Bhagya

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = \( \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(– \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
या \(2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0 [∵ sin C + sin D = 2 \(\frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)]
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 8 Comparing Quantities Ex 8.3

Question 1.
Calculate the amount and compound interest on
(a) ₹ 10,800 for 3 years at 12\(\frac{1}{2}\)% per annum compounded annually.
(b) ₹ 18,000 for 2\(\frac{1}{2}\) years at 10% per annum compounded annually.
(c) ₹ 62,500 for 1\(\frac{1}{2}\) years at 8% per annum compounded half yearly.
(d) ₹ 8,000 for 1 year at 9% per annum compounded half yearly.
(e) ₹ 10,000 for 1 year at 8% per annum compounded half yearly.
Solution:
(a) We have,

(b) We have,
P = ₹ 18000
R = 10 % per annum
n = 2\(\frac{1}{2}\) years or 2.5 years

Now, we calculate S.I. on this amount for \(\frac{1}{2}\) year at 10 % per annum.
∴ Amount after 2.5 years

∴ Interest = A – P = 22869 -18000 = ₹ 4869

(c) We have,
P = ₹ 62500
R = 8 % per annum = 4 % per half year
n = 1\(\frac{1}{2}\) years = 3 half years

∴ Interest = A – P = 70304 – 62500 = ₹ 7804

(d) We have,
P = ₹ 8000
R = 9 % per annum
= 4 % per half year
n = 1 year = 2 half years

∴ Interest = A – P = 8736.20 – 8000 = ₹ 736.20

(e) We have,
P = ₹ 10000
R = 8% per annum = 4 % per half year
n = 1 year = 2 half years

∴ Interest = A – P = 10816 -10000 = ₹ 816

Question 2.
Kamla borrowed ₹ 26,400 from a bank to buy a scooter at a rate of 15% per annum compounded yearly. What amount will she pay at the end of 2 years and 4 months to clear the loan?
(Hint : Find 4 for 2 years with interest is compounded yearly and then find SI on the 2nd year amount for \(\frac{4}{12}\) years).
Solution:
We have,
P = ₹ 26400
R = 15 % per annum
n = 2 years 4 months
At the end of 2 years,

Now, P = ₹ 34914
R = 15 % per annum
n = 4 months = \(\frac{1}{3}\) years
At the end of 2 years and 4 months,

Question 3.
Fabina borrows ₹ 12,500 at 12% per annum for 3 years at simple interest and Radha borrows the same amount for the same time period at 10% per annum, compounded annually. Who pays more interest and by how much?
Solution:
For Fabina, P = ₹ 12500
R = 12 % per annum
n = 3 years
For simple interest,

Interest = 17000 – 12500 = ₹ 4500
For Radha, P = ₹ 12500
R = 10 % per annum
n = 3 years
As this is compound interest

Interest = 16637.50 -12500 = ₹ 4137.50
Hence, Fabina pays more interest by 4500 – 4137.50 = ₹ 362.50

Question 4.
I borrowed ₹ 12,000 from Jamshed at 6% per annum simple interest for 2 years. Had I borrowed this sum at 6% per annum compound interest, what extra amount would I have to pay?
Solution:
We have, P = ₹ 12000
R = 6 % per annum
n = 2 years

So, the extra amount he would have to pay = 1483.20 -1440 = ₹ 43.20

Question 5.
Vasudevan invested X 60,000 at an interest rate of 12% per annum compounded half yearly. What amount would he get
(i) after 6 months?
(ii) after 1 year?
Solution:
We have,
P = ₹ 60000
R = 12 % per annum = 6 % per half year
(i) n = 6 months = 1 half year

Question 6.
Arif took a loan of ₹ 80,000 from a bank. If the rate of interest is 10% per annum, find the difference in amounts he would be paying after 1\(\frac{1}{2}\) years if the interest is
(i) compounded annually.
(ii) compounded half yearly.
Solution:
We have,
P = ₹ 80000
R = 10 % per annum = 5 % per half year
(i) If the interest is compounded annually

(ii) If interest is compounded half yearly

∴ Difference in amounts = 92610 – 92400
= ₹ 210

Question 7.
Maria invested ₹ 8,000 in a business. She would be paid interest at 5% per annum compounded annually. Find
(i) The amount credited against her name at the end of the second year.
(ii) The interest for the 3rd year.
Solution:
We have,
P = ₹ 8000
R = 5 % per annum
(i) n = 2 years

(ii) n = 3 years

Hence, interest for 3^rd year = 9261 – 8820 = ₹ 441

Question 8.
Find the amount and the compound interest on ₹ 10,000 for 1\(\frac{1}{2}\) years at 10% per annum, compounded half yearly. Would this interest be more than the interest he would get if it was compounded annually? Solution:
We have,
P = ₹ 10000
R = 10 % per annum = 5 % per half year
n = 1\(\frac{1}{2}\) years = 3 half years
(i) If interest is compounded half yearly

Interest = 11576.25 – 10000 = ₹ 1576.25

(ii) If interest is compounded annually Amount after 1 year,

Thus, more interest would be generated if interest is calculated half yearly.

Question 9.
Find the amount which Ram will get on ₹ 4096, if he gave it for 18 months at 12\(\frac{1}{2}\) % per annum, interest being compounded half yearly.
Solution:
We have,
P = ₹ 4096
R = 12.5 % per annum = 6.25 % per half year
n = 18 months = 3 half years

Question 10.
The population of a place increased to 54,000 in 2003 at a rate of 5% per annum
(i) find the population in 2001.
(ii) what would be its population in 2005?
Solution:
We have, population in 2003 = 54000
Rate = 5% per annum
(i) Let population in 2001 be x.
The population in 2003

∴ Population = 48980 in 2001

(ii) For population in 2005
n = 2 years

Question 11.
In a laboratory, the count of bacteria in a certain experiment was increasing at the rate of 2.5% per hour. Find the bacteria at the end of 2 hours if the count was initially 5,06,000.
Solution:
Initial count of bacteria = 506000
Rate = 2.5 % per hour
n = 2 hours
∴ Count after 2 hours

Question 12.
A scooter was bought at ₹ 42,000. Its value depreciated at the rate of 8% per annum. Find its value after one year.
Solution:
Initial price = ₹ 42000
Rate of depreciation = 8% per annum
n = 1 year

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 10th General Hindi व्याकरण उपसर्ग

प्रश्न 1.
उपसर्ग किसे कहते हैं?
उत्तर-
उपसर्ग वे अविकारी (अव्यय) शब्दांश होते हैं, जो किसी शब्द के पूर्व में जुड़कर मूल शब्द के अर्थ में परिवर्तन कर देते हैं।

प्रश्न 2.
उपसर्ग की विशेषता बताइये।
उत्तर-
उपसर्ग किसी भी शब्द को परिवर्तित कर देता है। इससे

1. शब्द के अर्थ में एक नयी विशेषता आ जाती है।
2. शब्द का अर्थ बदल जाता है।
3. कहीं-कहीं शब्द के अर्थ में कोई विशेष अंतर नहीं आता। हिंदी में जो उपसर्ग मिलते हैं, वे संस्कृत, हिंदी और उर्दू भाषा के हैं।

प्रश्न 3.
उपसर्ग कितने तरह के होते हैं? उनके उदाहरण दें।
उत्तर-
संस्कृत उपसर्ग

हिंदी उपसर्ग

MP Board Class 10th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 14 Factorization Ex 14.2

