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MP Board Class 12th Book Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{3 x^{2}}{x^{6}+1}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{\sqrt{9-25 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{3 x}{1+2 x^{4}}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\frac{x^{2}}{1-x^{6}}\)
हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

प्रश्न 24 एवं 25 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 24.
\(\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}\) बराबर है
(A) x tan^-1(x + 1) + C
(B) tan^-1(x + 1) + C
(C) (x + 1) tan^-1 x + C
(D) tan^-1 x + C
हल:

प्रश्न 25.
\(\int \frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^{2}}}\) बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समी० x² = 4y …(i)
तथा वृत्त का समी० x² + y² = \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर बिन्दु \(\left( \pm \sqrt{2}, \frac{1}{2}\right)\) प्रतिच्छेदन बिन्दु के रूप में प्राप्त होते हैं।
∴ दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ODCAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों (x – 1)² + y = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समीकरण
x² + y = 1 …(i)
(x – 1)² + y² = 1
समी० (i) वृत्त का समी० है। जिसका केन्द्र (0, 0) तथा

त्रिज्या 1 इकाई है। जबकि समी० (ii) उस वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र (1,0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है।
समी० (i) व (ii) को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{3} / 2\right)\) है।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2 × OCRAO का क्षेत्रफल
= 2 × [OCAO का क्षेत्रफल + CBAC का क्षेत्रफल]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y = x² + 2
या x² = y – 1 यह एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष (0, 2) है।

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल:
दिया है : शीर्ष बिन्दु (-1, 0), (1, 3) और (3, 2) रेखा AB का समी०

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (ANBA का क्षे० + NMCBN का क्षे०) – AMCA का क्षे०

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के ‘समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
दिया है
भुजाओं के समी० y = 2x + 1 ….(i)
y = 3x + 1 …(ii)
x = 4 …(iii)

प्रश्न 6 एवं 7 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 6.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल है-
(A) 2 (π – 2)
(B) (π – 2)
(C) 2π – 1
(D) 2(π + 2)
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 2 है।

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
वक्र कासमी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० y = 2x …(ii)
समी० (i) व (ii) से
(2x)² = 4x
4x² = 4x
⇒ x² – x = 0
⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0, x = 1

समी० (ii) से जब x = 0, y= 0 और जब x = 1, y = 2
समी० (i) व समी० (ii) का प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) तथा A(1, 2) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए-
प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल:

प्रश्न 2.
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}\)
∵ अंश व हर की घात समान है इसलिए दिया हुआ अवकल समी० समघातीय अवकल समी० हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 3.
(x – y)dy -(x + y)dx = 0
हल:
(x – y) dy – (x + y) dx =0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}\)
∵ अंश व हर की घात समान हैं अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 4.
(x² – y) dx + 2xy dy = 0
हल:
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.
x²\(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
हल:

प्रश्न 6.
x dy – y dx = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) dx
हल:

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) – y + x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
हल:

प्रश्न 9.
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0 …(i)

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 – \(\frac{x}{y}\)) dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया है (x + y) dy + (x – y) dx = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}\) …(i)
∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समी० है।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 12.
x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०
x²dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0: y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right)\) = 0; y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है-
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = y
हल:
जब \(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) हो तो x = yy प्रतिस्थापित करते हैं।
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है
(A) (4x + 6y + 5)dy – (3y + 2x + 4)dx = 0
(B) (xy) dx – (x³ + y³)dy = 0
(C) (x³ + 2y²)dx + 2xy dy = 0
(D) y²dx + (x² – xy – y²)dy = 0
हल:
y²dx + (x² – xy – y²) dy = 0 पर विचार करते हैं।

इस प्रकार अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
2x + 3y = sin x
हल:
2x + 3y = sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
2x + 3y = siny
हल:
यहाँ 2x + 3y = sin y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
ax + by² = cosy
हल:
यहाँ ax + by² = cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
xy + y² = tan x + y
हल:
यहाँ xy + y² = tan x + y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x² + xy + y² = 100
हल:
x² + xy + y² = 100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x² + x²y + xy² + y³ = 81
हल:
यहाँ x² + xy + xy² + y³ = 81
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
sin² y + cos xy = π
हल:
यहाँ sin ²y + cos xy = π
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
sin² x + cos²y = 1
हल:
∵ sin² x + cos² y = 1
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)
हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4

