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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.1

प्रश्न 1.
उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
हल:
20 km को 1 cm मानते हुए 2 cm का एक रेखाखण्ड OP, OY की दायीं ओर OY के साथ 30° का कोण बनाते हुए खींचा गया।
इस प्रकार सदिश \(\overrightarrow{O P}\) OY से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन को निरूपित करता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) 10 kg,
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब,
(vi) 20 m/s²
हल:
अदिश-
(i) 10 kg,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब

सदिश-
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम
(vi) 20 m/s²

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) समय कालांश
(ii) दूरी
(iii) बल
(iv) वेग
(v) कार्य
हल:
(a) अदिश राशि-
(i) समय कालांश,
(ii) दूरी,
(v) कार्य

(b) सदिश राशि-
(iii) बल,
(iv) वेग।।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए-
(i) सह-आदिम,
(ii) समान,
(iii) संरेख परन्तु असमान।

हल:
(i) सह-आदिम राशि : \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{a}\) तथा AD = \(\overrightarrow{d}\)
(ii) समान : \(\overrightarrow{A D}=\vec{d}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}\)
(iii) संरेख परन्तु असमान : \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{C D}=\vec{c}\)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए।
(i) \(\overrightarrow{a}\) तथा \(-\overrightarrow{a}\) संरेख हैं।
(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
(iv) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।
हल:
(i) सत्य,
(ii) असत्य,
(iii) असत्य,
(iv) असत्य

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष
(ii) y = x⁴, x = 1, x = 5 एवं x-अक्ष
हल:
(i) परवलय y = x² का शीर्ष (0, 0) है। OY रेखा सममित है।
y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र PLMQ का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों y = x एवं y = x² के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समी० y = x …(i)
y = x² ….(ii)
समी० (i) एक सीधी रेखा को प्रदर्शित करता है जो मूल बिन्दु से गुजरती है तथा समी० (ii) एक परवलय को प्रदर्शित करती है जिसका शीर्ष (0, 0) है।
समी० (i) व (ii) को परस्पर हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) और (1, 1) प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में सम्मिलित एवं y = 4x², x = 0, y = 1 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 4x² एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है। OY रेखा सममित है।
∴ y = 1, y = 4, x = 0, y = 4x² से घिरा क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
y = |x + 3| का ग्राफ खींचिए एवं \(\int_{-6}^{0}|x+3|\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
y = |x + 3|
x = -3, y = 0 पर
AQ रेखा है जो y = x + 3
जब x + 3 < 0,
y = -(x + 3) = -x – 3
AP रेखा का ग्राफ AP है।

प्रश्न 5.
x = 0 एवं x = 2π तथा वक्र y = sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = sin x के ग्राफ पर कुछ बिन्दु इस प्रकार हैं। इन बिन्दुओं को वक्र द्वारा मिलाने से ग्राफ प्राप्त होता है।


अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल
= वक्र OPAQB तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र AOB का क्षेत्रफल
= 2 क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल
= \(2 \int_{0}^{\pi} \sin x d x=2[-\cos x]_{0}^{\pi}\)
= 2 [1 + 1] = 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 6.
परवलय y = 4ax एवं रेखा y = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए वक्र और सरल रेखा का समीकरण
y² = 4ax …(1)
y = mx …(2)
y का मान समी० (1) में रखने पर,
(mx)² = 4ar
⇒ m²x² = 4ax
⇒ m²x = 4a

प्रश्न 7.
परवलय 4y = 3x² एवं रेखा 2y = 3x + 12 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय तथा रेखा के समीकरण
4y = 3x² …(1)
2y = 3x + 12 …(2)
2y का मान समी० (1) में रखने पर,
2(3x + 12) = 3x²

⇒ 6x + 24 = 3x²
⇒ 3x² – 6x – 24 = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
∴ x = 4, -2
⇒ y = 12, 3
इस प्रकार परवलय तथा रेखा एक-दूसरे को P(-2, 3) तथा Q(4, 12) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
वक्र 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQ का क्षेत्रफल
= समलम्ब चतुर्भुज PLMQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र PLOMQOP

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) एवं रेखा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\) से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 9.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) एवं रेखा \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 10.
परवलय x² = y, रेखा y = x + 2 एवं x अक्ष . से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय x² = y, शीर्ष (0, 0) के साथ y-अक्ष की धनात्मक दिशा की तरफ और ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को निरूपित करता है तथा y = x + 2 एक सरल रेखा को निरूपित करता है जो कि x-अक्ष को (-2, 0) पर काटता है।
अब x² = x + 2
⇒ x² – x – 2 = 0
⇒ x² – 2x + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0
∴ x = 2, -1
जब : x = 2, y = (2)² = 4
जब x = -1, y = (-1)² = 1
∴ दो वक्र x = y और y = x + 2 विन्दु (2, 4) और (-1, 1) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।