Question 1.
Factorise the following expressions.
(i) a² + 8o + 16
(ii) p² – 10p + 25
(iii) 25m² + 30m+ 9
(iv) 49y² + 84yz + 36z²
(v) 4x² – 8x + 4
(vi) 121b² – 88bc + 16c²
(vii) (l + m)² – 4lm (Hint: Expand (l + m)² first)
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
Solution:
(i) The expression is a² + 8a +16
= a² + 2 × 4 × a + (4)²
= (a + 4)² = (a + 4) (a + 4)

(ii) The expression is p² – 10p + 25
= (p)² – 2 × 5 × p + (5)²
= (P – 5)² = (p – 5)(p – 5)

(iii) The expression is 25m² + 30m + 9
= (5m)² + 2 × 3 × (5m) + (3)² = (5m + 3)²
= (5m + 3) (5m + 3)

(iv) The expression is 49y² + 84yz + 36z²
= (7y)² + 2 × (7y) × (6z) + (6z)² = (7y + 6z)²
= (7y + 6z)(7y + 6z)

(v) The expression is 4x² – 8x + 4
= (2x)² – 2 × (2x) × 2 + (2)² = (2x – 2)²
= [2(x – 1)]² = 4(x – 1)²
= 4(x – 1)(x – 1)

(vi) The expression is 121b² – 88bc + 16c²
= (11b)² – 2 × (11b) (4c) + (4c)² = (11b – 4c)²
= (11b – 4c)(11b – 4c)

(vii) The expression is (l + m)² – 4lm
= l² + 2 × l × m + m² – 4lm [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= l² + 2lm + m² – 4lm = l² – 2lm + m²
= (l – m)² = (l – m)(l – m)

(viii)The expression is a⁴ + 2a²b² + b⁴
= (a²)² + 2 × a² × b² + (b²)² = (a² + b²)²
= (a² + b²)(a² + b²)

Question 2.
Factorise.
(i) 4p² – 9q²
(ii) 63a² – 112b²
(iii) 49x² – 36
(iv) 16x⁵ – 144x³
(v) (l + m)² – (l – m)²
(vi) 9x²y² – 16
(vii) (x² – 2xy + y²) – z²
(viii)25a² – 4b² + 28bc – 49c².
Solution:
(i) The expression is 4p² – 9q²
= (2P)² – (3q)² = (2p + 3q) (2p – 3q)

(ii) The expression is 63a² – 112b²
= 7[9a² – 16b²] = 7[(30)² – (4b)²]
= 7(3o + 4b) (3a – 4b).

(iii) The expression is 49x² – 36 = (7x)² – (6)²
= (7x + 6) (7x – 6).

(iv) The expression is 16x⁵ – 144x³
= 16x³(x² – 9) = 16x³ (x² – 3²)
= 16x³ (x + 3)(x – 3).

(v) The expression is (l + m)² – (l – m)²
= (l² + 2lm + m²) – (l² – 2lm + m²)
= l² + 2lm + m² – l² + 2lm – m² = 4lm

(vi) The expression is 9x²y² – 16
= (3xy)² – (4)² = (3xy + 4) (3xy – 4)

(vii) The expression is (x² – 2xy + y²) – z²
= (x – y)² – z² = (x – y + z) (x – y – z)

(viii)The expression is 25a² – 4b² + 28bc – 49c²
= 25a² – [4b² – 28bc + 49c²]
= 25a² – [(2b)² – 2 × (2b) × (7c) + (7c)²]
= (5a)² – (2b – 7c)²
= (5a + 2b – 7c) (5a – 2b + 7c)

Question 3.
Factorise the expressions.
(i) ax² + bx
(ii) 7p² + 21q²
(iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
(iv) am² + bm² + bn² + an²
(v) (lm + l) + m + 1
(vi) y(y + z) + 9(y + z)
(vii) 5y² – 20y – 8z + 2yz
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
(ix) 6xy – 4y + 6 – 9x
Solution:
(i) The expression is ax² + bx = x(ax + b)
(ii) The expression is 7p² + 21q² = 7(p² + 3q² )
(iii) The expression is 2x³ + 2xy² + 2xz²
= 2x(x² + y² + z² ).

(iv) The expression is am² + bm² + bn² + an²
= m² (a + b) + n² (b + a) = (m² + n² ) (a + b)

(v) The expression is (lm + l) + m + 1
= l(m + 1) + 1 (m + 1)= (l + 1) (m + 1)

(vi) The expression is y(y + z) + 9(y + z)
= (y + 9) (y + z).

(vii) The expression is 5y² – 20y – 8z + 2yz
= 5y(y – 4) + 2z(y – 4) = (5y + 2z)(y – 4)

(viii) The expression is 10ab + 4a + 5b + 2
= 2a(5b + 2) + 1 (5b + 2) = (2a + 1) (5b + 2)

(ix) The expression is 6xy – 4y + 6 – 9x
= 2y(3x – 2) – 3 (3x – 2) = (2y – 3) (3x – 2)

Question 4.
Factorise.
(i) a⁴ – b⁴
(ii) p⁴ – 81
(iii) x⁴ – (y + z)⁴
(iv) x⁴ – (x – z)⁴
(v) a⁴ – 2a²b² + b⁴
Solution:
(i) The expression is a⁴ – b²
= (a²)² – (b²)²
= (a² + b²) (a² – b²)
= (a² + b²)(a + b)(a – b).

(ii) The expression is p⁴ – 81 = (p)⁴ – (3)⁴
= (P²)² – (3²)² = (p² + 3²) (p² – 3²)
= (p² + 9) (p + 3) (p – 3)

(iii) The expression is x⁴ – (y + z)⁴
= (x²)² – ((y + z)²)²
= [x² + (y + z)²] [x² – (y + z)²]
= [x² + (y + z)²] (x + y + z) (x – (y + z))
= [x² + (y + z)²] (x + y + z) (x – y – z)

(iv) The expression is x⁴ – (x – z)⁴
= (x²)² – ((x – z)²)²
= (x² – (x – z)²)(x² + (x – z)²)
= (x – x + z)(x + x – z)(x² + x² + z² – 2xz)
= z(2x – z) (2x² – 2xz + z²).

(v) The expression is a⁴ – 2a²b² + b⁴
= (a²)² – 2(a²) (b²) + (b²)² = (a² – b²)²
= [(a + b) (a – b)]² = (a + b)² (a – b)²

Question 5.
Factorise the following expressions.
(i) p² + 6p + 8
(ii) q² – 10q + 21
(iii) p² + 6p – 16
Solution:
(i) The expression is p² + 6p + 8
= p² + 4p + 2p + 8 = p(p + 4) + 2 (p + 4)
= (p + 2) (p + 4)

(ii) The expression is q² – 10q + 21
= q² – 7q – 3q + 21 = q(q – 7) – 3 (q – 7)
= (q – 3) (q – 7)

(iii) The expression is p² + 6p – 16
= p² + 8p – 2p – 16
= p(p + 8) – 2(p + 8) = (p – 2) (p + 8)

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 8 Comparing Quantities Ex 8.2

Question 1.
A man got a 10% increase in his salary. If his new salary is ₹ 1,54,000,find his original salary.
Solution:
We have,
Increase in salary = 10%
New salary = ₹ 154000
Let original salary be ₹ s.

∴ His original salary is ₹ 140000.