प्रश्न 1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए-
(i) \( \sqrt{{25.3}} \)
(ii) \( \sqrt{{49.5}} \)
(iii) \( \sqrt{{0.6}} \)
(iv) (0.009)^1/3
(v) (0.999)^1/10
(vi) (15)^1/4
(vii) (26)^1/3
(viii) (255)^1/4
(ix) (82)^1/4
(x) (401)^1/2
(xi) (0.0037)^1/2
(xii) (26.57)^1/3
(xiii) (81.5)^1/4
(xiv) (3.968)^3/2
(xv) (32.15)^1/5
हल:

प्रश्न 2.
f (2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x + 5x + 2 है।
हल:
यदि f(x) = 4x² + 5x + 2 हो, तब
f(2) = 4(2)² + 5 × 2 + 2 = 16 + 10 + 2 = 28
∆x = 0.01
∴ f(x) = 8x + 5
df'(x) = f'(x) × ∆x = (x + 5) ∆x
= (8 × 2 + 5) × 0.01
= 21 × 0.01 = 0.21
∴ f(2.01) = f(2) = df (x)
= 28 + 0.21 = 28.21

प्रश्न 3.
f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x³ – 7x² + 15 है।
हल:
∵ f(x) = x³ – 7x² + 15
∴ f(5) = (5)³ – 7(5)² + 15 (x = 5 रखने पर)
= 140 – 175 = -35
∆x = 0.001
∴ f(x) = 3x² – 14x
∴ f(x) = f’ (x) × ∆x
= (3x² – 14x) × 0.001
= [3 (5)² – 14 × 5] × 0.001
= (75 – 70) × 0.001
= 5 × 0.001 = 0.005
∴ f(5.001) = f(5) + df (x)
= -35 + 0.005
= -34.995

प्रश्न 4.
xm भुजा वाले धन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना xm भुजा वाले घन का आयतन V है।
∴ v = x³
भुजा में होने वाली वृद्धि = भुजा का 1%

प्रश्न 5.
xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
घन xm भुजा वाले घन का पृष्ठ = S
∴ S = 6x²
भुजा में हास = x का 1%
= x × \(\frac{1}{100}\) = 0.01x
∴ सन्निकट परिवर्तन = \(\frac{dS}{dx}\) × ∆x
= 12 × (-0.01x)
= -012x²m²
अतः क्षेत्रफल में सन्निकट परिवर्तन = 0.12x²m²

प्रश्न 6.
एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या r = 7 m
त्रिज्या r में अशुद्धि ∆r = 0.03
माना r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S
∴ S = 4πr²
⇒ \(\frac{dS}{dx}\) = 8πr
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल में अशुद्धि = \(\frac{dS}{dx}\) × ∆x
= 8πr × ∆r
= 8 × π × 7 × 0.03
= 2.16πm²

प्रश्न 7.
एक गोले की त्रिज्या 9 m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ r= गोले की त्रिज्या = 9m
∆r त्रिज्या में अशुद्धि = 0.03
s = गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
\(\frac{ds}{dx}\) = 8πr
पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने में अशुद्धि = \(\frac{ds}{dx}\) × ∆r
= 8πr × ∆r
= 8π × 9 × 003
= 2.16 πm³

