रश्न 27.
n का मान ज्ञात कीजिए ताकि \(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}\), a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
हल:
a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{a b}\)

या \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n+\frac{1}{2}}\) = 1 = \(\left(\frac{a}{b}\right)^{0}\)
⇒ n+ \(\frac{1}{2}\) = 0 या n = – \(\frac{1}{2}\).

प्रश्न 28.
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2\(\sqrt{2}\)) : (3 – 2\(\sqrt{2}\)) के अनुपात में हैं। .
हल:
मान लीजिए संख्याएँ a और b हों, तब

प्रश्न 29.
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध करो कि संख्याएँ \(\mathbf{A} \neq \sqrt{(A+G)(A-G)}\) हैं।
हल:
मान लीजिए संख्याएँ a और b हैं।

प्रश्न 30.
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घण्टे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा nवें घण्टों बाद क्या होगी ?
हल:
प्रारम्भ में बैक्टीरिया की संख्या a = 30
प्रत्येक घण्टे बाद बैक्टीरिया की संख्या दुगुनी हो जाती है
∴ सार्व अनुपात = 2.
दूसरे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar² = 30 × 2² = 120
चौथे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar⁴ = 30 × 2⁴ = 480
n वें घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = arⁿ = 30 × 2ⁿ.

प्रश्न 31.
500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए ?
हल:
माना A मिश्रधन, P मूलधन, r% प्रतिवर्ष ब्याज की दर तथा n वर्ष का समय हो, तो
A = \(P\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
दिया है: P = 500, r = 10%, n = 10 वर्ष
A = 500 \(\left(1+\frac{10}{100}\right)\)
= 500 × (1.1)¹⁰.

प्रश्न 32.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघातीय समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए द्विघात समीकरण के मूल α और β हों, तब
\(\frac{\alpha+\beta}{2}\) = 8 ∴ α + β = 16
तथा \(\sqrt{\alpha \beta}\) = 5 ∴ αβ = 25
∴ द्विघातीय समीकरण.
x ² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x ² – 16x + 25 = 0..

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.2

प्रश्न 1.
1 से 2001 तक के विषम पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
श्रेणी 1 + 3 + 5 + 7 +….+ 2001
मान लीजिए n वाँ पद 2001 तब
2001 = a + (n – 1)d
= 1+ (n – 1). 2
= 1001

प्रश्न 2.
100 तथा 1000 के मध्य उन सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 5 के गुणज हों।
हल:
100 और 1000 के बीच की संख्याएँ जो 5 की गुणज हैं उनका योगफल
= 105 + 110 + 115 + ….+ 995
मान लीजिए 995, n वाँ पद है।
n वाँ पद = a + (n – 1) d
⇒ 995 = 105 + (n – 1)5
5. (n – 1) = 995 – 105
= 890
n – 1 = \(\frac{890}{5}\) = 178
या n = 179
अतः योगफल, S₁₇₉ = \(\frac{179}{2}\) [2 × 105 + (179 – 1). 5]
= \(\frac{179}{2}[2 \times 105+178 \times 5]\)
= 179 [105 + 89 × 5]
= 98450.

प्रश्न 3.
किसी समांतर श्रेणी में प्रथम पद 2 है तथा प्रथम पांच पदों का भागफल, अगले पांच पदों के योगफल का एक चौथाई है। दर्शाइए कि 20 वाँ पद – 112 है।
हल:
मान लीजिए, d सार्वअंतर है जबकि a = 2 .
प्रथम पाँच पदों का योगफल = \(\frac{5}{2}\)[2 × 2 + 4 × d]
= 5 [2 + 2d] = 10 (1 + d)
तथा 6 वाँ पद = 2 + (6 – 1). d = 2 + 5d

प्रश्न 4.
समांतर श्रेढ़ी – 6, –\(\frac{11}{2}\),- 5… के कितने पदों का योगफल – 25 है?
हल:
दिया है: a = – 6, d = –\(\frac{11}{2}\) + 6 = \(\frac{1}{2}\)
मान लीजिए n पदों का योगफल – 25 है।
– 25 = \(\frac{n}{2}\left[2 \times(-6)+(n-1) \times \frac{1}{2}\right]\)
– 50 = n [- 12 + \(\frac{1}{2}\)(n – 1)]
= – 12n + \(\frac{1}{2}\) n(n – 1)
– 2 से गुणा करने पर, 100 = 24n – n (n- 1)
= 24n – n² + n .
n² – 25n + 100 = 0 या (n – 5) (n – 20) = 0
n = 5, 20
अतः अभीष्ट पदों की संख्या = 5 या 20.

