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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{cccc}{2} & {5} & {19} & {-7} \\ {35} & {-2} & {5 / 2} & {12} \\ {\sqrt{3}} & {1} & {-5} & {17}\end{array}\right]\), के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a13, a21, a33, a24, a23
हल:
(i) आव्यूह A में पंक्तियों की संख्या = 3
तथा स्तम्भों की संख्या = 4
इसलिए आव्यूह की कोटि = 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12 अवयव
(iii) a13 = पहली पंक्ति व तीसरे स्तम्भ का अवयव = 19
इसी प्रकार,
a21 = 35, a33 =-5, a24 = 12 तथा a23 = \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4
(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 13 और 13 × 1

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प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल:
(i) 8 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ निम्न प्रकार हैं- 18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह A = [aij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं-
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हल:
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प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं-
(i) aij = \(\)|-3i + j|
(ii) aij = 2i – j
हल:
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प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के माम ज्ञात कीजिए-
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हल:
(i) \(\left[\begin{array}{ll}{4} & {3} \\ {x} & {5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{y} & {z} \\ {1} & {5}\end{array}\right]\)
∵ दोनों आव्यूह समान हैं
∴ संगत अवयवों को समान रखने पर
4 = y ⇒ y = 4
3 = z ⇒ 2 = 3
तथा x = 1
अतः x = 1, y = 4 तथा z = 3

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}{x+y} & {2} \\ {5+z} & {x y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{6} & {2} \\ {5} & {8}\end{array}\right]\)
दो आव्यूहों की समानता परिभाषा. से संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y = 6 ⇒ y = 6 – x
तथा xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8 ⇒ 6x – x2 = 8
x2 – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = 4, 2
∴ y = 2, 4
तथा 5 + z = 5 ⇒ z = 0
अत: x = 4, y = 2 तथा z = 0 अथवा x = 2, y = 4 व z = 0

(iii) \(\left[\begin{array}{c}{x+y+z} \\ {x+z} \\ {y+x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{9} \\ {5} \\ {7}\end{array}\right]\)
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y + z = 9 …. (i)
x + z = 5 … (ii)
y + z = 7 … (iii)
समी (i) व (iii) से,
x + 7 = 9 ⇒ x2
x का मान (ii) में रखने पर,
2 + z = 5 ⇒ z = 3
तथा y = 7 – 3 = 4
अतः x = 2, y = 4 तथा z = 3

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प्रश्न 7.
समीकरण \(\) से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
a – b = -1 …(i)
2a – b = 0 ⇒ 2a = b …(ii)
2a + c = 5 ….(iii)
तथा 3c + d = 13 ….(iv)
समी० (i) व (ii) से,
a – 2a = -1 ⇒ a = -1
∴ b = 2
समी० (iii) से,
2 (1) + c = 5
⇒ c = 5 + 2 = 7
समी० (iv) 3c + d = 13
d = 13 – 21 = 8
अतः a = 1, b = -2, c = 7 तथा d = 8

प्रश्न 8.
A = [aij]m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के समान है।
m = n
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-
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हल:
दिए हुए आव्यूह समान हैं।
3x + 7 = 0 ⇒ 3x = -7 ∴ x = \(-\frac{7}{3}\)
तथा 5 = y – 2 ⇒ 5 + 2 = y ∴ y = 7
2 – 3x = 4 ⇒ -3x = 4 – 2
⇒ -3x = 2 ∴ x = \(-\frac{2}{3}\)
x के दो मान \(-\frac{7}{3}\) और \(-\frac{2}{3}\) हैं। यह नहीं हो सकता।
अतः विकल्प (B) सही है।

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प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
हल:
3 × 3 कोटि के 9 अवयव हों तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने के लिए 29 = 512 तरीके हो सकते हैं।
∴ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512
अतः विकल्प (D) सही है।