Question 2.
On Sunday 845 people went to the Zoo. On Monday only 169 people went. What is the percent decrease in the people visiting the Zoo on Monday?
Solution:
Number of people went to Zoo on Sunday = 845
Number of people went to Zoo on Monday = 169
Decrease in number of people = 845 – 169
= 676

Question 3.
A shopkeeper buys 80 articles for ₹ 2,400 and sells them for a profit of 16%. Find the selling price of one article.
Solution:
We have,
Cost price = ₹ 2400
Profit = 16%
Number of articles = 80

∴ Selling price of 80 articles

Thus, the selling price of one article = \(\frac{2784}{80}\)
= ₹ 34.80

Question 4.
The cost of an article was ₹ 15,500. ₹ 450 were spent on its repairs. If it is sold for a profit of 15%, find the selling price of the article.
Solution:
Cost of an article = ₹ 15500
Money spent on repairs = ₹ 450
∴ Total cost = Cost + Repairs = ₹ 15950
Profit = 15 %

Question 5.
A VCR and TV were bought for ? 8000 each. The shopkeeper made a loss of 4% on the VCR and a profit of 8% on the TV. Find the gain or loss percent on the whole transaction.
Solution:
Cost of VCR = ₹ 8000
Cost of TV = ₹ 8000
Total cost = 8000 + 8000 = ₹ 16000
Loss on VCR = 4 %

Question 6.
During a sale, a shop offered a discount of 10% on the marked prices of all the items. What would a customer have to pay for a pair of jeans marked at ₹ 1450 and two shirts marked at ₹ 850 each?
Solution:
We have,
Cost of a pair of jeans = ₹ 1450
Cost of two shirts = 2 × 850 = ₹ 1700
∴ Total cost = 1450 + 1700 = ₹ 3150
Discount = 10 %

Question 7.
A milkman sold two of his buffaloes for ₹ 20,000 each. On one he made a gain of 5% and on the other a loss of 10%. Find his overall gain or loss. (Hint: Find C.P. of each).
Solution:
We have,
Selling price of each buffalo = ₹ 20000
Total selling price = ₹ 40000
On buffalo 1, profit = 5 %
Cost price of buffalo 1

Total cost price = 19047.62 + 22222.22
= ₹ 41269.84
Since, cost price is greater than the selling price.
∴ Loss = 41269.84 – 40000 = ₹ 1269.84

Question 8.
The price of a TV is ₹ 13000. The sales tax charged on it is at the rate of 12%. Find the amount that Vinod will have to pay if he buys it.
Solution:
Cost price of TV = ₹ 13000
Sales tax = 12 %

Question 9.
Arun bought a pair of skates at a sale where the discount given was 20%. If the amount he pays is ₹ 1,600, find the marked price.
Solution:
Selling price = ₹ 1600
Discount = 20 %
We know,

Question 10.
I purchased a hair-dryer for ? 5,400 including 8% VAT. Find the price before VAT was added.
Solution:
Cost price = ₹ 5400
VAT = 8%

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 14 Factorization Ex 14.1

Question 1.
Find the common factors of the given terms,
(i) 12x, 36
(ii) 2y, 22xy
(iii) 14pq, 28p²q²
(iv) 2x, 3x², 4
(v) 6abc, 24ab²,12a²b
(vi) 16x³, – 4x², 32x
(vii) 10pq, 20qr, 30rp
(viii) 3x²y³, 10x³y², 6x²y²z
Solution:
(i) The given terms are 12x and 36.
12x = 2 × 2 × 3 × x
36 = 2 × 2 × 3 × 3
Thus, the common factor of the given terms is 2 × 2 × 3 = 12

(ii) The given terms are 2y and 22xy
2y = 2 xy
22xy = 2 × 11 × X × y
Thus, the common factor of the given terms is 2 × y = 2y.

(iii) The given terms are 14pq and 18p²q²
14 pq = 2 × 7 × p × q
18p2q2 = 2 × 2 × 7 × p × p × q × q
Thus, the common factors of the given terms is 2 × 7 × p × q = 14pq

(iv) The given terms are 2x, 3x² and 4
2x = 2 × x
3x² = 3 × x × x
4 = 2 × 2
Hence, the given three terms have no factor in common except 1.

(v) The given terms are 6abc, 24ab² and 12a²b
6abc= 2 × 3 × a × b × c
24ab² = 2 × 2 × 2 × 3 × a × b × b.
12 a²b = 2 × 2 × 3 × a × a × b
Thus, the common factor of the given terms is 2 × 3 × a × b = 6ab.

(vi) The given terms are 16x³, -4x² and 32x
16x³ = 2 × 2 × 2 × 2 × x × x × x
– 4x² = -1 × 2 × 2 × x × x
32x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × x
Thus, the common factor of the given terms is 2 × 2 × x = 4x.

(vii) The given terms are 10pq, 20qr and 30rp
10pq = 2 × 5 × p × q
20 qr = 2 × 2 × 5 × q × r
30 rp.= 2 × 3 × 5 × r × p
Thus, the common factor of the given terms is 2 × 5 = 10.

(viii)The given terms are 3x²y³, 10x³y² and 6x²y²z
3x²y² = 3 × x × x × y × y × y
10x³y³ = 2 × 5 × x × x × x × y × y
6x²y²z = 2 × 3 × x × x × y × y × Z
Thus, the common factor of the given terms is x × x y × y = x²y².

Question 2.
Factorise the following expressions.
(i) 7x – 42
(ii) 6p – 12g
(iii) 7a² + 14a
(iv) -16z + 20x³
(v) 20l²m + 30alm
(vi) 5x²y – 15xy²
(vii) 10a² – 15b² + 20c²
(viii) – 4a² + 4ab – 4ca
(ix) x²yz + xy²z + xyz²
(x) ax²y + bxy² + cxyz
Solution:
(i) The expression is 7x – 42
Factors of 7x = 7 × x and 42 = 2 × 3 × 7
∴ 7x – 42 = 7 × x – 2 × 3 × 7 = 7(x – 2 × 3) = 7(x – 6)

(ii) The expression is 6p – 12q
Factors of 6p = 2 × 3 × p and
12q = 2 × 2 × 3 × q
∴ 6p – 12 q = 2 × 3 × p – 2 × 2 × 3 × q
= 2 × 3(p – 2 × q) = 6(p – 2 q)

(iii) The expression is 7a² + 14a
Factors of 7a² = 7 × a × a and
14a = 2 × 7 × a
∴ 7a² + 14a = 7 × a × a + 2 × 7 × a
= 7 × a(a + 2) = 7a (a + 2)

(iv) The expression is -16z + 20z³
Factors of -16z = – 1 × 2 × 2 × 2 × 2 × z and
20z³ = 2 × 2 × 5 × z × z × z
∴ -16z + 20z³ = -1 × 2 × 2 × 2 × 2 × z + 2 × 2 × 5 × z × z × z
= 2 × 2 × z(-1 × 2 × 2 + 5 × z × z)
= 4z (- 4 + 5z²)

(v) The expression is 20l²m + 30alm
Factors of 20l²m = 2 × 2 × 5 × l × l × m and
30alm = 2 × 3 × 5 × a × l × m;
∴ 20l²m + 30alm = 2 × 2 × 5 × l × l × m + 2 × 3 × 5 × a × l × m
= 2 × 5 × l × m (2 × l + 3 × a)
= 10lm (2l + 3a)

(vi) The expression is 5x²y – 15xy²
Factors of 5x²y = 5 × x × x × y and
15xy² = 3 × 5 × x × y × y
∴ 5x²y – 15xy² = 5 × x × x × y – 3 × 5 × x × y × y
= 5 × x × y (x – 3 × y) = 5xy (x – 3y).