प्रश्न 5.
किसी समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद \(\frac{1}{q}\) तथा q वाँ पद \(\frac{1}{p}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम pq पदों का योग \(\frac{1}{2}\)(pq + 1) होगा, जहाँ p ≠ q.
हल:
मान लीजिए प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
∴ p वाँ पद = a + (p – 1) d = \(\frac{1}{q}\) …..(1)
q वाँ पद = a + (q – 1)d = \(\frac{1}{p}\) …..(2)
समी (2) को (1) में से घटाने पर,

प्रश्न 6.
यदि किसी समांतर श्रेणी 25, 22, 19,…. के कुछ पदों का योगफल 116 है तो अंतिम पद ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
a = 25, d = 22 – 25 = – 3
मान लीजिए इस श्रेणी में n पद हैं।

अतः 8वाँ पद = a + (n – 1)d
= 25 + (8 – 1) (- 3)
= 25 – 21
= 4

प्रश्न 7.
उस समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल ज ज्ञात कीजिए जिसका वॉ पद 5k +1 है।
हल :
दिया है, k वाँ पद = T_k = 5k+1
k = 1, 2 रखने पर
T₁ = 5 × 1 +1
= 5 + 1 = 6
T₂ = 5 × 2 +1
= 10 + 1 = 11
d = T₂ – T₁
= 11 – 6 = 5
∴ n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 6 + (n – 1). 5]
= \(\frac{n}{2}\)[12 + 5n -5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 7].

प्रश्न 8.
यदि किसी समांतर श्रेणी के पदों का योगफल pn+ar है, जहाँ p तथा अचर हों तो सार्वअंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
n पदों का योगफल = \(S_{n}=p n+q n^{2}\)
n = 1, 2 रखने पर

प्रश्न 9.
दो समांतर श्रेणियों के n पदों के योगफल का अनुपात 5n + 4 : 9n + 6 हो, तो उनके 18 वें पदों का अनुपात ज्ञात करो।
हल:
मान लीजिए समातर श्रेणियों के प्रथम पद a₁, a₂, तथा सार्वअंतर d₁ और d₂ हैं। यदि S_n S_n‘ उनके संगत योगफल हैं। T₁₈ और T₁₈ उनके संगत 18 वें पद हैं।

प्रश्न 10.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p पदों का योग, प्रथम q पदों के योगफल के बराबर हो, तो प्रथम (p + q) पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए a प्रथम पद व d सार्व अंतर है।
∴ p पदों का योगफल = \(\frac{p}{2}\)[2a + (p – 1)d] …. (1)
q पदों का योगफल = \(\frac{q}{2}\)[2a + (q – 1)d] ….(2)

प्रश्न 11.
यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम p, q, r पदों का योगफल क्रमशः a, b, c, हो तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)\) = 0
हल:

प्रश्न 12.
किसी समांतर श्रेणी के m तथा n पदों के योगफलों का अनुपात m² : n² है तो दर्शाइए कि m वें तथा n वें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) है।
हल:
मान लीजिए समांतर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अंतर d है।
∴ m पदों का योगफल = \(\frac{m}{2}\)[2a + (m – 1)d]
n पदों का योगफल = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]

प्रश्न 13.
यदि किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योगफल 3n² + 5n है तथा इसका m वाँ पद 164 है तो m का मान ज्ञात करो।
हल:

प्रश्न 14.
8 और 26 के बीच ऐसी 5 संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बन जाए।
हल:
माना A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, संख्या 8 और 26 के बीच डाली गई हैं। जिससे 8, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, 26 समांतर श्रेणी का रूप है।
इस अनुक्रम के कुल पद = 7
पहला पद = 8,
अंतिम पद = 26, यदि सार्व अंतर d हो, तो
26 = a + (n – 1)d = 8 + (7 – 1)d
6d = 26 – 8 = 18,
d = \(\frac{18}{6}\) = 3
दूसरा पद = A₁ = 8 + 3 = 11
A₂ = 11 + 3 = 14
A₃ = 14 +3 = 17
A₄ = 17 + 3 = 20
A₅ = 20 + 3 = 23
अतः A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, के मान क्रमशः 11, 14, 17, 20, 23 हैं।