प्रश्न 8.
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो तो f (3.02) का सन्निकट मान है-
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
हल:
यदि f(x) = 3x² + 15x + 5
f(x) = 6x + 15
f(3) = 3 × 9 + 15 × 3 + 5
= 27 + 45 + 5 = 77
df (x) = f'(x) × ∆x = (6x + 5) × ∆x
= (6 × 3 + 15) × 0.02 [∴ x = 3, ∆x = 0.02]
= (18 + 15) × 0.02
= 33 × 0.02 = 0.66
∴ f(3.02) = f(3) + df (3) = 77 + 0.66 = 77.66
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 9.
भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के धन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
(D) 0.9 x³ m³
हल:
घन का आयतन V = x³ m³ (भुजा = x m)
भुजा में वृद्धि = 3% = x का 3% = 0.03x
आयतन में वृद्धि = \(\frac{d V}{d x}\) × ∆x
= 3x² × ∆x = 3x² × 003x
= 0.09x³ m³
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{e^{x}}{\sin x}\)
हल:
माना \(\frac{e^{x}}{\sin x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
esin^-1x
हल:
माना y = esin^-1x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
e^x3
हल:
माना y = e^x3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sin (tan^-1e^-x)
हल:
माना y = sin (tan^-1e^-x)
के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
log (cos e^x)
हल :
माना y = log (cos e^x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
e^x + e^x2 + … + e^x2
हल :
माना y = e^x + e^x2 + e^x3 + e^x4 + e^x5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
\(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\), x > 0
हल :
माना y = \(\sqrt{e^{\sqrt{x}}}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
log (log x), x > 1
हल :
माना y = log (logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{\log x}\), x > 0
हल:
माना y = \(\sqrt{\frac{\cos x}{\log x}}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
cos (log x + e^x)
हल:
माना y = cos (log x + e^x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.1

प्रश्न 1.
उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
हल:
20 km को 1 cm मानते हुए 2 cm का एक रेखाखण्ड OP, OY की दायीं ओर OY के साथ 30° का कोण बनाते हुए खींचा गया।
इस प्रकार सदिश \(\overrightarrow{O P}\) OY से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन को निरूपित करता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित मापों को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) 10 kg,
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब,
(vi) 20 m/s²
हल:
अदिश-
(i) 10 kg,
(iii) 40°,
(iv) 40 वॉट,
(v) 10^-19 कूलम्ब

सदिश-
(ii) 2 मीटर उत्तर-पश्चिम
(vi) 20 m/s²

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशियों के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
(i) समय कालांश
(ii) दूरी
(iii) बल
(iv) वेग
(v) कार्य
हल:
(a) अदिश राशि-
(i) समय कालांश,
(ii) दूरी,
(v) कार्य

(b) सदिश राशि-
(iii) बल,
(iv) वेग।।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिशों को पहचानिए-
(i) सह-आदिम,
(ii) समान,
(iii) संरेख परन्तु असमान।

हल:
(i) सह-आदिम राशि : \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{a}\) तथा AD = \(\overrightarrow{d}\)
(ii) समान : \(\overrightarrow{A D}=\vec{d}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}\)
(iii) संरेख परन्तु असमान : \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{C D}=\vec{c}\)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए।
(i) \(\overrightarrow{a}\) तथा \(-\overrightarrow{a}\) संरेख हैं।
(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
(iii) समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
(iv) समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।
हल:
(i) सत्य,
(ii) असत्य,
(iii) असत्य,
(iv) असत्य

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल:

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए :
हल:
∵ f(x) = 2x² – 1
∴ f(3) = 2 x 3² – 1 = 17
\(\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2} – 1\right)\)
= 2 × 9 – 1 = 17
अतः f(x), x = 3 पर सतत् है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सातत्य की जाँच कीजिए
हल:
(a) f(x) = x – 5
(x – 5) एक बहुपदीय व्यंजक है।
अतः हर बिन्दु x ϵ R पर संतत है।



अतः f, x = 5 पर संतत है।
पुनः x < 5 पर f(x) = x – 5, जो कि एक बहुपद है इसलिए f, x > 5 पर संतत है
x < 5 पर
f(x) = – (x – 5) = 5 – x, जो कि एक बहुपद है
∴ f, x < 5 पर संतत है
अतः f, x की समस्त मान के लिए संतत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n, संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:
∵ n एक धन पूर्णांक है
∴ f(x) = xⁿ एक बहुपद हैं
इसलिए x = n पर f एक संतत है।

प्रश्न 5.
क्या
द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है।
हल:

f के सभी असातत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –
प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.
क्या
परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल:

फलन f के सातत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है-
प्रश्न 14.