(vii) The expression is 10a² – 15b² + 20c²
Factors of 10a² = 2 × 5 × a × a
-15b² = (-1) × 3 × 5 × b × b
20c² = 2 × 2 × 5 × c × c
∴ 10a² – 15b² + 20c²
= 2 × 5 × a × a – 3 × 5 × b × b + 2 × 2 × 5 × c × c
= 5(2a² – 3b² + 4c²)

(viii) The expression is – 4a² + 4ab – 4ca
Factors of – 4a² = (-1) × 2 × 2 × a × a
4ab = 2 × 2 × a × b and
-4ca = -1 × 2 × 2 × c × a
∴ -4a² + 4ab – 4ca = -1 × 2 × 2 × a × a + 2 × 2 × a × b – 1 × 2 × 2 × c × a
= 2 × 2 × a (-1 × a + b – 1 × c)
= 4a(-a + b – c)

(ix) The expression is x²yz + xy²z + xyz²
Factors of x²yz = x × x × y × z and
xy²z = x × y × y × z and xyz² = x × y × z × z
∴ x² yz + xy²z + xyz² = x × x × y × z + x × y × y × z + x × y × z × z
= x × y × z(x + y + z) = xyz (x + y + z)

(x) The expression is ax²y + bxy² + cxyz
Factors of ax²y = a × x × x × y,
bxy² = b × x × y × y and cxyz = c × x × y × z
∴ ax²y + bxy² + cxyz = a × x × x × y + b × x × y × y + c × x × y × z
= xy (a × x + b × y + c × z) = xy (ax + by + cz)

Question 3.
Factorise.
(i) x² + xy + 8x + 8y
(ii) 15xy – 6x + 5y – 2
(iii) ax + bx – ay-by
(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
(v) z – 7 + 7xy – xyz
Solution:
(i) The given expression is
x² + xy + 8x + 8y
= x × x + x × y + 8 × x + 8xy
= x(x + y) + 8(x + y) = (x + 8) (x + y).

(ii) The given expression is 15xy – 6x + 5y – 2
= 3x(5y – 2) + 1 × (5y – 2)
= (3x + 1) (5y – 2)

(iii) The given expression is ax + bx – ay – by
= x (a + b) – y (a + b) = (x – y) (a + b)

(iv) The given expression is
15 pq + 15 + 9 q + 25 p
= 15pq + 25p + 15 + 9q = 5p(3q + 5) + 3(5 + 3q)
= (5p + 3) (3q + 5)

(v) The given expression is z – 7 + 7xy – xyz
= z – 7 + 7 × x × y – x × y × z
= z – 7 + xy (7 – z) = 1 (z – 7) – xy (z – 7)
= (z – 7)(1 – xy)

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MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 23 महान विभूति: दानवीर डॉ. सर हरिसिंह गौर

महान विभूति: दानवीर डॉ. सर हरिसिंह गौर बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
अभाव = कमी, अलंकार में स्थायी भावों से रहित; अक्षय = अनश्वर, अपरिवर्तनशील; अद्वितीय = अतुल्य, अकेला; अर्जित = कमाया हुआ; विभूति = शक्ति, धन, सम्पन्नता; विदुषी = शिक्षित स्त्री, विद्वान स्त्री, विधिवेत्ता = विधि विशेषज्ञ, कानून के जानकार; रूढ़िग्रस्त = परम्परावादी।

प्रश्न 2.
पाठ के आधार पर सही जोड़ी बनाइए-.

उत्तर
(क) → (2), (ख) → (3), (ग) → (4), (घ)→ (1)

प्रश्न 3.
(क) निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में लिखिए(क) डॉ. हरिसिंह गौर का जन्म कब और कहाँ हुआ ?
उत्तर
डॉ. हरिसिंह गौर का जन्म 26 जनवरी, सन् 1870 ई. में शनीचरी टौरी, सागर (म. प्र.) में हुआ था।

(ख) डॉ. गौर कौन-कौन से विश्वविद्यालयों में उपकुलपति रहे?
उत्तर
सन् 1921 ई. से सन् 1936 ई. तक वे दिल्ली विश्वविद्यालय के संस्थापक उपकुलपति रहे। इसके बाद दो वर्ष तक वे नागपुर विश्वविद्यालय के उपकुलपति रहे।

(ग) डॉ. गौर को ‘सर’ की उपाधि से किसने विभूषित किया है ?
उत्तर
जनवरी, सन् 1925 में अंग्रेज सरकार ने डॉ. गौर को शिक्षा के क्षेत्र में ‘सर’ की उपाधि प्रदान की।

(घ) उन्होंने किस प्रशासकीय पद से त्याग-पत्र दिया था ?
उत्तर
उन्होंने सेण्ट्रल प्रॉविंस कमीशन में अतिरिक्त सहायक आयुक्त के पद से त्यागपत्र दिया।

(ङ) सागर विश्वविद्यालय की स्थापना कब, क्यों और और किसने की थी ?
उत्तर
18 जुलाई, सन् 1946 को सागर नगर के निकट मकरोनिया की पथरिया पहाड़ी पर डॉ. हरिसिंह गौर ने हजारों व्यक्तियों की उपस्थिति में सागर विश्वविद्यालय की विधिवत् स्थापना की और उन्होंने इस विश्वविद्यालय में प्रथम कुलपति का पद थी सुशोभित किया।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए
(क) डॉ. गौर के विद्यार्थी जीवन पर प्रकाश डालिए।
उत्तर
उनका बाल्यकाल अभावों में बीता। माँ ने बड़े संघर्ष के साथ उनका पालन-पोषण किया था। उन्होंने प्रारम्भिक शिक्षा सागर में और इण्टरमीडिएट तक की शिक्षा पहले जबलपुर, बाद में नागपुर में पूरी की। आगे की शिक्षा के लिए उन्होंने नागपुर के हिसलप कॉलेज में प्रवेश लिया। उस समय वे अंग्रेजी और अर्थशास्त्र में ऑनर्स करने वाले पहले छात्र थे। अठारह वर्ष की आयु में वे इंग्लैण्ड चले गए, जहाँ उन्होंने डाउनिंग कॉलेज और कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से दर्शनशास्त्र तथा अर्थशास्त्र में एम. ए. और कानून की उपाधि प्राप्त की।

(ख) डॉ. गौर को कुशल और सफल अधिवक्ता के रूप में क्यों जाना जाता है ?
उत्तर
डॉ. हरिसिंह गौर ने चालीस वर्ष से अधिक समय तक अखिल भारतीय स्तर पर वकालत की। उन्होंने प्रिवी कौंसिल में भी कई मुकद्दमे लड़े और वहाँ भी अपनी सफलता के झण्डे गाड़े। वे हाईकोर्ट बार एसोसिएशन के सभापति और हाईकोर्ट बार कौंसिल के सदस्य भी रहे। अत: डॉ. गौर विधिवेत्ता, प्रसिद्ध अधिवक्ता और दानवीर के रूप में अविस्मरणीय विभूति हैं। वे आज भी हम सबके लिए प्रेरणा पुंज हैं।