प्रश्न 15.
यदि \(\frac{a^{n}+b^{m}}{a^{n-1}+b^{n-1}}\), a तथा b के मध्य समांतर माध्य हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
a और b के बीच समांतर माध्य = \(\frac{a+b}{2}\)

प्रश्न 16.
m संख्याओं को 1 तथा 31 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है। और 7वीं एवं (m – 1) वीं संख्याओं का अनुपात 5 : 9 है, तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए 1, A₁, A₂,…., A_m, 31, समांतर श्रेणी है।
कुल पद = m + 2
अंतिम पद = 31
31 = a + (m + 2 – 1)d = 1 + (m + 1)d

प्रश्न 17.
एक व्यक्ति ऋण का भुगतान 100 रुपए की प्रथम किश्त से शुरू करता है। यदि वह प्रत्येक किश्त में 5 रुपए प्रति माह बढ़ाता है, तो 30 वीं किश्त की राशि क्या होगी?
हल:
पहली किश्त a = 100 रु.
हर माह किश्त में बढ़ोत्तरी = सार्व अंतर = 5 रु.
30वीं किश्त = समांतर श्रेणी का 30वाँ पद
= a + (n – 1)d = 100 + (30 – 1) 5
= 100 + 29 × 5 = 100 + 145 = 245 रु.।

प्रश्न 18.
एक बहुभुज के दो क्रमिक अंत: कोणों का अंतर 5° है। यदि सबसे छोटा कोण 120° हो, तो बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
एक n भुजाओं वाले बहुभुज के अंतः कोणों का योग
= 180n – 360 …(1)
दिया है कि एक अंतः कोण = समांतर श्रेणी का पहला पद = 120°
क्रमिक अंतः कोणों का अंतर = समांतर श्रेणी का सार्व अंतर = d = 5
∴ n अंतः कोणों का योग = समांतर श्रेणी के n पदों का योग ।
= \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 x 120 + (n – 1) x 5]
= \(\frac{n}{2}\)[240 + 5n – 5]
= \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] …(2)
समी (1) और (2) से, \(\frac{n}{2}\)[5n + 235] = 180n – 360
या 5n² + 235 n = 360n – 720
या 5n² – 125n + 720 = 0
या n² – 25n + 144 = 0
∴ (n – 16) (n – 9) = 0
∴ n = 16, 9
n ≠ 16 इसलिए n = 9.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका गवाँ पद दिया गया है :
प्रश्न 1.
a_n = n(n+ 2).
हल:
a_n = n(n + 2)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a₁ = 1 x 3 = 3, a₂ = 2 x 4 = 8, a₃ = 3 x 5 = 15, a₄ = 4 x 6 = 24, a₅ = 5 x 7 = 35
अतः दिए गए अनुक्रम के पाँच पद 3, 8, 15, 24, 35 हैं।

प्रश्न 2.
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
हल:
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर

प्रश्न 3.
a_n = 2ⁿ.
हल:
a_n = 2ⁿ में n का मान 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
\(a_{1}=2^{1}=2, a_{2}=2^{2}=4, a_{3}=2^{3}=8, a_{4}=2^{4}=16, a_{5}=2^{5}=32\)
अतः अनुक्रम के पाँच पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं।

प्रश्न 4.
a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\)
हल:

प्रश्न 5.
a_n = \((-1)^{n-1} 5^{n+1}\).
हल:

प्रश्न 6.
a_n = \(n \frac{n^{2}+5}{4}\)
हल:

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका n वाँ पद दिया गया है:
प्रश्न 7.
a_n = 4n – 3, 4₁₇, a₂₄.
हल:
a_n = 4n – 3
n = 17 लेने पर,
a₁₇ = 4 x 17 – 3 = 68 – 3 = 65
n = 24 लेने पर,
a₂₄ = 4 x 24 – 3 = 96 – 3 = 93.

प्रश्न 8.
\(a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}\) : a₇
हल:
\(a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}\)
n= 7 रखने पर,
\(a_{7}=\frac{7^{2}}{2^{7}}=\frac{49}{128}\)

प्रश्न 9.
a_n = \((-1)^{n-1} n^{3}\); a_n.
हल:
a_n = \((-1)^{n-1} n^{3}\),
n = 9 रखने पर,
a₉ = \((-1)^{9-1} 9^{3}\) = 729.