हल:

⇒ L.H.L. ≠ R.H.L.
∴ f बिन्दु x = 3 पर संतत नहीं है।
अतः x = 1 व x = 3 पर f असांत्यता है।

प्रश्न 15.

हल:


⇒ L.H.L. ≠ R.H.L.
अतः f (x), x = 1 पर संतत नहीं है। पुनः x > 1 के लिए,
f(x) = 4x, जो कि बहुपद है।
∴ x > 1 पर f सतत होगा।
अतः x = 1 के अतिरिक्त f सभी बिन्दुओं पर संतत होगा अथवा केवल x = 1 पर असांतत्य होगा।

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल:

अत: b के प्रत्येक मान के लिए इसके संगत a का मान ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए

द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।
हल:

प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
हल:
x = c पूर्णांक पर, f(x) = x – [x]

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल:
माना f(x) = x² – sin x + 5

प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए –
(a) f(x) = sin x + cosx
(b) f(x) = sin x – cosx
(c) f(x) = sin x. cosx
हल:

प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल:
(a) माना f(x) = cos x

प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल:

तथा f(0) = 0 + 1 = 1
∴ x = 0 पर f संतत फलन है।
जब x > 0, f(x) = x + 1, जो कि बहुपद है।
∴ f एक संतत फलन होगा।
अतः f प्रत्येक बिन्दु पर संतत फलन है।

प्रश्न 24.
निर्धारित कीजिए कि फलन f

द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
हल:

प्रश्न 25.
f के सातत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-

हल:

∴ x = c ≠ 0 पर f संतत है।
अत: x ϵ R, सभी बिन्दुओं पर f संतत है।

प्रश्न 26 से 29 में k के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर संतत हो-
प्रश्न 26.

द्वारा परिभाषित फलन x = \(\frac{\pi}{2}\) पर।
हल:
x = \(\frac{\pi}{2}\) पर,

प्रश्न 27.

द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल:

प्रश्न 28.

द्वारा परिभाषित फलन x = π पर।
हल:

प्रश्न 29.

द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
हल:

प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि

द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल:
प्रश्न (15) की भाँति करें।
x = 3 पर
L.H.L. = 5
R.H.L. = 2a + b
तथा f(2) = 5
∵ f(x) x = 2 पर संतत फलन है।
∴ L.H.L. = R.H.L.
2a + b = 5
पुनः f (x), x = 10 पर संतत है।
∴ L.H.S. = R.H.S. = f(10)

प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) – cos (x²) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है
हल:
f(x) = cos(x²)
माना g(x) = cosx तथा h (x) = x²
∴ goh (x) = g[h (x)] = g(x²)
= cos (x²) = f(x)
∵ g (x) एक कोज्या (cosine) का एक फलन है जो कि संतत होता है।
तथा h (x) एक बहुपद है।
इसलिए f(x) भी एक संतत फलन है।

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) = | cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल:
यहाँ f(x) = |cosx|
सर्वप्रथम माना x = c ϵ R पर,
\(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}|\cos x|=|\cos c|\)
f(c) = |cosc|
अतः x = C ϵ R पर एक संतत फलन है।

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin |x|एक संतत फलन है।
हल:
माना f(x) = sin |x|
प्रथम विधि-
x = c ϵ R पर,
\(\lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}(\sin |x|)=\sin |c|\)
f(c) = sin |c|
अतः x = c ϵ R पर एक संतत फलन है।
दूसरी विधि से-
माना g (x) = sin x, h (x) = |x|
f(x) = (goh)(x) = g (h (x)) = g (|x|) = sin |x|
g(x) = sin x 3ite h(x) = |x|
g और h दोनों संतत फलन हैं।
अतः f भी संतत फलन है।

प्रश्न 34.
f(x) = |x| – |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन के सभी असांत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = |x| – |x + 1|
f(x) = -x[ – (x +1)], [जब x < – 1]
= – x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब -1 ≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x ≥ 0
= x – x – 1 = – 1