प्रश्न 11.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण |x| + |y| = 1 चार सरल रेखाओं को निरूपित करते हैं।

(i) x > 0, y > 0, x + y = 1
∴ y = 1 – x
(ii) x < 0, y > 0, -x + y = 1
∴ x – y = -1
(iii) x < 0, y < 0, -x – y = 1
∴ x + y = -1
(iv) x > 0, y < 0, x – y = 1
इन रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल
= 4 × ∆OAB का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
वक्रों {(x, y) : y ≥ x² तथा y = |x|} से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = y एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है। रेखा OY सममित है।

समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निरूपित करता है।
जब x > 0, y = x; जब x < 0, y = -x
y = x, x² = y को (0, 0), (1, 1) पर काटती है।
y = -x, x² = y को (0, 0), (-1, 1) पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × क्षेत्र OPQ का क्षेत्रफल
= 2 [∆OLQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र OLOPO का क्षेत्रफल]
= \(\left[\int_{0}^{1} y_{1} d x-\int_{0}^{1} y_{2} d x\right]\)
[जहाँ y₁ रेखा y = x तथा y₂ वक्र x² = y के लिए प्रयुक्त किए गए हैं।

प्रश्न 13.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B (4, 5) एवं C (6, 3) हैं।
हल:
रेखा AB का समीकरण,


अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ∆AMB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BMNC का क्षेत्रफल – क्षेत्र AANC का क्षेत्रफल

प्रश्न 14.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x – 2y = 6 एवं x – 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समी०
2x + y = 4 …(i)
2x – 2y = 6 …(ii)
एवं x – 3y + 5 = 0
समी० (i) व (ii) को हल करने पर
x = 2, y = 0
समी (ii) व (iii) को हल करने पर
x = 4, y = 3
समी० (iii) व (i) को हल करने पर
x = 1, y = 2

प्रश्न 15.
क्षेत्र {(x, y): y² ≤ 4x, 4x² + 4y² ≤ 9} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y² = 4x परवलय है जिसमें शीर्ष (0, 0) तथा x-अक्ष है।
4x² + 4y² = 9 एक वृत्त को निरूपित करता है।
केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या = \(\frac{3}{2}\) है!

16 से 19 तक के प्रश्नों के सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 16.
वक्र y = x³, x-अक्ष एवं कोटियों x = -2, x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) -9
(B) \(\frac{-15}{4}\)
(C) \(\frac{15}{4}\)
(D) \(\frac{17}{4}\)
हल:
वक्र y = x³
अवकलन करने पर,

\(\frac{d y}{d x}\) = 3x², जो सदैव धनात्मक रहता है।
∴ वक्र निरन्तर वर्धमान है।
\(\frac{d y}{d x}\) = 0, x = 0 मूल बिन्दु पर x-अक्ष स्पर्श रेखा है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= क्षेत्र AQO का क्षेत्रफल + क्षेत्र OBP का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 17.
वक्र y = x|x|, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(\frac{4}{3}\)
हल:
जब x > 0, |x| = x
∴ वक्र का समीकरण y = x²
जब x < 0, |x| = -x
वक्र का समीकरण y = -x²
वक्र y = x|x|, x ≥ -1, x ≤ 0

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 18.
क्षेत्र y² ≥ 6x और वृत्त x² + y = 16 में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
दिए हुए वक्रों के समीकरण
x² + y = 16 …(1)
y² = 6x …(2)
समी० (1) में से (2) को घटाने पर,
x² = 16 – 6x
⇒ x²2 + 6x – 16 = 0
(∴ x + 8) (x – 2) = 0; x = -8, 2
जब x = 2, y² = 6 × 2 = 12
∴ y = ± 2\( \sqrt{{3}} \)

यहाँ पर y² > 6x, परवलय से बाहर का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
परवलय एवं वृत्त के अन्दर का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQAP का क्षेत्रफल
= 2 [क्षेत्र POMA का क्षेत्रफल]
= 2 [क्षेत्र POM का क्षेत्रफल + क्षेत्र PMA का क्षेत्रफल]

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
y-अक्ष, y = cosx एवं y = sin x, 0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\) घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) 2(\( \sqrt{{2}} \) – 1)
(B) \( \sqrt{{2}} \) – 1
(C) \( \sqrt{{2}} \) + 1
(D) \( \sqrt{{2}} \)
हल:
समीकरण y = cos x तथा y = sin x में y का मान समान रखने पर,
cosx = sin x .
∴ tan x = 1 या x = \(\frac{\pi}{4}\)
जब x = \(\frac{\pi}{4}\) sin x = cos x =\(\frac{1}{\sqrt{2}}\),
y-अक्ष, y = cos x, y = sin x
0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
A = क्षेत्र OPB का
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र APB का क्षेत्रफल


अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल:

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए :
हल:
∵ f(x) = 2x² – 1
∴ f(3) = 2 x 3² – 1 = 17
\(\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2} – 1\right)\)
= 2 × 9 – 1 = 17
अतः f(x), x = 3 पर सतत् है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सातत्य की जाँच कीजिए
हल:
(a) f(x) = x – 5
(x – 5) एक बहुपदीय व्यंजक है।
अतः हर बिन्दु x ϵ R पर संतत है।



अतः f, x = 5 पर संतत है।
पुनः x < 5 पर f(x) = x – 5, जो कि एक बहुपद है इसलिए f, x > 5 पर संतत है
x < 5 पर
f(x) = – (x – 5) = 5 – x, जो कि एक बहुपद है
∴ f, x < 5 पर संतत है
अतः f, x की समस्त मान के लिए संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n, संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
∵ n एक धन पूर्णांक है
∴ f(x) = xⁿ एक बहुपद हैं
इसलिए x = n पर f एक संतत है।

प्रश्न 5.
क्या
द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है।
हल:

f के सभी असातत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –
प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.
क्या
परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल:

फलन f के सातत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है-
प्रश्न 14.

हल:

⇒ L.H.L. ≠ R.H.L.
∴ f बिन्दु x = 3 पर संतत नहीं है।
अतः x = 1 व x = 3 पर f असांत्यता है।

प्रश्न 15.

हल:


⇒ L.H.L. ≠ R.H.L.
अतः f (x), x = 1 पर संतत नहीं है। पुनः x > 1 के लिए,
f(x) = 4x, जो कि बहुपद है।
∴ x > 1 पर f सतत होगा।
अतः x = 1 के अतिरिक्त f सभी बिन्दुओं पर संतत होगा अथवा केवल x = 1 पर असांतत्य होगा।

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल:

अत: b के प्रत्येक मान के लिए इसके संगत a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
हल:

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
हल:
x = c पूर्णांक पर, f(x) = x – [x]

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल:
माना f(x) = x² – sin x + 5

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए –
(a) f(x) = sin x + cosx
(b) f(x) = sin x – cosx
(c) f(x) = sin x. cosx
हल:

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल:
(a) माना f(x) = cos x

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल:

तथा f(0) = 0 + 1 = 1
∴ x = 0 पर f संतत फलन है।
जब x > 0, f(x) = x + 1, जो कि बहुपद है।
∴ f एक संतत फलन होगा।
अतः f प्रत्येक बिन्दु पर संतत फलन है।

प्रश्न 24.
निर्धारित कीजिए कि फलन f

द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
हल:

प्रश्न 25.
f के सातत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

हल:

∴ x = c ≠ 0 पर f संतत है।
अत: x ϵ R, सभी बिन्दुओं पर f संतत है।

प्रश्न 26 से 29 में k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर संतत हो-
प्रश्न 26.

द्वारा परिभाषित फलन x = \(\frac{\pi}{2}\) पर।
हल:
x = \(\frac{\pi}{2}\) पर,

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल:

प्रश्न 28.

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर।
हल:

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
हल:

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल:
प्रश्न (15) की भाँति करें।
x = 3 पर
L.H.L. = 5
R.H.L. = 2a + b
तथा f(2) = 5
∵ f(x) x = 2 पर संतत फलन है।
∴ L.H.L. = R.H.L.
2a + b = 5
पुनः f (x), x = 10 पर संतत है।
∴ L.H.S. = R.H.S. = f(10)

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) – cos (x²) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है
हल:
f(x) = cos(x²)
माना g(x) = cosx तथा h (x) = x²
∴ goh (x) = g[h (x)] = g(x²)
= cos (x²) = f(x)
∵ g (x) एक कोज्या (cosine) का एक फलन है जो कि संतत होता है।
तथा h (x) एक बहुपद है।
इसलिए f(x) भी एक संतत फलन है।

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) = | cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल:
यहाँ f(x) = |cosx|
सर्वप्रथम माना x = c ϵ R पर,
\(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}|\cos x|=|\cos c|\)
f(c) = |cosc|
अतः x = C ϵ R पर एक संतत फलन है।