प्रश्न 10.
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\) : a₂₀.
हल:
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\),
n = 20 लेने पर,
\(a_{20}=\frac{20 \times 18}{23}=\frac{360}{23}\)

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 11.
\(a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2\) सभी n > 1 के लिए।
हल:

प्रश्न 12.
\(a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}\), जहाँ n ≥ 2.
हल:

प्रश्न 13.
a₁ = a₂ = 2, \(a_{n}=a_{n-1}-1\), जहाँ n > 2.
हल:

प्रश्न 14.
Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है :
\(1=a_{1}=a_{2}\), तथा \(a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n>2\) तो, \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) ज्ञात कीजिए जबकि n = 1, 2, 3, 4, 5.
हल :

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
यदि (a + b)ⁿ के प्रसार में प्रथम तीन पद क्रमशः 729, 7290 तथा 30375 हों तो a, b तथा n ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
यदि (3 + ax)⁹ के प्रसार में x² और x³ के गुणांक समान हों, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए गुणनफल (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ में x का गुणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\((1+2 x)^{6}=1+6 C_{1}(2 x)+6 C_{2}(2 x)^{2}+6 C_{3}(2 x)^{3}\) + \(^{6} C_{4}(2 x)^{4}+^{6} C_{5}(2 x)^{5}+\ldots\)

इन दोनों के गुणनफल में से x⁵ के गुणांक का चयन करते हुए
x⁵ का गुणांक = 192 – 7 – 240 + 21 x 160 – 35 x 60 + 35 x 12 – 21 x 1
= 192 – 1680 + 3360 – 2100 + 420 – 21
= 171.

प्रश्न 4.
यदि a और b भिन्न-भिन्न पूर्णांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि aⁿ – bⁿ का एक गुणनखंड (a – b) है, जबकि n एक धन पूर्णांक है।
हल:
a = b + (a – b)
aⁿ = [b + (a – b)]ⁿ

अतः स्पष्ट है कि aⁿ – bⁿ का a – b एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 5.
\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
\(\left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
(0.99)⁵ प्रसार के पहले 3 पदों का प्रयोग करते हुए इसका निकटतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(0.99)⁵ = \((1-0.01)^{5}=1-^{5} C_{1}(0.01)+^{5} C_{2} \times(0.01)^{2}+\ldots\)
= 1 – 5 x 0.01 + 10 x 0.0001
= 1 – 0.05 + 0.001
= 1.001 – 0.05
= 0.951.

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) प्रसार में आरम्भ से 5वें और अंत से 5 वें पद का अनुपात \(\sqrt{6}\) : 1 हो, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}\) के प्रसार में आरंभ से 5 वां पद

दिए गए व्यंजक के प्रसार में n + 1 पद हैं।
अंत से 5 वाँ पद = [(n + 1) – 5 + 1]वाँ पद प्रारंभ से (n – 3) वाँ पद
= \(^{n} C_{n-4}(\sqrt[4]{2})^{n-(n-4)}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n-4}\)

या \(\frac{n}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 10.

प्रश्न 9.
\(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^{4}\), x ≠ 0 का द्विपद प्रमेय द्वारा प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
\(\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}\) का द्विपद प्रमेय से प्रसार ज्ञात कीजिए।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.2

प्रश्न 1 और 2 में गुणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
(x + 3)⁸ में x⁵ का।
हल:

प्रश्न 2.
(a – 2b)¹² में a⁵ b⁷ का।
हल:
(a – 2b)¹² का व्यापक पद = \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-2 b)^{r}\)
= \(^{12} C_{r} a^{12-r}(-1)^{r} \cdot 2^{r} b^{r}\)
∵ b^r= b⁷ (दिया है)
∴ r = 7
अब r = 7 रखने पर,

प्रश्न 3 व 4 के प्रसार में व्यापक पद लिखिए।
प्रश्न 3.
(x² – y)⁶.
हल:
(x² – y)⁶ का व्यापक पद

प्रश्न 4.
(x² + yx)¹², x ≠ 0.
हल:
(x² – yx)¹² का व्यापक पद

प्रश्न 5.
(x – 2y)¹² के प्रसार में चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हल:
(x – 2y)¹² का चौथा पद

प्रश्न 6.
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\) के प्रसार में 13वाँ पद