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष
(ii) y = x⁴, x = 1, x = 5 एवं x-अक्ष
हल:
(i) परवलय y = x² का शीर्ष (0, 0) है। OY रेखा सममित है।
y = x², x = 1, x = 2 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र PLMQ का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों y = x एवं y = x² के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समी० y = x …(i)
y = x² ….(ii)
समी० (i) एक सीधी रेखा को प्रदर्शित करता है जो मूल बिन्दु से गुजरती है तथा समी० (ii) एक परवलय को प्रदर्शित करती है जिसका शीर्ष (0, 0) है।
समी० (i) व (ii) को परस्पर हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) और (1, 1) प्राप्त होते हैं।

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थांश में सम्मिलित एवं y = 4x², x = 0, y = 1 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 4x² एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष मूल बिन्दु है। OY रेखा सममित है।
∴ y = 1, y = 4, x = 0, y = 4x² से घिरा क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
y = |x + 3| का ग्राफ खींचिए एवं \(\int_{-6}^{0}|x+3|\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
y = |x + 3|
x = -3, y = 0 पर
AQ रेखा है जो y = x + 3
जब x + 3 < 0,
y = -(x + 3) = -x – 3
AP रेखा का ग्राफ AP है।

प्रश्न 5.
x = 0 एवं x = 2π तथा वक्र y = sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y = sin x के ग्राफ पर कुछ बिन्दु इस प्रकार हैं। इन बिन्दुओं को वक्र द्वारा मिलाने से ग्राफ प्राप्त होता है।


अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल
= वक्र OPAQB तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र AOB का क्षेत्रफल
= 2 क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल
= \(2 \int_{0}^{\pi} \sin x d x=2[-\cos x]_{0}^{\pi}\)
= 2 [1 + 1] = 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई

प्रश्न 6.
परवलय y = 4ax एवं रेखा y = mx से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए वक्र और सरल रेखा का समीकरण
y² = 4ax …(1)
y = mx …(2)
y का मान समी० (1) में रखने पर,
(mx)² = 4ar
⇒ m²x² = 4ax
⇒ m²x = 4a

प्रश्न 7.
परवलय 4y = 3x² एवं रेखा 2y = 3x + 12 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय तथा रेखा के समीकरण
4y = 3x² …(1)
2y = 3x + 12 …(2)
2y का मान समी० (1) में रखने पर,
2(3x + 12) = 3x²

⇒ 6x + 24 = 3x²
⇒ 3x² – 6x – 24 = 0
⇒ x² – 2x – 8 = 0
⇒ x² – 4x + 2x – 8 = 0
⇒ x (x – 4) + 2 (x – 4) = 0
⇒ (x – 4) (x + 2) = 0
∴ x = 4, -2
⇒ y = 12, 3
इस प्रकार परवलय तथा रेखा एक-दूसरे को P(-2, 3) तथा Q(4, 12) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
वक्र 4y = 3x² तथा रेखा 2y = 3x + 12 द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQ का क्षेत्रफल
= समलम्ब चतुर्भुज PLMQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र PLOMQOP

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) एवं रेखा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1\) से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 9.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) एवं रेखा \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) से घिरे लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :

प्रश्न 10.
परवलय x² = y, रेखा y = x + 2 एवं x अक्ष . से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय x² = y, शीर्ष (0, 0) के साथ y-अक्ष की धनात्मक दिशा की तरफ और ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को निरूपित करता है तथा y = x + 2 एक सरल रेखा को निरूपित करता है जो कि x-अक्ष को (-2, 0) पर काटता है।
अब x² = x + 2
⇒ x² – x – 2 = 0
⇒ x² – 2x + x – 2 = 0
⇒ x(x – 2) + 1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2) (x + 1) = 0
∴ x = 2, -1
जब : x = 2, y = (2)² = 4
जब x = -1, y = (-1)² = 1
∴ दो वक्र x = y और y = x + 2 विन्दु (2, 4) और (-1, 1) पर प्रतिच्छेदन करते हैं।

प्रश्न 11.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए वक्र |x| + |y| = 1से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण |x| + |y| = 1 चार सरल रेखाओं को निरूपित करते हैं।