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin |x|एक संतत फलन है।
हल:
माना f(x) = sin |x|
प्रथम विधि-
x = c ϵ R पर,
\(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(\sin |x|)=\sin |c|\)
f(c) = sin |c|
अतः x = c ϵ R पर एक संतत फलन है।
दूसरी विधि से-
माना g (x) = sin x, h (x) = |x|
f(x) = (goh)(x) = g (h (x)) = g (|x|) = sin |x|
g(x) = sin x 3ite h(x) = |x|
g और h दोनों संतत फलन हैं।
अतः f भी संतत फलन है।

प्रश्न 34.
f(x) = |x| – |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = |x| – |x + 1|
f(x) = -x[ – (x +1)], [जब x < – 1]
= – x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब -1 ≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x ≥ 0
= x – x – 1 = – 1

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए-

हल:

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:
माना \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) दो भिन्न वेक्टर हैं परन्तु इनके परिणाम समान हैं।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:
माना दो सदिश वे \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}\)

प्रश्न 4.
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश \(2 \hat{i}+3 \hat{j}\) और \(x \hat{i}+y \hat{j}\) समान हों।
हल:
\(2 \hat{i}+3 \hat{j}+x \hat{i}+y \hat{j}\)
\(\hat{i}\) और \(\hat{j}\) के गुणांकों की तुलना करने पर,
∴ x = 2, y = 3

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु A (2, 1) व B (-5, 7) हैं। तब

अत: \(\overrightarrow{A B}\) के अदिश घटक –7 तथा 6 हैं व सदिश घटक \(-7 \hat{i}\) और \(6 \hat{j}\) हैं।

प्रश्न 6.
सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \quad \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}\) का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
सदिश \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
सदिश \(\overrightarrow{P Q}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल:

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) और \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) के लिए सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
सदिश \(5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल:

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}\) और \(-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}\) संरेख हैं।
हल:

क्योंकि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) की दिशा समान हैं अतः ये संरेख हैं।

प्रश्न 12.
सदिश \(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A (1, 2,-3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:
A (1, 2, -3) एवं B (-1, – 2, 1)

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}}\) अक्षों OX,OY तथा OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
माना A = \(\vec{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
माना सदिश \(\vec{a}\) अक्ष OX, OY एवं OZ के साथ क्रमश: α, β तथा γ कोण बनाता है तथा इनके दिक् cosine cos α, cos β तथा cos γ हैं।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P = \((\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})\) और Q = \((-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i) अंत: (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) अन्त : विभाजन

(ii) बाह्य विभाजन
बिन्दु R रेखा को 2 : 1 में बाह्य विभाजित करता है अतः

प्रश्न 16.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q (4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
P और Q को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमश: \(\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \quad \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल:

प्रश्न 18.
संलग्न चित्र में त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?

हल:
सदिशों के योगफल त्रिभुज नियम के अनुसार,

प्रश्न 19.
यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है?
(b) \(\vec{b}=\lambda \vec{a}\)किसी अदिश λ के लिए
(B) \(\vec{a}=\pm \vec{b}\)
(C) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।
(D) दोनों सदिशों के \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
हल:
पहले तीन कथन (A), (B), (C) सही हैं परन्तु संरेख सदिश समान्तर होते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि दिशा समान हो या परिमाण समान हों।
अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए।
प्रश्न 1.

हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {-4} \\ {0} & {3}\end{array}\right|\)
a₁₁ का उपसारणिक M₁₁ = 3
a₁₂ का उपसारणिक M₁₂ = 0
a₂₁ का उपसारणिक M₂₁ = -4
a₂₂ का उपसाराणिक M₂₂ = 2
a₁₁ का सहखण्ड = A₁₁ = (-1)¹⁺¹
M₁₁ = (-1)² × 3 =3
a₁₂ का सहखण्ड = A₁₂ = (-1)¹⁺²
M₁₂ = (-1)³ × 0 = 0
a₂₁ का सहखण्ड = A₁₃ = (-1)² + 1
M₂₁ = (-1)³ × (-4) = 4
a₂₂ का सहखण्ड = A₂₂ = (-1)²⁺²
M₂₂ = (-1)⁴ × 2 = 2

(ii) यहाँ \(\left|\begin{array}{ll}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right|\) सारणिक \(\left|\begin{array}{ll}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right|\) के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं-
M₁₁ = d
M₁₂ = b
M₂₁ = c
M₂₂ = a
इसलिए सहखंड निम्न होंगे-
A₁₁ = d
A₁₂ = -b
A₂₁ = -c
तथा A₂₂ = 1

प्रश्न 2.