प्रश्न 7 व 8 के प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\)
हल:
\(\left(3-\frac{x^{3}}{6}\right)^{7}\) में 7 + 1 = 8 पद हैं

प्रश्न 8.
\(\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}\)
हल:
इसमें 10 + 1 = 11 पद हैं जो विषम संख्या है।
मध्य पद = \(\frac{11+1}{2}\) = 6 वाँ पद

प्रश्न 9.
(1 + a)^m+n के प्रसार में सिद्ध कीजिए कि a^m तथा aⁿ के गुणांक बराबर हैं।
हल:

प्रश्न 10.
(x + 1)ⁿ के प्रसार में (r – 1) वाँ, 7 वाँ और (r + 1) वें पदों के गुणांक में 1 : 3 : 5 का अनुपात हो तो n तथा r का मान ज्ञात करो।
हल:
(x + 1)ⁿ का व्यापक पद \(\mathrm{T}_{r+1}=^{n} C_{r} x^{n-r}\)
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r}\)
∴ (r – 1) वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-2}\)
r वें पद का गुणांक = \(^{n} C_{r-1}\)

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (1+x)²ⁿ के प्रसार में xⁿ का गुणांक, (1 + x)^2n-1 के प्रसार में xⁿ के गुणांक का दुगुना होता है।
हल:

प्रश्न 12.
m का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए (1+x)^m के प्रसार में 2 का गुणांक 6 हो।
हल:

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Ex 8.1

प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक व्यंजक का प्रसार ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
(1 – 2x)⁵
हल:

प्रश्न 2.
\(\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}\)
हल:

प्रश्न 3.
\((2 x-3)^{6}\).
हल:

प्रश्न 4.
\(\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}\).
हल:

प्रश्न 5.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}\).
हल:

प्रश्न : द्विपद प्रमेय का प्रयोग करके निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (प्रश्न 6 से 9 तक)
प्रश्न 6.
(96)³.
हल:
(96)³ = \((100-4)^{3}=(100)^{3}+3 C_{1}(100)^{2} \cdot(-4)+^{3} C_{2}(100)^{1}(-4)^{2}+(-4)^{3}\)
= 1000000 + 3 x 10000 (- 4) + 3 x 100 x 16 – 64
= 1000000 – 120000 + 4800 – 64 = 884736.

प्रश्न 7.
(102)⁵.
हल:
(102)⁵ = (100 + 2)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1}(100)^{4} \times 2+^{5} C_{2}(100)^{3} 2^{2}\) + \(^5 \mathrm{C}_{3}(100)^{2} \times 2^{3}+^{5} \mathrm{C}_{4}(100) \times 2^{4}+2^{5}\)
= 10000000000 + 5 x 100000000 x 2 + 10 x 1000000 x 4 + 10 x 10000 x 8+5 x 100 x 16 + 32
= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32
= 11040808032.

प्रश्न : 8.
(101)⁴.
हल:
(101)⁴ = (100 + 1)⁴ = \((100)^{4}+^{4} C_{1} \times(100)^{3} \times 1+^{4} C_{2} \times(100)^{2} \times 1^{2}\) + \(^{4} C_{3} \times(100) \times 1^{3}+1^{4}\)
= 100000000 + 4 x 1000000 + 6 x 10000 + 400 + 1
= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1
= 104060401.

प्रश्न 9.
(99)⁵.
हल:
(99)⁵ = (100 – 1)⁵ = \((100)^{5}+^{5} C_{1} \times(100)^{4} \times(-1)\) + \(^{5} C_{2} \times(100)^{3} \times(-1)^{2}+^{5} C_{3} \times(100)^{2} \times(-1)^{3}\) + \(^{5} C_{4} \times(100) \times(-1)^{4}+(-1)^{5}\)
= 10000000000 – 5 x 100000000 + 10 x 1000000 – 10 x 10000 + 5 x 100 – 1
= 10000000000 – 500000000 + 10000000 – 100000 + 500 – 1
= 9509900499.