(ग) डॉ. गौर भामाशाह क्यों कहलाए?
उत्तर
राष्ट्रहित के लिए जिस प्रकार भामाशाह ने अपना संचित धन महाराणा प्रताप को सहर्ष सौंप दिया था, उसी प्रकार भारत माँ के लाड़ले सपूत डॉ. हरिसिंह गौर ने परिश्रमपूर्वक अर्जित धन विश्वविद्यालय स्थापना के लिए दान कर दिया। इस कार्य के लिए उन्होंने आरम्भ में बीस लाख रुपये दिए। 18 जुलाई, सन् 1946 ई. को सागर नगर के निकट मकरोनिया की पथरिया पहाड़ी पर हजारों व्यक्तियों की उपस्थिति में सागर विश्वविद्यालय की विधिवत स्थापना हुई। डॉ. गौर ने इस विश्वविद्यालय में प्रथम कुलपति का पद भी सुशोभित किया।। उन्होंने अपनी अन्तिम साँस लेने से पूर्व अपनी जीवन भर की गाढ़ी कमाई में से लगभग दो करोड़ रुपये की धन-सम्पत्ति सागर विश्वविद्यालय को अर्पित कर दी। सम्पूर्ण एशिया में किसी एक व्यक्ति मात्र के दान से स्थापित यह विश्वविद्यालय मध्य प्रदेश . का सबसे पुराना विश्वविद्यालय है। अतः राष्ट्रहित के लिए किये गये इस पुण्य कार्य के लिए डॉ. गौर भामाशाह कहलाए।

(घ) डॉ. गौर ने शिक्षा जगत में बहुत सेवाएँ की हैं, इस कथन को उदाहरण देकर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर
सन् 1921 ई. से सन् 1936 ई. तक डॉ. गौर दिल्ली विश्वविद्यालय के संस्थापक उपकुपति रहे। इसके बाद दो वर्ष तक उन्होंने नागपुर विश्वविद्यालय के उपकुलपति का दायित्व संभाला। दिल्ली एवं नागपुर विश्वविद्यालय द्वारा उन्हें डी. लिट. की मानद् उपाधि से सम्मानित किया गया। डॉ. गौर ने 18 जुलाई, सन् 1946 ई. को सागर नगर के निकट मकरोनिया की पथरिया पहाड़ी पर हजारों व्यक्तियों की उपस्थिति में सागर विश्वविद्यालय की विधिवत् स्थापना की। डॉ. गौर ने इस विश्वविद्यालय में प्रथम कुलपति का पद भी सुशोभित किया।

वह अपूर्व बुद्धि और अद्भुत वाशक्ति वाले अधिवक्ता के रूप में प्रसिद्ध थे। उनकी अद्वितीय प्रतिभा, मौलिक सूझबूझ, तीव्र स्मरणशक्ति उनके प्रत्येक शब्द में आत्मविश्वास के साथ झलकती थी। न्यायालय में उनका परिवाद प्रस्तुत करने का ढंग ओजस्वी, अनोखा एवं रोचक होता था। डॉ. हरिसिंह गौर का गहन विश्वकोषीय ज्ञान, अनुभव और दूरदर्शिता अपूर्व थी। उनका अंग्रेजी भाषा पर पूर्ण अधिकार था। लेखन प्रतिभा से युक्त उनकी ख्याति में उस समय और भी वृद्धि हुई जब वे कानून की पुस्तकों के लेखक के रूप में सामने आए। मात्र बत्तीस साल की आयु में ही उनकी ‘लॉ ऑफ ट्रांसफर ऑफ प्रापर्टी एक्ट’ पुस्तक प्रकाशित हुई। इसके बाद उन्होंने ‘भारतीय दण्ड संहिता की तुलनात्मक विवेचना’ और ‘हिन्दू लॉ’ पर पुस्तकें लिखी जो आज भी विधि की महत्त्वपूर्ण पुस्तकों में गिनी जाती हैं। उनके विधि क्षेत्र में अर्जित व्यापक अनुभव को देखते हुए उन्हें भारतीय संविधान सभा का उप सभापति भी चुना गया। डॉ. हरिसिंह गौर ने कानून शिक्षा, साहित्य, समाज सुधार, संस्कृति, राष्ट्रीय आन्दोलन, संविधान निर्माण आदि में स्मरणीय योगदान दिया।

प्रश्न 5.
‘सरस्वती लक्ष्मी दोनों ने दिया तुम्हें सादर जयपत्र’ का आशय स्पष्ट कीजिए।
उत्तर
डॉ. गौर का बाल्यकाल अभावों में बीता था परन्तु फिर भी उन्होंने 18 वर्ष की आयु में इंग्लैण्ड के डाउनिंग कॉलेज
और कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से दर्शनशास्त्र तथा अर्थशास्त्र में एम. ए. और कानून की उपाधि प्राप्त की। उन्होंने सन् 1905 ई. में डी. लिट. की पहली उपाधि लंदन विश्वविद्यालय और फिर ‘ट्रिनिटी’ कॉलेज, डब्लिन से प्राप्त की। इस प्रकार माँ सरस्वती’ की महान अनुकम्पा से शिक्षा जगत में महान ख्याति अर्जित हुई। परिणामस्वरूप उन्हें परिश्रमपूर्वक धन भी अर्जित हुआ जिसको उन्होंने राष्ट्रहित में सागर विश्वविद्यालय की स्थापना में दान किया। तब राष्ट्रकवि मैथिलीशरण गुप्त ने उनकी दानवृत्ति को देखकर बहुत ही सटीक कहा

“सरस्वती-लक्ष्मी दोनों ने दिया, तुम्हें सादर जय-पत्र।
साक्षी है हरिसिंह तुम्हारा, ज्ञान-दान का अक्षय सत्र”।

महान विभूति: दानवीर डॉ. सर हरिसिंह गौर भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों का अपने वाक्यों में प्रयोग कीजिए
शिक्षाविद्, विभूति, अधिवक्ता, औपचारिक।
उत्तर
शिक्षाविद्-डॉ. हरिसिंह गौर महान शिक्षाविद् थे। . विभूति-डॉ. ए. पी. जे. अब्दुल कलाम भारत की महान । विभूति हैं। – अधिवक्ता-भारत के प्रथम राष्ट्रपति डॉ. राजेन्द्र प्रसाद पेशे से अधिवक्ता थे। औपचारिक-आज हमारे विद्यालय में क्रिकेट मैदान की औपचारिक घोषणा की गई।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों का समास विग्रह करते हुए उनके समासों के नाम लिखिए
लालन-पालन, कानून-शिक्षा, सरस्वती-लक्ष्मी, सांध्यवेला, देश-विदेश।
उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में प्रयुक्त उपसर्ग और प्रत्यय पहचान करके अलग लिखिए-
अक्षय, उपकुलपति, सपूत, सहर्ष, सफलता, दूरदर्शिता, ऐतिहासिक, कार्यक्षमता।
उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित वाक्यों के लिए एक-एक शब्द लिखिए।
उत्तर
वाक्य – एक शब्द
वकालत – करने वाला वकील
जो थोड़ा जानता हो – अल्पज्ञ
जो कभी न हो सके – असम्भव
जिसके आर-पार देखा – पारदर्शी या
जा सके – पादर्शक
विद्या अध्ययन करने वाला – विद्यार्थी