(i) x > 0, y > 0, x + y = 1
∴ y = 1 – x
(ii) x < 0, y > 0, -x + y = 1
∴ x – y = -1
(iii) x < 0, y < 0, -x – y = 1
∴ x + y = -1
(iv) x > 0, y < 0, x – y = 1
इन रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ABCD का क्षेत्रफल
= 4 × ∆OAB का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
वक्रों {(x, y) : y ≥ x² तथा y = |x|} से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = y एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) है। रेखा OY सममित है।

समीकरण y = |x| दो रेखाओं को निरूपित करता है।
जब x > 0, y = x; जब x < 0, y = -x
y = x, x² = y को (0, 0), (1, 1) पर काटती है।
y = -x, x² = y को (0, 0), (-1, 1) पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × क्षेत्र OPQ का क्षेत्रफल
= 2 [∆OLQ का क्षेत्रफल – क्षेत्र OLOPO का क्षेत्रफल]
= \(\left[\int_{0}^{1} y_{1} d x-\int_{0}^{1} y_{2} d x\right]\)
[जहाँ y₁ रेखा y = x तथा y₂ वक्र x² = y के लिए प्रयुक्त किए गए हैं।

प्रश्न 13.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(2, 0), B (4, 5) एवं C (6, 3) हैं।
हल:
रेखा AB का समीकरण,


अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆ABC द्वारा घेरे गए क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र ∆AMB का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BMNC का क्षेत्रफल – क्षेत्र AANC का क्षेत्रफल

प्रश्न 14.
समाकलन विधि का उपयोग करते हुए, रेखाओं 2x + y = 4, 3x – 2y = 6 एवं x – 3y + 5 = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समी०
2x + y = 4 …(i)
2x – 2y = 6 …(ii)
एवं x – 3y + 5 = 0
समी० (i) व (ii) को हल करने पर
x = 2, y = 0
समी (ii) व (iii) को हल करने पर
x = 4, y = 3
समी० (iii) व (i) को हल करने पर
x = 1, y = 2

प्रश्न 15.
क्षेत्र {(x, y): y² ≤ 4x, 4x² + 4y² ≤ 9} का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
y² = 4x परवलय है जिसमें शीर्ष (0, 0) तथा x-अक्ष है।
4x² + 4y² = 9 एक वृत्त को निरूपित करता है।
केन्द्र (0, 0) तथा त्रिज्या = \(\frac{3}{2}\) है!

16 से 19 तक के प्रश्नों के सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 16.
वक्र y = x³, x-अक्ष एवं कोटियों x = -2, x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) -9
(B) \(\frac{-15}{4}\)
(C) \(\frac{15}{4}\)
(D) \(\frac{17}{4}\)
हल:
वक्र y = x³
अवकलन करने पर,

\(\frac{d y}{d x}\) = 3x², जो सदैव धनात्मक रहता है।
∴ वक्र निरन्तर वर्धमान है।
\(\frac{d y}{d x}\) = 0, x = 0 मूल बिन्दु पर x-अक्ष स्पर्श रेखा है।
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= क्षेत्र AQO का क्षेत्रफल + क्षेत्र OBP का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 17.
वक्र y = x|x|, x-अक्ष एवं कोटियों x = -1 तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(\frac{4}{3}\)
हल:
जब x > 0, |x| = x
∴ वक्र का समीकरण y = x²
जब x < 0, |x| = -x
वक्र का समीकरण y = -x²
वक्र y = x|x|, x ≥ -1, x ≤ 0

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 18.
क्षेत्र y² ≥ 6x और वृत्त x² + y = 16 में सम्मिलित क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
दिए हुए वक्रों के समीकरण
x² + y = 16 …(1)
y² = 6x …(2)
समी० (1) में से (2) को घटाने पर,
x² = 16 – 6x
⇒ x²2 + 6x – 16 = 0
(∴ x + 8) (x – 2) = 0; x = -8, 2
जब x = 2, y² = 6 × 2 = 12
∴ y = ± 2\( \sqrt{{3}} \)