प्रश्न 10.
द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए बताइए कौन-सी संख्या बड़ी है-
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ या 1000
हल:
(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰
= \(1^{10000}+10000 C_{1} \times 1^{9999}(0.1)^{1}\)
= 1 + 10000 x (0.1) + …. = 1001 +…
स्पष्ट है कि (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ संख्या 1000 से बड़ी है।

प्रश्न 11.
(a + b)⁴ – (a – b)⁴ का विस्तार कीजिए। इसका प्रयोग करके \((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{4}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{4}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
(x + 1)⁶ + (x – 1)⁶ का मान ज्ञात कीजिए। इसका प्रयोग करके या अन्यथा \((\sqrt{2}+1)^{6}+(\sqrt{2}-1)^{6}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
दिखाइए कि 9ⁿ⁺¹ – 8n – 9, 64 से विभाज्य है जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
(1 + x)^{n + 1} का प्रसार करने पर,

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि \(\sum_{r=0}^{n} 3^{r} \cdot^{n} C_{r}\) = 4.
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
DAUGHTER शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में 2 स्वर तथा 3 व्यंजन हों?
हल:
DAUGHTER शब्द में 8 अक्षर हैं जिसमें 3 स्वर और 5 व्यंजन हैं
3 स्वर में से 2 स्वर चुनने के तरीके = \(^{3} C_{2}\) = 3
5 व्यंजनों में से 3 व्यंजन चुनने के तरीके = \(^{5} C_{3}\) = \(^{5} C_{2}\)
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2}\) = 10
2 स्वर और 3 व्यंजन चुनने के तरीके = 3 x 10 = 30
प्रत्येक संचय में 5 अक्षर हैं।
उनके क्रमसंचयों की संख्या = 5! = 120
DAUGHTER शब्द के 2 स्वर और 3 व्यंजन लेकर शब्दों की संख्या = 30 x 120 = 3600.

प्रश्न 2.
EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजन एक साथ रहते हैं?
हल:
EQUATION शब्द में कुल 8 अक्षर हैं जिनमें 5 स्वर और 3 व्यंजन हैं।
स्वर अक्षरों का क्रमसंचय = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
व्यंजन अक्षरों का क्रमसंचय = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
स्वरों और अक्षरों, को 2 तरीकों से लिखा जा सकता है, पहले स्वर ले या व्यंजन लें। EQUATION शब्द के अक्षरों से बनने वाले शब्द जब स्वर तथा व्यंजन एक साथ आएँ
= 120 x 6 x 2 = 1440.

प्रश्न 3.
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है, यह कितने प्रकार से किया सकता है, जबकि समिति में
(i) तथ्यतः 3 लड़कियाँ हैं?
(ii) न्यूनतम 3 लड़कियाँ हैं?
(iii) अधिकतम 3 लड़कियाँ हैं?
हल:
9 लड़के और 4 लड़कियों से 7 सदस्यों की एक समिति बनानी है।
(i) जब उस समिति में 3 लड़कियाँ हों तो उस समिति में 4 लड़के होंगे। 3 लड़कियाँ और 4 लड़के चुनने के तरीके

(ii) समिति में कम से कम 3 लड़कियाँ है तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेंगी :
(a) 3 लड़कियाँ 4 लड़के
(b) 4 लड़कियाँ 3 लड़के

(iii) यदि समिति में अधिकतम 3 लड़कियाँ लेनी हैं तो समितियाँ निम्न प्रकार बनेगी :
(a) कोई लड़की नहीं और 7 लड़के
(b) 1 लड़की और 6 लड़के
(c) 2 लड़की और 5 लड़के
(d) 3 लड़की और 4 लड़के

= 36 + 336 + 126 x (6+ 4)
= 372 + 1260
= 1632.

प्रश्न 4.
यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्द कोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?
हल:
A से प्रारंभ होने वाले शब्दों में 21, 2N और शेष भिन्न अक्षर हैं
ऐसे कुल शब्दों की संख्या = \(\frac{10 !}{2 ! 2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4}\)
= 907200
शब्द कोष के अक्षरों की तरह दिए हुए अक्षरों को क्रमबद्ध करते हुए अगला अक्षर E होगा।
∴ E से पहले बने शब्दों की संख्या = 907200.

प्रश्न 5.
0, 1, 3, 5, 7 तथा 9 अंकों से, 10 से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी 6 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? .
हल:
10 से विभाजित होने वाली वे संख्याएँ हैं जिनमें इकाई के स्थान पर 0 को रखा गया है।
अब हमें 6 अंकीय संख्याएँ बनाने के लिए शेष 5 स्थान और भरने हैं।
5 स्थानों को भरने का क्रमसंचय = 5! = 120
∴ 6 अंकीय संख्याएं जो 10 से विभाजित हो जाएँ उनकी संख्या = 120.