प्रश्न 5.
निम्नलिखित मुहावरों का अपने वाक्यों में प्रयोग कीजिए
झण्डा गाड़ देना, लोहा मानना, घी के दीये जलाना, आँख का तारा होना। ….
उत्तर
झण्डा गाड़ देना-अधिकार जमा लेना।
प्रयोग-भारतीय क्रिकेट टीम ने विश्वकप के फाइनल मैच में भारत का झण्डा गाड़ दिया।
लोहा मानना-प्रभुत्व स्वीकार करना। .
प्रयोग-महाराणा प्रताप की वीरता का मुगल लोहा मानते
घी के दीये जलाना-खुशियाँ मनाना।
प्रयोग-हाईस्कूल की परीक्षा में प्रथम श्रेणी प्राप्त करने पर गोपाल के घर में घी के दीये जल रहे थे।
आँख का तारा होना-बहुत प्रिय होना।
प्रयोग-रमेश अपने माता-पिता की आँख का तारा है।

प्रश्न 6.
नीचे लिखे गद्यांश को पढ़कर उसके नीचे लिखे प्रश्नों के उत्तर लिखिए
इस संसार में सबसे अमूल्य वस्तु है ‘समय’। इस संसार में सभी वस्तुओं को घटाया-बढ़ाया जा सकता है। पर समय नहीं। समय किसी के अधीन नहीं रहता। न रह सकता है और न किसी की प्रतीक्षा करता है। विद्यार्थी जीवन में समय का अपना महत्व है। समय का सदुपयोग करने वाला व्यक्ति सदैव सफल होकर एक श्रेष्ठ नागरिक बनता है। समय का सदुपयोग तो केवल उद्यमी और कर्मठ व्यक्ति कर सकता है। आलस्य समय का सबसे बड़ा शत्रु है। विद्यार्थियों को इस शत्रु से सावधान रहना चाहिए।
(क) उपर्युक्त गद्यांश का उपयुक्त शीर्षक लिखिए।
(ख) समय का सबसे बड़ा शत्रु कौन है ?
(ग) कौन-सा व्यक्ति श्रेष्ठ नागरिक बन सकता है ?
(घ) समय का सदुपयोग कौन-सा व्यक्ति कर सकता
उत्तर
(क) उपयुक्त शीर्षक है ‘समय का महत्व’।
(ख) आलस्य समय का सबसे बड़ा शत्रु है।
(ग) समय का सदुपयोग करने वाला व्यक्ति श्रेष्ठ नागरिक बन सकता है।
(घ) समय का सदुपयोग उद्यमी और कर्मठ व्यक्ति कर सकता है।

महान विभूति: दानवीर डॉ. सर हरिसिंह गौर परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या 

(1) वह अपूर्व बुद्धि और अद्भुत वाकशक्ति वाले अधिवक्ता के रूप में प्रसिद्ध थे। उनकी अद्वितीय प्रतिभा, मौलिक सूझबूझ, तीव्र स्मरणशक्ति उनके प्रत्येक शब्द में आत्मविश्वास के साथ झलकती थी। न्यायालय में उनका परिवाद प्रस्तुत करने का ढंग ओजस्वी, अनोखा एवं रोचक होता था। डॉ. हरिसिंह गौर का गहन विश्वकोषीय ज्ञान, अनुवभव और दूरदर्शिता अपूर्व थी।

शब्दार्थ-अद्वितीय = अतुल्य, अकेला; अपूर्व = अनुपम, अनोखा; परिवाद = दावा; शिकायत; ओजस्वी = प्रभावशाली, शक्तिमान।

सन्दर्भ-प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘भाषा-भारती’ के पाठ ‘महान विभूति : दानवीर डॉ. सर हरिसिंह गौर’ से अवतरित है।

प्रसंग-इस गद्यांश में डॉ. हरिसिंह गौर के प्रतिभाशाली व्यक्तित्व को समझाया गया है।

व्याख्या-डॉ. हरिसिंह गौर एक विलक्षण प्रतिभा के धनी थे। उनमें तार्किक बुद्धि, सोचने की अद्भुत शक्ति, वाक्पटुता, समरण रखने की असीम क्षमता और आत्मविश्वास कूट-कूट कर भरे हुए थे। अत: कानून के क्षेत्र को उन्होंने अपना व्यवसाय चुना। न्यायालय में अपने पक्ष को सरल एवं रोचक तरीके से प्रस्तुत करते थे। इसीलिए डॉ. गौर प्रसिद्ध अधिवक्ता और विधिवेत्ता के रूप में अविस्मरणीय विभूति हैं। शिक्षा के क्षेत्र में डॉ. गौर को विश्वकोश का ज्ञान, कार्य करने का अनुभव और उसके परिणाम को जानने की अनोखी दूरदर्शिता थी।

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = \(-\frac{1}{2}\), x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = \(\frac{3}{5}\), x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(\frac{3}{4}\), x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = \(\frac{3}{4}\)
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = \(\frac{13}{5}\), चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

प्रश्न 5.
tan x = \(-\frac{5}{12}\), x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
tan x = \(-\frac{5}{12}\)
∆OAB में, tan x = \(\frac{A B}{O A}\)

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = \(\) = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]

प्रश्न 8.
tan \(\frac{19 \pi}{3}\)
हल:
tan \(\frac{19 \pi}{3}\) = tan \(\left(6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
= tan \(\frac{\pi}{3}\) [∵ tan (6π + θ) = tan θ]
= tan 60 = \( \sqrt{{3}} \). [∵ tan (π – θ)= – tan θ]

प्रश्न 9.
sin \(\left(\frac{-11 \pi}{3}\right)\).
हल:
\(\sin \left(\frac{-11 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{11 \pi}{3}\) [∵ sin (-θ) = – sin θ]

प्रश्न 10.
cot \(\left(\frac{-15 \pi}{4}\right)\)
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Hindi Bhasha Bharti Solutions Chapter 21 सालिम अली

सालिम अली बोध प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के अर्थ शब्दकोश से खोजकर लिखिए
उत्तर
बूंखार = हिंसक, निर्दयी, अत्यधिक क्रूर; पर्यवेक्षण अच्छी तरह देखना; विलुप्त = गायब हुआ;प्रेक्षण= देखने की प्रक्रिया वरिष्ठ अपने से अधिक अनुभवी; बुलफ्रेमबुलफ्रम नामक कच्ची धातु की खनन।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर संक्षेप में लिखिए
(क) सालिम अली का पूरा नाम क्या था ?
उत्तर
सालिम अली का पूरा नाम सली भाई जुद्दीन अब्दुल अली था।

(ख) चाचा ने सालिम अली का परिचय किससे कराया था ?
उत्तर
चाचा अमीरुद्दीन तैयबजी ने सालिम अली का परिचय डब्लू. एस. मिलार्ड से कराया। श्री मिलार्ड “बॉम्बे नेचुरल हिस्ट्री सोसाइटी” के अवैतनिक सचिव थे।

(ग) अपोलो स्ट्रीट पर किस सोसाइटी का कार्यालय था?
उत्तर
अपोलो स्ट्रीट पर “बॉम्बे नेचुरल हिस्ट्री सोसाइटी” का कार्यालय था।

(घ) सालिम अली ने कौन-से पक्षी को खोज निकाला?
उत्तर
सालिम अली ने ‘बया’ नामक पक्षी को खोज निकाला।