हल:


A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (-1)² × 1 = 1
A₁₂ = 1¹⁺² M₁₂ = (-1)³ × 0= 0
A₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1)³ × 0 = 0
A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = (-1)⁴ × 1 = 1
A₂₃ = (-1)²⁺³ M₂₃ = (-1)⁵ × 0 = 0
A₃₁ =(-1)³⁺¹ M₃₁ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ = (-1)⁵ × 0= 0
A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = (-1)⁶ × 1 = 1

(ii) यहाँ \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {4} \\ {3} & {5} & {-1} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right|\) उपसारणिक और सहखण्ड की परिभाषां से a₁ का उपसारणिक M₁ = \(\left|\begin{array}{cc}{5} & {-1} \\ {1} & {2}\end{array}\right|\) = 10 + 1 = 11
हल:

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}{5} & {3} & {8} \\ {2} & {0} & {1} \\ {1} & {2} & {3}\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

दूसरी पंक्ति से सारणिक का विस्तार करने पर,
∆ = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2 × 7 + 0 × 7 + 1 × (-7)
= 14 + 0 – 7 = 7

प्रश्न 4.
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {x} & {y z} \\ {1} & {y} & {z x} \\ {1} & {z} & {x y}\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}{1} & {x} \\ {1} & {z}\end{array}\right|\) = (-1)⁵ [z – y]
= -(z – x)
A₃₃ = (-1)³⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}{1} & {x} \\ {1} & {y}\end{array}\right|\) = (-1)⁶ [y – x] = (y – x)
∴ ∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz (z – y) + zx (-z + x) + xy(y – x)
= yz² – y²z – xz² + x²z + xy² – x²y
= (-y²z + yz²) + (y² – xz²) + (-x²y + x²z)
= – yz (y – z) + x(y² – z² ) – x²(y – z)
= (y – z)[-yz + x (y + z) – x²]
= (y – z)[z (x – y) – x(x – y)]
= (y – z)(x – y)(z – x)
= (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 5.
यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|\) और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है
(A) A₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(B) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(C) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(D) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
हल:
∆ = किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के अवयवों तथा उनके संगत सहखण्डों के गुणन का योग
C₁ स्तम्भ के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
इनमें सहखण्ड a₁₁, A₂₁, A₃₁
⇒ ∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
अत: विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.1

प्रश्न 1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-5} & {-1}\end{array}\right|\)
हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-5} & {-1}\end{array}\right|\) = 2 × (-1) – 4 × (-5) = -2 + 20 = 18

प्रश्न 2.

हल:
(i) \(\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {-\sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|\)
=cose θ cosθ – (sin θ) × (-sin θ)
= cos²θ + sin²θ
= 1

(ii) \(\left|\begin{array}{cc}{x^{2}-x+1} & {x-1} \\ {x+1} & {x+1}\end{array}\right|\)
= (x² – x + 1)(x + 1) – (x + 1)(x – 1)
= (x + 1) – (x² – 1) = x³ + 1 – x² + 1
= x³ – x² + 2

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {2}\end{array}\right]\), तो दिखाइए |2A| = 4|A|
हल:

प्रश्न 4. यदि A = \(\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {4}\end{array}\right|\) हो, तो दिखाइए |3A| = 27|A|
हलः

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए-

हल:



= 0[0-(-3) × 3][-1 × 0 – (-3) × (-2)] + 2[3 × (-1) – (-2) × 0]
= 0 × 9 – 1[0 – 6] + 2[-3 – 0]
= 0 – 1 × (-6) + 2 × (-3)
= 6 – 6 = 0

= 2[2 × 0 – (-1) × (-5)] + 1[0 × 0 – (-1) × 3] – 2[0 × (-5) – 2 × 3]
= 2[0 – 5] + 1[0 + 3] – 2 × [0 – 6]
= 2 × (-5) + 1 × 3 – 2 × (-6)
= -10 + 3 + 12 = -10 + 15 = 5

प्रश्न 6.
यदि A = \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {-2} \\ {2} & {1} & {-3} \\ {5} & {4} & {-9}\end{array}\right|\), हो तो |A| ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए यदि

हल:

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒ -18 = 2x² – 24
⇒ 2x² – 24 +18 = 0
⇒ 2x² -6 =0
⇒ x² = 3
⇒ x = ±\( \sqrt{{3}} \)

⇒ 10 – 12 = 5x – 6x
-2x³ = – x
x = 2

प्रश्न 8.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}{x} & {2} \\ {18} & {x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{6} & {2} \\ {18} & {6}\end{array}\right|\) हो तो x बराबर है-
(A) 6
(B) ±6
(C) -6
(D) 0
हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{x} & {2} \\ {18} & {x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{6} & {2} \\ {18} & {6}\end{array}\right|\)
⇒ x × x -2 × 18 = 6 × 6 – 2 × 18
⇒ x² – 36 = 36 – 36
⇒ x² – 36 = 0
⇒ x = 36
∴ x = ±6
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{cccc}{2} & {5} & {19} & {-7} \\ {35} & {-2} & {5 / 2} & {12} \\ {\sqrt{3}} & {1} & {-5} & {17}\end{array}\right]\), के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃
हल:
(i) आव्यूह A में पंक्तियों की संख्या = 3
तथा स्तम्भों की संख्या = 4
इसलिए आव्यूह की कोटि = 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12 अवयव
(iii) a₁₃ = पहली पंक्ति व तीसरे स्तम्भ का अवयव = 19
इसी प्रकार,
a₂₁ = 35, a₃₃ =-5, a₂₄ = 12 तथा a₂₃ = \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4
(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 13 और 13 × 1