यहाँ पर y² > 6x, परवलय से बाहर का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
परवलय एवं वृत्त के अन्दर का क्षेत्रफल
= क्षेत्र POQAP का क्षेत्रफल
= 2 [क्षेत्र POMA का क्षेत्रफल]
= 2 [क्षेत्र POM का क्षेत्रफल + क्षेत्र PMA का क्षेत्रफल]

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
y-अक्ष, y = cosx एवं y = sin x, 0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\) घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-
(A) 2(\( \sqrt{{2}} \) – 1)
(B) \( \sqrt{{2}} \) – 1
(C) \( \sqrt{{2}} \) + 1
(D) \( \sqrt{{2}} \)
हल:
समीकरण y = cos x तथा y = sin x में y का मान समान रखने पर,
cosx = sin x .
∴ tan x = 1 या x = \(\frac{\pi}{4}\)
जब x = \(\frac{\pi}{4}\) sin x = cos x =\(\frac{1}{\sqrt{2}}\),
y-अक्ष, y = cos x, y = sin x
0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
A = क्षेत्र OPB का
= क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल + क्षेत्र APB का क्षेत्रफल


अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए-

हल:

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:
माना \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) दो भिन्न वेक्टर हैं परन्तु इनके परिणाम समान हैं।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए
हल:
माना दो सदिश वे \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}\)

प्रश्न 4.
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश \(2 \hat{i}+3 \hat{j}\) और \(x \hat{i}+y \hat{j}\) समान हों।
हल:
\(2 \hat{i}+3 \hat{j}+x \hat{i}+y \hat{j}\)
\(\hat{i}\) और \(\hat{j}\) के गुणांकों की तुलना करने पर,
∴ x = 2, y = 3

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश के प्रारम्भिक व अन्तिम बिन्दु A (2, 1) व B (-5, 7) हैं। तब

अत: \(\overrightarrow{A B}\) के अदिश घटक –7 तथा 6 हैं व सदिश घटक \(-7 \hat{i}\) और \(6 \hat{j}\) हैं।

प्रश्न 6.
सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}, \quad \vec{b}=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-6 \hat{j}-7 \hat{k}\) का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
सदिश \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}\) के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
सदिश \(\overrightarrow{P Q}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल:

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) और \(\vec{b}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) के लिए सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
सदिश \(5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}\) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल:

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}\) और \(-4 \hat{i}+6 \hat{j}-8 \hat{k}\) संरेख हैं।
हल:

क्योंकि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) की दिशा समान हैं अतः ये संरेख हैं।

प्रश्न 12.
सदिश \(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A (1, 2,-3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
हल:
A (1, 2, -3) एवं B (-1, – 2, 1)

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}}\) अक्षों OX,OY तथा OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
माना A = \(\vec{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\)
माना सदिश \(\vec{a}\) अक्ष OX, OY एवं OZ के साथ क्रमश: α, β तथा γ कोण बनाता है तथा इनके दिक् cosine cos α, cos β तथा cos γ हैं।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P = \((\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})\) और Q = \((-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i) अंत: (ii) बाह्य, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) अन्त : विभाजन

(ii) बाह्य विभाजन
बिन्दु R रेखा को 2 : 1 में बाह्य विभाजित करता है अतः

प्रश्न 16.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q (4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
P और Q को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिन्दु \(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\)

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C जिनके स्थिति सदिश क्रमश: \(\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \quad \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल:

प्रश्न 18.
संलग्न चित्र में त्रिभुज ABC के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?

हल:
सदिशों के योगफल त्रिभुज नियम के अनुसार,

प्रश्न 19.
यदि \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही नहीं है?
(b) \(\vec{b}=\lambda \vec{a}\)किसी अदिश λ के लिए
(B) \(\vec{a}=\pm \vec{b}\)
(C) \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।
(D) दोनों सदिशों के \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) की दिशा समान है परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
हल:
पहले तीन कथन (A), (B), (C) सही हैं परन्तु संरेख सदिश समान्तर होते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि दिशा समान हो या परिमाण समान हों।
अतः विकल्प (D) सही है।