(ङ) सालिम अली को पक्षी संरक्षण के लिए कौन-सा पुरस्कार मिला था ?
उत्तर
सालिम अली को पक्षी संरक्षण के लिए ‘जे. पॉल वाइल्ड लाइफ कंजरवेशन’ पुरस्कार मिला था।

(च) इस पाठ में कौन-कौन सी पुस्तकों का उल्लेख है ?
उत्तर
इस पाठ में-

1. बुक ऑफ इण्डियन बर्ड्स
2. हैंडबुक ऑफ द बर्ड्स ऑफ इण्डिया एण्ड पाकिस्तान आदि पुस्तकों का उल्लेख है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर विस्तार से लिखिए
(क) सालिम अली ने जिस घायल पक्षी को उठाया था, उसकी पहचान मुश्किल क्यों थी ?
उत्तर
सालिम अली ने एक घायल पक्षी को उठाया। वह पक्षी गौरेया जैसा लगता था परन्तु उस पक्षी के गले पर पीला धब्बा था। असमंजस में पड़ा हुआ सालिम अली उस पक्षी को अपने चाचा अमीरुद्दीन तैयबजी के पास ले गया और पूछा कि यह पक्षी किस किस्म का है। उसके चाचा इस विषय में कुछ भी नहीं जानते थे। इसके बाद उसके चाचा उस बालक को ‘बॉम्बे नेचुरल हिस्ट्री सोसाइटी’ के ऑफिस में ले गए। वहाँ डब्लू. एस. मिलार्ड से परिचय करवाया। श्री मिलाई उक्त सोसाइटी के अवैतनिक सचिव थे। मिलार्ड ने अपनी एक दराज से मरे हुए पक्षी को उठाया। वह पक्षी बिल्कुल वैसा ही था जैसा वह बालक अपने साथ लाया था। वह एक नर पक्षी था। वह केवल वर्षा ऋतु में ही पहचाना जा सकता है क्योंकि वर्षा ऋतु में उसके गले पर पीला धब्बा उभर आता है। इसकी पहचान केवल बरसात के मौसम में ही हो पाती है।

(ख) ‘बॉम्बे नैचुरल हिस्ट्री सोसाइटी’ में सालिम अली ने क्या-क्या सीखा?
उत्तर
‘बॉम्बे नैचुरल हिस्ट्री सोसाइटी’ में सालिम अली ने पक्षियों के शरीरों में भूसा भरकर रखे गये तरह-तरह के पक्षियों को देखा। वह अचम्भे में रह गया। श्री मिलार्ड ने किसी भी भारतीय वयस्क को इतने उत्साह से भरा नहीं देखा जो पक्षियों के बारे में जानना चाहता हो। उसने सीखना शुरू कर दिया कि पक्षियों को किस तरह पहचाना जाता है। साथ ही उसने यह भी सीख लिया कि मरे हुए पक्षी के शरीर में भूसा भरकर किस तरह सुरक्षित रखा जा सकता है।

(ग) एक भारतीय बालक द्वारा किसी पक्षी के बारे में सवाल किए जाने पर मिस्टर मिलार्ड को क्यों आश्चर्य हुआ?
उत्तर
मिस्टर मिलार्ड उस बालक को देखकर अचम्भे में पड़ गये कि वह एक पहला भारतीय लड़का है जो उस घायल हुई चिड़िया को देखकर पहचानना चाहता है। मिलार्ड उसे उस । कमरे में भी ले गए जहाँ तरह-तरह के पक्षियों के शरीरों में भूसा भरकर रखे गए थे। उस वयस्क सालिम अली ने इस तरह की कल्पना भी नहीं की थी कि पक्षी इतने प्रकार के होते हैं। उस लड़के ने असाधारण रूप से पक्षियों की पहचानने की कोशिश की। इस पक्षी विज्ञानी लड़के ने पक्षियों के संरक्षण के लिए बहुत बड़ा योगदान दिया। एक भारतीय में इन पक्षियों को पहचानने की अद्भुत रुचि को देखकर मिस्टर मिलार्ड को आश्चर्य हुआ।

(घ) सालिम अली का अन्य पक्षी प्रेमियों से टकराव होने का क्या कारण था ?
उत्तर
सालिम अली ने बड़े धैर्यपूर्वक इन पक्षियों को अपने-अपने काम में लगे देखा। उन्होंने कई महीनों तक बया पक्षियों का अध्ययन किया। उन्होंने अनेक परीक्षण स्वयं ही किए। उन्होंने यह बात भी समझ ली कि किसी भी बात को आँखें बन्द करके स्वीकार नहीं करना चाहिए, चाहे वह बात कितने ही प्रसिद्ध व्यक्ति ने क्यों न की हो? वे अपने पर्यवेक्षण के परिणामों को बार-बार जाँचते थे और बहुत जल्दी ही किसी परिणाम पर नहीं पहुंच पाते थे। इसलिए उनके विचारों को और उनकी राय को आधिकारिक माना जाने लगा। यही कारण था कि उनका टकराव वरिष्ठ पक्षी प्रेमियों से हुआ।

(ङ) सालिम अली के पास कॉलेज की डिग्री नहीं थी परन्तु वे कौन-से गुण थे, जिन्होंने उन्हें असाधारण बनाया ?
उत्तर
सालिम अली के पास कॉलेज की डिग्री नहीं थी परन्तु दूसरे गुणों ने उन्हें असाधारण व्यक्ति बना दिया। वे बीजगणित से बहुत डरते थे। उन्होंने पढ़ाई छोड़ दी और बर्मा (म्यांमार) चले गए। बर्मा में इनके बड़े भाई रहते थे। वे वहाँ बुलफ्रेम की माइनिंग का काम करते थे। सालिम को माइनिंग के काम में भी सफलता नहीं मिली। वे वहाँ पक्षियों की खोज करने लगे। वहाँ से लौटकर प्राणिशास्त्र में एक कोर्स कर लिया और बॉम्बे नेचुरल हिस्ट्री सोसाइटी के अजायबघर में गार्ड नियुक्त हो गए। वे अब इसका उच्च प्रशिक्षण लेने के लिए जर्मनी चले गए। लौटकर आए तब तक उनकी नौकरी भी चली गई। वे वर्डवाचिंग का काम जरूर करते थे। उन्होंने वर्डवाचिंग के अध्ययन के परिणाम को प्रकाशित किया जिससे उन्हें पक्षी विज्ञान में प्रसिद्धि मिली। उन्होंने विलुप्त पक्षियों की खोज की। इन कामों ने उन्हें असाधारण बना दिया।

प्रश्न 4.
सही जोड़ियाँ बनाइए


उत्तर
(क) → (2), (ख) → (1), (ग) → (5), (घ) → (3), (ङ)→(4)

सालिम अली भाषा-अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों का उच्चारण कीजिए और उनको वाक्यों में प्रयोग कीजिए।
ऑफिस, अवैतनिक, विस्मित, वयस्क, प्राणिशास्त्र, कॉलेज।
उत्तर-