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल:
(i) 8 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ निम्न प्रकार हैं- 18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं-

हल:

प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं-
(i) a_ij = \(\)|-3i + j|
(ii) a_ij = 2i – j
हल:

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के माम ज्ञात कीजिए-

हल:
(i) \(\left[\begin{array}{ll}{4} & {3} \\ {x} & {5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{y} & {z} \\ {1} & {5}\end{array}\right]\)
∵ दोनों आव्यूह समान हैं
∴ संगत अवयवों को समान रखने पर
4 = y ⇒ y = 4
3 = z ⇒ 2 = 3
तथा x = 1
अतः x = 1, y = 4 तथा z = 3

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}{x+y} & {2} \\ {5+z} & {x y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{6} & {2} \\ {5} & {8}\end{array}\right]\)
दो आव्यूहों की समानता परिभाषा. से संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y = 6 ⇒ y = 6 – x
तथा xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8 ⇒ 6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = 4, 2
∴ y = 2, 4
तथा 5 + z = 5 ⇒ z = 0
अत: x = 4, y = 2 तथा z = 0 अथवा x = 2, y = 4 व z = 0

(iii) \(\left[\begin{array}{c}{x+y+z} \\ {x+z} \\ {y+x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{9} \\ {5} \\ {7}\end{array}\right]\)
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y + z = 9 …. (i)
x + z = 5 … (ii)
y + z = 7 … (iii)
समी (i) व (iii) से,
x + 7 = 9 ⇒ x²
x का मान (ii) में रखने पर,
2 + z = 5 ⇒ z = 3
तथा y = 7 – 3 = 4
अतः x = 2, y = 4 तथा z = 3

प्रश्न 7.
समीकरण \(\) से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
a – b = -1 …(i)
2a – b = 0 ⇒ 2a = b …(ii)
2a + c = 5 ….(iii)
तथा 3c + d = 13 ….(iv)
समी० (i) व (ii) से,
a – 2a = -1 ⇒ a = -1
∴ b = 2
समी० (iii) से,
2 (1) + c = 5
⇒ c = 5 + 2 = 7
समी० (iv) 3c + d = 13
d = 13 – 21 = 8
अतः a = 1, b = -2, c = 7 तथा d = 8

प्रश्न 8.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के समान है।
m = n
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-

हल:
दिए हुए आव्यूह समान हैं।
3x + 7 = 0 ⇒ 3x = -7 ∴ x = \(-\frac{7}{3}\)
तथा 5 = y – 2 ⇒ 5 + 2 = y ∴ y = 7
2 – 3x = 4 ⇒ -3x = 4 – 2
⇒ -3x = 2 ∴ x = \(-\frac{2}{3}\)
x के दो मान \(-\frac{7}{3}\) और \(-\frac{2}{3}\) हैं। यह नहीं हो सकता।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
हल:
3 × 3 कोटि के 9 अवयव हों तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने के लिए 2⁹ = 512 तरीके हो सकते हैं।
∴ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512
अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right]\) हो तो दिखाइए कि सभी nEN के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1 bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल:

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि

हल:



∴ P(n) सत्य है n = k +1 के लिए,
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार p(n), n के सभी n ϵ N मान के लिए सत्य है जब n ϵ N.

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {-4} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}{1+2 n} & {-4 n} \\ {n} & {1-2 n}\end{array}\right]\) जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:


∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है। n ϵ N.