प्रश्न 6.
अंग्रेजी वर्णमाला में 5 स्वर तथा 21 व्यंजन हैं। इस वर्णमाला में 2 भिन्न स्वरों और 2 भिन्न व्यंजनों वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?
हल:
5 स्वरों में से 2 स्वर लेकर संचयों की संख्या = \(^{5} C_{2}\)
21 व्यंजनों में से 2 व्यंजन लेकर संचयों की संख्या = \(^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजन को चयन करने के तरीके = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\)
2 स्वरों और 2 व्यंजनों का क्रमसंचय = 4!
∴ 2 स्वर और 2 व्यंजन से बनने वाले शब्दों की संख्या = \(^{5} C_{2} \times^{21} C_{2}\) x 4!
= \(\frac{5 \times 4}{1 \times 2} \times \frac{21 \times 20}{1 \times 2}\) × 24
= 10 x 210 x 24
= 50400.

प्रश्न 7.
किसी परीक्षा के एक प्रश्न पत्र में प्रश्न है जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खण्डों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खण्ड II. एक विद्यार्थी का प्रत्येक खंड से न्यूनतम उप्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है ?
हल:
एक विद्यार्थी को कुल 8 प्रश्न हल करने हैं।
प्रत्येक खण्ड से कम से कम 3 प्रश्न करने हैं।
भाग I और II से प्रश्नों को इस प्रकार चुनाव करने हैं।
भाग I से चुने जाने वाले प्रश्न 3 4 5 प्रश्नों की कुल संख्या 5
भाग II से चुने जाने वाले प्रश्न 5 4 3 प्रश्नों की कुल संख्या 7

प्रश्न 8.
52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।
हल:
बादशाह वाले पत्तों की कुल संख्या = 4
इनमें से एक पत्ता चयन करने के तरीके = \(^{4} C_{1}\) = 4
अंब शेष 48 पत्तों में से 4 पत्ते चयन करने के तरीके = \(^{48} C_{4}\)
= \(\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{1 \times 2 \times 3 \times 4}\)
= 194580
इस प्रकार 52 पत्तों में से 5 पत्ते लेकर (जिनमें से 1 बादशाह है) संचयों की संख्या
= \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{4}\) = 4 x 194580 = 778320.

प्रश्न 9.
5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार कितने विन्यास संभव हैं ?
हल:
4 महिलाओं का 4 सम स्थानों पर बैठाने के विन्यास = 4! = 24
5 पुरुषों को 5 विषम स्थानों पर बैठाना के तरीके = 5! = 120
4 महिलाओं को सम स्थानों पर और 5 पुरुषों को विषम स्थानों पर बैठाने के विन्यास
= 4! x 5!
= 24 x 120
= 2880.

प्रश्न 10.
25 विद्यार्थियों की एक कक्षा से 10 का चयन एक भ्रमण दल के लिए किया जाता है। तीन विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?
हल:
25 विद्यार्थियों में से 10 विद्यार्थियों को भ्रमण दल में शामिल करना है। परन्तु 10 विद्यार्थियों में से 3 ऐसे हैं
(i) जब तीनों भ्रमण दल में शामिल होते हैं या
(ii) तीनों नहीं होते है।
(i) जब तीनों विद्यार्थी टीम में शामिल होते हैं तो भ्रमण दल का चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{7}\)
(ii) जब तीनों विद्यार्थी भ्रमण दल में शामिल नहीं होते हैं तो चयन करने के तरीके
= \(^{22} C_{10}\)
दोनो दशाओं में भ्रमण दल का चयन करने के तरीके = \(^{22} C_{7}\) + \(^{22} C_{10}\)

प्रश्न 11.
ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं जबकि सभी एक साथ रहें?
हल:
ASSASSINATION में कुल 13 अक्षर हैं जिसमें A तीन बार, S चार बार, I दो बार तथा N दो बार प्रयुक्त हो रहे हैं।
4 – S को एक साथ रहना है। अतः उसे एक अक्षर मान लिया। इस प्रकार इसमें 10 अक्षर रह गए जिसमें 3 – A, 2 – 1 और 2 – N समान हैं।
∴ इस शब्द के अक्षरों का विन्यास जब S एक साथ रहते हो

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