1. ऑफिस-रवि 10-00 बजे अपने ऑफिस जाता है।
2. अवैतनिक-विकास दो माह से अवैतनिक अवकाश पर है।
3. विस्मित-वह अपने भाई को सामने देखकर विस्मित रह गया।
4. वयस्क-18 वर्ष के वयस्क को मत देने का अधिकार
5. प्राणिशास्त्र-डॉ. पी. के. मिश्रा प्राणिशास्त्र के प्रवक्ता
6. कॉलेज-हमारे कॉलेज में इस समय खेलकूद प्रतियोगिताएं चल रही हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित शब्दों में प्रयुक्त उपसर्ग लिखिए
विलुप्त, असाधारण, सम्मान, प्रशिक्षण, अनुपस्थिति, उपयोग, सौभाग्य।
उत्तर
शब्द – उपसर्ग + शब्द
विलुप्त = वि + लुप्त
असाधारण = अ + साधारण
सम्मान = सम् + मान
प्रशिक्षण = प्र + शिक्षण
अनुपस्थिति = अनु + उपस्थिति
उपयोग = उप + योग
सौभाग्य’ = सौ + भाग्य

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों में प्रयुक्त प्रत्यय लिखिए
नारीत्व, राष्ट्रीय, भारतीय, विवाहित, पक्षीवाला।
उत्तर
पूर्ण शब्द शब्द + प्रत्यय
नारीत्व = नारी + त्व
राष्ट्रीय = राष्ट्र + ईय।
भारतीय = भारत + ईय
विवाहित, = विवाह + इत
पक्षीवाला = पक्षी + वाला

प्रश्न 4.
नीचे लिखे शब्द किन दो शब्दों के मेल से बने हैं, लिखिए
अजायबघर, पक्षी-विज्ञानी, महत्त्वपूर्ण, महाद्वीप, महत्त्वाकांक्षी, प्रस्तुतीकरण, प्राणिशास्त्र।
उत्तर
अजायब + घर
पक्षी + विज्ञानी
महत्त्व + पूर्ण
महा + द्वीप
महत्त्व + आकांक्षी
प्रस्तुती + करण
प्राणी + शास्त्र।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित वाक्यांशों के लिए एक शब्द लिखिए
(1) जो बिना वेतन लिए काम करता है।
(2) जो मार्गदर्शन करता है।
(3) जहाँ पानी के जहाज आकर खड़े होते हैं।
(4) जो पक्षियों से प्रेम करता है।
(5) पक्षियों के सम्बन्ध में विशेष ज्ञान रखने वाला।
(6) जो बात मुख से कही गई है।
उत्तर

1. अवैतनिक
2. मार्गदर्शक
3. बन्दरगाह
4. पक्षी-प्रेमी
5. पक्षी-विज्ञानी
6. मौखिक।

सालिम अली परीक्षोपयोगी गद्यांशों की व्याख्या 

(1) आश्चर्य की बात यह है कि सालिम अली के पास किसी विश्वविद्यालय की डिग्री नहीं थी। यद्यपि उन्होंने कॉलेज में प्रवेश लिया था मगर बीजगणित से डरकर पढ़ाई छोड़कर भाग खड़े हुए। वह अपने भाई की बुलफ्रेम की माइनिंग में मदद करने बर्मा चले गए, लेकिन यहाँ भी वे असफल रहे। वह बर्मा के जंगलों में बुलफ्रेम के बदले पक्षियों की खोज करने लगे।

शब्दार्थ-आश्चर्य = अचम्भा; डिग्री = उपाधि प्रवेश दाखिला; बुलफ्रेम की माइनिंग = बुलफ्रेम नामक कच्ची धातु का खनन; मदद – सहायता; बर्मा – म्यांमार देश; असफल = सफलता न मिलना।

सन्दर्भ-प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘भाषा-भारती’ के पाठ ‘सालिम अली’ से अवतरित है। इसके लेखक दिलीप मधुकर साल्वी हैं।

प्रसंग-इस गद्यांश में ‘सालिम अली’ के प्रारम्भिक जीवन के विषय में जानकारी दी जा रही है। वे असाधारण पक्षी-प्रेमी थे।

व्याख्या-लेखक स्पष्ट करते हैं कि यह बात बड़े अचम्भे की है कि सालिम अली ने विश्वविद्यालय स्तर की किसी भी संस्था से शिक्षा सम्बन्धी कोई भी उपाधि प्राप्त नहीं की। उन्होंने एक कॉलेज में पढ़ने के लिए दाखिला तो ले लिया था लेकिन बीजगणित बहुत ही कठिन विषय लगा। इससे वे भयभीत हो गये और उन्होंने पढ़ाई छोड़ दी। वह अपने भाई के पास बर्मा (आजकल म्यांमार) चले गये। वहाँ वे बुलफ्रम नामक कच्ची धातु के खनन में अपने भाई की सहायता करते थे, लेकिन बर्मा में उन्हें इस काम में भी रुचि नहीं लगी। वे वहाँ बर्मा के जंगलों में पक्षियों की खोज करने के काम में जुट गए।

(2) वह घर पेड़ों के बीच बना हुआ था और वहाँ शान्ति थी। जब वर्षा ऋतु आई तो सालिम अली ने देखा कि घर के पास ही बया पक्षियों ने एक पेड़ पर अपनी बस्ती बनाई है। तब बया पक्षी के बारे में लोगों को कुछ ज्यादा जानकारी नहीं थी। इन पक्षियों का अध्ययन करने का सालिम अली के लिए यह सुनहरा अवसर था। तीन-चार महीनों तक वे रोज घण्टों बैठे बड़े धैर्य से इन पक्षियों को वहाँ कार्यरत् देखते रहते। सन् 1930 ई. में उन्होंने अपने इस अध्ययन के परिणाम को प्रकाशित किया तो उन्हें पक्षी विज्ञान (ऑरनिथोलॉजी) में खूब ख्याति मिली।

शब्दार्थ-वर्षा ऋतु में = बरसात के मौसम में; बस्ती = घोंसले ज्यादा = अधिक; सुनहरा = बहुत अच्छा, महत्त्वपूर्ण; अवसर = मौका; रोज = प्रतिदिन; धैर्य = तसल्ली; कार्यरत् = काम में लगे हुए; परिणाम = नतीजे; प्रकाशित = किताब के रूप में छपवाया। ऑरनिथोलॉजी – पक्षी-विज्ञान; ख्याति = प्रसिद्धि।

सन्दर्भ-पूर्व की तरह।

प्रसंग-सालिम अली ने पक्षियों के विषयों में जानकारी । प्राप्त करने में बड़ी रुचि ली।

व्याख्या-सालिम अली जिस घर में रहते थे, वह घर ऐसे स्थान पर बना हुआ था जहाँ चारों ओर पेड़ ही पेड़ थे। वहाँ पूर्ण शान्ति थी। जब बरसात का मौसम आया तो सालिम अली ने देखा कि घर के आस-पास के पेड़ों में से एक पेड़ पर बया पक्षियों ने अपने रहने के लिए घोंसले बनाना शुरू कर दिया था। उस समय तक लोग बया पक्षी से सम्बन्धित अधिक जानकारी नहीं रखते थे। यह बहुत ही महत्त्वपूर्ण अवसर था जबकि सालिम अली बया नामक पक्षियों के विषय में अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते थे। उस समय (वर्षा ऋतु में) सालिम अली तीन से चार महीने तक प्रतिदिन कई घण्टे तक अकेले बैठे रहते थे और धैर्यपूर्वक. इन पक्षियों के काम को देखते रहते थे। उन्होंने सन् 1930 ई. में अपना अध्ययन पूरा किया और उसके जो नतीजे मिले, उन्हें उजागर कर दिया। इस तरह सालिम अली ने पक्षी-विज्ञान के क्षेत्र में बहुत बड़ी प्रसिद्धि हासिल की।

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