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं।
∴ A’ = A और B’ = B
(AB – BA) = (AB)’ – (BA)’ [∵ (X – Y) = X’ – Y’]
= B’A’ – A’B’ [∵ (XY) =Y’X’]
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= – (AB – BA)
∴ AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’ AB सममित अथवा विषम सममित है, यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) माना A सममित आव्यूह है।
तब A’ = A
∴ (B’ AB) = (B’ (AB)) =(AB)'(B’)’
= (B’A’)B
=B’ AB [∵ (AB)’ = B’A’ और A’ = A]
⇒ B’ AB एक सममित आव्यूह है।

(ii) माना A विषम सममित आव्यूह है।
∴ A’ = -A
अब, (B'(AB))’ = (AB)’ (B’)’ = (B’A’)B
= B'(-A)B = – B’ AB [∵ A’ = -A]
=-(B’ AB)
अत: B’ AB एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{0} & {2 y} & {z} \\ {x} & {y} & {-z} \\ {y} & {-y} & {z}\end{array}\right]\) समीकरण A’ A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए

हल:

प्रश्न 8.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) हो तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0 है।
हल:

प्रश्न 9.
यदि [x -5 -1]\(\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {2} & {1} \\ {2} & {0} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x} \\ {4} \\ {1}\end{array}\right]\) = 0 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ, x, y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है-

(a) यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs. 2.50, Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमश: Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross Profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है-

अतः प्रत्येक बाजार से आय रु० 46,000 तथा 53,000 रु० है|

(b) प्रत्येक उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का क्रय मूल्य क्रमशः 2.00,1: 00 तथा 0:50 रु० है।
आव्यूह रूप में लिखने पर,

पहले बाजार का लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
46000 – 31000 = 15000 रु०
दूसरे बाजार का लाभ = 53000 – 36000 = 17000 रु०

प्रश्न 11.
आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि

हल:

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ϵ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
माना P(n): ABⁿ = BⁿA, जबकि AB = BA
किन्तु n = 1, AB = BA (दिया है)
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए,
∴ AB^k = B^k A सत्य है।
दोनों ओर B से गुणा करने पर,
L.H.S. = AB^k . B = A (B^k B) = AB^k+1
R.H.S. = (B^k A)B = B^k (AB)
= B^k (BA)
= (B^k B) A = B^k+1A [∵ AB = BA दिया है]
∴ AB^k+1 = B^k+1A
⇒ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय · आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है, जबकि n ϵ N
माना P(n): (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1 रखने पर,
L.H.S. = (AB)’ = AB
R.H.S. = A’B’ = AB
P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए.
(AB)^k = A B^k
दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर,
L.H.S. = (AB)^k AB = (AB)^k+1
R.H.S. = A^k B^k . (AB)
= A^k B^k (BA) [∵ AB = BA दिया है।]
= A^k (B^k B)A
= A^k (B^k+1A) [∵ AB^k = B^kA]
= (A^k A)B^k+1 = A^k+1. B^k+1
अतः (AB)^k+1 = A^k+1. B^k+1
∴ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए, . .
गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है जबकि n ϵ N.

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{\alpha} & {\beta} \\ {\gamma} & {-\alpha}\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो:
(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 – α² + βγ = 0
(C) 1 – α² – βγ = 0
(D) 1 + α² + βγ = 0
हल:

α² + βγ = 1 या 1 – α² – βγ = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो:
(A) A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B) A एक शून्य आव्यूह है।
(C) A एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
सममित आव्यूह में, a_ij = a_ji …(1)
विषम सममित आव्यूह में, a_ij = -a_ji …(2)
सममित और विषम सममित आव्यूह में दोनों गुण होने चाहिए (1) और (2) को जोड़ने पर,
यदि 2a_ij = a_ij – a_ji = 0
⇒ a_ij = 0
a_ij = a_ji 0
∴ वर्ग आव्यूह एक शून्य आव्यूह (zero matrix) होगा।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 15.
यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A = A तो (I + A)³ – 7A बराबर है-
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
हल:
दिया है : A² = A
∵ A³ = A². A
= A.A = A² = A
∴ (I + A)³ – 7A = I³ +3i² A + 3IA² + A³ – 7A
= I³ + 3IA + 3IA² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A + A² . A – 7A
= I + 3A + 3A + A – 7A
= 7A – 7A + I
अतः विकल्प (C) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखंडज E (adjoint) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।
प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:


प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {7} \\ {2} & {5}\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll}{6} & {8} \\ {7} & {9}\end{array}\right]\) है तो सत्यापति कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है|
हल:

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {2} \\ {1} & {1}\end{array}\right]\) के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो।
हल:

संगत अवयवों की तुलना करने पर
8 + 2a = 0 ⇒ a = -4
11 + 3a + b = 0 ⇒ b = -11 + 12 = 1
अतः a = -4, b = 1

प्रश्न 15.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-3} \\ {2} & {-1} & {3}\end{array}\right]\) के लिए दर्शाइए कि A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:


अब A^-1 ज्ञात करने के लिए गणना
∵ A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
दोनों और A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1A)A² – 6(A¹ A)A + 5A^-1 A + 11A^-1I = 0
⇒ IA² – 6IA + 51 + 11A^-1 = 0
⇒ A² – 6A + 5I + 11A^-1 = 0
⇒ 11A^-1 = -A² + 6A – 5I

प्रश्न 16.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-1} & {1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2}\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A³ – 6A² + 9A – 4I =0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो | adj A | का मान है
(A)|4|
(B)| A|²
(C)|A}³
(D) 3| A|
हल:
adj A = | A|^n-1, यहाँ n =3
∴ | adj A = | A²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर है
(A) det(A)
(B) \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
(C) 1
(D) 0
हल:
A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है ⇒ |A | ≠ 0
∴ AA^-1 = I या |AA^-1| = |I| = 1
या |A || A^-1| = 1
|A^-1| = \(\frac{1}{|A|}\)
⇒ det (A^-1) = \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8)
हल:
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
त्रिभुज का क्षेत्रफल :

= \(\frac{1}{2}\)[1(0 – 3) – 0(6 -4 ) + 1(18 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[-3 + 18]
= \(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8) x₁ = 2 y₁ = 7, x₂ = 1, y₂ = 1, x₃ = 10, y₃ = 8

= \(\frac{1}{2}\)[2(1 × 1 – 1 × 8) – 7(1 × 1 – 10 × 1) + 1(1 × 8 – 10 × 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (1 – 8) – 7(1 – 10) + 1(8 – 10)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (-7) – 7 × (-9) + 1 × (-2)]
= \(\frac{1}{2}\)[-14 + 63 – 2] =\(\frac{1}{2}\)[63 – 16]
= \(\frac{1}{2}\) × 47 =\(\frac{47}{2}\) = 23\(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई

(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8) त्रिभुज का क्षेत्रफल

= \(\frac{1}{2}\)[-2(2 + 8) + 3 (3 + 1) + 1(-24 + 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[-20 + 12 – 22]
= \(\frac{1}{2}\)[-30] = [30] ऋणात्मक चिन्ह को छोड़ने पर
= 15वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A (a, b + c), B (b, c + a) और C(c, a + b) संरेख हैं।
हल:
यहाँ त्रिभुज के शीर्ष A (a, b+ c),B (b, c + a) और C(c, a + b)
x₁ = a x₂ = b x₃ = c y₁ = b + c y₂ = c + a y₃ = a + b

C₁ तथा C₃ समान हैं।
अतः बिन्दु A, B, C संरेख हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है, जहाँ शीर्षबिन्दु निम्नलिखित हैं-
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)
हल:
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई

⇒ \(\frac{1}{2}\)[k(-2) + 0 + 1(8)] = ±4
⇒ -k + 5 = ±4
⇒ k= 0 या 8

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-2, 0), (0, 4), (0, k)
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂₁ = 4, y₃ = k

±4 = \(\frac{1}{2}\)[-2(4 – k) + 1(0 – 0)]
±8 = -2(4 – k) ⇒ ±8 = k – 8
+ चिह्न लेने पर, 8 = 2k – 8 ⇒ 2k = 16 ∴ k = 8
-चिह्न लेने पर, -8 = 2k – 8 ∴ k = 0

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली,रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना बिन्दु A (1, 2) व B(3, 6) से मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित बिन्दु P(x, y) हैं।
इसलिए बिन्दु A, B, P संरेख होंगे।
∴ ∆PAB का क्षेत्रफल = 0

⇒ x (2 – 6) – y(1 – 3) + 1(6 – 6) = 0
⇒ -4x + 2y = 0
⇒ 2x – y = 0
अतः अभीष्ट रेखा का समी० 2x – y = 0 है।

(ii) माना कोई बिन्दु (x, y) है।
तो त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (3, 1) और (9, 3)

∆ = \(\frac{1}{2}\)[x × (-2) – y(-6) + 1 × 0]
∆ = \(\frac{1}{2}\)[-2x + 6y] = -x + 3y
बिन्दु (x, y), (3, 1), (9, 3) संरेख हैं।
यदि ∆ = 0
∴ 0 = -x + 3y ⇒ x – 3y = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2, -6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है तो k का मान है
(A) 12
(B) -2
(C) -12, -2
(D) 12 ,-2
हल:
त्रिभुज के शीर्ष (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4)

±35 = \(\frac{1}{2}\)[2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 -4k)]
±35 = \(\frac{1}{2}\) [2 x 0 + 6(5 – k) + 1(20 – 4k)]
±70 = 6(5 – k) + 20 – 4k
±70 = 30 – 6k + 20 – 4k
±70 = 50 = 10k ⇒ ±7 – 5 – k
+ चिह्न लेने पर, 7 = 5 – k
k = 5 – 7 = -2
– चिह्न लेने पर, -7 = 5 – k ⇒ -12 = -k
∴ k = 12
अतः k = -2, 12
अत: विकल्प (D) सही है।